MATRICIAL DE ESTRUTURAS INTRODUÇAO -

(1)

STILA 51

UNIVERSiDADE DE SÃO PAULO F.SrOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS

INTRODUÇAO -

A '

Al~ÁLISE MATRICIAL DE

ESTRUTURAS

JOÃO CARLOS ANTUNES DE O. E SOUZA HELENA M.

C.

CAR,tO ANTUNES AGOSTO DE 2000 Código 01098

(2)

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS

INTRODUÇÃO A '

r

ANALISE MATRICIAL DE

ESTRUTURAS

2ª EDIÇÃO - 1995

REIMPRESSÃO /2000

JOÃO CARLOS ANTUNES DE O. E SOUZA

(3)

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

REITOR: FLÁVIO FAVA DE MORAES

PRODUÇÃO: DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS

Datilografia: Rosi A. J. Rodrigues

Desenho: Francisco Carlos Guete de Brito

Impressão: Serviço Gráfico da EESC

(4)

CAPÍTULO I

INTRODUÇÃO

1.1 OBJETIVOS

Neste trabalho pretende-se apresentar as bases essenciais para o cálculo de estruturas lineares usuais utilizando computadores, desenvolvendo de forma introdutória a formulação matricial apropriada, sacrificando um pouco a generalidade das teorias matriciais com o objetivo de efetivamente tornar o assunto acessível a qualquer estudante de engenharia civil, ou a qualquer. profissional entusiasmado com a informatização de seus processos de cálculo.

Essas limitações, que serão assumidas propositalmente, dizem respeito a se pensar apenas em efeitos estáticos, com a teoria da elasticidade linear de primeira ordem, e a se encaminhar a análise de estruturas apenas pelo

(5)

O processo dos deslocamentos é um dos processos gerais da estática clássica; nesses processos gerais resolve-se uma determinada estrutura recorrendo a estruturas de cálculo conhecido, anulando esforços ou deslocamentos e posteriormente impondo esses esforços ou deslocamentos, incógnitos, no sentido de reproduzir o problema original.

Esses esforços, ou deslocamentos, são determináveis a partir de condições de coerência, respectivamente, de deslocamentos e esforços. O processo dos deslocamentos corresponde à segunda alternativa colocada e será aplicado de uma maneira particular recaindo em barras, ou elementos, de cálculo conhecido.

1 • 2 CONTEÚDO

Com as limitações previstas em 1. J" procurou-se dar a este trabalho um cunho sequencial e didático, partindo de um desenvolvimento teórico simples, gerando um primeiro_

programa elementar e depois introduzindo sofisticações nesse programa elementar.

O capítulo II traz, então, um apanhado teóriCo, com diversos exemplos, conceituando sistemas de coordenadas, matrizes de rigidez e de incidência cinemática, e com isso desenVolvendo a solução matricial de qualquer tipo de estrutura, ainda sem pensar em aplicações computacionais.

No capítulo III pensou-se em aplicar as teorias matriciais desenvolvidas, a um tipo particular de estrutura, mas que tivesse complicações as mais gerais;

optou-se pelo detalhamento do cálculo de pórticos planos, chegando-se, no fim do capítulo, a um detalhamento dos

algoritmos para um PROGRAMA ELEMENTAR PARA

PÓRTICOS PLANOS , prevendo imposição de cargas em nós ou em barras, sobre pórticos planos só com vínculos rígidos, sem deslocamentos impostos.

(6)

Esses capítulos poderiam, perfeitamente, ser utilizados

de graduação relacionada à

numa

anteriores

introdução à informática para alunos disciplina em engenharia civil,

Estática das Estruturas.

em

(7)

CAPÍTULO II

NOÇÕES FUNDAMENTAIS

2.1 PREMISSAS BÁSICAS

a) A estrutura pode ser definida como um conjunto de elementos unidos entre si.

b) Os pontos do elemento outros elementos são elemento.

suscetíveis de se unirem a chamados extremidades desse

c) Os pontos de união dos elementos são chamados nós da estrutura.

d) A união de elementos é feita de forma a satisfazer as condições de equilíbrio e compatibilidade da estrutura.

(8)

2.2 SISTEMAS DE COORDENADAS

Para identificar e ordenar forças e deslocamentos, das extremidades dos elementos ou dos nós da estrutura, é interessante adotar ¹¹direções ¹¹^, ou coordenadas, devidamente numeradas, que permitam estabelecer a correspondência com as variáveis envolvidas no problema.

Essas coordenadas Poderão ser caracterizadas como locais ou como globais.

2~2.1 Coordenadas Locais

As coordenadas locais estarão associadas às extremidades do elemento, e devem permitir que se associe a elas as forças e deslocamentos relevantes das extremidades dos elementos. Alguns exemplos de coordenadas locais constam da Fig.2.1.

