EENNEE33AANN--MMCCBB EELLEE33AANN--MMCCAA

(1)

A A N N T T R R A A C C I I R R

( ( A A n n á á l l i i s s e e d d e e T T r r a a n n s s i i t t ó ó r r i i o o s s E E m m C C i i r r c c u u i i t t o o s s ) )

E E N N E E 3 3 A A N N - - M M C C A A

E E N N E E 3 3 A A N N - - M M C C B B E E L L E E 3 3 A A N N - - M M C C A A

P P R R O O F F : : M M A A S S S S I I M M O O A A R R G G E E N N T T O O

(2)

USJT-FTCE –ANTRACIR – ENE3AN-MCA ; ENE3AN-MCB ; ELE3AN-MCA – PROF. MASSIMO ARGENTO - EDIÇÃO 20 17

CAP 1 - PARÂMETROS DE REDES:

Definiremos aqui as relações existentes entre a tensão e a corrente nos parâmetros de rede mais utilizados na teoria de circuitos, considerando estes elementos em principio como ideais, e convencionando-os como receptores; são eles: O Resistor ideal, o Indutor ideal e o Capacitor ideal. Teremos então:

a) RESISTOR IDEAL:

Um Resistor ideal obedece à Lei de Ohm :

R

) t ( ) v t ( i ) t ( i . R ) t (

v   

b) INDUTOR IDEAL:

Um Indutor ideal obedece à Lei de Newmann - Faraday :













t

t d ) t ( L v ) 1 t ( t i

d ) t ( i .d L ) t ( v

c) CAPACITOR IDEAL:

Um Capacitor ideal obedece à Lei de Faraday :













t t d ) t ( C i ) 1 t ( t v

d ) t ( v .d C ) t ( i

Note a Dualidade existente entre o Indutor e o Capacitor ; notemos que certas mudanças ordenadas em elementos, ou leis conhecidas conduzem a outros elementos ou leis igualmente válidas. Os termos que se correspondem são chamados de duais. A dualidade é uma regra bilateral como abaixo indicada:

Tensão  Corrente Série  Paralelo Resistência  Condutância Nó  Malha

Indutância  Capacitância Circuito Aberto  Curto-circuito i(t)

v(t) R

v(t)

i(t) L

v(t)

i(t) C

(3)

Exemplo:







 t

t d ) t ( L v ) 1 t (

i_L _L ; por dualidade :







 t

t d ) t ( C i ) 1 t (

v_C _C

EXERCICIOS - CAP 1 PARÂMETROS DE REDES

1) - A um capacitor de 1000 pF é aplicada a tensão indicada pelo gráfico abaixo. Nestas condições determine o valor da corrente através do capacitor nos instantes: 0,2s ; 1,5s ; 2,5s e 2,75s.

SOLUÇÃO:

Caracterizemos inicialmente a função v(t) : Lembrando que a equação de uma reta é fornecida por y = a.t + b , onde a é determinado pela tangente do ângulo formado pela reta com o eixo horizontal , e b é determinado a partir de um ponto qualquer conhecido no gráfico; teremos:

a) t b ; se: t 0 v(t) 0 b o v(t) 10 t

10 . 5 , 0 ) 5 t ( v s 5 , 0 t

0     _₆          ⁷ 

b) 0,5s  t  2,5s  v(t)  5V

c)2,5s t  3,0s v(t) 10⁷t.  b ; se: t  3,0.10^⁶v(t) 0b30v(t) 10⁷t30

Lembrando que ic(t) é dado por :

dt ) t ( C dv ) t (

i   ; com C  10^⁹F iremos ter para a corrente do capacitor:

a) 0  t  0,5s  i_C(t)  10^⁹ (10⁷)  10^²A  10mA b) 0,5s  t  2,5s  i_C(t)  10^⁹ (0)  0A

c)2,5s  t  3,0s  i_C(t)  10^⁹ (10⁷)   10^²A  10mA v(t)

i(t)

C = 1000pF

t( s) 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 v(t) (V)

5

(4)

Nestas Condições podemos já estabelecer o gráfico da corrente ic(t):

Em termos de respostas ao enunciado iremos ter:

i (t = 0,2s) = 10mA ; i (t = 1,5s) = 0A ; i (t = 2,5s) = INDETERMINADA i (t = 2,75s) = -10mA

2)- A um Capacitor de 1000pF aplica-se a corrente dada pelo gráfico abaixo. Nestas condições elabore o gráfico da tensão sobre o capacitor, p/ t  0, considerando as seguintes condições iniciais: a)- tensão inicial V0 = 0 (Condições iniciais quiescentes) b)- tensão inicial V0 = 50V

SOLUÇÃO:

Elaboraremos a solução do exercício considerando em principio o capacitor em condições iniciais quiescentes, e a partir dos resultados obtidos estenderemos o raciocínio para as condições iniciais não quiescentes.

