Precificação de seguro para catástrofes aéreas via simulação de Monte Carlo

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CIÊNCIAS ATUARIAIS

PEDRO HENRIQUE GODEIRO HELENO DOS SANTOS

PRECIFICAÇÃO DE SEGURO PARA CATÁSTROFES AÉREAS VIA SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO

NATAL 2020

PEDRO HENRIQUE GODEIRO HELENO DOS SANTOS

PRECIFICAÇÃO DE SEGURO PARA CATÁSTROFES AÉREAS VIA SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO

Trabalho de Conclusão do curso de graduação de Ciências Atuariais, da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, como requisito para obtenção do título de Bacharel do curso de Ciências Atuariais

Orientador: Antonio Hermes Marques da Silva Junior

Santos, Pedro Henrique Godeiro Heleno dos.

Precificação de seguro para catástrofes aéreas via simulação de Monte Carlo / Pedro Henrique Godeiro Heleno dos Santos. -2020.

63f.: il.

Monografia (Bacharelado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Ciências Exatas e da Terra, Departamento de Demografia e Ciências Ciências Atuariais, Curso de Ciências Atuariais. Natal, 2020.

Orientador: Antonio Hermes Marques da Silva Junior.

1. Seguro - Monografia. 2. Processo de ruína - Monografia. 3. Aviação - Monografia. 4. Co-seguro - Monografia. 5. Mistura de distribuições - Monografia. I. Silva Junior, Antonio Hermes Marques da. II. Título.

RN/UF/CCET CDU 368

Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN Sistema de Bibliotecas - SISBI

Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Setorial Prof. Ronaldo Xavier de Arruda - CCET

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE SISTEMA INTEGRADO DE PATRIMÔNIO, ADMINISTRAÇÃO E CONTRATOS

FOLHA DE ASSINATURAS

Emitido em 06/07/2020

ATA DE DEFESA DE DISSERTAÇÃO Nº 1/2020 - CCCA/CCET (12.80) NÃO PROTOCOLADO)

(Nº do Protocolo:

(Assinado digitalmente em 06/07/2020 15:28 )

ANTONIO HERMES MARQUES DA SILVA JUNIOR

PROFESSOR DO MAGISTERIO SUPERIOR EST/CCET (12.02)

Matrícula: 1714215

(Assinado digitalmente em 06/07/2020 15:30 )

CRISTIANE SILVA CORREA

COORDENADOR DE CURSO - TITULAR CHEFE DE UNIDADE

CCCA/CCET (12.80) Matrícula: 1803637

(Assinado digitalmente em 07/07/2020 07:57 )

MARCOS ROBERTO GONZAGA

PROFESSOR DO MAGISTERIO SUPERIOR DDCA/CCET (12.00.03)

Matrícula: 2002253

Para verificar a autenticidade deste documento entre em https://sipac.ufrn.br/documentos/ informando seu número: ,1

ano: 2020, tipo: ATA DE DEFESA DE DISSERTAÇÃO, data de emissão: 06/07/2020 e o código de verificação:

AGRADECIMENTOS

Seria fácil escrever esses agradecimentos se estivéssemos falando apenas de 2020.1 e agradecendo apenas a quem participou ativamente na construção dessa Monografia, mas não é a realidade. A construção desse Trabalho é apenas a parte final de toda uma jornada que se iniciou em 2016.1, então possuo muitas pessoas que sinto o desejo de agradecer.

De início, agradeço aos meus pais, que estão comigo desde 1997 e foram essenciais para que eu chegue a esse ponto na minha vida. Sem eles e sem tudo que eles abdicaram para que eu chegasse até aqui, eu nunca teria chegado perto de onde estou hoje. Não há como agradecer por tudo que eles me proporcionaram em apenas um parágrafo, então apenas agradeço por vocês serem quem vocês são.

De um ponto de vista acadêmico, agradeço a todos os professores que participaram da minha trajetória acadêmica, tanto na Universidade Federal do Rio Grande do Norte quanto na Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa. Em especial, agradeço ao meu orientador desse trabalho, o professor Hermes, que foi fundamental desde a idealização desse trabalho, em 2018, até a finalização dele em meio à pandemia de Covid-19, em 2020.

Dentro do meu curso, agradeço a todos os meus amigos que estiveram juntos comigo durante esses 4 anos de graduação. Todos foram essenciais para que eu consiga estar fazendo o que eu amo, com pessoas que amo ao meu lado.

Também não posso deixar de agradecer às pessoas que estiveram comigo durante 2018.2 em Lisboa, e isso inclui todos que me acolheram com muito amor no meu período na FCUL, todos que fizeram parte do meu dia a dia em Lisboa e todos que dividiram apartamento comigo em São Sebastião e me fizeram me sentir em casa.

Agradeço também á Actuar Consult Júnior, empresa júnior do meu curso de graduação, empresa em que fundei e passei 3 anos da minha vida nela. Todos os momentos e aprendizados fazendo parte dessa organização foram especiais e me formaram como profissional. Agradeço a todos que participaram e participam da Actuar.

Agradeço ao Movimento Empresa Júnior, movimento em que me ensinou tanto durante esses 40 meses (até hoje). Por fim, agradeço à RN Júnior, Federação

de Empresas Juniores do Estado do Rio Grande do Norte, e a todo o Time RN Júnior, formado por pessoas que me ensinam todos os dias e foram peça fundamental para que eu consiga terminar esse trabalho.

RESUMO

Seguros são formas de dividir riscos entre pessoas físicas ou jurídicas. Quando é criado um, se possui o intuito de fazer que diminua o risco de sofrer-mos uma perda monetária. Tendo isso em vista, seguros são criados de forma que consigamos dividir o risco de acontecimento de uma perda entre um número maior de pessoas, cobrando um valor para cada segurado que consiga cobrir com a perda de todos. É partindo desse pressuposto que decidimos precificar um co-seguro para aeronaves, de forma que diferentes companhias aéreas estariam entrando como co-seguradas do nosso plano, protegendo as mesmas de sofrerem perdas ao acontecer uma catástrofe com alguma das aeronaves de sua frota, o que implicaria em realizar cálculos fora do convencional, tendo em vista que esse seria um seguro de raro acontecimento e composto por valores extremos. Assim, durante todo esse trabalho, iremos expor como obtivemos bases de dados para o seu cálculo, que metodologias estatísticas usamos para definir o nosso seguro, sendo elas desde Mistura de Distribuições de Probabilidade até Simulações de Monte Carlo, e por fim realizar simulações práticas de como o plano funcionaria com os parâmetros precificados no trabalho e sendo exposto ao risco do acontecimentos de catástrofes aéreas, analisando a saúde do hipotético plano de co-seguro a partir de um processo de ruína.

ABSTRACT

Insurance is a way of splitting risks between both people and organisations. When a insurance plan is created, it has the intention of reducing the risk of suffering a monetary loss. With this in mind, insurance is created in such a way that we are able to divide the risk of loss occurring of everyone in the plan among a larger number of people, charging an amount for each insured person that is possible to cover the loss of all the plan. It is based on this assumption that we decided to price a co-insurance plan for aircrafts, so that different airlines would be co-insurees of our plan, protecting them from suffering losses when a catastrophe occurs with any of the aircraft in their fleet, which it would imply performing different calculation methods, considering the fact that an aircraft catastrophe it is a rare event and it's occurrence is composed of extreme values. So, during all this paper we will explain how we obtained databases for its calculation, what statistical methods we use to define our insurance, such as Mixture Distributions and Monte Carlo Simulations, and finally carrying out practical simulations of how the plan would work with the parameters priced at the paper and being exposed to the risk of aerial catastrophes, analyzing the feasibility of the hypothetical co-insurance plan from a ruin process.

