2 2 2 2
4 )
3 s (
4 8
19 4
) 3 s (
3 9 s
2 (s) 3
F
) t ( H ) t 4 ( sen . 8 e ) 19 t 4 ( cos . e 9 )
t 2 ( ) 3 t (
f 3t 3t
3) PROCEDIMENTO A SER UTILIZADO COM POLOS MÚLTIPLOS:
LEMBRANDO QUE:
A) n 1 f(t) H(t) t.n
s
! ) n
s ( :
SE
F
E ainda:B)
s
f(t) t .e .H(t)! ) n
s ( :
SE
F
n1 n t
a) -
s 2
f(t) 2t. .e .H(t)! 3
! 3 12 1 2
s
(s) 12 3 2t
4
F
4
b) -
s 3
5s (s) 15
F
; (TEMOS A NECESSIDADE DE ALGUNS ARTIFICIOS!)
5 5 4 5
5 s 3
15 3 3
s
3 15 s
3 s
3 3 15 s
3 s
s (s) 15
F
s 3!3
4 154! 3
s 4!3
5 25
s 3!3
4 158
s 4!3
5! 3 (s) 15
F
Portanto: t e H(t)
8 e 15
2t ) 5
t (
f 3 3t 4 3t
USJT-FTCE –ANTRACIR – ENE3AN-MCA ; ENE3AN-MCB ; ELE3AN-MCA – PROF. MASSIMO ARGENTO - EDIÇÃO 20 17
CONCEITO AUXILIAR: MÉTODO DE EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS (MÉTODO DE HEAVISIDE - TEORIA DOS RESÍDUOS)
Est e método é particularmente recomendado por ocasião da existência de raízes reais simples no denominador de F(s). Com a devida cautela pode ser aplicado em alguns casos de raízes múltiplas. Poderia eventualmente ser estendi do também para raízes complexas, mas verificamos que neste caso o método se torna extremamente trabalhoso. Imaginemos então uma F(s) com numerador e denominador sendo polinômios em “s”, e ainda que possua um denominador fatorável da seguinte forma:
) de F(s). Nestas condições podemos entender F(s) como sendo:
n anulam com exceção de B e seus fatores, e assim sucessivamente. Nestas condições:
a) se: s a teremos:
portanto podemos entender que:
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procedendo de maneira análoga concluiremos que:
EXEMPLOS DE UTILIZAÇÃO:
a) s 5
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DIRETRIZES SUGERIDAS PARA A OBTENÇÃO DAS ANTITRANSFORMADAS MAIS FREQUENTES EM CIRCUITOS:
1ª) - Qualquer que seja a F(s) analisada, deve-se inicialmente proceder à verifi cação dos graus polinomiais do seu numerador e denominador. Se esses graus forem iguais, este fato implicará infalivelmente na existência de uma função de Dirac: (t) em f(t). Nestas condições, antes de qualquer outro procedimento, convém evidenciarmos a existência do
“Dirac”, forçando o numerador e o denominador de F(s) a se tornarem parcialmente (evidenciando a presença do “Dirac”) e mais uma fração residual com grau do denominador maior do que o grau do numerador na qual aplicaremos as técnicas anteriormente vistas.
2) Uma vez que a condição anterior for verificada, analisar as raí zes do denominador (também chamadas de polos) de F(s), ou da fração residual de F(s)
TEREMOS TRES POSSIBILIDADES:
1A) O denomi nador de F(s) possui polos reais e simples: Obs.: Lembrar que:
)
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Uti li zar então diretamente o método de expansão de Heaviside em frações parciais, anteriormente vist o obtendo a antitransformada como sendo uma soma de parcelas do tipo:
PARA APLICAÇÃO DESTE MÉTODO INSISTIMOS QUE:
O grau do denominador de F(s) deve ser maior do que o grau do numerador;
As raízes do denominador de F(s) (ou Polos) devem ser reais;
O coeficiente do termo de Maior grau do denominador de F(s) deve ser unitário EXEMPLOS:
1) s 2
Portanto:
2
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“Trabalhemos” agora sobre:
reais raizes
2
4 3
3 2
s s
s
;
Os polos da fração são: -1 e -3; portanto: s2 4s 3 (s 1).(s 3) portanto:
3 s
B 1
s A )
3 s ).(
1 s (
3 s 2 3
s 4 s
3 s 2
2
; com:
2 5 )
3 1 (
3 ) 1 ( 2 )
3 s ).(
1 s (
3 s ) 2
1 s (
1 s
A
2 9 )
1 3 (
3 ) 3 ( 2 )
3 s ).(
1 s (
3 s ) 2
3 s ( B
3 s
Logo:
3 s
4 / 45 1
s 4 / 25 2
5 3
s 2 / 9 1 s
2 / 5 2
5 2
) 5 s
F(
portanto: e H(t)
4 e 25
4 ) 45 t 2 ( ) 5 t (
f 3t t
2A) O denominador de F(s) possui pólos complexos: Neste caso a antitransformada de F(s), terá infalivelment e senos e/ou cossenos. Obs.: Lembrar que:
A ) f(t) H(t).cos( t)
s : s
SE
F(s)
2 2
B ) f(t) H(t).sen( t)
: s
SE
F(s)
2 2
C ) f(t) H(t)e .cos( t)
) s ( : s
SE
F(s)
2 2 t