Em qualquer circunstância:







t

- c

c(t) = i (t)dt

v

C

1

; com C = 10^{- 9} F 

10

⁹

C

1



Resolução do problema considerando inicialmente o item a) (V0 = 0) 1) 0  t  1s:









   





t

0 0

- c t

- c

c 0,3dt

C dt 1

C N dt 1

(t) C i

dt 1 (t) C i

= 1 (t) v

.) Q . I . C ( 0

-



 



 



t( s) 0,5 1,0 1,5 2,0

2,5 3,0

3,5 i (t) (mA)_C

10

-10

i(t)

C = 1000pF

t( s)

1,0 2,0

3,0 i (t) (A)_C

0,3

-0,1

(5)

OBS.: Para a resolução do item b),consideraríamos o resultado da primeira integral como sendo de 50V; prosseguindo com o problema:































V 300 )

s 1 ( v s

1 t

0 ) 0 ( v 0

t t

) t ( v

c c 8

t

0

c

10

9

0 , 3 t 3 10

2) 1s  t  3s:















   



 

t

s 1 9 s

1

s 1

c s

1

- c t

- c

c i (t)dt 10 ( 0,1)dt

C dt 1

(t) C i

dt 1 (t) C i

= 1 (t) v

V 0

300     



 















































 

_ t 3 s v (3 s ) 100V

V 300 ) s 1 ( v s 1 t 400 t 10 )

10 t 10 300 t

10 300 ) t ( v

c c 8

6 8

t

s 1

c 8

(

3) 3s < t :













   

 

t

s 3 s

3

s 3

c s

3

- c t

- c

c (0)dt

C (t)dt 1

C i t 1

d ) (t C i

dt 1 (t) C i

= 1 (t) v

V 0

100     



 



Donde: vc(t) = 100V ; De posse dos resultados obtidos mostremos então o gráfico da tensão sobre o capacitor; observar que a obtenção do gráfico considerando a condição inicial de 50V se fará somando 50V a todos os resultados conseguidos em condições iniciais quiescentes.

4) Para o circuito a seguir, conhecendo-se a tensão v(t) do gerador de tensão, pede-se a determinação da corrente ig(t).

t( s)

1,0 3,0

v (t) (V)_C

50 100 150 200 250 300 350

Considerando V = 0V_C0 Considerando V = 50V_C0

(6)

SOLUÇÃO: (Obs: em qualquer circunstância: ig = iR + iC

a) 0 < t < 1  v(t) = 5t ; iR = 1

t

5 = 5t ; iC = C.

dt

dv = 2.5 =10  ig = 5t + 10 Quando t = 0  ig = 10 ; Quando t = 1  ig = 15

Portanto neste intervalo, ig é uma reta crescente de 10 até 15

b) 1 < t < 2  v(t) = 5 ; iR = 1

5 = 5 ; iC = C.

dt

dv = 2.0 = 0  ig = 5 Portanto neste intervalo, ig é uma constante de valor 5

c) 2 < t < 4  v(t) = -2t + 9 ; iR = -2t + 9 ; iC = C.

dt

dv = 2.(-2)= -4  ig = -2t + 5

Quando t = 2  ig = 1 ; Quando t = 4  ig = -3 Portanto neste intervalo, ig é uma reta decrescente de 1 até -3

d) 4 < t  v(t) = 1 ; iR = 1 ; iC = C.

dt

dv = 2.0 = 0  ig = 1 Portanto a partir de t  4 , ig é uma constante de valor 1

De posse dos resultados acima , podemos mostrar o gráfico de ig:

+ -

i_R i_g

i_C v(t)

1,0 2,0 3,0 4,0 t(s) v(t) (V)

5

1 2F 1

1,0 2,0 4,0 t(s) i ( t) (A)g

10 15

5

-3 1

(7)

5) Para o circuito a seguir, considerando-se C.I.Q.(Condições iniciais quiescentes) e conhecendo-se a corrente ig(t) do gerador, pede-se a determinação da tensão vg(t).

CONCEITOS IMPORTANTES QUE SE DEVEM CONSIDERAR:

a) A condição inicial de um capacitor é a sua tensão; o capacitor tende sempre a manter o estado de tensão em que se encontra. Com exceção de certas condições excepcionais, podemos afirmar que a tensão de um capacitor não sofre descontinuidades , mesmo que sua corrente seja descontinua!

RECIPROCAMENTE:

b) A condição inicial de um indutor é a sua corrente; o indutor tende sempre a manter o estado de corrente em que se encontra. Com exceção de certas condições excepcionais, podemos afirmar que a corrente de um indutor não sofre descontinuidades , mesmo que sua tensão sej a descontinua!