LISTAS

Lista de Gráficos

Gráfico 1 - Proporção de tráfego aéreo responsável….………..………18 Gráfico 2 - Histograma da proporção de mortes por perda total de aeronave………22 Gráfico 3 - Histograma da Distribuição de N……..………..…………28 Gráfico 4 - Histograma com aproximação da densidade da Distribuição de …….….30 Gráfico 5 - Histograma com aproximação da densidade da Distribuição de S….…..34 Gráfico 6 - Prêmio por probabilidade para Aproximação pela Normal e Distribuição Empírica………..………44 Gráfico 7 - Probabilidade de Ruína para Aproximação pela Normal e Distribuição Empírica………..………46 Gráfico 8 - Probabilidade de Ruína para Aproximação pela Normal e Distribuição Empírica por anos de atividade do plano……….……….…47 Gráfico 9 - Probabilidade de Ruína para Graus de Significância por anos de atividade do plano………..…48 Gráfico 10 - Probabilidade de Ruína por duração do plano em anos…………..…….49 Gráfico 11 - Histograma da quantidade de anos até o plano ruir………..50 Gráfico 12 - Probabilidade de ruína por duração do plano em anos com Limite de Retenção………..………..52 Gráfico 13 - Histograma do prejuízo sofrido ou evitado……..………..…….53

Lista de Quadros

Quadro 1 - Variáveis da base de dados “Aeronave”………23 Quadro 2 - Parâmetros a serem usados na simulação………..….…24 Quadro 3 - Prêmio a partir da aproximação pela Distribuição Normal………….……43 Quadro 4 - Prêmio a partir do quantil da Distribuição de S………43 Quadro 5 - Reserva Inicial a partir da aproximação pela Distribuição Normal………45 Quadro 6 - Reserva Inicial a partir do quantil da Distribuição de S……..……….……45

Lista de Tabelas

Tabela 1 - Valores que usamos na nossa simulação…………..……….………42 Tabela 2 - Estatísticas da variável aleatória “quantidade de anos até o plano se ruir………51

Lista de Figuras

Ilustração 1 - Algoritmo de aceitação-rejeição usado na definição da aeronave que sofreu perda total…………..……….……60 Fluxograma 1 - O processo para definição da Distribuição de X………..………61 Fluxograma 2 - O processo para definição da Distribuição de S…………..…………62 Fluxograma 3 - O processo de ruína usado no trabalho…………..………..……63

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO………..……….……10

1.1 Os princípios do seguro………..……….…..10

1.2 O seguro para aeronaves………..………….…..…..10

1.3 O porquê deste trabalho………..…….…..11

1.4 Conceitos básicos………..………..…12 1.4.1 Co-seguro………..……….………..12 1.4.2 Acidentes aéreos………..……….………..…12 1.4.3 Coligações aéreas….………..………12 1.5 Revisão de literatura………13 1.6 Estrutura do trabalho……..………..………..…13 2 FONTES DE DADOS………..………..…14

2.1 Quais dados precisaríamos?………..………..……14

2.2 Quais impedimentos foram encontrados?………..…………..…15

2.3 Quais dados foram de fato utilizados?………..……….……17

2.4 Como utilizamos os dados?………..………..…..23

3 MÉTODOS ESTATÍSTICOS……….………25

3.1 O que queremos modelar?………..………..25

3.2 Teoria do Risco Coletivo………..………..25

3.3 Mistura de Distribuições………..…..30

3.4 Teoria da Ruína………..……….………..…31

4 A SIMULAÇÃO DO PLANO………..………..…35

4.1 A Simulação de Monte Carlo….…………..……….……….35

4.2 Aplicação da Simulação de Monte Carlo na Distribuição de X………..……..37

4.3 Aplicação da Simulação de Monte Carlo na Distribuição de S…………..…..39

4.4 Aplicação da Simulação de Monte Carlo no Processo de Ruína……….40

5 RESULTADOS OBTIDOS….………..……….42

5.1 Prêmio e Reserva Inicial……..….…..………42

5.2 Probabilidade de Ruína………..………….……45

6 CONCLUSÕES………..………55

REFERÊNCIAS……..……….………..56

CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO

1.1 - Os princípios do seguro

De um ponto de vista básico, um seguro existe para que se consiga diminuir riscos. O conceito do seguro em si vem do mutualismo, algo que pode ser interpretado de diversas formas. Qualquer interação mutualmente benéfica entre dois animais pode ser considerada como mutualismo, como por exemplo uma abelha polinizando uma flor, de forma que a abelha recebe o néctar e a planta possui o seu pólen transportado de uma planta para outra, garantindo assim a sua reprodução (BOUCHER; JAMES; KEELER, 1982).

Assim, toda a ideia do seguro se baseia no mutualismo. Um conjunto de pessoas realizam uma interação de forma que a mesma é benéfica para ambos. De um ponto de vista mais técnico voltado à Atuária, o mutualismo se da com um conjunto de pessoas com interesses em comum buscando formar uma reserva econômica para dividir um risco não previsto (DE SOUZA, 2007).

Tomando como exemplo prático um seguro de automóveis, um conjunto de pessoas decidem realizar uma interação mutualística tendo em vista que elas possuem o mesmo interesse: Minimizar os riscos de sofrer uma grande perda financeira com algo que possa a vir acontecer com o seu automóvel. Com isso, seguradoras unem um grupo de pessoas com esse interesse, assumem todos os riscos na forma dos sinistros retidos e repassam os mesmos para os segurados na forma de prêmios. É dessa base do mutualismo que se constrói um seguro.

1.2 - O seguro para aeronaves

Na seção anterior, demos como exemplo um seguro para automóveis, que se comportam de uma forma bem tradicional na atuária, seguindo um padrão em que se é possível prever como os seguros se comportam. Isso se dá pela própria natureza do seguro: A frequência com que se acontece seguros não tende a ter mudanças bruscas em determinados períodos de tempo e o quanto é gasto nesses sinistros também não tende a variar de forma brusca, com isso não chega a ser muito difícil de definir prêmios a serem pagos pelos segurados (BEIRLANT; DERVEAUX; DE MEYER; GOOVAERTS et al., 1992).

No entanto, quando tratamos de um seguro para aeronaves, a dinâmica muda totalmente. O bem segurado é diferente, de forma que ele varia muito tanto na frequência em que se ocorre o sinistro quanto no quanto deve ser pago em indenizações. Para exemplificar melhor, no que tange a frequência de sinistros no período de um ano, tivemos anos como 2017, quando que houve apenas uma queda de uma aeronave que gerou uma perda total da mesma e anos como 2016 em que houveram cinco acontecimentos da mesma forma (NATIONAL TRANSPORTATION SAFETY BOARD, 2019). Enquanto que de um ponto de vista de valor do sinistro, em uma só fabricante de aeronaves podemos ter as mesmas custando desde valores inferiores a US$ 100.000.000,00 e superiores a US$ 500.000.000,00 (BOEING COMMERCIAL AIRPLANES, 2019), o que implica que em anos diferentes, podemos ter um valor a ser pago de sinistros que pode ser até zero, quando não acontecem sinistros durante o período, até valores que ultrapassem a marca de 1 bilhão de dólares, quando temos diversas quedas de aeronaves valiosas.

Outro fator que diferencia o seguro de aeronaves para um seguro de automóveis, é o fator de que para o caso de automóveis, o item segurado é geralmente de posse de uma pessoa física, ou seja, possuímos diversos carros na carteira e podemos dividir os riscos dos mesmos entre diversos segurados. Para um seguro aéreo, companhias aéreas são donas de diversas aeronaves, assim se uma seguradora quiser segurar as suas aeronaves, ela estaria dividindo o seu risco com mais ninguém, pois ela é dona de todos os itens segurados.

