O procedimento de geração de colunas para o problema de corte de estoque foi pi- oneiramente estudado nos trabalhos de Gilmore e Gomory em 1961 e 1962, [27] e [28] respectivamente. Nesses trabalhos os autores formularam o problema de corte de estoque unidimensional, propuseram para esta formulação uma relaxação linear e utilizaram o pro- cedimento de geração de colunas para resolver o problema relaxado, obtendo uma solução aproximada para o problema original.
Neste capítulo, definimos o problema de corte de estoque, fazemos algumas definições necessárias para a formulação desses problemas e apresentamos alguns modelos matemáti- cos para o problema de corte de estoque. Na seção 3.3 faremos uma adaptação do método de geração de colunas apresentado na seção 2.2, para o problema de corte de estoque. E por fim, nas seções 3.4 e 3.5 discutimos alguns trabalhos envolvendo estes problemas.
3.1
O problema de corte de estoque unidimensional
Motivado pelo plano econômico soviético, o matemático e economista soviético Leonid Vitaliyevich Kantorovich, publicou, em 1939, [33] em um impresso da Universidade de Leningrado (atualmente Universidade de São Petersburgo, na antiga União Soviética, a- tual Rússia), um trabalho com modelos matemáticos de programação linear para a organi- zação e planejamento da produção. Neste trabalho é apresentada também uma discussão do sentido econômico dos problemas e métodos de solução para os mesmos. Entre os problemas discutidos em [33] encontra-se o problema de corte de estoque unidimensional.
Esse trabalho permaneceu desconhecido por muitos anos pelos pesquisadores ocidentais, em virtude dos entraves político-ideológicos ocorridos durante a Guerra Fria. Somente nos anos 1960 o trabalho foi publicado em inglês na revista Management Science.
O problema de corte de estoque unidimensional pode ser definido da seguinte maneira [46]: considere disponível em estoque um número K, suficientemente grande, de objetos (bobinas, barras, etc.) de comprimento L e um conjunto de m itens, cada item tendo demanda conhecida bi, e de comprimento li, em que li ≤ L, i = 1, . . . , m. O problema
consiste em como cortar os objetos de forma a atender a demanda usando o menor número possível de objetos.
Para apresentar o modelo matemático atribuído a Kantorovich [8, 10], definimos o seguinte conjunto de variáveis aij como sendo o número de vezes que o item i é cortado
no objeto j, i = 1, . . . , m e j = 1, . . . , K. E as variáveis λj, que recebem valor 1, se o
objeto j é cortado e zero, caso contrário. Assim, temos a formulação (3.1) - (3.5).
ZKan = min K j=1 λj (3.1) s.a K j=1 aij ≥ bi, i= 1, . . . , m, (3.2) m i=1 liaij ≤ Lλj, j = 1, . . . , K, (3.3) λj ∈ {0, 1}, j = 1, . . . , K, (3.4) aij ∈ Z+, i= 1, . . . , m, j = 1, . . . , K. (3.5)
A função objetivo (3.1) minimiza o número total de objetos cortados. O conjunto de restrições (3.2) garante que a demanda dos itens será atendida, permitindo o excesso de produção. O conjunto de restrições (3.3) garante que se um objeto j é usado (λj = 1),
então as restrições físicas do objeto devem ser respeitadas. As restrições (3.4) e (3.5) definem os domínios das variáveis.
O modelo matemático para o problema de corte de estoque mais lembrado na li- teratura é o modelo apresentado por Gilmore e Gomore [27, 28], que será formulado na seção 3.2. Valério de Carvalho [8, 10] apresentou um modelo matemático para o problema de corte de estoque unidimensional baseado no problema de fluxo em arcos. O autor
modelou o problema de encontrar um padrão de corte factível como um problema de determinar um caminho em um grafo acíclico e orientado G(V, S), com L + 1 vértices. A distância entre um vértice e outro, representa uma unidade de comprimento do objeto. O conjunto S representa os arcos do grafo G(V, S) e é definido por (3.6).
S =
(s, t); 0 ≤ s < t ≤ L e t − s = li para algum i ≤ m
(3.6) A expressão (3.6) destaca que existe uma arco entre o vértice s e o t se, e somente se, s− t = li para algum i, i = 1, . . . , m. As perdas serão representadas por arcos adicionais
entre os vértices (u, u + 1), u = 0, 1, . . . , L − 1. Assim, o problema de encontrar um padrão de corte factível pode ser formulado como determinar um caminho entre os vértices 0 e L no grafo G(V, S). Definimos a variável zst, s < t como sendo o número de itens de
comprimento (t − s) cortados do objeto. Dessa forma, o modelo matemático apresentado em [8, 10] é dado pelas expressões (3.7) - (3.10).
