Integrabilidade de G-Estruturas

Texto

(1)INTEGRABILIDADE DE G-ESTRUTURAS. Gustavo Ignácio Duarte. ˜ o apresentada Dissertac ¸a ao ´ tica e Estat´ıstica Instituto de Matema da ˜ o Paulo Universidade de Sa para ˜ obtenc ¸ ao do t´ıtulo de ˆncias Mestre em Cie. Programa de Pós-Gradua¸caõ em Matemática Orientador: Prof. Dr. Ivan Struchiner. S˜ ao Paulo, junho de 2018.

(2) INTEGRABILIDADE DE G-ESTRUTURAS. Esta vers˜ ao da disserta¸cão contém as corre¸cões e altera¸cões sugeridas pela Comiss˜ ao Julgadora durante a defesa da versão original do trabalho, realizada em 28/05/2018. Uma cópia da versão original está dispon´ıvel no Instituto de Matemática e Estat´ıstica da Universidade de São Paulo.. Comiss˜ ao Julgadora: • Prof. Dr. Ivan Struchiner (orientador) - IME-USP • Profª. Drª.Maria Amelia Salazer Pinzón - UFF • Prof. Dr. Lino Anderson da Silva Gama - Unicamp.

(3) Agradecimentos Meus agradecimentos v˜ ao para meus pais Teresa e Lourival, que me apoiam e me apoiar˜ ao por toda a vida, meu amigo Marcelo cuja amizade deu-me ˆ animo pra ir até o fim e ao amigo e orientador Ivan, que me deu a for¸ca necess´ aria para concluir este trabalho.. iii.

(4) iv.

(5) Resumo DUARTE, G. I. Integrabilidade de G-estruturas. 2018. 102 f. Disserta¸cão (Mestrado) - Instituto de Matemática e Estat´ıstica, Universidade de São Paulo, S˜ ao Paulo, 2018. Esta disserta¸c˜ ao tem como objetivo discutir sob quais condi¸cões uma Gestrutura é integr´ avel. Primeiro apresentam-se fibrados principais, vetoriais e outras estruturas a elas associados como tor¸cão, espa¸cos verticais, espa¸cos horizontais e conex˜ oes. Depois apresentam-se a defini¸cão de G-estrutura, de integrabilidade de G-estruturas, com exemplos e as respectivas versões de integrabilidade e equivalência de G-estruturas. Finalmente, são descritas condi¸cões mais gerais que garantem a integrabilidade de G-estruturas. Palavras-chave: fibrados principais, fibrados vetoriais, fibrados associados, conexões, transporte paralelo, curvatura, tor¸cão, G-estruturas, integrabilidade , equivalência de G-estruturas, cohomologia de Spencer.. v.

(6) vi.

(7) Abstract DUARTE, G.I. Integrability of G-structures. 2018. 102 f. Dissertation (Master) - Instituto de Matem´ atica e Estat´ıstica, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2018. This dissertation aims to discuss what are the conditions for the integrability of a G-structure. We begin presenting principal bundles, vectoer bundles, associated bundles and other structures related to them like torsion, vertical spaces, horizontal spaces and connections. After this, we present the definition of G-structure, integrability os G-structures with examples ans respectives versions of integrabilities and the equivalence of G-estructures. Finally, we describe more general conditions that ensure the integrability of G-estrutures. Keywords: principal bundles, vector bundles, associated bundles, connections, parallel transport, curvature, torsion, G-structures, integrability, equivalence of G-structures, Spencer cohomology.. vii.

(8) viii.

(9) Sum´ ario 1 Introdu¸ c˜ ao. 1. 2 Fibrados Principais, Vetoriais e Associados.. 3. 2.1. Fibrados principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 2.1.1. Sobre as fibras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 2.1.2. Morfismos de fibrados principais . . . . . . . . . . . .. 6. 2.1.3. Se¸c˜ oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 2.1.4. Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 2.2. Fibrado associado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 2.3. Fibrados vetoriais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13. 2.3.1. Se¸c˜ oes em fibrados associados. . . . . . . . . . . . . .. 14. 2.3.2. Pullback de fibrados vetoriais. . . . . . . . . . . . . . .. 16. 2.3.3. Fibrados vetoriais como fibrados associados. . . . . . .. 17. Conex˜ oes em fibrados principais. . . . . . . . . . . . . . . . .. 18. 2.4.1. Espa¸co vertical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18. 2.4.2. Conex˜ oes em fibrados principais e espa¸cos horizontais.. 20. 2.4.3. Formas de conex˜ ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21. 2.4.4. Trasporte paralelo em fibrados principais . . . . . . .. 24. 2.4.5. Curvatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 25. Conex˜ oes em fibrados vetoriais. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28. 2.5.1. Transporte paralelo em fibrados vetoriais. . . . . . . .. 31. Curvatura e tor¸c˜ ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33. 2.6.1. Curvatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33. 2.6.2. Tor¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34. 2.6.3. Quando a curvatura é zero. . . . . . . . . . . . . . . .. 35. 2.6.4. Formas em fibrados associados . . . . . . . . . . . . .. 37. 2.4. 2.5 2.6. 2.7. Conex˜ oes induzidas em fibrados associados ix. . . . . . . . . . .. 38.

(10) x. ´ SUMARIO. 2.8. Redu¸c˜ ao do grupo estrutural . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3 G-estruturas 3.1. 3.2. 3.3 3.4. 39 41. G-estruturas em variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41. 3.1.1. Problema da equivalência de G-estruturas . . . . . . .. 42. 3.1.2. Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 42. Conex˜ oes compat´ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55. 3.2.1. Compatibilidade entre conexões e G-estruturas . . . .. 55. 3.2.2. espa¸co das conexões compat´ıveis . . . . . . . . . . . .. 56. Curvatura e tor¸cão de G-estruturas . . . . . . . . . . . . . . .. 57. 3.3.1. Tor¸c˜ ao intr´ınseca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57. Equa¸c˜ oes estruturais, curvatura e tor¸cão . . . . . . . . . . . .. 59. 3.4.1. Forma tautológica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 59. 3.4.2. Tor¸c˜ ao e equa¸cões estruturais. . . . . . . . . . . . . . .. 61. 4 Integra¸ c˜ ao de G-estruturas. 69. 4.1. Prolongamentos e Cohomologia de Spencer . . . . . . . . . .. 69. 4.2. Contato de k-ésima ordem e jatos. . . . . . . . . . . . . . . .. 71. 4.3. Fibrados referenciais e forma tautológica. . . . . . . . . . . .. 72. 4.4. Fun¸c˜ oes estruturais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 75. 4.5. G-estruturas uniformemente k-integráveis . . . . . . . . . . .. 77. 4.6. G-estruturas de tipo finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 78. A Apˆ endice. 79. A.1 Variedades: quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 79. A.2 C´ alculos de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 80. A.2.1 Derivada de Lie de um campo vetorial. . . . . . . . .. 80. A.2.2 Contra¸cão ou produto interior . . . . . . . . . . . . . .. 81. A.2.3 Derivadas de Lie em formas diferenciais . . . . . . . .. 82. A.3 Conex˜ ao de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 84. A.4 Lema ou Truque de Moser Local . . . . . . . . . . . . . . . .. 86. A.5 Propriedade Universal de Maurer-Cartan. 88. . . . . . . . . . . .. A.6 Exemplo n˜ ao-integrável: variedades nearly Kähler. . . . . . .. 89. A.7 G2 -estruturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 90. Referˆ encias Bibliogr´ aficas. 91. ´ Indice Remissivo. 93.

(11) Cap´ıtulo 1. Introdu¸ c˜ ao As variedades s˜ ao objetos centrais no estudo da Geometria. Muitas de suas propriedades podem ser estudadas a partir de um espa¸co vetorial muito importante: os espa¸cos tangentes. E podemos definir estruturas nos espa¸cos tangentes que nos dão muitas informa¸c˜ oes importantes sobre a geometria da variedade (comprimento, volume etc.): produtos internos , orienta¸cões, folhea¸cões, estruturas simpléticas etc. Existem certos referenciais (bases) dos espa¸cos tangentes que são compat´ıveis com a estrutura em questão. Por exemplo, os referenciais ortonormais mantém a a informa¸c˜ ao produto interno, ou equivalentemente o conjunto das bases ortonormais para o produto interno. A a¸c˜ ao de certas transforma¸c˜ oes lineares sobre esses referenciais, que são elementos de subgrupos de Lie de GLn (Rn ) mantém invariante as propriedades geométricas em rela¸c˜ ao ` a estrutura. No mesmo exemplo, as transforma¸cões ortogonais, que pertencem ao grupo O(n) representado pelas matrizes ortogonais, conservam informa¸cão do o produto interno, ou de forma equivalente o conjunto de bases ortonormais para o produto interno. Dessa forma, obtemos um conjunto de referenciais especiais que tem uma compatibilidade com a estrutura em questão codificada pelo subgrupo de Lie que o mantém invariante. As G-estruturas são exatamente tais conjuntos de referenciais que através da escolha de G ⊆ GLn (Rn ), subgrupo de Lie, que determina um tipo de geometria. Assim, essa forma de enxergar a Geometria, através do estudo das Gestruturas, permite um estudo dela mais global e com uma sistematiza¸cão mais geral. Uma G-estrutura é integr´ avel se em torno de cada ponto da variedade existem cartas para os quais o referencial induzido funciona como acima descrito. Com isso, estudaremos teoremas clássicos de integrabilidade como os caso Riemanniano, em que a integrabilidade está relaciona com a curvatura e tor¸cão, o teorema de Frobenius, em que a integrabilidade está relacionada. 1.

(12) 2. ˜ INTRODUC ¸ AO. 1.0. com a involutividade de uma distribui¸cão, teorema de Darboux que trata da integrabilidade de formas simpléticas. Uma grande quest˜ ao é a equivalência de G-estruturas: em que condi¸cões localmente existe um isomorfismo entre entre duas G-estruturas, cujo caso particular é a equivalência a chamada G-estrutura canônica ou standard, de Rn . O objetivo desse trabalho é encontrar tais condi¸cões e isso é desenvolvido no artigo The Integrability Problem for G-Structures, de Victor Guillemin ([Gui65]), com uma linguagem mais moderna que terá como base a linguagem de fibrados e trar´ a uma série de ferramentas que serão muito u ´teis ao nosso prop´ osito..

