(LANGEVIN et al., 1993) apresenta o Problema do Caixeiro Viajante com Janela de Tempo (PCVJT) e cita a literatura da formulação de fluxo para duas commodities do PCV. Logo após, os autores destacam uma nova formulação de fluxo, com duas commodities para o problema do caixeiro viajante, e também expões o modelo com janela de tempo.
O problema do caixeiro viajante, com restrição de janela de tempo (PCVJT), consiste em encontrar consiste em encontrar uma distância mínima, que visita exatamente um conjunto de nós uma única vez. A visita em cada nó deve ser dentro de um intervalo de tempo especificado. A espera é permitida antes da primeira visita, mas os intervalos não podem ser violadas. Estes problemas encontram várias aplicações no setor de serviços:
• Banco e serviço postal;
• Transporte de idosos e pessoas incapacitadas; • Sistemas de veículos guiadas e automatizados.
Definição
A definição surge em uma variedade de problemas aplicados ao cotidiano, destacando-se como importante prática para otimização. O autor (LANGEVIN et al.,
1993) apresenta uma revisão da literatura relevante para formulação de fluxo com duas commodities para o PCV. Além disso, apresenta três formulações: Formulação de fluxo de duas commodities para o PCV, que é uma extensão relaxada do Makespan Problem; e uma nova formulação bem adequada para problemas com janela de tempo.
Considere uma grafo direcionado G = (V, A), onde N é o conjunto de n nós e A é o conjunto de arcos factíveis. Seja cij o custo no arco (i, j). O PVC é o problema
de determinar no grafo G com uma dada matriz (cij) o circuito passando dentro cada nó
somente uma vez a um custo mínimo.
Formulação com fluxo
A formulação para o PCV com fluxo em rede para duas commodities (PCVF2C) é introduzido por (FINKE,1984). Na sua formulação, uma unidade da primeira mercadoria, fluxo Y = (yij), é entregue em cada nó, enquanto uma unidade da segunda, fluxo Z = (zij),
é coletada em cada nó. Consequentemente, o total é de mercadorias é combinado dos dois fluxos em cada nó, e é sempre o mesmo. O nó 1 corresponde ao depósito. O modelo é dado a seguir: (PCVF2C) Minimizar n X i=1 n X j=1 ci,j(yij + zij)/(n − 1) (4.1) Sujeito a n X i=1 yij− n X j=1 yji = n − 1, i = 1, −1, i ∈ N \ {1}, (4.2) n X i=1 yij− n X j=1 yji = −(n − 1), i = 1, −1, i ∈ N \ {1}, (4.3) n X i=1 (yij + zij) = n − 1, i ∈ N, (4.4) yij + zij ∈ {0, n − 1}, (i, j) ∈ A, (4.5) iij ≥ 0, zij, ≥ 0 (i, j) ∈ A. (4.6)
As Restrições (4.2) e (4.3) definem as equações de conservação do fluxo em cada commoditie. As Restrições (4.4) e (4.5) garantem que exista apenas um arco usado
em cada nó. Pode-se mostrar que o modelo (4.1)- (4.6) pode ser reescrito equivalente, substituindo a equação de conservação do fluxo (4.2) pelo conjunto de equações.
n X i=1 (yij + zij) = n − 1, j ∈ N. (4.7) Se for definido xij = yij + zij
n − 1 então as Restrições (4.4) e (4.7) correspondem as restrições clássicas de designação. Por isso, esta formulação combina relações de designação (4.4) e (4.7) com a Restrição (4.3) de conservação do fluxo Z. Pode-se observar também que as equações de fluxo no nó 1 no depósito são obtidas de outras equações em conjunto de Restrições (4.2) e (4.3).
O autor introduz uma nova formulação para o problema do caixeiro viajante, baseado no fluxo da rede com duas commodities. Essa formulação com recursos limitados é bem adequada para lidar com restrições de janela de tempo, e é facilmente estendida para os tipo de problemas Makespan.
Os experimentos realizados por (LANGEVIN et al., 1993) mostraram que essa formulação permite a solução de um PCV com restrição de tempo com até 60 nós. Esse tamanho de problemas abrange um grande número de aplicações com dados reais.
4.2
Problema de roteamento de veículos capacitado
O problema de roteamento de veículos capacitado (PRVC), considerados no artigo (BALDACCI; HADJICONSTANTINOU; MINGOZZI, 2004) envolve um conjunto de clientes e uma frota idêntica de veículos localizados em um depósito central. Cada um, com uma determinada demanda de bens a ser fornecida do depósito. Vale ressaltar, que a rota executada pelos veículos deve começar e terminar no depósito, e a carga transportada deve ser menor ou igual a capacidade do veículo.
Trata-se da matriz custo entre cada par de clientes dos caminhos de menor custo. O custo da rota é calculada como a soma dos custos dos arcos, formando a rota. O objetivo é projetar rotas de veículos, considerando uma rota para cada veículo, de forma que todos os clientes sejam visitados uma única vez e a soma do custo da rota é minimizado.
Definição
Os autores (BALDACCI; HADJICONSTANTINOU; MINGOZZI, 2004) apre- sentam uma nova formulação com a forma de um problema de fluxo em rede com duas commodities para o PRVC, com custo simétrico. Nesse processo, foi demostrado que seu relaxamento Programação Linear (PL) satisfaz um forma fraca de restrição de capacidade.
A formulação, também pode ser modificada para acomodar diferentes restrições. Tudo isso poderá ser estendida para diversas formas de diferentes problemas de roteamento.
Para finalizar, o algoritmo branch-and-cut foi capaz de resolver otimização de uma instância envolvendo 135 clientes. O objetivo do problem é projetar M rotas de tal forma que todos os clientes sejam visitados uma única vez, e a soma do custo total da rota pode ser minimizada. Uma frota de M veículos idênticos com Capacidade Q é localizada no depósito 0. Cada cliente i ∈ V0 requer um fornecimento de qi, unidades do depósito
(assumindo que q0 = 0)
Formulação com fluxo
O autor descreve uma nova e completa formulação do PRVC simétrico baseado em duas ccommodities, citadas como abordagem do fluxo em rede. Para modelar as rotas de um cliente único, esta formulação requer uma extensão do grafo ¯G = ( ¯V , ¯A), obtido de G adicionando o nó n + 1, que é a cópia do depósito 0. Nos temos os seguintes conjuntos e definições.
• ¯V = V ∪ {n + 1}: conjunto de vértices incluindo todos os clientes e os dois depósitos; • V0 = ¯V \ {0, n + 1}: conjunto de vértices contendo;
• ¯E = E ∪ {{i, n + 1}, i ∈ V0}: conjunto de arestas dos clientes para a cópia do depósito;
• ci,n+1= c0,i ∀ i ∈ V0: o custo entre os depósito adicional e os clientes são idênticos. Esta formulação usa duas variáveis de fluxo xij e xji para reapresentar no arco
(i, j) ∈ ¯E uma solução viável para o PRVC, ao longo do qual o veículo transporta carga combinada de Q unidades. Se um veículo viaja de i para j, o fluxo xij representa a carga
do veículo e o fluxo xij representa o espaço vazio no veículo (isto é, xji = Q − xij) ou seja
o espaço vazio no veículo é igual a capacidade do veículo menos a carga transportada no mesmo. As variáveis de fluxo xij, i, j ∈ ¯V , i 6= j, definem dois caminhos de fluxo para
qualquer rota de uma solução viável: um caminho do nó 0 para o nó n + 1 é definido pelas variáveis que representam a carga total, e um segundo caminho do no n + 1 para o 0 é dado pela variável de fluxo representando o espaço vazio no veículo.
Seja ξij a variável binária igual a 1 se o arco {i, j} ∈ ¯E pertence a solução, e 0
caso contrário. Sejam xij e xjiduas variáveis binárias de fluxo associadas com o arco {i, j} ∈
¯
E. A nova formulação matemática proposta por (BALDACCI; HADJICONSTANTINOU;
(PRVCF2C) Minimizar X {i,j}∈ ¯V ci,jξij (4.8) Sujeito a X j∈ ¯V (xji− xij) = 2qi, i ∈ V0, (4.9) X j∈J0 x0j = qV0, (4.10) X j∈J0 xj0 = M Q − qV0, (4.11) X j∈V0 xn+1,j = M Q, (4.12) xij + xji = Qξij, {i, j} ∈ ¯E, (4.13) X j∈ ¯V ,i<j ξij + X j∈ ¯V ,i>j ξji = 2, i ∈ V0, (4.14) xij ≥ 0, xji ≥ 0, {i, j} ∈ ¯E, (4.15) ξij ∈ {0, 1} ∈ ¯E. (4.16)
As Restrições (4.9)-(4.13) junto com as restrições de não negatividade (4.15), definem um padrão de fluxo viável a partir dos nós de origem 0 e n + 1 até os nós V0∪ {0}. O fluxo de saída no nó de origem (4.10) é igual ao total da demanda dos clientes, e o fluxo de entrada no nó raiz n + 1 (4.12) corresponde ao total da capacidade da frota de veículos.
As Restrições (4.9) afirmam que o fluxo de entrada menos o fluxo de saída em cada cliente i ∈ V0 é igual a 2qi, e o fluxo de entrada no nó 0 da Restrição (4.11)
corresponde a capacidade residual da frota de veículos. A Restrições (4.13) definem os arcos de uma solução viável e as Restrições (4.14) forçam que qualquer solução viável contenha dois arcos incidentes em a cada vértice. A validade da formulação é demonstrada pelo autor.