PROBLEMÁTICA E OBJETIVOS DO ESTUDO: QUESTÕES ORIENTADORAS

On effectue `a pr´esent une modification de la sortie du montage teinte-plate afin de repr´esenter l’expression des franges monochromatiques :

I(∆L, σ) =I0[1 +Vcos(2πσ∆L−ϕo)] (X.4.1) en posant ∆Lcomme param`etre (`a d´eterminer) et σ la variable. Pour ceci, on effectue une dispersion spectrale du faisceau recombin´e.

Si l’on choisit un r´eseau comme ´el´ement dispersif, on effectue une dispersion lin´eaire enλ. On peut faire n´eanmoins l’approximation d’une dispersion lin´eaire en σ sur un intervalle spectral restreint. Si l’on souhaite observer les effets de la dispersion sur plus un grand intervalle spectral, il faut alors utiliser un hh grism ii, c’est-`a-dire l’association d’un prisme et d’un r´eseau (Traub 1990). Il ne faut pas confondre ce grism dithh `a dispersion constanteii

avec certains grisms utilis´es en spectroscopie o`u la dispersion du r´eseau est perpendiculaire `

a celle du prisme. En supposant le flux infini, l’intensit´e observ´ee sur le plan du d´etecteur lin´eaire apr`es dispersion s’´ecrit :

I(x) =I0 1 +Vcos 2π(κx+σ0)∆L−ϕo

(X.4.2) o`uκetσ0sont des param`etres li´es au montage qui caract´erisent la dispersion (σ =κx+σ0). L’expression pr´ec´edente est celle du hh spectre cannel´eii. Sa transform´ee de Fourier est :

b I(u) =I0 δ(u) + ^δ(u−κ∆L) 2 ^{exp i(2πσ0∆L}−ϕo) + ^δ(u+κ∆L) 2 ^exp −i(2πσ0∆L−ϕo) ^(X.4.3)

On voit que ∆L intervient de deux fa¸cons dans le r´esultat. D’une part sur la position de deux pics de Dirac complexes et d’autre part sur la phase de ces pics. `A cause du caract`ere discret du d´etecteur lin´eaire et en consid´erant queκx ≪σ0 sur l’intervalle des x, la variation de la phase est plus rapide que celle de la position des pics observ´es dans la TF. On ne va donc mesurer qu’une valeur approximative de ∆Ldont la compensation assurera la conservation du coh´eren¸cage. La m´ethode utilis´ee est la suivante. On calculeb_{It(u) pour}

chaque trame I_t de dur´ee inf´erieure `a τ0. Comme on a I_t(˘x) = I(x). (x) +B(˘x), la diff´erence de marche est alors donn´ee par :

g ∆L= ¹ κ^{arg maxu˘}  ^X t |^bI_t(˘u)|²   _{; (u >0) (X.4.4)}

Le nombre de trames doit ˆetre suffisant pour que le pic-franges apparaisse nettement dans

P

t|^bI_t(u)|2

. Contrairement `a la d´etection synchrone, la m´ethode du spectre cannel´e (ap-pel´ee aussi group delay tracking) donne donc une valeur moins pr´ecise de la diff´erence de

marche qui ne tient pas compte des variations rapides dues `a la turbulence atmosph´erique. La valeur de ∆Lpeut donc ˆetre obtenue au bout d’un temps plus long (quelques secondes) et donc avec des flux plus bas. Ainsi, alors que sur Mark III la d´etection synchrone ´echoue `

a moins de 30 photons par trame (Shao & Staelin 1980), le group delay tracking permet un suivi actif jusqu’`a 10 photons par trame (Lawson 1995). De plus, la dispersion permet d’augmenter la longueur de coh´erence et autorise donc une plus grande tol´erance pour ∆L

(qui d’ailleurs n’a pas n´ecessairement `a ˆetre annul´e). Cette longueur de coh´erence peut ˆetre calcul´ee de la fa¸con suivante dans le cas de l’utilisation d’un grism. La dispersion du grism, somme des dispersions du prisme et du r´eseau, s’´ecrit :

dθ dσ ^=pσ+ m a ^σ −2 (X.4.5)

p ´etant une constante d´ependant du prisme, a le pas du r´eseau et m un entier relatif (l’ordre de diffraction du r´eseau). La dispersion est suppos´ee constante au voisinage du nombre d’ondeσc tel que d2