Em relação às coordenadas locais, serão definidos os vetores:

{P} -7 vetor das forças nas extremidades do elemento { ó}

->

vetor dos deslocamentos das extremidades do

elemento

(§'----+r.€ L ^_i

d: c!: ^~- .. ^~e;

V 1 G A PÓRTICO PLANO GRELHA

Fig. 2.1- Coordenados Locais

(9)

2.2.2 Coordenadas Globais

As coordenadas globais estarão associadas aos nós da estrutura e devem ser tais que se possa associar a elas as forças aplicadas a esses nós e os deslocamentos relevantes deles.' Alguns exemplos de coordenadas globais constam da Fig. 2.2.

Em relação às coordenadas globais serão definidos os vetores:

(F} _, vetor das forças nodais

{u} 7 vetor dos deslocamentos nodais

V I G A PÓ R TI CO PLANO GRELHA

Fig. 2.2- Coordenadas Globais

(10)

2.3 O PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS

o Princípio dos Trabalhos Virtuais, ou P. T. V. , é, também na organização matricial da Estática Clássica, uma ferramenta teórica extremamente valiosa~ valendo a pena ressaltar alguns resultados intermediários, bastante interessantes, obtidos de sua aplicação.

Sejam definidas as coordenadas globais da Fig.2.3a, às quais possam ser associados os vetores {F} e {u}, das forças e deslocamentos nodais, respectivamente. Seja a estrutura constituída por um certo número de elementos e sejam as coordenadas locais, definidas para o i-és:i.mo elemento, as que constam da Fig.2.3.b, para as quais possam ser definidos os vetores {P). e {õ)., das forças e

1 1

deslocamentos das extremidades do elemento.

l 2 3 1 2

ª

Fig. 2.3- Coordenadas

⁽ⁱ⁾ ^@

^{I a}^I

^@ ⁰

Globais e Locais

^@-CD.,-i

^{I b I}

^-F-.(2;

Seja um estado de forças 1 representado na Fig. 2. 41

onde se supõe que haja equilíbrio entre forças nodais

(11)

cargas de barra e esforços internos, chamados estes genericamente por f.

"CARGAS"

~~0~

^F1 F2 F3 F4 Fig. 2.4- Estado de Forças

Seja um estado de deslocamentos compatíveis sobre a mesrna

{li } '

1

est:r·utura, segundo as

com deslocamentos linearizados {u} e coordenadas globais e as locais do.

elemento i, resp~.ct.ivp,tllente i seja também d'I' a deformação

genéricaceor;;~Esl_~~·~jY'

ao esforço interno genérico f.

Seja esse estado o representado na Fig.2.5.

Fig. 2.5 - Eslado de Deslocamentos

Valendo o P.T.V., tem-se para a estrutura:

{F}t {u} + Ttotal

cargas

I

_estrutura^f ^{d "} ^{(2 .l)}

(12)

Valendo o P.T.V., tem-se para o elemento i:

mas

(P}t

{õ} +

1 1

to ta ·1

T cargas

e também

J

f d "

estrutura

Ti cargas

-I

. ^f ^{d "}

1

Ti cargas

z:J.fd'l'

1

(2. 2)

(2. 3)

(2. 4)

A.plicando a {2 .2) para todos os elementos§ somando e levando em conta a (2.3) e (2.4) tem-se, com a (2.1):

L {P}t

{ó}

i

Se se quiser organizar todos os {P}.e todos os dois vetores {P} e {õ}, conforme (2.6) ¹e (2.7):

(2. 5)

{ó}.em

1

(13)

{P} ^{(2. 6)}

{P} n

{li} (2. 7)

{ li }

n

ter-se-á, da (2. 5) :

Aplicações interessantes dos resultados (2.5) e (2.8) serão vistas ·nos itens subsequentés.

2.4 MATRIZ DE RIGIDEZ

2.4.1 Conceituação de Rigidez na Estática Clássica Rigidez é definida, para estruturas

geral, como a relação entre urna força e o

elásticas em deslocamento

(14)

elástico correspondente, ou como a ¹¹força ¹¹ necessária para provocar um deslocamento unitário em sua direção e sentido.

Esse conceito será estendido no sentido de se procurar relacionar diretamente um vetor de forças, segundo certas coordenadas, a um vetor de deslocamentos, segundo as mesmas coordenadas i sejam, só para argumentar, essas coordenadas supostas como globais. Observe-se agora que a um deslocamento unitário s,egundo a i-eSlma coordenada poderão corresponder forças, assimiláveis a rigidezes, segundo todas as coordenadas/ isto é:

{u}

u n

o

1

o

->

{F} R ..

1 1 (2. 9)

Nesse sentido1 o que se pode verificar facilmente1 é que o relacionamento de \{F} com {u) poderá ser feito através de uma matriz quadl:-ada que se denominará nmatriz de rigidez u, determinável da maneira especificada nos itens seguintes.

(15)

2w4~2 Estrutura com uma Única Coordenada Global Seja a estrutura

coordenada.

