Problema 2.(b) da Ficha de Trabalho n.º 2

Esta foi a primeira tarefa problemática (Anexo 2.6.) apresentada aos alunos no contexto de problemas de otimização. O objetivo principal foi analisar como os alunos abordam um problema deste tipo e se recorrem ou não à relação entre o sinal da função derivada, sentido de variação e extremos da função original, lecionada nas aulas anteriores. Além disso, este problema servirá de base para a análise dos restantes no que se refere às capacidades de interpretação dos alunos e à forma como estes respondem ou não ao problema de acordo com o pretendido.

Compreensão do problema

Uma vez que a tarefa é constituída por duas alíneas, sendo o problema a segunda, o primeiro contacto dos alunos com a situação apresentada foi na alínea (a). Nesta questão verificaram-se muitas dificuldades e a maioria dos alunos solicitou o meu apoio uma vez que não estava a conseguir encontrar a expressão indicada no enunciado. A

2. A Filipa pretende colocar no jardim da sua casa uma piscina retangular com 64 𝑚2 de área.

(a) Prova que o perímetro da piscina é dado pela expressão 𝑃(𝑥) = 2𝑥 +

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𝑥 , onde 𝑥 representa o comprimento da piscina, em metros.

(b) Determina as dimensões da piscina para que o seu perímetro seja mínimo.

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resolução desta questão foi bastante demorada, no entanto, grande parte da turma acabou por chegar à equação dada, compreendendo o seu significado.

Ao iniciarem a resolução do problema de otimização os alunos já estavam familiarizados com o contexto em questão e, de imediato, começaram a procurar formas de determinar as dimensões mínimas da piscina.

Elaboração do plano

Apesar de os alunos compreenderem facilmente o objetivo do enunciado, como nunca tinham resolvido um problema de otimização deste tipo, a maioria sentiu algumas dificuldades em iniciar a sua resolução. Assim, muitos alunos discutiram entre si a forma como poderiam abordar o problema, sentindo-se inicialmente um pouco “perdidos”. Alguns chegaram a solicitar o meu apoio, questionando-me sobre a estratégia a seguir. Tal como habitualmente, e até tendo em conta o estudo que realizo, optei por não responder diretamente aos alunos, questionando-os apenas sobre os métodos que conhecem para determinar máximos e mínimos de funções. Após alguns minutos, a generalidade dos alunos pareceu encontrar uma estratégia adequada e iniciou a resolução do problema.

Execução do plano

Embora tenham sentido algumas dificuldades em elaborar o plano, todos os alunos perceberam que podiam abordar o problema através dos conhecimentos sobre derivadas e optaram por essa estratégia (Tabela 2).

Estratégia adotada Nº de alunos (n=24)

% de alunos Recorre à noção de derivada e utiliza a calculadora

gráfica 20 83%

Recorre à noção de derivada e não utiliza a calculadora

gráfica 1 4%

Não resolve 3 13%

Tabela 2- Tipo de estratégia utilizado pelos alunos na resolução do Problema 2.(b) da Ficha de Trabalho n.º 2

Os alunos começaram por derivar a função que representa o perímetro da piscina, recorrendo às regras de derivação, sendo que todos o fizeram corretamente. Em seguida, de modo a aplicar a relação entre o sinal da função derivada, o sentido de variação e

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extremos da função original, os alunos calcularam os zeros da função derivada. Uma vez que esta se tratava de uma função racional, grande parte dos alunos sentiu algumas dificuldades em resolver a equação, não sabendo como proceder com o denominador. Apesar das dificuldades e de demorarem um pouco mais de tempo do que o previsto, 12 alunos optaram por reduzir toda a expressão ao mesmo denominador e destes, nove enfatizaram que o denominador teria de ser diferente de zero (Figura 11) enquanto os outros três desconsideraram essa condição.