(13) Cap´ıtulo 2. Fibrados Principais, Vetoriais e Associados. Come¸caremos apresentando espa¸cos de proje¸cão: fibrados. Iniciamos com o fibrado principal que é a estrutura básica na constru¸cão de G-estruturas. Em seguida estudaremos os fibrados associados que são o elo entre os fibrados principais e os fibrados vetoriais, u ´ltima estrutura estudada nesse cap´ıtulo. Em seguida veremos os conceitos de conexão e curvatura primeiro em fibrados principais e depois em fibrados vetoriais. Na primeira situa¸cão, serão apesentados os conceitos de espa¸cos verticais e horizontais e suas propriedades geométricas. Também veremos as 1-formas de conexão e sua rela¸cão com espa¸cos horizontais. Depois estudaremos conexões e curvatura em fibrados vetoriais,e como elas se correlacionam. Além disso, estudaremos o transporte paralelo em ambos fibrados. Esse cap´ıtulo tem como forte suporte [Cra15]. 2.1. Fibrados principais. Defini¸ c˜ ao 2.1.1. Sejam M uma variedade diferenci´ avel e G um grupo de Lie. Um G-fibrado principal sobre M consiste de (i) uma variedade P e uma a¸c˜ ao ` a direita P × G → P, (p, g) 7→ pg de G sobre P . (ii) uma submers˜ ao sobrejetora π : P → M G-invariante, isto é,π(pg) = 3.

(14) 4. FIBRADOS PRINCIPAIS, VETORIAIS E ASSOCIADOS.. 2.1. π(p), denominada proje¸c˜ ao, que satisfaz a propriedade de trivialidade local: dado x0 ∈ M existem uma vizinhan¸ca aberta desse ponto U e um difeomorfismo ΨU : π −1 (U ) → U × G que leva cada fibra π −1 (x) nas fibras {x}×G e é G-equivariante:ΨU (pg) = ΨU (p)g, pela a¸c˜ ao G dada por: (x, g)h = (x, gh), h ∈ G. P é chamado de espa¸co total, M é de espa¸co base. Usaremos as nota¸c˜ oes Px para a fibra π −1 (x) e P |U para π −1 (U ). Exemplo 2.1.1. O G-fibrado principais trivial sobre M é M × G, munido com a a¸c˜ ao descrita acima e a proje¸c˜ ao como sendo a proje¸c˜ ao p1 : M ×G → M, p1 (x, g) = x. Proposi¸ c˜ ao 2.1.1. A a¸ca õ de G sobre P é livre, pr´ opria e transitiva nas fibras. Demonstra¸c˜ ao. Primeiro vamos provar que a¸cão á direita de G sobre U × G é livre: (x, a)g = (x, a) ⇒ (x, ag) = (x, a) ⇒ ag = a e multiplicando ambos os membros da ultima igualdade por a−1 , obtemos g = e. Agora, suponhamos que p · g = p, com p ∈ P, g ∈ G. Aplicando uma trivializa¸c˜ ao local Ψ nesta igualdade, tem-se Ψ(pg) = Ψ(g) ⇒ Ψ(p)g = Ψ(p) ⇒ g = e Portanto, a a¸c˜ ao de G sobre P é livre. Para provar que a a¸cão é própria, temos que provar que a fun¸cão P × G → P × P, (p, g) 7→ (p, pg) é pr´ opria. Uma aplica¸c˜ ao é pr´ opria se a pré-imagem de um compacto no contradom´ınio é um compacto. O que equivale a provar que essa pré-imagem é sequencialmente compacta em nosso caso. Seja K ⊆ P × P , compacto, e ((pi , gi ))i uma sequência em P × G, tal que ((pi , pi gi )) ⊆ K, para todo i. Nesse caso, com esta sequência está num compacto, ela admite uma subsequência convergente ((pi , pi gi ))i , cujo limite ser´ a (p, q) ∈ K. Consideremos a subsequência ((pi , gi ))i que é levada na subsequência convergente..

(15) 2.1. FIBRADOS PRINCIPAIS. 5. Seja x = π(P ) e U ⊆ M um abeto trivializante em torno de M, cuja trivializa¸c˜ ao local é ψ : Ex −→ U × G. Sabemos que: pi → p ⇒ π(pi ) → π(p) e por isso, exceto por um n´ umero finito de ´ındices, π(pi ) ∈ U . Além disso, pi gi → q ⇒ π(pi gi ) = π(pi ) → π(q) ⇒ π(p) = π(p) ∴ q ∈ Ex Sejam ψ(p) = (x, a), ψ(q) = (x, b) e ψ(pi ) = (xi , ai ). Então x→ x, ai → a e como pi gi → q, ent˜ ao ψ(pi gi ) → ψ(q) ⇒ ψ(pi )gi → (x, b) (xi , ai gi ) → (x, b) ⇒ ai gi → b Logo, ai gi → b ⇒ gi → a−1 i b Finalmente, (pi , gi ) → (p, a−1 i b). 2.1.1. Sobre as fibras. Como π é uma fun¸c˜ ao G-invariante, as fibras π −1 (x) são G-espa¸cos difeomorfos ao pr´ oprio grupo G (como G-espa¸cos): fixado x ∈ M todo p ∈ π −1 (x) induz um difeomorfismo φ : G → Px φp (g) = pg,. p ∈ Px. (2.1). compat´ıvel coma a a¸c˜ ao ` a direita de de G: φ(gh) = φ(g)h, h ∈ G Denotando por gp→q o u ńico elemento em G tal que q = pg temos a inversa da aplica¸c˜ ao acima: −1 φ−1 p : Px → G, φp (q) = gp→q.

(16) 6. FIBRADOS PRINCIPAIS, VETORIAIS E ASSOCIADOS.. 2.1. Observa¸ c˜ ao 1. Consideremos P ×M P = {(p, q) : π(p) = π(q)}. Dessa forma,conseguimos um difeomorfismo δ : P × G → P ×M P (p, g) 7→ (p, pg). (2.2). cuja inversa é ∆ : P ×M P → P × G (p, q) 7→ (p, gp→q ). 2.1.2. (2.3). Morfismos de fibrados principais. Defini¸ c˜ ao 2.1.2. Se πi : Pi → M, i = 1, 2 s˜ ao G-fibrados principais, um morfismo entre G-fibrados principais é um uma fun¸c˜ ao suave F : P1 → P2 que comuta com as proje¸c˜ oes: π1 = π2 ◦ F e é G-equivariante: F (pg) = F (p)g, p ∈ P1 , g ∈ G. / P2. F. P1 π1. M. ~. π2. Um G-fibrado principal é dito trivializ´ avel se é isomorfo ao fibrado principal trivial. A condi¸c˜ ao de trivialidade local afirma que, π −1 (U ) é isomorfo ao fibrado principal trivial. Proposi¸ c˜ ao 2.1.2. Todo morfismo entre fibrados principais é isomorfismo. Demonstra¸c˜ ao. Sejam π1 : P1 → M e π2 : P2 → M dois G-fibrados principais e f : P1 → P2 um morfismo entre eles. Ou seja, π2 ◦ f = π1 . Sejam p, q ∈ P1 tais que f (p) = f (q). Então π2 (f (p)) = π2 (f (q)) ⇒ π1 (p) = π1 (q) Desse modo, p e q pertencem à mesma fibra π −1 (x), com x ∈ M . Como a a¸c˜ ao de G é transitiva, existe g ∈ G tal que q = pg. Da´ı f (q) = f (pg) = f (p)g = f (q)g.

(17) 2.1. FIBRADOS PRINCIPAIS. 7. Como a a¸c˜ ao é livre, ent˜ ao g = e. Portanto, q = p . E assim, f é injetora. Agora, consideremos p¯ ∈ P2 . Tomemos b ∈ π2 (¯ p). Vamos tomar agora p ∈ π1−1 (b). Sabemos que p¯ ∈ π2−1 (b) também. Ent˜ ao, existe g ∈ G tal que p¯ = f (p)g ⇒ p¯ = f (pg) Logo, f é sobrejetora. Seja h : P2 → P1 a inversa de f . Vamos provar que g é G-equivariante. Seja q ∈ P2 e g ∈ G. Ent˜ ao q = f (p), p ∈ P1 de modo que q = g(p). Assim: h(qg) = h(f (p)g) = h(f (pg)) = pg = h(q)g A fun¸c˜ ao g também é continua: consideremos as respectivas trivializa¸cões locais Ψ : Pi : πi−1 (U ) → U × G, i = 1, 2, para U ⊆ M aberto. Então, podemos considerar f |U : U × G → U × G com f |U (x, g) = (x, ρ(x, g)) com ρ : U × G → G, tal que ρ(x, hg) = ρ(x, h) · g . Como f é cont´ınua, então ρ também o é. Além disso, como ρ(x, g) ∈ G, existe ρ−1 (x, g) e a aplica¸cão g 7→ g −1 é cont´ınua em grupos topológicos, que é o caso de G um grupo de Lie. Assim, f |U é localmente expressa por (x, g) 7→ (x, ρ−1 (g)).. 2.1.3. Se¸co ˜es. Defini¸ c˜ ao 2.1.3. Se π : P → M é um G-fibrado principal, uma se¸ c˜ ao desse fibrado ser´ a um fun¸c˜ ao σ : M → P em que σ(x) ∈ π −1 (x), ou seja, πP ◦ σ = IdM .. P] π. . σ. M O espa¸co da se¸c˜ oes de um fibrado principal é denotado por por ΓM (P ) ou simplesmente Γ(P ) se n˜ ao houver d´ uvidas quanto ao espa¸co base..

(18) 8. FIBRADOS PRINCIPAIS, VETORIAIS E ASSOCIADOS.. 2.1. Proposi¸ c˜ ao 2.1.3. Um G-fibrado principal admite se¸c˜ ao global se, e somente se,é trivializ´ avel. Demonstra¸c˜ ao. Se o fibrado principal é trivializável, então existe um isomorfismo f : M × G → P . Vamos definir, para g ∈ G fixado, a seguinte fun¸c˜ ao: σg : M → P, σg (x) = f (x, g) Isto define uma se¸c˜ ao pois f leva fibra em fibra de modo que f (x, g) ∈ π −1 (x). Se σ é uma se¸c˜ ao global do G-fibrado principal π : P → M então Fσ : M × G → P, Fσ (x, g) = σ(x)g é um isomorfismo de G-fibrados principais. Considerando as proje¸cões p1 : M × G → M a proje¸cão na primeira coordenada e π : P → M então: π ◦ Fσ (x, g) = π(σ(x)g) = π(σ(x)) = x p1 (x, g) = x Portanto, p1 = π ◦ Fσ . Assim, Fσ é um isomorfismo de G-fibrados principais, de modo que P é trivializável.. 2.1.4. Exemplos. Alguns exemplos de G-fibrados principais: 1. Seja Z2 = {e, a} com a2 = e e definamos a a¸cão desse grupo sobre S n da seguinte maneira: ze = z, za = −z,. z ∈ Sn. O quociente S n /Z2 é difeomorfo ao espa¸co projetivo RP n , de modo a obtermos o Z2 -fibrado principal π : S n → RP n . 2. Seja G = S 1 , identificado com {z ∈ C : |z| = 1}. Definindo a a¸cão de.