! o I

da Fig.2.6.a, com uma

! b I

Fig. 2.6- Estruturo com Uma Coordenado Global

única

Para impor um deslocamento unitário segundo a coordenada 1 é necessária uma força F

1 R

11, isto é:

{u} { 1}

{F}

{u}

ou

{F}

[R] { u} (2 .101

(16)

2G4.3 Estrutura com Duas Coordenadas Globais

seja a estrutura da Fig.2.7.a, com duas coordenadas.

t

2

^~ _~i~ ^~R22

^R,2 Ru

I o I I b I I c I

Fig. 2.7- Estrutura com Duas Coordenadas Globais

(u} !

¹⁰

l

^"7

^{F}

{u} l

⁰¹

l

^"7 ^{F}

(17)

Valendo a superposição de efeitos:

-7

{F}

⁼

f ^:11

1

²¹

:: )

-7

{F}

=

f ^:12

1

²²

:: ⁾

e portanto1 para:

ou, ainda:

{F} = [R]

{u}

^{(2 .11)}

(18)

2.4.4 Estrutura com o-Coordenadas Analogamente aos itens anteriores:

l Rll

{ u) o

-t {F} _Ril

o

_Rnl

o

_{Rl i}

{ u)

1 -t {F} R . .

1 1

o

^R_{n i}

o

^R_{1 n}

{ u} o

-t

{F}

_Ri_n

l R

nn

(19)

e, portanto:

F n

ou, também:

{F} ^[R] ^{

u}

R nl ^Rnn ^un

(2 .12)

À matriz (R] de (2:H), (2.11) ou (2.12) é dado o nome de matriz de rigidez da estrutura, para as coordenadas especificadas:

Observe...:.se que essa matriz [R] é quadrada, tem todos os elementos da diagonal principal positivos e é, pelo teorema de Bettf, simétrica em relação a essa diagonal principal.

Para determinar a coluna k da matriz de rigidez, impõe-se um deslocamento unitárib segundo a coordenada k, mantendo nulos todos os restantes deslocamentos, e determinam-se todos os ¹¹esforços '¹ Rj k segundo as coordenadas j, para j= 1,2 ... n.

À particular estrutura, ou parte da estrutura, que se chamará de elemento i, poder-se-á, de forma absolutamente idêntica, fazer corresponder urna matriz de rigidez [r].

1

associada às coordenadas loca'is matriz relacionará os vetores

desse { p} i '

elemento.

das forças Essa

nas

(20)

extremidades do elemento, . ao vetor {ó}'

1 dos

deslocamentos de suas extremidades, na forma:

(2 .13)

Para um conjunto de n elementos, com todos os {P}. e

. 1

{ ó}

i organizados em dois vetores {P} e {

ó},

conforme (2.6) e (2.7), é possível também fazer:

{P} [r] {ó} (2 .14)

onde, explicitando {P}, [r] e {ó), ter-se-ía, obviamente:

[O] [O]

[O] [r] . [O] (2 .15)

1

(P} n [O] [r] {

ó}

n n

[O]

(21)

2.4.5 Exemplos 2.4.5.1 Exemplo 1

Determinar a matriz de rigidez da Fig.2.8.a1 assumida como um elemento1

coordenadas da Fig.2.B.b.

estrutura referida

EI: CONST.

@---~

l 2

I o l I b l

Fig. 2.8- Exemplo l

da às

Para gerar a la. coluna da matriz [r] impõe-se um deslocamento unitário segundo a coordenada 1., m.3.ntendo nulo. o deslocamento segundo a coorQ.enada 2, conforme Fig. 2. 9. a, e determinam-se os esforços segundo cada uma das coordenadas, recorrendo, por exemplo, às tabelas elementares da Estática Clássica~ Analogamente, com o auxílio da Fig. 2.9.b, determina-se a 2a. coluna.

~

_{r u}

10~~~

_r_2t _r₁₂ _r₂₂

I o l I b l

Fig. 2.9- Geração Di reto da Matriz de Rigidez do Exemplo 1

(22)

Assim:

-e- -e-

2.4.5.2 Exemplo 2

Determinar a matriz de rigidez da estrutura da Fig.2.10.a, referida às coordenadas da Fig.2.10.b.

E I : CONST.

A ::4 A

^A,.

f ^R ^l

^~

I

^l',

^f

^I^a)

. _'

l 2 3 4

€ ^@: ^@: €

^{I b)}

Fiq. 2.10 -Exemplo 2

(23)

É possível, também nesse caso, gerar as diversas colunas da matriz de rigidez recorrendo a tabelas elementares. Para gerar a la., 2a. ,3a. _e 4a. colunas, calculam-se os esforços correspondentes às configurações deslocadas da Fig.2.1l.a, b, c e d, respectivamente.

I a I ru

<§~@

^{I b I}

r1.2 r22 r32

@ @~ ^(!;

^{I c I}

'u rz3 r,, '<>

@

r,.

(%;

r 24

(i

r 34

~

r44 ^{I dI}

F ig. 2.11 -Geração Direta da Matriz de Rigidez do Exemplo 2 Assim, é fácil determinar:

Rll

2EI SEI 2EI

^4EI

(24)

e com isso se tem:

4EI 2EI

-e- -e- ^o ^o

2EI SEI 2EI

-e- -e- -e- ^o

[R]= (2 .17)

2EI SEI 2EI

o e e -e-

2EI 4EI

o o e -e-

2.4.5.3 Exemplo 3

Determinar a matriz de rigidez do elemento da Fig.2.l2.a, referida às coordenadas da Fig.2.12.b.

