Problema da equivalˆ encia de G-estruturas

Defini¸c˜ao 3.1.4. Sejam duas G-estruturas S sobre M e ¯S sobre ¯M e f : M → ¯M um difeomorfismo. A fun¸c˜ao f ´e isomorfismo entre G- estruturas se

¯

S_{f (x)}= f∗Sx

onde f∗ ´e a fun¸c˜ao induzida por dxf : TxM −→ Tf (x)M . No caso da

existˆencia de um isomorfismo, as G-estruturas S e ¯S s˜ao equivalentes. Uma quest˜ao central da teoria de G-estruturas ´e o problema da equi- valˆencia local: quando existe um difeomorfismo local f : U → ¯U , U ⊆ M e ¯U ⊆ M abertos de modo que f∗ seja um isomorfismo local entre G-

estruturas.

A chamada G-estrutura padr˜ao ´e aquela dada pelo referencial  ∂ ∂x1 , . . . , ∂ ∂xn 

em Rn e ser´a denotada pro Sstand.

O problema da equivalˆencia tem um caso particular que ´e a quest˜ao da integrabilidade. Esta procura as condi¸c˜oes necess´arias e suficientes da equi- valˆencia local entre G-estruturas e a G-estrutura padr˜ao (tamb´em chamada de flat ).

Assim, uma G-estrutura ´e integr´avel se, e somente se, ´e localmente equi- valente S_xstand.

3.1.2 Exemplos

Exemplo 3.1.1 (G = {e}). O primeiro exemplo aborda o caso em que G = {e}. Uma G-estrutura, aqui chamada simplesmente e-estrutura, ´e um

3.1 G-ESTRUTURAS EM VARIEDADES 43

referencial global φ = (φ1, . . . , φn). Se (U, ϕ) ´e uma carta local, a integrabi-

lidade da e-estrutura implica que φi =

∂ ∂ϕi

, i = 1, . . . , n

O modelo padr˜ao flat ´e ∂ ∂x1

, . . . , ∂

∂xn em R n_.

Se φ = (φ1, . . . , φn) ´e uma e-estrutura em M e ¯φ = ( ¯φ1, . . . , ¯φn) ´e uma

e-estrutura em ¯M , um difeomorfismo f : M → ¯M ser´a isomorfismo se dfx(φ(x)) = ¯φ(f (x))

A integrabilidade de um referencial est´a relacionada com as fun¸c˜oes es- truturais: quando calculamos os colchetes de Lie entre os elementos do re- ferencial φ, obtemos [φi, φj] = n X k=1 ck_ikφk, ckij ∈ C∞(M )

em que os coeficientes ck_ij s˜ao as fun¸c˜oes estruturais.

Seja θ = (θ1, . . . , θn) uma base de T∗M que ´e dual de φ: θj(φi) = δij.

Ela ´e tamb´em chamada de correferencial e podemos analisar o problemas da integrabilidade do referencial olhando para o correferencial.

Proposi¸c˜ao 3.1.1. dθ =X i<j −ck ijθi∧ θj Demonstra¸c˜ao. dθk(φi, φj) = φi(θk(φj)) − φj(θk(φi)) − θk[φi, φj] = −θk n X l=1 cl_ikφl = −ck_ik

Por outro lado, dθk=X p<q bk_pqθp∧ θq ⇒ dθk_(φ i, φj) = X p<q bk_pqθp∧ θq_(φ i, φj) = bk_ij Logo, b=_ij − ck ij

Teorema 3.1.1. Um referencial ´e integr´avel se, e somente se, as fun¸c˜oes estruturais s˜ao todas nulas.

Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que o referencial φ ´e integr´avel. Desse modo, [φi, φj] = 0, pois ´e o que ocorre com o referencial padr˜ao. Como [φi, φj] =

ck_ijφk = 0, ent˜ao ckij = 0, para todo k.