SOLUÇÃO:

a) 0 < t < 1  ig = 3t ; vR = 3t ; vL = L.

dt

di = 1. 3 = 3 ; ;











 









t

0 0

0

0 .)

Q . I . C ( 0

0 t

C 3tdt

C dt 1

C i dt 1

C i v 1





 





= 2 .

t

0 2

2 t

3 = 3 



 



t²  0² ;

 vC = 3t² 



















V 3 v 1

t

0 v 0

t

C

C  vg = 3t² + 3t + 3 



















V 9 v 1

t

V 3 v 0

t

g g

Sendo portanto neste intervalo, a tensão no gerador de corrente, uma parábola de “boca para cima” variando de 3 a 9V

b) 1 < t < 3  ig = -2t + 5 ; vR = -2t + 5 ; vL = L.

dt

di = 1. (-2) = -2 ;

1 1H

t(s) 1,0

3,0 4,0

3

v (t)_g

v (t)_R v (t)_L v (t)_C i (t)_g

i (t)(A)_g

1 2 F

-1,0

(8)















 









t

1 0

1

1 V

3 t 1

C ( 2t 5)dt

C dt 1

C i dt 1 C i dt 1

C i v 1





 





= 3 + 2.

t

1 2

t 2 5

t

2 



 



  

 vC = 3 + 2.



^ ^t² ^ ⁵^t ^ ¹ ^ ⁵



^^v^C^{= -2t}² + 10t -5 



















V 7 v 3

t

V 3 v 1

t

C

Portanto: vg = - 2t² + 8t - 2 



















V 4 v 3

t

V 4 v 1

t

g g

Sendo portanto neste intervalo, a tensão no gerador de corrente, uma parábola de “boca para baixo” variando de 4 a 4V

c) 3 < t  ig = -1 ; vR = -1 ; vL = L.

dt

di = 1. (0) = 0 ;











 









t

3 0

3

3 V

7 t 3

C ( 1)dt

C dt 1 C i dt 1 C i dt 1

C i v 1





 





= 7 + 2.

t

3

)

( t = 7 - 2t + 6

 vC = -2t + 13  vg = -2t + 12 













 _

V 4 v 4 t

V 6 v 3

t

g g

Sendo portanto a partir de t > 3s , a tensão no gerador de corrente, uma reta decrescente começando em 6V

Podemos pois visualizar o gráfico de vg(t) :

t(s)

1,0 3,0

3,0 4,0 6,0 9,0

4,0 v (t)(V)_g

(9)

CAPITULO II - FUNÇÕES DE EXCITAÇÃO

1) - FUNÇÕES DE EXCITAÇÃO: Começaremos pela definição de duas funções no domínio do tempo, fundamentais no estudo dos circuitos elétricos ; são elas: A função H(t) (função de Heaviside), e a função (t) (função de Dirac). Para uma melhor compreensão do funcionamento das mesmas, vamos estudar o comportamento da função mostrada abaixo, bem como o da sua respectiva derivada:

Note que f(t) é uma função contínua e derivável por intervalos ;observe que a área da derivada de f(t) é sempre: S = 1 qualquer que seja o valor do intervalo de tempo



(



 0 );

nestas condições façamos



 0 (infinitamente próximo mas não igual!); notemos então que f(t) será “quase” uma função descontínua, e ainda que:



¹  ^.

Com estas considerações tentemos visualizar como ficam os gráficos das duas funções para



^^0:



^t

f( t) 1



t df(t)

1 dt

S = 1



^t

f( t) 1

0



0 t df(t)



¹ dt

(10)

Em função dos conceitos aqui expostos vamos então definir as duas funções de excitação mais importantes no estudo dos circuitos elétricos: A função H(t),e a função (t), com as seguintes características :

a) - Função de Heaviside, ou função H(t):















0 t : se 1

0 t : se ADA INDETERMIN

0 t : se 0 )

t ( H

b) - Função de Dirac, ou função (t):



































^













) t ( H . 1 dt

) t ( dt

) t (

: e

0 t : se

0 t : se 0

) t

( ₀

0

CONSIDERAÇÕES E PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES ACIMA:

a) - SOBRE A FUNÇÃO H(t):

1) - Note que a função H(t) é indeterminada em t = 0, ou seja: a função possui “quase”

uma descontinuidade neste instante (que é o limite de um intervalo de tempo tendendo a zero). Assumiremos que a função, possui neste instante um valor finito. (Mesmo sendo indeterminado, o seu valor numérico certamente situa-se entre 0 e 1)

OBS.: Este tipo de função pertence à classe das funções denominadas de funções seccionalmente continuas, (funções que apresentam um número finito de pontos de “li mites de descontinuidade” , e ainda que em nenhum destes pontos tendem ao infinito)