E l : CONST.

& cf

j, ⁱ ~

² ⁴

I o l I b l

Fig. 2.12- Exemplo 3.

(25)

Para gerar a la., 2a., 3a. e 4a. colunas, calculam-se os esforços correspondentes às configurações deslocadas da Fig.2.l3.a, b, c e d, respectivamente.

I c I I dI

ez

6EI 2EI -6EI 4EI

r 41 =

t2

^r

=

42

t

^r43

=

t2

^r44

t

(26)

e com isso tem-se:

12EI 6EI -12EI 6EI

t3 t2 t3 t2

6EI 4EI -6EI 2EI

[r]=

e2 t f,.2 e

^{(2 .18)}

-12EI -6EI 12EI -6EI

é ^t2 ^t3 ^e2

6EI 2EI -6EI 4EI

t2 t t2 e

2~4.6 Observações 2.4.6.2 Observação 1

~ sempre possível, quaisquer que sejam as coordenadas, gerar a matriz de rigidez correspondente, desde que os deslocamentos segundo elas sejam independentes; entretan- to, essa matriz só pode ser gerada diretamente se, para desloçamentos prescritos segundo as coordenadas, a estrutura resultar determinada, ou conhecida, a priori. Assim, seja por exemplo _a estrutura da Fig. 2 .14. a.

(27)

E, A, I CONSTANTES

I o I

l

I b I I c I

Fig. 2.14- Estrutura e Sistemas Alternativos de Coordenadas

Para as coordenadas da Fig. 2. 14. b poder-se-ía gerar diretamente a matriz de rigidez [R] com um procedimento análogo ao utilizado nos itens anteriores, obtendo-se assim:

7EI 6EI 3EI

e e2 e2

[R] 6EI 12EI

(2 .19)

e2 e3 o

3EI

o

^3EI ^EA

- - - - - - +

e2 e3 e

(28)

Isso só foi possível porque, com deslocamentos prescritos segundo as 3 coordenadas, recaiu-se sempre num conjunto de barras geometricamente determinadas, para as quais, em tabelas elementares, constavam os esforços para deslocamentos impostos.

Para as coordenadas da Fig. 2.14. c, esse procedime'llto é inviável e a de·terminação da matriz de rigidez implicaria em ¹¹resolver¹¹ a estrutura. Se isso fosse feito obter-se-ía:

[ ^'

¹ ⁺³ ^Af²

J~

^6EI

^e2

[R] 3I

(2. 20)

6EI 12EI

t2 t3

É claro que desprezando a deformação axial das barras, isto é, fazendo A ~ oo, os deslocamentos prescritos segundo as coordenadas da Fig.2.14.c determinam a estrutura como um conjunto de barras para as quais se conhece tudo; poder-se-ia então obter diretamente:

7EI 6EI

e ^e2

[R] (2 .21)

6EI 12EI

t2 t3

(29)

2.4.6.2 Observação 2

A matriz de rigidez permite conhecer as forças segundo as coordenadas a partir do conhecimento dos deslocamentos segundo essas coordenadas; o problema inverso, de conhecer os deslocamentos a partir das forças, só será e.xequível se a matriz de rigidez for inversível, ou não singular, isto é, se \RI·~ O ou

I ri

^~O.

A matriz de rigidez só não será singular se existirem vínculos1 segundo as coordenadas ou não, em número suficiente para determinar a posição da estrutura, ou elemento. Assim, as matrizes de rigidez dos exemplos 1 e 2, dos itens 2.4.5.1 e 2.4.5.2, têm determinantes não nulos, sendo inversíveisi já a do exemplo 3 tem determinante nulo e não é inversível.

2.4.6.3 Observação 3 As matrizes de relação à diagonal Rji, pelo teorema

rigidez [r] ou [R] são principal, isto é, rij

de Betti. Os termos

simétricas em

~ r da

j i ou R1 ^j diagonal principal são não. negativos, isto é, ri i ;,'! O ou Ri i ~ O.

2.5 MATRIZ DE INCIDÊNCIA CINEMÁTICA 2.5.1 Conceituação

Sendo definida uma estrutura, como um conjunto de coordenadas locais, define-se a globais,

com suas coordenadas elementos, com suas matriz de incidência relaci-ona

,,

o vetor de cinemática [~] como a matriz que

deslocamentos {u}, referido às coordenadas globais, ao

(30)

vetor de deslocamentos {6} que inclue os deslocamentos de todos os elementos nas coordenadas locais, isto é:

{o} [{Jl {u} ^{(2. 22)}

Essa matriz [,6] pode ser gerada facilmente, desde que, para deslocamentos prescritos nas coordenadas globais a estrutura resulte determinada. Ela tem a funçã~ de posicionar os elementos, ou suas coordenadas locais, na estrutura, ou nas coordenadas globais.

