Assim, com todos esse parâmetros definidos nos Capítulos 2, 3 e 4 e os possíveis prêmios e reservas inicias a serem usadas, expostas na seção anterior, iremos realizar a simulação de um ano do nosso plano para cada um dos prêmios propostos, realizando 100000 simulações para cada combinação de Prêmio e Reserva Inicial, resultados em que podem ser analisados na forma do Gráfico 7.
50% 60% 70% 80%
US$ 108.552.894 US$ 149.812.142 US$ 193.954.978 US$ 245.616.466
90% 95% 97,5% 99%
US$ 317.262.023 US$ 376.428.161 US$ 427.745.962 US$ 487.413.996
50% 60% 70% 80%
US$ 110.601.062 US$ 150.673.971 US$ 195.316.991 US$ 246.072.267
90% 95% 97,5% 99%
Fonte: Autoria própria
Com isso, analisando o Gráfico 7, podemos perceber que as probabilidades de ruína em graus de significância inferiores tende a ser muito grande, de forma que a probabilidade de ruína se estabiliza menor que 1% só a partir do grau de significância de 95%, quantil em que probabilidade de ruína para o Prêmio feito a partir do quantil da Distribuição Empírica já é menor. No entanto, essa diferença no grau de significância de 95% chega a ser de 0,2%. Porém, isso seria para um ano de plano. Para conseguirmos analisar mais a fundo essa diferença vamos comparar no Gráfico 8, para um grau de significância de 95%, as probabilidades do plano ruir de acordo com o tempo em que o plano fica ativo.
Fonte: Autoria própria
Analisando o Gráfico 8, percebemos que de início a diferença entre usar a Aproximação pela Normal e o Quantil da Distribuição Empírica era mínima, chegando a 0,2% para um período de um ano, mas ao expormos o prêmio ao risco por uma maior quantidade de tempo, essa diferença chega a ser cada vez maior, chegando a quase 2% de probabilidade de ruína a mais para a Aproximação pela Normal. Com isso, chegamos a conclusão de que a melhor forma de calcular o Prêmio para este caso é pelo Quantil da Distribuição Empírica.
Tendo definido que iremos usar o Quantil da Distribuição Empírica para calcular o nosso prêmio, o que ainda se faz necessário definir é qual será o grau de significância que usaremos no nosso quantil da Distribuição. Ao analisarmos o Gráfico 7, percebemos que somente a partir do grau de significância de 90% as probabilidades de ruína para um ano ficam abaixo de 5%, então, decidimos comparar no Gráfico 9 como se comportam as probabilidades de ruína ao longo do tempo para os graus de significância de 90% e 95%.
Fonte: Autoria própria
Analisando o Gráfico 9, percebemos que para o grau de significância de 90%, quando expomos o plano a um período de tempo maior do que 1 ano, a probabilidade de ruína tende a subir muito, de forma que se deixarmos o plano funcionando por um período de apenas 20 anos, a probabilidade de ruína do mesmo chega a quase 35%. Com isso, percebemos que trabalhar com um grau de confiança de 90% seria inviável, e passamos a continuar analisando a segurança estatística de usar um plano com o quantil do Distribuição Empírica para o Prêmio em uma probabilidade de 95%.
Com isso, como queremos analisar mais a fundo um grau de significância de 95%, iremos analisar, como a probabilidade de ruína do plano se comportaria ao longo do tempo, ano após ano. Para realizarmos essa análise, iremos utilizar do Gráfico 10.
Fonte: Autoria própria
Assim, como vemos no Gráfico 10, a probabilidade de ruína de acordo com os anos de duração do nosso plano tendo a aumentar de forma quase que linear. Isso mostra que de quanto mais tempo expondo o plano ao risco, mais será a probabilidade dele quebrar. Com isso, para nos aprofundarmos na nossa análise, reescrevemos o nosso código para ele nos retornar não mais se em dada simulação o plano quebrou ou não, mas nos retornar em que ano o plano se ruiu, valores que podem ser analisados no Gráfico 11.
Fonte: Autoria própria
Um ponto interessante de se notar no Gráfico 11 é que existem casos em que o plano passou mais de um século em atividade, sendo assim uma distribuição com uma cauda muito alongada, evidenciando os casos em que os valores se estendem muito. Como forma de acrescentar à nossa análise, temos a Tabela 2 com as estatísticas dessa distribuição de valores.
Tabela 2: Estatísticas da variável aleatória “quantidade de anos até o plano se ruir”
Com isso, começamos a perceber que o plano tem uma tendência a se quebrar ao passar do tempo, mesmo existindo casos em que o plano pode demorar muito tempo para se ruir. Com isso, antes de cogitarmos aumentar o grau de significância, vimos a necessidade de testar como o plano iria se comportar com um Limite de Retenção de Sinistros. Todo o código foi alterado de forma que em casos em que o sinistro retido ultrapasse o Limite de Retenção, o excedente será ignorado e o sinistro será considerado como o próprio valor de Retenção, como na forma da Equação 5.2
(5.2)
aonde temos como o valor a ser pago em sinistros, como o Sinistro Retido e como o valor do Limite de Retenção. Assim, primeiro realizamos uma simulação com o mesmo princípio da Simulação do Gráfico 6 mas escolhendo arbitrariamente um valor de Limite de Retenção de US$ 400.000.000 e os resultados podemos observar no Gráfico 12.