2) - O produto da função H(t), com uma outra função qualquer f(t),representa fisicamente um chaveamento na origem (em t = 0); em outras palavras, executar o produto H(t). f(t) significa definir a existência de f(t) somente a partir de 0+.Note de fato os gráficos abaixo, onde é mostrado o gráfico de uma f(t) qualquer, em seqüência o gráfico de H(t), e finalmente o gráfico do produto: H(t).f(t):

t H(t)

1

t dH(t)

(t) = dt

(11)

Uma forma de visualizarmos fisicamente o que foi acima mostrado, consiste num gerador de tensão de valor f(t), associado a uma chave que comuta exatamente no instante t = 0 . Nestas condições note que a tensão VA B será exatamente o produto: f(t).H(t) ; Veja figura abaixo:

b) - SOBRE A FUNÇÃO (t):

Assumiremos a função (t) como sendo a derivada da função H(t); assumiremos ainda, que a mesma existe exatamente no instante t = 0, e que o seu valor tende ao infinito neste instante, entretanto possuindo área unitária, mesmo com seu valor tendendo ao infinito.

OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: Considerando-se que em t = 0, H(t) é indeterminada, e ainda que neste instante: (t) tende ao infinito:

Não se define o produto: H(t). (t) t f(t)

t H(t)

H(t).f(t) 1

t 1

t

+ -

t = 0 A

B v_AB f(t)

v_{A B =} H (t).f(t)

t

(12)

EXTENSÃO DE CONCEITO: DESLOCAMENTO DAS FUNÇÕES:

Pela utilização dos conceitos que definiram H(t), e (t) poderemos facilmente entender as definições e gráficos abaixo:

















a t : se 1

a t : se ADA INDETERMIN

a t : se 0 ) a t (

H











































^













) a t ( H . 1 dt ) a t ( dt ) a t (

: e a t : se

a t : se 0

) a t

( _a

a

Nestas condições percebemos que tudo se passa como se, em vez de todos os conceitos serem válidos para: t = 0, os mesmos passassem a valer para: t = a ; ou seja:

De maneira análoga ao que já foi visto anteriormente :

t H(t - a)

1

a

t dH(t - a)

(t - a) = dt

a

t f(t)

t H(t - a)

H(t - a).f(t) 1

t 1

t a

a

(13)

E de forma mais Generalizada: Não se define o produto: H(t - a). (t - a)

TEOREMA IMPORTANTE: f(t). (t - a) = f(a). (t - a)

De fato vamos imaginar fisicamente o produto de uma f(t) qualquer ( f(t)  de H(t - a) ) pela função (t - a). Este produto será nulo qualquer que seja t  a, ou ainda: O produto somente terá sentido em t = a, porquanto a função (t - a) somente existirá em t = a.

Nestas condições em t = a, f(t) deixa de ser uma função genérica, passando a ser o valor que f(t) possui no ponto: t = a, ou seja: f(a). Graficamente iremos ter:

PORTANTO :

(TEOREMA DA AMOSTRAGEM):

f(t). (t - a) = f(a). (t - a)

EXERCÍCIOS SOBRE FUNÇÕES DE EXCITAÇÃO:

1º) - Dados os gráficos das funções f(t) a seguir, pede-se para cada um deles:

-Expressar matematicamente f(t) através da utilização de funções si ngulares;

-De posse do item anterior determinar matematicamente a derivada de f(t),e construir o seu gráfico.

+ -

t = a

A

B v_AB f(t)

a t

v_{A B =} H (t -a).f(t)

t

(t - a)

t f(t)

f(a)

t = a

(14)

Gráfico a):

SOLUÇÃO:



 



  



 (  ) H(t) H(t ) )

t (

f

2 t 1 1

portanto teremos:

 



 



   





 



 



  



 H(t) H(t ) ( t ) (t) (t ) dt

) t (

df

2 1 2 1 1

Analisando somente as funções com s : 



 



   



 ) (t) (t ) t

(

2 1 1

=

= ( 2t – 1 ) . (t) - ( 2t – 1 ) . ( t - 1) = ( 2.0 – 1 ) . (t) - ( 2.1 – 1 ) . ( t - 1) =

= - (t) - ( t - 1) ; portanto:

) t ( ) t ( ) t ( H ) t ( dt H

) t (

df

2 1

     

1



 



  



 Donde:

Gráfico b):

SOLUÇÃO:

) t ( H . t )

2 t ( H ) t ( H )

t (

f

2

  

2



 



  

 

tt f( t)

1

-1

1 2

tt f( t)

1

-1

1 2

df(t) dt

t 2

1

2 - (t) - (t - 1)

tt f( t)

2

(15)

Portanto teremos:

) 2 t ( t ) 2 t ( H 1 ) 2 t ( ) t ( dt 2

) t (

df       



 



   

 





















 

