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ISPGaya - Instituto Superior Politécnico Gaya,
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Politécnica
1ª PESAGEM
Colocar o grupo 1-2-3-4 no prato esquerdo e o grupo 5-6-7-8 no prato direito
2ª PESAGEM 3ª PESAGEM CONCLUSÃO FINAL
HIPÓTESE 1
1-2-3-4 = 5-6-7-8
C
Coonncclluussããoo ee pprroocceeddiimmeennttoo:: A moeda falsa, se existir,
encontra-se no grupo 9-10-11-12.
São boas as moedas 1-2-3-4-5-6-7-8 que passarão a ser genericamente
designadas por 0.
Para a pesagem seguinte colocar então o grupo 0-9 no prato esquerdo e o grupo 10-11 no prato direito.
HIPÓTESE 1.1 0-9 = 10-11 C
Coonncclluussããoo ee pprroocceeddiimmeennttoo:: A moeda falsa, se existir, é a 12.
Comparar 0 com 12 na pesagem seguinte.
HIPÓTESE 1.2 0-9 < 10-11 C
Coonncclluussããoo ee pprroocceeddiimmeennttoo:: A moeda falsa existe no grupo 9-10-11.
Se for 9 é mais leve. Se for 10 ou 11 é mais pesada
HIPÓTESE 1.3 0-9 > 10-11 C
Coonncclluussããoo ee pprroocceeddiimmeennttoo:: A moeda falsa existe no grupo 9-10-11. Se for 9 é mais pesada. Se for 10 ou 11
é mais leve.
HIPÓTESE 1.1.1
0 = 12 moeda falsa.Não existe HIPÓTESE 1.1.2
0 < 12 A moeda falsa é a 12 e amais pesada . HIPÓTESE 1.1.3
0 > 12 A moeda falsa é a 12 e amais leve. HIPÓTESE 1.2.1
0-0 = 9-10 A moeda falsa é a 11 e amais pesada. HIPÓTESE 1.2.2
0-0 < 9-10 A moeda falsa é a 10 e amais pesada. HIPÓTESE 1.2.3
0-0 > 9-10 A moeda falsa é a 9 e amais leve. HIPÓTESE 1.3.1
0-0 = 9-10 A moeda falsa é a 11 e amais leve. HIPÓTESE 1.3.2
0-0 < 9-10 A moeda falsa é a 9 e amais pesada HIPÓTESE 1.3.3
0-0 > 9-10 A moeda falsa é a 10 e amais leve.
HIPÓTESE 2
1-2-3-4 < 5-6-7-8 C
Coonncclluussããoo ee pprroocceeddiimmeennttoo:: A moeda falsa existe e está no grupo
1-2-3-4-5-6-7-8.
Se existir no grupo 1-2-3-4 é mais leve que as boas. Se existir no grupo 5-6-7-8 é mais pesada que as boas.
São boas as moedas 9-10-11-12 que se designarão, nesta hipótese,
genericamente por 0. Para a pesagem seguinte, colocar o grupo 1-0-0-0 no prato esquerdo e o
grupo 2-3-4-5 no prato direito.
HIPÓTESE 2.1 1-0-0-0 = 2-3-4-5 C
Coonncclluussããoo ee pprroocceeddiimmeennttoo:: A moeda falsa existe no grupo 6-7-8 e
é mais pesada. Comparar 6 com 7 na pesagem seguinte
HIPÓTESE 2.2 1-0-0-0 < 2-3-4-5 C
Coonncclluussããoo ee pprroocceeddiimmeennttoo:: A moeda falsa existe no grupo 1-5. Se
for 1 é mais leve. Se for 5 é mais pesada. Cp. 0-1.
HIPÓTESE 2.3 1-0-0-0 > 2-3-4-5 C
Coonncclluussããoo ee pprroocceeddiimmeennttoo:: A moeda falsa existe no grupo 2-3-4 e
é mais pesada. Comparar 2 com 3 na pesagem seguinte.
HIPÓTESE 2.1.1
6 = 7 A moeda falsa é a 8 e amais pesada HIPÓTESE 2.1.2
6 < 7 A moeda falsa é a 7 e amais pesada HIPÓTESE 2.1.3
6 > 7 A moeda falsa é a 6 e amais pesada HIPÓTESE 2.2.1
0 = 1 A moeda falsa é a 5 e amais pesada HIPÓTESE 2.2.2
0 < 1 Caso impossívelde se dar. HIPÓTESE 2.2.3
0 > 1 A moeda falsa é a 1 e amais leve. HIPÓTESE 2.3.1
2 = 3 A moeda falsa é a 4 e amais leve. HIPÓTESE 2.3.2
2 < 3 A moeda falsa é a 2 e amais leve. HIPÓTESE 2.3.3
2 > 3 A moeda falsa é a 3 e é amais leve.
