Processo de Distribuição de Probabilidade Conjunta

A partir do momento que a Rede Bayesiana possui o conhecimento armazenado acerca das probabilidades condicionais contidas nas tabelas (CPTs) é possível obter-se a distribuição de probabilidade conjunta sobre todo o domínio em termos das relações entre as variáveis aleatórias.

Considere Xi como sendo um nodo da rede e pa(Xi) denotando os

seus pais. Assim, X1, X2, ..., Xn são todos os nodos do domínio em questão e

P(X1, X2, ...,Xn) é a distribuição de probabilidade conjunda da Rede

Bayesiana. O cálculo da distribuição de probabilidade conjunta é suportado pelo seguinte teorema:

Teorema: Se uma Rede Bayesiana satisfaz a Condição de Markov, então a distribuição de probabilidade conjunta é igual ao produto das probabilidades condicionais de todos os nodos dado os valores dos seus pais.

P(X1, X2, ...,Xn) =

Π

Os valores de probabilidade armazenados agora na estrutura da Rede permitem a realização de consultas especializadas obtidas pelo raciocinador bayesiano (RUSSEL e NORVIG, 1995).

Para exemplificar, retomamos a figura 15 e observamos o valor 0,25% associado ao estado SIM da variável ALARME. Logo, este valor corresponde a probabilidade do ALARME disparar segundo a distribuição conjunta da Rede em suas relações com os os nodos pais – ASSALTO e TERREMOTO. Denotaremos P(ALARME) com estado = SIM simplesmente por P(ALARME). O valor foi obtido pela aplicação da equação (9) na forma:

P(alarme) = P(alarme|assalto∩∩∩∩terremoto) * P(assalto) * P(terremoto) + P(alarme|assalto∩∩∩∩¬terremoto) * P(assalto) * P(¬terremoto) + P(alarme|¬assalto∩∩∩∩terremoto) * P(¬assalto) * P(terremoto) + P(alarme|¬assalto∩∩∩∩¬terremoto) * P(¬assalto) * P(¬terremoto)

∴

P(alarme)= (95% * 0,1% * 0,2%) + (95% * 0,1% * 99,8%) +

(29% * 99,9% * 0,2%) + (0,1% * 99,9% * 99,8%) = 0,25% Para um segundo exemplo, suponhamos a situação ilustrada pela figura 16. Nesta, queremos demonstrar o processo de raciocínio bayesiano que resultou o valor de 76,1% como sendo a probabilidade do ALARME disparar confirmado o fato que João avisou e que Maria não avisou, reportando ao caso exemplo citado anteriormente.

Figura 16 – Simulação de inferência – problema do Alarme Fonte: (do autor)

A formulação para a condição ilustrada acima é dada por: P(alarme|JoaoAvisa ∩∩∩∩ MariaAvisa) =

P(JoaoAvisa|alarme) * P(MariaAvisa|alarme) * P(alarme) P(JoaoAvisa ∩∩∩∩ MariaAvisa)

Note que esta formulação está em conformidade com o enunciado do Teorema de Bayes da equação (7). Agora, desmembramos o denominador da razão acima:

P(JoaoAvisa ∩∩∩∩ MariaAvisa) = P(JoaoAvisa|alarme) * P(MariaAvisa|alarme) * P(alarme) + P(JoaoAvisa|¬alarme) * P(MariaAvisa|¬alarme) * P(¬alarme) Podemos observar que o processo de inferência bayesiana é recursivo, ou seja, o raciocinador deve-se reportar ao valor de P(alarme) sendo que esta variável é dependente de seus pais, os nodos ASSALTO e TERREMOTO. O cálculo de P(alarme) já foi realizado no exemplo anterior. Contudo, para obter a probabilidade P(¬alarme) basta aplicar o axioma (f) elucidado anteriormente.

Com estas considerações e especificações podemos seguir com a demonstração do cálculo:

P(alarme|JoaoAvisa ∩∩∩∩ MariaAvisa) = 90% * 70% * 0,25%

(90% * 70% * 0,25%) + (5% * 1% * 99,75%)

Nota: pequenas diferenças foram verificadas nos cálculos de simulação. Isso se deve ao fato dos critérios de truncamento e arredondamento utilizados pelo software Netica influenciarem na precisão dos valores finais. 2.5.5 Limitações das Redes Bayesianas diante da imprecisão

O exemplo do problema do ALARME demonstra uma típica aplicação em que as Redes Bayesianas Clássicas e o raciocínio bayesiano é eficaz em processo de classificação no que refere-se ao apontamento das hipóteses (saída). Isso é plausível ao observarmos que os estados das variáveis probabilísticas são de natureza discreta e bivalente.

Entretanto, observe a Rede Bayesiana ilustrada na figura 17 a seguir:

Figura 17 – Rede Bayesiana para Diagnóstico de Risco Metabólico Fonte: Nassar (2012)

Os estados que consituem as variáveis probabilísticas de entrada da Rede Bayesiana, embora, especificados e tratados como estados discretos, denotam subjetividade, se considerarmos sua inserção num contexto de domínio real. Por exemplo, observamos a especificação dos estados da variável PIMC (representada pelo Percentil do Índice de Massa Corpórea, em crianças e adolescentes). Magreza, Normal, SobrePeso, Obeso e ObesoGrave estão associados a conceitos subjetivos, imprecisos e até mesmo sugerem sobreposição entre os mesmos.

Esta especificação propõe de certo modo uma indagação: qual o grau de influência sobre o raciocínio plausível e a significância da informação que gera um novo conhecimento se considerarmos um indivíduo com valores ou medidas aferidas de modo a ficar no estado – SobrePeso e deste passar para o estado – Obeso?

Conforme os pressupostos da Teoria da Possibilidade, segundo Ross (1995), termos subjetivos ou linguísticos como estes descritos no exemplo da Rede Bayesiana da figura 17 possuim uma característica natural de sobreposição ou intersecção.

O método de inferência bayesiano clássico não releva o fator imprecisão existente no domínio e, de acordo com a argumentação

realizada no trabalho de Mayer (2012), este tipo de raciocínio plausível sobre imprecisão acarreta em classificações equivocadas, não conferindo de modo correlato ou similar aos resultados mais realistas do ponto de vista daqueles obtidos pelo raciocínio aproximado do especialista humano.

No caso da Rede Bayesiana da figura 17, que foi simulada por Mayer (2012), uma mudança na confirmação das evidências representadas pelos estados da variável PIMC, por exemplo, de SobrePeso para Obeso ou de Obeso para ObesoGrave implica em mudanças abruptas na classificação da saída representada pela variável RiscoMetabólico em termos de valores de probabilidade. Segundo Mayer (2012), classificações nos limítrofes interferem no diagnóstico final.

Conhecido o fato de que o método de inferência bayesiano pode ser ineficaz em classificações realizadas em um domínio que, não somente é modelado por variáveis probabilísticas, mas que possui variáveis linguísticas oriundas de conceitos vagos, imprecisos ou sobrepostos, é pertinente investigarmos abordagens híbridas no campo do tratamento estocástico do conhecimento.

Para tal, na sequência deste trabalho será realizada uma revisão sobre a Teoria da Possibilidade, especificamente, retratando a Lógica Fuzzy como solução para a modelagem de variáveis linguísticas de domínios com imprecisão. O objetivo é convergir para um segmento de pesquisa que descreve formas híbridas de tratar conhecimento sobre incertezas, e, mais especificamente, com o propósito de preencher lacunas no campo do estudo das Redes Fuzzy-Bayesianas.