Tarefa “Continuando na Estância de Ski”

Tal como o nome indica, esta segunda tarefa vem na continuação da tarefa “Estância de Ski”, sendo que a situação apresentada e respetiva função são as mesmas. Esta tarefa, (Anexo 2.2.) também de exploração, foi desenvolvida com o objetivo de introduzir o conceito de taxa de variação de uma função num determinado instante, bem como a sua interpretação geométrica. Pela importância da visualização na abordagem deste conceito, o recurso ao GeoGebra foi mais uma vez essencial, tendo sido a tarefa desenvolvida com esse propósito.

Analogamente à tarefa anterior, pela riqueza e complexidade dos conceitos envolvidos, a tarefa está dividida em duas partes. A Parte I, desenvolvida de modo a introduzir a taxa de variação num instante a partir da taxa média de variação, inicia-se com o cálculo da taxa média de variação para intervalos de amplitude cada vez menor. Assim, a ideia é que os alunos se apercebam que à medida que os extremos do intervalo se aproximam, o valor da taxa média de variação também se aproxima cada vez mais de um determinado valor. De um modo mais formal, podemos considerar uma função 𝑓 e o intervalo [𝑥₀, 𝑥], para 𝑥 ≠ 𝑥₀ com 𝑥 a aproximar-se de 𝑥₀ . Temos então 𝑡. 𝑚. 𝑣_[𝑥0,𝑥] = 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0)

𝑥−𝑥0 . No entanto, podemos dar a esta razão uma outra designação:

razão incremental da função 𝑓 entre 𝑥 e 𝑥₀. Esta nomenclatura decorre do facto de designarmos a diferença 𝑥 − 𝑥₀ por acréscimo ou incremento.

O limite, caso exista, da taxa média de variação quando 𝑥 tende para 𝑥₀ designa-se taxa de variação ou derivada da função 𝑓 no ponto 𝑥₀.

Assim, chama-se derivada da função 𝑓 em 𝑥0, e representa-se por 𝑓’(𝑥0), o limite

da razão incremental de 𝑓(𝑥) entre 𝑥₀ e 𝑥, quando 𝑥 tende para 𝑥₀ (se esse limite existir). 𝑓′(𝑥₀) = lim

𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥₀) 𝑥 − 𝑥₀

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Se a razão incremental não tiver limite quanto 𝑥 tende para 𝑥0 então dizemos que a

função 𝑓 não tem derivada no ponto 𝑥₀. Uma função diz-se derivável ou diferenciável num conjunto quando tem derivada finita em todos os pontos desse conjunto.

A fórmula análoga que também é abordada no Ensino Secundário é a seguinte:

𝑓′(𝑥₀) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥₀+ ℎ) − 𝑓(𝑥₀) ℎ

Esta resulta da simples transformação ℎ = 𝑥 − 𝑥₀ mas, se esta mudança não for explicada aos alunos, estes acabam por considerar que, apesar de servirem o mesmo objetivo, têm significados completamente diferentes. Para introduzir taxa de variação optei por esta segunda fórmula uma vez que, na minha opinião, numa primeira fase, é mais intuitivo para os alunos perceberem que os extremos se estão a aproximar e consequentemente ℎ tende para 0. No entanto, na sistematização da tarefa estas duas fórmulas foram abordadas, de modo que os alunos verificassem que são análogas. Além disso, para fazer esta exploração foi criado um seletor no sofware para que fossem justamente os alunos a escolher o incremento do intervalo, pelo que a designação deste por ℎ facilitou muito. Nesta questão, mais do que a exploração de outra ferramenta no GeoGebra, o meu objetivo foi que os alunos percebessem que os intervalos a construir deveriam ter amplitudes cada vez menores, fazendo a ligação com a questão seguinte, onde deveriam conjeturar o valor do qual se aproxima a taxa média de variação à medida que a amplitude do intervalo diminui.

A Parte II da tarefa, iniciada após a sistematização dos resultados e definição de taxa de variação/derivada num instante, tem como principal fim conduzir à interpretação geométrica deste conceito. Veja-se então o significado geométrico de taxa de variação. Consideremos a função 𝑓(𝑡) = 0.5𝑡2_{− 4𝑡 apresentada na tarefa. Podemos então}

considerar, por exemplo, o ponto 𝐴 = (5, 𝑓(5)) pertencente à curva (Figura 6). Seja agora 𝑃 = (𝑥, 𝑓(𝑥)) um ponto móvel sobre a curva 𝐶, que representa a função 𝑓. Como 𝑓 é contínua é fácil perceber que quando 𝑥 tende para 5 , 𝑦 tende para 𝑓(5) , ou seja, podemos afirmar que 𝑃 tende para 𝐴.

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Figura 6- Representação gráfica da função utilizada na tarefa “Continuando na Estância de Ski” com os pontos 𝑨 e 𝑷.