Figura 11 - Parte do cálculo dos zeros da função derivada do Problema 2.(b). da Ficha de Trabalho n.º 2, realizado pelo Henrique

Independentemente da forma como calcularam os zeros da função derivada, à exceção de dois alunos, todos concluíram que esta se anulava para 𝑥 = −8 e 𝑥 = 8. Os alunos em questão, o Nuno e a Mariana, ignoraram a duplicidade da raiz de 64, considerando apenas a raiz positiva (Figura 12).

Figura 12- Cálculo dos zeros da função derivada do Problema 2.(b) da Ficha de Trabalho n.º 2, realizado pelo Nuno

O Nuno de imediato identificou 8 como sendo o valor do comprimento para o qual o perímetro da piscina é mínimo, mas não foi o único. Outros três alunos indicaram a resposta final excluindo o valor negativo. Tendo em conta que recorreram aos seus conhecimentos sobre derivadas, o facto de os alunos não terem verificado o sinal da função derivada revela que não se recordam dos exemplos em que, apesar de a derivada ter zeros, a função original não tem extremos. Assim, verifica-se que os alunos não desenvolveram aprendizagens sólidas neste âmbito, assumindo de imediato que os zeros da função derivada correspondem aos extremos da função original.

Todos os outros 18 alunos depois de calcularem os zeros da função derivada construíram um quadro de sinal para estudar o sinal da função derivada e o sentido de variação da função original. O facto de a maioria dos alunos compreender que necessita de estudar o sinal da função derivada para em seguida constatar o sentido de variação da função original revela que realizaram aprendizagens significativas neste âmbito.

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Já no que se refere aos conhecimentos acerca do domínio de uma função racional grande parte dos alunos evidencia lacunas. Assim, além de apenas nove alunos terem incluído nas suas resoluções a condição 𝑥2 ≠ 0, destes apenas três incluem esta restrição no quadro de sinal, como por exemplo a Laura (Figura 13).

Figura 13 - Quadro de sinal da derivada construído pela Laura, na resolução do Problema 2.(b) da Ficha de Trabalho n.º 2.

De notar ainda que, apesar de terem referido que o denominador tem de ser diferente de zero ao resolverem a equação 𝑃’(𝑥) = 0 , apenas três alunos indicaram expressamente que para 𝑥2 _{ser diferente de zero, 𝑥 tem de ser diferente de zero. No}

entanto, nenhum dos alunos que concluiu 𝑥 ≠ 0 incluiu esta condição no quadro de sinal. Os três alunos que incluíram a restrição nas suas construções fizeram-no tendo em conta exclusivamente a condição 𝑥2 ≠ 0, o que apesar de revelar que reconhecem que esta condição só é válida se 𝑥 ≠ 0, mostra também que não compreendem a necessidade de indicar exatamente os pontos em que a função não está definida.

Tal como pode ser observado pela Figura 13, o quadro de sinal da Laura não inclui o valor máximo nem o valor mínimo, apenas o maximizante e o minimizante. Uma vez que nessa mesma aula, a propósito de um exercício da aplicação, a Laura tinha ido ao quadro apresentar a sua resolução onde construiu um quadro semelhante e totalmente correto, penso que esta falha se deve a uma distração, até porque se trata de uma das alunas com menos dificuldades na disciplina.

Os restantes alunos construíram o quadro de sinal, incluindo os valores máximo e mínimo ou pelo menos a indicação 𝑃(−8) e 𝑃(8), respetivamente, como por exemplo a aluna Tânia (Figura 14).

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Figura 14- Quadro de sinal da derivada construído pela Tânia, na resolução do Problema 2.(b) da Ficha de Trabalho n.º 2.

Não posso deixar de referir que, ao contrário da Tânia, dos dez alunos que não incluíram diretamente no quadro o valor máximo e mínimo (−32 e 32), oito escreveram 𝑓(−8) e 𝑓(8) como extremos da função, tal como se pode observar na resolução da Joana (Figura 15).

Figura 15- Quadro de sinal da derivada construído pela Joana, na resolução do Problema 2.(b) da Ficha de Trabalho n.º 2.