Analisando esses fatores, conseguimos perceber que toda a dinâmica de seguros para aeronaves se comporta de forma diferente do convencional. É um seguro em que pode se variar muito os padrões de sinistro, que o faz bem mais difícil de prever do que uma carteira de seguro mais convencional, como de automóveis. Com isso, se mostra que é necessário usar formas não convencionais para se definir prêmios para segurar essas aeronaves.

1.3 - O por quê deste trabalho

Tendo analisado a seção anterior, percebemos que para montarmos um seguro de aeronaves, temos que partir de princípios e metodologias diferentes. Assim, o objetivo desse trabalho é de se desenvolver, a partir de Simulação de Monte Carlo uma metodologia para se precificar um co-seguro de aeronaves, se

baseando em companhias aéreas de uma mesma coligação aérea, para a partir de princípios de Teoria do Risco Coletivo e Teoria da Ruína, analisar se esse plano proposto seria estatisticamente seguro.

Além disso, esse trabalho também possui com objetivo que a metodologia de cálculo desenvolvida também possa, com seus devidos ajustes, precificar o prêmio de qualquer tipo de seguros que envolva acontecimentos raros, conhecidos como seguros de valores extremos.

1.4 - Conceitos básicos 1.4.1 - Co-seguro

Outro conceito que será amplamente discutido durante este trabalho, será o Co-seguro, que acontece quando um conjunto de seguradoras decidem partilhar um risco, sem solidariedade, mediante um contrato único de seguro (MARTINS-COSTA, 2002). Um exemplo disso pode ser expresso com a ideia de duas seguradoras de automóveis decidirem partilhar um risco de prejuízo em suas operações. Isso garante uma maior estabilidade financeira e solvência do plano de seguro.

1.4.2 - Acidentes aéreos.

Um acidente aéreo é qualquer eventualidade que aconteça com qualquer aeronave entre o momento de embarque de passageiros com o intuito de voar até o desembarque dele que cause vítimas ou feridos graves. (NATIONAL TRANSPORTATION SAFETY BOARD, 2019). É um conceito bem geral e que envolve muitas variáveis, de forma que pode ser considerado um acidente aéreo desde uma turbulência em que um passageiro que estava sem cinto se feriu, até uma queda em que causou perda total da aeronave e morte de todos os seus ocupantes. Nesse trabalho, iremos lidar apenas com casos em que o acidente causou perda total da aeronave, sendo eles com vítimas fatais ou não.

1.4.3 - Coligações aéreas

Coligações aéreas são consideradas como um grupo de companhias aéreas em que se acordou uma cooperação entre as mesmas, de forma que essas cooperações são feitas com base em acordos de mercado, facilitando conexões internacionais de passageiros (FERNANDEZ DE LA TORRE, 1999).

Um exemplo disso seria o fato de você conseguir comprar uma passagem aérea do Brasil para a Inglaterra, com uma escala em Portugal, voando em uma companhia aérea brasileira do Brasil a Portugal e em uma companhia aérea portuguesa de Portugal à Inglaterra comprando todos os trechos diretamente com a companhia aérea brasileira, em um só bilhete, sem necessitar comprar duas passagens aéreas diferentes pelo fato da companhia aérea brasileira e portuguesa serem da mesma coligação área.

1.5 - Revisão de Literatura

Quando se fala do tema de seguros para aeronaves, temos uma literatura bastante limitada. Não foi encontrado um trabalho que tenha de fato a simulação de como um seguro para aeronaves funcionaria. De um ponto de vista direto, de aplicação desse tipo de seguro, não foram achadas referências em língua portuguesa, espanhola ou inglesa.

No entanto, há trabalhos que tratam de seguros de aeronaves, mas com diferentes propósitos. Um exemplo disso seria o trabalho de SALAM (2003), que analisa fatores que influenciam nas probabilidades de queda de aeronaves, mas não faz de fato a precificação de um seguro para isso. Outro exemplo disso seria o trabalho de HALTER (2005), que trabalha de um ponto de vista legal como funcionam os seguros para aeronaves.

Assim, todo o trabalho foi feito de forma que não há uma referência base ou referência principal no mesmo, como um trabalho que segue um tema parecido. Assim, para cada parte do trabalho temos referências diferentes para embasa-las que são expostas ao longo do trabalho.

1.6 - Estrutura do trabalho

Durante esse trabalho, estruturaremos ele em capítulos. No Capítulo 1 temos uma breve introdução sobre o assunto. No Capítulo 2, falamos na forma como obtivemos as bases de dados para o trabalho e como as utilizaremos. O Capítulo 3 será onde iremos expor as metodologias estatísticas usadas durante o trabalho. No Capítulo 4, falaremos sobre como usamos os dados e as metodologias estatísticas para alcançar resultados. Já no Capítulo 5, iremos expor os resultados em si. Por fim, no Capítulo 6, teremos discussões finais e sugestões para trabalhos futuros.

CAPÍTULO 2 - FONTES DE DADOS

2.1 - Quais dados precisaríamos?

Tendo definido alguns dos pressupostos que usaremos durante esse trabalho, precisaremos analisar, de fato, quais dados usaríamos em um cenário onde criaríamos uma simulação hipotética que levasse em consideração todas as variáveis possíveis. Como estamos usando Teoria do Risco Coletivo e Teoria da Ruína, o que será definido no capítulo posterior, precisaríamos modelar a frequência de acontecimento do fenômeno e a severidade do mesmo (FERREIRA, 2005).

Porém, antes de pensarmos quais informações são necessárias ao trabalho, precisamos analisar uma particularidade desses dados. Esse trabalho está sendo produzido em 2020, meio à pandemia do coronavírus SARS-CoV-2. Com isso, tendo em vista que o mercado de aviação comercial foi fortemente afetado pela pandemia em questão (CHINAZZI; DAVIS; AJELLI; GIOANNINI et al., 2020), não utilizaremos dados do ano de 2020 nesse trabalho, já que ele estaria fortemente enviesado por efeitos da pandemia. Com isso, usaremos dados de até 2019. Inclusive, sugere-se um trabalho futuro sobre os impactos do SARS-Cov-2 na aviação comercial.

Então, no que se trata a frequência, um dos pontos que seria interessante ter na simulação em questão, seria a diferenciação de quais fatores influenciam diretamente na probabilidade de queda de uma aeronave (SALAM, 2003). Tudo isso se dá porque existem fatores que influenciam, de uma forma não acentuada, diretamente em probabilidades de queda de uma aeronave (SALAM, 2003).

O trabalho de SALAM (2003) usa dados até o ano de 2001, que precede o ataque terrorista às torres do World Trade Center, Nova Iorque, em 11 de setembro de 2001. Todo o sistema de segurança aérea mudou não só nos Estados Unidos, como em todo o mundo (OSTER JR; STRONG; ZORN, 2013), (SAVAGE, 2013), logo usar esses dados para modelar os fatores que influenciam nas quedas de aeronaves seria realizar uma aproximação muito distante da realidade do mercado de aviação comercial atualmente.

Com isso, para conseguirmos de fato termos uma modelagem de quais fatores influenciariam na queda das aeronaves, seguindo a Teoria da Credibilidade (FERREIRA, 2005), precisaríamos de uma base de dados de voos em que se

ocorreu um acidente aéreo (o evento estudado) e também uma base de dados de voos em todo o mundo (expostos ao risco).

Ainda sim, como queremos definir um seguro para as aeronaves, levando de um ponto de vista inicial que cada companhia aérea teria o seu próprio seguro, precisaríamos também de dados que modelem a frequência de queda de aeronaves por companhia aérea, o que indicaria em possuir dados a respeito da proporção da proporção de tráfego aéreo que cada companhia aérea é responsável.

Na questão da severidade, precisamos analisar até qual valor nosso co-seguro se propõe a cobrir, que seria o preço de uma nova aeronave idêntica ou similar e a indenização de todas as vítimas do acidente de uma das companhias aéreas da mesma codeshare, ou seja, mesma coligação aérea. A partir disso, precisamos buscar dados do quanto custa uma nova aeronave para cada uma das que estão inseridas na simulação.

