Pretende-se neste trabalho resolver estruturas lineares complexas mas que possam ser sempre colocadas como um conjunto de elementos unidos entre si; esses elementos são supostos conhecidos. Pretende-se considerar a estrutura 'resolvida quando forem conhecidos os esforços nas extremidades de todas as barras, os deslocamentos dos nós e as reações nos apoios para um carregamento qualquer na estrutura, composto tanto de cargas aplicadas aos nós quanto ao longo dos elementos.
Não havendo carga ao longo do elemento i, é possível determinar os esforços nas extremidades do elemento pela expressão (2.13):
Essa expressão decorre da definição de [r] .
1
(2. 37)
[r] . é
1
aqui suposta conhecida. Conhecidos então os
{õ}.
saem os1
{P}; provocados por eles. Havendo, entretanto, cargas ao longo das .barras, é possível existirem forças {P
0 }i segundo as coordenadas locais sem que hajam deslocamentos {ó}i, isto é, para deslocamentos assumidos nulos segundo essas coordenadas. Uma forma mais geral para a (2. 3 7) seria então:
(2. 38)
Os deslocamentos { ô} i , nas coordenadas do elemento, podem ser determinados a partir dos deslocamentos nodais através da matriz de incidência cinemática, que serve para posicionar cada elemento na estrutura; assim:
[/l] i
{u)
(2. 39)Com a matriz de rigidez [R] da estrutura, obtida a partir das matrizes de incidência cinemática e das matrizes de rigidez das barras, se não houverem cargas ao longo das barras e se a matriz [R] for não singular, seria possível obter os deslocamentos dos nós, ou o vetor {u},da expressão (2.12), que permite calcular as forças segundo as mesmas coordenadas; assim:
{F'}
[R] {u}
Havend? cargas ao forças segundo as
(2. 40)
longo das barras, poderão existir coordenadas globais mesmo com
deslo~amentos nulos segundo essas coordenadas; assim, uma forma mais geral para a (2.40) seria:
{F} {F } + [R] { u}
o (2. 41)
o vetor {F }
o corresponde às forças segundo as coordenadas globais com todos os deslocamentos,. nessas coordenadas, impedidos.
É comum passar .~sse {F } para o primeiro membro da o
expressão (2.41), cà~o em que o vetor
-{F }
teria a mesma ocondição do vetor de f·oiças nodais {F}. A esse vetor será atribuído o noffie de vetor de forças nodais equivalentes·
às cargas de barra, definido por:
-{F }
o (2. 42)
Os vetores ou {F }
o serão oportunamente relacionados aos
A expressão (2.4l), com (2.42) poderá ficar como:
{F}
+{F }
eq [R] {
u}
(2. 43)Para obter os deslocamentos incógnitos {u} a partir da expressão (2. 43) é necessário ainda que [R] seja não-singular, caso contrário os deslocamentos serão indeterminados. Para que [R] seja não-singular é
necessário que a estrutura tenha vínculos que determinem geometricamente sua posição; esses vínculos poderão ter sido introduzidos a priori, ou poderão ser introduzidos como condições de contorno adicionais ao sistema de equação que resultou na expressão (2.43).
As reações {F}, correspondentes a vínculos r
introduzidos segundo as coordenadas globais, na forma de condições de contorno, serão calculados a partir de condições de equilíbrio dos nós.
2.7.2 Forças Nodais Equivalentes às Cargas de Barra
O vetor de forças {F } segundo as coordenadas globais o
e correspondente a deslocamentos nulos segundo coordenadas, pode ser facilmente relacionado ao {P } que contém numa sequência ordenada todos os
o
essas vetor {Po}i' que são forças nas coordenadas locais correspondentes a deslocamentos nulos nessas coordenadas da barra i.
As forças {F } e {P } correspondem a um mesmo estado
o o
de forças em equilíbrio.
Sejam os deslocamentos virtuais {u} e
{ó}
compondo um estado de deslocamentos compatíveis e portanto relacionáveis por:{ li} [/l]
(u)
.(2 .44)Impondo o estado de deslocamentos ao estado de forças, tem-se do P.T.V., conforme (2.8):
{F }
o
{P }
o (2 .45)Da (2.44) em (2.45):
{F } o donde:
{F }
o [{l]t {P } o
Da (2.42) com (2.46), então, tem-se:
t - [ {3]
{P }
o
(2. 46)
(2. 4 7)
É interessante observar, partícionando [~] e {P } da o expressão (2.47), que {F } pode ser obtido como um
eq conjunto de contribuições isto é:
de cada barra em separado,
{P o} 1
-[[{3]~
. t... [{3]~]
n{F . eq } = ••• [{3] . 1 {P o} i
-L:
[{l]t 1 { P o} i i "'1{Po}n
ou então, separando as contribuições:
com:
n
2:
i •1
2.7.3 Condições de Contorno
(2. 48)
(2. 49)
Existiriam diversos tipos de condições de contorno que poderiam ser impostas ao sistema de equações em {u}
formulado pela (2. 40) ou (2. 43); a única a ser t.ratada neste capítulo será a correspondente à introdução de vínculos rígidos segundo as direções das coordenadas globais.