Podemos agora considerar a reta rdefinida por 𝑃 e 𝐴 e consequentemente calcular

o seu declive, designando-o por 𝑑. Então, por definição, 𝑑 =𝑦−𝑓(5)

𝑥−5 . Como 𝑦 = 𝑓(𝑥)

então 𝑑 =𝑓(𝑥)−𝑓(5)

𝑥−5 , ou seja a razão incremental que considerámos na definição de

derivada.

Quando x tende para 5 o ponto 𝑃 aproxima-se do ponto 𝐴 e a reta r aproxima-se da tangente t à curva no ponto A, pelo que o declive d tende para o declive 𝑑0 da

tangente t, isto é,

𝑑₀ = lim

𝑥→5

𝑓(𝑥) − 𝑓(5) 𝑥 − 5

Deste modo, em analogia com a definição de taxa de variação/derivada feita acima temos que, geometricamente, a derivada da função 𝑓(𝑡) no ponto de abcissa 5 representa o declive da reta tangente à curva 𝐶 nesse ponto.

Generalizando podemos considerar uma qualquer função contínua 𝑓, representada por uma curva 𝐶. Seja 𝑥₀ um valor de 𝑥 pertencente ao domínio de 𝑓 e tal que 𝑦₀= 𝑓(𝑥₀). Então 𝑃0=(𝑥0, 𝑦0) é um ponto da curva 𝐶. Seja agora um ponto genérico móvel sobre a

curva 𝐶, 𝑃 = (𝑥, 𝑦). Uma vez que a função é contínua, não é difícil perceber que quando 𝑥 tende para 𝑥0, 𝑦 tende para 𝑦0. Assim, diz-se que o ponto 𝑃 tende para o ponto 𝑃0 (Silva

& Paulo, 1968).

Podemos então considerar a reta definida por 𝑃 e 𝑃0 e consequentemente calcular

o seu declive, designando-o 𝑑 . Assim, 𝑑 =𝑦−𝑦0

𝑥−𝑥0. No entanto, como 𝑦 = 𝑓(𝑥) e 𝑦0 =

𝑓(𝑥₀) temos 𝑑 = 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0)

𝑥−𝑥0 , ou seja a razão incremental que considerámos na definição

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Supondo agora que quando 𝑥 tende para 𝑥0, 𝑑 tende para um limite finito 𝑑0,

𝑑₀ = lim

𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0)

𝑥−𝑥0 e a reta 𝑡, que passa por 𝑃0 e tem por declive 𝑑0 é atangente à curva

no ponto 𝑃₀.

Figura 7- Esquema representativo das sucessivas secantes a tenderem para a tangente (Silva & Paulo, 1968)

Considerando a figura acima torna-se fácil entender que quando 𝑃, ponto móvel, tende para 𝑃₀ (ponto fixo), a secante 𝑃₀𝑃 tende para uma posição limite, 𝑡, que é tangente à curva no ponto 𝑃0. Definimos o declive da curva no ponto 𝑃0 como sendo o declive da

tangente à curva nesse ponto.

Remetendo então para a definição de derivada fica claro que 𝑓′(𝑥0) representa

geometricamente o declive da reta tangente ao gráfico de 𝑓 no ponto de abcissa 𝑥₀.

Obviamente esta definição formal feita a partir de um exemplo genérico é bastante complexa para os alunos, o que por vezes pode levar os professores a evitar a abordagem geométrica. Aliás, a investigação comprova que a interpretação geométrica no contexto das derivadas acaba por ser pouco explorada, ficando a atividade dos alunos limitada à aplicação de processos analíticos que são mecanizados (Almeida & Viseu, 2002). Assim, considero que é necessário evitar que os alunos acabem apenas por “decorar” que a derivada de uma função num ponto é o declive da reta tangente ao gráfico da função nesse ponto, sem no entanto compreender verdadeiramente o significado. Acredito que através de uma situação bem planeada e recorrendo a um exemplo concreto, explorado de forma correta, a interpretação geométrica de derivada pode até tornar-se intuitiva para os alunos e foi com esse intuito que a tarefa foi desenvolvida.

Assim, à semelhança do que aconteceu na tarefa “Estância de Ski”, nesta segunda parte os alunos exploraram de forma mais acentuada a componente gráfica com o auxílio do GeoGebra, construindo pontos e retas para posteriormente estudarem o declive das

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mesmas. O seletor criado previamente volta a ser essencial, uma vez que os alunos poderão estudar o comportamento das retas e consequentemente do seu declive à medida que os valores estipulados pelo seletor se vão alterando. É nesta fase que os alunos contactam com a reta tangente ao gráfico em determinado ponto e conjeturam a relação entre o declive desta e a taxa de variação nesse ponto. Finalmente é pedida aos alunos uma generalização da interpretação geométrica da taxa de variação num determinado instante.