Além disso, como o nosso co-seguro se propõe a também cobrir indenizações para todas as vítimas do acidente, precisaríamos de informações a respeito de probabilidades do que se pode acontecer com um passageiro em uma perda total de uma aeronave (morte, lesões ou apenas danos psicológicos) e a respeito do quanto custaria a indenização para cada pessoa vítima do acidente.

2.2 Quais impedimentos foram encontrados?

Na seção anterior, discutimos quais dados seriam necessários para realizarmos uma simulação que atingiria um grau máximo de fidelidade com a realidade. No entanto, ao analisarmos esses dados que precisaríamos, acabamos encontrando impedimentos causados pelas condições em que o trabalho está sendo feito, que nos forçaram a adaptar algumas das formas em que certos dados seriam utilizados.

O maior problema enfrentando de início foi da forma como iríamos de fato modelar os fatores que influenciariam na frequência de queda de aeronaves. Como citado anteriormente, de acordo com a Teoria da Credibilidade (FERREIRA, 2005), precisamos de uma boa base de dados de queda de aeronaves, em que a Aviation

Safety Network possui registro de todas as quedas de aeronaves comerciais ou

Seguindo ainda a Teoria da Credibilidade, como o evento de queda de aeronaves é um evento raríssimo de acontecer (LI; BAKER, 2007), precisaríamos levar em conta anos de dados no banco de dados de voos com acidentes. Isso não geraria um banco de dados grande e seria possível sim obter, como citado anteriormente, mas como consequência precisaríamos de anos de dados de todos os voos que aconteceram durante os anos que levaremos em consideração no banco de dados de voos que terminaram em acidentes. Com isso, se criou o primeiro impedimento claro, como iria se obter os dados de voos reais que não sofreram acidentes?

Ao se constar que não existe essa base de dados disponível livremente na internet, a opção que estudamos foi contatar diretamente a equipe da FlighRadar24 (www.flightradar24.com), plataforma online que registra voos em tempo real em todo o mundo, para checar a possibilidade de obter esses dados. Ao contar-mos a equipe em 13 abril de 2018, nos foi informado que para cada mês de dados de voos, seria cobrado em média cinco mil dólares. Com isso, por falta de recursos, inviabilizou-se trabalhar dessa forma.

Mesmo assim, outro fator que foi muito considerado ao pensar em como iriamos manipular os dados de frequência de sinistro foi a capacidade computacional. Foi-se pensado em usar alguma amostra desses dados do FlightRadar24 e expandir a mesma para de fato modelar os fatores que influenciariam na queda de uma aeronave, mas ao se tratar de anos de dados de voos reais, em que na última década tivemos dezenas de milhões de voos por ano (BELOBABA; ODONI; BARNHART, 2015), com a capacidade computacional possuída seria impossível tratar esses dados.

Outro fator que influenciou fortemente na frequência foi o tipo de seguro que propomos no início. A ideia seria fazer um seguro para uma companhia aérea, mas ao analisarmos que as frequências de quedas de aeronaves de qualquer companhia aérea ao longo de todo o mundo percebemos que nos últimos 5 anos tivemos entre 1 e 5 acidentes anuais (AVIATION SAFETY NETWORK, 2019) e que no mundo todo existem mais de 5000 companhias aéreas registradas (INTERNATIONAL AIR TRANSPORT ASSOCIATION, 2015), estaríamos modelando um seguro que apresentaria um risco de utilização muito baixo.

Ao falar de severidade do sinistro, também tivemos problemas para usar todos os dados que desejamos. No que se trata do preço de uma nova aeronave, muitas das aeronaves que se encontram ativas hoje são modelos antigos (FLIGHT AWARE, 2019) e como consequência não são mais fabricadas. Além disso, apenas as maiores fabricantes de aeronaves disponibilizam abertamente os valores das mesmas, sendo que várias fabricantes do mundo trabalham apenas com preços sob demanda. Assim, não seria possível definir um preço para uma aeronave nova de mesmo modelo para essas aeronaves.

Outro impedimento na modelagem da severidade foram os dados voltados a indenização de vítimas de acidentes aéreos. O que impede que consigamos modelar com exata precisão esse valor é o fato do mesmo ser influenciado fortemente pela legislação. Cada país possui sua própria lei para isto e assim o valor da mesma depende do local de origem e destino do voo, local de queda, país de origem da companhia aérea e se a vítima foi fatal ou não (HALTER, 2006). Como seria impossível modelar tudo isso devido a fatores financeiros e computacionais, não é possível retratar isso com exata fidelidade.

2.3 Quais dados foram de fato utilizados?

Na seção 2.1 falamos exatamente quais dados seriam necessários para de fato fazer uma modelagem que mais represente a realidade que iremos simular, enquanto que na seção 2.2 expomos todos os impedimentos que fariam com que nós não conseguíssemos obter os dados que foram planejados de início. No entanto, conseguimos pensar em soluções para obter dados que são sim disponíveis e possíveis de serem tratados e que ao utilizarmos teríamos uma simulação com um alto grau de fidelidade.

Primeiro, quando tratamos da modelagem da frequência de queda, levando em conta o fato de que não existem fatores que influenciam de forma muito acentuada na ocorrência de acidentes aéreos (SALAM, 2003), podemos trabalhar de forma que usamos uma frequência média de quantos voos sofrem acidentes de perda total durante o ano. Dessa forma, como as frequências de queda se alteraram muito ao longo dos anos (AVIATION SAFETY NETWORK, 2019), foi usada a média dos últimos 5 anos para definir a frequência média de acidentes com perda total de aeronaves na simulação que nos propomos a fazer.

No entanto, como falado na Seção 2.2, modelar um seguro para quedas de aeronaves de uma companhia aérea seria inviável, com isso a solução seria realizar um co-seguro, de forma que o nosso co-seguro se propõe apenas a cobrir quedas de aeronaves da coligação aérea estudada. Com isso, utilizamos de dados de coligações aéreas (INTERNATIONAL AIR TRANSPORT ASSOCIATION, 2015) para analisar a presença das maiores coligações aéreas no mercado de aviação comercial, e essa informação conseguimos analisar no Gráfico 1.

Fonte: IATA, 2015

Assim, analisando o Gráfico 1, podemos perceber que as coligações aéreas de maior presença no mercado não possuem uma discrepância tão grande. No entanto, percebemos que a Star Alliance é a coligação com maior presença de mercado, com volta de 23% do tráfego aéreo, e como consequência é a coligação que nos daria uma maior amostra para se trabalhar, assim minimizando a aleatoriedade que poderíamos enfrentar ao escolher outras coligações na nossa simulação (FERREIRA, 2005). Com isso, a coligação aérea que foi utilizada como base em todo o nosso trabalho será a Star Alliance.

Ainda assim, conseguindo definir em si a frequência de queda, para aeronaves de companhias da coligação aérea estudada, o fator que mais influencia

a severidade do sinistro é o modelo de aeronave que sofreu perda total. Tendo exposto anteriormente que não será possível modelar todos os efeitos que definem a frequência do sinistro, e que o modelo de aeronave em si não influencia fortemente na queda de aeronaves (SALAM, 2003), o fator que influenciará na frequência de queda de cada aeronave será apenas a quantidade de aeronaves do modelo em ar, informação que pode ser obtida em tempo real (FLIGHT AWARE, 2019).

Agora, como falamos da severidade, não foi possível fazer algo tão simples de se calcular. Vamos começar falando do preço por uma nova aeronave. O nosso co-seguro se propõe a analisar qual aeronave sofreu perda total e substituir ela por uma nova de mesmo modelo. Como impedimento definido no ponto 2.2, temos as fabricantes que não disponibilizam os preços de novas aeronaves abertamente. Com isso, a primeira alternativa a ser estudada foi apenas trabalhar com aeronaves das duas marcas mais usadas no mercado, a europeia AIRBUS e a americana BOEING.