(19) 2.2. FIBRADO ASSOCIADO. 9. S 1 sobre SO(3) como sendo  1  M z = M 0. 0 cos θ. 0. .  sin θ  , M ∈ SO(3),. z = cos θ + i sin θ. 0 − sin θ cos θ e a proje¸c˜ ao como sendo π : SO(3) → S 2 que associa M ∈ SO(3) à sua primeira coluna. Ent˜ ao π : SO(3) → S 2 é um S 1 - fibrado principal. 3. Considere S 3 = {(z1 , z2 ) ∈ C2 : |z1 |2 + |z2 |2 = 1} e a a¸cão de S 1 sobre S 3 dada por (z1 , z2 ) · z = (z1 z, z2 z),. z ∈ S1. e a proje¸c˜ ao π : S 3 → S 2 , π(z1 , z2 ) = (2z1 z¯2 , |z1 |2 − |z2 |2 ) π : S 3 → S 2 é um S 1 - fibrado principal. Este é a chamada fibra¸cão de Hopf. 4. Sejam G um grupo de Lie e H um subgrupo de Lie fechado e do primeiro. A a¸c˜ ao de H sobre G é dada por multiplica¸cão. Então π : G → G/H, π(g) = [g] é um H-fibrado principal, cujas fibras são exatamente as co-classes ` a esquerda de G/H.. 2.2. Fibrado associado. Sejam F uma variedade, G × F → F uma a¸cão de G à esquerda sobre F e π : P → M um G-fibrado principal. Defini¸ c˜ ao 2.2.1. O fibrado associado ao fibrado principal é definido como E(P, F ) = (P × F )/G onde (p, v) ∼ (pg, g −1 v)..

(20) 10. FIBRADOS PRINCIPAIS, VETORIAIS E ASSOCIADOS.. 2.2. Definimos a seguinte proje¸cão π ˜ : E(P, F ) → M π ˜ ([p, v]) = π(p) Denotando por [p, v] os elementos induzidos por (p, v), observemos que [pg, v] = [pg, g −1 gv] = [p, gv] Quanto ` as fibras,. π ˜ −1 (x) = E(P, V )x = {[p, v] ∈ E(P, V ) : p ∈ π −1 (x), v ∈ F } Dado p0 ∈ π −1 (x), temos p0 ∈ π −1 (x) ⇒ p0 = pg, g ∈ G ⇒ [p0 , v] = [pg, v] = [p, gv] = [p, w]. Assim, π −1 (x) = {[p0 , v] : v ∈ F } Proposi¸ c˜ ao 2.2.1. Seja E(P, F ) um fibrado associado. Ent˜ ao: 1. E(P, F ) é uma variedade. 2. π ˜ : E(P, F ) → M é uma submers˜ ao sobrejetora. 3. Em torno de cada x ∈ M existe um aberto U ⊆ M tal que existe um difeomorfismo ˜ U : E(P, F )|U → E × F Ψ tal que o diagrama ˜U Ψ. E(P, F )|U π ˜. comuta. $. U. |. /U ×F pr1.

(21) 2.2. FIBRADO ASSOCIADO. 11. ˜ U e Ψ| ˜ V 4. Para todos abertos U e V trivializantes, com U ∩ V 6= ∅ e Ψ| as respectivas trivializa¸c˜ oes, ent˜ ao ˜ V ◦ Ψ| ˜ −1 : (U ∩ V ) × F → (U ∩ V ) × F Ψ| U ˜ V ◦ Ψ| ˜ −1 (x, v) = (x, gU V (σ(x))v) Ψ| U com gU V : U ∩ V → G difeomorfismo. Além disso, se U ∩ V ∩ W 6= ∅, tem-se gV W ◦ gU V = gU W Demonstra¸c˜ ao.. 1. Vamos considerar {Uα } uma cobertura de abertos tri-. vializantes de M . Consideremos uma se¸c˜ ao local σα : Uα −→ P |Uα . Para cada p ∈ P |Uα , existe um u ńico elemento gα (p) ∈ G de modo que p = σα (π(p))gα (p). Isso define uma aplica¸cão suave gα : P |Uα −→ G. A partir de gα , vamos definir a seguinte trivializa¸cão local ˜ α : E(P, V )|Uα −→ Uα × F Ψ [p, v] 7→ (π(p), gα (p)v). A sua inversa é dada por (x, v) = [σα (x), v]. 2. O diagrama a seguir ˜U Ψ. E(P, F )|U π ˜. $. U. /U ×F |. pr1. comuta por constru¸c˜ ao. Desse modo, pr1 ◦ ψ˜ = π ˜ de forma que a ultima fun¸cão é, localmente, a composi¸cão de duas fun¸c˜ oes sobrejetora, e portanto, sobrejetora. Além disso, novamente.

(22) 12. FIBRADOS PRINCIPAIS, VETORIAIS E ASSOCIADOS.. 2.2. localmente, π ˜ expressa-se como uma proje¸cão, de modo a ser uma submers˜ ao. 3. Provado em (1). 4. Seja x ∈ U ∩ V 6= ∅, U e V abertos trivializantes de M , cujas res˜U e Ψ ˜ V e as respectivas triviapectivas trivializa¸cões associadas são Ψ liza¸c˜ oes locais e σU V : U ∩ V −→ PU ∩V uma se¸cão. Além disso, seja gU V : U ∩ V → G como em (1). Se p ∈ P |U ∩V , então ˜ −1 (x, v) = [σU (x), v] ⇒ Ψ U ˜ V (Ψ ˜ −1 (x, v)) = (π(σU (x)), gU V (σU V (x))v) Ψ U = (x, gU V (σU V (x)))v). Sejam agora U, V e W abertos trivializantes de π : E → P , tais que U ∩ ˜ U , Ψ| ˜ V e Ψ| ˜ W . Ademais, V ∩ W 6= ∅, com respectivas trivializa¸cões Ψ| sejam gU V : U ∩ V → G, gV W : V ∩ W → G, gU W : U ∩ W → G como em (1) e σU V W : U ∩ V ∩ W −→ P |U ∩V ∩W . Então: ˜ V ◦ Ψ| ˜ −1 ˜ W ◦ Ψ| ˜ −1 ◦ Ψ| ˜ W ◦ Ψ| ˜ −1 = Ψ| Ψ| U V U. Se x ∈ U ∩ V ∩ W e v ∈ F , então ˜ W ◦ Ψ| ˜ −1 (x, v) = (x, gU W (σU V W (x)))v) Ψ| U e ˜ W ◦ Ψ| ˜ −1 ◦ Ψ| ˜ V ◦ Ψ| ˜ −1 (x, v) = Ψ| ˜ W ◦ Ψ| ˜ −1 (x, gU V (σU V W (x)))v) Ψ| V U V ˜ W ([σU V W (x), gU V (σU V W (x)v)]) = Ψ| = (x, gV W gU V (σU V W (x)v)) de modo que gU W = gV W gU V Exemplo 2.2.1. Quando F = V é um espa¸co vetorial e ρ : G → GL(V ) é.

(23) 2.3. FIBRADOS VETORIAIS.. 13. uma representa¸c˜ ao de G em V , temos o seguinte fibrado associado: E(P, V ) = (P × V )/G onde a¸c˜ ao de G sobre P × V é dada por (p, v)g = (pg, ρ−1 (g)v), em que denotaremos ρ−1 (g)v simplesmente por g −1 v. Neste caso o fibrado associado é um fibrado vetorial. Observa¸ c˜ ao 2. Um espa¸co E com proje¸c˜ ao π : E −→ M satisfazendo 1-4 é chamado fibrado com fibra F e grupo de estrutura G.. 2.3. Fibrados vetoriais.. Podemos assim definir as opera¸cões de espa¸co vetorial para o fibrado associado: [p, u] + [p, v] = [p, u + v] e α[p, v] = [p, αv], α ∈ R Observa¸ c˜ ao 3. Considerando elementos arbitr´ arios [p, u] e [q, v], existe g ∈ G tal que p = q · g, de modo que [q, v] = [p, gv] e assim [p, u] + [q, v] = [p, u] + [p, gv] = [p, u + gv]. Proposi¸ c˜ ao 2.3.1. A opera¸c˜ ao de soma acima definida est´ a bem definida. Demonstra¸c˜ ao. Sejam p e q elementos da mesma fibra π −1 (x). Então p = q · g.g ∈ G. Sejam também (p, u) ∼ (p0 , u0 ) e (q, v) ∼ (q 0 , v 0 ). Assim, (p, u) · g1 = (p0 , u0 ), (q, v) · g2 = (q 0 , v 0 ), g1 , g2 ∈ G Portanto, (p0 , u0 ) = (pg1 , g1 u) (q 0 , v 0 ) = (qg2 , g2 v).

(24) 14. FIBRADOS PRINCIPAIS, VETORIAIS E ASSOCIADOS.. 2.3. Desse modo, [p0 , u0 ] + [q 0 , v 0 ] = [pg1 , g1−1 u] + [qg2 , g2−1 v] = [p, g1 g1−1 u] + [q, g2 g2−1 u] = [p, u] + [q, v]. Seja x ∈ M e escolhamos um elemento p ∈ P . Proposi¸ c˜ ao 2.3.2. A fun¸c˜ ao ϕp : V → E(P, V )x ϕp (v) = [p, v] é um isomorfismo de espa¸cos vetoriais: Demonstra¸c˜ ao. Decorre diretamente da proposi¸cão anterior.. 2.3.1. Se¸c˜ oes em fibrados associados.. Seja E(P, F ) um fibrado associado. Consideremos o espa¸co das fun¸cões suaves equivariantes C ∞ (P, F )G = {f ∈ C ∞ (P, F ) : f (p · g) = g −1 · f (p)}. Proposi¸ c˜ ao 2.3.3. A fun¸c˜ ao: γ : C ∞ (P, F )G → Γ(E(P, F )), γ(f )(x) = [p, f (p)], onde p ∈ P x, é uma bije¸c˜ ao. Demonstra¸c˜ ao. A fun¸caõ γ está bem definida: seja q ∈ Px . Então q = pg. Assim [q, f (q)] = [pg, f (pg)] = [pg, g −1 f (p)] = [p, f (g)] Provemos que γ é injetora: γ(f )(p) = γ(f 0 )(p) ⇒ [p, f (p)] = [p, f 0 (p)] ⇒ f (p) = f 0 (p), ∀p ∈ P ⇒ f 0 = f.