ZV C = min f (3.7) s.a (s,t)∈S zst − (t,u)∈S ztu= ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ −f, se t= 0; 0, se t = 1, 2, . . . , L − 1; f, se t= L. , (3.8) (h,h+li)∈S zh,h+li = bi, i= 1, . . . , m, (3.9) zst ∈ Z+, ∀(s, t) ∈ S. (3.10)
A função objetivo (3.7) visa minimizar o fluxo da rede, que pode ser vista como a quantidade de objetos cortados [34]. O conjunto de restrições (3.8) representa as restrições de conservação do fluxo de um grafo. As restrições (3.9) garantem que a demanda é atendida.
3.2
O problema de corte de estoque bidimensional
O problema de corte de estoque (PCE) pode ser generalizado da seguinte forma: de- terminar como cortar peças grandes com dimensões específicas que estejam disponíveis em estoque (chamadas de objetos) para a produção de uma determinada demanda de um con-
junto de peças menores de tamanhos variados e muitas vezes não padronizadas (chamadas de itens), de acordo com algum critério de otimização, como por exemplo, minimizar o número total de objetos cortados, minimizar o desperdício de material, maximizar lucros, minimizar o número de ciclos da serra (este último item será melhor detalhado no capítulo 4), etc. Alguns fatores importantes podem ser considerados nos parâmetros e restrições desses problemas, como por exemplo, capacidade da máquina de corte (limitada ou não), quantidade de objetos em estoque (limitada ou não), tempo de produção, entre outros.
Na literatura, podemos encontrar uma grande diversidade de problemas de corte de estoque. Para facilitar a comunicação entre os pesquisadores, foram propostas duas tipolo- gias para classificar esses problemas, conforme algumas características descritas a seguir. A primeira tipologia é a de Dyckhoff [20], em que o autor apresenta uma classificação para os problemas de corte de estoque fundamentados sobre suas principais característi- cas: dimensionalidade, tipo de alocação, variedades de objetos e variedades de itens. A segunda proposta é a tipologia de Wäscher et al [?], na qual os autores propõem uma tipologia baseada em [20], mas que abrange uma maior quantidade de problemas (para mais detalhes sobre as tipologias ver anexo A).
Deste ponto em diante, iremos trabalhar com o PCE em que duas dimensões são relevantes para o processo de corte. Neste caso, definimos o PCE bidimensional da seguinte maneira. Considere que existam em estoque um número suficientemente grande de objetos (placas de madeira, chapas de aço, etc.), de comprimento L e largura W , e um conjunto de itens de comprimento li e largura wi, cada um com demanda conhecida bi, para i =
1, . . . , m. O problema consiste em determinar como cortar os objetos de forma a atender a demanda, de acordo com algum critério de otimização. A figura 1 mostra um exemplo de problema de corte de estoque bidimensional com vários objetos em estoque e vários itens com demanda pré-espeficada.
Mais algumas definições são necessárias para dar suporte ao estudo do problema de corte de estoque.
Definição 3.1. [2] Padrão de corte é a maneira de como os itens estão dispostos em um objeto. Associamos a um padrão de corte um vetor m-dimensional Aj, que contabiliza
os itens incluídos no padrão de corte j, definido por (3.11).
ATj = (a1j, a2j, . . . , amj). (3.11)
Em (3.11), aij, i = 1, . . . , m, representa o número de vezes que o item i aparece no padrão
de corte j.
Padrões de corte que tem mesmo vetor associado são chamados de equivalentes. Um vetor AT
j = (a1j, a2j, . . . , amj) representa um padrão de corte se, e somente se, satisfaz
as restrições físicas do objeto (3.12). No caso unidimensional as restrições físicas são equivalentes às restrições do problema da mochila (3.12) - (3.13).
l1a1j + l2a2j + . . . + lmamj, (3.12)
a1j, a2j, . . . , amj ∈ Z+. (3.13)
No caso bidimensional, as restrições físicas são mais complicadas de serem explicitadas, pois as características das máquinas de corte e os tipos de corte são relevantes para a modelagem matemática. Para mais detalhes ver, por exemplo, [23], [39], [25], [64] e [65], entre outros. As figuras 2 e 3 apresentam exemplos de um padrão de corte unidimensional e um bidimensional, respectivamente.