θ/dσ2

|σ=σc = 0. L’expression deσc obtenue `a partir de (8.4.5) est alors : σc = 2m ap 1/3 (X.4.6) La dispersion en σc peut ˆetre approxim´ee par :

dθ dσ σ=σc ≈ ^3m aσ2 c (X.4.7) Le plus petit ´ecart angulaire mesurable par le syst`eme d´ecrit par la figure X.3 est :

δθ= ¹

σl ^(X.4.8)

l ´etant la largeur d’ouverture du grism et de la lentille. Pour une bande spectrale centr´ee sur σc, `a partir de (X.4.5), on peut alors faire l’approximation pourδσ (Traub 1990) :

δσ= ^aσ

2 c

3mσl ^(X.4.9)

On peut alors consid´ererδσ ´egal au pas minimal d’´echantillonnage du spectre cannel´e.

Par cons´equent, la fr´equence maximale des franges du spectre cannel´e, correspondant `a la diff´erence de marche maximale permettant l’observation des franges, s’´ecrira en vertu du th´eor`eme de Shannon :

Faisceaux des deux ouvertures combines Grism Lentille Detecteur lineaire « Profil d'intensite , , ,

Figure X.3. Syst`eme d’observation du spectre cannel´e en interf´erom´etrie.

∆Lmax = ¹ 2δσ ⁼ 3mσl 2aσ2 c (X.4.10) Pour que toutes les franges puissent ˆetre observ´ees, on prendraσ=σ1(minimum du spectre). En posant σc = 1,67.106 m−1 , σ1 = σc/√ 2 = 1,18.106 m−1 , σ2 = √ 2σc = 2,36.106 m−1 (largeur spectrale donnant une variation maximale de dispersion de 14% par rapport `a

dθ/dσ|σ=σc), a = 22 µm (valeur donn´ee par W.A. Traub), m = 1 et l = 50 mm, on

obtient ∆Lmax = 1,44.10−3

m. Sans dispersion des franges (donc en utilisant la d´etection synchrone), on aurait eu ∆Lmax =Lc/2 = 1/2∆σ = 4,24.10−7

m. On a donc multipli´e la longueur de coh´erence par un facteur 3 400.

On est alors limit´e par le nombre de pixels du d´etecteur, souvent inf´erieur `a 1 000 dans le cas de l’utilisation d’une cam´era `a comptage de photons. Le nombre de pixels du d´etecteur s’identifie alors au nombres de hh canaux spectraux ii du syst`eme. Disposer du plus grand nombre de canaux spectraux peut ˆetre exploit´e de deux mani`eres :

a) Soit en ´elargissant l’intervalle spectral observ´e, ce qui permet de collecter davantage de photons (en fonction du spectre de l’objet observ´e) et donc d’accroˆıtre directement la sensibilit´e de la d´etection de franges.

b) Soit en diminuantδσ, ce qui augmente la longueur de coh´erenceLc et rend le syst`eme plus robuste. Le temps d’int´egration peut alors ˆetre allong´e, ce qui am´eliore ´egalement la sensibilit´e.

Ce sont donc les besoins scientifiques qui vont d´eterminer l’intervalle spectral `a adopter. En effet, un autre avantage de la m´ethode du spectre cannel´e est la possibilit´e de mesurer des visibilit´es `a diff´erentes longueurs d’ondes. Toutes ces qualit´es ont valu `a cette m´ethode d’ˆetre utilis´ee sur l’interf´erom`etre SUSI (Tango et al. 1991), ou d’ˆetre pr´evue pour le projet CHARA (ten Brummelaar 1995).

Si, en th´eorie, la dispersion spectrale se pr´esente donc comme une panac´ee pour les in-terf´erom`etres `a teinte-plate, la r´ealit´e est assez diff´erente. En effet, les photons doivent ˆetre r´epartis sur plusieurs pixels d’un d´etecteur. Or, si l’on observe dans l’infrarouge, on ne peut pas faire de comptage de photons. On est alors oblig´e d’employer des d´etecteurs de type

hh ´etat solide iicaract´eris´es par un hh bruit de pixel ii. Chaque pixel lu est affect´e d’un bruit moyen tr`es sup´erieur au bruit par pixel et par temps de trame d’une cam´era `a comptage de photons. `A nombre de photons ´egal, on aura donc int´erˆet `a r´eduire au minimum le nombre de pixels, de fa¸con `a augmenter le RSB. La d´etection synchrone, technique monopixel, peut alors se r´ev´eler optimale en terme de sensibilit´e.