APOSTILA DE MATEMÁTICA-Concurso EPCAR 2011-1

APOSTILA DE

MATEMÁTICA-CONCURSO EPCAR 2011

Operações com conjuntos:

Exemplo de interseção de conjuntos.

►Interseção

Os elementos que

fazem parte do conjunto interseção são os elementos comuns aos conjuntos relacionados.

Exemplo 1:

Dados dois conjuntos A = {5,6,9,8} e B = {0,1,2,3,4,5}, se pedimos a interseção deles teremos:

A ∩ B = {5}, dizemos que A “inter” B é igual a 5.

Exemplo 2:

Dados os conjuntos B = {-3, -4, -5, -6} e C = {-7, -8, -9}, se pedirmos a interseção deles teremos:

Exemplo 3:

Dados os conjuntos D = {1,2,3,4,5} e E = {3,4,5}. A interseção dos conjuntos ficaria assim:

E ∩ D = {3,4,5} ou E ∩ D = E, pode ser concluído também que E D.

►União

Conjunto união são todos os elementos dos conjuntos relacionados. Exemplo 1:

Dados os conjuntos A = { x | x é inteiro e -1 < x < 2} e B = {1,2,3,4} a união desses dois conjuntos é :

A U B = {0,1,2,3,4} Exemplo 2:

Dados os conjuntos A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4,5} a união desses conjuntos é: A U B = {1,2,3,4,5}, nesse caso podemos dizer que A U B = B.

►Diferença entre dois conjuntos.

Dados dois conjuntos A e B chama-se conjunto diferença ou diferença entre A e B o

conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B.

O conjunto diferença é representado por A – B. Exemplo 1:

A = {1,2,3,4,5} e B = {3,4,5,6,7} a diferença dos conjuntos é:

Exemplo 2:

A = {1,2,3,4,5} e B = {8,9,10} a diferença dos conjuntos é:

A – B = {1,2,3,4,5} Exemplo 3:

A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4,5}a diferença dos conjuntos é:

A – B =

Exemplo 4:

Dados os conjuntos A = {1,2,3,4,5,6} e B = {5,6}, a diferença dos conjuntos é: A – B = {1,2,3,4}. Como B A podemos escrever em forma de complementar:

A – B = A B = {1,2,3,4}.

Relações Binárias:

Definição

Uma relação binária R sobre dois universos A e B é

Em outras palavras, uma relação binária é definida como sendo um subconjunto do produto cartesiano entre dois conjuntos A e B. Isto é, uma relação R é um conjunto de pares ordenados. Um subconjunto de A×A pode ser chamado simplesmente de relação binária em A.

Suponha que R é uma relação de A para B. Então R é um conjunto de pares ordenados onde cada primeiro elemento pertence a A e cada segundo elemento pertence a B. Isto é,

para cada par (a,b), a ∈ A e b ∈ B. Então exatamente uma das seguintes afirmativas é verdadeira:

• (a,b) ∈ R: dizemos que “a é R-relacionado a b”, escrevendo aRb.

• (a,b) ∈ R: dizemos que “a não é R-relacionado a b”, escrevendo aRb.

O domínio de uma relação R é o conjunto de todos os primeiros elementos de um par ordenado que pertence a R. A imagem de R é o conjunto dos segundos elementos. No caso descrito acima, o domínio é um subconjunto de A e a imagem é um subconjunto de

B.

Exemplos:

• Sejam A = {1, 2, 3} e B = { x, y, z} , e seja R = {(1,y), (1,z), (3,y)}. Então R é uma relação de A para B, uma vez que R é um subconjunto de A x B. Com respeito a esta relação, 1Ry, 1Rz, 3Ry, mas 1Rx, 2Rx, 2Ry, 2Rz, 3Rx, 3Rz. O domínio de R é {1.3} e a imagem é {y.z}.

• Seja A um conjunto qualquer. Uma relação importante em A é a relação de igualdade, {(a,a); a ∈ A}, que é usualmente denotada por =. Essa relação é também chamada de identidade ou relação diagonhal em A e será também denotado por δ.

Outra definição

Uma relação binária R também pode ser definida como um trio ordenado (A, B, G) onde

A e B são conjuntos arbitrários, e G é um subconjunto do produto cartesiano A×B. Os

conjuntos A e B são chamados de domínio e codomínio da relação, respectivamente, e

G é chamado de grafo.

A notação final corresponde a visualizar R como uma Função indicadora do conjunto de pares G. A ordem de cada par de G é importante: se a ? b, então aRb pode ser

verdadeiro ou falso independentemente de bRa o ser.

Exemplos

• Numa relação P definida por

ou seja, P = {(2,0), (1, 1), (0, 2)}, P(0,2) é verdadeiro, já P(-1,3) é falso;

• As relações de igualdade e diferença: a = a e b ? c;

• Suponha que existam 4 objetos: {carro, bola, boneca, bala} e quatro pessoas {João, Maria, Marcos, Pedro}.

Suponha que João tem a bola, Maria tem a boneca, e Pedro tem o carro. Ninguém tem a bala e Marcos não tem nada.

Então a relação binária R "pertence a" é dada como R = ({bola, carro, boneca, bala}, {João, Maria, Marcos, Pedro}, {(bola, João), (boneca, Maria), (carro, Pedro)}).

Tipos de relações binárias

Dada uma relação R A×B, podemos classificá-la como:⊆

• Relação total

Ou seja, todo elemento de A se relaciona com algum de B.

• Relação sobrejetora

É o inverso da total, todo elemento de B é relacionado com algum de A.

• Relação funcional

Ou seja, um elemento de A não pode se relacionar com mais de um elemento de B.

• Relação injetora:

O contrário da funcional: um elemento de B não pode ser relacionado com dois ou mais elementos de A diferentes.

Uma relação é dita um monomorfismo se ela é total e injetora. Uma relação é dita um

epimorfismo se ela é funcional e sobrejetora. Uma relação é dita um isomorfismo se

ela é um monomorfismo e um epimorfismo.

Operações em relações binárias

Relações inversas

Seja R uma relação qualquer A×B. A inversa de R, denotada por R-1_{, é a relação de B×A} consiste nos pares ordenados que, quando têm sua ordem revertida, pertencem a R, isto é,

Por exemplo, a inversa da relação R = {(1, y), (1, z), (3, y)} é a seguinte: R-1 _{= {(y, 1),} (z, 1), (y, 3)}.

Claramente, (R-1₎-1 _{= R. Além disso o domínio e a imagem de R}-1 _{são, respectivamente,} iguais à imagem e ao domínio de R. Ademais, se R é uma relação em A, então R-1 também é uma relação em A.

Composição de relações

Relacionar elementos de A com elementos de B é destacar um subconjunto de AxB. Dadas R1 ⊆ A×B e R2 ⊆ B×C:

A composição das relações R1 com R2, denotado por R2 ⋅ R1, é a relação {(a,c): (∃b B), com (∈ a,b) ∈ R1 e (b,c) ∈ R2} ⊆ A×C

Exemplo: Sejam os conjuntos

A = {a, b, c}; B = {c, d, e} e C = {a, e}; e as relações R1 = {(a,c), (a,e), (b,c), (c,d)} e R2 = {(c,a), (d,a), (d,e), (e,e)}.