Figura 3: Padrão de corte bidimensional.
Na prática é muito difícil conseguirmos um padrão de corte que utilize a área total do objeto. Nas figuras 2 e 3, as partes hachuradas nos padrões de corte, cujas dimensões não foram pré-definidas, não serão aproveitadas no processo de produção. Essas partes são chamadas perda. No caso unidimensional a perda de uma padrão de corte j é dada por (3.14) e no caso bidimensional por (3.15).
Pj = L − m i=1 liaij (3.14) Pj = LW − m i=1 (liwi)aij (3.15)
Definição 3.2. Padrão de corte homogêneo é o padrão de corte que possui apenas um tipo de item, isto é, o vetor m-dimensional (3.16) que representa esse padrão tem apenas uma coordenada não nula.
ATj = (0, . . . , aij, . . . ,0). (3.16)
Quando um padrão de corte homogêneo apresenta o maior número possível do item, o padrão é denominado padrão de corte homogêneo maximal.
Os padrões de corte homogêneos maximais podem ser determinados sem perda de generalidade, no caso bidimensional por (3.17).
aij = ⎧ ⎨ ⎩ L lj ·W wj , se i = j, 0, caso contrário. (3.17)
A figura 4 ilustra um padrão de corte homogêneo maximal no caso bidimensional.
Figura 4: Padrão de corte homogêneo maximal bidimensional.
Uma formulação importante para o PCE, em que todos n padrões de corte factíveis são conhecidos à priori, foi apresentada em [27], [28] e [29] e é dada por (3.18) - (3.20). A variável de decisão xj representa o número de objetos cortados de acordo com o padrão
de corte j, j = 1, . . . , n.
PCE com padrões de corte conhecidos ZGG = min n j=1 cjxj (3.18) s.a n j=1 aijxj ≥ bi, i= 1, . . . , m, (3.19) xj ∈ Z+, j = 1, . . . , n. (3.20)
A função objetivo (3.18) visa minimizar o custo total dos objetos cortados. Caso cj = 1, para todo j = 1, . . . , n, então o problema passa a ser a um problema de redução
do número de objetos cortados. O conjunto de restrições (3.19) garante que a demanda de todos os itens é atendida, também podendo existir o excesso de produção. O conjunto de restrições (3.20) representa o domínio das variáveis. De acordo com Vance [54], para o caso unidimensional o modelo matemático (3.18) - (3.20) pode ser obtido aplicando
a técnica de decomposição de Dantzig-Wolfe ao modelo atribuído à Kantorovich (3.1) - (3.5).
3.3
Geração de colunas aplicado ao PCE
A solução do PCE inteiro, na formulação (3.18) - (3.20), esbarra em duas dificuldades computacionais: o elevado número de padrões de corte (variável xj) que pode existir;
e a existência das restrições de integrabilidade (3.20). A primeira dificuldade pode ser contornada com a relaxação das restrições de integrabilidade (3.20) sobre as variáveis xj,
j = 1, . . . , n, isto é, as restrições (3.20) são substituídas por xj ∈ R+. Já a segunda
dificuldade pode ser contornada com a utilização do procedimento de geração de colunas (seção 2.1).
Considere a relaxação linear do problema (3.18) - (3.20) escrita na forma (3.21) - (3.23), em que n é muito maior que m (n ≫ m).
Relaxação do PCE com padrões de corte conhecidos ZGG−RL = min n j=1 cjxj (3.21) s.a n j=1 Ajxj ≥ b, (3.22) xj ≥ 0, j = 1, . . . , n. (3.23)
O problema mestre restrito (PMR) inicial é formulado, considerando m padrões de corte homogêneo maximais e é dado da forma (3.24) - (3.26).
ZP M R = min m j=1 cjxj (3.24) s.a m j=1 Ajxj ≥ bi, i= 1, . . . , m, (3.25) xj ≥ 0, j = 1, . . . , m. (3.26)
Note que a matriz associada ao (PMR) inicial é uma matriz diagonal inversível da forma (3.27). Lembre-se que li ≤ L e wi ≤ W .
[A1. . . Am] = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ a11 0 . . . 0 0 a22 . . . 0 ... ... ... ... 0 0 . . . amm ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ . (3.27)
O subproblema a ser resolvido a cada iteração do procedimento de geração de colunas para verificar se existe um padrão de corte diferente dos que pertencem ao (PMR) e que melhore a solução atual é dado pelas expressões (3.28) - (3.29).