Para impor que o deslocamento ul segundo a coordenada
t
global deverá ser -nulo, considere-se, com {Feq}, se existir, já adicionado a {F}, o sistema (2.40) ou (2.43) na forma:Fl Rll Rl
e
Rln ulF
e
Rtl Re f.
Renue
(2. 50)F n Rnl Rn
t
R nn u nCom
ui=
O tem-se em {u} uma incógnita a.menos, e em cada equação j um termo Rji. ui = O A l-ésima equação terá em compensação uma incógnita Fi a m.;tis; essa equação poderia servir para calcular a reação no vínculo adicionaqo, mas esse cálculo será feito de outra maneira, por equílibrio de nó, o que permitirá destruir essa i-ésima equação. Para não condensar o sistema, agora com uma incógnita a menos, substituir-se-à essa equa·ção por uma que reproduza a condição de ui O, isto é, anular-se-á a linhat e
a coluna i de [R}, excetuando RU que será feito igual a 1, e se substituirá Fi por zero.Com isso o sistema (2.50) ficará na forma:
o
F n
o
R nl
o
1
o
o
R nn u n
(2. 51)
Aplicar-se-á esse aitifício para cada vínculo que for adicionado. Com a eliminação da equação que permitiria o cálculo da reação em cada vínculo adicionado, resta agora o problema de determinar essa reação de outra maneira.
2.7.4 Cálculo de Reações
Prevendo a possibilidade de aplicar forças externas segundo quaisquer das coordenadas globais, mesmo aquelas
segundo as quais seriam seja o estado de forças,
introduzidos vínculos externos, em equilíbrio, com {F} e {F }
r
segundo essas coordenadas globais, e com {P} segundo as locais.
A esse estado de forças1 pode-se aplicar um estado de deslocamentos 1 virtual, com { u} segundo as coordenadas globais e {
õ}
segundo as locais, e compatível, valendo portanto:{õ}
[/3]{u)
(2. 52)Do P.T.V., isto é, de (2.8):
{u}t
{{F}+ {F}}r (2. 53)
Da (2.53) com (2.52):
{u}t
{{F}+ {F}}r
donde:
{F } - {F} + [ /3] t { P}
r
Evidentemente [/3] e {P} podem ser particionados, obtendo-se com isso:
{F }
rn
- {F} +
L
i~ 1
(2. 54)
Esse vetor de reações inclui, é claro, também as
11reações11 teoricamente nulas segundo as coordenadas sem vinculação.
2.7.5 Exemplos
2.7.5.1 Exemplo 1 -Viga Contínua
Determinar os deslocamentos nodais {u}, as forças
{P}.
l
nos elementos e as reações {F } para a viga contínua da
r
Fig. 2.18.a, a partir das forÇas nodais (F), das forças
{P }.
nos elementos, e das matrizes de rigidez [r] ,desseso l l
elementos. Adotar as coordenadas globais da Fig.2.18.b e as locais da Fig.2.18.c.
Er:gsot 1m2
l
I o I5m
i, .I j,
1
Sm 6m 6m
'
1 2 3 4
@: CD @: ® (5 0 €,
I b I1 2 1 2
C5 CD € (S 0 €
l 2 I c I
C5 ® (6.
Fig. 2.18 -Exemplo l. Viga Continua
a) Matrizes de rigidez dos elementos
São obtidas diretamente; em particular, para as coordenadas locais da Fig. 2 .18. c, Ja foram determinadas no item 2.4.5.1, expressas pela (2.16):
4EI 2EI
-e-[r].=
1 2EI 4EI
-e-Substituindo-se os valores numéricos:
[ 480 [r]l =
240
240]
480 [
640 [r] = [ r ] =
2 3 320
320]
640
b) Forças {P }. nos elementos o 1
São obtidas diretamente, com tabelas elementares da estática clássica.
!