Então R2 ⋅ R1 = {(a,a), (a,e), (b,a), (c,a). (c,e)}.

Composição de Relações e Matrizes

Existe uma outra maneira de determinar R ⋅ S. Sejam Mr e Ms, respectivamente, as matrizes da relação R e S. Então,

Multiplicando-se Mr e Ms, obtemos a matriz

Os elementos não nulos dessa matriz nos mostram quais elementos estão relacionados por R×S. Portanto, M = Mr Ms e Mr⋅s têm os mesmos elementos não nulos.

Teorema: Sejam A, B, C e D conjuntos. Suponha que R é uma relação A×B, S é uma

relação de B×C e T é uma relação de C×D. Então, (R ⋅ S) ⋅ T = R ⋅ (S ⋅ T). Ou seja, a

Prova: Para demonstrar o teorema é necessário mostrar que cada par ordenado em (R ⋅ S) ⋅ T pertence a R ⋅ (S ⋅ T) e vice-versa. Então:

Suponha que (a,d) pertence a (R ⋅ S) ⋅ T.

Então, existe um c em C tal que (a,c) ∈ (R ⋅ S) e (c,d) ∈ T.

Como (a,c) ∈ (R ⋅ S), existe b em B tal que (a,b) ∈ R e (b,c) ∈ S. Como (b,c) ∈ S e (c,d) ∈ T, temos (b,d) ∈ (S ⋅ T);

como (a,b) ∈ R e (b,d) e S ⋅ T, temos (a,b) ∈ R ⋅ (S ⋅ T). Portanto, (R ⋅ S) ⋅ T ⊆ R ⋅ (S ⋅ T).

De modo similar, R ⋅ (S ⋅ T) ⊆ (R ⋅ S) ⋅ T.

Ambas as inclusões provam que (R ⋅ S) ⋅ T = R ⋅ (S ⋅ T).

Propriedades das relações

Dada uma relação binária R sobre um conjunto A.

Considere a serviço de exemplo as seguintes cinco relações em um conjunto A = { 1, 2, 3, 4}:

R1 = {(1,1), (1,2), (2,3), (1,3), (4,4)};

R2 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,3), (4,4)}; R3 = {(1,3), (2,1)};

R4 = ∅, a relação vazia; R5 = A×A, a relação universal.

Reflexividade

R é dita reflexiva se aRa para todo a ∈ A, isto é, se (a,a) ∈ R para todo a ∈ A. Ou seja, se todos os elementos se relacionam com si próprios. Em um conjunto finito com n elementos existem 2n² _{relações binárias, das quais 2}n²-n _{são reflexivas.}

Uma relação é irreflexiva se nenhum elemento se relaciona com si próprio.

Dos exemplos citados, como A contém os quatro elementos, 1, 2, 3 e 4, uma relação R em A é reflexiva se contém os quatro pares (1,1), (2.2), (3.3), (4,4). Portanto, apenas R2 e a relação universal R5 são reflexivas. Note que R1 , R3 e R4 não são reflexivas, uma vez que, por exemplo, (2,2) não pertence a nenhuma delas.

Simetria

Uma relação binária é simétrica se qualquer aRb implica bRa. Em um conjunto finito com n elementos, há relações simétricas.

R1 não é simétrica já que (1,2) ∈ R1 mas (2,1) &nin; R1 . R3; não é simétrica já que (1,3) ∈ R3 mas (3,1) &nin; R3 . As outras relações são simétricas.

Uma relação anti-simétrica é tal que se aRb e bRa então a=b. Assimétrica é uma relação em que aRb implica que não bRa.

R2 não é anti-simétrica, já que (1,2) e (2,1) pertencem a R2 , mas 1 &neq; 2.

Analogamente, a relação universal R5 não é simétrica. Todas as outras são anti-simétricas.

Note que as propriedades de simetria e anti-simetria não são mutuamente excludentes. Por exemplo, a relação R = {(1,3), (3,1), (2,3)} não é nem simétrica nem anti-simétrica. Por outro lado, a relação R' = {(1,1), (2.2)} é simétrica e anti-simétrica.

Transitividade

A transitividade de uma relação binária vale quando aRb e bRc implicam que aRc. A relação se diz antitransitiva quando aRb e bRc implicam que não é verdade aRc. A relação R3 não é transitiva porque (2,1) e (1,3) ∈ R3, mas (2,3) &nin; R3 . Todas as outras relações são transitivas.

A propriedade de transitividade também pode ser expressa em termos da composição de relações. Para uma relação R em A, definimos R² = R⋅R e, mais geralmente, Rn _{= R}n-1_⋅R. Teorema: a relação R é transitiva se e somente se , Rn _{⊆ R para n ≥ 1.}

Algumas outras propriedades

• Relação total (ou linear): para todo a e b em A é verdade que aRb ou bRa (ou

ambos).

• Relação euclidiana: para todo a, b e c em A, é verdade que se aRb e aRc então

bRc.

• Relação extensível (ou serial): para todo a em A, existe um b em A tal que aRb.

"Maior que” é uma relação extensível nos inteiros. Mas não é um relação extensível nos inteiros positivos, porque não existe um x nos inteiros positivos tal que 1>x.

Uma relação R que é simétrica e anti-simétrica ao mesmo tempo tem a propriedade que se xRy então x = y. Em um conjunto finito com n elementos existem apenas 2n _dessa

relaçãos.

Uma relação que é simétrica, transitiva e extensível é também reflexiva

Uma relação que é reflexiva, simétrica e transitiva é chamada de uma relação de equivalência. Uma relação que é reflexiva, anti-simétrica e transitiva é chamada de ordem parcial. Uma ordem parcial que é total é chamada de relação de ordem total ou uma ordem linear ou uma chain. Uma ordem linear na qual todo conjunto não vazio tem um menor elemento é chamado bem ordenado.

Exemplo:

Seja Z* o conjunto dos inteiros não nulos e seja ≡ a relação em Z*×Z* definida por

(i) Reflexividade: temos (a,b)≡(a,b), já que ab = ba. Portanto, ≡ é reflexiva.

(ii) Simetria: temos (a,b)≡(c,d). Então ad = bc. Por conseguinte, cb = da e, portanto, (a,b)≡(c,d).

Assim, ≡ é simétrica.

(iii) Transitividade: suponha (a,b)≡(c,d) e (c,d)≡(e,f). Então, ad = bc e cf = de.

A multiplicação dos termos correspondentes da equação leva a (ad)(cf) = (bc)(de).

Cancelando c ≠ 0 e d ≠ 0 dos dois lados da equação, obtém-se af = be, e portanto (a,b)≡(e,f).

Logo, ≡ é transitiva.

Consequentemente, ≡ é uma relação de equivalência.

Obs.: Do ponto de vista gráfico, uma relação é reflexiva se para todo vértice existir uma

aresta ligando-o a ele mesmo. A estas arestas dá-se o nome de lacetes. A relação será

simétrica se sempre que ao existir uma aresta de a para b também exista uma aresta de b

para a e será transitiva sempre que ao existir uma aresta da a para b e outra de b para c, também exista uma aresta de a para c.

Subconjuntos:

A é um subconjunto de B.