(25) 2.3. FIBRADOS VETORIAIS.. 15. Provemos que γ é sobrejetora: seja σ ∈ Γ(E(P, F )). Então σ(x) = [p0 , v0 ], p0 ∈ Px . Seja q ∈ Px , de modo que q = p0 g. Assim [p0 , v0 ] = [qg −1 , v0 ] = [q, g −1 v0 ] Definindo fσ (q) = g −1 v0 , obtemos σ(x) = [q, fσ (v)] = γ(f )(x).. Defini¸ c˜ ao 2.3.1. Seja M uma variedade. Um fibrado vetorial de posto k sobre M consiste de de uma sobreje¸c˜ ao π : E → M , em que E é uma variedade e em torno de cada x0 ∈ M pode-se encontrar um aberto U e um isomorfismo para o qual seguinte diagrama comuta / U × Rk. F. π −1 (U ) π. #. U. {. pr1. o que induz estrutura de espa¸co vetorial nas fibras. Exemplo 2.3.1. O fibrado vetorial p1 : M × Rk → M, p1 (x, v) = x é o chamado fibrado trivial. Defini¸ c˜ ao 2.3.2. Dado um fibrado vetorial π : E → M uma se¸ c˜ ao é uma fun¸c˜ ao suave s : M → E tal que π ◦s = IdM , ou seja, s(x) ∈ Ex . O conjunto das se¸c˜ oes de um fibrado vetorial é denotado por Γ(E). Exemplo 2.3.2. O fibrado tangente π : T M → M , onde T M = e π(x, v) = x ∈ M é um fibrado vetorial. As fibras. π −1 (x). S. x∈M. Tp M. s˜ ao exatamente. os espa¸cos tangentes Tp M . Se (U, φ) = (U, (x1 , . . . , xn )) é uma carta local para M ,com φ(U ) ⊆ Rn ent˜ ao definimos a seguinte fun¸c˜ ao: ΦU : π −1 (U ) → U × Rn ΦU. x,. n X i=1. ∂ v1 ∂xi. ! = (x, (v1 , . . . , vn )). esta fun¸c˜ ao é um difeomorfismo e, portanto, uma trivializa¸c˜ ao local de T M ..

(26) 16. FIBRADOS PRINCIPAIS, VETORIAIS E ASSOCIADOS.. 2.3. Se restringirmos ΦU ao espa¸co tangente Tp M , obtemos: ΦU |Tx M : Tp M → {x} × Rn ΦU. n X i=1. ∂ v1 ∂xi. ! = (v1 , . . . , vn ). é um isomorfismo linear, de modo que cumprem-se as condi¸c˜ oes de fibrado vetorial para o fibrado tangente. Defini¸ c˜ ao 2.3.3. Um referencial em x ∈ Mé uma cole¸c˜ ao de se¸c˜ oes {s1 , . . . , sk } de E tais que {s1 (x), . . . , sk (x)} é base de Ex . Dada s ∈ Γ(E) e {s1 , . . . , sk } um referencial em x ∈ U aberto em M , ent˜ ao podemos express´ a-la como: s(x) = f1 (x)s1 (x) + . . . + fk (x)sk (x) em que fi s˜ ao fun¸c˜ oes suaves em U .. 2.3.2. Pullback de fibrados vetoriais.. Sejam π : E → N um fibrados vetorial de posto k e f ∈ C ∞ (M, N ). Defini¸ c˜ ao 2.3.4. O fibrado pullback de π : E → N por f , denotado por f ∗ E, é definido como: (f ∗ E) = {(x, p) ∈ M × E : f (x) = π(p)} com a proje¸c˜ ao pr1 : f ∗ E → M . f ∗E pr1. . M. pr2. f. /E . π. /N. Seja V ⊆ N um aberto em torno de y = f (x), trivializante. Então existe ψ : EV → V × Rk uma trivializa¸cão local do fibrado π : E → N , com ψ(p) = (π(p), η(p)), η : Eπ(p) → Rk , difeomorfismo nas fibras. Consideremos ¯ p) = (x, η(p)) ψ¯ : pr2−1 (f −1 (V )) → f −1 (V ), ψ(x,.

(27) 2.3. FIBRADOS VETORIAIS.. 17. Estas são trivializa¸c˜ oes locais do fibrado pullback. Observa¸ c˜ ao 4. Em termos de fibras, (f ∗ E)x ' Ef (x). Observa¸ c˜ ao 5. As se¸c˜ oes em E induzem se¸c˜ oes em f ∗ E da seguinte maneira: (f ∗ s)(x) = s(f (x)) Se s ∈ Γ(E) ent˜ ao f ∗ s = s ◦ f : M → E é de fato uma se¸ca õ pois (f ∗ s)(x) = s(f (x)) ∈ Ef (x) = (f ∗ E)x . Lema 2.3.1. Seja α ∈ Γ(f ∗ E) e U um aberto em M em torno de x. Ent˜ ao Pk ∗ k α(x) = e um referencial de x e ui ∈ i=1 ui (x)(f si )(x), onde {si }i=1 ´ C ∞ (U ). Demonstra¸c˜ ao. Seja α ∈ Γ(f ∗ E), Então α(x) ∈ (f ∗ E)x = Ef (x) com x ∈ M . Seja também x ∈ M com {si }ki=1 um referencial em torno de f (x). Dessa forma, existem u1 , . . . , uk ∈ C ∞ (U ) tais que α(x) =. k X. ui si (f (x)). i=1. =. k X. ui (f ∗ si (x)). i=1. 2.3.3. Fibrados vetoriais como fibrados associados.. Fibrado referencial. Seja π : E → M é um fibrado vetorial de posto k. Vimos que um referencial {si }ki=1 em x ∈ M é uma base de Ex , que pode ser visto como um isomorfismo φ : Rk → Ex ei 7→ si (x) em que {e1 , . . . , ek } é a base de canônica de Rk . Se g ∈ GLk (R) ent˜ ao φ ◦ g : Rk → Ex continua sendo um isomorfismo e assim φ ◦ g também é um referencial..

(28) 18. FIBRADOS PRINCIPAIS, VETORIAIS E ASSOCIADOS.. 2.4. Seja F r(E) = {(x, φ) : φ é um referencial de Ex }, o chamado fibrado referencial. Definindo esta composi¸cão como uma a¸cão à direita de GLk (R) sobre F r(E), ent˜ ao π ¯ : F (E) → M com π ¯ = pr1 , é um GLk (R)-fibrado principal, cujas fibras sobre x s˜ ao F (E)x = {φ : Rn → Ex referencial} Seja x ∈ M e U um aberto em torno de x de modo que existe ψU : EU → ∼ Rk U ×Rk uma trivializa¸c˜ ao local do fibrado. Então ψU |E : Ex → {x}×Rk = x. é um isomorfismo de maneira a ser um referencial. Dessa forma, ψU ◦ φ ∈ GLk (R). A fun¸cão: ΨU : F r(E)|U → U × GLk (R) (x, φ) 7→ (x, ψU ◦ φ) Quando E = T M , denotamos F r(T M ) por, simplesmente, F r(M ). Proposi¸ c˜ ao 2.3.4. Todo fibrado vetorial é um fibrado associado para algum fibrado principal. Demonstra¸c˜ ao. Seja π : E → M um fibrado vetorial de posto k. Então o fibrado referencial pr1 : F r(E) → M é um GLk (R)-fibrado principal. Ent˜ ao E(F r(E), Rn ) é o fibrado associado ao fibrado referencial, aplica¸cão f : E(F r(E), Rk ) → E [φ, v] 7→ φ(v) é um isomorfismo entre E e o fibrado associado.. 2.4 2.4.1. Conex˜ oes em fibrados principais. Espa¸co vertical.. Seja π : P → M um G-fibrado principal e a sua diferencial em p ∈ P , (dπ)p : Tp P → Tπ(p) M . Defini¸ c˜ ao 2.4.1. O espa¸ co vertical em p é definido por Vp = ker(dπ)p ⊆ Tp P..

(29) ˜ CONEXOES EM FIBRADOS PRINCIPAIS.. 2.4. 19. Observa¸ c˜ ao 6. Se x = π(p), os elementos do espa¸co vertical Vp s˜ ao exatamente os vetores tangentes ` a fibra Px , ou seja Vp = Tp (Px ). Proposi¸ c˜ ao 2.4.1. Existe um isomorfismo entre g, a ´ algebra de Lie de G, e Vp . Demonstra¸c˜ ao. Vamos definir a a¸cão infinitesimal de g em P : ψ : g → X(P )

(30) d

(31)

(32) ψp (ξ) =

(33) p exp(tξ) dt t=0. (2.4). A correspondência p 7→ ψp (ξ) é o chamado campo vetorial fundamental gerado por ξ Observemos que ψP (ξ) é vertical: π∗.

(34)

(35) d

(36)

(37) d

(38)

(39) p exp(tξ) =

(40) π(p exp(tξ))) | {z } dt

(41) t=0 dt t=0 ∈G

(42)

(43) d =

(44)

(45) π(p) dt t=0 =0. Então, a imagem da aplica¸c˜ ao ψ está contida em Vp . Seja p ∈ π −1 (x). A aplica¸c˜ ao φp : G → Px g 7→ pg é um difeomorfismo tal que dφp = ψp . Observando o diagrama a seguir, com δ e ∆ como em 2.2 e 2.3, respectivamente. P O× G o f. g 7→(p,g). G. . δ ∆. pr2. / P ×M P O i. φp. . pr2. / Px. vemos que φp é um suave pois φp = pr2 ◦ δ ◦ f que é uma composi¸c˜ ao de fun¸c˜ oes suaves e sua inversa é pr2 ◦ ∆ ◦ i que é.

(46) 20. FIBRADOS PRINCIPAIS, VETORIAIS E ASSOCIADOS.. 2.4. suave pelo mesmo motivo. Assim, φp é um difeomorfismo. Dese modo, sua diferencial em p, que é ψp , é um isomorfismo linear. Desse modo, g ' Vp .. 2.4.2. Conex˜ oes em fibrados principais e espa¸cos horizontais.. Defini¸ c˜ ao 2.4.2. Uma conex˜ ao em um G- fibrado principal é uma distribui¸c˜ ao em P, ou seja, um subfibrado H ⊆ T P em que (a) Tp P = Vp ⊕ Hp (b) (dRg )p (Hp ) = Hpg , g ∈ G O espa¸co Hp é chamado de espa¸ co horizontal. Os elementos de Vp s˜ ao chamados de vetores verticais e os elementos de Hp de vetores horizontais. Proposi¸ c˜ ao 2.4.2. A restri¸c˜ ao(dπ)p |Hp : Hp → Tπ(p) M é um isomorfismo. Demonstra¸c˜ ao. Temos que (dπ)|Hp é injetora pois ker(dπp ) = Vp e VP ∩ Hp = {0}. Além disso, dimTp P = dim(ker(dπ)p ) + dim(Im(dπ)p ) = dimVp + dimTπ(q) M dimTp P = dimVp + dimHp Desse modo dimHp = dimTπ(p) M. Proposi¸ c˜ ao 2.4.3. Se Hp é um espa¸co horizontal, existe um fun¸c˜ ao hp : Tq M → Tp P chamada de levantamento horizontal tal que (dπ)p ◦ hp = Id e cuja imagem é Hp.