HIPÓTESE 3
1-2-3-4 > 5-6-7-8 C
Coonncclluussããoo ee pprroocceeddiimmeennttoo:: A moeda falsa existe e está no grupo
1-2-3-4-5-6-7-8. Se existir no grupo 1-2-3-4 é mais pesada que as boas. Se existir no grupo
5-6-7-8 é mais leve que as boas. São boas as moedas 9-10-11-12 que se designarão, nesta hipótese,
genericamente por 0. Para a pesagem seguinte, colocar o grupo 1-0-0-0 no prato esquerdo e o
grupo 2-3-4-5 no prato direito
HIPÓTESE 3.1 1-0-0-0 = 2-3-4-5 C
Coonncclluussããoo ee pprroocceeddiimmeennttoo:: A moeda falsa existe no grupo 6-7-8 e
é mais leve. Comparar 6 com 7 na pesagem seguinte.
HIPÓTESE 3.2 1-0-0-0 < 2-3-4-5 C
Coonncclluussããoo ee pprroocceeddiimmeennttoo:: A moeda falsa existe no grupo 2-3-4 e
é mais pesada. Comparar 2 com 3 na pesagem seguinte.
HIPÓTESE 3.3 1-0-0-0 > 2-3-4-5 C
Coonncclluussããoo ee pprroocceeddiimmeennttoo:: A moeda falsa existe no grupo 1-5. Se for 1 é mais pesada. Comparar 0 com 1
na pesagem seguinte.
HIPÓTESE 3.1.1
6 = 7 A moeda falsa é a 8 e amais pesada. HIPÓTESE 3.1.2
6 < 7 A moeda falsa é a 6 e é amais leve. HIPÓTESE 3.1.3
6 > 7 A moeda falsa é a 7 e é amais leve. HIPÓTESE 3.2.1
2 = 3 A moeda falsa é a 4 e amais pesada. HIPÓTESE 3.2.2
2 < 3 A moeda falsa é a 3 e amais pesada. HIPÓTESE 3.2.3
2 > 3 A moeda falsa é a 2 e amais pesada. HIPÓTESE 3.3.1
0 = 1 A moeda falsa é a 5 e é amais leve. HIPÓTESE 3.3.2
0 < 1 A moeda falsa é a 1 e amais pesada. HIPÓTESE 3.3.3
No parágrafo 249, do qual, pela sua extensão, não constará aqui qualquer tradução, Babbage passou à parte prática
"procurando demonstrar que a execução de uma máquina capaz de produzir a série de números do quadro precedente não está tão aquém das nossas possibilidades como aquilo que à primeira vista pode parecer."
Essa máquina é então concebida como um conjunto de três instrumentos, A, B e C, inspirados em relógios, cada um munido com um mostrador com mil divisões, um ponteiro registador e uma mola. É considerada como situação inicial aquela em que o ponteiro registador de A está colocado na divisão 1, o ponteiro registador de B está colocado na divisão 3 e o ponteiro registador de C está colocado na divisão 2. Então o funcionamento da máquina é concebido por forma a que, ao iniciar-se, o número 3 registado em B provoque três actuações na mola que actua de B para A, fazendo com que, em A, o ponteiro registador mude da divisão 1 para a divisão 1+3=4. Com o prosseguimento do funcionamento dão-se duas mudanças, em C, de uma divisão para a outra, que fazem actuar uma mola sobre B que provoca aí a mudança da posição do seu ponteiro registador da divisão 3 para a divisão 3+2=5, o que provoca em A a mudança do seu ponteiro registador da divisão 4 para a divisão 4+5=9. E assim sucessivamente.
E, na parte final do §249, depreende-se, de certo modo, a ideia que levou Babbage à construção da máquina de calcular que o tornou célebre: "Se agora observarmos e
tomarmos nota dos números indicados pelo ponteiro do relógio A, achar-se-á que representam a sequência dos quadrados dos números naturais. Semelhante série está limitada pela escolha dos três números 1, 3, 2. No entanto ela basta para dar uma ideia para uma máquina de calcular. Deve acrescentar-se que o cálculo desta série constitui o primeiro modelo que tratamos agora de aperfeiçoar e ampliar."