Em teoria dos conjuntos, um conjunto A diz-se um subconjunto de um conjunto B se todos os elementos de A estiverem em B. Se B contiver elementos que não estão em A, então A diz-se um subconjunto próprio de B. Quando A é um subconjunto de B, diz-se que B é um superconjunto de A.

Cardinalidade

Se A é um subconjunto de B, então A tem uma cardinalidade não superior à de B. Quando B é finito e A é um subconjunto próprio de B, então a cardinalidade de A é inferior à de B. Se B é um conjunto infinito, tem subconjuntos próprios com a mesma cardinalidade de B. O conjunto de todos os subconjuntos de B chama-se o conjunto de partes de B. Subconjunto é um conjunto dentro de um outro conjunto.

Exemplos

• O conjunto vazio é um subconjunto de qualquer conjunto.

• O conjunto {1,2} tem quatro subconjuntos: o conjunto vazio, {1}, {2} e {1,2}.

• O conjunto dos números naturais é um subconjunto próprio do conjunto dos números inteiros, com a mesma cardinalidade.

• O conjunto dos números naturais é um subconjunto próprio do conjunto dos números reais, com cardinalidade inferior.

Notação

A notação de subconjunto não é padronizada. Existem duas notações para subconjunto: indica, de forma não-ambígua, que A é um subconjunto de B

pode indicar que A é um subconjunto de B, ou pode indicar que A é um subconjunto próprio de B, ou seja, que

Quando for necessário explicitar que A é um subconjunto próprio de B, pode-se usar a notação

Analogamente, temos que:

Com os elementos B formamos o elemento H H-homens e M - mulheres. Dizemos que H e M são subconjuntos de B .Se um conjunto T de pessoas possui pelo menos uma pessoa nao brasileira T não é subconjunto do conjunto B

Conjunto dos números naturais:

Introdução aos Números Naturais

O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são

conhecidos como algarismos indo-arábicos. No século VII, os árabes invadiram a Índia, difundindo o seu sistema numérico.

Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremos considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as mesmas propriedades algébricas que os números naturais. Na verdade, o zero foi criado pelos hindus na montagem do sistema posicional de numeração para suprir a deficiência de algo nulo.

Na sequência consideraremos que os naturais têm início com o número zero e escreveremos este conjunto como:

N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

Representaremos o conjunto dos números naturais com a letra N. As reticências (três pontos) indicam que este conjunto não tem fim. N é um conjunto com infinitos números. Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto será representado por: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}

A construção dos Números Naturais

1. Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número dado), considerando também o zero.

Exemplos: Seja m um número natural.

(a) O sucessor de m é m+1. (b) O sucessor de 0 é 1. (c) O sucessor de 1 é 2. (d) O sucessor de 19 é 20.

2. Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números consecutivos.

Exemplos:

(a) 1 e 2 são números consecutivos. (b) 5 e 6 são números consecutivos. (c) 50 e 51 são números consecutivos.

3. Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente.

Exemplos:

(a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos. (b) 5, 6 e 7 são consecutivos.

(c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos.

4. Todo número natural dado n, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número dado).

Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero.

(a) O antecessor do número m é m-1. (b) O antecessor de 2 é 1.

(c) O antecessor de 56 é 55. (d) O antecessor de 10 é 9.

O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais pares. Embora uma seqüência real seja um outro objeto matemático denominado função, algumas vezes utilizaremos a denominação sequência dos números naturais pares para representar o conjunto dos números naturais pares:

P = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}

O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais ímpares, às vezes também chamado, a sequência dos números ímpares.

I = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}

Igualdade e Desigualdades

Diremos que um conjunto A é igual a um conjunto B se, e somente se, o conjunto A está contido no conjunto B e o conjunto B está contido no conjunto A. Quando a condição acima for satisfeita, escreveremos A=B (lê-se: A é igual a B) e quando não for satisfeita denotaremos tal fato por:

(lê-se: A é diferente de B). Na definição de igualdade de conjuntos, vemos que não é importante a ordem dos elementos no conjunto.

Exemplo com igualdade: No desenho, em anexo, observamos que os elementos do

conjunto A são os mesmos elementos do conjunto B. Neste caso, A=B.

Consideraremos agora uma situação em que os elementos dos conjuntos A e B serão distintos.

Sejam A={a,b,c,d} e B={1,2,3,d}. Nem todos os elementos do conjunto A estão no conjunto B e nem todos os elementos do conjunto B estão no conjunto A. Também não

podemos afirmar que um conjunto é maior do que o outro conjunto. Neste caso, afirmamos que o conjunto A é diferente do conjunto B.

Exercício: Há um espaço em branco entre dois números em cada linha. Qual é o sinal

apropriado que deve ser posto neste espaço: <, > ou =?

159 170 852 321 587 587

Exercício: Representar analiticamente cada conjunto, isto é, através de alguma

propriedade e depois por extensão, apresentando os elementos: a. Conjunto N dos números Naturais

b. Conjunto P dos números Naturais Pares c. Conjunto I dos números Naturais Ímpares

d. Conjunto E dos números Naturais menores que 16 e. Conjunto L dos números Naturais maiores que 11

f. Conjunto R dos números Naturais maiores ou iguais a 28 g. Conjunto C dos números Naturais que estão entre 6 e 10

Sistema de numeração:

Um numeral é um símbolo ou grupo de símbolos que representa um número em um deteminado instante da evolução do homem. Tem-se que, numa determinada escrita ou época, os numerais diferenciaram-se dos números do mesmo modo que as palavras se diferenciaram das coisas a que se referem. Os símbolos "11", "onze" e "XI" (onze em latim) são numerais diferentes, representativos do mesmo número, apenas escrito em idiomas e épocas diferentes. Este artigo debruça-se sobre os vários aspectos dos sistemas de numerais. Ver também nomes dos números.

Um sistema de numeração, (ou sistema numeral) é um sistema em que um conjunto de números são representados por numerais de uma forma consistente. Pode ser visto como o contexto que permite ao numeral "11" ser interpretado como o numeral romano para dois, o numeral binário para três ou o numeral decimal para onze.

Em condições ideais, um sistema de numeração deve:

• Representar uma grande quantidade de números úteis (ex.: todos os números inteiros, ou todos os números reais);

• Dar a cada número representado uma única descrição (ou pelo menos uma representação padrão);

• Refletir as estruturas algébricas e aritméticas dos números.

Por exemplo, a representação comum decimal dos números inteiros fornece a cada número inteiro uma representação única como uma seqüência finita de algarismos, com as operações aritméticas (adição, subtração, multiplicação e divisão) estando presentes como os algoritmos padrões da aritmética. Contudo, quando a representação decimal é usada para os números racionais ou para os números reais, a representação deixa de ser padronizada: muitos números racionais têm dois tipos de numerais, um padrão que tem fim (por exemplo 2,31), e outro que repete-se periodicamente (como 2,30999999...).

Base:

Sistemas numéricos por base

Sistema Decimal (10) 2, 4, 8, 16, 32, 64 1, 3, 6, 9, 12, 20, 24, 30, 36, 60

v • e

Em Matemática, a base é o que determina a quantidade de símbolos e o valor de cada símbolo em um sistema de numeração posicional, isto é, onde o valor de cada símbolo é determinado pela sua posição no número.

 sistema binário, que utiliza a base 2.

 sistema octal, que utiliza a base 8.

 sistema decimal, que utiliza a base 10.

 sistema duodecimal, que utiliza a base 12.

 sistema hexadecimal, que utiliza a base 16.

 sistema vigesimal, que utiliza a base 20.

sistema sexagesimal, que utiliza a base 60, inventado pelos sumérios, e usado para tempo (horas, minutos e segundos) e ângulos.

