Previsão

Segundo Vandaele (1983), uma das finalidades do uso de economia de séries temporais é fazer previsões para períodos futuros. Dessa forma, tomam-se os valores do período corrente dos dados originais, para um determinado período n, e supõe-se que se queira prever h períodos à frente para o período n+h, isto é, o objetivo é conhecer os valores das observações

Uy(. O intervalo h é chamado de horizonte de previsão. A previsão para Uy(, feita no

período n para h períodos à frente, é denotada por _U(ℎ). Isto é, se ℎ = 1, _U(1) é um passo à frente da previsão de _Uy ; para ℎ = 2, a previsão é feita no período n+2 usando apenas observações através de _U.

Desde que a variável para ser prevista _Uy( seja uma variável randômica e poderá ser descrita totalmente em termos de distribuição, a distribuição de probabilidade, que é condicional sobre os dados presentes, também é sobre a especificação do modelo ARIMA. A distribuição da previsão de _Uy( é dada por _{—U,(( ).}

3.3.3.1 Previsão: Média do Quadrado dos Erros

De acordo com Vandaele (1983), a média da distribuição da previsão minimiza o valor esperado da função do erro quadrático médio. Dessa forma, não existe outra função de previsão que produzirá erros quadráticos menores que a média do quadrado dos erros.

Dado ₍ ser o valor esperado de _Uy( previsto no período _{•, ( = Uy(}, também toma-se m de alguma outra previsão de _Uy( dado por:

→ (+ ? (58)

onde d é a diferença entre m e ₍. Usando os pontos de previsão m, o valor esperado do erro quadrático médio é dado por:

Rearranjado os termos do lado direito da equação (55) tem-se:

˜( Uy(− ) ™ = ˜( Uy(− () ™ − 2? ( Uy(− () + ? (60)

desde que:

( = Uy(, o segundo termo da equação (54) seja igual a zero e que o termo ? seja

não negativo. O termo ˜( _Uy(− ₍) ™ representa o erro quadrático médio de ₍. Portanto, o valor ótimo do erro quadrático médio da previsão _Uy( é obtido por = ₍ → _Uy(.

Essa média de distribuição de previsão ( _Uy() pode ser calculada da seguinte forma: toma-se estacionário e invertível do processo ARMA (p,q). Para o período " = • + ℎ tem- se:

;Uy( = Φ ;Uy( + ⋯ + Φ*;Uy( *+ šUy( − + šUy( − ⋯ − +-šUy( - (61)

O valor esperado de _Uy( expresso na equação (61) usando a informação no período n pode ser dado a partir dos seguintes passos:

1. Substitua os erros presente e passado š_Uy› com œ ≤ 0 pelo os resíduos atuais; 2. Substitua cada erro futuro š_Uy› 0 < œ ≤ ℎ, desde que š_Uy›, seja ruído branco

(igual a zero);

3. Substitua as observações presente e passada, _Uy› com œ ≤ 0, pelos valores observados;

4. Substitua cada valor futuro _Uy›, 0 < œ ≤ ℎ pela sua apropriada previsão _U(œ), de tal forma a se ter a primeira previsão _Uy , _Uy ,... _Uy( na ordem da previsão

Uy(.

Esse procedimento para calcular o erro quadrático médio foi restrito ao modelo ARMA (p,q). Entretanto, esse procedimento poder ser facilmente ampliado para gerar a média dos mínimos quadrados dos erros para os processos ARIMA e SARIMA.

Dessa forma, o Erro Quadrático Médio - EQM e a Soma do Quadrado dos Desvios - SQD serão utilizados para comparar os desempenhos dos modelos nessa pesquisa.

3.3.3.2 Intervalo de Previsão

De acordo com Vandaele (1983), em muitas situações envolvendo a adição de um ponto ótimo de previsão, se quer mensurar a incerteza em torno do ponto de previsão.

Para calcular o desvio-padrão dos erros de previsão expresso pelo modelo ARIMA escrito na forma dos choques dos erros, isto é, por sucessivas substituições para _{, ,}..., o modelo é descrito em termos dos erros correntes e passados como:

= + Ψ + Ψ + ⋯ (62) Os valores dos parâmetros (Ψ e Ψ ) dependem em particular do modelo ARIMA e são chamados de coeficientes de erro de aprendizagem; assim, o ponto ótimo de previsão pode ser expresso em termos dos erros correntes e passados tal como:

U(ℎ) = Ψ(šU+ Ψ(y šU + ⋯ (63)

Como resultado, h passo à frente da previsão do erro pode ser definido por:

šU(ℎ) = Uy(− U(ℎ) (64)

ou:

Em razão dos erros serem independentes, da equação (65) pode-se afirmar que š_U(ℎ) é um MA(h-1), indiferente do processo ARIMA realizado. Em particular, o erro um passo à frente considerando ruído branco é dado por:

šU(1) = šUy (66)

Da equação (66), segue diretamente que o erro de previsão š_U(ℎ) tem média zero e variância conforme a equação:

žšI˜šU(ℎ)™ = ˜ U(ℎ)™ = U∑(›XsΨ› com Ψs = 1 (67)

Observe-se que o horizonte de previsão é longo e as variâncias dos erros são monotonicamente decrescentes:

žšI˜šU(ℎ)™ − žšIšU(ℎ − 1) = UΨ›U ≥ 0 (68)

A equação (68) prova a noção intuitiva de que nunca pode se conhecer mais informações sobre o futuro: se assume-se que os erros são normalmente distribuídos em termos , então pode se caracterizar que a distribuição da previsão seja inteira —_U,(( ). A distribuição da previsão _Uy(, —_U,(( ) será determinada como uma variável randômica com média _U(ℎ) e žšI˜š_U(ℎ)™.

Considerando um intervalo de confiança para _Uy( dado por:

U(ℎ) ± 1,96 ˜šU(ℎ)™ (69)

Sendo o desvio-padrão do erro da previsão definido como raiz quadrada da variância na equação (69). No cálculo do intervalo de confiança, substituem-se os coeficientes de erro de aprendizagem com seu estimado _U.

O intervalo desenvolvido anteriormente foi concentrado em um intervalo de confiança individual _Uy , baseado nos valores correntes e passados de . Às vezes, é necessário obter o intervalo de confiança da média _Uy baseado nos valores correntes e passados de . Intuitivamente, isso é claro no ponto em que a previsão não muda. Assim, será capaz de fazer previsão com mais precisão do que quando se considera uma observação individual.

De fato, pode-se mostrar que a variância da média de _U(ℎ) será:

žšI˜ U™ → ˜ U(ℎ) − ( Uy()™ = Uv Ψ› ( ›X

(70)

A diferença da variância apresentada na equação (68) está associada ao fato da variância e a média de _U(ℎ) não incluir a soma Ψ_s.

Figura 11- Diagrama funcional da metodologia Box-Jenkins

Fonte: Vandaeli (1983).

Entrada dos dados

Análise dos Dados

Examinar as transformações em diferenças e sazonalidade Cálculo da autocorrelação Estacionariedade Decisão se é necessário ou não a aplicação da primeira diferença Séries Diferenciadas Cálculo da FAC e FACP das séries Modelo de Identificação Análise da FAC e da FACP para especificar o tipo de modelo requerido

Estimação dos parâmetros

Calcular os valores dos parâmetros e os melhores valores estatisticamente estimados Modelo Checagem É o modelo adequado? Novo Modelo Decidir quais modificações são necessárias Decidir quais previsões serão feitas

Previsão Identificação Estimação Previsão Julgamento Computação NÃO SIM