Análise do efeito das dimensões de um selo Hole-Pattern no seu escoamento

PROJETO DE GRADUAÇÃO II

Título do Projeto:

ANÁLISE DO EFEITO DAS DIMENSÕES DE UM SELO

HOLE-PATTERN NO SEU ESCOAMENTO

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Autor(es):

MATEUS PEIXOTO AVANCI

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Orientador(es):

JOÃO FELIPE MITRE DE ARAUJO, D.Sc.

ANÁLISE DO EFEITO DAS DIMENSÕES DE UM SELO

HOLE-PATTERN NO SEU ESCOAMENTO

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Engenharia Mecânica da Universidade Federal Flu-minense, como requisito parcial para obtenção do grau de Engenheiro Mecânico.

Orientador(es):

JOÃO FELIPE MITRE DE ARAUJO, D.Sc.

Niterói 9 de Agosto de 2016

Turbomáquinas tem sido amplamente utilizadas na indústria moderna e com isso muitos estudos a seu respeito tem sido desenvolvidos. Um dispositivo importante é o selo encon-trado no rotor de tais equipamentos pois este garante a selagem do fluido de trabalho e em alguns caso auxilia no amortecimento do sistema. Ao longo dos anos diversos tipos de sela-gem tem sido desenvolvidos.

O presente trabalho tem como objetivo fazer uma análise do efeito das dimensões de selo do tipo holepattern no seu escoamento. Três modelos geométricos foram propostos, o primeiro com a geometria de dimensões já encontrada na literatura, o segundo com mudanças na altura dos cilindros e o último modelo com mudanças no diâmetro dos cilindros. A análise fluidonâmica foi realizada em apenas uma seção de 9,2 graus do selo. Foram adotadas algumas aproximações, dentre elas, um modelo isotérmico e que a superfície do rotor, base da geometria, não possui curvatura e foi tratada com uma superfície plana.

Ao final das simulações os seguintes parâmetros foram analisados associados ao vaza-mento do selo: O perfil de pressão ao longo da geometria foi obtido através do corte de 500 planos transversais ao longo do eixo axial da geometria; Os valores de tensão de cisalha-mento na parede do rotor.

Os resultados foram confrontados com os da literatura a fim de validar as aproximações propostas. Os resultados mostram que a geometria com dimensões sem modificações obteve melhores resultados para a vazão mássica, porém, se tratando dos outros parâmetros a geo-metria em que o diâmetro dos cilindros teve o seu valor dobrado, obteve melhores resultados.

Turbomachinery has been widely used in modern industry and that many studies about them have been developed. A device important is the seal found on the rotor equipment such as this ensures the sealing of the working fluid, and in some cases aids in the cushioning system. Over the years many types of seal have been developed.

This study aims to analyze the effect of the type holepattern seal dimensions.. Three geometric models have been proposed, the first geometry with the dimensions already found in the literature, the second with changes in height of the cylinders and the last model with changes in the diameter of the cylinder. The fluid dinamics analysis was performed in only a section of 9.2 degrees seal. They were adopted some approaches, among them, an isothermal model and the outer surface of the rotor base geometry, has no curvature and was treated with a flat surface.

At the end of the simulation the following parameters were analyzed in relation to seal the leak: The pressure profile along the geometry was obtained through cutting transverse planes 500 along the axial geometry; The shear stress values ??in the rotor wall.

The results were compared with the literature in order to validate the proposed approa-ches. The results show that geometry with dimensions unmodified better results for the mass flow rate, however, in the case of other parameters geometry in which the diameter of the cylinders had its double value, better results.

2.1 Exemplo de um selo híbrido. . . 21

2.2 Localização do selo em um pistão de balanceamento. . . 21

2.3 Lip Seal. . . 23 2.4 Parâmetros. . . 24 2.5 Força Radial. . . 25 2.6 Ranhuras. . . 25 2.7 Bombeamento reverso. . . 26 2.8 Nomenclatura pusher. . . 27 2.9 Nomenclatura bellow. . . 27 2.10 Equilíbrio de forças. . . 28

2.11 Vedação por anéis de compressão. . . 29

2.12 Configuração básica de selagem por anéis de compressão. . . 30

2.13 Funções básicas de um sistema de selagem sem contato. . . 32

2.14 Selo de fluxo linear. . . 33

2.15 Selo de fluxo escalonado. . . 34

2.16 Exemplo de modelo selo labirinto para reduzir redemoinhos. . . 35

2.17 Segundo exemplo de modelo selo labirinto para reduzir redemoinhos. . . 35

2.18 Selo honeycomb. . . 36

2.19 Selo hole-pattern. . . 36

2.20 Comparação da taxa da vazão entre diferentes tipos de selos. . . 37

2.21 Arranjo de selo labirinto e honeycomb. . . 38

2.22 Elemento de malha. . . 43

3.1 Selo hole-pattern gerado por Migliorini. . . 60

3.2 Recorte do selo utilizado para as simulações. . . 60

3.3 Visão lateral da geometria e por onde o fluido escoa. . . 61

3.4 Geometria 1 de base reta réplica da de Migliorini et al. (2012). . . 61

3.5 Geometria 2 com altura dos cilindros dobrada. . . 62

3.6 Geometria 3 com diâmetro dos cilindros dobrado. . . 62

3.7 Visão lateral da malha. . . 63

3.8 Refinamento na região da folga. . . 63

4.1 Perfil de temperatura ao longo da geometria. . . 66

4.2 Comparação do perfil de pressão ao longo da geometria. . . 67

4.3 Vazão mássica na saída da geometria 1. . . 68

4.4 Vazão mássica na saída da geometria 2. . . 69

4.5 Vazão mássica na saída da geometria 3. . . 69

4.6 Planos de corte. . . 70

4.7 Decaimento da pressão para a geometria 1. . . 71

4.8 Decaimento da pressão para a geometria 2. . . 71

4.9 Decaimento da pressão para a geometria 3. . . 72

4.10 Tensão de cisalhamento na parede do rotor da geometria 1. . . 73

4.11 Tensão de cisalhamento na parede do rotor da geometria 2. . . 74

3.1 Dimensões geométricas dos modelos . . . 61

3.2 Quantidade de elementos por malha . . . 62

3.3 Condição de operação . . . 63

4.1 Número de elementos e seu respectivo valor de vazão. . . 65

4.2 Comparação da vazão mássica . . . 67

4.3 Vazão mássica para todas as geometrias . . . 68

C coeficiente de amortecimento direta

c coeficiente de amortecimento cruzada

b

C matriz coeficientes amortecimento

e excêntricidade

f fator de fricção

F frequência de giro

F força reação

b

F matriz força reação

H , Hd folga, profundidade do cilindro K coeficiente de rigidez direta

k coeficiente de rigidez cruzada

b

K matriz coeficientes rigidez

L comprimento do rotor

M massa

c

M matriz massa

O centro do eixo do selo

O0 centro do eixo do rotor

P pressão dinâmica

R raio do rotor

Rg constante do gás T temperatura do gás

V velocidade linear

x eixo de coordenada x

~x vetor posição

˙

x componentexvetor velocidade

¨

x componentexdo vetor aceleração

z eixo de coordenada z

zc fator de compressibilidade do gás y eixo de coordenada y

˙

y componentey vetor velocidade

¨

y componentey do vetor aceleração

W velociade axial Símbolos Gregos

² excêntricidade

ω velocidade angular do retor

Ω velocidade angular do centro O’

ρ densidade

θ ângulo, direção circunferêncial

τ tensão cisalhante Subscritos

i , e entrada, saída

x direção do eixo de coordenadax y direção do eixo de coordenada y méd média

1. INTRODUÇÃO . . . 18 1.1 MOTIVAÇÃO . . . 18 1.2 OBJETIVO . . . 19 1.3 AGRADECIMENTOS . . . 19 2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA . . . 20 2.1 TURBOMÁQUINAS . . . 20 2.2 TIPOS DE SELAGEM . . . 22 2.2.1 LIP SEALS . . . 22 2.2.2 SELOS MECÂNICOS . . . 26