(47) ˜ CONEXOES EM FIBRADOS PRINCIPAIS.. 2.4. 21. Demonstra¸c˜ ao. Como (dπ)p |Hp : Hp → Tπ(p) M é um isomorfismo, existe sua inversa h : Tπ(p) M → Hp . A fun¸c˜ ao hp obtém-se justamente quando se estende o contradom´ınio de h até Tp P .. 2.4.3. Formas de conex˜ ao.. Defini¸ c˜ ao 2.4.3. Uma 1-forma de conex˜ ao em P é uma 1-forma ω ∈ Ω1 (P, g) tal que: 1. ωp (ψp (ξ)) = ξ. 2. Rg∗ (ω) = Adg−1 (ω) Exemplo 2.4.1 (Retirado de [Dup03]). Considere o G-fibrado principal trivial π : M × G → M , π(x, g) = pr1 (x, g) = x. Vamos definir ωM C : T(p,g) M × G → Te G = g ωM C = (Lg−1 ◦ pr2 )∗ onde pr2 : M × G → G , com pr2 (x, g) = g e Lg−1 : G → G em que Lg−1 (h) = g −1 h. Esta é a chamada forma de Maurer-Cartan. Observemos que ωM C = (Lg−1 ◦ pr2 )∗ = (Lg−1 )∗ ◦ (pr2 )∗ = (pr2 )∗ ((Lg−1 )∗ ) = (pr2 )∗ θ, θg = (Lg−1 )∗. Além disso, Rg∗ ωM C = Rg∗ ◦ pr2∗ θ = pr2∗ ◦ Rg∗ θ. Vamos provara a segunda condi¸c˜ ao da defini¸c˜ ao para θ: Rg∗ (θ)h = θhg ◦ (Rg )∗ = (L(hg)−1 )∗ ◦ (Rg )∗ = (Lg−1 )∗ (Lh−1 )∗ ◦ (Rg )∗ = Adg −1 (Lh−1 )∗ = Adg −1 θg.

(48) 22. 2.4. FIBRADOS PRINCIPAIS, VETORIAIS E ASSOCIADOS.. Lema 2.4.1. Sejam π : P → M e π 0 : P 0 → M 0 dois G-fibrados principais e f : P → P 0 um difeomorfismo. Se ω 0 é uma 1-forma de conex˜ ao em P 0 , ent˜ ao f ∗ ω 0 é uma 1-forma de conex˜ ao em P . Demonstra¸c˜ ao. Vamos mostrar que f ∗ ω 0 é de fato uma 1-forma de conexão. 1. Como ω 0 é 1-forma de conexão então: ωf0 (p) (ψf (p) (v)) = v. Dessa forma: (f ∗ ω 0 )p (ψp (v)) = ωf0 (p) (dfp (ψp (v))) = ωf0 (p) (ψf (p) (v)) =v 2. Rg∗ (ω 0 ) = Adg−1 (ω 0 ). Então, se Xp ∈ Tp P , Rg∗ (ωf0 (p) )(dfp (Xp )) = Adg−1 (ω 0 )(dfp (Xp )) ⇒ Rg∗ (f ∗ ω 0 )p ((Xp )) = Adg−1 (f ∗ ω 0 )p (Xp ), ∀Xp ∈ Tp P ⇒ Rg∗ (f ∗ ω 0 ) = Adg−1 (f ∗ ω 0 ). Proposi¸ c˜ ao 2.4.4. Todo G-fibrado principal admite uma 1-forma de conex˜ ao. Demonstra¸c˜ ao. (Baseado em [Dup03]) Seja {Uλ } uma cobertura de abertos trivializantes de M e sejam Ψλ as respectivas trivializa¸c˜ oes. Pelo exemplo 1.4.1, existe uma 1-forma de conexão ωλ em Uλ × G. Ent˜ ao, pelo lema, Ψ∗λ ωλ é uma conexão em E|Uλ . Seja {ρλ } uma parti¸cão da unidade subordinada à cobertura. Definamos: ω=. X. ρλ Ψ∗λ ωλ .. λ. Provemos que ω é uma 1-forma de conexão: 1. ωp (ψp (v)) =. ∗ λ ρλ (p)(Ψλ (ωλ )p (ψp (v)). P. =. P. λ ρλ (p)(v). =v.

(49) ˜ CONEXOES EM FIBRADOS PRINCIPAIS.. 2.4. 23. 2. X X Rg∗ (ω) = Rg∗ ( ρλ Ψ∗λ ωλ ) = ρλ Ψ∗λ ωλ ((Rg )∗ ) λ. =. X. λ. ρλ Rg∗ (Ψ∗λ ωλ ). λ. = (Adg−1 (. =. X. ρλ (Adg−1 (Ψ∗λ ωλ )). λ. X. ρλ Ψ∗λ ωλ )). = Adg−1 (ω). λ. Proposi¸ c˜ ao 2.4.5. Existe uma correspondência 1-1 entre conex˜ oes H ⊆ T P e 1-formas de conex˜ ao ω ∈ Ω(P, (g)). Demonstra¸c˜ ao. Seja H uma conexão. Se X ∈ X(P ) então Xp = XpV + XpH com XPV ∈ Vp e eXPH ∈ Hp . Definamos ω H ∈ Ω1 (P, g) tal que ωpH (XP ) = ψp−1 (XpV ) ∈ g Essa é uma forma 1-forma de conexão pois: 1. ωpH (ψp (ξ)) = ψp−1 (ψp (ξ)) = ξ 2. Se X é horizontal, vale a condi¸cão (2) da defini¸cão. Se X é vertical, ent˜ ao X = ψp (ξ), ξ ∈ g e H (Rg )∗p (ωpH (X))) = ωpg ((Rg )∗ (ψp (ξ))) H = ωpg (ψpg (Adg−1 ξ)). = Adg−1 (ξ) = Adg−1 ω(ψp (ξ)) = Adg−1 (ω(X)) Por outro lado, se ω ∈ Ω1 (P, g) é uma 1-forma de conexão então: ker(ωp ) = {XP ∈ Tp P : ω(Xp ) = 0} é um espa¸co horizontal. Sabemos que ωp : Tp P → g é linear. Além disso, pela condi¸cão 1 da defini¸cão de 1-forma de conex˜ ao, temo que Vp ⊆ Im(ω)p ⊆ g. Como g ' Vp.

(50) 24. FIBRADOS PRINCIPAIS, VETORIAIS E ASSOCIADOS.. 2.4. (Proposi¸c˜ ao 1.4.1) ent˜ ao Im(ωp ) = g. Desse modo dim(ker(ωp )) = dimTp P − dimg = dimTp P − Vp Seja Xp ∈ ker(ωp ). Ent˜ ao: ωpg ((Rg )∗ ω)(Xp ) = ((Rg )∗ ωp )(Xp ) = Adg−1 (ω(Xp )) = 0 Portanto (dRg )p (Xp ) ∈ Hpg = ker(ωpg ) Partindo de uma conexão H e construindo a correspondente 1-forma de conex˜ ao ω come descrita acima, então Xp ∈ ker(ωp ) se ω(Xp ) = 0. Mas isso ocorre se, e somente se, ψp−1 (XpV ) = 0. Isso significa que XpV = 0, de modo que Xp é um vetor horizontal, ou seja, Xp ∈ Hp . Dessa forma, a correspondência entre conexões e 1-forma de conexões é uma bije¸cão.. 2.4.4. Trasporte paralelo em fibrados principais. Defini¸ c˜ ao 2.4.4. Seja π : P → M um G-fibrado principal e γ : I → M uma curva. Um levantamento de γ é uma curva γ˜ : I → P tal que π(˜ γ (t)) = γ(t) Defini¸ c˜ ao 2.4.5. Se π : P → M é um G-fibrado principal e H ⊆ T P uma conex˜ ao, uma curva γ˜ : I → P é horizontal se γ˜ 0 (t) ∈ Hγ(t) . Defini¸ c˜ ao 2.4.6. Um levantamento horizontal de γ : I → P é um levantamento γ˜ : I → P que é uma curva horizontal em P . Lema 2.4.2. Seja X : [t0 , t1 ] → g uma curva. Ent˜ ao existe uma u ńica curva suave g : [t0 , t1 ] → G tal que g 0 (t)g(t)−1 = X(t), ∀t ∈ [t0 , t1 ]. Demonstra¸c˜ ao. Ver [KN63], páginas 69 e 70. Lema 2.4.3. Seja γ : [t0 , t1 ] → M uma curva sobre M . Ent˜ ao para p0 ∈ Pγ(t0 ) , t0 ∈ I, existe um u ńico levantamento horizontal γ˜ : I → P de γ em P tal que γ˜ (t0 ) = p0 Demonstra¸c˜ ao. (Retirado de [KN63]).

(51) ˜ CONEXOES EM FIBRADOS PRINCIPAIS.. 2.4. 25. Seja β : [t0 , t1 ] → M uma curva tal tal que π(β) = γ e β(t0 ) = p0 . Então γ˜ (t) = β(t)g(t) é uma levantamento de γ ,com g : [t0 , t1 ] → G uma curva em G tal que g(t0 ) = e. Ent˜ ao γ˜ 0 (t) = β 0 (t)g(t) + β(t)g 0 (t) Seja ω uma 1-forma de conex˜ ao em P . Assim ω(˜ γ 0 (t)) = ω(β 0 (t)g(t)) + ω(β(t)g 0 (t)) = ω(Rg(t) (β 0 (t)) + ω(β(t)g 0 (t)) = Adg(t)−1 ω(β 0 (t)) + g(t)−1 g 0 (t) A curva γ˜ é horizontal se ω(˜ γ 0 (t)) = 0, isto é Adg(t)−1 ω(β 0 (t)) + g(t)−1 g 0 (t) = 0 Dessa forma g(t)−1 g 0 (t) = −Adg(t)−1 ω(β 0 (t)) ⇒ Adg(t) (g(t)−1 g 0 (t)) = Adg(t) (−Adg(t)−1 ω(β 0 (t)) ⇒ g 0 (t)g(t)−1 = −ω(β 0 (t)) E a solu¸c˜ ao existe de acordo com o lema anterior. Defini¸ c˜ ao 2.4.7. O transporte paralelo ao longo de γ : I → M , do tempo t0 ∈ I ao tempo t1 ∈ I é a fun¸c˜ ao Pγt0 ,t1 : Pγ(t1 ) → Pγ(t0 ) Pγt0 ,t1 (p0 ) = γ˜ (t1 ) com γ˜ o u ńico levantamento horizontal de γ tal que γ˜ (t0 ) = p0 .. 2.4.5. Curvatura.. Consideremos o colchete de Lie [, ] da álgebra e Lie g. Ele se estende a um colchete [., .] : Ω1 (P, g) × Ω1 (P, g) → Ω2 (P, g).