 2 (t) 2 (t 2) 1 H(t 2 ) t (t 2) dt

) t ( df

) t ( 2 ) 2 t ( H dt 1

) t ( ) df

2 t ( 2 ) 2 t ( H 1 ) 2 t ( 2 ) t (

2              

  

Donde:

Gráfico c):

SOLUÇÃO:





 



   



 



 



  



 H(t) H(t ) H(t 1) H(t 3) )

t (

f

2 t 1 2

Portanto teremos:



 



    



 



 



   



 



 



  



 H(t) H(t ) 2t (t) (t 1) 2 (t 1) (t 3) dt

) t (

df

2 1

Analisando somente os s :





























 



 



    



 



 



   

 (t) (t 1) 2 (t 1) (t 3) 2t (t) 2t (t 1) 2 (t 1) 2 (t 3) t

2

) 3 t ( 2 ) 3 t ( 2 ) 1 t ( 2 ) 1 t ( ) 1 ( 2 ) t ( ) 0 (

2               ; Portanto:

) t ( 2 ) t ( H ) t ( dt H

) t (

df

2 1

   

3



 



  





df(t) dt

2 t 2 (t)

tt f( t)

2

1

t f( t)

2

1 2 3

(16)

Donde:

Gráfico d):

SOLUÇÃO:



 



   



 



 



  



 H(t) H(t ) H(t 1) H(t 2) )

t (

f

t 1 2

portanto teremos:



 



    



 



 



   



 



 



  



 H(t) H(t ) t (t) (t ) 2 (t 1) (t 2) dt

) t (

df

1 1 1

Analisando somente os s :





























 



 



   



 



 



  

 (t) (t ) 2 (t 1) (t 2) t (t) t (t ) 2 (t 1) 2 (t 2)

t

1 1

) 2 t ( 2 ) 1 t ( 1 ) 2 t ( 2 ) 1 t ( 2 ) t ( ) 1 ( ) t ( ) 0

(     1             ; portanto:

) 2 t ( 2 ) 1 t ( )

t ( H ) t ( dt H

) t (

df

1 1

      



 



  



 Donde:

df(t)

dt

t 2

t f( t)

2

2 2

1 3 1

3

-2 (t - 3)

t f( t)

2

1 1

2 3

df(t) dt

t 2

(t - 1) t

f( t) 2

1 1 1

2 3 1

3 -2 (t - 2)

(17)

2º) Dado o circuito abaixo, onde é conhecida a função vg(t), pede-se:

a)-Expressar vg(t) matematicamente através da utilização de funções singulares;

b)-Determinar ig(t) matematicamente, e esboçar o seu gráfico a partir dos resultados obtidos.

SOLUÇÃO:

a) v_g(t) (5t) H(t) H(t 1) (5) H(t 1) H(t 2) ( 2t 9) H(t 2) H(t 4 )(1)H(t4)



 



   











 



   







 



  





b.1) sendo:

1 ) t ( v R

) t ( ) v

t (

i_R  ^g  ^g ; Teremos:

) 4 t ( H ) 1 ( ) 4 t ( H ) 2 t ( H 2

( ) 2 t ( H ) 1 t ( H ) 5 ( ) t ( H ) t ( H 5 (

i_R

t ) 1 t 9 )

  



 



   





 



 



   







 



  



 

b.2 ) Sendo:

dt ) t ( 1 dv dt

) t ( C dv )

t (

i_C  ^g  ^g ; Teremos:



 



    



 



 



   



 



 



  



 (5 H(t) H(t ) (5t) (t) (t 1) (5) (t 1) (t 2 )

i_C

) 1

) 4 t ( ) 1 ( ) 4 t ( ) 2 t ( ) 9 t 2 ( ) 4 t ( H ) 2 t ( H 2

(

)

   



 



    







 



 



   



 ou ainda:















 



 



   





 



 



  



 (5 H(t) H(t ) ( 2 H(t 2) H(t 4 ) (5t) (t) (5t) (t 1)

i_C

) 1 )

) 4 t ( 1 ) 4 t ( ) 9 t 2 ( ) 2 t ( ) 9 t 2 ( ) 2 t ( ) 5 ( ) 1 t ( ) 5

(                      



Verifiquemos somente os “s” ; teremos:

+ -

i_R i_C

v (t)_g i (t)g

1,0 2,0 3,0 4,0 t(s) v (t) (V)_g

5

1 1F SENDO: 1

(18)





































 (t) 5.(1) (t 1) 5 (t 1) 5 (t 2) ( 2.2 9) (t 2) )

0 .(

5

0 ) 4 t ( 1 ) 4 t ( ) 9 4 . 2

(         

 Portanto teremos:



 



   





 



 



  



 (5 H(t) H(t ) ( 2 H(t 2) H(t 4 )

i_C

) 1 )

e ainda:

) 4 t ( H ) 1 ( ) 4 t ( H ) 2 t ( H 2

( ) 2 t ( H ) 1 t ( H ) 5 ( ) t ( H ) t ( H 5 (

i_R

t ) 1 t 9 )

  



 



   





 



 



   







 



  



 

Donde:

) 4 t ( H ) 1 ( ) 4 t ( H ) 2 t ( H 2

( ) 2 t ( H ) 1 t ( H ) 5 ( ) t ( H ) t ( H 5

(

i_g

t 5 ) 1 t 7 )

  



 



   









 



   







 



  



  

Que irá nos fornecer o seguinte gráfico:

OUTRA FORMA DE RESOLVER : OBTENÇÃO POR MERA INSPEÇÃO GRÁFICA:

Observe que os ’(Dirac’s) ocorrem somente na derivação de pontos de descontinuidade , com valores (áreas) definidos pelo próprio “salto” de descontinuidade. Note o exercício a seguir:

1,0 2,0 3,0 t(s) 4,0 i ( t) (A)g

5 10

1 -1 3

(19)

Sendo dada a f(t) abaixo, pede-se determinar o gráfico de : t d

) t ( f

d

SOLUÇÃO:

f(t)

It(s)

3

1 2 3 4 5

9

6

4

df(t)

It(s) 1

2

3 4

5 6

2

-2 3. t 

- 5. t -1  -1. t -3  - 4. t -4  1

dt

(20)

C A P I I I - I N T R O D U Ç Ã O À T R A N S F O R M A D A D E L A P L A C E

Consideremos uma função qualquer f(t) existente a partir de: t  0- ; definiremos para os nossos fins em circuitos elétricos a transformada de Laplace de f(t) como sendo:









 







0

st f(t)dt (s) e

) t (

f

F

£

Note que a integral que define a transformação, é definida a partir de 0-, justamente com o objetivo de considerar ou de incluir qualquer transição ou fenômeno que porventura possa ocorrer no instante: t = 0. Note ainda que o resultado da integral irá gerar uma função em

“s”, e não mais em “t” . Para um melhor entendimento, demonstremos as transformadas de duas funções fundamentais:

1ª TRANSFORMADA FUNDAMENTAL: TRANSFORMADA DA FUNÇÃO: H(t)

Sendo a função H(t) definida como:















0 t : se 1

0 t : se ADA INDETERMIN

0 t : se 0 )

t ( H

e ainda sendo:



^ ^



 







0

st f(t)dt e

) t (

£

f , teremos:

















 









 ^ _ _ ^ _ ^ ^ ^



 







^st ⁰₀ ^st ₀

0 t s 0

t s

s 1 e s

K e dt

1 e dt

K e dt

) t ( H e )

t (

£

H



 



 

 



 



 



 



 



 

 



 



 



 









         0 1

s 1 1 s 1

e K s e

e 1 s e

) K t (

H ^s^.⁰ ^s^.⁰ ^s^. ^s^.⁰

£

Portanto: s

) 1 t (

H 











£

 (FUNDAMENTAL!)

2ª TRANSFORMADA FUNDAMENTAL: TRANSFORMADA DA FUNÇÃO: (t)

Sendo a função (t) definida como:



































^













) t ( H . 1 dt

) t ( dt

) t (

: e

0 t : se

0 t : se 0

) t

( ₀

0

(21)

Teremos: ₍_t₎ _e ₍_t₎_dt _e ₍_t₎_dt _e ₍_t₎_dt ₁_. ₍_t₎_dt ₁

0

0 0

0 0 . s 0

0 t s 0

t

s        

 











   

^













£



Portanto: (t)  1













£

(FUNDAMENTAL!)

TEOREMA FUNDAM ENTAL: (Do deslocamento complexo)

Demonstremos que se : f(t)  F(s)







£

 , então f(t).e ^t 

F

(s  )











 __

£

de fato:



 



 



) s F( 0

t ) s ( 0

t t s t

0 t

s f(t)dt f(t)e e e f(t)dt e f(t)dt

e )

t ( f



 



^^ ^ ^ ^^ ^ ^ ^^







 









 

 







£

Port anto: f(t)

F

(s) f(t).e ^t 

F

(s  )











 

 





 __

£

(FUNDAMENTAL!)