-5,333 5' 333 + - 4,219 7,031) l
-12,364 91 552 )f 4,500) 1-4,500
l:)
c) Forças nodais {F} aplicadas
o
-7,00
{F}
o o
d) Matrizes de incidência cinemática
São obtidas também diretamente, conforme item 2.5:
50
o o
1
o
1
o o
1o
1o o
e) Natriz de rigidez da estrutura
A contribuição de cada barra é obtida com a expressão (2.35); assim:
1
o
480 240o o
o
1['""
240[: o o o
240 480o o
[R] 1
o o
240 480 1o o o o o o
o o o o o o
o o o o o o
o
[640 320][o
1o o]=
1 320 640
o o
1o
o
640 320o
1
o
320 640o o
o o o o o o
o o o o o o
o
[640 320][o o
1o]= o
o
320 640o o o
1o
o o o
o
640 320
o
1
o
1o o
320 640Com isso, somando, conforme expressão (2. 36)
480 240
o o
240 1120 320
o
[R]
o
320 1280 320o o
320 640f) Forças nodais equivalentes às cargas de barra
A contribuição de cada barra é obtida a partir dos {P } conforme expressão (2.48):
o i
l
o
-9,552o
l{ 'm}
l2,364(F eq} 1
o o
-12,364o
o o o
o o o
l
o
{
4,500}
-4,500{F eq} 2
o
l 4,500 4,500o o o
o o o
o o o o
l
o o o
o
lo
Somando, conforme expressão (2.48), tem-se:
g) Com
Condições
-9,552 7,864
4,500
o
de contorno
{F), {Feq} e [R] o sistema
-9,552 480 240 0,864 240 ll20
4,500
o
320o o o
de
o
320 1280 320
Impondo as condições de contorno,
o
1o o
0,864
o
1120 3204,500
o
320 1280o o o o
equações fica:
o
ulo
u2320 u3 640 u4
conforme item 2.8.3:
o
ulo
u2o
u31 u4
h) Deslocamentos nodais {u}
Resolvendo o sistema de equações anterior chega-se a:
o
-0,000251
{u)
0/003578
o
i) Deslocamentos {ô}. nas extremidades dos elementos
1
Da expressão (2.39), que define os [~]i
[:
1o o o :]
[:
1
o o
1
:]
[:
o o
1
o :]
o
-0,000251 0,003578
o o
-0,000251 0,003578
o o
-0,000251 0,003578
o
l
-0,000251) 0,003578j) Forças {P}i nas extremidades do elemento
Tendo {P } ' o i expressão (2.38):
[r] .
1 e obtem-se as com a
''''" j_,:::::). [::: :::] j_,_:,,,,,) j_,:::::)
{P}
2
=
l
4,500) + [640 320.~-0,000251)
-4,500 320 640 0,003578
1
-2,290 5,484)t) Reações {F } segundo as coordenadas globais
r
As reações podem ser obtidas a partir das {F} e das {P}. com a expressão (2.54):
1
o
1o o o
-71 OQ
o
1l '·"')
1o l , '"')
{F }= -
+ + +r
o o o
-12,484o
1 -2,290o o o o o
o o
+
o
1: j: :::j
o
1Efetuando:
9, 492
o
{F }
r
o
1,145
2 .7.5.2 Exemplo 2 -Treliça Plana
Determinar os deslocamentos nodais {u}, as forças {P};
nos elementos e as reações {F } para a treliça da Fig.
r
2.19.a, a partir das forças nodais {F} e das matrizes de rigidez [r]. dos elementos. Adotar as coordenadas globais
1
da Fig.2.19.b e as locais da Fig.2.19.c. Todas as barr~s
têm o mesmo comprimento l = Sm e EA = 20000tf.