Para gerar cada coluna de [,6) ~ correspondente a uma coordenada global, impõe-se um deslocamento unitário segundo essa coordenada e determinam-se os deslocamentos segundo cada uma das coordenadas locais.

2. 5.2 Exemplo

Determinar a matriz de incidência cinemática que relaciona as coordenadas globais da Fig. 2 .15 .a às coordenadas locais dos elementos da Fig.2.15.b.

l 2 3 4

(i?; _CD <i ® (b

_Q)

€

^I^a^l

1 2 5 6

(i _CD (i _~ ₀ <b

3 4 I b l

~ _® €

Fig. 2.15 - Coordenodas Globais e Locais

(31)

Para essas coordenadas:

õl ¹

o o o

o o o

o

¹

o o

o

¹

o o

[/l]

o o

1

o

o o

¹

o

o o o

l

2.5.3 Partição da Matriz da Incidência Cinemática

Se o vetor

{ó}

for sub-dividido em sub-vetores contendo ordenadamente os deslocamentos de cada elemento, isto é, com:

(32)

{ õ}

n

é possível, evidentemente, subdividir a matriz [,8] em sUbmatrizes na forma:

[ illl

[il] _{[iJ] i} (2. 24)

[iJ]

n

Assim, no exemplo do item 2.5.2, com:

õl

õ2 { õ} I

{õ}

õ3

{ õ} 2 õ4

õs {õ}3

õ

(33)

ter-se-ia, em lugar da [~] de (2.23):

o o

1

o

1

o o

1

[ : ^o ^{o o}

¹

2. 6 CONTRIBUIÇÃO DE UM ELEMENTO PARA A MATRIZ DE RIGIDEZ DA ESTRUTURA

2.6.1 Obtenção da Matriz de Rigidez da Estrutura a Partir das. Matrizes de Rigidez dos Elementos

Seja [R] a matriz de relaciona os deslocamentos coordenadas globais:

{F} = [R] {u}

rigidez da estrutura, que {u} às forças {F} segundo as

( 2. 25)

Seja [r]. a matriz de rigidez do elemento genérico i,

^{= [r]}

{ó}

^{(2 .27)}

com:

{P} 1 ldl

^{. . . [o}

^J

^{. . . [o}

^J {ó}l

{P}.

[O] [r] . . . . [O]

[R] [/l] t [I>] [/l] (2 .33)

·A expressão (2.33) já permite determinar a matriz de rigidez da estrutura a partir das dos elementos, embutidas em [r]; é extremamente interessante, entretanto, observar o que acontece se se particionar [~]

em submatrizes correspondentes a cada um dos elementos e utilizar a definição de [r] implícita em (2.28).

(36)

Da (2.33) com (2.24) e (2.28):

[r]1 .. [O] . . . [O] [{l]

1

t t t

[R]=[[{l]l . . . [{l]i . . . [{l]n] [O] . . . [r]i . . . [O] [{l]i

[O] . . . [O] . . . [r] [{l]

n n

donde:

[ r ] l [{l]l

[R]=[[{l]~

. . . [ {l] i ^t . . . [ {l] ^t ^{[r] .} [{l] i

n 1

[r] [/l]

n n

e, portanto:

[R]

n

2:

[{l] t [r] . [{l] .

1 1 1

i= 1

(2.34)

ou, faz"endo:

[R] .

1 [{l] t [r] . [{l] .

i 1 1 (2. 35)

(37)

tem-se a (2.34) como:

n

[R] [R] .

1 (2. 36)

Da expressão (2.36) se observa que a matriz de rigidez [R] da estrutura pode ser obtida como uma soma de matrizes . onde cada uma delas envolve parâmetros associados só a uma barra, conforme expressão {2 .35), caracterizando a contribuição de cada barra, ou de sua matriz de rigidez, para a matriz de rigidez da estrutura.

2.6.2 Exemplos 2.6.2.1 Exemplo l

Determinar a matriz de rigidez da estrutura da Fig.2.16.a, para as coordenadas globais especificadas na Fig. 2 .16. b, a partir das matrizes de rigidez dos elementos com as coordenadas locais especificadas na Fig.2.16.c.

EI :CONSTANTE

$; ));

A

Â, ÎâÎ

.1,

t t

1 2 3 4

@ ₍₁₎ cg _® @ ₀ _~

^{I b I}

1 2 1 2

@ (1) Cb <5 ⁰ €

I c I

1 2

cg _® _~

F ig. 2. ^{16 -E}xe m pio 1

(38)

Do exemplo 1, do item 2.4.5.1 tem-se as matrizes de rigidez dos elementos:

4EI 2EI

-e- -e-

[r]! [r] 2 [r]3

2EI t!EI

-e- -e-

As matrizes de incidência cinemática, introduzidas no item 2.5 e particionadas conforme item 2.5.3, são:

l: ^o ^o ^:]

[/l]l ⁼

l

o

l:

^l

^o ^:]

[/l] 2

o

1

l: ^o

^l

^:]

[/l]3

o o

A contribuição do elemento l para a matriz de rigidez [R]' é dada pela (2.35); assim:

[R]l [/l]t

I [r] I [ !lll

(39)

OU:

1

o

^4EI ^2EI

- t - - t -

[:

o o

:]

(R]l

o

1

o o

^2EI 4EI 1

o

- t - - t -

o o

Efetuando as operações matriciais:

4EI 2EI

- t - - t - ^o o

2EI 4EI

- t - - t - o o

[R]l

...

o o o o

Analogamente pode-se obter:

o o o o

...