O que significa, que de forma prática para determinarmos a t ransformada de Laplace de uma função do t ipo: f(t).e^-^t, bastará determinarmos a transformada de Laplace de f(t), e em seguida substituirmos o “s” por: “s  ” em F(s). Exemplo de aplicação:

Sej a determinar:











H(t).e10t

£

t eremos:

s ) 1 t (

H 











£

 ; portanto:

10 s e 1

. ) t (

H ¹⁰^t

 











 _

£

UTILIZAÇÃO DO TEOREMA (Para determinação de outras transformadas fundamentais):

a) Transformada de Laplace de: f(t) = H(t) . cos(t) ;

OBS.:

2 e ) e

t cos(

t j t

j  



 , onde: j²  

1

(Fórmula de Euler) ; Temos:

(22)

 

^











 











 











 

 









  ^j^^t ^^j^^t ^j^^t H(t).e^^j^^t

2 e 1

. ) t ( 2 H

e 1 e

. ) t ( 2 H

) 1 t cos(

. ) t (

H

£ £ £

£

= ₂ ₂

) j ( s

s )

j s )(

j s ( 2

s 2 )

j s )(

j s ( 2

j s j s j

s 1 2

1 j s

1 2

1



 







 







   

 



 



  

Portanto: ₂ ₂

s ) s

t cos(

. ) t (

H   











 

£

(FUNDAMENTAL!)

b) Transformada de Laplace de: f(t) = H(t) . sent ;

OBS.:

j 2

e ) e

t ( sen

t j t

j  



 , onde: j²  

1

(Fórmula de Euler); teremos:

 

^











 











 











 

 









  ^j^^t ^^j^^t ^j^^t H(t).e^^j^^t

2 e 1

. ) t ( j H 2 e 1

e . ) t ( j H 2 ) 1

t ( sen . ) t (

H

£ £ £

£

2

2 (j )

) s j s )(

j s ( j 2

j 2 )

j s )(

j s ( j 2

j s j s j

s 1 j

2 1 j

s 1 j

2 1





 







 

 





   

 



 



  

Port anto: ₂ ₂

) s t ( sen . ) t (

H  

 











 

£

(FUNDAMENTAL!)

EXTENSÃO DO RACIOCINIO:

a ) Sendo: ₂ ₂

s ) s

t cos(

. ) t (

H   











 

£

 2 2

t

) s ( ) s

t cos(

e . ) t (

H    



 











 ^^ 

£

b ) Sendo: ₂ ₂

) s t ( sen . ) t (

H  

 











 

£

 2 2

t

) s ) (

t ( sen e . ) t (

H    

 











 ^^ 

£

FUNDAMENTAIS!

(23)

TEOREMA BÁS ICO: (Deri vada da Transformada)

Demonstremos que se : f(t)  F(s)







£

 , então:

ds ) s ( e d

).

t ( f .

t _t _ _ F











 __

£

de fato:

 



^^



^^



 





 



 



) t ( f . ) t

s (

o st 0

st 0

st

0

st ds t.e .f(t)dt e .t.f(t)dt

dt ) t ( f . e dt d

) t ( f . ds e

d ds

) s ( d

F

£

 



^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^









Port anto: ds

) s ( ) d

t ( f . t )

s ( )

t (

f F

F  











 

 







£

(FUNDAMENTAL!)

De posse deste teorema, vamos utiliza-lo para deduzir outra transformada fundamental de forma generalizada:

a) - Transformada de Laplace de: f(t) = t.H(t) ; teremos:

Se:

s ) 1

t (

H 











£

  ₂ ₂

s ds s

) s / 1 ( ) d

t ( H .

t 1 1

 



 











 









£



b) - Transformada de Laplace de: f(t) = t².H(t) ; teremos:

s2

) t ( H .

t 1

 









£

 ^ ² ² ₃ ₃

s 2 s

1 . 2 ds

) s / 1 ( ) d

t ( . t . t )

t ( H .

t

H

 



 









 









 













£

c) - Transformada de Laplace de: f(t) = t³.H(t) ; teremos:

4 4

2 3 3

3 2

s 1 . 2 . 3 s

1 . 2 . 3 ds

) s / 2 ( ) d

t ( . t . t )

t ( H . s t

) 2 t ( H .

t

H

 



 

 





 









 











 

 











£ £

£

Notemos então que:

s2

) t ( H .

t 1

 









£

 ^; ² ₃

s 1 . ) 2

t ( H .

t 











£

 ; ³ ₄

s 1 . 2 . ) 3

t ( H .

t 











£

 . . .

Portanto generalizando: n 1

n

s

! ) n

t ( H .

t  _











£

 (FUNDAMENTAL!)

(24)

EXTENSÃO: Se: ⁿ _n ₁

s

! ) n

t ( H .

t  _











£

  ^tⁿ^.^e^^^t^.^H⁽^t⁾_^^ ^



^s ^ⁿ^^!



ⁿ^¹







£



TEOREMA DE UTILIZAÇÃO PRÁTICA: TRANSFORMADA DA DERIVADA

Este teorema fundamental será mais adiante utilizado para nos fornecer suporte na criação de modelos básicos, muito úteis na resol ução de fenômenos elétri cos, em circuitos a partir do instante 0-.