Operações com números naturais:

Propriedades da Adição

1. Fechamento: A adição no conjunto dos números naturais é fechada, pois a soma de dois números naturais é ainda um número natural. O fato que a operação de adição é fechada em N é conhecido na literatura do assunto como: A adição é uma lei de composição interna no conjunto N.

2. Associativa: A adição no conjunto dos números naturais é associativa, pois na adição de três ou mais parcelas de números naturais quaisquer é possível associar as parcelas de quaisquer modos, ou seja, com três números naturais, somando o primeiro com o segundo e ao resultado obtido somarmos um terceiro, obteremos um resultado que é igual à soma do primeiro com a soma do segundo e o terceiro.

3. Elemento neutro: No conjunto dos números naturais, existe o elemento neutro que é o zero, pois tomando um número natural qualquer e somando com o elemento neutro (zero), o resultado será o próprio número natural.

4. Comutativa: No conjunto dos números naturais, a adição é comutativa, pois a ordem das parcelas não altera a soma, ou seja, somando a primeira parcela com a segunda parcela, teremos o mesmo resultado que se somando a segunda parcela com a primeira parcela.

Curiosidade: Tabela de adição

Para somar dois números, com a tabela, um em uma linha e outro em uma coluna, basta fixar um número na 1a. coluna e um segundo número na 1a. linha. Na interseção da linha e coluna fixadas, obtemos a soma dos números.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 8 9 10 11 121314 15 16 17 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Por exemplo, se tomarmos o número 7 na linha horizontal e o número 6 na linha vertical, obteremos a soma 13 que está no cruzamento da linha do 7 com a coluna do 6.

Multiplicação de Números Naturais

É a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro número denominado multiplicando ou parcela, tantas vezes quantas são as unidades do segundo número denominado multiplicador.

Exemplo: 4 vezes 9 é somar o número 9 quatro vezes:

4 x 9 = 9 + 9 + 9 + 9 = 36

O resultado da multiplicação é denominado produto e os números dados que geraram o produto, são chamados fatores. Usamos o sinal × ou · ou x, para representar a

multiplicação.

Propriedades da multiplicação

1. Fechamento: A multiplicação é fechada no conjunto N dos números naturais, pois realizando o produto de dois ou mais númros naturais, o resultado estará em N. O fato que a operação de multiplicação é fechada em N é conhecido na literatura do assunto como: A multiplicação é uma lei de composição interna no conjunto N.

2. Associativa: Na multiplicação, podemos associar 3 ou mais fatores de modos diferentes, pois se multiplicarmos o primeiro fator com o segundo e depois multiplicarmos por um terceiro número natural, teremos o mesmo resultado que multiplicar o terceiro pelo produto do primeiro pelo segundo.

(m.n).p = m.(n.p) (3.4).5 = 3.(4.5) = 60

3. Elemento Neutro: No conjunto dos números naturais existe um elemento neutro para a multiplicação que é o 1. Qualquer que seja o número natural n, tem-se que:

1.n = n.1 = n 1.7 = 7.1 = 7

4. Comutativa: Quando multiplicamos dois números naturais quaisquer, a ordem dos fatores não altera o produto, ou seja, multiplicando o primeiro elemento pelo segundo elemento teremos o mesmo resultado que multiplicando o segundo elemento pelo primeiro elemento.

m.n = n.m 3.4 = 4.3 = 12

Propriedade Distributiva

Multiplicando um número natural pela soma de dois números naturais, é o mesmo que multiplicar o fator, por cada uma das parcelas e a seguir adicionar os resultados obtidos.

m.(p+q) = m.p + m.q

6x(5+3) = 6x5 + 6x3 = 30 + 18 = 48

Divisão de Números Naturais

Dados dois números naturais, às vezes necessitamos saber quantas vezes o segundo está contido no primeiro. O primeiro número que é o maior é denominado dividendo e o outro número que é menor é o divisor. O resultado da divisão é chamado quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos o dividendo.

No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, pois nem sempre é possível dividir um número natural por outro número natural e na ocorrência disto a divisão não é exata.

Relações essenciais numa divisão de números naturais

1. Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo.

35 : 7 = 5

2. Em uma divisão exata de números naturais, o dividendo é o produto do divisor pelo quociente.

35 = 5 x 7

3. A divisão de um número natural n por zero não é possível pois, se admitíssemos que o quociente fosse q, então poderiamos escrever:

n ÷ 0 = q

e isto significaria que: n = 0 x q = 0

o que não é correto! Assim, a divisão de n por 0 não tem sentido ou ainda é dita impossível.

Exercício: Substituindo X por 6 e Y por 9, qual é o valor da soma do dobro de X pelo

triplo de Y.

Potenciação de Números Naturais

Para dois números naturais m e n, a expressão mn _{é um produto de n fatores iguais ao} número m, ou seja:

mn _{= m . m . m ... m . m} m aparece n vezes

O número que se repete como fator é denominado base que neste caso é m. O número de vezes que a base se repete é denominado expoente que neste caso é n. O resultado é donominado potência.

23 _{= 2 × 2 × 2 = 8} 43 _{= 4 × 4 × 4 = 64}

Propriedades da Potenciação

1. Uma potência cuja base é igual a 1 e o expoente natural é n, denotada por 1n_, será sempre igual a 1.

Exemplos:

a. 1n _{= 1×1×...×1 (n vezes) = 1} b. 13 _{= 1×1×1 = 1}

c. 17 _{= 1×1×1×1×1×1×1 = 1}

2. Se n é um número natural não nulo, então temos que no_{=1. Por exemplo:}

3. (a) nº = 1 4. (b) 5º = 1 5. (c) 49º = 1

6. A potência zero elevado a zero, denotada por 0o_{, é carente de sentido no contexto} do Ensino Fundamental. O visitante que necessitar aprofundamento neste

assunto, deve visitar nosso link Zero elevado a zero?

7. Qualquer que seja a potência em que a base é o número natural n e o expoente é igual a 1, denotada por n1_{, é igual ao próprio n. Por exemplo:}

8. (a) n¹ = n 9. (b) 5¹ = 5 10. (c) 64¹ = 64

11. Toda potência 10n _{é o número formado pelo algarismo 1 seguido de n zeros.}

Exemplos: a. 103 _{= 1000} b. 108 _{= 100.000.000} c. 10o _{= 1}

Divisibilidade:

2

Um número é divisível por 2 quando é par (o algarismo das unidades é 0, 2, 4, 6, 8). Por exemplo são divisíveis por 2 : 46, 188, 234...

Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é 0, 3, 6 ou 9 (ou então noves fora dá 0, 3 ou 6).

Por exemplo: 147 - 1+4+7= 12 (Pode-se somar novamente ) e 1+2= 3. 167265 - 1 + 6 + 7 + 2 + 6 + 5 = 27 e 2 + 7 = 9 é divisível.

65926 - 6 + 5 + 9 + 2 + 6 = 28 e 2 + 8 = 10 não é divisível por 3.