4EI 2EI

o - t - - t - o

[R]2

2EI 4EI

o - t - - t - o

...

o o

-e-

2EI

-e-

4EI

Essa matriz é a mesma obtida diretamente no Exemplo 2, do item 2.4.5.2

(41)

2.6.2.2 Exemplo 2 Para a

matriz de partir da Fig.2.17.c

barra biarticulada da Fig.2.17.a obter rigidez para as coordenadas da Fig.2.17.b,

matriz de rigidez para as coordenadas

2

a.

2.7 PROCESSO DOS DESLOCAMENTOS 2.781 For.mulação Geral

Pretende-se neste trabalho resolver estruturas lineares complexas mas que possam ser sempre colocadas como um conjunto de elementos unidos entre si; esses elementos são supostos conhecidos. Pretende-se considerar a estrutura 'resolvida quando forem conhecidos os esforços nas extremidades de todas as barras, os deslocamentos dos nós e as reações nos apoios para um carregamento qualquer na estrutura, composto tanto de cargas aplicadas aos nós quanto ao longo dos elementos.

Não havendo carga ao longo do elemento i, é possível determinar os esforços nas extremidades do elemento pela expressão (2.13):

Essa expressão decorre da definição de [r] .

1

(2. 37)

[r] . é

1

aqui suposta conhecida. Conhecidos então os

{õ}.

saem os

1

(44)

{P}; provocados por eles. Havendo, entretanto, cargas ao longo das .barras, é possível existirem forças {P

0 }i segundo as coordenadas locais sem que hajam deslocamentos {ó}i, isto é, para deslocamentos assumidos nulos segundo essas coordenadas. Uma forma mais geral para a (2. 3 7) seria então:

(2. 38)

Os deslocamentos { ô} i , nas coordenadas do elemento, podem ser determinados a partir dos deslocamentos nodais através da matriz de incidência cinemática, que serve para posicionar cada elemento na estrutura; assim:

[/l] i

{u)

^{(2. 39)}

Com a matriz de rigidez [R] da estrutura, obtida a partir das matrizes de incidência cinemática e das matrizes de rigidez das barras, se não houverem cargas ao longo das barras e se a matriz [R] for não singular, seria possível obter os deslocamentos dos nós, ou o vetor {u},da expressão (2.12), que permite calcular as forças segundo as mesmas coordenadas; assim:

{F'}

[R] {

u}

Havend? cargas ao forças segundo as

(2. 40)

longo das barras, poderão existir coordenadas globais mesmo com

(45)

deslo~amentos nulos segundo essas coordenadas; assim, uma forma mais geral para a (2.40) seria:

{F} {F } + [R] { u}

o ^{(2. 41)}

o vetor {F }

o corresponde às forças segundo as coordenadas globais com todos os deslocamentos,. nessas coordenadas, impedidos.

É comum passar .~sse {F } para o primeiro membro da o

expressão (2.41), cà~o em que o vetor

-{F }

teria a mesma o

condição do vetor de f·oiças nodais {F}. A esse vetor será atribuído o noffie de vetor de forças nodais equivalentes·

às cargas de barra, definido por:

-{F }

o ^{(2. 42)}

Os vetores ou {F }

o serão oportunamente relacionados aos

A expressão (2.4l), com (2.42) poderá ficar como:

{F}

+

{F }

eq ^{[R] {}

u}

(2. 43)

Para obter os deslocamentos incógnitos {u} a partir da expressão (2. 43) é necessário ainda que [R] seja não-singular, caso contrário os deslocamentos serão indeterminados. Para que [R] seja não-singular é

(46)

necessário que a estrutura tenha vínculos que determinem geometricamente sua posição; esses vínculos poderão ter sido introduzidos a priori, ou poderão ser introduzidos como condições de contorno adicionais ao sistema de equação que resultou na expressão (2.43).

As reações {F}, correspondentes a vínculos r

introduzidos segundo as coordenadas globais, na forma de condições de contorno, serão calculados a partir de condições de equilíbrio dos nós.

2.7.2 Forças Nodais Equivalentes às Cargas de Barra

O vetor de forças {F } segundo as coordenadas globais o

e correspondente a deslocamentos nulos segundo coordenadas, pode ser facilmente relacionado ao {P } que contém numa sequência ordenada todos os

o

essas vetor {Po}i' que são forças nas coordenadas locais correspondentes a deslocamentos nulos nessas coordenadas da barra i.

As forças {F } e {P } correspondem a um mesmo estado

o o

de forças em equilíbrio.

