Problema de fluxo bifásico em ¼ de Five-spot: aplicação numérica de técnica de upwind CB e da Pressão Capilar

Outra aplicação da formulação de fluxo bifásico proposta neste trabalho consiste em um caso de fluxo imiscível de água e óleo em um meio poroso rígido bidimensional definido por ¼ de Five-spot com dimensões 100 x 100 metros. Trata-se de um problema de convecção-difusão onde o temo capilar é considerado para diferentes porcentagens, 10% e 50%, de seu valor total de forma a visualizar sua interferência na distribuição das saturações de água e óleo ao longo da malha de elementos finitos definida por triângulos lineares totalizando em 289 nós e 512 elementos (Figura 37).

Figura 37 – Malha de Elementos Finitos.

As propriedades de densidade e viscosidade, bem como as curvas permeabilidade relativa- saturação de água e pressão capilar-saturação de água são as mesmas adotadas no exemplo

unidimensional descrito anteriormente. O meio possui porosidade de 20% e é homogêneo e

isotrópico, onde 3 10 ².

A pressão de óleo inicial é 9,6 e a saturação de água inicial é 0,01. Como

condições de contorno são aplicadas uma vazão de injeção de água (poço injetor localizado no

nó 1) igual a 1 10 ³/ e uma vazão de produção (poço produtor locado no nó 289) em igual

valor.

Na Figura 38 estão apresentados os resultados, utilizando a técnica de upwind CB, da distribuição da saturação para os tempos de 2 e 10 anos, considerando os valores de 10% e 50% da curva capilar de referência.

(a) PC=10% (2 anos) (b) PC=10% (10 anos)

(c) PC=50% (2 anos) (d) PC=50% (10 anos)

Figura 38 – Influência da Pressão Capilar PC (difusão) na saturação de água: (a) PC=10% (2 anos); (b) PC=10% (10 anos); (c) PC= 50% (2 anos); (d) PC=50% (10 anos).

Com isso observa-se que considerando uma porcentagem menor da pressão capilar, o fluxo de água apresenta um comportamento bastante semelhante ao obtido em um caso de convecção dominante (Figura 38a), onde a descontinuidade do choque é mais perceptível (mais acentuada) que na solução para uma pressão capilar maior (Figura 38c) na qual o perfil de saturação é mais suavizado. Isto pode ser observado também na Figura 39 que mostra os perfis de saturação de água ao longo da diagonal que liga o poço injetor ao produtor. Quando se considera o tempo de 10 anos, verifica-se que ao adotar-se um escoamento menos difusivo (Pc=10%), há a formação de um “finger” na direção do poço produtor definida na diagonal que liga os poços, representando assim um comportamento similar ao apresentado por Karlsen et al (1999), para um perfil de saturação usando um método menos difusivo, mostrado na Figura 40b. Já no caso em que o termo capilar possui valores maiores, a frente de saturação é suavemente distribuída e apresenta uma formação de “finger” bem mais largo que na solução menos difusiva, na direção do poço produtor similar ao comportamento também apresentado por Karlsen et al (1999) que mostra a frente de saturação para métodos mais difusivos, conforme apresentado na Figura 40a.

Figura 39– Perfis de Saturação: influência da Pressão Capilar (difusão)

A Figura 41 apresenta os perfis de saturação de óleo que são análogos aos obtidos para saturação de água, tendo em vista sua dependência deste parâmetro. Estes perfis representam quanto óleo foi removido do meio poroso, considerando uma saturação inicial de óleo de 0,99.

(a) (b)

Figura 40 – Frentes de saturação para fluxo bifásico imiscível em ¼ de 5-spot homogêneo (Karlsen et al, 1999): (a) Perfil de saturação para método mais difusivo (“Five-point

scheme”); (b) Perfil de saturação para método menos difusivo (“Nine-point scheme”).

(a) PC=10% (2 anos) (b) PC=10% (10 anos)

(c) PC=50% (2 anos) (d) PC=50% (10 anos)

O gradiente de pressões no sentido do poço injetor ao poço produtor pode ser observado na

Figura 42, que apresenta a distribuição de pressão de água e de óleo ao longo do

reservatório, para um tempo de 10 anos considerando 10% da pressão capilar. A diferença observada entre os valores destas variáveis é devida à capilaridade considerada.

(a) PC=10% (10 anos) _{(b) PC=10% (10 anos)}

Figura 42 – Influência da Pressão Capilar (difusão) nas pressões de fluido para T=10anos: (a) Pressão de água Pw para PC=10%; (b) Pressão de óleo Po para PC=10%.

Diante dos resultados até aqui apresentados observa-se também que, ao considerar o termo de pressão capilar, os resultados referentes às produções acumuladas de água e óleo (Figura 43a) bem como as vazões de produção (Figura 43b) são influenciados, onde à medida que o problema se torna mais difusivo (maior capilaridade) à ocorrência do breakthrough é antecipada levando a uma produção de água superior à obtida no caso menos difusivo. Isto ocorre devido à chegada mais rápida da frente de saturação quando se considera valores maiores de pressão capilar. A forma do perfil de saturação também influencia a produção, conforme pode ser visto nas Figuras 41b e 41d, onde problemas menos difusivos proporcionam uma frente de saturação que faz a um varrido de óleo pela água mais efetivo, o que leva a produções acumuladas de óleo (Figura 43a) maiores para problemas envolvendo menores valores de pressão capilar. O mesmo impacto é observado quanto às vazões de produção de água e de óleo (Figura 43b).

(a) (b)

Figura 43 – Influência da Pressão Capilar (difusão) na produção de fluidos: (a) Produção acumulada de água e óleo; (b) Vazão de produção.

Por fim, passa-se a análise do problema proposto neste item considerando a solução através do programa CODE_BRIGHT sem utilizar a técnica de upwind CB. Para problemas de comportamento convectivo ou com baixa difusão o perfil de saturação tende a apresentar efeitos de oscilações numéricas e até levar à perda de convergência. Isto pode ser observado nas Figuras 44a e 44b, onde são apresentadas as distribuições de saturação de água e de óleo, respectivamente. Neste caso, ao assumir-se apenas 10% da pressão capilar, a solução obtida é

não-física e definida por saturação de água 1 e saturação de óleo abaixo do seu valor

residual (irredutível) 0,01. Para esta situação o programa apresentou convergência até um

tempo de 24 dias, encerrando o processo numérico neste instante. Os resultados das saturações de água e óleo para este caso e para o tempo de 24 dias estão mostrados nas Figuras 44a e 44b.

Já quando se considera um efeito difusivo maior, ou seja, admitindo uma pressão capilar de 50%, mesmo sem considerar a estabilização numérica, chega-se a uma solução até 10 anos (Figuras 44c e 44d), porém com uma distribuição não tão bem definida na região próxima ao poço injetor, possivelmente devida a oscilações numéricas. Com isso verifica-se que é

imprescindível a adoção da técnica de upwind para solução destes problemas, tendo em vista a estabilidade numérica que é fornecida.

Maiores investigações quanto ao efeito da pressão capilar sobre problemas de fluxo em meios porosos são propostas como continuidade deste seguimento do presente trabalho.

sem upwind, Pc=10% (24 dias) (a)

sem upwind, PC=10% (24 dias) (b)

sem upwind, Pc=50% (10 anos) (c)

sem upwind, Pc=50% (10 anos) (d)

Figura 44 – Resultados para programa sem utilizar técnica de upwind CB: (a) Saturação de água para PC= 10%; (b) Saturação de óleo para PC=10%; (c) Saturação de água para

CAPÍTULO 4