4

Se os dois últimos algarismos de um número forem divisíveis por 4, então o número é divisível por 4.

Para ver se os dois últimos algarismos formam um número divisível por 4 - deve ser um número par e a sua metade continuar par.

Por exemplo: 758836 - 36 é par e metade de 36 é 18 que é par então o número é divisível por 4.

9881654 - 54 é par mas metade não é o número não é divisível por 4.

5

Um número é divisível por 5 se terminar em 0 ou 5.

6

Se um número for divisível por 2 e por 3 é divisível por 6.

7

Duplica-se o algarismo das unidades e subtrai-se do resto do número . Se o resultado for divisível por 7 o número é divisível por 7.

Por exemplo:

245 - 5 x 2 = 10 e depois 24 - 10 = 14 então é divisível por 7. 1589 - 9 x 2 = 18 e 158 - 18 = 140 então é divisível por 7 . 204568 - 8 x 2 = 16 e 20456 - 16 = 20440 e aplicando novamente 0 x 2 = 0 2044 - 0 = 2044 e novamente

4 x 2 = 8 204 - 8 = 196 e novamente 6 x 2 = 12 19 - 12 = 7

então é divisível por 7.

8

Se os 3 últimos algarismos forem divisíveis por 8 então o número é divisível por 8. (3 últimos pares , a sua metade par e novamente metade par).

772673290168 - 168 é par , 168:2=84 é par e 84:2= 32 é par então o número inicial é divisível por 8.

9

Somar os algarismos do número e verificar se a soma é divisível por nove ( ou fazer os noves fora e dar zero).

Por exemplo. 3464514 - 3+4+6+4+5+1+4=27 e 2 + 7 = 9 então é divisível por 9 4524562 - 4+5+2+4+5+6+2 =28 e 2 + 8= 10 então não é divisível por 9.

10

Um número é divisível por 10 se o algarismo das unidades é zero.

11

Soma o 1º, o 3º, o 5º, o 7º algarismo .... Soma o 2º, o 4º, o 6º, o 8º algarismo ....

Se a diferença for múltiplo de 11 (incluindo o zero) então o número é divisível por 11. Por exemplo: 94186565 - 9 + 1 + 6 + 6 = 22

4 + 8 + 5 + 5 = 22 e 22 - 22 = 0 então o número é divisível por 11.

4723866862 - 4+2+8+6+6 = 26

7+3+6+8+2 = 26 e 26-26 = 0 então o número é divisível por 11

12

Se o número for divisível por 3 e por 4 é divisível por 12.

13

Multiplica o algarismo das unidades por 9 e subtrai-o do restante número. Se o resultado for múltiplo de 13 então o número inicial é múltiplo de 13.

1105 - 5 x9=45 e 110 - 45 = 65 ( se ainda tiveres dúvidas podes fazer novamente.... ) que é múltiplo de 13 - 13x5= 65

Números Primos:

Números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo.

Exemplos:

1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo. 2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo. 3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo.

Observações:

=> 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é

ele mesmo.

=> 2 é o único número primo que é par.

Os números que têm mais de dois divisores são chamados números

compostos.

Exemplo: 15 tem mais de dois divisores => 15 é um número composto.

• Reconhecimento de um número primo

Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. até que tenhamos:

=> ou uma divisão com resto zero e neste caso o número não é primo, => ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto

diferente de zero. Neste caso o número é primo. Exemplos:

1) O número 161:

• não é par, portanto não é divisível por 2;

• 1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3;

• não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;

• por 7: 161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por 7, e portanto

não é um número primo.

2) O número 113:

• 1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3;

• não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;

• por 7: 113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor (7).

• por 11: 113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), e além disso o resto é diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo.

Fatoração Completa:

A fatoração completa implica na união de todos os métodos de fatoração de polinômios para tornar um polinômio fatorado ao máximo, ou seja, que não pode ser mais fatorado. Considere o polinômio x4 _{− y}4_{, que é a diferença de dois quadrados, fatorando-o temos:}

x4 _{− y}4 _{= (x}2 _{− y}2_).(x2 _{+ y}2_{), note que o primeiro termo da fatoração [(x}2 _{− y}2_{)] é uma} diferença de dois quadrados, devemos fatora-lo: x4 _{− y}4 _{= (x}2 _{− y}2_).(x2 _{+ y}2_{) = (x − y).(x +}

y).(x2 _{+ y}2_{), assim, temos a fatoração completa do polinômio x}4 _{− y}4_. Outros exemplos:

3x2 _{− 6x + 3 = 3.(x}2 _{− 2x + 1) = 3.(x − 1)}2

a2 _{+ 2ab + b}2 _{− c}2 _{= (a + b)}2 _{− c}2 _{= (a + b − c)(a + b + c)}

Números racionais e frações

Fração é um número que exprime uma ou mais partes iguais que foi divida uma unidade ou um inteiro.

Assim, por exemplo, se tivermos uma pizza inteira e a dividirmos em quatro partes iguais, cada parte representará uma fração da pizza.

Na matemática, um número racional (ou, vulgarmente, fração) é uma razão entre dois inteiros, geralmente escrita na forma onde é um número inteiro diferente de Zero.

Exemplos:

A adição e multiplicação de racionais é dada da seguinte forma:

Exemplo:

+ =

Dois números racionais a/b e c/d são iguais apenas se ad = bc.

O conjunto de todos os números racionais é Q, ou:

Cada número racional pode ser escrito de diversas formas, como, por exemplo, 3/6 = 2/4 = 1/2. A forma mais simples é quando a e b não possuem divisores em comum, e todo racional tem uma forma como esta. A expansão decimal de um racional é finita ou periódica, propriedade que caracteriza os números racionais.

Definições

De modo simples, pode-se dizer que uma fração de um número, representada de modo genérico como designa este número dividido em partes iguais. Neste caso, corresponde ao numerador, enquanto corresponde ao denominador.

Por exemplo, a fração designa o quociente de por Ela é igual a pois x =

Nota: A divisão é a operação inversa da multiplicação.

Os números expressos em frações são chamados de números racionais. O conjunto dos racionais é representado por

= { / = com e }

Decimais

Os decimais periódicos são denominados dízimas periódicas. As dízimas periódicas podem ser simples como no exemplo (a) ou compostas como no exemplo (b). A fração que originou a dízima periódica é denominada de fração geratriz e a parte que repete na dízima é denominada período.

Geratriz de dízima periódica

Dízima simples

A fração geratriz é obtida usando-se como numerador o período e como denominador um número formado por tantos noves quantos forem os algarismos do período.

Dízima composta

A fração geratriz terá como numerador a parte não-periódica, seguida do período menos a parte não-periódica, e denominador um número formado de tantos noves quanto são os algarismos do período, seguido de tantos zeros quantos são os algarismos da parte não-periódica (ante-período).

=> + = + = =

Conversão entre dízima e fração

Seja o número x = 2,333... (dízima). O periodo da dízima é o número 3 (um só dígito), assim, para colocar o período da dízima antes da vírgula, fazemos 10*x = 23,333.... Agora, podemos eliminar a dízima fazendo a subtração: 10*x - x = 23,333... - 2,333..., ou seja, 9*x = 21 x =

Outro exemplo mais complexo desta conversão, que ocorre quando a dízima se apresente mais à frente da vírgula: x = 38,07821821821... (dízima). Após a virgula, temos os números "07"´(dois dígitos) que não fazem parte do período e o período "821" (três dígitos).