Agora assumamos que as fun¸c˜oes estruturais s˜ao nulas. Desse modo, φi

e φj comutam dois a dois. Seja

f : U ⊆ Rn→ M

f (t1, . . . , tn) = Φt11 ◦ . . . ◦ Φtnn(x0)

onde Φti

i ´e o fluxo do campo vetorial φi e 0 ∈ U . Temos que f (0) = x0 e

as derivadas parciais de f em x ∈ M nos d´a φi(f (x)). O teorema da fun¸c˜ao

inversa garante que f ´e difeomorfismo local definido numa vizinhan¸ca de 0 a qual pertence x0, de modo que (U, φi◦ f ) ´e uma carta adaptada.

Exemplo 3.1.2 (M´etricas Riemennianas: G = O(n) = {A ∈ GLn(R) : AAT = I}).

Defini¸c˜ao 3.1.5. Uma m´etrica riemanniana em M ´e uma se¸c˜ao suave de S2T∗M que ´e positiva definida, ou seja, uma correspondˆencia suave x 7→ gx tal que gx : TxM × TxM −→ R ´e um produto interno.

Uma variedade riemanniana ´e aquela que admite uma m´etrica rieman- niana .

3.1 G-ESTRUTURAS EM VARIEDADES 45

Seja gstand o produto interno usual em Rn: gstand(u, v) = hu, vi. A estru- tura padr˜ao ´e dada por Rn com

gstand  ∂ ∂xi , ∂ ∂xj  = δij.

Dada um produto interno gx em TxM , consideremos

Sg= {φ ∈ F r(M ) : g(φi, φj) = gstand(ei, ej)}

Sendo φ, ˜φ ∈ Sg, consideremos A = ˜φ−1◦ φ : Rn−→ Rn, ent˜ao

gstand(A(ei), A(ej)) = g(φi, φj) = gstand(ei, ej)

de modo que A ´e uma transforma¸c˜ao ortogonal e, portanto A ∈ O(n). Agora seja S uma O(n)-estrutura. Tomemos φ ∈ S e definamos

gx(u, v) = gstandφ(x) (φ

−1_{(u), φ}−1_(v))

Se ˜φ ∈ S, existe A ∈ O(n) tal que: φA = ˜φ ⇒ φ−1= A ˜φ−1. Assim gstand_φ(x) (φ−1( ˜φi), φ−1( ˜φj)) =gφ(x)stand(G ˜φ −1_{( ˜φ} i), G ˜φ−1( ˜φj)) =g_φ(x)stand(Gei, Gej) =g_φ(x)stand(ei, ej) g_φ(x)stand( ˜φ−1( ˜φi), ˜φ−1( ˜φj))

Uma O(n)-estrutura ´e integr´avel se, e somente se, existe um carata local (U, ϕ) em torno de cada x ∈ M tal que

gx  ∂ ∂ϕi , ∂ ∂ϕj  = δij

Observa¸c˜ao 9. O tensor de curvatura R(X, Y ) = ∇X ◦ ∇Y − ∇Y ◦ ∇X −

Se Pn i=1ui ∂i ∂xi um campo vetorial em R n_{, ent˜ao} ∇_X∇_Y n X i=1 ui ∂i ∂xi = XY n X i=1 ui ∂i ∂xi n X i=1 ui ∂i ∂xi = Y X n X i=1 ui ∂i ∂xi Portanto (∇X∇Y − ∇Y∇X) n X i=1 ui ∂i ∂xi = (XY − Y X) n X i=1 ui ∂i ∂xi = ∇_{[X,Y ]}ui ∂i ∂xi Assim, em Rn, ∇X ◦ ∇Y − ∇Y ◦ ∇X = ∇[X,Y ].

Proposi¸c˜ao 3.1.2. Uma variedade riemanniana (M, g) ´e integr´avel se, e somente se, o tensor curvatura R relativo ˜a conex˜ao de Levi-Civita ´e iden- ticamente nulo.

