Problema de Buckley-Leverett: aplicação e validação da técnica de upwind CB

A solução analítica de Buckley-Leverett descreve o deslocamento imiscível de óleo pela água em um meio poroso rígido unidimensional e homogêneo. Esta solução foi obtida por Buckley e Leverett (1942) para problemas de fluxo bifásico imiscível sem considerar o termo de capilaridade (difusão física) sendo um método clássico para este tipo de verificação. Esta equação determina a velocidade de um perfil de saturação constante através de um sistema linear.

Partindo-se da equação de conservação de massa de fluido (Equação 24), considera-se o deslocamento unidimensional de óleo pela água, desprezando os termos de gravidade, capilaridade e fonte, e assumindo-se a velocidade do fluido q constante chega-se à equação de Buckley-Leverett: w q fw w 0 w S S t S x φ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ (123)

Onde f_w é definido como o fluxo fracionário que determina a fração de fluxo total devido à

água em qualquer ponto de um reservatório, admitindo que a saturação seja conhecida neste ponto. Sua expressão é:

f 1 1 w w ro rw o k k μ μ = + (124)

Segundo Carvalho (2005) a equação de Buckley-Leverett é do tipo hiperbólica de transporte

não-linear, onde o termo q fw

w S

∂

teoria deste problema encontram-se descritos nos trabalhos de Buckley e Leverett (1942), Helmig (1997), Santos (2002) e Carvalho (2005), entre outros.

Portanto, diante do exposto anteriormente, foi simulado o problema de Buckley-Leverett de

forma a comparar a solução numérica obtida utilizando a formulação pressão-saturação via

CVFEM com a técnica de upwind CB com a solução analítica de Buckley-Leveret. Também são comparadas as soluções numéricas obtidas por Santos (2002) utilizando o programa de

elementos finitos CODE_BRIGHT (Olivella et al, 1995), que utiliza formulação pressão-

pressão, e o programa comercial em diferenças finitas IMEX da CMG (Computing Modeling Group).

O problema analisado consiste no fluxo bifásico imiscível em um meio poroso rígido, desconsiderando termos de gravidade e capilaridade, em uma malha unidimensional horizontal de comprimento de 300 metros, para um tempo de simulação de 10.000 dias. O meio poroso

possui permeabilidade k_x =3 10x −13m²e porosidade de 0,20.

Foi considerado o modelo de variação de permeabilidade relativa proposto no trabalho de Santos (2002), onde a relação permeabilidade relativa-saturação de água, admitindo uma

saturação residual de água S_wr =0,01, é definida pelos parâmetros de ajuste adimensionais da

curva, ou seja, A₁= e 1

λ

_{krw = A S1 e}λ1 _{e kro =A1(1−Se)}λ1 ₍₁₂₅₎

Quanto aos fluidos envolvidos, são considerados a água e óleo cujas densidades são definidas

pela Equação 21, como já visto, onde a densidade inicial ρ_α0 e a compressibilidade _βα de cada

fase, bem como a pressão de referência p_α0 assumem os valores definidos na Tabela 2.

Os fluidos são admitidos com mesma viscosidade μ_w=μ_o=1 10x −9MPa.s, sendo esta propriedade constante com a pressão.

Com relação às condições iniciais e de contorno, estas estão descritas na Tabela 3 a seguir:

Tabela 3 – Condições Iniciais e de Contorno.

Condições Iniciais:

_{0,01 e po =0} 9,6 MPa

Condições de Contorno:

Vazão de injeção de água = 1,49x10-4 Kg/s em x=0 m

Pressões de fundo de poço (poço produtor): _{pw =}9,4 MPa _{e po =}9,6 MPa em x=300 m

A comparação entre os resultados do CODE_BRIGHT, formulação pressão-saturação, e

demais soluções foi feita, conforme pode ser vista na Figura 33. Nesta se observa uma boa aproximação da curva da frente de saturação obtida pelo programa com os demais resultados, inclusive com a solução exata do problema, para um tempo de T=2000 dias. Entenda-se CB como abreviação de CODE_BRIGHT nas legendas.