À semelhança da Joana, a aluna Mariana também indica no quadro qual dos extremos corresponde ao máximo e ao mínimo. No entanto, tal como é visível na Figura 16, considera como máximo 𝑓(0). Uma vez que esta foi uma das alunas que considerou a condição 𝑥2 ≠ 0 na resolução da equação 𝑃′(𝑥) = 0, penso que deva existir uma ligação entre esse facto e o quadro apresentado. Além disso, tal como já referi acima, a Mariana não considerou 𝑥 = −8 como uma das soluções, pelo que não incluiu este valor no quadro de sinal, o que a pode ter levado a assumir que 𝑓(0) seria o valor máximo.

Figura 16- Quadro de sinal da derivada construído pela Mariana, na resolução do Problema 2.(b) da Ficha de Trabalho n.º 2.

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Tal como sugere a Tabela 2, a maioria dos alunos utilizou a calculadora gráfica, para construir o quadro de sinal. Como referem nas suas resoluções, os alunos optaram por estudar o sinal da função derivada por observação do gráfico na calculadora, e apenas a Leonor preferiu fazê-lo analiticamente esboçando o gráfico da função. Uma vez que no cálculo dos zeros a aluna só considera o numerador, para estudar o sinal da derivada esboça apenas a parábola 2𝑥2 − 128 (Figura 17), o que evidencia algumas lacunas nos conhecimentos sobre funções e a sua representação gráfica.

Figura 17- Esboço da função 𝟐𝒙𝟐− 𝟏𝟐𝟖, realizado pela Leonor, na resolução do Problema

2.(b) da Ficha de Trabalho n.º 2.

Análise retrospetiva

Como é sugerido pela Tabela 3, após identificarem os extremos da função, 14 alunos deram uma resposta final ao problema. De notar que dos dez alunos que não responderam, três não resolveram o problema.

A maioria dos alunos respondeu de forma sucinta indicando apenas as dimensões da piscina, como por exemplo o aluno Tiago (Figura 18).

Figura 18 - Resposta do Tiago ao Problema 2.(b) da Ficha de Trabalho n.º 2.

Apesar de o enunciado pedir apenas as dimensões da piscina para o qual o perímetro é mínimo, 11 alunos, independentemente da forma como determinaram o mínimo, optaram por calcular o valor do perímetro. Não considero este processo estranho,

Apresentação da resposta final Nº de alunos (n=24) % de alunos Apresenta uma resposta 14 58%

Não responde 10 42%

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uma vez que dos 11, oito incluíram o valor do perímetro máximo e mínimo no quadro de sinal. No entanto, tendo em conta o contexto do problema, o facto de os alunos calcularem 𝑃(−8), sendo 𝑃 o perímetro de um retângulo revela que enquanto estão a resolver os problemas não se preocupam com o contexto, efetuando os processos mecanizados, mesmo que eles não façam sentido em determinada situação (Figura 19).

Figura 19 - Cálculo de 𝑷(−𝟖) e 𝑷(𝟖) e quadro de sinal da derivada, realizados pela Leonor,

na resolução do Problema 2.(b) da Ficha de Trabalho n.º 2

Pelo lado positivo, devo referir que nenhum dos alunos que optou por não incluir os valores do máximo e do mínimo no quadro de sinal calculou 𝑃(−8), o que revela que não sentiram necessidade de confirmar que 8 era o comprimento mínimo, demonstrando bons conhecimentos na interpretação dos resultados do quadro de sinal, ou seja, na relação entre o sinal da função derivada e sentido de variação e extremos da função original.

Dos 11 alunos que calcularam o perímetro mínimo, três fizeram-no exclusivamente para determinar o valor da largura da piscina (Figura 20). Todos os outros optaram por utilizar a informação de que a área da piscina é 64𝑚2 _{e aplicaram a fórmula}

da área do retângulo (Figura 21).