Demonstra¸c˜ao. (Baseada em [Lee97])

Se a variedade ´e integr´avel, ent˜ao ela ´e localmente equivalente a Rn_{, de}

modo que o tensor de curvatura ´e, localmente, nulo.

Suponhamos que R ´e identicamente nulo. Vamos mostrar, primeira- mente, que g admite referencial ortonormal paralelo em torno de cada ponto de M .

Sendo x ∈ M , podemos escolher (X_p1, . . . , X_pn) uma base ortonormal de TxM . Consideremos (x1, . . . , xn) um sistema de coordenadas centrado em

x de maneira que X_pi = ∂/∂x1. Podemos tomar vizinhan¸cas de xi de modo

que p ∈ C, C um cubo centrado em p de lado medindo 2ε.

Por meio do transporte paralelo, podemos deslocar cada X_pkao longo do eixo x1. A partir de cada ponto desse eixo, de novo por meio de do transporte paralelo, desloco agora X_pkatrav´es do eixo x3, e assim por diante. O resultado ser´a campos vetoriais (X1, . . . , Xn) definidas em C.

O transporte paralelo preserva produto interno de modo que (X1, . . . , Xn) formam referenciais ortonormais. Agora vamos mostrar que eles s˜ao parale-

3.1 G-ESTRUTURAS EM VARIEDADES 47

los. Por constru¸c˜ao,

∇_∂/∂x1Xj = 0 em {(x1, . . . , xn) : xl= 0, l ≥ 2} ⊆ C, ∇_∂/∂x2Xj = 0 em {(x1, . . . , xn) : xl= 0, l ≥ 3} ⊆ C, ∇_∂/∂x3Xj = 0 em {(x1, . . . , xn) : xl= 0, l ≥ 4} ⊆ C

· · ·

∇_∂/∂xkXj = 0 em {(x1, . . . , xn) : xl= 0, l ≥ k + 1} ⊆ C Vamos provar por indu¸c˜ao em k que em

∇_∂/∂x1Xj = . . . = ∇_∂/∂xkXj = 0, em {(x1, . . . , xn) : xl= 0, l ≥ k + 1}(∗) Quando k = 1, isso vale por constru¸c˜ao. Supondo que vale (∗), em {(x1, . . . , xn) : xl = 0, l ≥ k + 2},∇_∂/∂xk+1Xj = 0 por constru¸c˜ao e ∇_∂/∂x1Xj = . . . = ∇_∂/∂xkXj = 0 em {(x1, . . . , xn) : xk+1= 0} por hip´otese. Como [∂/∂xk+1, ∂/∂xi] = 0 e

∇_∂/∂xk+1(∇_∂/∂xiXj) = ∇_∂/∂xi(∇_∂/∂xk+1Xj) = 0

de maneira que Xj ´e paralelo. Pela simetria da conex˜ao, ent˜ao [Xi, Xj] = ∇_∂/∂xiXj− ∇_∂/∂xjXi = 0.

Portanto, (X1, . . . , Xn) ´e um referencial ortonormal para o qual existem coordenadas (x1, . . . , xn) para os quais Xj = ∂/∂xj e, portanto

g(∂/∂xi, ∂/∂xj) = g(Xi, Xj) = δij

de modo a ser (M, g) integr´avel.

Exemplo 3.1.3 (Orienta¸c˜oes: G = GL+_n(R) = {A ∈ GLn(R) : det(A) > 0}).

Dois referenciais φ e φ0 de TxM induzem a mesma orienta¸c˜ao se a matriz

de mudan¸ca de base de φ0 para φ tem determinante positiva. Isso define uma rela¸c˜ao de equivalˆencia e uma orienta¸c˜ao em TxM ´e uma classe de

equivalˆencia dessa rela¸c˜ao.