TEOREMA: s. (s) f(0 )

dt ) t ( f

d  F  _







£

 ; demonstração:



^ ^



 







0

stdt dt e

) t ( df dt

) t ( f

£

d : Int .por partes:























 ^ ^

) t ( f v dt dt

) t ( dv df

dt e

s du

e

u ^st ^st



 



 



) s F( 0

st 0

stdt f(t)e ( s). f(t)e dt

dt e ) t ( df dt

) t ( f d





^ ^ ^ ^ ^ ^

 





 





£

 Logo:

) s ( . e s

) ( f e

) t ( Lim f dt

) t ( f

d 0 F

s . ) 0 ( 0

t st   



 



 















 



£

 s. (s) f(0 )

dt ) t (

df  F  _







£



INTERPRETAÇÃO: Para obter a transformada de Laplace da derivada de uma função qualquer, bastará obtermos a transformada simples da função e conhecermos o valor que a função possuía no instante: t = 0-

Exe mplo de utilização: Na equação diferencial abaixo, sabendo-s e que e m t = 0- a função i(t) assume o valor 2 , determine o valor da função i(t) para t > 0:

) t ( H . 5 4

3 dt

) t ( i . d ) t (

i.   ; SOLUÇÃO: aplicando a T.D.L. em toda a equação teremos:

 



 



 













 



 



 

 s

s 8 s 5

4 3 ) s ( s 8

) 5 s ( . s 4 ) s ( . s 3

2 5 ) s ( . s . 4 ) s ( .

3

I I I I I

(25)





 



 

 

 

 



 

 s 3/4

B s

2 A )

4 / 3 s .(

s

8 / 5 s 4

8 )

3 s 4 ( . s

5 s 8 )

s 4 3 ( . s

s 8 ) 5

s

I(

 e H(t)

3 1 3

) 5 t ( 4 i

/ 3 s

3 / 1 s

3 / ) 5 s

( ³^t^/⁴

I

 

 



 



 ^

RESUMO BÁSICO SOBRE TRANSFORMADAS DE LAPLACE:(É fundamental que o aluno conheça de memória pelo menos este resumo para um bom desempenho na disciplina!)

TRANSFORMADAS F UNDAMENTAIS:

SIMPLES: COM TEOREMA:

f(t) 

F

(s)







£

 ^f⁽^t^).^e ^t  F⁽^s  ⁾











 __

£

(t)  1













£

e ^t. (t)  1











 ^^ 

£

) s t (

H _ 1







£

   











 

s ) 1 t ( H . e ^t

£

₂ ₂

s ) s

t cos(

. ) t (

H   











 

£

^t ₂ ₂

) s ( ) s

t cos(

e . ) t (

H    



 











 ^^ 

£

₂ ₂

) s t ( sen . ) t (

H  

 











 

£

^t ₂ ₂

) s ) (

t ( sen e . ) t (

H    

 











 ^^ 

£

ⁿ _n ₁

s

! t n

. ) t (

H  _











£



 

ⁿ ¹

t n

s

! e n

. t . ) t (

H ^^ _



 











£



(26)

PROPRIEDADES OPERATÓRIAS: Vindo a transformada de Laplace de uma integral, possuirá as propriedades de integral; nestas condições percebe-se facilmente que:

1) 









 











 











f (t)  g(t)

£

f (t)

£

g(t)

£

2) 









 











K.f (t) K.

£

f (t)

£

3) 









 











 











f (t) g(t)

£

f (t)

£

g(t)

£

; e ainda:

 



^g^f⁽⁽^t^t⁾⁾



) t ( g

) t ( f

£



£













ANTITRANSFORMAÇÕES DE LAPLACE:

Uma ferramenta poderosa, (muito mais do que a própria transformada!) necessária à solução da grande maioria dos problemas em circuitos elétricos, consiste na determinação da antitransformada de Laplace. Acreditamos que seja óbvio que para entender as técnicas de antitransformação que veremos a seguir, torna-se fundamental o conhecimento no mínimo do resumo básico anteriormente apresentado.

As técnicas de antitransformação consistem em fazer recair as F(s) propostas em transformadas básicas j á conhecidas,as vezes até por meio de arti fícios. Vamos fornecer alguns exemplos simples:

1) INICIALMENTE BASEANDO-SE NAS TRÊS PRIMEIRAS OBTIDAS:

OBSERVE QUE SE :

) t ( H )

t ( s f

) 1 s ( F : SE

; ) t ( )

t ( f 1

) s (

F       

; e ainda:

) t ( H . e )

t ( s f

) 1 s ( F :

SE      ^^^t

) t ( H . e ) t ( ) t ( 2 f

s 1 1 ) s (

a) F        ^²^t

b) -              

3 s 1 2 3 s

2 3

s 3 s 3

s

1 3 3 s 3 s

1 ) s

s F(