2.2.3 ANÉIS DE COMPRESSÃO PARA EIXOS ROTATIVOS E VÁL-VULAS . . . 29

2.2.4 SELOS LABIRINTOS . . . 30

2.2.4.1 Labirintos para proteção do rolamento . . . 31

2.2.4.2 Selos Labirintos de Turbo-Máquinas . . . 33

2.2.4.3 Selos honeycomb e hole-pattern . . . 35

2.3 MODELAGEM DOS SELOS . . . 38

2.3.1 BULK-FLOW . . . 39

2.3.2 CFD . . . 42

2.3.3 MODELOk-² . . . 46

2.3.3.1 Equações de Transporte para o Modelo Padrãok-² . . . 47

2.3.3.2 Modelando a viscosidade turbulenta . . . 47

2.3.4.2 Modelando a viscosidade efetiva . . . 49

2.3.4.3 Modificação para redemoinhos no modelo RNG . . . 50

2.3.4.4 Cálculo dos números inversos efetivos de Prandlt . . . 50

2.3.4.5 O termoR_²da equação de² . . . 50

2.3.4.6 Constantes . . . 51

2.3.5 HÍBRIDA . . . 52

2.3.6 ANÁLISE PRESSÃO ESTABILIDADE . . . 52

2.4 FLUIDO DINÂMICA COMPUTACIONAL . . . 55

2.4.1 PRINCIPAIS EQUAÇÕES . . . 56 2.4.1.1 Equações de Transporte . . . 56 2.4.2 EQUAÇÕES DE ESTADO . . . 58 2.4.3 MÉTODOS NUMÉRICOS . . . 58 3. METODOLOGIA . . . 59 3.1 GEOMETRIA . . . 60 3.2 MALHA . . . 62

3.3 CONDIÇÕES DE CONTORNO E INICIAIS . . . 63

4. RESULTADOS E DISCUSSÕES . . . 65

4.1 CONVERGÊNCIA DE MALHA . . . 65

4.2 ANÁLISE DO MODELO ISOTÉRMICO . . . 65

4.3 ANÁLISE DO EFEITO DA CURVATURA . . . 66

4.4 VAZÃO MÁSSICA . . . 67

4.5 PERFIL DE PRESSÃO . . . 70

4.6 TENSÃO DE CISALHAMENTO NA PAREDE . . . 72

5. CONCLUSÕES . . . 75

1 INTRODUÇÃO

De acordo com Yan et al. (2011) na indústria moderna turbomáquinas vem sendo am-plamente utilizadas. Principalmente devido ao seu alto poder de fornecimento de potência. Ao longo dos anos tornou-se importante o estudo do comportamento rotodinâmico dessas turbomáquinas pois a estabilidade do rotor está diretamente relacionada com a segurança operacional e também com a eficiência do maquinário. Para tal, pesquisas tem focado em estudos de selos e rolamentos a fim de controlar a vazão do fluido, entre as regiões de baixa e alta pressão, e além disso dar suporte ao rotor respectivamente. É muito importante consi-derar o desempenho rotodinâmica do selo e isto está relacionada com o seu design.

Segundo Flitney (2011) selos rotodinâmicos são os sucessores dos chamados selos labi-rintos na indústria de turbomáquinas. Um dos principais problemas dos selos labilabi-rintos é a formação de redemoinhos que contribuem para a instabilidade do rotor. Segundo Benc-kert and Wachter (1980) esse problema foi primeiro identificado em 1980. Como forma alternativa a esse problema foram desenvolvidos selos com cavidades axiais, os então cha-mados selos rotodinâmicos. Um dos primeiros selos rotodinâmicos a serem fabricados são os de formato de cavidade honeycomb ou favo de mel. Outro exemplo de selo rotodinâmico são os chamados selos hole-pattern no qual suas cavidades são em formato cilíndrico. A grande vantagem desses selos é que eles inibem o efeito de instabilidade dos redemoinhos produzidos nos selos labirinto e além disso amortecem o rotor.

1.1 MOTIVAÇÃO

Selos anulares são utilizados em muitos tipos de compressores e turbinas com o objetivo de evitar o vazamento do fluido de trabalho que muitas vezes é inflamável, como por exemplo o metano, e aumentar a eficiência do rotor diminuindo sua instabilidade. As forças de reação

geradas nas pequenas lacunas do selo, as cavidades, influenciam nas suas características rotodinâmicas como a vazão mássica, a tensão cisalhante na superfície do rotor e o perfil de pressão ao longo do selo. Para este trabalho foi escolhido o selo do tipo hole-pattern. O selo hole-patternapresenta suas cavidades em formato cilíndrico.

A principal motivação deste trabalho esta em fazer uma análise da vazão mássica, perfil de pressão e tensão cisalhante na superfície do rotor quando alterada a geometria do selo a fim de otimizar estudos que já foram feitos e assim encontrar um modelo geométrico ótimo. Utiliza-se um modelo de referência segundo Migliorini et al. (2012) e a partir dai foram pro-postas mudanças na profundidade dos cilindros, ou seja, na sua altura e também no diâmetro dos cilindros.

1.2 OBJETIVO

O presente trabalho tem como objetivos:

• Conduzir uma análise dos parâmetros: Vazão mássica, perfil de pressão ao longo do selo e tensão cisalhante na parede do rotor.

• Estabelecer relação de tais parâmetros com a estabilidade.

• Analisar os parâmetros para duas geometrias de selos diferentes.

• Buscar dimensões geométricas de selos de modo a otimizar tais parâmetros.

1.3 AGRADECIMENTOS

Agradecemos a PETROBRAS por ceder as licenças de uso dos programas computacio-nais no âmbito do projeto “Desenvolvimento de metodologias e ferramentas numéricas para a obtenção de coeficientes dinâmicos de selos internos de compressores centrífugos” (pro-cesso 2012/00251-0).

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Nesta revisão bibliográfica serão abordados os tipos mais comuns e mais importantes de selagem mecânica e selagem para eixos rotativos. Todas as seções envolvendo selagem mecânica e eixos rotativos levam em consideração as informações fornecidas por Flitney (2011). Serão apresentados diversos métodos de selagem, seus princípios básicos de fun-cionamento e exemplos de aplicação na indústria. Além disso, será também apresentado a modelagem para o tipo de selagem proposto, a metodologia utilizada por Migliorini et al. (2012) e principais equações e conceitos da fluido dinâmica computacional.

2.1 TURBOMÁQUINAS

De acordo com Nogueira B (2010) máquina de Fluxo (turbomáquina) pode ser definida como um transformador de energia (sendo necessariamente o trabalho mecânico uma das formas de energia) no qual o meio operante é um fluido que, em sua passagem pela máquina, interage com um elemento rotativo, não se encontrando, em qualquer instante, confinado. Todas as máquinas de fluxo funcionam, teoricamente, segundo os mesmos princípios, o que traz a possibilidade de utilização do mesmo método de cálculo. De fato, esta consideração é plenamente válida apenas quando o fluido de trabalho é um fluido ideal, já que, na re-alidade, propriedades do fluido, tais como volume específico e viscosidade, podem variar diferentemente de fluido para fluido e, assim, influir consideravelmente nas características construtivas dos diferentes tipos de máquinas. Como exemplos de máquinas de fluxo, citam-se: as turbinas hidráulicas, os ventiladores, as bombas centrífugas, as turbinas a vapor, os turbocompressores, as turbinas a gás e etc.

Este trabalho analisa um dos componentes de tais máquinas, o selo. O selo é encontrado junto ao rotor, tem a finalidade de garantir a selagem do fluido de trabalho e além disso

alguns tipos de selagem garantem o amortecimento do sistema. Nas Figuras 2.1 e 2.2 pode-mos observar o exemplo de um selo híbrido, parte do tipo holepattern parte labirinto e sua localização em um pistão de balanceamento.

Figura 2.1: Exemplo de um selo híbrido. Fonte: Tapajoz et al. (2013)

Figura 2.2: Localização do selo em um pistão de balanceamento. Fonte: Tapajoz et al. (2013)

2.2 TIPOS DE SELAGEM

Segundo Flitney (2011), selagem de eixos rotativos abrange uma grande gama de ma-quinários e aplicações, incluindo equipamentos domésticos, todos os tipos de mama-quinários automotivos e de plantas termelétricas, bombas industriais, turbinas a gás de aeronaves, tur-binas para geração de energia e uma ampla variedade de compressores industriais.

Cada aplicação representa um conjunto individual de demanda baseado no espaço, peso, custo e confiabilidade requerida do usuário. Para cada aplicação estão envolvidos um número de tipos de selos rotativos e cada um tem o seu lugar baseado na sua aplicação específica. Cada classe de aplicação de selos pode variar amplamente. Então esse selos mecânicos po-dem ser encontrados desde máquinas de lavar domésticas até em turbinas a gás de aeronaves. Como dito anteriormente cada aplicação com sua gama de selos específicos. Por exemplo, em pressões baixas existe a opção entre selos mecânicos ou os chamados lip seals. Exemplos para esse caso incluem eixo da poupa de um navio, bombas hidráulicas e eixos de motores. A escolha vai depender do fabricante, da preferência do usuário e também pode variar de acordo com o desenvolvimentos de benefícios de um selo em relação ao outro. Um exem-plo pertinente é a selagem a seco para virabrequins automotivos; a busca pela redução do consumo de energia fez deste selo uma alternativa aos lips seals.

É importante portanto, na escolha de um selo, considerar todas as possibilidades para a aplicação em questão.

2.2.1 LIP SEALS

Ainda de acordo com Flitney (2011) os chamados lip seals utilizados hoje em dia são uma evolução dos lip seals de couro usados na década de 1930. O desenvolvimento foi am-plamente empírico por pelo menos 50 anos e somente em 1990 que uma análise matemática detalhada dos selos nos forneceu uma base para compreender detalhadamente como estes selos funcionam.

Os tipo de vedação de uso comum podem ser divididas em 4 grandes categorias:

• Lips Sealelastômero, são utilizados para selar eixos contra a saída ou entrada de líqui-dos.

• Plástico, principalmente politetrafluoretileno (PTFE), são utilizados como alternativa ao elastômero onde a resistência do fluido ou a falta de lubrificação podem ser um problema.

• Baixo atrito ou selagem para poupar energia. Podem ser elastômeros ou PTFE.

• Selagem de rolamento, que são derivados do lip seal, usualmente operam em carga baixa e tem como função primária a exclusão de contaminantes no rolamento.

É importante lembrar que esta selagem utilizando plástico e elastômero, estes materiais, são apenas uma parte do selo. Na Figura 2.3 podemos observar um exemplo de Lip Seal e na Figura 2.4 temos um esquema de seu funcionamento.

Figura 2.3: Lip Seal.

Fonte: www.sealshop.eriks.uk/t/productrotaryelastomerseals

Observando a Figura 2.4 é preciso notar alguns parâmetros importantes como o ponto de contato entre o selo e o eixo e também o ângulo que este faz com a face do fluido, no caso óleo, e com a face do ar. De acordo com RLHudsonT M, o ângulo entre o ponto de contato e o lado do óleo é conhecido como scraper angle e o ângulo entre o ponto de contato e o lado do ar é conhecido como barrel angle. Para garantir a selagem, ou seja, prevenir qualquer vazamento o scraper angle deve ser maior (mais íngreme) do que o barrel angle.

Para garantir o contato entre o selo e o eixo, o selo deve sempre ter um diâmetro interno menor que o diâmetro do eixo. A diferença entre o diâmetro interno do eixo e o diâmetro

Figura 2.4: Parâmetros. Fonte: RLHudsonT M

do eixo é conhecido como interferência. Esta interferência é o que permite o selo funcionar como um bloqueador de fluido e assim garantir que não haja vazamento.

A chamada garter spring na Figura 2.4 é uma mola que, em muitos selos desse tipo, garante maior interferência. É uma mola helicoidal em forma de anel. Entre suas funções podemos destacar segundo RLHudsonT M:

• Contribui para as forças de selagem entre o selo e o eixo.

• Ajuda a garantir um carregamento correto mesmo se o material do selo esta compro-metido.

A utilização ou não desta mola vai depender do fluido ao qual se quer vedar. Por exemplo, se o fluido de trabalho é um fluido muito viscoso, como graxa, não há a necessidade da utilização pois a graxa é um fluido que não escoa facilmente. Se o fluido de trabalho é água, há a necessidade do uso pois a água é um fluido que escoa facilmente e por isso a mola é necessária para garantir a vedação.

Segundo Flitney (2011), o mecanismo de selagem do chamados lip seals vem sendo temas de pesquisas dos últimos 50 anos. A existência de uma fina camada de óleo entre o ponto de contato foi primeiro demonstrado em 1957 por Jagger (1957). Para confirmar as hipóteses deste trabalho foi necessário o desenvolvimento de técnicas experimentais e numéricas modernas.

Uma vez instalado o selo no rotor, devido ao que chamamos anteriormente de interferên-cia, o ponto de contato irá exercer uma força radial com o seguinte perfil da Figura 2.5, sobre o eixo.

Figura 2.5: Força Radial. Fonte: Flitney (2011)

De acordo com RLHudsonT M o selo de elastômero é formulado para ser submetido a um grau de desgaste. Devido ao que chamamos de barrel angle e scraper angle a superfície do ponto de contato terá ranhuras com o seguinte perfil, Figura 2.6.

Figura 2.6: Ranhuras. Fonte: Flitney (2011)

Devido à geometria e angulação do ponto de contato as ranhuras do lado do ar são maio-res do que as do lado do óleo. O maio-resultado disto é um efeito de bombeamento reverso. Como as ranhuras pelo lado do ar são maiores o bombeamento reverso pelo lado do óleo é mais forte, Figura 2.7. Isso garante a selagem.

Figura 2.7: Bombeamento reverso. Fonte: Flitney (2011)

Lip Seal padrão possui algumas limitações. Segundo, Vogt and Schreiner (2003) tais selos são apenas adequados para uma pressão de 0.5 bar. Enquanto alguns fabricantes como Horve (1991) recomendam um pressão máxima de 0.3 bar.

2.2.2 SELOS MECÂNICOS

De acordo com Flitney (2011) um selo mecânico é um dispositivo que utiliza um par de faces, uma estacionária outra em rotação, para formar uma selagem dinâmica. As faces são mantidas em contato geralmente através da combinação entre a força de uma mola e a pressão do sistema. Uma das faces fica localizada no eixo e a outra face, carregada pela mola, é permitida flutuar o suficiente para manter a selagem requerida nas face de contato.

Atualmente este tipo de selo é um dos métodos mais comuns para selagem de eixos rotativos. Esta presente na maioria das máquinas rotativas tais como bombas centrífugas, compressores rotativos entre outros. Existe uma grande variedade de selos deste tipo. Para selagem de altas pressões, fluidos perigosos, dois ou mais selos deste tipo podem ser utiliza-dos em uma grande variedade de configurações.

O método de operação básico deste selo será discutido usando como referências as Figu-ras 2.8 e 2.9.

Figura 2.8: Nomenclatura pusher. Fonte: Flitney (2011)

Figura 2.9: Nomenclatura bellow. Fonte: Flitney (2011)

Um típico selo mecânico do tipo pusher como da Figura 2.8 consiste de uma face que rotaciona e uma face estacionária. Para a maioria dos selos do tipo pusher a face que rotaci-ona também se move na direção axial porém é mantida no lugar por uma mola ou conjunto de molas. Neste tipo de selo há um elemento secundário de selagem chamado de selagem dinâmica.

Um selo mecânico do tipo bellow é similar porém não utiliza a selagem secundária dinâ-mica e requer apenas a vedação secundária estática. Isso proporciona mais opções na seleção do material vedante e geometria o que é uma vantagem particular em altas temperaturas.

fluido entre as faces. Esse filme de fluido geralmente esta abaixo de1µm, ordem semelhante à dos picos máximos de rugosidade da superfície. A configuração do selo deve ser tal que é preciso obter uma lubrificação adequada e um espaço fino o suficiente para manter a vedação. A face que flutua pode ser considerada como um pistão que é submetido a um número de forças para se manter em equilíbrio, Figura 2.10.

Figura 2.10: Equilíbrio de forças. Fonte: Flitney (2011)

Onde segundo Flitney (2011) temos:

Fspr i ng+ F wg asket+ Pf l ui dA1= Pt ot alA2 (2.1)

Um fator importante na forças de pressão é o que é chamado de balanço hidráulico do selo. Na Figura 2.8 temos a pressão agindo sobre a áreaA1que possui reação pela pressão da

sistema. Esse caso é conhecido como selagem em desequilíbrio e só é adequada para baixas pressões. Porém, se o contrário acontece, ou seja, A2 maior que A1 como a Figura 2.10

temos uma selagem equilibrada. Isso permite que o projetista possa compensar a pressão do sistema e também alcançar um melhor controle dos desvios entre uma face e outra.

2.2.3 ANÉIS DE COMPRESSÃO PARA EIXOS ROTATIVOS E VÁLVULAS

De acordo com Flitney (2011) o conceito deste tipo de selagem data do começo da re-volução industrial. Apesar de ser sempre ser referência de uma forma ultrapassada de se-lagem o desenvolvimento de novos materiais tem transformado o desempenho do conceito, principalmente na área industrial, por isso ainda continua sendo a método mais popular de selagem.

Como o nome já diz, trata-se de uma série de anéis, em geral de material macio, que são comprimidos garantido a vedação. Um exemplo é mostrado na Figura 2.11.

Figura 2.11: Vedação por anéis de compressão. Fonte: Flitney (2011)

Em geral os materiais para a fabricação desses anéis são fibras naturais, tais como algo-dão e linho para utilização em baixas temperatura e fluidos não agressivos e amianto para promover uma maior resistência química e possibilidade de operações de trabalho em altas

temperaturas. Nos últimos 30 anos amianto vem sido substituído e um número de fibras sin-téticas e materiais vem sido progressivamente desenvolvidos. Materiais como fibra de vidro também são utilizados para resistência térmica e química.

Até metade do século 20 este método de selagem era o mais comum para eixo rotati-vos. E muitas áreas vem sendo substituído por selos mecânicos por serem mais compactos e proporcionarem um menor vazamento. Apesar disso alguns serviços ainda preferem a uti-lização destes selos como por exemplo os serviços de emergência como bomba d’água para conter incêndio. A razão é que este tipo de selagem não promove uma falha súbita e tem uma rápida adaptação para suprir o curto tempo de reação das emergências. A maior vantagem deste tipo de selagem em relação aos outros é que não é preciso um aparato complexo para substituição.

O funcionamento deste tipo de selo é bem simples e pode ser demonstrado pela Figura 2.12. Uma força de compressão é aplicada nos anéis de forma que haja uma expansão radial criando assim uma força de selagem. A força de compressão vai depender da aplicação e também da velocidade com que gira o eixo.

Figura 2.12: Configuração básica de selagem por anéis de compressão. Fonte: Flitney (2011)

2.2.4 SELOS LABIRINTOS

A selagem utilizando selos labirintos é um tipo de selagem com folga e tem sido utilizado extensivamente em eixos rotativos com larga variedade de tipos como discutido nas seções anteriores. Um problema óbvio deste tipo de selagem é que ele não promove uma selagem completa do vazamento. Porém, de acordo com Flitney (2011), são utilizados por algumas

razões, tais como:

• Baixo fator de fricção

• Alta velocidade

• Ausência de desgaste, especialmente se estiver operando com gás em alta velocidade

• Capacidade de lidar com contaminações com o mínimo de desgaste

Como o nome já diz, um selo labirinto funciona promovendo um caminho com obstácu-los para inibir o vazamento. Existem duas principais áreas de utilização deste tipo de selo. A primeira esta na proteção do rolamento em que a contaminação do líquido é um problema e a segunda é a respeito da pressão de selagem em turbo máquinas.

2.2.4.1 Labirintos para proteção do rolamento

Para atender os requisitos de selagem adequado para uma determinada situação o enge-nheiro deve combinar 8 funções básicas desenvolvidas por Trutnovsky (2013). A combina-ção vai variar com a situacombina-ção. As oito funções estão representadas na Figura 2.13.

1. Rejecting: Prevenir o respingo direto do líquido no gap e garantir o acúmulo apenas na parte da frente do gap.

2. Spraying-off : Divergir o fluido ou aderir junto ao eixo.

3. Shielding: Proteger a entrada do gap: e calhas contra respingos diretos. 4. Diverting: Prevenir o líquido do processo ou mante-lo longe da saída. 5. Throttling: Inibir o líquido do processo utilizando aberturas estreitas. 6. Back-pumping: Bombear de volta o líquido enquanto o eixo estiver girando. 7. Collecting: Coletar o líquido por calha o obter selagem por câmara de selagem. 8. Draining: Líquido ingressado na câmara de vedação é drenado (passivo) ou bombeado

Figura 2.13: Funções básicas de um sistema de selagem sem contato. Fonte: Flitney (2011)

2.2.4.2 Selos Labirintos de Turbo-Máquinas

Partindo de Flitney (2011) os selos labirintos utilizados em turbo máquinas possuem um conceito diferente daqueles utilizados para a proteção do rolamento. Estes são utilizados para selar a pressão entre as fases ou secções de uma máquina. Podendo essa máquina ser uma turbina a vapor ou compressor de gás rotativo.

Um série de dentes são dispostos de forma a formar um labirinto estreito entre o rotor e o estator da máquina. Uma queda de pressão irá ocorrer através de cada gap. A configuração desse labirinto pode ser linear, Figura 2.14, também conhecida como seal-through design ou de forma escalonada conhecida também como stepped arrangement, Figura 2.15. A confi-guração de forma escalonada oferece um caminho mais complexo para o fluido e portanto uma melhor redução de pressão uma vez que impede que o gás se expanda além do volume entre os dentes. Em comparação com os selos que utilizam dentes escalonados, os que utili-zam um labirinto linear possuem um vautili-zamento de 20-30 (por cento) maior para dimensões equivalentes. A desvantagem do selo que utiliza dentes escalonados é que estes possuem uma fabricação e montagem mais complexa e por esses motivos são menos comuns.

Figura 2.14: Selo de fluxo linear. Fonte: Flitney (2011)

Os dentes dos labirintos são desenhados para terem uma pequena folga com a contra face e são utilizados com grandes maquinários rotativos onde existe a possibilidade de

instabili-Figura 2.15: Selo de fluxo escalonado. Fonte: Flitney (2011)

dade e vibrações principalmente ao ligar e desligar o maquinário. Por estas razões parte do labirinto deve ser fabricado de um material que desgasta.

Existe um considerável número de publicações a respeito do cálculo do vazamento neste tipo de selo, como em Komotori and Mori (1971). Entretanto os cálculos utilizando os mo-delos bulk-flow não são inteiramente satisfatórios por isso uma modelagem CFD é necessária para obter valores satisfatórios.

Um dos problemas para o cálculo da vazão neste tipo de selo esta relacionado a presença de redemoinhos pelos labirintos. Esse efeito também contribui para a instabilidade do rotor. Este problema foi primeiro identificado em 1980 por Benckert and Wachter (1980). Apesar disso, a maioria dos fabricantes de compressores e turbinas tem desenvolvido dispositivos para frear a formação destes redemoinhos. Dois exemplos são mostrados na Figura 2.16 e 2.17.

Para reduzir ainda mais o vazamento e também resolver os problemas de instabilidade uma nova modalidade de selos tem se desenvolvido tais como, selos honeycomb e os selos hole-pattern.

Alguns trabalhos podem ser citados a respeito deste tipo de selagem. Witt et al. fez uma análise híbrida entre o método bulk flow e a abordagem pela fluido dinâmica compu-tacional para um escoamento incompressível neste tipo de selo. Cizmas (2013) analisou os

Figura 2.16: Exemplo de modelo selo labirinto para reduzir redemoinhos. Fonte: Romero (2005)

Figura 2.17: Segundo exemplo de modelo selo labirinto para reduzir redemoinhos. Fonte: De Choudhury (2005)

coeficientes rotodinâmicos neste tipo de selagem.

2.2.4.3 Selos honeycomb e hole-pattern

Segundo Flitney (2011) os selos rotodinâmicos vieram em adição aos selos labirintos. O benefício trazido por estes selos são que eles inibem a formação de redemoinhos rotodinâ-micos e podem ser utilizados para amortecer o rotor.

Selos honeycomb são utilizados em turbinas a gás como também em turbinas a vapor e compressores rotativos. O material varia de acordo com as condições de operação. Um exemplo de selo honeycomb utilizado em turina a gás esta mostrado na Figura 2.18.

Figura 2.18: Selo honeycomb. Fonte: Flitney (2011)

Um valor típico para a profundidade da cavidade em formato honeycomb é de 3mm, entretanto, a profundidade pode ser um importante fator que afetada o desempenho de amor-tecimento do selo.

O selo hole-pattern possui princípio similar ao selo honeycomb porém é fabricado per-furando as cavidades formando assim, buracos cilíndricos. Isso proporciona algumas van-tagens em relação ao manuseio e à manutenção. Um típico compressor industrial com selo holepatterné mostrado na Figura 2.19.

Figura 2.19: Selo hole-pattern. Fonte: Flitney (2011)

A taxa de vazamento relativo entre diferentes designs de selo calculadas por Childs (2005) pode ser visualizada na Figura 2.20. Todas a medidas foram feitas em um mesmo

valor de folga e mostra que o selos labirinto e hole-pattern possuem valores similares para a taxa de vazamento.

Figura 2.20: Comparação da taxa da vazão entre diferentes tipos de selos. Fonte: Childs (2005)

Na prática, selos labirintos são utilizados com folgas menores do que outros selos o que promove uma menor taxa de vazamento. Uma compressão com selos do tipo honeycomb é que em compressores ele pode ficar preenchido por detritos do gás e assim convertendo em uma selagem lisa. Como podemos visualizar na Figura 2.20 este é o pior caso para taxa de vazamento.

Existe ainda uma abordagem que combina os benefícios relativos a ambos os selos, la-birintos e honeycomb, Figura 2.21. O rotor é provido de um amortecimento adicional o que permite operações estáveis e folgas mais estreitas como nos selos labirintos.

Figura 2.21: Arranjo de selo labirinto e honeycomb. Fonte: Flitney (2011)

Ainda na categoria de selagem com folga, de acordo com Flitney (2011), existem diver-sos outros tipos. Podemos citar a selagem escova, selagem folha, viscoselagem, selagem circunferêncial, selagem centrífuga entre muitos outros.

Neste trabalho será analisado selos do tipo hole-pattern e seu comportamento quando modificado parâmetros de sua geometria.

Alguns trabalhos associados ao selo hole-pattern podem ser citados. Yan et al. (2011) fez uma análise das características rotodinâmicas de um selo hole-pattern usando uma abor-dagem transiente pela fluido dinâmica computacional. Migliorini et al. (2012) analisou as mesmas características mas com uma abordagem híbrida entre o método bulk flow e a abor-dagem CFD. Pode ser citado Childs and Wade (2004) que também calculou as características rotodinâmicas para este tipo de selo.

2.3 MODELAGEM DOS SELOS

De acordo com Tapajoz et al. (2013) selos hole-pattern já possuem uma utilização bem estabelecida em compressores e turbo-máquinas mas apesar disso não existem ferramen-tas eficazes para se calcular os coeficientes rotodinámicos deste tipo de selo. Atualmente, utilizam-se dois métodos: o método bulk flow e o método de dinâmica dos fluidos computa-cional (do inglês Computational Fluid Dynamics - CFD).

Segundo Ha and Choe (2014) o modelo bulkflow é baseado na análise da equação de lubricantes de Hirs (1973) que simplifica a equação de Navier-Stokes. Este método permite uma análise em um tempo mais curto porém é necessário um tempo maior para a desen-volver o código de análise. Além disso esse método não é adequado para geometrias mais complexas de selos e por isso a abordagem por CFD é a mais adequada.

Nordmann and Dietzen (1989) conduziram uma análise por diferenças finitas 3D para os coeficientes de rigidez e amortecimento de um selo com eixo excêntrico e desde então muitas analises CFD tem sido desenvolvidas. Ha (2006a) e Ha (2006b) avaliou os vazamentos de se-los para melhorar a eficiência dos resultados pelo método bulk flow usando um software CFD comercial. Rhode et al. (1992) e Moore (2003) calcularam as forças rotodinâmicas de um selo labirinto usando suas próprias programas CFD desenvolvidos. Rao and Saravanokumar (2006) adotou uma análise por diferenças finitas usando um programa CFD comercial para determinar os coeficientes de rigidez e amortecimento no plano anular de um selo utilizado em bombas de alta velocidade criogenica.

Para este trabalho foi escolhido uma análise CFD utilizando o software ANSYS 15.0 para a determinação da vazão mássica, perfil de pressão ao longo do selo e comportamento da tensão cisalhante no superfície do rotor.

2.3.1 BULK-FLOW

De acordo com Hsu and Brennen (2002) o modelo é baseado nas equações de lubrifi-cantes de Hirs (1973). Este modelo é amplamente utilizado como ferramenta para analises rotodinâmica com domínio computacional relativamente simples. Como apresentado por Childs (1989), o modelo bulk flow assume que as três dimensões, instáveis, de um escoa-mento turbulento em um anel pode ser precisamente aproximado reduzindo as dimensões do escoamento de três para duas usando uma simples correlação entre tensão cisalhante e a média das velocidades, e tratando o escoamento rotodinâmico como uma perturbação linear no escoamento principal.

Ao assumir que o escoamento pode ser reduzido de três para duas dimensões implica que as equações do escoamento entre o rotor e o estator podem ser calculadas pela média sem

um erro excessivo.

De acordo com Migliorini et al. (2012), seguindo a derivação de Kleynhans (1996) para modelo isotérmico, dois volumes de controle para um selo honeycomb, as equações simpli-ficadas de Continuidade 2.59, Momento Axial 2.3, Momento Circunferencial 2.4 e Equação de Estado 2.5 para um selo hole-pattern são:

0 = ∂ ∂t[ρ(H + γcHd)] + 1 R ∂ ∂θ[ρU H] + ∂ ∂Z[ρW H] (2.2) 0 = ρH∂W_∂t +ρU H R ∂W ∂θ + ρW H ∂W ∂Z + H ∂P ∂Z + τsz+ τr z (2.3) 0 = ρH∂U_∂t +ρU H R ∂U ∂θ + ρW H ∂U ∂Z + H R ∂P ∂θ + τsθ+ τrθ (2.4) P = ρzcRgT (2.5)

As condições de contorno, podem ser determinadas pelas equações de Bernoulli assu-mindo perda de pressão viscosa na entrada e na saída:

Pi = P (0) =1 + ξi 2 ρW 2 (0) (2.6) Pe− P (L) =1 − ξe 2 ρW 2_{(0) (2.7)}

cisalhante na parede com as variaveis bulk-flow: τsz+ τr z= 1 2ρW [Usfs+Urfr] (2.8) τsθ+ τrθ=1 2ρ[UUsfs+ (U − Rω)Urfr] (2.9)

A solução para as equações bulk-flow começam perturbando as variáveis do escoamento

φ = [H,W,P,U], onde:

φ = φ0(z) + ²φ1(z,θ,t) (2.10)

Onde²é a excentricidade entre o eixo do rotor e o do selo. As equações são separadas em dois termos contendo²0 (equações de ordem zero) e termos contendo ²1 (equações de primeira ordem). As equações de ordem zero representam o estado base do escoamento sem pertubações enquanto as equações de primeira ordem as pertubações do escoamento devido a rotação do rotor. Para este método, as equações de ordem zero não são necessárias pois o estado base é determinada pela análise CFD.

Seguindo Nelson (1985) a função para a folga entre o rotor e o estator assumindo uma órbita elíptica para o rotor é:

h1= −x cos( ¯Ω¯t)cos(θ) − y sen( ¯Ω¯t)sen(θ) (2.11)

Assumindo uma composição harmônica:

¯

φ1= [ ¯φxccos( ¯Ω¯t) + ¯φxssen( ¯Ω¯t)]cos(θ) + [ ¯φy scos( ¯Ω¯t) + ¯φy ssen( ¯Ω¯t)]sen(θ) (2.12)

Substituindo 2.12 nas equações de primeira ordem e equacionando coeficientes para

cos( ¯Ω¯t),sen( ¯Ω¯t),cos(θ)e sen(θ) produzem 12 equações diferenciais ordinárias de primeira ordem.

As conclusões de Migliorini et al. (2012) nos diz que examinando as equações de pri-meira ordem podemos notar os seguintes itens:

• A solução de primeira ordem é inteiramente dependente das variáveis base do esco-amento. A precisão das variáveis base do escoamento irão controlar a precisão da pertubação da solução.

• O modelo de tensão cisalhante viscosa de Hirs relaciona a tensão cisalhante na parede com as variáveis de fluxo de massa principal mas não necessariamente requer um modelo de fator de fricção explícito para determinar fse fr.

O problema com a estratégia deste modelo é que os modelos analíticos disponíveis não tem se mostrados muito precisos e confiáveis. Entretanto, esta última abordagem se mostra promissora.

2.3.2 CFD

Para este trabalho foi escolhido uma abordagem através da fluido dinâmica computacio-nal utilizando o software ANSYS CFX R15.0.

De acordo com Ansys (2012), as soluções analítica das equações de Navier-Stokes exis-tem apenas para escoamentos simples e considerando condições ideais. Para obter a solução de escoamentos reais, uma abordagem numérica deve ser adotada onde as equações são substituídas por aproximações algébricas que podem ser resolvidas por métodos numéricos. ANSYS CFX utiliza o método dos volumes finitos que primeiro discretiza o espaço uti-lizando uma malha. A malha é utilizada para construir volumes finitos, que são utilizados para conservar quantidades relevantes como a massa, momento, energia e etc.

Para ilustrar a metodologia dos volumens finitos, considere as equações de conservação da massa e momento expressas em coordenadas Cartesianas:

∂ρ ∂t + ∂ ∂xj (ρUj) = 0 (2.13) ∂ ∂t(ρUi) + ∂ ∂xj (ρUjUi) = − ∂P ∂xi + ∂ ∂xj µ µe f f µ∂U i ∂xj +∂Uj ∂xi ¶¶ (2.14)

Diver-gência de Gauss é aplicado para converter integrais no volume envolvendo operadores di-vergentes e gradientes para integrais na superfície. Se o volume de controle não se deforma no tempo, então as derivadas no tempo podem sair das integrais de volume e as equações integrais se tornam: d d t Z VρdV + Z S Ujd nj= 0 (2.15) d d t Z VρUidV + Z SρUj Uid nj= − Z S P d nj+ Z Sµe f f µ∂U i ∂xj + ∂Uj ∂xi ¶ d nj+ Z V SUidV (2.16)

onde V e S são respectivamente as regiões de volume e superfície de integração, ed nj são os componentes diferenciais Cartesianos do vetor normal para fora da superfície. As integrais no volume representam os termos fontes ou de acumulação, e as integrais de super-fície representam a soma dos fluxos.

O próximo passo do algoritmo numérico é discretizar as integrais de volume e superfície. Para ilustrar este passo, considere um único elemento como mostrado na Figura 2.22.

Figura 2.22: Elemento de malha. Fonte: Ansys (2012)

específicos em cada setor e então integrando esse valores por todo setor que contribui para o volume de controle. Os termos de superfície são convertidos em sua forma discreta primeiro aproximando os fluxos nos pontos de integração, ipn, onde estão localizados no centro de cada superfície. Depois de discretizar as integrais de superfície e volume, as equações se tornam: V µρ − ρ0 ∆t ¶ +X i p ˙ mi p= 0 (2.17) V µρU i− ρ0U_i0 ∆t ¶ +X i p ˙ mi p(Ui)i p= X i p (P∆ni)i p+ X i p µ µe f f µ∂U i ∂xj + ∂Uj ∂xi ¶ ∆nj ¶ i p + SUiV (2.18)

onde m˙i p = (ρUj∆nj)i p, V é o volume de controle, ∆t é o passo no tempo, ∆nj é o vetor para fora da superfície discretizado, o subscritoi p denota a avaliação em um ponto de integração, somatórios são em torno de todos os pontos de integração do volume de controle, e o subscrito0 refere-se ao passo no tempo antigo. Note que foi assumido o esquema de primeira ordem regressivo de Euler nestas equações, apesar de um esquema de segunda ordem ser usualmente utilizados para problemas transientes.

Muitas aproximações discretas desenvolvidas para CFD são baseadas em series de ex-pansão de aproximação de funções contínuas (assim como as series de Taylor). A ordem de precisão da aproximação é determinada pelo expoente do espaçamento da malha ou pelo fator do espaço no tempo do maior termo da parte truncada da serie de expansão, que é o pri-meiro termo excluído da aproximação. O ANSYS CFX utiliza aproximações com precisão de segunda ordem sempre que possível.

Os campos de solução e outras propriedades são armazenados nos nós da malha. Entre-tanto, para validar vários termos, o campo de solução ou gradientes de solução devem ser aproximados nos pontos de integração. O ANSYS CFX utiliza elementos finitos de funções de forma para gerar essas aproximações. Elementos finitos de funções de forma descrevem

a variação da variávelφde um elemento da seguinte forma: ϕ = Nnó X i =1 Niϕi (2.19)

ondeNi é a função de forma para o nói eϕi é o valor deϕno nói. O somatório é em torno de todos os nós dos elementos. As funções de forma utilizadas no ANSYS CFX são lineares em termos de coordenadas parametrizadas.

Em algumas situações, gradientes são avaliados nos nós. ANSYS CFX utiliza o teorema da divergência de Gauss para avaliar esses gradientes:

∆ϕ = 1

V

X

i p

(ϕ∆~n)i p (2.20)

O esquema para os termos de advecção implementados no ANSYS CFX são da forma:

ϕi p= ϕi p+ β∇ϕ.∆~r (2.21)

Os valores deβe∆ϕvai depender do esquema adotado.

Para este trabalho foi o adotado o Esquema de Alta Resolução (High Resolution Scheme). Nesse esquema é utilizado um fórmula não linear para βem cada nó, calculado para ser o mais próximo possível de 1. O fluxo advectivo é então avaliado utilizando os valores deβ e∆ϕdo nó seguinte. O valor deβé baseado nos princípios de Barth and Jespersen (1989). Essa metodologia envolve primeiramente computar umϕmi n e umϕmax em cada nó. Em seguida, para cada ponto de integração em volta do nó, as equações são resolvidas para β para garantir que não ultrapasseϕmi n eϕmax.

Seguindo a abordagem padrão de elementos finitos, funções de forma são utilizadas para avaliar derivações espaciais para todos os termos difusivos. Por exemplo, para uma derivação na direçãoxno ponto de integraçãoi p:

∂ϕ ∂x|i p= X n ∂Nn ∂x |i pϕn (2.22)

das funções de forma podem ser expressadas em termos das derivações locais por uma matriz transformação Jacobiana:        ∂N ∂x ∂N ∂y ∂N ∂z        =        ∂x ∂s ∂y∂s ∂z∂s ∂x ∂t ∂y∂t ∂z∂t ∂x

∂u ∂u∂y ∂u∂z

       −1       ∂N ∂s ∂N ∂t ∂N ∂u        (2.23)

Para a solução numérica deste trabalho foi também utilizado precisão dupla. Precisão dupla permite maior precisão numérica nas operações matemáticas. São utilizados para do-mínios que envolvem grandes variações de dimensões, razão de aspecto e etc.

Quando a precisão dupla esta ativada o uso de memória computacional é o dobro, em outras palavras, utilizando precisão simples o custo computacional é a metade do que quando utiliza-se precisão dupla.

2.3.3 MODELOk-²

De acordo com Fluent (2006) este é o mais simples “modelo completo” de turbulência são dois modelos de equações em que a solução de duas equações de transporte separadas permite determinar de forma independente a velocidade turbulenta e escalas de comprimento. O modelo padrão k-² proporciona robustez, econômia e razoável precisão para a maioria dos escoamentos turbulentos e isso explica sua popularidade em simulações de escoamentos industriais envolvendo turbulênica e tranferênica de calor.

Com a popularidade do modelo seus pontos fortes e fracos foram sendo reconhecidos e com isso otimizações tem sido desenvolvidas a fim de melhorar o modelo. Uma variante desse modelos que podemos citar é o RNG-k-² que foi adotado para as simulações deste trabalho e será melhor discutindo mais à frente.

O modelo padrãok-²é um modelo semi-empírico baseado em modelo de equações de transporte para a energia cinética turbulenta (k) e sua taxa de dissipação (²). O modelo da equação de transporte paraké derivada de uma equação exata enquanto o modelo de equação de transporte para²é obtida usando racíocinio físico.

os efeitos da viscosidade molecular são desprezíveis. Portanto, o modelo k-² é somente válido para escoamentos inteiramente turbulentos.

2.3.3.1 Equações de Transporte para o Modelo Padrãok-²

A energia cinética turbulenta, k, e a taxa de dissipação, ², são obtidas pelas seguinte equações de transporte: ∂ ∂t(ρk) + ∂ ∂xi (ρkui) = ∂ ∂xj ·µ µ +µt σk ¶∂k ∂xj ¸ +Gk+Gb− ρ² − YM+ Sk (2.24) ∂ ∂t(ρ²) + ∂ ∂xi (ρ²ui) = ∂ ∂xj ·µ µ +µt σ² ¶ ∂² ∂xj ¸ +C1²² k(Gk+C3²Gb) −C2²ρ ²2 k + S² (2.25)

Nessa equaçãoGk representa a geração de energia cinética turbulenta devido ao principal gradiente de velocidade. Gb é a geração de energia cinética turbulenta devido a flutuabili-dade.YM repesenta a contribuição da flutuação da dilatação compressível turbulenta na taxa de dissipação global. C1²,C2²eC3²são constantes. σk eσ² são os números turbulentos de Prandtl parak e², respectivamente. Sk eS²são definidos como termos fonte.

2.3.3.2 Modelando a viscosidade turbulenta

A viscosidade turbulenta,µt, é descrita combinandok e², portanto:

µt = ρCµ k2

² (2.26)

ondeC_µé uma costante.

2.3.3.3 Constantes

As constantesC1²,C2²,Cµ,σk eσ²tem os seguintes valores:

Estes valores padrão foram determinados por experiências com água e ar para escoamen-tos turbulenescoamen-tos cisalhantes.

2.3.4 MODELO RNG-k-²

Ainda a partir de Fluent (2006), o modelo RNG-k-²é derivado utilizando uma técnica matemática rigorosa chamada de Renormalization Group Theory (RNG). É similar à forma padrãok-²mas inclui os seguintes refinamentos:

• O RNG tem um termo adicional na equação de ² que aumenta significativamente a precisão para escoamentos rápidos tensos.

• O efeito do redemoinho na turbulência é incluido no modelo RNG aumentando a pre-cisão para escoamentos com turbilhões.

• A teoria RNG proporciona uma fórmula analítica para os números turbulentos de Prandtl enquanto o modelo padrão k-²utiliza valores constantes previamente deter-minados.

• Enquanto o modelo padrão k-² é um modelo de alto número de Reynolds, a teoria RNG proporciona uam formula analítica diferencial para viscosidade efetiva que leva em consideraçãos os efeitos para número de Reynolds baixo. Entretanto a efetividade requer um tratamento apropriado próximas as regiões de parede.

Estes pontos fazem do modelo RNG-k-²ser mais preciso e confiável para uma classe maior de escoamentos do que o modelo padrãok-².

A base do modelo RNG-k-²é derivada das equações instantâneas de Navier-Stokes uti-lizando um técnica matemática denominada de Renormalization Group Theory. A derivação analítica resulta em um modelo com diferentes constantes daqueles apresentados no modelo

2.3.4.1 Equações de transporte para o modelo RNG-k-²

O modelo RNG-k-²tem uma forma similar ao modelo padrãok-²:

∂ ∂t(ρk) + ∂ ∂xi (ρkui) = ∂ ∂xj µ µe f fσk ∂k ∂xj ¶ +Gk+Gb− ρ² − YM+ Sk (2.28) ∂ ∂t(ρ²) + ∂ ∂xi (ρ²ui) = ∂ ∂xj µ µe f fσ² ∂² ∂xj ¶ +C1² ² k(Gk+C3²Gb) −C2²ρ ²2 k − R²+ S² (2.29)

2.3.4.2 Modelando a viscosidade efetiva

O procedimento de eliminação por escala na teoria RNG resulta em uma equação dife-rencial para a viscosidade turbulenta:

d µρ2 k p²µ ¶ = 1.72q νˆ ˆ ν3_{− 1 +C} ν d ˆν (2.30) onde, ˆ ν =µef f µ (2.31) C_ν≈ 100 (2.32)

A equação 2.30 é integrada para obter uma descrição precisa de como os efeitos de transporte turbulento variam com o número de Reynolds efetivo permitindo ao modelo melhor controle para baixo número de Reynolds e escoamentos próximo de paredes.

No limite de altos números de Reynolds a equação 2.30 nos fornece:

µt = ρCµ k2

Com C_µ = 0.085, derivado utilizando a teoria RNG. Note que este valor de C_µ é muito próximo daquele encontrado experimentalmente, 0.09, utilizado no modelo padrãok-².

2.3.4.3 Modificação para redemoinhos no modelo RNG

Turbulência, em geral, é afetada por rotações ou redemoinhos no escoamento. O mo-delo RNG permite levar em conta esses efeitos modificando apropriadamente o termo de viscosidade turbulenta. A modificação toma a seguinte forma:

µt = µt 0f µ σs,Ω, k ² ¶ (2.34)

ondeµt 0é o valor da viscosidade turbulenta calculada sem a modificação para redemoinhos usando a equação 2.30 ou a equação 2.33. Ω é um número característico avaliado junto ao software que esta sendo utilizado e σs é uma constante para redemoinhos que assume diferentes valores dependendo da frequência de redemoinhos no escoamento. Para efeitos médiosσsassume o valor padrão de 0.07.

2.3.4.4 Cálculo dos números inversos efetivos de Prandlt

Os chamados números inversos efetivos de Prandlt,σk,si g ma², são computados usando a seguinte fórmula derivada analiticamente da teoria RNG:

¯ ¯ ¯ ¯ σ − 1.3929 σ0− 1.3929 ¯ ¯ ¯ ¯ 0.6321¯ ¯ ¯ ¯ σ + 2.3929 σ0+ 2.3929 ¯ ¯ ¯ ¯ 0.3679 =µmol µe f f (2.35)

ondeσ0=1.0. No limite para alto número de Reynolds µ_µmol_{e f f} ¿ 1,σk =σ²≈ 1.393 2.3.4.5 O termoR_²da equação de²

A principal diferença entre o modelo RNG e o modelo padrãok-²esta no termo adicional na equação de²dado por:

R_²=Cµρη 3_{(1 − η/η} 0) 1 + βη3 ²2 k (2.36)

onde,η = Sk_² ,η0= 4.38, β = 0.012.

Os efeitos deste termo no modelo RNG pode ser melhor visto de rearranjarmos a equação 2.29. Usando a equação 2.36 o terceiro e o quarto termo do lado direito da equação 2.29 podem ser modificados e então a equação toma a seguinte forma:

∂ ∂t(ρ²) + ∂ ∂xi (ρ²ui) = ∂ ∂xj µ µe f fσ²_∂x∂² j ¶ +C1²² k(Gk+C3²Gb) −C ∗ 2²ρ² 2 k (2.37)

ondeC₂∗_²é dado por:

C₂∗_²= C2²+

C_µη3(1 − η/η0)

1 + βη3 (2.38)

Em regiões ondeη < η0, o termo R tem uma contribuição positiva eC₂∗_²se torna maior que

C2². Em escala logarítimica, por exemplo, é possível mostrar que paraη ≈ 3.0, nos fornece

C₂∗_²≈ 2.0, o que é próximo da magnitude deC2² no modelo padrão k-². Como resultado,

para escoamentos tensos entre fraco e moderado o modelo RNG tende a ter resultados am-plamente comparáveis com o modelo padrãok-².

Em regiões onde η > η0, entretanto, tem uma contribuição negativa fazendo com que

o valor deC₂∗_² seja menor do que o deC2². Em comparação com o modelo padrão k-² a pequena destruição dos argumentos de², reduzindoke eventualmente a viscosidade efetiva. Como resultado, em escoamentos com tensionamento rápido, o modelo RNG fornece baixa viscosidade turbulenta do que o modelo padrãok-².

2.3.4.6 Constantes

O valor das constantesC1² eC2² da equação 2.29 tem valores derivados analíticamente

pela teoria RNG:

C1²= 1.42 C2²= 1.68 (2.39)

Visto que este trabalho utiliza como referência a metodologia que Migliorini et al. (2012) empregou, onde foi utilizado o modelo de turbulência RNG-k-² obtendo bons resultados,

para todas as simulações previstas neste trabalho este modelo será adotado.

2.3.5 HÍBRIDA

Para analisar o escoamento entre o rotor e o estator Migliorini et al. (2012) utilizou uma abordagem híbrida. Nesta abordagem, são utilizados os modelos bulk flow e a Fluido Dinâ-mica Computacional (CFD).

Nesta metodologia, para a solução das equações de Hirs (1973) de tensões cisalhante viscosas, Equações 2.8 e 2.9, os fatores de fricção fr e fs são determinados pela solução CFD. A partir dai então, são resolvidas todas as equações do modelo bluk flow, Equações 2.2, 2.3 e 2.4.

Para a determinação dos coeficientes rotodinâmicos Migliorini et al. (2012) utiliza a se-guinte abordagem mostrada na Subseção 2.3.6.

2.3.6 ANÁLISE PRESSÃO ESTABILIDADE

A Figura 2.23 mostra a situação ideal para a rotação do selo. O centro do eixo (O’) é concêntrico com o centro do selo (O) e portanto o eixo gira em torno do centro O com velocidadeω.

Figura 2.23: Eixo do selo e do rotor concêntricos. Fonte: Yan et al. (2011)

Nesta situação não há forças que contrabalanceiam a superfície do rotor,Fx= 0eFy= 0. Porém nas aplicações industriais, ou seja, em aplicações reais,o eixo do rotor circula ao redor

do eixo O’ com velocidadeΩ como mostra a Figura 2.24. É uma órbita circular periódica em que o raio é a excêntricidadee.

Figura 2.24: Situação real. Fonte: Ha and Choe (2014)

Seja θ como sendo o ângulo entre a excentricidade e o eixo x. A velocidade angular média é dita como:

Ωméd=

∆θ

∆t (2.40)

Partindo det0= 0eθ0= 0achamos queθé igual a:

θ = Ωt (2.41)

Portanto as componentesxe ydo vetor posição~x serão:

x = e cosΩt, y = e senΩt (2.42)

Derivandoxeyencontramos as componentesx˙ey˙do vetor velocidade e derivando mais uma vez encontramos a componentesx¨e y¨do vetor aceleração:

˙

¨

x = −Ω2e cosΩt, y = −Ω¨ 2e senΩt (2.44) Da Segunda Lei de Newton sabemos que:

c

M ¨x + bC ˙x + bK x = bF (2.45)

A matriz rigidez e amortecimento são dados por:

b K =    Kxx Kx y Ky x ky y    (2.46) b C =    Cxx Cx y Cy x Cy y    (2.47)

Pela hipótese de isotropia:

Kxx= Ky y Kx y= −Ky x Cxx= Cy y Cx y= −Cy x (2.48)

A matriz rigidez e de amortecimento ficam portanto sendo:

b K =    K k −k K    (2.49) b C =    C c −c C    (2.50)

Estas matrizes nos fornecem os chamados coeficientes rotodinâmicos e são essas variá-veis que nos permitem averiguar o quão estável está o sistema rotor-selo.