Sejam os deslocamentos virtuais {u} e

{ó}

compondo um estado de deslocamentos compatíveis e portanto relacionáveis por:

{ li} [/l]

(u)

.(2 .44)

Impondo o estado de deslocamentos ao estado de forças, tem-se do P.T.V., conforme (2.8):

{F }

o

{P }

_o ^{(2 .45)}

(47)

Da (2.44) em (2.45):

{F } o donde:

{F }

o ^[{l]t {P } o

Da (2.42) com (2.46), então, tem-se:

t - [ {3]

{P }

o

(2. 46)

(2. 4 7)

É interessante observar, partícionando [~] e {P } da o expressão (2.47), que {F } pode ser obtido como um

eq conjunto de contribuições isto é:

de cada barra em separado,

{P o} 1

-[[{3]~

^. ^t

... [{3]~]

ⁿ

{F . eq } = ••• [{3] . 1 {P o} i

-L:

^[{l]t1 { P o} i i "'1

{Po}n

(48)

ou então, separando as contribuições:

com:

n

2:

i •1

2.7.3 Condições de Contorno

(2. 48)

(2. 49)

Existiriam diversos tipos de condições de contorno que poderiam ser impostas ao sistema de equações em {u}

formulado pela (2. 40) ou (2. 43); a única a ser t.ratada neste capítulo será a correspondente à introdução de vínculos rígidos segundo as direções das coordenadas globais.

Para impor que o deslocamento ul segundo a coordenada

t

global deverá ser -nulo, considere-se, com {Feq}, se existir, já adicionado a {F}, o sistema (2.40) ou (2.43) na forma:

Fl Rll Rl

e

^Rln ^ul

2.7.4 Cálculo de Reações

Prevendo a possibilidade de aplicar forças externas segundo quaisquer das coordenadas globais, mesmo aquelas

(50)

segundo as quais seriam seja o estado de forças,

introduzidos vínculos externos, em equilíbrio, com {F} e {F }

r

segundo essas coordenadas globais, e com {P} segundo as locais.

A esse estado de forças1 pode-se aplicar um estado de deslocamentos 1 virtual, com { u} segundo as coordenadas globais e {

õ}

segundo as locais, e compatível, valendo portanto:

{õ}

[/3]

{u)

(2. 52)

Do P.T.V., isto é, de (2.8):

{u}t

{{F}+ {F}}

r (2. 53)

Da (2.53) com (2.52):

{u}t

{{F}+ {F}}

r

donde:

{F } - {F} + [ /3] t { P}

r

Evidentemente [/3] e {P} podem ser particionados, obtendo-se com isso:

{F }

_r

n

- {F} +

L

i~ 1

(2. 54)

(51)

Esse vetor de reações inclui, é claro, também as

11reações¹¹ teoricamente nulas segundo as coordenadas sem vinculação.

2.7.5 Exemplos

2.7.5.1 Exemplo 1 -Viga Contínua

Determinar os deslocamentos nodais {u}, as forças

{P}.

l

nos elementos e as reações {F } para a viga contínua da

r

Fig. 2.18.a, a partir das forÇas nodais (F), das forças

{P }.

nos elementos, e das matrizes de rigidez [r] ,desses

o l l

elementos. Adotar as coordenadas globais da Fig.2.18.b e as locais da Fig.2.18.c.

Er:gsot 1m2

l

^{I o I}

5m

i, _.I j,

1

Sm 6m 6m

'

1 2 3 4

@: _CD @: _® (5 ₀ €,

^{I b I}

1 2 1 2

C5 CD € ^(S 0 €

l 2 I c I

C5 _® ^(6.

Fig. 2.18 -Exemplo l. Viga Continua

(52)

a) Matrizes de rigidez dos elementos

São obtidas diretamente; em particular, para as coordenadas locais da Fig. 2 .18. c, Ja foram determinadas no item 2.4.5.1, expressas pela (2.16):

4EI 2EI

-e- -e-

[r].=

1 2EI 4EI

-e- -e-

Substituindo-se os valores numéricos:

[ 480 [r]l =

240

240]

480 [

640 [r] = [ r ] =

2 3 320

320]

640

b) Forças {P }. nos elementos o ¹

São obtidas diretamente, com tabelas elementares da estática clássica.

!

^-5,333^{5' 333} ⁺^- ^4,219^7,031

^{) l}

^-12,364⁹¹^{552 )}

(53)

f 4,500) 1-4,500

l:)

c) Forças nodais {F} aplicadas

o

-7,00

{F}

o o

d) Matrizes de incidência cinemática

o

¹

['""

²⁴⁰

^[: ^{o o o}

^{240 480}

^{o o}

[R] 1

o o

^{240 480} ¹

o o o o o o

(55)

o o o o o o

o]= o

f) Forças nodais equivalentes às cargas de barra

A contribuição de cada barra é obtida a partir dos {P } conforme expressão (2.48):

o i

(56)

l

o

-9,552

o

l

{ 'm}

^l2,364

(F eq} 1

o o

-12,364

o

o o o

l

o

{

^4,500

^}

^-4,500

{F eq} 2

o

l 4,500 4,500

o o o

o o o o

l

o o o

_u3

1 u4

(58)

h) Deslocamentos nodais {u}

Resolvendo o sistema de equações anterior chega-se a:

o

-0,000251

{u)