Ao estudarmos a possibilidade de usarmos na simulação apenas AIRBUS e BOEING, percebemos que durante 2019, mais de 70% das aeronaves em atividade do mundo são dessas duas fabricantes (FLIGHT AWARE, 2019), que seriam 35 modelos diferentes, enquanto que se fossemos mapear todos, seriam mais de 270 modelos para mapearmos os custos de uma nova aeronave. Com isso, decidimos trabalhar de forma que iremos usar apenas dados de preços de novas aeronaves da AIRBUS (AIRBUS, 2018) e BOEING (BOEING COMMERCIAL AIRPLANES, 2019).

Para as aeronaves que ainda são produzidas, é fácil de definir o preço de uma nova, tendo em vista que eles são abertamente divulgados (AIRBUS, 2018) (BOEING COMMERCIAL AIRPLANES, 2019), porém várias das aeronaves que estão no ar no momento não são mais fabricadas (FLIGHT AWARE, 2019) (BOEING, 2019) (AIRBUS, 2018). Com isso, a lógica utilizada para definir o preço das aeronaves que não são mais fabricadas, em resumo, é que para casos de perda total de aeronaves que não são mais fabricadas, o seguro irá cobrir o preço de uma aeronave de mesma classe.

Para conseguirmos deixar isso mais claro, iremos utilizar como exemplo a BOEING. As aeronaves BOEING da família 737 são as mais utilizadas do mundo (FLIGHT AWARE, 2019). Ao analisar a família 737, percebemos que possuímos

diversos modelos de aeronaves Boeing da família 737, cada uma com seu preço, e que não necessariamente todas as aeronaves da mesma que estão em ar são ainda produzidas (FLIGHT AWARE, 2019) (BOEING COMMERCIAL AIRPLANES, 2019) (BOEING COMMERCIAL AIRPLANES, 2018). Isso se dá pois toda a família possui um tipo de mercado a ser atingido, mas a mesma é atualizada ao longo do tempo. Por exemplo, a aeronave Boeing 737-200 é um modelo antigo da aeronave Boeing 737-800, no entanto ambas possuem configurações semelhantes e atingem o mesmo mercado. Com isso, nesse trabalho, trabalharemos de forma que as aeronaves antigas serão listadas com o preço da aeronave mais barata de mesma classe ainda em produção.

Além de definirmos qual será a compensação gasta em uma nova aeronave, precisamos também definir os valores da compensação por morte ou lesões. Quando se trata de lesões, é um fator pouco padronizado e depende muito do grau da lesão, e por se tratar de uma variação tão grande, seria um imenso esforço computacional para definir essas variações, e com isso definimos que no nosso seguro lesões físicas não possuiriam indenizações. As únicas vítimas que estarão sujeitas a indenização financeira, serão aquelas fatais.

Definindo que trabalharemos apenas com vítimas fatais, precisamos definir qual será o valor da indenização para as mesmas. Para o caso delas, existem leis internacionais que padronizam em uma faixa de valores as mesmas, que dependem da Convenção de Montreal de 1999 (HALTER, 2006). Na mesma, se padronizou bastante os valores de indenização, que passaram a variar entre USD 144.200,00 a USD 188.500,00 de acordo com fatores de jurisdição dos locais de queda, origem e destino da aeronave, país de origem da companhia aérea e status familiar (HALTER, 2006). Como seria muito difícil modelar essas variações, definimos usar como indenização padronizada um valor médio de USD 166.350,00 por vítima fatal do acidente.

Tendo definido o quanto será pago em média para cada vítima fatal de um acidente, precisamos também definir quais dados usaremos para modelar a quantidade de vítimas fatais dentro desses acidentes. Para conseguirmos definir a quantidade de vítimas, precisamos definir quantas pessoas vão estar dentro a aeronave. Para definir isso, precisamos de um valor médio em porcentagem do quanto os passageiros ocupam assentos de voos ao redor do mundo. Assim, usando

da base de dados da AVIATION SAFETY NETWORK (2019) a respeito de passageiros em voo e assentos disponíveis na aeronave, encontramos um valor médio de ocupação de assentos de 71%, que será o valor padrão que usaremos de ocupação de assentos para cada voo durante a simulação.

Assim, tendo definido a taxa de ocupação de voos ao redor do mundo, precisamos definir a quantidade de assentos disponíveis para cada aeronave. No entanto, não podemos obter informações direto com a fabricante da aeronave sobre a quantidade de assentos em cada modelo das mesmas, pois esse número é totalmente personalizado, dependendo da configuração de assentos que a companhia aérea cliente deseja adquirir (BUREAU OF TRANSPORTATION STATISTICS, 2019), e por isso usamos a base de dados de voos da Bureau of Transportation Statistics para cruzar os dados de modelo de aeronave e quantidade de assentos na aeronave para cada voo, assim fazendo uma média da quantidade de assentos em cada modelo de aeronave do nosso banco de dados.

Tendo definido exatamente qual será a quantidade de assentos por tipo de aeronave e qual será a ocupação da mesma, temos a quantidade de pessoas que estarão em cada perda total de aeronaves. No entanto, como estamos modelando um seguro para quedas de aeronaves, precisamos agora definir quantas serão as fatalidades para cada perda total de aeronave, para conseguirmos por fim definir quanto será gasto em indenização para vítimas para cada acidente. Foi-se pensado em usar dados de média de porcentagem de mortes por acidente, mas percebemos que a distribuição desses valores é algo diferente, tendo em vista que há três casos diferentes quando vamos analisar: Os casos em que todos os passageiros morrem, os caso em que alguns passageiros morrem e outros sobrevivem e o caso em que todos os passageiros sobrevivem (NATIONAL TRANSPORTATION SAFETY BOARD, 2019), como podemos ver no Gráfico 2.

Fonte: NTSB, 2019

Assim, ao analisarmos o Gráfico 2, percebemos que não faria sentido definir médias ou distribuições conhecidas para porcentagens de mortes de passageiros para todos os casos de perdas totais de aeronaves, pois existe uma grande quantidade de casos em que essa porcentagem é 100%, outra parcela que é 0% e uma última em que o valores se distribuem de forma mais dispersada. Assim, usaremos os dados da National Transportation Safety Board para definir em três cenários diferentes, primeiro a probabilidade para cada um dos três casos, e para os casos em que há mortes e sobreviventes no mesmo acidente, usar a média e a variância da porcentagem de fatalidades para a nossa simulação.

Outro dado que foi necessário obter é a taxa de juros que usamos, tendo em vista que estaremos lidando com valores monetários ao longo do tempo. Como estamos trabalhando com o Dólar Americano para os valores de indenização por vítima fatal do acidente e para o valor de uma nova aeronave, trabalhamos com taxa de juros anual do Dólar Americano. Para definir a taxa de juros anual, usamos a Taxa de Juros americana do ano de 2019, que é de 2,37% (GLOBAL RATES, 2019).

2.4 - Como utilizamos os dados?

Tendo definido todos os dados a serem utilizados, precisamos agora pensar em como iremos de fato utilizar os mesmos. Primeiro, como exposto na seção 2.3, um dos fatores que mais influenciam na severidade de uma aeronave seria o modelo de aeronave que sofreu o sinistro. Por isso, preparamos uma base de dados com informações a respeito de cada aeronave incluída na simulação, como analisamos no Quadro 1.

Quadro 1: Variáveis da base de dados “Aeronave”

Tendo definido essa base de dados, outra base necessária será a de parâmetros a serem utilizados na simulação. Tendo em vista que esses fatores são independentes entre si, criamos apenas uma base de dados que inclui cada valor que foi definido durante a seção 2.3, como vemos no Quadro 2.