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Uma vez verificados os polos complexos, fazer então com que a F(s) recaia em um dos casos acima, ou combinações dos mesmos
PARA APLICAÇÃO DESTE MÉTODO INSISTIMOS QUE:
O grau do denominador de F(s) deve ser maior do que o grau do numerador;
As raízes do denominador de F(s) (ou Polos) devem ser complexos;
O coeficiente do termo de Maior grau do denominador de F(s) deve ser unitário
EXEMPLOS:
a) s 6s 13
Portanto teremos:
2
Portanto teremos:
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3A) O denominador de F(s) possui polos múltiplos:
LEMBRANDO QUE:
A) n 1 f(t) H(t).tn s
! ) n
s ( :
SE
F
E ainda:B)
s
f(t) t .e .H(t)! ) n
s ( :
SE
F
n1 n t
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO
a)
32
1 s
2 s 4 F(s) s
; utilizemos de artifícios para fazer a expressão dada recair
nas conhecidas ; temos:
32 3
2
1 s
1 s 2 ) 1 s ( 1
s
2 s 4 1 s 2 1 s 2 F(s) s
2 3 32 3 3
1 s
2 / 1 2 s 1
s 1 1
s 1 s 2 1
s ) 1 s ( 1
s
1 s 2 ) 1 s F(s) (
3 3
3 2 / 1
1 s
1 1
s 1 2 s
1 s
1 1
s
2 / 1 1 1 2 s
1 s F(s) 1
2
s 1
3! 2
! 2
1 1
s
! 1
! 1
2 1
s F(s) 1
Logo: t e H(t)
2 e 1
t 2 e
) t (
f t t 2 t
FORMA PADRÃO DE EXPANSÃO PARA PÓLOS MULTIPLOS (NÃO UTILIZANDO DE ARTIFICIOS)
Tendo-se: n
) s (
) s ( P
, Desde que o grau polinomial de P(s) seja menor do que n, poderemos
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expandir n
)
PARA APLICAÇÃO DESTE MÉTODO INSISTIMOS QUE:
O grau do denominador de F(s) deve ser maior do que o grau do numerador;
As raízes do denominador de F(s) (ou Polos) devem ser reais e múltiplas;
O coeficiente do termo de Maior grau do denominador de F(s) deve ser unitário
Os coeficientes de expansão “A” ,”B”, “C”, ...”K” poderão ser determinados por
identidade polinomial, se necessário, em conjunto com o auxilio da formula de Heaviside ;
Sej a por exemplo o mesmo exercício anterior
3 2 3USJT-FTCE –ANTRACIR – ENE3AN-MCA ; ENE3AN-MCB ; ELE3AN-MCA – PROF. MASSIMO ARGENTO - EDIÇÃO 20 17
UTILIZEMOS DIRETAMENTE O MÉTODO DE EXPANSÃO PARA POLOS MÚLTIPLOS:
4
2
3
42 3
2 s
D 2
s C 2
s B 2
s A 2
s
5 s 2 s 3 s ) 2 s F(
m.m.c. da soma de frações:
s 2
4 ; impondo que: 2 B 2 C 2 D 2 3 2 5
A
.s 3 .s 2 .s s3 s2 s ; teremos:
s.
s s 2s 5. s s
. 3 2
6 A B 12 A 4 B C 8 A 4 B 2 C D 2
33
2A
;Que nos permite montar o seguinte sistema de equações:
5 D C 2 B 4 A 8
2 C B 4 A 12
3 B A 6
2
A Que uma vez resolvido fornece:
A = 2 ; B = -9 C = 14 ; D = -3
Donde:
4
2
3
42 3
2 s
3 2
s 14 2
s 9 2
s 2 2
s
5 s 2 s 3 s ) 2 s F(
Ou ainda:
2
3
s 2
4! 3
! 3
3 2
! s 2 14 2
! s 1
9 2 s ) 2 s
(
1 ! 2 !
F
; portanto:
f(t) .e 2t ..te 2t t.2.e 2t t3.e 2t H(t)
2
7 1 9
2
COMBINAÇÕES QUE DEVEM SER ANALISADAS::
a) Miscelânea de pólos reais simples com pólos complexos:
Uti li zar de identidade polinomi al conjuntamente com a teoria de Heaviside de expansão em frações parciais; Exemplos:
1) 6 25
C B 1
A )
25 6
( ) 1 (
71 ) 12
s
( s s
s s s
s s
F s 2 2
USJT-FTCE –ANTRACIR – ENE3AN-MCA ; ENE3AN-MCB ; ELE3AN-MCA – PROF. MASSIMO ARGENTO - EDIÇÃO 20 17 Que nos permite o seguinte sistema de equações:
PROCURARMOS AS SUAS RAIZES
2
2USJT-FTCE –ANTRACIR – ENE3AN-MCA ; ENE3AN-MCB ; ELE3AN-MCA – PROF. MASSIMO ARGENTO - EDIÇÃO 20 17
Impondo que a soma das duas parcelas reconstitua a fração original:
s s 1
s 1
. Bs C
s 1A Que uma vez resolvido fornece:
A = 2 ; B = -1 ; C = -1
Podemos pois entender a F(s) proposta como sendo:
1
parcela que possui raizes complexas pode ser “trabalhada” da seguinte forma:
b) Miscelânea de pólos reais simples com pólos reais múltiplos:
Uti li zar os métodos de Heaviside de expansão em frações parciais para polos reais e múltiplos, e em seguida utilizar de identidade polinomial. Exemplo:
2
2 ; executando os produtos e fatorando teremos:
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também note que não é possível determinar C pelo mesmo processo; de fato:
) ??
Concluindo-se que:
f(t) 2.e t 3.e 2t e 3t 2..te 3t H(t)