(52) 26. 2.4. FIBRADOS PRINCIPAIS, VETORIAIS E ASSOCIADOS.. [u, v](X, Y ) = [u(X), v(Y ))] − [u(Y ), v(X)] ˜ Y˜ ∈ X(P ). Podemos conSejam X, Y ∈ T P que podemos estender a X, ˜ H ,Y˜ H ∈ Γ(H), H uma siderar a parte horizontal destes campos vetoriais X conex˜ ao. Defini¸ c˜ ao 2.4.8. Se ω é uma 1-forma de conex˜ ao em P ent˜ ao a forma curvatura é Rω ∈ Ω2 (P, g) tal que Rω (X, Y ) = dω(X H , Y H ). (2.5). ˜ H , Y˜ H ] é horizontal (ou seja, a forma Proposi¸ c˜ ao 2.4.6. Rω = 0 ⇐⇒ [X curvatura mede a falha na integrabilidade de distribui¸co ˜es horizontais.) Demonstra¸c˜ ao. Temos que dω(X, Y ) = Xω(Y ) − Y ω(X) − ω[X, Y ]. Então ˜ H ω(Y˜ H ) − Y˜ H ω(X ˜ H ) − ω[X ˜ H , Y˜ H ] = −ω[X ˜ H , Y˜ H ] dω(X H , Y H ) = X ˜ H , Y˜ H ] é horizontal, então ω[X ˜ H , Y˜ H ] = 0, de modo que Rω = 0. Se [X ˜ H , Y˜ H ] = 0, o que significa que [X ˜ H , Y˜ H ] é horiSe Rω = 0, ent˜ ao ω[X zontal. Proposi¸ c˜ ao 2.4.7. 1 Rω (X, Y ) = dω(X, Y ) + [ω, ω](X, Y ) 2 Demonstra¸c˜ ao. Primeiramente, observemos que [ω, ω](X, Y ) = [ω(X), ω(Y )] − [ω(Y ), ω(X)] = [ω(X), ω(Y )] + [ω(X), ω(Y )] = 2[ω(X), ω(Y )] Desse modo, 1 dω(X, Y ) + [ω, ω](X, Y ) = dω(X, Y ) + [ω(X), ω(Y )] 2 Ent˜ ao, devemos provar que dω(X H , Y H ) = dω(X, Y ) + [ω(X), ω(Y )]. (2.6).

(53) ˜ CONEXOES EM FIBRADOS PRINCIPAIS.. 2.5. 27. Agora, vamos considerar três casos: • X e Y horizontais (X = X H , Y = Y H ): então ω(X) = ω(Y ) de modo que 1 dω(X, Y ) + [ω, ω](X, Y ) = dω(X H , Y H ) = Rω(X, Y ) 2 • X e Y s˜ ao verticais: ent˜ ao existem α, β ∈ g tais que ψ(α) = X e ψ(β) = Y . Ent˜ ao dω(X, Y ) + [ω(X), ω(Y )] = Xω(Y ) − Y ω(X) − ω[X, Y ] + [ω(X), ω(Y )] = Xω(ψ(β)) − Y ω(ψ(α)) − ω[ψ(α), ψ(β)] − [ω(ψ(α)), ω(ψ(β))] = −ω(ψ([α, β])) + [α, β] = [α, β] + [α, β] =0 Além disso, dω(X H , Y H ) = 0 pois X e Y são verticais, de modo que • X vertical e Y horizontal: novamente, podemos assumir que X = ψ(α), α ∈ g. Assim dω(X H , Y H ) = 0 pois X é vertical. Além disso, dω(X, Y ) + [ω(X), ω(Y )] = dω(ψ(α), Y ) + ω[ψ(α), Y ] + [ω(X), ω(Y )] = ψ(α)ω(Y ) − Y ω(ψ(α)) − ω[ψ(α), Y ] + [ω(ψ(α)), ω(Y )] = −ω[ψ(α), Y ] Agora, precisamos provar que se Vp é vertical e Hp é horizontal, então ˜ = 0 Pelas f´ ω[V˜ , H] ormulas de Cartan ˜ =i˜ ˜ ω ω[V˜ , H] [V ,H] = [LV˜ , iV˜ ]ω = iH˜ LV˜ ω =0.

(54) 28. FIBRADOS PRINCIPAIS, VETORIAIS E ASSOCIADOS.. 2.5. 2.5. Conex˜ oes em fibrados vetoriais.. Defini¸ c˜ ao 2.5.1. Seja π : E → M um fibrado vetorial. Uma conex˜ ao em é uma fun¸c˜ ao ∇ ∇ : X(M ) × Γ(E) → Γ(E) ∇(X, s) = ∇X (s) com as seguintes propriedades: 1. ∇ é R-bilinear; 2. ∇f X (s) = f ∇X (s); 3. ∇X (gs) = g∇X (s) + X(g)s com f, g ∈ C ∞ (M ), X ∈ X(M ), s ∈ Γ(E) Lema 2.5.1. O fibrado vetorial trivial admite uma conex˜ ao. Demonstra¸c˜ ao. Se E = M × Rk então Γ(E) = C ∞ (M, Rk ). Assim, podemos definir a seguinte conex˜ ao ∇X (s) = ds(X). (2.7). As propriedades de conexão decorrem todas das propriedades da diferencial ds. Lema 2.5.2. Se ∇1 e ∇2 s˜ ao ambas conex˜ oes sobre fibrado vetorial π :→ P e λ1 , λ2 s˜ ao fun¸c˜ oes suaves em M tais que λ1 + λ2 = 1. Ent˜ ao λ1 ∇1 + λ2 ∇2 é uma conex˜ ao sobre os mesmo fibrado vetorial. Demonstra¸c˜ ao. A R-bilinearidade de ∇ := λ1 ∇1 + λ2 ∇2 advém do fato de ela ser combina¸c˜ ao de duas fun¸cões bilineares. Seja f ∈ C ∞ (M ): ∇f X(s) = λ1 ∇1f X(s) + λ2 ∇2f X(s) = λ1 f ∇1X (s) + λ2 f ∇2f X(s) = f (λ1 ∇1X (s) + λ2 ∇2X ) = f ∇X (s).

(55) ˜ CONEXOES EM FIBRADOS VETORIAIS.. 2.5. 29. Seja g ∈ C ∞ (M ). Ent˜ ao: ∇X (gs) = λ1 ∇1X (gs) + λ2 ∇2X (gs) = λ1 [X(g)s + g∇1X (s)] + λ2 [X(g)s + g∇2X (s)] = (λ1 + λ2 )X(g)s + g[λ1 ∇1X (s) + λ2 ∇2X (s)] = X(g)s + g(λ1 ∇1+ λ2 ∇2 )X (s) = X(g)s + g∇X (s). Proposi¸ c˜ ao 2.5.1. Todo fibrado vetorial admite conex˜ ao. Demonstra¸c˜ ao. Consideremos uma cobertura aberta {Uλ } de M de modo que EUλ é trivializ´ avel e consideremos {ρλ } uma parti¸cão da unidade subordinada a cobertura anterior. Sejam ∇ a conexão sobre Eλ . Então ∇X (s) :=. X. ρλ ∇λX |Uλ (s|Uλ ). λ. Proposi¸ c˜ ao 2.5.2. Seja ∇ uma conex˜ ao sobre um fibrado vetorial π : E → P e s, s0 ∈ Γ(E) se¸c˜ oes tais que s|U , s0 |U , e X e X 0 campos vetoriais tais que X|U = X 0 |U 0 , em U vizinhan¸ca aberta de p ∈ M . Ent˜ ao: ∇X (s)|U = ∇X 0 (s0 )|U Demonstra¸c˜ ao. . A bilinearidade da conexão reduz a prova à duas situa¸cões: 1. se s|U = 0 ent˜ ao ∇X (s) = 0 para toda X ∈ X(M ). 2. se X|U = 0 ent˜ ao ∇X (s) = 0 para toda s ∈ Γ(E). Seja η : U → [0, 1] uma ”bump function”. Então: 1. s|U = 0 ⇒ ηs|U = 0. Ent˜ ao, para x0 ∈ U , ∇X ηs(x0 ) = 0 ⇒ (X(η) + η∇X s)(x0 ) = 0 ⇒ η(x0 )∇X s(x0 ) = 0 ⇒ ∇X s(x0 ) = 0.

(56) 30. 2.5. FIBRADOS PRINCIPAIS, VETORIAIS E ASSOCIADOS.. 2. s|U = 0 ⇒ ηs|U = 0. Então, para x0 ∈ U , ηX = 0 ⇒ ∇X ηs(x0 ) = 0 ⇒ (η∇X s)(x0 ) = 0 ⇒ η(x0 )(∇X s)(x0 ) = 0 ⇒ (∇X s)(x0 ) = 0. Defini¸ c˜ ao 2.5.2. Seja f ∗ E um fibrado pullback. Definimos a conex˜ ao pullback como (f ∗ ∇)Y (f ∗ s) = f ∗ (∇df (Y ) s) para Y ∈ X(N ) e s ∈ Γ(E). Observa¸ c˜ ao 7. Seja α ∈ Γ(f ∗ E) e Y ∈ X(N ). Ent˜ ao α =. P. ui (f ∗ si ),. si ∈ Γ(E) e X (f ∗ ∇)Y α = (f ∗ ∇)Y ui (f ∗ si ) X = (Y (ui )(f ∗ si ) + ui (f ∗ ∇)Y (f ∗ si )) X = (Y (ui )(f ∗ si ) + ui (f ∗ (∇)Y si ). Observa¸ c˜ ao 8. Dado um fibrado vetorial E de posto k e ∇ uma conex˜ ao em E, ent˜ ao se {ε1 , . . . , εk } é um referencial local para um aberto U ⊆ M podemos escrever ∇X (εj ) =. k X. ωij εj. i=1. de modo que a conex˜ ao fica determinada pela matriz µ(∇, ε) = [µij ], onde µij ∈ Ω1 (U ). Esta matriz é chamada de matriz da conex˜ ao.