Variável Descrição

Modelo de aeronave Descreve fabricante, família e modelo da aeronave

Assentos Define a quantidade média de assentos para a aeronave

Valor Define o preço de uma nova aeronave igual ou similar

Probabilidade de queda Define a probabilidade de queda da aeronave usando probabilidade

Quadro 2: Parâmetros a serem usados na simulação

Assim, tendo essas duas bases de dados definidas, conseguimos reunir todas as informações que se fariam necessárias para a nossa simulação

Parâmetro Descrição

Coligação Porcentagem de voos que são da coligação aérea estudada

Indenização Valor a ser usado de indenização por morte

Morte de todos Probabilidade de que todos os ocupantes da aeronave se tornem

vítimas fatais

Morte de nenhum Probabilidade de que nenhum ocupante da aeronave se torne vítima fatal Média alguns A porcentagem média de vítimas fatais

retirando os casos em que todos se tornam ou nenhum se torna Variância alguns A variância da porcentagem média de

vítimas fatais retirando os casos em que todos se tornam ou nenhum se torna Frequência de acidentes Média de acidentes envolvendo perda

total de aeronave por ano Ocupação da aeronave Porcentagem média de ocupação de

assentos por passageiros nas aeronaves

Taxa de juros Taxa de juros mensais no plano para o dólar americano

CAPÍTULO 3 - MÉTODOS ESTATÍSTICOS

3.1 - O que queremos modelar?

Continuando o desenvolvimento deste trabalho, precisamos agora de fato entender o que se propõe ser modelado de um ponto de vista estatístico. Nos capítulos anteriores entendemos o que queremos modelar de um ponto de vista teórico mas não nos aprofundamos no sentido do tipo de resultado que esperamos para as modelagens nem como de fato vamos atingir o resultado que queremos atingir. No entanto, para esse capítulo, iremos discutir o que queremos modelar de um ponto de vista estatístico e quais ferramentas e métodos estatísticos iremos utilizar para realizar a mesma.

Primeiro, para pensarmos em quais métodos precisaremos usar para modelar, precisamos entender, de um ponto de vista estatístico, o que queremos ter como resultado no nosso trabalho. Resumindo bem, a ideia do nosso trabalho, como citado na Seção 1.3, é fazer o protótipo de um co-seguro para as companhias aéreas membros da coligação aérea estudada. Tendo em vista isso, precisamos definir o quanto o grupo de companhias aéreas irá pagar em uma periodicidade pré-definida para garantir uma solvência no plano seguindo princípios de Teoria do Risco Coletivo e Teoria da Ruína (DAYKIN; PENTIKAINEN; PESONEN, 1993).

3.2 - Teoria do Risco Coletivo

Tendo definido que precisamos trabalhar de forma a se conseguir calcular um valor a ser pago pelas companhias aéreas, temos que agora definir o que usaremos para calcular o Prêmio desse seguro, mas se existem diferentes abordagens para se calcular o mesmo. Primeiro, definiremos que iremos usar Teoria do Risco Coletivo para modelarmos o nosso plano tendo em vista que não possuímos a necessidade de modelar cada apólice do seguro (FERREIRA, 2005).

Outro fator que foi necessário definir é qual princípio usado para definirmos o nosso prêmio, tendo em vista que podemos calcula-lo por princípios diversos. Para este trabalho, usaremos o princípio do valor esperado, tendo em vista que ele é um princípio que pode ser utilizado na prática e é seguro, enquanto que princípios como o da equivalência iria se arruinar de acordo com a Teoria dos Jogos, princípios da variância e desvio-padrão dependem de variâncias estáveis, o que não se aplica no

nosso caso e o princípio da utilidade zero se baseia em situações onde os segurados possuem pouco capital e não conseguem arcar com seus compromissos de prêmio (FERREIRA, 2005), o que não se aplica no caso das nossas companhias aéreas, e assim o prêmio pelo princípio do valor esperado pode ser definido pela Equação 3.1 na forma de

(3.1)

aonde temos como a margem de segurança estatística do nosso plano, que pode ser definida na forma da Equação 3.2

(3.2)

de forma que temos como o quantil da distribuição normal que representa o grau de confiança do nosso seguro representado por e os valores de e representam, respectivamente, a Variância e Esperança da distribuição “valor total das indenizações da carteira” (FERREIRA, 2005).

Tendo a forma do cálculo do Prêmio definido, precisamos agora estudar a distribuição da variável aleatória “valor total das indenizações da carteira”. Logo, no modelo de risco coletivo, estudamos os sinistros de uma carteira como um todo, sem de fato nos preocuparmos com a característica individual de cada apólice, que pode ser descrito pela Equação 3.3 na forma de

(3.3) aonde temos como a variável aleatória “valor total das indenizações da carteira no período de 1 ano” o, como a variável aleatória “número de sinistros ocorridos em 1 ano” e como a variável aleatória “valor do i-ésimo sinistro da carteira”, que possui como função densidade de probabilidade na forma da Equação 3.4

(3.4)

aonde temos como a função de probabilidade da variável aleatória “valor de n sinistros” e a quantidade de sinistros que ocorrem no período (FERREIRA, 2005).

Conseguimos assim definir a função densidade da nossa variável aleatória “valor total das indenizações da carteira no período de 1 ano” como na Equação 3.4. No entanto, ainda precisamos definir os valores da Esperança e Variância da nossa

P = (1 + θ)E[S]

θ

θ =

Z

_E[S]

Var(S)

Z

δ

Var(S)

E(S)

S

_{= X}

+ X

+ . . . + X

S

N

X

f

(x) =

∑

p

_{P(N = n)}

p

N

distribuição, tendo em vista que se faz necessário definir esse valor para o cálculo do prêmio de acordo com as Equações 3.1 e 3.2. Dessa forma, os valores da Esperança e Variância da variável aleatória “valor total das indenizações da carteira no período de 1 ano” podem ser definidas pela Equação 3.5 e 3.6

(3.5) (3.6) tendo como variável aleatória “número de sinistros ocorridos em 1 ano” e como a variável aleatória “valor de 1 sinistro” (FERREIRA, 2005).

Assim, como vemos nas Equações 3.5 e 3.6, precisamos definir as distribuições de número de sinistros e valor de 1 sinistro. Primeiro, na variável número de sinistros, tendo como a variável aleatória “número de sinistros ocorridos em 1 ano”, temos duas distribuições em que podemos nos basear para modelar essa distribuição, que seriam a Distribuição de Poisson e a Distribuição Binomial Negativa. A decisão se baseia nos dados possuidos, de forma que usaríamos a Distribuição Binomial Negativa no caso de

(FERREIRA, 2005), mas como estamos usando como dados a quantidade de perdas totais de aeronaves nos últimos 5 anos, como definido no Capítulo II, esse não seria o nosso caso ao calcular esses valores. Assim, usaremos a Distribuição de Poisson para modelar a variável aleatória “número de sinistros ocorridos em 1 ano”.

Como iremos definir a Distribuição de Poisson para a nossa variável aleatória estudada, a distribuição pode ser definida na forma da Equação 3.7

(3.7)

e para o caso de estarmos lidando com um modelo de risco anual, definiremos pela Equação 3.8

(3.8)

aonde teremos como a quantidade de sinistros no ano e como a taxa de acontecimento do sinistro, que no nosso caso será a média de perdas totais de aeronaves ao longo últimos 5 anos dividido pela proporção de voos que são da nossa coligação estudada. Ainda assim, por propriedade da Distribuição de Poisson,

E[S] = E[N ]E[X ]

Var[S] = Var[X ]E[N ] + E[X ]

_{Var[N ]}

N

X

N

Var[N ] > E[N ]

P(N

= n) =

e

_(λt)

n!

P(N = n) =

e

_n!

λ

n

λ

teremos a Média e Variância desse acontecimento definido pela Equação 3.9 (FERREIRA, 2005).