Figura 20 - Cálculo do valor da largura mínima da piscina, realizado pela Sara, na resolução do Problema 2.(b) da Ficha de Trabalho n.º 2

Figura 21- Cálculo do valor da largura mínima da piscina, realizado pela Isabel, na resolução do Problema 2.(b) da Ficha de Trabalho n.º 2

90 Síntese

De uma forma geral, ao finalizar esta análise a conclusão principal que posso retirar é que os alunos recorreram massivamente aos conhecimentos sobre a relação entre o sinal da função derivada, o sentido de variação e extremos da função original para resolver o problema de otimização. Uma vez que este tipo de estratégia nunca lhes tinha sido apresentado penso que, tal como sugere Threfall (2002), a estratégia emergiu quando os alunos contactaram com o problema. Tendo em conta as características do mesmo, os alunos terão percebido que para determinar as dimensões mínimas da piscina deveriam determinar o mínimo da função apresentada, fazendo assim uso dos novos recursos de que dispunham, neste caso da relação entre a função derivada e a função original. Ao reconhecerem que esta relação pode estar na base da estratégia para a resolução de um problema de otimização, os alunos demonstram ter realizado aprendizagens significativas, nomeadamente, no que se refere à utilidade prática da relação.

Relativamente à fase inicial de resolução, apesar de os alunos terem revelado muitas dificuldades em equacionar a expressão pretendida na primeira alínea da tarefa, o contacto com o contexto apresentado permitiu que ao iniciarem o problema já estivessem familiarizados com a situação, o que facilitou a compreensão.

No que se refere à aplicação dos conhecimentos sobre derivadas, os alunos mostraram não sentir quaisquer dificuldades na aplicação das regras de derivação, o que vai ao encontro do estudo realizado por Orton em 1983, onde este concluiu que os estudantes apresentam um domínio razoável dos algoritmos necessários para o cálculo de derivadas em casos simples. Ao calcularem os zeros da função derivada os alunos revelaram alguma falta de conhecimentos no âmbito das funções racionais, nomeadamente no que se refere ao domínio das mesmas. Após o cálculo dos zeros da função derivada, grande parte dos alunos prosseguiu as suas resoluções construindo um quadro de sinal da derivada, o que demonstra que reconhecem a necessidade de estudar o sinal da função derivada para posteriormente identificar o sentido de variação da função original e respetivos extremos. De modo a estudar o sinal da função derivada, apenas uma aluna não recorreu à calculadora gráfica, o que mostra que os alunos sentem à vontade para recorrer a esta ferramenta e a consideram útil neste contexto. Por outro lado, fica claro que evitam fazer o esboço de funções, o que vai ao encontro do que constatei ao longo de todo o ano letivo, isto é, de que os alunos têm sérias dificuldades em representar funções sem as visualizar na calculadora gráfica.

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Muitos alunos revelaram também algumas dificuldades em indicar corretamente a função. Assim, apesar de o problema se referir à função 𝑃(𝑥) vários alunos utilizaram a letra 𝑓 no lugar de 𝑃. Este facto remete para uma memorização que ocorre desde o Ensino Básico onde as funções se designam constantemente pela letra 𝑓 (ou em alguns casos 𝑔 e ℎ). Apesar de não condicionar as resoluções, não posso deixar de referir que revela bastante falta de espírito crítico por parte dos alunos, uma vez que calcular, por exemplo, 𝑓(8) não fazia qualquer sentido neste problema.

Relativamente à interpretação, verifiquei que muitos alunos não demonstram grande preocupação em atender ao contexto do enunciado, o que fica claro, por exemplo, na inclusão de valores negativos no quadro de sinal e no cálculo de 𝑃(−8).

De referir que os três alunos que não resolveram o problema, raramente realizaram as tarefas propostas nas aulas, o que terá a ver com o facto de possivelmente assumirem que estavam reprovados na disciplina de Matemática A, uma vez que as suas classificações variavam entre três e cinco valores.