(57) ˜ CONEXOES EM FIBRADOS VETORIAIS.. 2.5. 2.5.1. 31. Transporte paralelo em fibrados vetoriais.. Seja γ : I → M uma curva. Se fizermos a constru¸cão do fibrado pullback de E por γ, obtemos γ ∗ (E) = {(t, p) ∈ I × E : γ(t) = π(p)}. Uma se¸cão α ∈ Γ(γ ∗ (E)) é uma curva α : I → γ ∗ (E) com α(t) ∈ γ ∗ (E)t = Eγ(t) , ou seja, π(α(t)) = γ(t). /E. γ ∗ (E) X. α. . I. π. /M. γ. Defini¸ c˜ ao 2.5.3. Uma seçc˜ ao α ∈ Γ(γ ∗ (E)) é chamada de se¸ c˜ ao ao longo de γ. Exemplo 2.5.1. Se σ é uma se¸c˜ ao de um fibrado vetorial π : E → M e γ : I → M é uma curva em M , ent˜ ao σ ◦ γ : I → M é uma se¸c˜ ao de E ao longo de γ. Defini¸ c˜ ao 2.5.4. Seja α ∈ Γ(γ ∗ E). A derivada covariante com respeito a conex˜ ao ∇ ao longo de γ é definida como ∇α = (γ ∗ ∇) d α dt dt Defini¸ c˜ ao 2.5.5. Uma se¸c˜ ao α sobre γ é paralela com respeito a ∇ se ∇α = 0, ∀t ∈ I. dt Lema 2.5.3. Sejm π : E → M é um fibrado vetorial e ∇ uma conex˜ ao sobre ele com γ uma curva suave em M , definida em I. Ent˜ ao existe uma u ńica se¸c˜ ao α sobre γ que é paralelo e α(t0 ) = α0 ∈ Eγ(t0 ) , t0 ∈ I. Demonstra¸c˜ ao. Seja U um aberto em M de modo que EU é trivializável. Seja {s1 , . . . , sk } um referencial de E|U . Então existem fun¸cões fi ∈ C ∞ (I) de modo que α ∈ Γ(γ ∗ (E)) expressa-se com. α(t) =. k X i=1. = fi (t)si (γ(t)) =. k X i=1. = fi (t)(γ ∗ si )(t).

(58) 32. 2.6. FIBRADOS PRINCIPAIS, VETORIAIS E ASSOCIADOS.. Ent˜ ao: k X. ∇α = (γ ∗ ∇) d dt dt =. =. fi (t)si (γ(t)). i=1. k X dfi (t) i=1 k X. !. dt. ∗. (γ si )(t) +. fi0 (t)si (γ(t)). k X. fi0 (t) +. +. fi (t). k X. k X. gji sj (γ(t)). j=1.  fj (t)gij  si (γ(t)). Pk. dt. Se α é paralelo, ent˜ ao. +. k X. j=1. com (γ ∗ ∇) d (γ ∗ si )(t) =. fi0 (t). dt. i=1. . i=1. Γ(γ ∗ (E)).. fi (t)(γ ∗ ∇) d (γ ∗ si )(t). i=1. i=1. =. k X. k X. i i j=1 gj sj (γ(t)), gj. ∈ C ∞ (I) já que (γ ∗ ∇) d (γ ∗ si ) ∈ dt. ∇α = 0 e, consequentemente dt fj (t)gij. =0⇒. fi0 (t). j=1. =−. k X. fj (t)gij. j=1. para cada i = 1, . . . , k com α(t0 ) = α0 Este é um sistema de equa¸cões diferencias ordinárias de primeira ordem, cuja solu¸c˜ ao u ńica é garantida pelo Teorema de Existência e Unicidade. Defini¸ c˜ ao 2.5.6. Seja π : E → M um fibrado vetorial e γ : I → M uma curva em M .O transporte paralelo ao longo de γ : I → M , do tempo t0 ∈ I ao tempo t1 ∈ I com respeito a conex˜ ao ∇ é a fun¸c˜ ao Pγt0 ,t1 : π −1 (γ(t0 )) → π −1 (γ(t0 )) Pγt0 ,t1 (α0 ) = α1 com α a u ńica se¸c˜ ao ao longo de γ paralela sobre γ tal que α(t0 ) = α0 ..

(59) ˜ CURVATURA E TORC ¸ AO.. 2.6. 2.6. 33. Curvatura e tor¸ c˜ ao.. 2.6.1. Curvatura.. Defini¸ c˜ ao 2.6.1. Se ∇ é uma conex˜ ao sobre um fibrado vetorial, a fun¸c˜ ao R : X(M ) × X(M ) × Γ(E) → Γ(E) R(X, Y )(s) = ∇X ∇Y (s) − ∇Y ∇X (s) − ∇[X,Y ] (s). (2.8). é chamada de curvatura de ∇. Proposi¸ c˜ ao 2.6.1. R ∈ Γ(Λ2 T ∗ M ⊗ E ∗ ⊗ E) Demonstra¸c˜ ao. Provar que R ∈ Γ(Λ2 T ∗ M ⊗ E ∗ ⊗ E) significa provar que R é tensorial e antissimétrica. 1. A linearidade de cada parcela é consequência da linearidade da conexão e do colchete. 2. Sendo f ∈ C ∞ (M ), R(f X, Y )(s) = ∇f X ∇Y (s) − ∇Y ∇f X (s) − ∇[f X,Y ] (s) = f ∇X ∇Y (s) − ∇Y f ∇X (s) + ∇[Y,f X] (s) = f ∇X ∇Y (s) − Y (f )∇X (s) − f ∇Y ∇X + ∇Y (f )X+f [X,Y ] (s) = f ∇X ∇Y (s) − Y (f )∇X (s) − f ∇Y ∇X + Y (f )∇X (s) + f ∇[X,Y ] (s) = f (∇X ∇Y (s) − ∇Y ∇X + ∇[X,Y ] (s)) = f R(X, Y )(s) Analogamente prova-se que R(X, f Y ) = f R(X, Y ). 3. Sendo g ∈ C ∞ (M ), R(X, Y )(gs) = ∇X ∇Y (gs) − ∇Y ∇X (gs) − ∇[X,Y ] (gs) = ∇X (Y (g)s + g∇Y (s)) − ∇Y (X(g)s + g∇X (s)) − [X, Y ](g)s − g∇[X,Y ] (s) = XY (g)s + Y (g)∇X (s) + X(g)∇Y (s) + g∇X ∇Y (s) − Y X(g)s − X(g)∇Y (s) − Y (g)∇X (s) − g∇Y ∇X (s) − XY (g)s + Y X(g)s − g∇[X,Y ] (s) = g∇X ∇Y (s) − g∇Y ∇X (s) − g∇[X,Y ] (s) = gR(X, Y )(s).

(60) 34. FIBRADOS PRINCIPAIS, VETORIAIS E ASSOCIADOS.. 2.6. 4. Vamos provar a antissimetria: R(X, Y )(s) = ∇X ∇Y (s) − ∇Y ∇X (s) − ∇[X,Y ] (s) = ∇X ∇Y (s) − ∇Y ∇X (s) + ∇[Y,X] (s) = −(∇Y ∇X (s) − ∇X ∇Y (s) + ∇[Y,X] (s)) = −R(Y, X)(s). 2.6.2. Tor¸c˜ ao. Ao trabalharmos com fibrados tangentes π : T M → M , que são fibrados vetoriais, temos que X(M ) = Γ(T M ), de modo que uma conexão será uma fun¸c˜ ao ∇ : X(M ) × X(M ) → X(M ). Defini¸ c˜ ao 2.6.2. Dada uma conex˜ ao ∇ sobre um fibrado vetorial, a fun¸c˜ ao T : X(M ) × X(M ) → X(M ) T (X, Y ) = ∇X Y − ∇Y X − [X, Y ]. (2.9). é a tor¸c˜ ao de uma conex˜ ao ∇. Proposi¸ c˜ ao 2.6.2. T ∈ Γ(Λ2 T ∗ M ⊗ T M ) Demonstra¸c˜ ao. A linearidade sobre R em cada coordenada advém da linearidade da conex˜ ao e do colchete. Vamos provar que T é tensorial e antissimétrica: T (f X, Y ) = ∇f X Y − ∇Y f X − [f X, Y ] = f ∇X Y − Y (f )X − f ∇Y X + [Y, f X] = f ∇X Y − Y (f )X − f ∇Y X + Y (f )X + f [Y, X] = f ∇X Y − f ∇Y X − f [X, Y ] = f T (X, Y ) Analogamente prova-se que T (X, f Y ) = f T (X, Y )..

(61) ˜ CURVATURA E TORC ¸ AO.. 2.6. 35. T (X, Y ) = ∇X Y − ∇Y X − [X, Y ] = −∇Y X + ∇X Y + [Y, X] = −(∇Y X − ∇X Y − [Y, X]) = −T (Y, X). 2.6.3. Quando a curvatura ´ e zero.. Seja π : E → M um fibrado vetorial. Seja Ωk (M, E) = Γ(Λk T ∗ M ⊗ E) e ω ∈ Ωp (M ), τ ∈ Ωq (M, E). Ent˜ ao. (ω ∧ τ )(X1 , · · · , Xp+q ) =. X. sgn(σ)ω(Xσ(1) , . . . , Xσ(p) )τ (Xσ(p+1),...,Xσ(p+q) ). σ. (2.10) com σ(1) < . . . < σ(p) e σ(p + 1) < . . . < σ(p + q). Ou seja, um módulo sobre. Ω• (M, E). é. Ω• (M ).. Defini¸ c˜ ao 2.6.3. A derivada exterior é definida como o operador d∇ : Ω• (M, E) → Ω•+1 (M, E) tal que d∇ (τ )(X0 , . . . , Xq ) =. q X î , . . . , Xq )+ (−1)i ∇Xi τ (X0 , . . . , X 0. +. X. î , . . . , Xˆj , . . . , Xq ) (−1)i+j τ ([Xi , Xj , ]X0 , . . . , X. 0≤i<j≤q. Além disso, d∇ (ω ∧ τ ) = (dω) ∧ τ + (−1)|ω| ω ∧ d∇ τ. (2.11).