I a I I b I I c I
Fig. 2.19- Ex.emplo 2. Treliç:a Plana
a) Matrizes de rigidez dos elementos
É imediato obtê-las diretamente; como todas as barras são iguais:
[r] = [r] = [r] = [r] =
1 2 3 4
{F}
o o o o o
-6
o o
~[
1 -1]=[ 4000e
-1 1 -4000-4 000]
4000
c) Matrizes de incidência cinemática
o o
o o
o o o o
o o o
1o ]
1
o o
0,500
o o o o o
o o o
0,866 0,500o
[ : o o
0,866 o -0,500 o o' 866o
-o'o
500o
o-0,500
o o o
o o o o
o o o o
o
0,866o,soo o
d) Matriz de rigidez da estrutura
o o o o o
[R]l =
o o
: . [ 4000 -4000]·
[o
o
-4000 4000o
o
1o o
1
o
60
o o
o o
o
0,866o
0,866o o
o o o o o o o o
1o
: l
:]
Efetuando:
o o o o o o o o
o o o o o o o o
o o o o o o o o
[R] =
o o o o o o o o
1
o o o o o o o o
o o o o o
4000o
-4000o o o o o o o o
o o o o o
-4000o
40000,866
o
0,500
o
o o
o [ '"'" '"""]
[R] =
o
2
o
0,866 -4000 4000o
0,500o o
o o
0,500
o o
o
00]o o
0,866 0,500o
o o
o
Efetuando:
3000 1732
o o
-3000 -1732o o
1732 1000
o o
-1732 -1000o o
o o o o o o o o
o o o o o o o o
[R] =
2 -3000 -1732
o o
3000 1732o o
-1732 -1000
o o
1732 1000o o
o o o o o o o o
o o o o o o o o
o o
o o
o
0,866o
-0,500['""' '"""]
[R] =
3 0,8€?6
o
-4000 4000 -0,500o
o o
o o
. [00
o
o
0,866 -0,500o o
Efetuando:
o o o o o o o o
o o o o o o o o
o o
3000 -1732 -3000 1732o o
[R] ~
o o
-1732 1000 1732 -1000o o
3
o o
-3000 1732 3000 -1732o o o o
1732 -1000 -1732 1000o o
o o o o o o o o
o o o o o o o o
0,866
o
-0,500
o
o o
o o [ """ '"""]
[R] ~
4
o o
-4000 4000o o
o
0,866o
-0,500-0,500
o o o o o
o o o o o
0,866Efetuando:
3000 -1732
o o o o
-3000 1732l -1732 1000o o o o
1732 -1000o o o o o o o o
[R] =
o o o o o o o o
4
o o o o o o o o
o o o o o o o o
-3000 1732
o o o o
3000 -1732 1732 -1000o o o o
-1732 1000o o
o o
o
0,866o
0,500[ '""' '"'"]
[R] =
5
o o
-4000 4000o o
0,866
o
0,500
o
o o o o
0,866. [00
o
o
0,866 0,500o o o
o o o o o o o o
o o o o o o o o
o o
3000 1732o o
-3000 -1732 [R] =o o
1732 1000o o
-1732 -10005
o o o o o o o o
o o o o o o o o
o o
-3000 -1732o o
3000 1732o o
-1732 -1000o o
1732 1000Com isso, somando, conforme expressão (2 .36):
6000
o o o
-3000 -1732 -3000 1732o
2000o o
-1732 -1000 1732 -1000o o
6000o
-3000 1732 -3000 -1732 [R]=o o o
2000 1732 -1000 -1732 -1000-3000 -1732 -3000 1732 6000
o o o
-1732 -1000 1732 -1000
o
6000o
-4000-3000 1732 -3000 -1732
o o
6000o
1732 -1000 -1732 -1000
o
-4000o
6000e} Imposição das condições de contorno
O sistema {F} [R] (u), depois de impostas as condições de deslocamentos nulos segundo as coordenadas 1, 2, 3 e 4 fica:
o
1o o o o o o
o o
1o o o o o
o o o
1o o o o
o o o o
1o o o
o o o o o
6000o o
-6
o o o o o
6000o
o o o o o o o
6000o o o o o o
-4000o
f) Deslocamentos nodais
Resolvendo o sistema anterior resulta:
{u}
o o o o o
-0,001800
o
-0,001200
o
ulo
u2o
u3o
u4o
u5-4000 u6
o
ul6000 u8
g) Deslocamentos
{&}.