Primeiro isolamos o período logo após a vírgula: 100*x = 3807,821821821...

Agora repetimos o processo do exemplo anterior: 100.000*x = 3807821,821821821...

Fazemos então a subtração

99900*x = 3804014 , portanto

x = , que poderá ainda ser simplificada.

Como decorrência da repetição deste processo de conversão, podemos chegar à seguinte regra prática de conversão de dízimas em frações. Vamos aplicá-la ao número

38,07821821821... Eis os passos:

1. O período da dízima tem 3 dígitos, que é o número de algarismos nove (999 portanto);

2. Após a vírgula temos 2 dígitos que não fazem parte da dízima, que é o número de zeros (00 portanto);

3. Temos assim o denominador da fração que será 99900;

4. O númerador da fração será a diferença do número formado pelos algarismos até o primeiro período da dízima, no caso 3807821, pelo número formado pelos algarismos que antecedem o início da dízima, no caso 3807. Temos então 3807821 - 3807.

5. A fração será, portanto, .

Tipos de frações

• própria: o numerador é menor que o denominador. Ex.:

• imprópria: o numerador é maior que o denominador. Ex.:

• mista: constituída por uma parte inteira e uma fracionária. Ex.:

• aparente: o numerador é múltiplo do denominador. Ex.:

• equivalentes: aquelas que mantêm a mesma proporção de outra fração. Ex.:

• irredutível: o numerador e o denominador são primos entre si, não permitindo

simplificação. Ex.:

• unitária: o numerador é igual a 1 e o denominador é um inteiro positivo. Ex.:

• decimal: o denominador é uma potência de 10. Ex.:

• composta: fração cujo numerador e denominador são frações:

• contínua: fração constituída a partir de uma sequência de inteiros naturais

(a0,a1,a2,a3,...,ak,...) da seguinte maneira Quando esta

fração contínua termina, o seu resultado é um número racional, porém quando esta fração não termina, o resultado pode ser racional ou irracional.

Operações

Multiplicam-se os numeradores entre si e os denominadores entre si. Ex.:

Para multiplicar uma fração por um número inteiro, considera-se que este é uma fração cujo denominador é igual a 1. Ex.:

Divisão

Como visto, a divisão é a operação inversa da multiplicação. É importante ter isso em mente para resolver uma divisão entre frações:

÷

Primeiramente inverte-se o divisor da segunda fração. Com isto, tem-se a inversão da operação, isto é, passará a haver uma multiplicação:

Adição

Caso os denominadores não sejam iguais é preciso, antes de efetuar a adição, encontrar o menor múltiplo comum (MMC) entre os denominadores:

Encontrado o MMC, este será dividido por cada um dos denominadores, multiplicando-se o resultado desta divisão pelo respectivo numerador. Como o MMC de 3 e 5 é 15, tem-se que:

∴ ∴

Sendo iguais os denominadores, pode-se efetuar a adição entre os numeradores:

O denominador comum é mantido:

Subtração

A subtração é feita seguindo-se os mesmos passos da adição.

Exponenciação

É indiferente resolver primeiro a exponenciação ou a divisão:

Efetuando-se primeiramente a divisão obtém-se o mesmo resultado:

Radiciação

Expoente fracionário

Da mesma forma que na divisão entre frações, a ocorrência de expoente fracionário causa a inversão da operação:

Simplificação de frações

Uma fração pode ser simplificada quando numerador e denominador não são primos entre si. Ex.:

Para tanto basta dividi-los pelo máximo divisor comum (MDC) entre eles, obtendo-se uma fração que, além de manter a proporção da original, é do tipo irredutível:

Comparação entre frações

Para estabelecer comparação entre frações, é preciso que elas tenham o mesmo

denominador. Isso é obtido através do menor múltiplo comum, como foi visto na adição.

?

O MMC entre 5 e 7 é 35.

∴ ∴

Uma vez igualados os denomidores,pode-se fazer a comparação entre as frações:

<

<

A comparação entre frações com denominadores diversos vale-se do fato de que há frações que são equivalentes entre si, pois:

Conversão entre frações impróprias e mistas

Uma fração do tipo imprópria pode ser convertida para mista e vice-versa.

Para tanto, basta dividir o numerador pelo denominador. O quociente será o numerador da fração mista e o resto será o numerador. Como o quociente da divisão 7 ÷ 3 é igual a 2 e o resto é 1, tem-se que a fração acima, escrita como fração mista, terá a seguinte notação:

Para fazer o caminho inverso, basta multiplicar o denominador pela parte inteira e somar o resultado ao numerador, mantendo-se o denominador. Como o produto 3 × 2 é igual a 6 e a soma 6 + 1 é igual a 7, obtém-se novamente a notação sob a forma de fração imprópria, como visto acima.

A comparação pela operação inversa

Toda a gente sabe como se comparam dois números: coloca-se um ao lado do outro, e escolhe-se um dos sinais, “maior” > ou “menor” <, que se aplica entre os dois números para transmitir o sentido à comparação.

O problema coloca-se, quando se pretende comparar valores, em vez de números. A diferença é que há certos valores que não são representados por números simples, mas sim por resultados de operações sobre dois ou mais números. Um exemplo simples é a comparação de números racionais, representados por fracções que são constituídas por um par de números inteiros.

Neste caso, temos duas opções:

Uma delas é completar as operações que são indicadas pelos valores que se querem comparar, e proceder à comparação final entre os números que foram calculados. Este é o procedimento mais corrente, mas não é o único, e apresenta o inconveniente de poder obrigar a fazer arredondamentos dum lado ou de outro, os quais podem até viciar o resultado final da comparação.

Se apenas se pretende o resultado da comparação, e não interessa obter o valor de cada um dos comparandos, dispomos de uma opção mais interessante que é a comparação pela operação inversa.

Chamei a esta opção por este nome, porque podemos considerar dois casos, que são a divisão e a subtracção, as quais se podem substituir pelas operações da multiplicação ou da soma, para efeitos de proceder à comparação final.

Assim, se o que pretendo é comparar as fracções 4/3 e 7/5, por exemplo, em vez de fazer as divisões posso comparar os produtos 4x5 =20 e 7x3 =21. como 20 <21, logo se

conclui que 4/3 será menor do que 7/5.

O mesmo procedimento se pode aplicar aos resultados de uma subtracção. Utilizando os mesmos números, posso comparar 4 – 3 com 7 – 5 substituindo as subtracções indicadas pelas somas 4+5=9 e 7+3=10. Como 9 <10, logo 4 – 3 será menor do que 7 – 5.

Em qualquer um dos casos, o raciocínio é o mesmo: coloca-se num dos lados, a

contribuição positiva de um dos lados, seguida da contribuição negativa do outro lado; aplica-se aos termos a operação inversa, e comparam-se os resultados. O resultado dessa comparação, é aplicado à comparação final que se pretende.

Nos exemplos acima, o 4 e o 7 contribuem positivamente para a comparação, ao passo que o 3 e o 5 contribuem negativamente para os resultados das comparações.

Problemas envolvendo números fracionários:

A maneira como resolvemos uma situação problema é sempre a mesma, o que as tornam diferentes é a estratégia de resolução, pois cada um deles envolve um conteúdo

diferente.