Defini¸c˜ao 3.1.6. Uma orienta¸c˜ao em M ´e uma cole¸c˜ao de orienta¸c˜oes O = {Ox : x ∈ M } tal que: em torno de qualquer x0 ∈ M existe um aberto

U ⊆ M tal que se x ∈ U e uma se¸c˜ao φ ∈ ΓU(F r(M )) tal que φx induz a

orienta¸c˜ao Ox,

O modelo padr˜ao ´e a orienta¸c˜ao em Rn determinada pelo referencial canˆonico  ∂ ∂x1 , . . . , ∂ ∂xn  .

Nesse caso, um isomorfismo ´e difeomorfismo f : M → ¯M em que a diferencial leva referenciais orientados de M em referenciais orientados de

¯ M .

Uma GL+_n(R) ser integr´avel significa que em torno de cada x ∈ M existe uma carta local (U, ϕ) de maneira que a orienta¸c˜ao que a orienta¸c˜ao Ox do

espa¸co tangente TxM ´e induzido por

 ∂ ∂ϕ1 (x), . . . , ∂ ∂ϕn (x)  .

Proposi¸c˜ao 3.1.3. Toda orienta¸c˜ao O em M como GL+_n(R)-estrutura ´e integr´avel.

Demonstra¸c˜ao. Dada uma orienta¸c˜aoO em M e x0 ∈ M , podemos escolher

um referencial φ definido num aberto U ⊆ M em torno de x0 que cont´em o

dom´ınio de uma carta local (V, ϕ), de modo que φ(x) induz a orienta¸c˜aoOx.

Podemos assumir V conexo. Vamos considerar a matriz B(x) da mudan¸ca de base de φ(x) para  ∂ ∂ϕ1 (x), . . . , ∂ ∂ϕn (x) 

. As entradas dessa matriz s˜ao fun¸c˜oes suaves com respeito a x ∈ V , de modo que det(B(x)) tamb´em ´e suave. Podemos adotar a carta local de modo que det(B(x0)) > 0 . Pela

conexidade de V e continuidade do determinante, det(B(x)) > 0 para todo x ∈ V de modo que  ∂ ∂ϕ1 (x), . . . , ∂ ∂ϕn (x)  induz a a orienta¸c˜ao Ox.

Exemplo 3.1.4 (Formas volume:G = SLn(R) = {A ∈ GLn(R) : det(A) = 1}).

Defini¸c˜ao 3.1.7. Seja µ ∈ Ω(M ) uma forma que n˜ao anula-se em nenhum x ∈ M . Esta forma ´e uma forma volume em M .

Uma forma volume ´e SLn(R)-estrutura. A SLn(R)-estrutura padr˜ao ´e

Rn com µstand = dx1∧ . . . ∧ dxn

Seja Sµ= {φ ∈ F r(M ) : φ∗µ = µstand}. Ent˜ao

3.1 G-ESTRUTURAS EM VARIEDADES 49

Tomemos φ, ˜φ ∈ Sµ. Vamos provar que a composta ˜φ−1x ◦ φx : Rn→ Rn

´e um elemento de SLn(R):

µstand( ˜φ−1_x ◦ φx(e1), . . . , ˜φ−1x φx(en)) = det( ˜φ−1x ◦ φx)µstand(e1, . . . , en)

= det( ˜φ−1_x ◦ φx) · 1

= det( ˜φ−1_x ◦ φ_x) Mas

φ∗µ = µsatnd ⇒ µ ◦ φ = µstand, µ ◦ ˜φ = µstand

⇒ µ ◦ φ = µstand, µ = µstand◦ ˜φ−1

⇒ µstand◦ ( ˜φ−1◦ φ) = µstand

Portanto

det( ˜φ−1_x ◦ φx) = µstand( ˜φ−1x ◦ φx(e1), . . . , ˜φ−1x φx(en)) = µstand(e1, . . . , en) = 1

Agora, dada S uma SLn(R)-estrutura, para φ ∈ S, definamos

µx(x1, . . . , xn) = µstand_φ−1_(x)(φ−1(x1), . . . , φ−1(xn))