Figura 33 – Solução do problema de Buckley-Leverett: comparação entre soluções (T=2.000 dias).

Foram obtidas também as frentes de saturação (Figura 34) para diferentes tempos, considerando a técnica de upwind CB, mostrando resultados satisfatórios quanto às frentes de saturação com relação à ausência de oscilações numéricas nas soluções, onde, comparadas com as respostas fornecidas pelo programa CODE_BRIGHT usando a formulação pressão-pressão apresentadas no trabalho de Santos (2002), os resultados foram bastante aproximados. Porém, as frentes de saturação aqui obtidas são menos suaves, principalmente na zona do choque, que nas soluções do trabalho anteriormente citado.

Figura 34 – Solução do problema de Buckley-Leverett: avanço da frente de saturação (CODE_BRIGHT – pressão-saturação com upwind CB).

A comparação entre os resultados adotando ou não adotando a técnica de upwind CB aqui proposta, encontra-se apresentada, para o tempo de 2000 dias, na Figura 35. É possível observar que a solução do método sem adotar uma técnica de estabilização numérica leva a oscilações próximas ao poço injetor, com valores de saturação superiores a 1. A frente de saturação apresentada não atende às condições de estabilidade numérica e consistência física.

Figura 35 – Solução do problema de Buckley-Leverett: comparação entre soluções do programa CODE_BRIGHT considerando e não considerando técnica de upwind CB

(T=2000 dias).

Helmig (1997) apresenta o comportamento da frente de saturação para um problema de fluxo bifásico imiscível em meio poroso unidimensional (problema convectivo-difusivo estacionário unidimensional), comparando a solução aproximada com relação à solução exata do problema, considerando e desconsiderando o termo de difusão. Quando se desconsidera o termo difusivo o processo de transporte é de convecção dominante e leva aos problemas já comentados neste capítulo, caracterizados por oscilações numéricas e má aproximação da frente de saturação. Já quando o transporte é de difusão dominante a solução obtida é uma frente de saturação suavizada sem ocorrência de oscilações.

Para o problema de Buckley-Leverett assume-se que as forças capilares não contribuem fortemente para o deslocamento de fluidos, e que seus efeitos têm influência desprezível sobre

todo o fluxo comparada com o efeito dos gradientes de pressão, ou seja, ⁄ 0. Do ponto

de vista físico isto implica que a atração capilar do meio poroso não é importante como “força motriz” para deslocar fluido.

Em reservatórios de petróleo reais, gradientes de pressão capilar não-nulos levam a suavização do perfil de saturação, sem a ocorrência de choque acentuado, e com isso não

ocorrem oscilações na solução. Entretanto, quando estes gradientes são muito pequenos, o deslocamento de água tem uma forma suave, porém apresenta uma frente com declive mais acentuado (Allen III et al, 1988). A medida da difusão não é dada unicamente pelo valor da pressão capilar, mas sim pelas derivadas da pressão capilar com relação às saturações.

Portanto de forma a verificar a influência da difusão física no comportamento do perfil de saturação, diante da importância da pressão capilar discutida no Capítulo 2, foi simulado o problema anterior, porém considerando uma curva de capilaridade pela saturação de água, definida pela lei de Van-Genutchen considerando as propriedades

0,77, 4,37 e 0,37

m= n= α = . Foram realizadas simulações admitindo capilaridade nula, e

valores de 30%, 60% e 100% da pressão-capilar a partir da curva de pressão capilar pré-fixada.

Figura 36 – Influência da Pressão Capilar (difusão) no comportamento da frente de saturação (T=2000dias).

Logo, na Figura 36 estão apresentados os resultados desta simulação onde se observa que à medida que se aumenta o termo capilar (difusão física), chega-se a uma solução mais suave do perfil de saturação, sem presença de oscilações, na qual a ocorrência da descontinuidade (choque) praticamente não é observada. Porém a frente de saturação avança com maior

velocidade que quando se desconsidera o termo capilar, gerando uma aproximação menos precisa com relação à solução exata do problema.

3.3.4 Problema de fluxo bifásico em ¼ de Five-spot: aplicação numérica de técnica de