ZSU BP = min (cj − πTAj) (3.28)
s.a.
Aj é um padrão de corte factível. (3.29)
O problema (3.28) - (3.29) é o subproblema pricing para o problema de corte de es- toque. Vale ressaltar que para Aj ser um padrão de corte é necessário e suficiente satisfazer
as condições físicas do objeto. Dado o fato do procedimento de geração de colunas ser apli- cado ao PCE relaxado (3.21) - (3.23), na maioria das vezes obtemos soluções fracionárias, que por vez, não são ótimas para o problema original (inteiro). Assim, a partir da solução do PCE relaxado são utilizados alguns métodos heurísticos para encontrar uma solução inteira para o problema original (3.18) - (3.20).
Quando o PCE permite produção em excesso, Gilmore e Gomory [27, 28, 29] propõem utilizar a solução inteira aproximada, obtida tomando o teto da solução ótima fracionária do PCE relaxado, isto é, sendo x∗
∈ Rm
tomemos xi = ⌈x∗i⌉, i = 1, . . . , m, como solução inteira aproximada. Poldi e Arenales
[45, 46] propõem uma heurística para obter uma solução inteira aproximada para o PCE original, quando a demanda deve ser atendida exatamente. A heurística inicia-se tomando como solução inteira aproximada x, com x = (⌊x∗
1⌋, ⌊x ∗
2⌋, . . . , ⌊x ∗
n⌋). Se esta solução não
for factível para (3.18) - (3.20), isto é,
n
j=1
aijxj < bi, para algum i, i = 1, . . . , m, então
devemos resolver o problema residual (P-Res) , formado pelas expressões (3.30)-(3.32).
ZP −Res= min n j=1 xj (3.30) s.a n j=1 aijxj = ri, i= 1, . . . , m, (3.31) xj ∈ Z+, j = 1, . . . , n. (3.32) Na restrição (3.31), ri = bi− n j=1
aijxj, i = 1, . . . , m, é a demanda que não foi aten-
dida por x. Note que (P-Res) apresentam as restrições de integrabilidade (3.32). Assim, devemos resolver o (P-Res) relaxado, obtendo uma solução ótima para o mesmo e caso a solução ótima para o (P-Res) seja fracionária, devemos aplicar a heurística residual nova- mente, e assim, por diante, até obtermos uma solução inteira que satisfaça as restrições de demanda do PCE original.
3.4
Aplicações do PCE
Devido à importância econômica do PCE, surgiram e continuam surgindo importantes pesquisas explorando outros aspectos do problema e que vão além das suas dificuldades básicas de resolução. Pesquisadores de todo o mundo comprovaram em seus trabalhos a vasta aplicabilidade destes problemas em diversas áreas da indústria e o interesse em otimizar vários critérios diferentes, que podem representar, na prática, uma melhora sig- nificativa no processo de produção.
Nesta seção iremos destacar alguns trabalhos na literatura que tratam do PCE, em processos industriais, cujos objetos são bobinas de papel, placas de madeira, metais e tecidos.
Dentre os trabalhos da literatura sobre PCE aplicados à industria de papel, podemos destacar os de Morabito [37] e Poltroniere et al. [47]. Em [37], é feita uma revisão dos PCE encontrados na literatura da época em que se discutem modelos de otimização, adaptados do modelo de Gilmore e Gomory (3.18) - (3.20) no caso unidimensional para aplicá-los em uma indústria de papel e papelão. Ainda em [37] são apresentos estudos reais para os PCE bidimensionais nas indústrias de móveis. Os autores de [47] apresentam uma formulação para um problema lot-sizing com corte de estoque acoplado, aplicado a uma indústria de papel e propõem heurísticas para resolver este problema.
Existem muitos trabalhos de PCE no contexto de indústrias de móveis. Para este trabalho, destacamos os trabalhos de Morabito e Arenales [40] e de Figueiredo e Rangel [25]. Em [40] é analisado o comportamento de um modelo baseado em (3.18) - (3.20), em uma fábrica de móveis com produção em grande escala em que são priorizados os padrões de corte que facilitam o processo de corte. Por fim, é discutido o trade-off entre padrões de corte que melhora o processo de corte e padrões de corte que geram menos desperdício de matéria prima. Em [25] é proposta uma heurística para gerar um conjunto de padrões de corte de uma fábrica de móveis, dando prioridade também aos padrões de corte que melhoram a produtividade do equipamento de corte.