Levando em consideração os problemas matemáticos que envolvem números

fracionários, podemos utilizar como estratégia na sua resolução a construção de figuras

que representem os inteiros ou partes deles (fração).

Veja o exemplo de situação problema envolvendo números fracionários.

Uma piscina retangular ocupa 2/15 de uma área de lazer de 300 m2. A parte restante da área de lazer equivale a quantos metros quadrados?

Resolução:

Considere o retângulo abaixo como sendo a área de lazer completa.

Para representarmos 2/15 (área ocupada pela piscina) na região retangular que está representando a área de lazer, basta dividir esse retângulo em 15 partes iguais e considerar apenas duas como sendo ocupadas pela piscina.

Foi dito no enunciado que a área total é de 300m², portanto, a área que a piscina ocupa será de:

2 de 300 = 300:15 x2 = 40m2_{. Dessa forma, cada 1/15 do terreno corresponde a 20m².} 15

Observando a figura acima percebemos que a fração que irá corresponder à parte restante da área de lazer é 13/15, dessa forma, para descobrirmos quanto isso representa em metros quadrados basta multiplicar 20 por 13 que será igual a 260m2 _{de área}

restante.

Razões

A palavra razão vem do latim ratio e significa a divisão ou o quociente entre dois números A e B, denotada por:

A B Exemplo: A razão entre 12 e 3 é 4 porque:

12 3 = 4

e a razão entre 3 e 6 é 0,5 pois:

3 6= 0,5

A razão também pode ser expressa na forma de divisão entre duas grandezas de algum sistema de medidas. Por exemplo, para preparar uma bebida na forma de suco,

normalmente adicionamos A litros de suco concentrado com B litros de água. A relação entre a quantidade de litros de suco concentrado e de água é um número real expresso como uma fração ou razão (que não tem unidade), é a razão:

B

Exemplo: Tomemos a situação apresentada na tabela abaixo.

Líquido Situação1 Situação2 Situação3 Situação4

Suco puro 3 6 8 30

Água 8 16 32 80

Suco pronto 11 22 40 110

Na Situação1, para cada 3 litros de suco puro coloca-se 8 litros de água, perfazendo o total de 11 litros de suco pronto.

Na Situação2, para cada 6 litros de suco puro coloca-se 16 litros de água, perfazendo o total de 24 litros de suco pronto.

Exemplo: Em uma partida de basquete um jogador faz 20 arremessos e acerta 10.

Podemos avaliar o aproveitamento desse jogador, dividindo o número de arremessos que ele acertou pelo total de arremessos, o que significa que o jogador acertou 1 para cada dois arremessos, o que também pode ser pensado como o acerto de 0,5 para cada arremesso.

10 : 20 = 1 : 2 = 0,5

Proporções

Proporção é a igualdade entre duas razões. A proporção entre A/B e C/D é a igualdade:

A B=

C D

Notas históricas: A palavra proporção vem do latim proportione e significa uma

relação entre as partes de uma grandeza, ou seja, é uma igualdade entre duas razões. No século XV, o matemático árabe Al-Kassadi empregou o símbolo "..." para indicar as proporções e em 1.537, o italiano Niccola Fontana, conhecido por Tartaglia, escreveu uma proporção na forma

6:3::8:4.

Regiomontanus foi um dos matemáticos italianos que mais divulgou o emprego das

proporções durante o período do Renascimento.

Propriedade fundamental das proporções

A B=

C D

os números A e D são denominados extremos enquanto os números B e C são os meios e vale a propriedade: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é: A · D = B · C

Exemplo: A fração 3/4 está em proporção com 6/8, pois: 3

4= 6 8

Exercício: Determinar o valor de X para que a razão X/3 esteja em proporção com 4/6.

Solução: Deve-se montar a proporção da seguinte forma:

x 3=

4 6

Para obter X=2.

Razões e Proporções de Segmentos

Consideremos dois segmentos AB e CD, cujas medidas são dadas, respectivamente, por 2cm e 4cm.

A________B, C ______________ D

Comparando os segmentos AB e CD, estabelecemos uma razão entre as suas medidas.

m(AB) m(CD) =

2 4

Podemos também afirmar que AB está para CD na razão de 1 para 2 ou que CD está para AB na razão de 2 para 1.

Polígonos Semelhantes

Dois polígonos são semelhantes se têm ângulos correspondentes congruentes e os lados correspondentes proporcionais.

Exemplo: Sejam os triângulos ABC e RST.

Observamos que os ângulos correspondentes possuem as mesmas medidas, denotadas aqui por, A~R, B~S, C~T e os lados correspondentes são proporcionais.

AB/RS=5/(2,5)=2 BC/ST=4/2=2 AC/RT=3/(1,5)=2

Afirmamos que os polígonos (triângulos) ABC e RST são semelhantes e indicamos isto por :

ABC ~ DEF

Figuras Semelhantes

Duas figuras são semelhantes quando elas têm a mesma forma com medidas correspondentes congruentes, ou seja, quando uma é uma ampliação ou redução da outra. Isto significa que existe uma proporção constante entre elas sem ocorrência de deformação. A figura final e a figura original são chamadas figuras semelhantes. As figuras geométricas são semelhantes quando existe uma igualdade entre as razões dos segmentos que ocupam as correspondentes posições relativas nas figuras.

observamos que os ângulos correspondentes possuem a mesma medida, ou seja, A=R, B=S e C=T e os lados correspondentes são proporcionais.

AB/RS = BC/ST = CA/TR = 2

Assim, os triângulos ABC e DEF são semelhantes e indicamos por: ABC ~ DEF

Exemplo: O mapa do Brasil está em duas escalas diferentes.

Os dois mapas possuem a mesma forma mas têm tamanhos diferentes. O mapa verde é uma ampliação do mapa amarelo ou o mapa amarelo é uma redução do mapa verde.

Aplicações práticas das razões

Existem algumas razões especiais muito utilizadas em nosso cotidiano, entre as quais: velocidade média, escala, densidade demográfica e densidade de um corpo.

1. Velocidade Média: A "velocidade média", em geral, é uma grandeza obtida pela razão entre uma distância percorrida (expressa em quilômetros ou metros) e um tempo por ele gasto (expresso em horas, minutos ou segundos).

Exemplo: Suponhamos que um carro de Fórmula MAT percorreu 328Km em

2h. Qual foi a velocidade média do veículo nesse percurso?

A partir dos dados do problema, teremos: vmédia = 328 Km / 2h = 164 Km/h

o que significa que a velocidade média do veículo durante a corrida foi de 164 Km/h, ou seja, para cada hora percorrida o carro se deslocou 164 Km.

2. Escala: Uma das aplicações da razão entre duas grandezas se encontra na escala de redução ou escala de ampliação, conhecidas simplesmente como escala. Chamamos de escala de um desenho à razão entre o comprimento considerado no desenho e o comprimento real correspondente, ambos medidos na mesma unidade.

escala = comprimento no desenho / comprimento real

Usamos escala quando queremos representar um esboço gráfico de objetos como móveis, plantas de uma casa ou de uma cidade, fachadas de prédios, mapas, maquetes, etc.