Dado ˜φ ∈ S, existe G ∈ SLn(R) tal que: φG = ˜φ. Dessa forma,

φG = ˜φ ⇒ φ−1 = G ˜φ−1. Assim µstand_φ−1_(x)(φ−1(x1), . . . , φ−1(xn)) = µstand_φ˜−1_(x)(G ˜φ −1_(x 1), . . . , G ˜φ−1(xn)) = det(G)µstand_φ˜−1_(x)( ˜φ −1 (x1), . . . , ˜φ−1(xn)) = µstand_φ˜−1_(x)( ˜φ −1 (x1), . . . , ˜φ−1(xn))

Um isomorfismo aqui ser´a um difeomorfismo f : M → M em que¯ f∗(µ) = ¯µ.

uma carta local (U, ϕ) de modo que

µ = dϕ1∧ . . . ∧ ϕn

Proposi¸c˜ao 3.1.4. Toda forma volume µ em M ´e integr´avel. Demonstra¸c˜ao. Seja (U, ϕ) uma carta local contendo x ∈ M . Ent˜ao:

µ = f dϕ1∧ . . . ∧ ϕn

onde f ∈ C∞(U ). Definamos numa vizinhan¸ca U0 ⊆ U de x uma fun¸c˜ao η : U → R tal que ∂η

∂ϕ1

= f e ∂η ∂ϕi

= 0, j > 1. Dessa forma dη = f dϕ1, de

modo que usando as coordenadas (η, ϕ2, . . . , ϕn) teremos

µ = dη ∧ . . . ∧ ϕn

Exemplo 3.1.5 (Folhea¸c˜oes: G = GL(p, n − p) = ( A ∈ GLn(R) : A = " M N 0 P # , M ∈ GLp(R), P ∈ GLn−p(R) ) ).

Defini¸c˜ao 3.1.8. Um subfibrado vetorial F ⊆ T M de posto p ´e uma dis- tribui¸c˜ao p-dimensional da variedade M .

A escolha de uma p-distribui¸c˜ao ´e o mesmo que escolher uma G = GL(p, n − p)-estrutura.

Defini¸c˜ao 3.1.9. Uma distribui¸c˜ao F ⊆ T M ´e involutiva se [X, Y ] ∈ Γ(F ), X, Y ∈ Γ(F )

Defini¸c˜ao 3.1.10. Uma folhea¸c˜ao p-dimensional ´e uma distribui¸c˜ao p- dimensional que ´e involutiva.

O modelo padr˜ao ´e Rn com a folhea¸c˜ao Fstand = span 

∂ ∂xi

p

i=1

Uma G = GL(p, n − p)-estrutura ´e integr´avel se em torno de todo x ∈ M existe uma carta local (U, ϕ) de modo que

Fx= span  ∂ ∂ϕ1 (x), . . . , ∂ ∂ϕp (x) 

3.1 G-ESTRUTURAS EM VARIEDADES 51

Teorema 3.1.2 (Frobenius). Seja F um distribui¸c˜ao k-dimensional em M . S˜ao equivalentes:

1. F ´e involutiva.

2. F como G = GL(p, n − p)-estrutura ´e integr´avel. Demonstra¸c˜ao. (Baseda em [Lee13])

Se a distribui¸c˜ao F ´e integr´avel, ent˜ao ela ser´a involutiva pois  ∂ ∂ϕi , ∂ ∂ϕj  = 0.

Agora suponhamos que F ´e involutiva. Seja x ∈ M e (U, ϕ) uma carta lo- cal em torno de x. Se necess´ario, podemos reordenar as coordenada de modo que Fxseja o espa¸co complementar de TxM gerado por

∂ ∂ϕp+1

(x), . . . , ∂ ∂ϕn

(x). Consideremos π : U → Rn a proje¸c˜ao nas primeiras p coordenadas. A diferencial, quando restrita a Fx, induz um isomorfismo

(dπ)x: Fx→ Tπ(x)Rp Sejam Vi,x= ((dπ)x|Fx) −1  ∂ ∂xi  (π(x)), i = 1, . . . , p. Dessa forma, dπx([Vi, Vj]x) =  ∂ ∂xi , ∂ ∂xi  x = 0.