No contexto dos PCE aplicados às metalúrgicas, podemos ressaltar o trabalho de Chu e Antonio [13]. Nele, é abordado um problema em relação ao caso unidimensional aplicado a uma pequena fábrica de peças de metais em que os objetos não são de comprimento padronizado, pois as sobras de um objeto cortado retornam para o estoque como um novo objeto. O problema permite o corte simultâneo de objetos e visa não apenas minimizar o desperdício de material, como também otimizar o tempo de corte.
Tratando do PCE aplicado à indústria têxtil podemos destacar os trabalhos de De- graeve e Vandebroek [16] e Degraeve et al. [17]. Em ambos os trabalhos, o PCE consiste em encontrar boas combinações de padrões de corte e altura da pilha associada ao tecido, visando minimizar o excesso de produção e o custo de setup.
3.5
Extensões do PCE
O PCE clássico, em que a função objetivo é definida pela minimização do número de objetos padronizados [48] juntamente com o PCE que visa reduzir o número de padrões de cortes, é o mais recorrente na literatura. Entretanto, existem algumas extensões para esses
problemas, isto é, existem outras possibilidades para o critério de otimização e restrições do problema, dependendo tanto do interesse industrial quanto das características das indústrias no qual os PCE serão aplicados. Nesta subseção iremos realizar uma breve discussão dos PCE na literatura, conforme seus critéros de otimização.
Para o PCE na qual a função objetivo é a minimização do número de padrões de corte, podemos destacar alguns trabalhos. Haessler [31] propõe uma modelagem matemática não-linear para o PCE unidimensional. É apresentado um método heurístico sequencial para resolver o problema, penalizando as trocas de padrões de corte para reduzir o número de padrões de corte na solução. Esse método heurístico fornece bons resultados, pois reduz o número de padrões de corte sem aumentar muito o número de objetos cortados. O trabalho [31] serviu como base para muitos outros trabalhos da literatura (e.g [41], [53] e [63]). Em [41] é apresentada uma linearização para o modelo de [31], tornando possível a utilização do procedimento de geração de colunas para a resolução do problema.
Vanderbeck [56] propõe um modelo matemático, obtido aplicando o procedimento de decomposição de Dantzig-Wolfe (seção 2.1) ao modelo (3.1) - (3.5). O autor apresenta um método de geração de colunas para resolver o problema representado pelo modelo obtido, em que os valores duais associados às restrições de demanda e de setup são utilizados no subproblema pricing que gera colunas para o problema mestre. Foerster e Wäscher [26] desenvolvem uma heurística de redução de padrões de corte para o caso unidimensional, em que a partir de uma solução inicial para o problema, a ideia é obter padrões de corte através de combinações dos padrões de corte originais do problema, de maneira que a soma das frequências dos padrões obtidos seja a mesma da soma das frequências dos padrões de corte originais, mantendo assim a mesma quantidade de objetos na nova solução. Diegel et al. [19], a fim de reduzir o número de padrões de corte na solução, analisam os custos e a viabilidade de aumentar a frequência de um padrão de corte pouco utilizado na solução. Ao contrário do PCE, cuja função objetivo é a minimização do número de padrões de corte, existem poucos trabalhos na literatura abordando o PCE, considerando o corte simultâneo de objetos. Podemos destacar [13], [16], [17], [43], [48] e [62]. Yanasse et al. [62] apresentam uma heurística para resolver esse tipo de PCE no caso bidimensional, em que padrões de corte são gerados por um problema auxiliar (com demandas ajustadas por um fator F0). Caso o padrão gerado satisfaça alguns critérios, será aceito e usado F0
vezes. As demandas serão atualizadas e definirão um novo problema auxiliar. Repete-se esse processo até que todas as demandas sejam atendidas exatamente. Os trabalhos [43] e [48] apresentam modelos matemáticos e métodos de solução para esses modelos, que
serão apresentados e discutidos na seção 4.1. Os trabalhos [16] e [17] serão discutidos na seção 4.2 e o trabalho [13] na seção 4.3.
Vale ressaltar que existem outros critérios de otimização importantes na prática in- dustrial. Para alguns casos, é interessante o ponto de vista industrial para a associação de mais de um critério de otimização em uma mesma função objetivo do problema.