Exemplo: Observemos as figuras dos barcos:

Base menor barco azul/Base menor barco vermelho = 2/4 Base maior barco azul/Base maior barco vermelho = 4/8 Altura do barco azul/Altura do barco vermelho = 3/6

O barco vermelho é uma ampliação do barco azul, pois as dimensões do barco vermelho são 2 vezes maiores do que as dimensões do barco azul, ou seja, os lados correspondentes foram reduzidos à metade na mesma proporção. 3. Densidade Demográfica: O cálculo da densidade demográfica, também

chamada de população relativa de uma região é considerada uma aplicação de razão entre duas grandezas. Ela expressa a razão entre o numero de habitantes e a área ocupada em uma certa região.

Exemplo: Em um jogo de vôlei há 6 jogadores para cada time, o que significa 6

jogadores em cada lado da quadra. Se, por algum motivo, ocorre a expulsão de 1 jogador de um time, sendo que não pode haver substituição, observa-se que sobra mais espaço vazio para ser ocupado pelo time que tem um jogador

expulso. Neste caso, afirmamos que a densidade demográfica é menor na quadra que tem um jogador expulso e maior na outra quadra.

Exemplo: Um estado brasileiro ocupa a área de 200.000 Km². De acordo com o

censo realizado, o estado tem uma população aproximada de 12.000.000 habitantes. Assim:

dens.demográfica=12.000.000 habitantes/200.000 Km² densidade demográfica = 60 habitantes/ Km2

Isto significa que para cada 1 Km2_{existem aproximadamente 60 habitantes.} 4. Densidade de um Corpo: Densidade de um corpo é mais uma aplicação de

razão entre duas grandezas. Assim, a densidade (volumétrica) de um corpo é a razão entre a massa desse corpo, medida em Kg ou gramas e o seu volume, medido em m³, dm³ ou qualquer outra unidade de volume.

Exemplo: Se uma estátua de bronze possui uma densidade volumétrica de 8,75

kg/dm³ então para cada dm³ há uma massa de 8,75 kg.

Curiosidade:Devido à existência de densidades diferentes, observamos que ao

colocarmos corpos diferentes em um recipiente com água, alguns afundam e outros flutuam.

Uma bolinha de isopor flutuará na água enquanto que uma de chumbo, de

mesmo volume afundará. Isso ocorre porque a densidade do chumbo é maior que a densidade do isopor. Algumas substâncias e suas densidades estão na tabela abaixo:

madeira 0,5 gasolina 0,7 álcool 0,8 alumínio 2,7 ferro 7,8 mercúrio 13,6

5. Pi: Uma razão muito famosa: Os egípcios trabalhavam muito com certas razões e descobriram a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro. Este é um fato fundamental pois esta razão é a mesma para toda circunferência. O nome desta razão é Pi e seu valor é aproximadamente: Pi = 3,1415926535

Exemplo: Se C é o comprimento da circunferência e D a medida do diâmetro da

circunferência, temos uma razão notável:

C / D = Pi = 3,14159265358979323846264338327950... significando que

C = Pi . D

Exemplo: Se a medida do raio de uma circunferência tem 1,5cm então o

perímetro da circunferência é igual a 9,43cm.

PORCENTAGEM:

É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:

• A gasolina teve um aumento de 15%

Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00

• O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias. Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00

• Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques.

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques.

Razão centesimal

Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão

Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:

As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas

percentuais.

Considere o seguinte problema:

João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu?

Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos.

Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada. Portanto,

Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a

um determinado valor. Exemplos: • Calcular 10% de 300. • Calcular 25% de 200kg.

Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.

EXERCÍCIOS:

1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?

Portanto o jogador fez 6 gols de falta.

2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida?

Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou em relação a esses R$250,00, resulte nos R$300,00.

Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%.

Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO.

Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo:

Acréscimo ou Lucro _{Multiplicação}Fator de

10% 1,10

15% 1,15

20% 1,20

47% 1,47

67% 1,67

Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00 No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:

Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal) Veja a tabela abaixo:

10% 0,90

25% 0,75

34% 0,66

60% 0,40

90% 0,10

Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00

Números Proporcionais:

Os números proporcionais são divididos em diretamente e inversamente proporcionais, e são utilizados em situações envolvendo regra de sociedade, abordando as divisões de lucros, prejuízos, sociedade em investimentos entre outras situações de repartição de capitais.

Números diretamente proporcionais

Dados os números a, b, c e d, e, f, dizemos que eles são diretamente proporcionais quando a igualdade entre as respectivas razões possuem o mesmo valor. Dessa forma, concluímos que:

.

O resultado das divisões é denominado coeficiente de proporcionalidade. E no caso das proporções, também é válida a seguinte propriedade:

. Exemplo 1

Vamos verificar se os números 2, 5, 8 e 10 são diretamente proporcionais aos números 6, 15, 24 e 30 respectivamente. Para isso, vamos aplicar a regra da igualdade entre as

razões.

Após simplificar as frações à forma irredutível, verificamos que a igualdade entre as razões foi comprovada. Dessa forma, dizemos que os números nessa ordem são proporcionais e o coeficiente de proporcionalidade é igual a 1/3.

Exemplo 2

Vamos determinar os valores de x e y, considerando que os números 6, 8, 16 são diretamente proporcionais aos números 30, x, y.

Os valores de x e y são, respectivamente, 40 e 80.

Números inversamente proporcionais

Dados os números a, b, c e d, e, f, dizemos que eles são inversamente proporcionais quando um número está para o inverso do outro, prevalecendo a igualdade entre as respectivas razões. Dessa forma, concluímos que:

Exemplo 3

respectivamente.

Para desenvolver as frações acima, devemos conservar o numerador e multiplicar pelo inverso do denominador.

Verificada a igualdade, dizemos que os números são inversamente proporcionais.

Exemplo 4

Vamos verificar se os números 2, 4, 8 são inversamente proporcionais aos números 20, 10, 5. Para que eles sejam inversamente proporcionais, devemos aplicar a regra do exemplo 3.

Os números são inversamente proporcionais, pois possuem o mesmo coeficiente de proporcionalidade.

Regra de três simples:

Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

Passos utilizados numa regra de três simples:

1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.

2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

3º) Montar a proporção e resolver a equação. Exemplos:

1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2_{, uma lancha} com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2_{, qual será a energia produzida?} Solução: montando a tabela:

Área (m2_{) Energia (Wh)}

1,2 400

1,5 x

Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).

Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.

2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo

percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h? Solução: montando a tabela:

Velocidade

(Km/h) Tempo (h)

480 x

Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).

Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a

proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.

3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?

Solução: montando a tabela:

Camisetas Preço (R$)

3 120

5 x

Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a

proporção e resolvendo a equação temos:

4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?

Solução: montando a tabela:

Horas por dia Prazo para término (dias)

8 20

5 x

Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta.

Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção e

resolvendo a equação temos:

Regra de três composta:

A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais.

Exemplos:

1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 _{de areia. Em 5 horas,} quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3_?

Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:

Horas Caminhões Volume

8 20 160

5 x 125

Identificação dos tipos de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).

A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. Observe que:

Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o

número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta

para cima na 1ª coluna).

Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de

caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na

3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, serão necessários 25 caminhões.

2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?

Solução: montando a tabela:

Homens Carrinhos Dias

8 20 5

4 x 16

Observe que:

Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta.

Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).

Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta.

Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões.