Para resolução de problemas do 2º grau, devemos seguir etapas:
Sequência prática
• Estabeleça a equação ou sistema de equações que traduzem o problema para a linguagem matemática.
• Resolva a equação ou o sistema de equações.
• Interprete as raízes encontradas, verificando se são compatíveis com os dados do problema.
Observe agora, a resolução de alguns problemas do 2º grau:
• Determine dois números inteiros consecutivos tais que a soma de seus inversos seja .
Solução
Representamos um número por x, e por x + 1 o seu consecutivo. Os seus inversos serão representados por .
Temos estão a equação: .
Resolvendo-a:
Observe que a raiz não é utilizada, pois não se trata de número inteiro.
Resposta: Os números pedidos são, portanto, 6 e o seu consecutivo 7.
• Um número de dois algarismos é tal que, trocando-se a ordem dos seus algarismos, obtém-se um número que o excede de 27 unidades.
Determine esse número, sabendo-se que o produto dos valores absolutos dos algarismos é 18.
Solução
Representamos um número por 10x + y, e o número com a ordem dos algarismos trocada por 10y + x.
Observe:
Número: 10x + y
Número com a ordem dos algarismos trocada: 10y +
x.
Temos, então, o sistema de equações:
Resolvendo o sistema, temos: Isolando y em 1 : -x + y = 3 y= x + 3 Substituindo y em 2: xy = 18 x ( x + 3) = 18 x2 + 3x = 18
x2 + 3x - 18 = 0 x'= 3 e x''= -6
Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos: y'= 3 + 3 = 6
y''= -6 + 3 = -3
Logo, o conjunto verdade do sistema é dado por: V= { (3,6), ( -6, -3)}.
Desprezando o par ordenado de coordenadas negativas, temos para solução do problema o número
36 ( x=3 e y=6).
Resposta: O número procurado é 36.
• Duas torneiras enchem um tanque em 6 horas. Sozinha, uma delas gasta 5 horas mais que a outra. Determine o tempo que uma delas leva para encher esse tanque isoladamente.
Solução
Consideremos x o tempo gasto para a 1ª torneira encher o tanque e x+5 o tempo gasto para a 2ª torneira encher o tanque.
Em uma hora, cada torneira enche a seguinte fração do tanque:
Em uma hora, as duas torneiras juntas encherão do tanque; observe a equação correspondente: Resolvendo-a, temos: 6( x + 5 ) + 6x = x ( x + 5 ) 6x + 30 + 6x = x2 + 5x x2 - 7x - 30 = 0 x'= - 3 e x''=10
Como a raiz negativa não é utilizada, teremos como solução x= 10.
Resposta: A 1ª torneira enche o tanque em 10 horas e a 2ª torneira, em 15
horas.
• Num jantar de confraternização, seria distribuído, em partes iguais, um prêmio de R$ 24.000,00 entre os convidados. Como faltaram 5 pessoas, cada um dos presentes recebeu um acréscimo de R$ 400,00 no seu prêmio. Quantos pessoas estavam presentes nesse jantar?
Solução
Podemos representar por:
Resolvendo-a:
Resposta: Nesse jantar deveriam estar presentes 20 pessoas. Como faltaram
5, então 15 pessoas estavam presentes no jantar.
Funções
Uma função é uma relação especial, que é definida da seguinte maneira: sejam dois conjuntos A e B, tais que para todo elemento x pertencente a A, haja uma correspondência de um elemento y pertencente a B. Essa correspondência é a função: a associação, definida de algum modo, entre todos os elementos de um conjunto e os elementos de outro conjunto.
A função que associa um elemento x a outro valor pode ser indicada por f(x). O aparecimento de x na simbologia da função não ocorre por acaso, uma vez que
o valor f(x) depende de x. Por isso mesmo, x é chamada variável
independente e f(x) (ou y) é chamada de variável dependente.
Matematicamente a função é definida:
, ou mais simplificadamente,
Um exemplo de função: dado o conjunto dos números naturais, uma função pode associar cada número ao seu quadrado. Assim, essa função assumiria os valores: { 1,4,9,16,... }.
Uma função pode, na verdade, associar mais de um conjunto a outro; podem haver diversas variáveis independentes. Por exemplo: uma função pode tomar dois valores inteiros e expressar sua soma:
f(x,y) = x + y
No entanto, neste livro será dada mais atenção às funções de uma variável, apenas. São duas características da função enquanto relação:
• há correspondência unívoca entre um elemento e o valor associado a ele pela função: isso significa que para cada valor assumido pela
variável independente (x), há um único valor da variável dependente (y) associado pela função. Consequentemente, se t = f(x) e w = f(x), então t = w.
• a correspondência é total, ou seja, um valor assumido pela variável dependente estará associado para todo valor possível de ser assumido pela variável independente.
A tabela a seguir mostra dois exemplos de relações que não são funções:
Nesse caso, um mesmo elemento (3) do domínio X aparece
associado a dois elementos do contradomínio Y (c,d).
Aqui a correspondência não é total: falta um valor associado a 1.
Duas funções f(x) e g(x) são ditas iguais (f = g) se e somente se para cada valor de x no domínio D, f(x) e g(x) assumam o mesmo valor:
Introdução
Relações que estabeleçam dependência entre os elementos de dois conjuntos são denominadas funções.
Um exemplo clássico de função é a do salário de vendedores que ganham por comissão:
Existe um valor fixo que o vendedor ganha mesmo se não conseguir vender nada naquele mês e uma comissão, que depende da quantidade de vendas que o vendedor realizou. Por exemplo:
Gráfico salário X vendas
VendasComissão por venda Valor Fixo Salário
0 55 300 300
1 55 300 355
2 55 300 410
... ... ... ...
Da tabela acima podemos construir uma relação entre as vendas e o salário do vendedor:
E com isso, construímos um gráfico que relaciona vendas a salário, onde verifica-se que:
• O salário depende das vendas.
• O salário é uma função das vendas. Definição
Ao aplicar uma função em um dado conjunto , cada elemento deste deverá ter como correspondente um elemento em um dado conjunto .
Ao conjunto denomina-se domínio da função, sendo seus elementos
denominados abscissas, e ao conjunto denomina-se contra-domínio, sendo seus elementos denominados ordenadas ou imagens, quando estas se
correlacionarem a um elemento de .
Ou seja:
Dados dois conjuntos e não vazios, dizemos que a relação f de em será função se, e somente se,
.
(Para qualquer x pertencente a D existe um y pertencente a C tal que o par ordenado (x,y) pertence à função f)
Obs: Para cada , deve haver apenas um
Representações
Existem várias maneiras de se representar funções.
Abaixo você pode ver as três mais comumente utilizadas, sendo a primeira a predominante.
As representações abaixo são de uma função em relação a seu domínio e
contra-domínio.
Há também as representações por sua fórmula algébrica em relação a sua imagem, como a seguir:
Nomenclaturas
Abaixo você confere o que significa cada nome utilizado ao se falar sobre funções:
Domínio, Contradomínio e Imagem
Domínio
Conjunto ao qual será aplicada a função. Contra-Domínio
Conjunto que contém os elementos que farão o papel de imagem dos elementos do domínio.
Imagem
Subconjunto do contra-domínio. Contém apenas os elementos que são realmente imagens das abscissas.
Gráfico Cartesiano
Abscissa
Todo e qualquer elemento do domínio. Ordenada
Todo e qualquer elemento do conjunto imagem. Gráfico em Plano Cartesiano da função
Representação de todos os pontos que compõem uma função através de dois eixos perpendiculares.
Funções Sobrejetoras, Injetoras e Bijetoras
Tomemos dois conjuntos e . Digamos que o primeiro seja um conjunto de mulheres e o segundo é de homens. Então estabelecemos a relação "é casada com" de para .
• Se houver ao menos uma mulher no conjunto que não seja casada com um homem do conjunto , então esta relação nem consiste em uma função.
• Se houver ao menos uma mulher no conjunto casada com mais de um homem do conjunto , então esta relação também não consiste em uma função.
• Se toda mulher de for casada com apenas um homem de , então a função é injetora, independentemente de haver ou não algum homem em que não seja casado com alguma mulher de .
• Se não há um homem de que não é casado com uma mulher de (ou seja, a imagem é igual ao contra-domínio), então a função é
sobrejetora, independentemente de duas mulheres de serem
casadas com o mesmo homem de .
• No caso em que a função é tanto injetora quanto sobrejetora, ou seja, cada mulher de é casada com um único homem de , e cada homem de é casado com uma única mulher de , então a função é bijetora.
Função Injetora e não sobrejetora
Função Sobrejetora e não
injetora Função Bijetora
• Resumindo:
o Função Injetora é aquela na qual cada elemento do domínio
corresponde a um único do contra-domínio.
o Função sobrejetora é aquela na qual o contra-domínio é igual à
imagem, ou seja, cada elemento do contradomínio é correspondido por ao menos um do domínio.
o Função bijetora é aquela na qual para cada elemento no domínio
corresponde a um único elemento no contradomínio, e cada elemento no contradomínio corresponde a um único do domínio.
Exemplos
• Funções bijetoras
o Funções do primeiro grau são bijetoras.
• Funções estritamente sobrejetoras
• Funções estritamente injetoras Funções Pares e Ímpares
• Uma função f é denominada par quando f(x) = f( − x), para todo (domínio de f).
• Uma função f é denominada ímpar quando f(x) = − f( − x), para todo .
Domínio, contradomínio e imagem
Função x2, definida para { -3,-2,-1,0 }. Observar o conjunto domínio (D), contra- domínio (CD) e imagem (delineado pela linha tracejada).
São três conjuntos especiais associados à função. O domínio é o conjunto A do exemplo dado no início deste capítulo: contém todos os elementos x para os quais a função deve ser definida. Já o conjunto B do exemplo é o
contradomínio: o conjunto que contém os elementos que podem ser
relacionados a elementos do domínio.
Também define-se o conjunto imagem como o conjunto de valores que
efetivamente f(x) assume. O conjunto imagem é, pois, sempre um subconjunto do contradomínio.
Por exemplo, suponha a função que associa um elemento do domínio D = { 1,2,3,4,5 } a uma vogal ordenada no alfabeto.
O domínio, já especificado, é D = {1,2,3,4,5}
O contradomínio é CD = {a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z} A imagem é Im = {a,e,i,o,u}