PRINCIPAIS EQUAÇÕES

Segundo Ansys (2012) para a derivação da equação da Continuidade, considere um vo- lume de controle∆x∆y∆zcomo na Figura 2.25.

Figura 2.25: Fluxo de massa através de um volume de controle. Fonte: Welty et al. (2009)

A expressão para a conservação da massa no volume de controle é dado por:

Z Z

ρ(v.n)d A + ∂

∂t

Z Z Z

ρdV = 0 (2.56)

O fluxo de massa ρ(v.n) em cada face do volume de controle está ilustrado na Figura 2.25. A massa no volume de controle é dada porρ∆x∆y∆z e portanto, a taxa de mudança de massa no tempo é dada por:

∂

∂t(ρ∆x∆y∆z) (2.57)

O fluxo de massa fora do volume de controle nas três direções é dado por:

Substituindo 2.58 em 2.56. Dividindo as equação por∆x∆y∆ze fazendo limite de destes três termos indo para zero, vamos obter:

∂ ∂x(ρυx) + ∂ ∂y(ρυy) + ∂ ∂z(ρυz) + ∂ρ ∂t = 0 (2.59)

A equação 2.59 pode ser escrita como:

∇.ρv +∂ρ

∂t = 0 (2.60)

A equação 2.60 nos fornece a equação da continuidade utilizada pelo programa. Além desta o programa utiliza as equações de Momento dadas por:

∂(ρU)

∂t + ∇.(ρUO U ) = −∇p + ∇.τ + SM (2.61)

onde o tensor tensãoτé dado por:

τ = µ µ ∇U + (∇U )T −2 3δ∇.U ¶ (2.62)

Para a equação de energia total o programa utiliza a seguinte expressão:

∂(ρht ot) ∂t −

∂p

∂t + ∇.(ρU ht ot) = ∇.(λ∇T ) + ∇.(U .τ) +U .SM+ SE (2.63)

Ondeht ot é a entalpia total e esta relacionada com a entalpia estáticah(T, p)por:

ht ot = h +

1 2U

2 _(2.64)

O termo∇.(U .τ)representa o trabalho devido as tensões viscosas e é chamado de termo do trabalho viscoso. O termoU .SM representa o trabalho devido as fontes de momento externo e normalmente é negligenciado.

2.4.2 EQUAÇÕES DE ESTADO Equação de estado para gás ideal:

ρ = w Pabs R0

, d h = cpd T, cp= cp(T ) (2.65)

Ondew é o peso molecular,pabs é a pressão absoluta eR0a constante universal do gás.

Para fluidos incompressíveis temos:

ρ = ρesp, d h = cpd T + d p

ρ , cp= cp(T ) (2.66)

2.4.3 MÉTODOS NUMÉRICOS

Os principais métodos utilizados na fluido dinâmica computacional é o método dos ele- mentos finitos e o método dos volumes finitos. Este último é o método mais utilizado na fluido dinâmica computacional.

O método dos volumes finitos consiste em avaliar as equações diferenciais parciais sob a forma de equações algébricas. O volume finito se refere ao pequeno volume delimitado pelos pontos / arestas na malha. Nessa metodologia, integrais de volume numa equação diferen- cial parcial que contenham termos divergentes são convertidos para integrais de superfície (Teorema da Divergência). Esses termos são então avaliados como fluxos nas superfícies de cada volume.

Como o fluxo entrando num elemento é idêntico ao fluxo saindo do elemento adjacente, esses métodos são conservativos. Outra vantagem dos volumes finitos é que são facilmente formulados e aplicados em malhas não estruturadas.

Este método é melhor explicado na Subseção 2.3.2, onde é analisado o método numérico utilizado pelo software ANSYS CFX para as resoluções dos problemas.

3 METODOLOGIA

Este trabalho usou como referência, para a simulação do selo, Migliorini et al. (2012). Portanto todas as informações a respeito das condições iniciais e de contorno assim como as dimensões da primeira geometria foram retiradas de tal artigo.