das extremidades dos elementos1
Da expressão (2.39):
o o o
{&}1
=[: o o o o o o
:] o {-' "'""')
o o o o
1o o
-0,001800 -0,001800
o
-0,001200
e, analogamente:
{&}2
l
-0,000900o )
{ & } 3
l
o' 0000900){ó}4 j
0,000600o )
{ó}s
j
-0' 0000600)h) Forças {P}. nas extremidades dos elementos
1
Da expressão (2.37):
-4 000
] j
-0,001200)j
2,400)-0,001800 -2,400 [
4000
-4000 4000 e, analogamente:
{ti}
2
j ' '"")
-3,600{ p}
3l ' '"")
-3,600{P} 4 1 ' ''" )
2,400{P} 5 1 '·"" )
2,400i) Reação {F } r
Tendo {F} e os {P}., da expressão (2.54) tem-se:
1
o o o
0/866o
o o o
0,500o
o o o o o
{F }
=-o o o
1' ""t o o 1 '·'"")·
r +·
o
-2,400 0,866 -3,600o o o
-6
o
1o
0,500o o o o o
o
1o o o
o o
0,866o
o o
-0,500o
o
0,866o o
o
-0,500l ' '"")· o o l '·'""}
+
0,866
o
-3,600o o
2~400-0,500
o o o
-~o o o
0,866o o o
-0,500o o
1,039o o
3,000o
0,866j'·'""l~
-1,039o
0,500 3,000+
o o
2,400o
o o o
0,866
o o
0,500
o o
2.7.5.3 Exemplo 3 - Pórtico Plano
Determinar os deslocamentos nodais (u}, as forças { p} i nos elementos e as reações {F } para o pórtico da
r
Fig.2.20.a, a partir das forças nodais {F}, das forças
{P }. nos elementos e das matrizes [r]. desses elementos.
o 1 1
Adotar as coordenadas globais da Fig.2 .2D.b e as locais da Fig.2.20.c.
EI :: lOOOO tf m2 E
EA = 30000 lf
5 tf m I o I
2 5
cS\ cS*4
4
l
CD 0
3 3 6
I b I I c I 3
Fig. 2.20- Exemplo 3. Pórtico Plano
a) Matrizes de rigidez dos elementos
Com procedimento análogo aos do item 2.4.5 é possível determinar diretamente:
-e-
EAo o -e-
-EAo o
12EI 6EI -12EI 6EI
o o
-e3 e2 e3 ez
6EI 4EI - 6EI 2EI.
o o
j[r] . =
ez e ez e
1
-e-
-EAo o -e-
EAo o
-12EI -6EI 12EI -6EI
o o
e3 t2 t3 t2
6El 2EI
-
6EI 4EIo o
ez e ez e
Substituindo valores numéricos tem-se:
4286
o o
-4286o o
o
350 1224o
-350 1224o
1224 5714o
-1224 2857[r] =
I -4286
o o
4286o o
o
-350 -1224o
350 -1224o
1224 2857o
-1224 57147500
o o
-7500o o o
1875 3750o
-1875 3750o
3750 10000o
-3750 5000 (r] =2 -7500
o o
7500o o
o
-1875 -3750o
1875 -3750o
3750 5000o
-3750 10000b) Forças {P
0
}i
nos elementosDe tabelas elementares da Estática c;ássica:
o o
2,361 -7,000
4, 408 -4,000
{P }
=o 1
o
{P } o ~ =o
3,639 -3,000
-5,878 2,667
c) Forças nodais {F} aplicadas
o o o o
{F}
o
-5,000
o o o
d) Matrizes de incidência cinemática
São obtidas facilmente, conforme item 2.5:
1
o o o o o o o o
o
1o o o o o o o
[ !ll
=o o
1o o o o o o
. 1
o o
o o
1o o o o
o o o o
1o o o o
o o o o o
1o o o
o o o o o o o
1o
o o o o o o
-1o o
o o o o o o o o
1[ 131
=2
o o o o
1o o o o
o o o
-1o o o o o
o o o o o
1o o o
e) Matriz de rtgidez da estrutura
A contribuição de cada barra é obtida com a (2. 35) Assim:
[R] = 1
[i3J
t1 [r] 1 [/3] 1 ou:
4286
o o
-4286o o o o o
o
350 1224o
-350 1224o o o o
1224 5714o
-1224 2857o o o
-4286
o o
4286o o o o o
[R] =
1
o
-350 -1224o
350 -1224o o o o
1224 2857o
-1224 5714o o o
o o o o o o o o o
o o o o o o o o o
o o o o o o o o o
[R] =
2 [/3] 2 [r] 2 [/3]2
ou:
o o o o o o o o o
o o o o o o o o o
o o o o o o o o o
o o o
1875o
3750 -1875o
3750 [R] ~2
o o o o
7500o o
-7500o
o o o
3750o
10000 -3750o
5000o o o
-1875o
-3750 1875o
-3750o o o o
-7500o o
7500o
o o o
3750o
5000 -3750o
