Processamento para a solução numérica

Na técnica CFD, os problemas de engenharia são manipulados através da solução de um conjunto de equações diferenciais parciais não lineares acopladas que são as equações governantes (equações de conservação de massa, momento e energia). Devido às não linearidades e ao forte acoplamento existente entre as equações governantes, em geral, é necessária a utilização de métodos numéricos para a obtenção da solução destes problemas.

Para o desenvolvimento e implementação desses esquemas numéricos, as principais etapas utilizadas são (PEREIRA, 2006):

 Aproximação das variáveis incógnitas do escoamento através de funções simples;

 Discretização, pela substituição das aproximações mencionadas acima nas equações de transporte que governam o escoamento, com manipulações matemáticas subsequentes;

 Linearização do sistema de equações algébricas resultantes;

 Definição da estratégia de solução do sistema de equações algébricas lineares;

 Solução dos sistemas de equações algébricas lineares.

Uma das etapas mais importantes dentro dos passos para a resolução das equações de Navier-Stokes através de métodos numéricos é a discretização. Os métodos de discretização são utilizados para providenciar um conjunto de equações algébricas, juntamente com um algoritmo de resolução, a partir de um modelo constituído por uma equação diferencial. As equações algébricas envolvendo uma determinada variável desconhecida são denominadas equações discretizadas e são derivadas de uma equação diferencial envolvendo esta mesma variável desconhecida (PATANKAR, 1980).

Segundo Bakker (2012), os métodos de discretização mais comuns encontrados em

software comerciais de CFD são o método dos Volumes Finitos e Elementos Finitos,

presente em aproximadamente 80 e 15% dos softwares, respectivamente.

O software comercial Fluent®, empregado neste trabalho, se baseia no método dos Volumes Finitos na resolução numérica de sistemas de equações diferenciais

parciais. Tal escolha pode ser justificada pelo fato de que o método dos Volumes Finitos, quando converge, fornece resultados dotados de realismo físico, porém o que não quer dizer que os mesmos sejam acurados (PEREIRA, 2006).

O método de volumes finitos discretiza a forma integral das equações de conservação diretamente no espaço físico. O domínio computacional é subdividido em um número finito de volumes de controle contíguos, em que as declarações resultantes expressam a conservação exata das propriedades relevantes para cada um dos volumes de controle. No centroide de cada um dos volumes de controle, os valores de variáveis são calculados (Figura 22). A interpolação é utilizada para expressar os valores das variáveis na superfície do volume de controle em termos dos valores do centro e fórmulas quadráticas são aplicadas para aproximar as integrais da superfície e do volume. Uma equação algébrica para cada um dos volumes de controle pode ser obtida, em que um número dos valores nodais vizinhos aparece (TU, YEOH e LIU, 2008).

Os principais esquemas de interpolação utilizados para obter os valores no centro de cada célula são:

 Upwind de primeira-ordem

Quando o esquema upwind de primeira ordem é utilizado, quantidades nas faces das células são determinadas assumindo que o valor no centro da célula de algum campo da variável representa um valor médio ao longo de toda a célula. Considera- se ainda que as quantidades na face são idênticas a quantidade na célula. Este

Volume de controle

Malha estruturada

Figura 22 – Representação de uma malha estruturada para o método de

esquema necessita de um refinamento de malha, à medida que o escoamento se torna mais complexo, para produzir resultados mais acurados (FRANCO, 1996).

 Upwind de segunda–ordem

Quando uma maior precisão é desejada, as quantidades nas células são calculadas empregando uma reconstrução linear multidimensional aproximada. Nesta aproximação, uma precisão de alta ordem é atingida nas faces das células, utilizando-se uma expansão em séries de Taylor de soluções de células centradas sobre uma célula centróide.

 Power-law

O esquema Power-Law (Patankar, 1980) é um ajuste de lei de potência do Esquema Exponencial desenvolvido por Spalding (Patankar, 1980), o qual é baseado na solução exata da equação convecção-difusão unidimensional, sem fontes e em regime permanente. O fluxo convectivo e difusivo na face são aproximados de forma acoplada. O esquema Power-Law geralmente traz a mesma precisão que esquemas de primeira ordem (FLUENT, 2011).

 QUICK (Quadratic Upwind Interpolation for Convective Kinematics)

Este método é indicado para malhas quadrilaterais e hexaédricas, quando, uma única face a jusante e a montante, pode ser identificada. O esquema QUICK é baseado na média ponderada do upwind de segunda ordem e interpolação central da variável. Ele é mais preciso em malhas estruturadas alinhadas com a direção do fluxo. O esquema QUICK também pode ser empregado para malhas não estruturadas ou híbridas, contudo nestes casos, usualmente aplica-se o esquema de discretização upwind de segunda ordem. Em geral, esquema de segunda ordem é suficiente e o esquema QUICK não irá fornecer melhorias significativas na precisão dos resultados (FLUENT, 2011).

Ströher et al. (2012) estudaram numericamente o problema de jato livre circular axissimétrico. Foi avaliada a influência do esquema de discretização sobre a solução numérica, obtida com os esquemas upwind de primeira e de segunda ordem. Os autores mostram que o esquema upwind de primeira ordem subestima a amplitude da oscilação do número de Mach, provendo uma solução mais suave do que a real. Entretanto, na região de escoamento desenvolvido em que tanto a velocidade e os gradientes são menores, os dois esquemas apresentaram soluções semelhantes. No processo de resolução das equações governantes, a solução segregada das equações de conservação da quantidade de movimento e de massa, para problemas incompressíveis, gera o problema do acoplamento pressão-velocidade. Neste contexto, é utilizado um procedimento sequenciado e iterativo que melhora a estimativa do campo de pressão de modo que o campo imperfeito de velocidade se aproxime progressivamente da solução que satisfaz a equação da continuidade na forma discretizada (PEREIRA, 2006).

Para o acoplamento da pressão com a velocidade, três algoritmos mais comumente utilizados, são SIMPLE, SIMPLEC e PISO. E para problemas de escoamento multifásico quando se emprega o modelo Euleriano, os esquemas de acoplagem pressão-velocidade utilizados são Phase Coupled SIMPLE e Multiphase Coupled (FLUENT, 2011).

Para o esquema de acoplamento Phase Coupled SIMPLE, as velocidades são resolvidas acopladas por fases de forma segregada. Fluxos são reconstruídos para a face do volume de controle e, em seguida, uma equação de correção da pressão é construída com base na continuidade total. Os coeficientes das equações de correção de pressão vêm do acoplamento por fase das equações de movimento. Segundo Fluent (2011), este método provou ser robusto e é o único método disponível para todas as versões anteriores do ANSYS FLUENT®.