Problema 5
Uma pessoa diz a outra: "Eu tenho o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a idade que tu tens e quando tiveres a idade que eu tenho a soma das nossas idades será 63". Qual a idade de ambas?
2. EXTRACTO DE UM LIVRO DE CHARLES BABBAGE. Pela curiosidade de que se reveste, apresenta-se aqui a seguinte tradução dos parágrafos 247 e 248 do livro
Economy of Machinery and Manufactury (1832) de Charles
Babbage (1792-1871):
«247. Disse-se anteriormente que era possível efectuar toda a espécie de cálculo numérico com uma máquina. Esta afirmação pode parecer um tanto atrevida para aqueles meus leitores que não tenham conhecimentos matemáticos muito profundos. E, como, por outro lado, a invenção de uma tal máquina pertence a outro dos nossos temas, procurarei dar em poucas linhas uma ideia concisa do modo como se pode obter este resultado e assim levantar em parte o véu que cobre esta espécie de mistério. 248. Quase todas as tabelas de números que seguem qualquer lei podem, qualquer que seja a sua complexidade, apresentar-se na forma de uma escala, mais ou menos extensa, obtida a partir de uma simples combinação de adições e de subtracções entre determinados números que constam na correspondente tabela. Este princípio geral, ou tese, só pode demonstrar-se àqueles que sabem
matemática. Todavia, aqueles leitores que não estejam familiarizados com esta ciência compreenderão que a existência deste princípio não é impossível, se quiserem considerar o quadro adiante representado, que é a essência de uma tabela muito conhecida, que foi impressa e reimpressa muitas vezes, em muitos países, e que se chama tabela dos números quadrados.
Todo o número da coluna A pode obter-se multiplicando por si mesmo o número que exprime a sua distância até ao início desta coluna. Assim, por exemplo, o número 25 desta coluna é o 5.º a contar do seu início porque, multiplicando 5 por 5 obtém-se 25. Subtraindo, em seguida, todos os termos consecutivos desta coluna obtém-se os termos da coluna B, em que subtracções sucessivas conduzem, por sua vez, como resultado único, ao número 2 da coluna C, chamada das segundas diferenças. Atendendo ao que se acabou de mostrar, é evidente que, inversamente, se forem dados os primeiros termos das colunas A, B, C, podemos conseguir a tabela, e até continuá-la, porque se pode formar a série das primeiras diferenças adicionando sucessivamente a diferença constante 2 ao número 3, obtendo-se a série de números ímpares 3, 5, 7, etc, que adicionados sucessivamente ao número 1, o primeiro da coluna A, nos permitem formar todos os quadrados.
A B C
Números Quadrados 1.ª diferença 2.ª diferença
1 1 3 2 4 2 5 3 9 2 7 4 16 2 9 5 25 2 11 6 36 2 13 7 49
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Politécnica
Divulgação
EVENTOS REALIZADOS PELO ISPGAYA Aprender Línguas dos 9 aos 99
Semana aberta do Laboratório de Línguas do ISPGAYA - 24-28 de Setembro
Esta foi uma iniciativa que decorreu no âmbito do Ano Europeu das Línguas, com o apoio da Comissão Europeia. Teve como objectivos gerais promover e incentivar a aprendizagem de línguas em geral, com recurso às novas tecnologias. O público muito variado que visitou a Laboratório teve ao seu dispor:
- o equipamento existente, para experimentar exercícios variados, percorrendo as quatro capacidades, ouvir, ler, falar e escrever;
- vídeos, jogos didácticos e exposição de materiais diversos como livros, revistas, prospectos informativos e posters, sobre aspectos culturais e sobre cursos de línguas no país de origem; - uma Feira do Livro Estrangeiro.
O dia 26 de Setembro teve um destaque especial com ofertas a todos os visitantes. Cada visitante habilitou-se a um prémio mediante a escolha de uma rifa. Dos prémios fizeram parte livros, t-shirts, bonés e quatro cursos de conversação na língua inglesa e francesa.
Estão abertas candidaturas para as seguintes Acções de Formação de Professores financiadas pelo Fundo Social Europeu e pelo Estado Português.
As inscrições estão limitadas ao número máximo de 20 formandos por acção.