S
i= {S
RET, S
RET< LT
LT, S
RET≥ LT
S
iS
RETLT
Estatística Valor Média 136,9 Desvio Padrão 136,86 1º Quartil 39 Mediana 95 3º Quartil 190 Quantil 0,9 317 Quantil 0,95 415 Quantil 0,99 634 Mínimo 0 Máximo 1176Fonte: Autoria própria
Assim, mantendo as mesmas escalas do Gráfico 10, percebemos no Gráfico 12, que para um Limite de Retenção escolhido arbitrariamente, os valores de probabilidade de ruína continuam a crescer de forma linear, de forma que apenas foi mudado o ritmo de crescimento dessa probabilidade. Ainda assim, testando diversos valores de Limite de Retenção, vimos que a probabilidade segue a mesma tendência de crescimento linear. Com isso, podemos chegar à conclusão de que o plano irá de certa forma sempre tender a ruir.
No entanto, ao analisarmos mais a fundo a situação e buscarmos referências sobre o processo de ruína, percebemos que todo plano de seguro possui a tendência a quebrar ao longo dos anos. Nenhum seguro está livre de risco e o mesmo existe para minimizar os riscos (FERREIRA, 2005). Com isso, o algoritmo foi alterado de forma que passaremos a analisar em uma simulação de um ano qual seria o valor do prejuízo sofrido para os casos em que o plano quebrou e qual seria o valor do prejuízo evitado para os casos em que o seguro evitou prejuízos com sucesso, onde os resultados podem ser analisados no Gráfico 13.
Fonte: Autoria própria
Antes de analisarmos o Gráfico 13, é importante notar que como exposto anteriormente nesta mesma seção, a probabilidade do plano se ruir é muito inferior ao dele não se ruir em um período de um ano, então para o Gráfico 13 estamos usando um número idêntico de quantidade de fracassos e sucessos na nossa simulação. Assim, como analisamos no Gráfico 13, um comportamento que é nítido é que para os casos em que acontece prejuízo, os valores dos prejuízos são bem mais concentrados em valores próximos de zero, enquanto que para os casos em que se evitou prejuízos, os valores são mais dispersados e se mostra ser muito mais frequente se evitar prejuízos grandes do que sofrer prejuízos grandes.
Assim, levando em consideração o fato de que é muito mais provável o plano não ruir em um período de um ano (99,32%) do que ele ruir (0,683%), e unindo ao fato de que os casos em que o plano rui o prejuízo tende a ser muito menor (média de prejuízo de US$ 41.416.094) do que o prejuízo evitado quando ele não se rui (média de prejuízo evitado de US$ 239.272.268), podemos analisar de fato que o plano tende a minimizar os prejuízos e evitar que o plano sofra prejuízos que tendem a ser catastróficos, por estarmos tratando de um seguro de valores extremos.
E por fim, conseguimos chegar a uma forma de montar esse plano de seguro de forma que ele seja seguro estatisticamente. No entanto, se conseguimos calcular
um plano de seguro que é de fato seguro estatisticamente para o grau de significância de 95% escolhido, isso significa que para graus maiores os planos também tendem a ser seguros, mas o que passa a ser necessário ser analisado é se ele seria viável financeiramente para os financiadores do seguro, e com isso sugere- se um trabalho futuro a respeito dos impactos financeiros de um co-seguro de aeronaves para companhias aéreas.
CAPÍTULO 6 - CONCLUSÕES
Chegando ao fim do nosso trabalho, chegamos a conclusões de que de fato é necessário utilizar metodologias diferentes para se precificar um seguro desse padrão, de forma que ao assumirmos alguns pressupostos criados para facilitar os cálculos tendemos a aumentar o risco do nosso plano se ruir. Foi mostrado que se fez necessário utilizar metodologias como Mistura de Distribuições e Simulação de Monte Carlo para se conseguir precificar o nosso seguro de forma eficiente.
Outro ponto interessante de se ressaltar é que ao realizarmos esse trabalho percebemos que se tornou muito complexo utilizar metodologias mais sofisticadas como Modelos Lineares Generalizados para modelar a nossa frequência de queda a partir de diferentes características de bens segurados pois as bases de dados voos em todo mundo não são disponibilizadas de forma gratuita. Além disso, por tratar da modelagem de um evento raro, precisaríamos estar utilizando base de dados em que seria necessário possuir um poder de processamento computacional muito maior do que o que possuímos. Com isso, sugere-se para um trabalho futuro analisar o impacto de características de aeronaves e voos em um plano de seguros para aeronaves.
Também ao realizarmos todo o nosso trabalho, um ponto ressaltado no Capítulo 2 foi de exatamente estarmos usando dados apenas até o fim do ano de 2019 por todo o impacto que a pandemia da COVID-19 trouxe à aviação comercial. A pandemia mudou totalmente os padrões de viagem e a quantidade de voos por dia, o que influencia diretamente nos cálculos que realizamos. Tendo isso claro e alinhado ao fato de que na data de publicação deste trabalho ainda estamos em meio à pandemia da COVID-19, tomamos essa decisão. Assim, sugere-se um trabalho futuro que analise os impactos da pandemia de COVID-19 na aviação comercial.
Por fim, como relatamos no Capítulo 1 e ao fim do Capítulo 5, todo o nosso trabalho foi feito levando em consideração o viés estatístico da construção de um plano de seguros, ou seja, estudamos apenas se o plano pode ser considerado estatisticamente seguro, mas não estudamos a fundo se o mesmo é economicamente viável. Assim, se faz importante sugerir um trabalho futuro a respeito da viabilidade econômica de um seguro para quedas de aeronaves.
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ANEXO - Ilustrações e Fluxogramas
Ilustração 1: O algoritmo de aceitação-rejeição usado na definição da aeronave que sofreu perde total