Portanto, existe um referencial de Fx difeomorfo ao referencial padr˜ao.

Exemplo 3.1.6 (Estruturas complexas: G = GLn(C)). Aqui faremos a

identifica¸c˜ao Ck' R2n _{atrav´es de}

(x1+ iy1, . . . , xn+ iyn) 7→ (x1, . . . , xn, y1, . . . , yn)

Defini¸c˜ao 3.1.11. Uma estrutura quase complexa em uma variedade M ´e uma aplica¸c˜ao J : T M → T M que ´e um morfismo de fibrados vetoriais com a seguinte caracter´ıstica:

J2= −Id.

O modelo padr˜ao ´e desta vez Cn' R2n_{, coma a estrutura quase complexa} Jstand  ∂ ∂xn  = ∂ ∂yn Jstand  ∂ ∂yn  = − ∂ ∂xn .

A integrabilidade de uma GLn(C)-estrutura significa encontrar em trono

de cada x ∈ M uma carta coordena (U, ϕ), ϕ = (x1, . . . , xn, y1, . . . , yn) e

J  ∂ ∂xn  = ∂ ∂yn J  ∂ ∂yn  = − ∂ ∂xn . Defini¸c˜ao 3.1.12. A aplica¸c˜ao NJ : X(M ) × X(M ) → X(M ) NJ(X, Y ) = [X, Y ] + J ([J X, Y ] + [X, J Y ]) − [J X, J Y ]

´e o tensor de Nijenhuis da estrutura quase complexa J . Proposi¸c˜ao 3.1.5.

NJ ∈ Γ(Λ2T∗M ⊗ T M )

Demonstra¸c˜ao. NJ ´e antissim´etrica:

NJ(X, Y ) = [X, Y ] + J ([J X, Y ] + [X, J Y ]) − [J X, J Y ]

= −[Y, X] − J ([Y, J X] − [J Y, X]) + [J Y, J X] = −([Y, X] + J ([Y, J X] + [J Y, X]) − [J Y, J X]) = −NJ(Y, X)

3.1 G-ESTRUTURAS EM VARIEDADES 53

Vamos provar que NJ ´e tensorial. Sejam X, Y ∈ X(M ) e f ∈ C∞(M ). Ent˜ao

NJ(f X, Y ) = [f X, Y ] + J [J (f X), Y ] + J [f X, J Y ] − [J f X, J Y ] = f [X, Y ] − Y (f X) + J [f J X, Y ] + J f [X, J Y ] − J2(Y f )X − f [J X, J Y ] + J (Y f )J X = f [X, Y ] − Y (f X) + J f [J X, Y ] − J (Y f )X + J f [X, J Y ] + (Y f )X − f [J X, J Y ] + J (Y f )J X = f [X, Y ] + f J [X, J Y ] + f J [X, J Y ] − f [J X, J Y ] = f NJ

A seguir vem um resultado muito profundo sobre a integrabilidade de es- truturas que ´e o Teorema de Newlander-Niremberg. Trata-se de um teorema n˜ao trivial cuja demonstra¸c˜ao ´e muito trabalhosa e n˜ao ser´a feita, sendo indicada uma referˆencia.

Teorema 3.1.3 (Newlander-Niremberg). Se J ´e uma estrutura quase com- plexa em M , ent˜ao s˜ao equivalentes:

1. NJ ≡ 0

2. A GLk(C)-estrutura J ´e integr´avel.

Demonstra¸c˜ao. Ver em[NN57] ou em [Dem12], p´agina 399.

Exemplo 3.1.7 (Estruturas simpl´eticas: G = Sp2n(R) = {A ∈ GL2n(R) : ATJstandA = Jstand},

Jstand= " 0 −In In 0 # ).