Substituindo todas as variáveis na Segunda Lei de Newton, vamos obter:    M 0 0 M       −Ω2e 0    +    K k −k K       e 0    +    C c −c C       0 Ωe    =    Fx Fy    (2.51)

Resolvendo 2.51 encontramos os valores para as componentesFx eFyda força de reação na superfície do rotor:

Fx= −MΩ2e + K e + cΩe (2.52)

Fy= −ke +C Ωe (2.53)

Sabemos também que é posível encontrarmos as componentes da força de reação inte-grando a pressão dinâmicaP ao longo da direção axial e circunferêncial, portanto:

Fx= − Z 2π 0 Z L 0 P cosθR dθdz (2.54) Fy= − Z 2π 0 Z L 0 P senθR dθdz (2.55)

Podemos concluir por essa análise que a pressão dinâmica esta diretamente relacionada com o cálculo dos coeficientes de amortecimento e rigidez. Podemos observar também que é importante conhecermos o perfil de tensão de cisalhamento na parede do rotor pois estas estão relacionadas com a força.

2.4 FLUIDO DINÂMICA COMPUTACIONAL

Nesta seção serão apresentados as principais equações utilizadas na Dinâmica dos Flui-dos Computacional assim como os principais métoFlui-dos numéricos utilizaFlui-dos por essa abor-dagem.

2.4.1 PRINCIPAIS EQUAÇÕES 2.4.1.1 Equações de Transporte

Segundo Ansys (2012) para a derivação da equação da Continuidade, considere um vo-lume de controle∆x∆y∆zcomo na Figura 2.25.

Figura 2.25: Fluxo de massa através de um volume de controle. Fonte: Welty et al. (2009)

A expressão para a conservação da massa no volume de controle é dado por:

Z Z

ρ(v.n)d A + ∂

∂t

Z Z Z

ρdV = 0 (2.56)

O fluxo de massa ρ(v.n) em cada face do volume de controle está ilustrado na Figura 2.25. A massa no volume de controle é dada porρ∆x∆y∆z e portanto, a taxa de mudança de massa no tempo é dada por:

∂

∂t(ρ∆x∆y∆z) (2.57)

O fluxo de massa fora do volume de controle nas três direções é dado por:

Substituindo 2.58 em 2.56. Dividindo as equação por∆x∆y∆ze fazendo limite de destes três termos indo para zero, vamos obter:

∂ ∂x(ρυx) + ∂ ∂y(ρυy) + ∂ ∂z(ρυz) + ∂ρ ∂t = 0 (2.59)

A equação 2.59 pode ser escrita como:

∇.ρv +∂ρ

∂t = 0 (2.60)

A equação 2.60 nos fornece a equação da continuidade utilizada pelo programa. Além desta o programa utiliza as equações de Momento dadas por:

∂(ρU)

∂t + ∇.(ρUO U ) = −∇p + ∇.τ + SM (2.61)

onde o tensor tensãoτé dado por:

τ = µ µ ∇U + (∇U )T −2 3δ∇.U ¶ (2.62)

Para a equação de energia total o programa utiliza a seguinte expressão:

∂(ρht ot) ∂t −

∂p

∂t + ∇.(ρU ht ot) = ∇.(λ∇T ) + ∇.(U .τ) +U .SM+ SE (2.63)

Ondeht ot é a entalpia total e esta relacionada com a entalpia estáticah(T, p)por:

ht ot = h +

1 2U

2 _(2.64)

O termo∇.(U .τ)representa o trabalho devido as tensões viscosas e é chamado de termo do trabalho viscoso. O termoU .SM representa o trabalho devido as fontes de momento externo e normalmente é negligenciado.

2.4.2 EQUAÇÕES DE ESTADO Equação de estado para gás ideal:

ρ = w Pabs R0

, d h = cpd T, cp= cp(T ) (2.65)

Ondew é o peso molecular,pabs é a pressão absoluta eR0a constante universal do gás.

Para fluidos incompressíveis temos:

ρ = ρesp, d h = cpd T + d p

ρ , cp= cp(T ) (2.66)

2.4.3 MÉTODOS NUMÉRICOS

Os principais métodos utilizados na fluido dinâmica computacional é o método dos ele-mentos finitos e o método dos volumes finitos. Este último é o método mais utilizado na fluido dinâmica computacional.

O método dos volumes finitos consiste em avaliar as equações diferenciais parciais sob a forma de equações algébricas. O volume finito se refere ao pequeno volume delimitado pelos pontos / arestas na malha. Nessa metodologia, integrais de volume numa equação diferen-cial pardiferen-cial que contenham termos divergentes são convertidos para integrais de superfície (Teorema da Divergência). Esses termos são então avaliados como fluxos nas superfícies de cada volume.

Como o fluxo entrando num elemento é idêntico ao fluxo saindo do elemento adjacente, esses métodos são conservativos. Outra vantagem dos volumes finitos é que são facilmente formulados e aplicados em malhas não estruturadas.

Este método é melhor explicado na Subseção 2.3.2, onde é analisado o método numérico utilizado pelo software ANSYS CFX para as resoluções dos problemas.

3 METODOLOGIA

Este trabalho usou como referência, para a simulação do selo, Migliorini et al. (2012). Portanto todas as informações a respeito das condições iniciais e de contorno assim como as dimensões da primeira geometria foram retiradas de tal artigo.

A proposta inicial foi replicar a geometria que Migliorini et al. (2012) utilizou, e a partir dela propor modificações em sua geometria. Afim de reduzir o custo computacional, Mi-gliorini et al. (2012) fez uma análise apenas de um parte do anel pois toda a geometria é simetrica. Ele utilizou um setor de curvatura 6,2 graus e como o anel possui 360 graus, isso corresponde a ₅₈1 do total. Todos os parâmetros medidos ao final devem ser multiplicados por 58 para que corresponda as dimensões originais do selo.

Podemos observar na Figura 3.1 o selo orginal gerado por Migliorini et al. (2012) e na Figura 3.2 o setor recortado. Afim de facilitar a construção da geometria o autor deste trabalho optou por ignorar a curvatura de 6,2 graus fazendo com que o setor tivesse a base do rotor reta. Com essa aproximação o modelo de simulação passaria de rotacional para translacional.

Uma réplica do modelo de Migliorini et al. (2012) foi construída e simulada para que fosse comparada com o modelo proposto pelo autor, de base reta. Em seguida dois novos modelos de geometria foram construídos e simulados para a análise. A proposta foi construir um modelo geometrico que possui a altura dos cilindros com o dobro do valor original e outra geometria que os cilindros possuem um diâmetro com o dobro do valor original.

Ao final das simulações os resultados de vazão mássica, perfil de pressão ao longo do selo e tensão cisalhante na superfície do rotor foram comparados.

Figura 3.1: Selo hole-pattern gerado por Migliorini. Fonte: Migliorini et al. (2012)

Figura 3.2: Recorte do selo utilizado para as simulações. Fonte: Migliorini et al. (2012)

3.1 GEOMETRIA

Todas as geometrias foram construídas utilizando o software ANSYS Design Modeler. Para a construção da primeira geometria foram utilizadas dimensões idênticas as da geome-tria de Migliorini et al. (2012). Note que para a primeira geomegeome-tria e as geomegeome-trias seguintes foi ignorado a curvatura de 6,2 graus e foram adotadas base reta para o rotor.

Para a segunda geometria (Geometria 2) a única mudança foi na altura dos cilindros que agora possuem o dobro da medida. Por fim, para a terceira geometria (Geometria 3) a única mudança em relação a geometria original foi o valor do diâmetros dos cilindro que agora possuem o dobro do valor.

Na Tabela 3.1 podemos observar a dimensões geométricas de cada modelo.

Tabela 3.1: Dimensões geométricas dos modelos

Dimensões Geometria 1 Geometria 2 Geometria 3

Folga (mm) 0.2 0.2 0.2

Raio do selo (mm) 57.37 57.37 57.37

Diâmetro do cilindro (mm) 3.175 3.175 6.35

Altura do cilindro (mm) 3.302 6.604 3.302

Comprimento do selo (mm) 88.34 88.34 178.77

Distânica entre os centros (mm) 3.615 3.615 7.23

dobrado.

A folga trata-se da distância entre a superfície do rotor até a superfície do selo e é por essa folga que o fluido escoa.

A título de ilustração a Figura 3.3, em versão reduzida, mostra o caminho pelo qual o fluido escoa.

Figura 3.3: Visão lateral da geometria e por onde o fluido escoa.

As Figuras 3.4,3.5 e 3.6 mostram como ficaram as geometrias construídas.