(3.9) Usando o que foi obtido na Equação 3.9, temos uma mudança na Média e na Variância da variável aleatória “valor das indenizações da carteira em um período de um ano”, definidas nas Equações 3.5 e 3.6, que passarão a ser representadas nas formas das Equações 3.10 e 3.11, aonde a variável aleatória “valor total das indenizações da carteira” passará a ser considerada como uma Distribuição de Poisson Composta (FERREIRA, 2005).

(3.10)

(3.11)

Assim, aplicando a nossa taxa de ocorrência de sinistro na Distribuição de Poisson, obtemos no Gráfico 3, em forma de histograma, como a nossa Variável Aleatória “número de sinistros ocorridos em 1 ano” se comportará.

Fonte: Autoria própria

Tendo a distribuição da variável “número de sinistros ocorridos em 1 ano”, para definir o Prêmio nos resta apenas modelar a distribuição de “valor médio de 1 sinistro”. Para a definição dessa variável aleatória, temos dois métodos que podem

E[N ] = Var[N ] = λ

E[S] = λE[X ]

ser seguidos: O Método Paramétrico e o Não Paramétrico. O método paramétrico é feito para quando não possuímos um número de dados de sinistros grande, de forma que assumimos uma distribuição e utilizamos na modelagem, enquanto que o não paramétrico é usado para casos em que temos um número de dados de indenização grande.

No nosso trabalho, como não possuímos uma base de dados de indenizações e durante o trabalho precisamos criar uma base de dados de acordo com informações obtidas, usamos o método paramétrico para definição da nossa variável aleatória, definindo assim uma distribuição conhecida para a mesma.

No entanto, para conseguirmos definir a distribuição dos sinistros precisamos entender como se comporta a severidade do mesmo. Entendendo isso e analisando o fato de que a severidade do nosso sinistro varia muito de acordo com diversos fatores, como visto no Capítulo 2, não temos como definir uma distribuição conhecida sem entender de fato como essa distribuição se comporta, sendo impossível nesse momento assumir uma distribuição conhecida para a nossa variável aleatória. Tendo em vista esse cenário, para estudarmos a distribuição do valor médio dos sinistros, precisamos usar de Métodos Estocásticos como a Simulação de Monte Carlo, que será explanada posteriormente (DAYKIN; PENTIKAINEN; PESONEN, 1993).

Assim, realizamos uma Simulação de Monte Carlo para entendermos melhor a forma como a nossa variável aleatória “valor de 1 sinistro” se comporta, observando os dados em um histograma e tentando aproximar os valores obtidos a partir de uma curva de densidade, obtivemos o Gráfico 4.

Fonte: Autoria própria

Ao analisar o Gráfico 4, a nossa distribuição não se parece com nenhuma das distribuições mais clássicas de modelagem da variável aleatória “valor médio de 1 sinistro”, que são as Distribuições Log Normal, Pareto e Gama (FERREIRA, 2005), e ela assemelha com uma mistura de Distribuições Normais (BENAGLIA; CHAUVEAU; HUNTER; YOUNG, 2009), conceito que será definido na Seção 3.3 e será utilizado para definirmos a nossa variável aleatória “valor médio de 1 sinistro”.

3.3 - Mistura de Distribuições

Por definição, a mistura de distribuições é usada para modelar dados em que as observações podem ser provenientes de diferentes grupos populacionais (TAVARES, 2015). Dessa forma, analisando a natureza dos dados que definimos no Capítulo 2, percebemos que a distribuição da perda do nosso co-seguro proposto pode ser considerada sim como uma mistura de diferentes grupos populacionais, tendo em vista que o nosso sinistro depende da aeronave que sofreu perda total, de forma que cada aeronave seria uma população em si.

Partindo de um ponto de vista mais técnico do que seria uma mistura de distribuições, tendo X = {X₁, X₂, . . . , X_n} como uma amostra de variáveis

independentes e identicamente distribuídas, para uma mistura finita de k-componentes, o modelo de mistura em forma paramétrica é definida pela Equação 3.12

(3.12)

onde é o vetor de

parâmetros desconhecidos, denota o peso do k-ésimo componente tendo , e e tendo como o parâmetro da k-ésima

distribuição de probabilidade . Como estamos trabalhando com a distribuição do valor de sinistro, assumimos que são distribuições continuas e são elementos do mesmo universo da mesma família univariada de parâmetros com um vetor paramétrico , com . Para uma mistura como da Equação 3.12, a componente densidades são assumidas como da mesma família paramétrica e são diferenciadas apenas na forma da componente parâmetros (MILJKOVIC; GRÜN, 2016).

Assim, tendo definido de fato uma equação para qualquer mistura de distribuições que queiramos usar, como definido na Equação 3.12, ao analisar na Seção 3.2 percebemos que a nossa distribuição da variável aleatória “valor médio de 1 sinistro” será considerada como uma mistura de Distribuições Normais, que ao aplicarmos na Equação 3.8 temos a Equação 3.13 (TAVARES, 2015).

(3.13)

3.4 - Teoria da Ruína

Agora, tendo definido todos esses valores, precisamos pensar no que irá embasar a nossa simulação em relação a forma como o plano irá se comportar. Toda a ideia do nosso plano se baseia em analisar a solvência do mesmo ao longo do tempo, e o Teoria do Risco Coletivo é usado para se definir um Prêmio para cobrir um risco ao longo de um período x de tempo, que no nosso caso seria de um ano.

f (x|Ψ) =

_∑

π

ϕ

(x, θ

)

Ψ = (π′

, θ′

) = (π

, π

, . . . , π

, . . . , π

, θ′

, θ′

, . . . , θ′

, . . . , θ′

)

π

0 < π

≤ 1 ∀k ∈ {1,...,K}

θ

ϕ

( ⋅ )

ϕ

θ

τ = {ϕ

( ⋅ |θ

), θ

∈ Θ ⊂ R

}

ϕ

( ⋅ )

θ

f (x|Ψ) =

_∑

π

N

(μ

, σ

)

No entanto, queremos simular o nosso plano sendo exposto ao risco por alguns anos, e o Processo de Ruína é exatamente um processo onde analisamos, de forma estocástica, o excedente de uma operação de seguro ao longo de um período de tempo , o que garantiria a solvência da operação. Esse processo será definido na Equação 3.14 na forma de

, (3.14)

onde temos como o fundo inicial (reserva de risco), o total de prêmios auferidos no período , o total de sinistros retidos no período e

o excedente existente no instante (FERREIRA, 2005).

Tendo definido a o Processo de Ruína, temos que analisar como aplicaremos esses valores dentro da nossa simulação, tendo em vista que a Equação 3.14 é definida como um processo a ser usado de forma estocástica. Quando usamos a Teoria da Ruína, queremos calcular a probabilidade de ruína em um período , uma reserva inicial e um limite técnico de retenção de sinistros . No entanto, a obtenção desses parâmetros podem vir a ser muito complexos de serem obtidos e não há uma formulação que seja classificada como ideal pela comunidade atuarial (FERREIRA, 2005), dessa forma usaremos de formulações simplificadas definidas em (FERREIRA, 2005) para conseguirmos aplicar no nosso seguro proposto.

Com isso, usaremos um Modelo Prático de Ruína, onde se considerada a nossa variável aleatória “valor total das indenizações da carteira” como uma Distribuição de Poisson Composta em , como vimos nas Equações 3.10 e 3.11. Assim, aproximando por uma normal padrão, teríamos na forma da Equação 3.15

(3.15)

e a partir da mesma obter a nossa equação que ao ser isolada nos dará os valores os quais queremos obter, na forma da Equação 3.16

(3.16)

t

U(t) = μ + P

(t) − S

(t) t ≥ 0

μ

P

(t)

[0,t) S

(t)

[0,t)

U(t)

t

t

μ

LT

S

Z =

S

− λE[X

]

λE[X

_]

∼ N(0,1)

δ = P Z >

μ + P

− λE[X

]

λE[X

_]

de forma que temos como a probabilidade de ruína (FERREIRA, 2005).

