O problema de roteamento de veículos (PRV) é um dos mais estudados em problemas de otimização combinatorial e se concentra em projetar rotas ótimas para a frota de veículos que servem um conjunto de clientes. Existem centenas de artigos com soluções aproximadas e exatas da versão básica do PRV, conhecido como Problema de
Roteamento de Veículos Capacitado (PRVC), com uma frota homogênea de veículos está disponível e só considera a restrição a capacidade do veículo. (LAPORTE; NOBERT,1987) realiza um pesquisa sobre os métodos exatos cobrindo o PRVC.
O livro dos autores (TOTH; VIGO, 2002) explana uma visão abrangente dos métodos exatos e heurísticos do PRVC e propõem outras variantes. Modelo apresentado é com base no trabalho de (BALDACCI; TOTH; VIGO, 2007), que fornece uma revisão do desenvolvimento dos métodos exatos de solução do PRVC em uma série de grafos não direcionados com um grande impacto nos algoritmos exatos para essa família de problemas. Além disso apresentam diferentes formulações matemáticas usados na literatura e realiza uma discussão entre os modelos, combinações e propriedades explorando os maiores sucessos.
Definição
No PRVC todos os clientes corresponde a entregas e as demandas são determi- nísticas, conhecida com antecedência e não pode ser divida em rotas distintas. Os veículos são idênticos, todos localizados em um único depósito, e restrições de capacidade para os veículos. O objetivo é minimizar o custo total das rotas (comprimento ou tempo de viagem) necessário para atender todos os clientes, conforme apresentado na Tabela 8 de forma resumida sobre as variáveis, conjuntos e parâmetros.
Notação Definição
G Grafo G = (V, A) completo e não direcionado V Conjunto V = {0, . . . , n} de vértices
Vc Conjunto Vc= {1, . . . , n} dos clientes\depósitos
M Veículos idênticos com capacidade Q
dij Custo de viagem em cada arco {i, j} de i para j
qi Demanda não negativa associada a cada cliente
Q Capacidade dos veículos
Tabela 8 – Conjunto de notações para o PRVC
O PRVC consiste em encontrar a coleção exatas de M veículos em um clico simples( cada veículo corresponde a uma rota) um custo mínimo definido como a soma dos custos no arcos pertencentes ao ciclo, tais que
• cada ciclo visita o vértice do depósito;
• cada vértice de cliente é visitado exatamente em um clico;
• a soma das demandas nos vértices visitados por cada ciclo não pode exceder a capacidade do veículo Q.
O PRVC é uma generalização do bem conhecido Problema do Caixeiro Viajante (PCV) que exige a determinação do custo mínimo em um ciclo simples visitando os vértices
de G (Ciclo Hamiltoniano) e assumindo que Q ≥ X
i∈Vc
qi e M = 1.
Formulação
É descrito a formulação matemática do PRVC com base na nas abordagens das soluções exatas. A formulação de (BALDACCI; TOTH; VIGO, 2007) examina três modelos com dois e três índices no fluxo do veículo, fluxo da mercadoria e conjunto de partições.
Neste trabalho a formulação do fluxo de duas mercadorias proposto por (BAL- DACCI; HADJICONSTANTINOU; MINGOZZI, 2004). Além da notação já introduzida, para o subconjunto S ⊆ Vc, dado ¯V = V \ S seja o complementar de S e dado δ(S) seja o
custo definido por S (i.e., {δ(s) = {i, j} ∈ E : i ∈ S, j /∈ S,ou, i /∈ S, j ∈ S}.
Para modelar a rota de cliente único, a formulação requer a extensão do grafo ¯
G = ( ¯V , ¯E) obtido de G por adicionar o vértice n + 1 como uma cópia do depósito vértice 0. Portanto ¯V = V ∪ {n + 1}, Vc= ¯V \ {0, n + 1}, ¯E = E ∪ {i, n + 1}, i ∈ Vc e din+1 = d0i, ∀i ∈ Vc.