Defini¸c˜ao 3.1.13. Uma estrutura quase simpl´etica ω em M ´e ω ∈ Ω2(M )

em que ωx, para todo x ∈ M ´e n˜ao degenerada :

ωx(u, v) = 0, ∀v ⇐⇒ u = 0

Defini¸c˜ao 3.1.14. Uma estrutura quase simpl´etica ωser´a dita simpl´etica se ω ´e fechada (dω = 0)

Um isomorfismo, nesse caso, ´e um difeomorfismo f : M → ¯M tal que f∗ω = ω, em que ω e ¯¯ ω s˜ao estruturas quase simpl´eticas em M e ¯M , res- pectivamente.

Uma estrutura quase simpl´etica ´e uma Sp2n(R)-estrutura em M e o mo-

delo padr˜ao ´e R2n com seus elementos denotados por (x1, . . . , xn, y1, . . . , yn)

e

ωstand = dx1∧ dy1+ . . . + dxn∧ dyn

Uma Sp2n(R)-estrutura ´e integr´avel se , para cada x ∈ M , existe uma

carta local (U, ϕ = (x1, . . . , xn, y1, . . . , yn)) contendo x tal que

ω = dx1∧ dy1+ . . . + dxn∧ dyn.

Lema 3.1.1 (Truque de Moser Local). Seja {ωt}0≤t≤1 uma fam´ılia de for-

mas simpl´eticas diferenci´aveis em t. Ent˜ao existe uma vizinhan¸ca U de p ∈ M tal que existe uma fun¸c˜ao gt : U → U de maneira que gt∗ωt = ω0 e

g₀∗ = id

Demonstra¸c˜ao. Apˆendice, TeoremaA.5.1.

Teorema 3.1.4 (Darboux). Se ω ´e uma estrutura quase simpl´etica em M . Ent˜ao, s˜ao equivalentes

1. ω ´e simpl´etica 2. ω ´e integr´avel.

Demonstra¸c˜ao. (Retirada de [Les14])

Vamos provar que se ω ´e uma forma simpl´etica em M , ent˜ao existe uma vizinhan¸ca em torno de cada ponto de M de modo que existem

(x1, . . . , xn, y1, . . . , yn) coordenadas locais para as quais ω = dx1 ∧ dy1 +

. . . + dxn∧ dyn.

Sejam (x1, . . . , xn, y1, . . . , yn) coordenadas locais em M e ωt= ω0+t(ω −

ω0), t ∈ [0, 1] uma fam´ılia de 2-formas com ω0 = dx1∧ dy1+ . . . + dxn∧ dyn.

Cada ωt´e fechada: Em x ∈ M , ωt(x) = ω0(x) = ω(x)

Por continuidade pode-se determinar uma vizinhan¸ca V de p de modo que ωt(p) n˜ao ´e degenerada. Pelo lema de Moser, existe uma vizinhan¸ca

3.2 CONEX ˜OES COMPAT´IVEIS 55

U ⊆ V de modo que h´a uma fun¸c˜ao gt: U → U como no lema. Desse modo:

g_t∗ωt= ω0 ⇒ d dtg ∗ tωt= 0 ⇒ g∗_t d dtωt+ LXtωt  = 0 ⇒ g∗_t d dtωt+ diXtωt  = 0 ⇒ diXtωt= − d dtωt Al´em disso d

dtωt exata ⇒ diXtωt= dηt, numa vizinhan¸ca de p, ηt∈ Ω

1_{(M )}

Portanto, iXtωt= ηt j´a que ωt ´e n˜ao-degenerada. esta equa¸c˜ao tem solu¸c˜ao, que determina um ´unico campo vetorial Xt. Desse modo, existe g1 tal que

g∗₁ω = ω0.

O campo vetorial Xt gera fam´ılias de um-parˆametros de difeomorfismos

{g_t}_0≤t≤1 de modo que se pode mudar as coordenadas e obter ω = dx1 ∧

dy1+ . . . + dxn∧ dyn.

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