10000Com isso, somando, conforme expressão (2. 36) :
4286
o o
-4286o o o o o
o
350 1224o
-350 1224o o o o
1224 5714o
-1224 2857o o o
-4286
o o
6161o
3750 -1875o
3750[R]~
o
-350 -1224o
7850 -1224o
-7500o o
1224 2857 3750 -1224 15714 -3750o
5000o o o
-1875o
-3750 1875o
-3750o o o o
-7500o o
7500o
o o o
3750o
5000 -3750o
10000f) Forças nodais equivalentes às cargas de barra
A contribuição de cada barra é obtida a partir das {P } com a expressão {2.48):
o i
1
o o o o o
1o o o o o
1o o o o o
1o
{F eq} 1
o o o o
1o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o
o o o o o o o o o o o o o o o o o o o
-1{F eq} 2
o o o
1o o o o o o o
-1o o o
1
o o o o o o
1o o
o o
o o o
o
2,36l -2,361o
-4,000 -4,408o o o
1 3, 639 -3,639
o
-5,878 5,878o o
o o
o o
o o o
o
-7,000o
o
-4,000 -3,000o o o
1 -2,667
-3,000
o
2,667 -7,000o o
o
4,000Somando, conforme expressão (2.48), tem-se:
o
-2,361 -4,408 -3,000
{F } ~
eq -3,639 3,211 -7,000
o
4,000
g) Imposição das condições de contorno
Tendo {F), [R], depois de impostas as condições de deslocamentos nulos segundo as coordenadas 1, 2, 7, 8 e 9, tem-se o sistema de equações em {u} na forma:
o
1o o o o o o o o
ulo o
1o o o o o o o
u2-4,408
o o
5714o
-1224 2857o o o
u3-3,000
o o o
6161o
3750o o o
u4-3,639
o o
-1224o
7850 -1224o o o
u5-1,789
o o
285'7 3750 -1224 15714o o o
u6o o o o o o o
1o o
u7o o o o o o o o
1o
UBo o o o o o o o o
1 u9h} Deslocamentos nodais
Resolvendo o sistema anterior chega-se a:
o o
-0,0009763 -0,0005822 {u} -0,0005914 0,0001565
o o o
i) Deslocamentos { ó} i das extremidades das barras Da expressão (2. 39) '
o
1
o o o o o o o o o
o o
1o o o o o o o
-0,0009763o o o
1o o o o o o
-0,0005822-0,0009763 { ó} ~
1
o o o
lo o o o o
-0,0005914-0,0005822
o o o o
lo o o o
0,0001565 -0,0005914o o o o o
1o o o o
0,0001565
o
o
o o o o o o o o o o o o o o o o o o {ô} ~
2 o o o o 1 o o o o -1 o o o o
o
oo
lj) Forças { p} i Com a expressão
{P} ~ 1
o
2,361 4,408
o + 3,639 -5,878
o o
-0,0005914 -0,0005822 -0,0005914 0,0001565
o o 1 o o
o -1 o o -0,0009763
o o o 1 -0,0005822
o o o o -o, ooo5914
-0,0005914 o o o 0,0001565
0,0005822
o
o oo 0,0001565
o
o
nas extremidades dos elementos (2. 37) '
4286 o o -4286
o
oo 350 1224 o -350 1224 o 1224 5714 o -1224 2857
-4286 o o 4286 o o
o -350 1224
o
350 1224 o 1224 2857 o -1224 5714ou:
{P} = 1
{ p} = 2
ou:
{P} = 2
2, 495 1,565
o
-2,495 4,435 -7,049
o
-7,000 -4,000
+
7500
o o
-7500 -3,0002,667
o o o
-0,0005914 0,0005822 0,0001565
4,436 :-7,505 -5,401 -4,436 -2,495 -2,049
o o
o o
-7500o o
1875 3750
o
-1875 3750o o
7500o o
-1875 -3750
o
1875 -3750 3750 5000o
-3750 10000t) Reações {F }
r
As reações, segundo as coordenadas globais, podem ser obtidas com a expressão (2. 54) ' a partir das {F} e das
{P} . i .
o
1o o o o o
o o
1o o o o
o o o
lo o o
2,495o o o o
lo o
1,565{F } = -
o
+o o o o
lo o
+ r-5,000
o o o o o
l -2,495o o o o o o o
4,435o o o o o o o
-71 049o o o o o o o
o o o o o o
2,495o o o o o o
1,565o o o o o o
4,436o
o o o o
- lo
-7,505o
+
o o o
1o o
-5,401o
o o o o o
1 -4,436o
o
-1o o o o
2,495 7,505l
o o o o o
2,049 4,436o o
1o o o
-5,401CAPÍTULO III
APLICAÇÃO DO PROCESSO DOS DESLOCAMENTOS AO CÁLCULO ·DE PÓRTICOS PLANOS