Está formulação usa duas variáveis de fluxo yij e yji, para representar o arco
{i, j} ∈ ¯E de uma solução do PRVC ao longo do qual o veículo carrega uma carga cominada de Q unidades. Se o veículo viaja de i para j então o fluxo yij representa a carga do veículo
e o fluxo yji representa o espaço vazio no veículo (i.e. yji = Q − yij). As variáveis de fluxo
yij, i, j ∈ ¯V , i 6= j definem dois caminhos de fluxo para qualquer rota de solução viável:
um caminho do vértice 0 até o vértice n + 1 é dado pelas variáveis de fluxo representando a carga do veículo, enquanto o segundo caminho do vértice n + 1 para o vértice 0 define a variável de fluxo representando o espaço vazio no veículo.
xij = 1, se i, j ∈ V, 0, caso contrário.
Seja xij a variável binária é igual a 1 se o arco {i, j} ∈ ¯V é solução, 0 caso
(PRVC) Minimizar X {i,j}∈ ¯E dijxij (2.18) Sujeito a X j∈ ¯V (yij − yji) = 2qi, i ∈ Vc, (2.19) X j∈Vc yoj = qVc, (2.20) X j∈Vc yj0 = M Q − qVc, (2.21) X j∈Vc yn+1j = M Q, (2.22) X {i,j}∈δ({h}) xij = 2, h ∈ Vc, (2.23) yij + yji = Qxij, {i, j} ∈ ¯E, (2.24) yij ≥ 0, yji ≥ 0, {i, j} ∈ ¯E, (2.25) xij ∈ {0, 1} {i, j} ∈ ¯E. (2.26)
As Restrições (2.18)-(2.22) e as Restrições de não negatividade (2.24) definem o modelo de fluxo viável dos vértices 0 e n + 1 para os vértices Vc∪ {0}. O fluxo de saída
no vértice origem 0 (2.20) é igual ao total das demandas dos clientes, enquanto o fluxo de entrada na origem n + 1 (2.22) corresponde a capacidade total da frota de veículos.As Restrições (2.19) afirmam que o fluxo de entrada menos o fluxo de saída em cada cliente i é igual a 2qi, enquanto o fluxo de entrada no vértice 0 (2.21) corresponde a capacidade
residual da frota de veículos. As Restrições (2.24) definem os arcos da solução viável e as restrições (2.23) força qualquer solução viável para conter duas arestas incidente em cada cliente.
Note que a formulação de duas commodities pode ser reescrita em termos das duas variáveis yij somente, uma vez que as variáveis xij podem ser substituídas yij
usando a Equação (2.24). Nesse caso, as Restrições (2.26) devem ser substituídas por yij + yji ∈ {0, Q} ∀{i, j} ∈ ¯E.
Exemplo 2 Seja um rota com três clientes cujas as demandas são conhecidas previamente,
com valores iguais a: q4 = 6, q2 = 5 e q7 = 4. E a capacidade do veículo é igual a Q = 20. Além disso temos dois caminhos Cα e Cβ representados pelas variáveis de fluxo yij
representadas na rota.
A Figura 8representa a solução do exemplo. O primeiro caminho Cα é dado pela variável que representa carga do veículo : (y04, y42, y27, y7n+1). Por exemplo, o fluxo y04= 15 indica que o veículo saí do depósito com uma carga igual ao total da demanda dos três clientes. O segundo caminho Cβ é dado pela variável que representa o espaço
vazio no veículo : (yn+17, y72, y24, y40).Note também que yn+17 = 20 indica que o veículo
chega vazio no depósito. É importante notar também que todo arco {i, j} da rota nós temos que yij + yji= Q. 0 Depósito de partida 4 q4 = 6 15 5 2 q2 = 5 9 11 7 q7 = 4 4 16 n + 1 Depósito de chegada 0 20 Cα Cβ
Figura 8 – Ilustração da formulação através de fluxo em rede