A proposta inicial foi replicar a geometria que Migliorini et al. (2012) utilizou, e a partir dela propor modificações em sua geometria. Afim de reduzir o custo computacional, Mi- gliorini et al. (2012) fez uma análise apenas de um parte do anel pois toda a geometria é simetrica. Ele utilizou um setor de curvatura 6,2 graus e como o anel possui 360 graus, isso corresponde a ₅₈1 do total. Todos os parâmetros medidos ao final devem ser multiplicados por 58 para que corresponda as dimensões originais do selo.

Podemos observar na Figura 3.1 o selo orginal gerado por Migliorini et al. (2012) e na Figura 3.2 o setor recortado. Afim de facilitar a construção da geometria o autor deste trabalho optou por ignorar a curvatura de 6,2 graus fazendo com que o setor tivesse a base do rotor reta. Com essa aproximação o modelo de simulação passaria de rotacional para translacional.

Uma réplica do modelo de Migliorini et al. (2012) foi construída e simulada para que fosse comparada com o modelo proposto pelo autor, de base reta. Em seguida dois novos modelos de geometria foram construídos e simulados para a análise. A proposta foi construir um modelo geometrico que possui a altura dos cilindros com o dobro do valor original e outra geometria que os cilindros possuem um diâmetro com o dobro do valor original.

Ao final das simulações os resultados de vazão mássica, perfil de pressão ao longo do selo e tensão cisalhante na superfície do rotor foram comparados.

Figura 3.1: Selo hole-pattern gerado por Migliorini. Fonte: Migliorini et al. (2012)

Figura 3.2: Recorte do selo utilizado para as simulações. Fonte: Migliorini et al. (2012)

3.1 GEOMETRIA

Todas as geometrias foram construídas utilizando o software ANSYS Design Modeler. Para a construção da primeira geometria foram utilizadas dimensões idênticas as da geome- tria de Migliorini et al. (2012). Note que para a primeira geometria e as geometrias seguintes foi ignorado a curvatura de 6,2 graus e foram adotadas base reta para o rotor.

Para a segunda geometria (Geometria 2) a única mudança foi na altura dos cilindros que agora possuem o dobro da medida. Por fim, para a terceira geometria (Geometria 3) a única mudança em relação a geometria original foi o valor do diâmetros dos cilindro que agora possuem o dobro do valor.

Na Tabela 3.1 podemos observar a dimensões geométricas de cada modelo.

Tabela 3.1: Dimensões geométricas dos modelos

Dimensões Geometria 1 Geometria 2 Geometria 3

Folga (mm) 0.2 0.2 0.2

Raio do selo (mm) 57.37 57.37 57.37

Diâmetro do cilindro (mm) 3.175 3.175 6.35

Altura do cilindro (mm) 3.302 6.604 3.302

Comprimento do selo (mm) 88.34 88.34 178.77

Distânica entre os centros (mm) 3.615 3.615 7.23

dobrado.

A folga trata-se da distância entre a superfície do rotor até a superfície do selo e é por essa folga que o fluido escoa.

A título de ilustração a Figura 3.3, em versão reduzida, mostra o caminho pelo qual o fluido escoa.

Figura 3.3: Visão lateral da geometria e por onde o fluido escoa.

As Figuras 3.4,3.5 e 3.6 mostram como ficaram as geometrias construídas.

Figura 3.5: Geometria 2 com altura dos cilindros dobrada.

Figura 3.6: Geometria 3 com diâmetro dos cilindros dobrado.

3.2 MALHA

As malhas para as três geometrias foram construídas no software ICEM CFD. O nível de refinamento das malhas e consequentemente o número de elementos foram fatores cruciais para definir o custo computacional. Na Tabela 3.2 esta uma comparação entre o número de elementos de cada malha.

Tabela 3.2: Quantidade de elementos por malha Malha Elementos

Geometria 1 3664221 Geometria 2 3770932 Geometria 3 3241550

A região da folga, espaço entre a superfície do rotor e a superfície interna do selo, é a região de principal interesse. Por ter dimensão pequena, 0,2 mm, essa região foi tratado com um maior refinamento como é possível observar nas Figuras 3.7 e 3.8.

Figura 3.7: Visão lateral da malha.

Figura 3.8: Refinamento na região da folga.