Tendo definido a Equação 3.16, conseguimos obter fixando e e também conseguimos obter fixando e . Com isso, para calcularmos , usaremos a Equação 3.17 (FERREIRA, 2005).

(3.17)

Tendo definido e , nos resta apenas definir . Analisando a Equação 3.17, e tendo em vista que é necessário saber o limite de retenção de um seguro para sabermos os valores de e , o cálculo de será necessariamente definido por tentativa. Isso se dá pois não há uma fórmula amplamente aceita pela comunidade atuarial para a definição desse valor. Há abordagens em que se usam fórmulas empíricas que relacionam o valor do limite técnico com a retenção de prêmios e sinistros, assim como existem abordagens que usam de métodos financeiros para a obtenção do melhor tipo de resseguro no mercado, assim definindo um limite técnico (FERREIRA, 2005) Sugere-se em um trabalho futuro a aplicação desses métodos no seguro estudado nesse trabalho.

Dessa forma, usando a formulação da Equação 3.18, podemos realizar o cálculo de minimizando o valor de , ou seja, maximizando o valor de , que obteremos a partir de Métodos Estocásticos a serem explicados na sessão seguinte (FERREIRA, 2005).

(3.18)

No entanto, como citado anteriormente, no Modelo Prático de Ruína na Equação 3.15, todo o modelo e as Equações subsequentes se baseiam no princípio de que aproximamos a nossa variável aleatória “valor total das indenizações da carteira no período de 1 ano” por uma distribuição normal. Para conseguirmos analisar se fato se a nossa variável aleatória “valor total das indenizações da carteira no período de 1 ano” se assemelha a uma distribuição normal, realizamos uma Simulação de Monte Carlo, a ser explanada no Capítulo 4, para analisarmos como esses dados são distribuídos, como vemos no Gráfico 5.

δ

μ

δ

LT

LT

μ

δ

μ

μ = λE[X

] − P

+ Z

λE[X

]

δ μ

LT

P

S

LT

LT

δ

Z

f (LT ) =

μ + P

− λE[X

]

Fonte: Autoria própria

Assim, ao analisarmos o Gráfico 5, percebemos que a variável aleatória “valor total das indenizações da carteira no período de 1 ano” não consegue se aproximar de uma distribuição normal, tanto pelo fato da variável aleatória “valor médio de 1 sinistro” ser uma mistura de distribuições normais quanto pela variável aleatória “número de sinistros ocorridos em 1 ano” se repetir muito a não ocorrência do sinistro, como vemos no Gráfico 3, o que mostra que é um seguro de raro acontecimento.

Tendo definido que não conseguimos de fato analisar a probabilidade de ruína do nosso seguro realizando uma aproximação pela normal, a forma de conseguirmos analisar essa probabilidade de ruína, como definimos na Equação 3.16, e a margem de segurança do nosso seguro, definida na Equação 3.2, será usar a distribuição empírica da variável aleatória “valor total das indenizações da carteira no período de 1 ano” (FERREIRA, 2005), e como não conseguimos aproximar ela a uma distribuição já conhecida, usaremos de Processos Estocásticos, a partir da Simulação de Monte Carlo, para conseguirmos realizar a melhor aproximação possível.

CAPÍTULO 4 - A SIMULAÇÃO DO PLANO

4.1 - A Simulação de Monte Carlo

Quando falamos da Simulação de Monte Carlo, cientistas se referem a usar o método estatístico de usar modelos de probabilidade conhecidos para conseguir mensurar probabilidades a partir de uma gama de resultados. De um ponto de vista histórico, as Simulações de Monte Carlo começaram a ser usadas em logo após a Segunda Guerra Mundial, para se estudar a fissão nuclear, e o matemático Stanislaw Ulam criou o termo em alusão a um tio seu, que costumava usar esse estudo de probabilidade no Cassino de Monte Carlo. Com isso, temos a Simulação de Monte Carlo (DIZIKES, 2010).

Mas, porque se vê necessário usar a Simulação de Monte Carlo? Imagine uma situação em que queremos modelar a trajetória e velocidade em que um jogador de basquete arremessa a sua bola em direção a uma cesta e agora tome como verdade que nós conhecemos sim toda a trajetória e velocidade da bola. Dessa forma, podemos de forma simples criar uma equação para definir esses valores, e assim conseguimos prever como o arremesso irá se comportar.

No entanto, na realidade não é dessa forma que conseguimos analisar esses tipos de dados. Nesse caso em específico, a cada arremesso a bola pode se comportar de forma totalmente diferente, dependendo de fatores aleatórios que podem ser desde a posição dos pés do jogador até a altura em que ele saltou. Assim, a Simulação de Monte Carlo usa finitas amostras aleatórias de um fenômeno para conseguir modelar o comportamento do mesmo (DIZIKES, 2010).

O princípio da Simulação de Monte Carlo vem da ideia de que nós podemos usar do processo empírico de sorteios de valores aleatórios e definir uma estatística a partir da observação do comportamento do que estamos sorteando. A ideia se baseia em 5 passos: Especificar a sua pseudo-simulação a ser sorteada, sortear valores da sua pseudo-simulação, armazenar o valor obtido com a simulação, repetir a simulação n vezes e construir a sua distribuição com os valores obtidos (MOONEY, 1997).

Para conseguirmos de fato realizar a Simulação de Monte Carlo, usamos do princípio do sorteio de uma Distribuição de Probabilidade. Para conseguirmos realizar o sorteio de uma Distribuição de Probabilidade, tendo

f (x)

Densidade de Probabilidade, temos como a Função de Distribuição Acumulada, que pode ser definida pelas Equações 4.1 e 4.2

(4.1)

(4.2)

aonde temos a Equação 4.1 para Distribuições Discretas e a equação 4.2 para Distribuições Contínuas (ROSS, 2009).

Logo após obtermos a Função de Distribuição Acumulada, a partir da inversa da mesma, sendo ela denotada como , podemos obter um valor sorteado da Distribuição de a partir do sorteio de uma Distribuição Uniforme Y na forma de

, processo que pode ser exemplificado pela Equação 4.3 na forma de

(4.3)

aonde temos como o valor sorteado da Distribuição de , e como o valor sorteado da Distribuição de . Depois de repetirmos esse processo n-ésima vezes a distribuição dos valores de S se assemelhará à Distribuição de Probabilidade X como na equação 4.4 (PILLERS DOBLER, 2002).

(4.4)

De um ponto de vista mais geral, a Simulação de Monte Carlo é um processo usado quando precisamos definir uma distribuição de probabilidade para uma estatística e não possuímos uma forma de criar uma equação de distribuição de probabilidade para a mesma. Com isso, sorteamos o valor de uma amostra n vezes, armazenamos o valor e usamos os mesmos para construir uma distribuição de probabilidade. Assim, usando a metodologia supracitada, conseguimos realizar a simulação da forma como as nossas variáveis aleatórias estudadas iriam funcionar.

No que se trata da aplicação, a Simulação de Monte Carlo possui um princípio simples, onde sorteamos n vezes valores advindos de uma distribuição de probabilidade definida. No entanto, o que torna a Simulação de Monte Carlo um princípio complicado de se trabalhar é de fato precisarmos construir um algoritmo computacional para se realizar a simulação e ao fim interpretar os resultados obtidos com a simulação (MOONEY, 1997). Tendo isso, definido, nas próximas seções

F(x)

F(x) =

_∑

f (x)

F(x)∫

f (x)d x

F

_(x)

X

Y ∼ U(0,1)

S = F

_{(U )}

S

X

U

Y

S

X