(62) 36. FIBRADOS PRINCIPAIS, VETORIAIS E ASSOCIADOS.. 2.6. em que |ω| é o grau de ω. Agora, se é dado d : Ω• (M, E) → Ω•+1 (M, E), como obtemos uma conexão ∇ a ele associado? Temos que Ω0 (M, E) = Γ(E). Desse modo, se s ∈ Γ(E), então ds ∈ Ω1 (M, E). Definindo-se ∇X (s) = ds(X), temos: • ∇f X (s) = f ds(X) = f ∇X (s) • ∇X (gs) = d(gs)(X) = (dg∧s)(X)+(−1)0 g∧ds(X) = df (X)s+f ∇X (s) para f, g fun¸c˜ oes suaves em M . Assim, tal ∇ é uma conexão. Exemplo 2.6.1. Se ∇ é uma conex˜ ao em E = T M , consideremos a 1-forma identidade 1 ∈ Ω1 (M, T M ). Ent˜ ao d∇ (1) ∈ Ω2 (M, T M ) = Γ(Λ2 T ∗ M ⊗ T M ) e d∇ (1)(X0 , X1 ) = (−1)0 ∇X0 X1 + (−1)1 ∇X1 X0 + (−1)0+1 [X0 , X1 ] = ∇X0 X1 − ∇X1 X0 − [X0 , X1 ] = T (X0 , X1 ) esta, a tor¸c˜ ao da conex˜ ao ∇. Vamos considerar agora o operador d2∇ : Ω• (M, E) → Ω•+2 (M, E) Proposi¸ c˜ ao 2.6.3. Seja ∇ uma conex˜ ao e ω uma k-forma. Ent˜ ao d2∇ (ω) = R∇ ∧ ω Demonstra¸c˜ ao. Se ω ∈ Ωp (M ) e τ ∈ Ωk (M, E), então d2∇ (ω ∧ τ ) = d∇ ((dω) ∧ τ + (−1)p ω ∧ d∇ τ ) = d∇ ((dω) ∧ τ )(−1)p d∇ (ω ∧ d∇ τ ) = (d2 (ω) ∧ τ + (−1)p+1 d(ω) ∧ d∇ (τ )) + (−1)p [d(ω) ∧ d∇ (τ ) + (−1)p ω ∧ d2∇ (τ )] = d2 (ω) ∧τ + (−1)2p ω ∧ d2∇ (τ ) | {z } =0. = ω ∧ d2∇ (τ ).

(63) ˜ CURVATURA E TORC ¸ AO.. 2.6. 37. Seja s ∈ Γ(E) uma 0-forma. Então: d2∇ s(X, Y ) = d∇ (d∇ s)(X, Y ) = ∇X (d∇ s(X)) − ∇Y (d∇ s(Y )) − ∇[X,Y ] s = R∇ s(X, Y ) Seja ω ∈ Ω(M, E) e {s1 , . . . , sk } um referencial local de E então cujo dom´ınio é U , ent˜ ao: ω|U =. X. ωiU si. com ωiU ∈ Ωk (U ) Ent˜ ao, d2∇ ω|U =. X. ωiU ∧ d2∇ si. =. X. ωiU ∧ R∇ si. =. X (−1)2k R∇ ∧ ωiU si. = R∇ ∧ ω|U. Corol´ ario 2.6.1. d2∇ = 0 ⇐⇒ R∇ = 0. 2.6.4. Formas em fibrados associados. Consideremos E(P, V ) um fibrado associado. Seja ω ∈ Ω1 (P, V ) tal que  i (ω) = 0, se ξ é vertical; ξ R∗ ω = g −1 ω . g p. pg. Então ω induz ω ¯ ∈= Ω(M, E(P, V )). Definamos ω ¯ x (X) = [p, ωp (hp X)], com x = π(p), onde hp é um levantamento horizontal. Vamos mostrar que está bem definida essa forma..

(64) 38. FIBRADOS PRINCIPAIS, VETORIAIS E ASSOCIADOS.. 2.7. Primeiro vamos fixar a conexão.Então: ω ¯ x (X) = [pg, ωpg (hpg X)] = [p, gωpg (hpg X)] = [p, gωpg (dRg )p (hp X))] = [p, gRg∗ ωp (hp X)] = [p, gg −1 ωp (hp X)] = [p, ωp (hp X)]. de modo que ω estava bem definida quanto ao representante na fibra. Agora, mostremos que não há dependência da conexão: seja ω¯0 x (X) = [p, ωp (h0p X)];ent˜ ao: [¯ ωx − ω¯0 x ](X) = [p, ω (hp X − h0p X)] = [p, 0] ⇒ ω ¯ = ω¯0 | {z } diferen¸ca de vetores horizontais ´ e vertical. 2.7. Conex˜ oes induzidas em fibrados associados. Vamos considerar um G-fibrado principal π : P −→ M e ρ : G −→ GL(V ) uma representa¸cão de G seja H é uma conexão em P . Proposi¸ c˜ ao 2.7.1. H induz uma conex˜ ao no fibrado associado E(P, V ). Demonstra¸c˜ ao. (Baseado em [Bel]) Se diferenciarmos a a¸cão em e, obtemos a aplica¸c˜ ao ρ¯ : g → End(V ). Se tomarmos X, Y ∈ g e [, ]End(V ) o comutador em End(V ), ent˜ ao [¯ ρ(X), ρ¯(X)]End(V ) = ρ¯[X, Y ]. Se s ∈ Γ(E(P, V )) e σ ∈ Γ(U, P ), U aberto em M , então vamos definir u : U −→ V tal que s(x) = [σ(x), u(x)]. Definamos ∇(s) = [σ, ρ¯(σ ∗ ω)(u) + du] onde ω a 1-forma de conexão associada a H. Vamos provar que a defini¸cão acima independe da escolha da se¸cão em U . Se σ1 , σ2 ∈ Γ(U, P ), então existe g : U −→ G tal que σ1 (x) = σ2 (x)g(x),.

(65) ˜ DO GRUPO ESTRUTURAL REDUC ¸ AO. 2.8. 39. para x ∈ U . Além disso, correspondem , respectivamente a cada se¸cão, u1 e u2 , de modo que u2 = ρ(g −1 )u1 [σ2 , ρ¯(σ2∗ ω)(u2 ) + du2 ] = [σ1 g, ρ¯((σ1 g)∗ ω)(u1 ) + d(ρ(g −1 )u2 )] = [σ1 g, ρ¯(Adρ−1 (ω)(ρ(g −1 )(u1 )) + ρ¯(g ∗ ωM C (u1 ))− − ρ¯(g ∗ ωM C (u1 )) + ρ(g −1 (du1 ))] = [σ1 , ρ¯(σ1∗ ω)(u1 ) + du1 ]. A regra de Leibniz é garantida pela presen¸ca de du na segunda coordenada da classe.. 2.8. Redu¸ c˜ ao do grupo estrutural. Seja π : P −→ M um G-fibrado principal e G0 um subgrupo de Lie G. Tal fibrado admite uma redu¸ c˜ ao de seu grupo estrutural a G0 se existe P 0 ⊆ P tal que π|P 00 : P −→ M é um H-fibrado principal Exemplo 2.8.1.. 1. Se G0 = {e} ent˜ ao uma redu¸c˜ ao ser´ a equivalente a. uma trivializa¸ca õ . 2. Se G0 = O(n), ent˜ ao uma redu¸c˜ ao é a escolha de um produto interno. 3. Se G0 = GL+ c˜ ao é a escolha de uma orienta¸c˜ ao. n (R), uma redu¸.

(66) 40. FIBRADOS PRINCIPAIS, VETORIAIS E ASSOCIADOS.. 2.8.

(67) Cap´ıtulo 3. G-estruturas Nesse cap´ıtulo apresentaremos o que é uma G-estrutura e os principais exemplos. Também discutiremos o conceito de carta adaptada à G-estrutura e de integrabilidade de G-estruturas. Esse é o conceito central que estamos estudando. A curvatura e tro¸c˜ ao em G-estruturas são estruturas geométricas que podem nos ajudar na quest˜ ao da integrabilidade. No fim, com o aux´ılio da forma de Maurer-Cartan e a forma tautológica, vamos chegar uma uma condi¸c˜ ao necessária de integrabilidade. Esse cap´ıtulo também teve base em [Cra15]. 3.1. G-estruturas em variedades. Defini¸ c˜ ao 3.1.1. Sejam M uma variedade diferenci´ avel de dimens˜ ao ne G ⊆ GLn (R) um subgrupo de Lie. Uma G-estrutura em M é subvariedade S ⊆ F r(M ) que é G-invariante e é um G-fibrado principal com rela¸c˜ ao ` a proje¸c˜ ao π : S→M e` a a¸c˜ ao induzida de G. Um elemnto de S é denominado G-referencial. Defini¸ c˜ ao 3.1.2. Dadas uma carta local (U, ϕ) para M ΓU (F r(M )) é chamado de referencial induzido.. 41. ∂ ∂ ,..., ∂ϕ1 ∂ϕn. ∈.

(68) 42. 3.1. G-ESTRUTURAS. Defini¸ c˜ ao 3.1.3. Dada (U, ϕ) uma carta local e S uma G-estrutura. Se . ∂ ∂ (x), . . . , (x) ∂ϕ1 ∂ϕn. ∈ Sx , x ∈ U. o referencial é chamado de adaptado e respectiva carta local também e chamada adaptada. Uma G-estrutura é integr´ avel se em torno de todo ponto x ∈ M existe uma carta local adaptada.. 3.1.1. Problema da equivalˆ encia de G-estruturas. ¯ e Defini¸ c˜ ao 3.1.4. Sejam duas G-estruturas S sobre M e S¯ sobre M ¯ um difeomorfismo. A fun¸c˜ f : M → M ao f é isomorfismo entre Gestruturas se S¯f (x) = f∗ Sx onde f∗ é a fun¸c˜ ao induzida por dx f : Tx M −→ Tf (x) M . No caso da existência de um isomorfismo, as G-estruturas S e S¯ s˜ ao equivalentes. Uma quest˜ ao central da teoria de G-estruturas é o problema da equi¯, U ⊆ M valência local: quando existe um difeomorfismo local f : U → U ¯ ⊆ M abertos de modo que f∗ seja um isomorfismo local entre Ge U estruturas. A chamada G-estrutura padrão é aquela dada pelo referencial . ∂ ∂ ,..., ∂x1 ∂xn. . em Rn e ser´ a denotada pro S stand . O problema da equivalência tem um caso particular que é a questão da integrabilidade. Esta procura as condi¸cões necessárias e suficientes da equivalência local entre G-estruturas e a G-estrutura padrão (também chamada de flat). Assim, uma G-estrutura é integrável se, e somente se, é localmente equivalente Sxstand .. 3.1.2. Exemplos. Exemplo 3.1.1 (G = {e}). O primeiro exemplo aborda o caso em que G = {e}. Uma G-estrutura, aqui chamada simplesmente e-estrutura, é um.