0/003578

o

i) Deslocamentos {ô}. nas extremidades dos elementos

1

Da expressão (2.39), que define os [~]i

[:

¹

o o o :]

[:

1

o o

1

:]

[:

o o

1

o :]

o

-0,000251 0,003578

o o

-0,000251 0,003578

o o

-0,000251 0,003578

o

l

-0,000251) 0,003578

(59)

j) Forças {P}i nas extremidades do elemento

Tendo {P } ' _o _i expressão (2.38):

[r] .

1 e obtem-se as com a

''''" j_,:::::). [::: :::] j_,_:,,,,,) j_,:::::)

{P}

2

=

l

^4,500)⁺ [640 320.

~-0,000251)

-4,500 320 640 0,003578

1

^-2,290^5,484)

t) Reações {F } segundo as coordenadas globais

r

1 -2,290

o o o o o

o o

+

^o

2 .7.5.2 Exemplo 2 -Treliça Plana

Determinar os deslocamentos nodais {u}, as forças {P};

nos elementos e as reações {F } para a treliça da Fig.

r

2.19.a, a partir das forças nodais {F} e das matrizes de rigidez [r]. dos elementos. Adotar as coordenadas globais

1

da Fig.2.19.b e as locais da Fig.2.19.c. Todas as barr~s

têm o mesmo comprimento l = Sm e EA = 20000tf.

I a I I b I I c I

Fig. 2.19- Ex.emplo 2. Treliç:a Plana

a) Matrizes de rigidez dos elementos

É imediato obtê-las diretamente; como todas as barras são iguais:

(62)

[r] = [r] = [r] = [r] =

1 2 3 4

{F}

o o o o o

-6

o o

~[

1 -1]=[ 4000

e

^-1 ¹ _-4000

-4 000]

4000

c) Matrizes de incidência cinemática

o o

o o o o

o o o

¹

o ]

1

o o

0,500

o o o o o

-4000 4000

o

1

o o

o o o o o o o o

[R] =

2 -3000 -1732

o o

3000 1732

o o

-1732 -1000

o o

1732 1000

o o

o o o o o o o o

o o

(66)

Efetuando:

o o o o o o o o

o o

o o o o o o o o

0,866

o

-0,500

o

o o

o o [ """ '"""]

[R] ~

4

o o

^-4000 ⁴⁰⁰⁰

o o

o

0,866

o

^-0,500

-0,500

o o o o o

0,866

(67)

Efetuando:

o

^0,866

o

0,500

[ '""' '"'"]

[R] =

5

o o

-4000 4000

o o

0,866

o

0,500

o

o o o o

^0,866

. [00

o

0,866 0,500

o o o

(68)

o o o o o o o o

o o

o o o

-1732 -1000 1732 -1000

o

⁶⁰⁰⁰

o

^-4000

-3000 1732 -3000 -1732

o o

⁶⁰⁰⁰

o

1732 -1000 -1732 -1000

o

-4000

o

6000

e} Imposição das condições de contorno

O sistema {F} [R] (u), depois de impostas as condições de deslocamentos nulos segundo as coordenadas 1, 2, 3 e 4 fica:

(69)

o

¹

o o o o o o

o o

¹

o o o o o

o o o

¹

o o o o

1

o o o

o o o o o

6000

o o

-6

o o o o o

⁶⁰⁰⁰

o

o o o o o o o

6000

o o o o o o

^-4000

o

f) Deslocamentos nodais

Resolvendo o sistema anterior resulta:

{u}

o

_u5

-4000 u6

o

_ul

6000 u8

(70)

g) Deslocamentos

{&}.

das extremidades dos elementos

1

Da expressão (2.39):

o o o

{&}1

=[: o o o o o o

:] ^o {-' "'""')

o o o o

¹

o o

-0,001800 -0,001800

o

-0,001200

e, analogamente:

{&}2

l

^-0,000900

^o ⁾

{ & } 3

l

^o'^0000900)

MATRICIAL DE ESTRUTURAS INTRODUÇAO -

UNIVERSiDADE DE SÃO PAULO F.SrOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS

INTRODUÇAO -

A '

Al~ÁLISE MATRICIAL DE

ESTRUTURAS

C.

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS

INTRODUÇÃO A '

ANALISE MATRICIAL DE

ESTRUTURAS

2ª EDIÇÃO - 1995

JOÃO CARLOS ANTUNES DE O. E SOUZA

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

REITOR: FLÁVIO FAVA DE MORAES

PRODUÇÃO: DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS

Datilografia: Rosi A. J. Rodrigues

Desenho: Francisco Carlos Guete de Brito

Impressão: Serviço Gráfico da EESC

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I

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J

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L {P}t

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{u} { 1}

{u}

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(u} !

l

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{u} l

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o

o

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o

o

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