3 FORMULAÇÃO DE PI PARA O PROBLEMA DE SEQUENCIAMENTO DE JOB
4.3 PRODUTO E PROCESSO DE PRODUÇÃO
Cada duto flexível é composto por diferentes camadas e materiais com o objetivo de realizar funções específicas e este conjunto é denominado de estrutura. Cada camada possui uma função de aplicação, conforme exemplificado na Tabela 13. Cada camada deve ser produzida em uma das máquinas de um determinado workcenter. Tipicamente, existem quatro workcenters para produção dos dutos: carcaça, extrusora, espiraladora e armadora.
Tabela 13 – Descrição das camadas de um típico duto
Camada Principal função Workcenter
Carcaça Resistência aos carregamentos radiais e ao
colapso Carcaça
Barreira de pressão Estanqueidade de fluido interno Extrusora Armadura de pressão Resistência à pressão interna e ao esforço radial Espiraladora
Camada anti-colapso Vedação para as armaduras de pressão e
resistência à pressão hidrostática Extrusora Armadura de tração Resistência ao esforço axial e radial Armadora
Camada anti-atrito Restrição do atrito entre armadura de tração e
armadura de pressão Extrusora Camada de
isolamento térmico Diminuição da perda de calor interno do duto Espiraladora Barreira externa Vedação de fluido externo Extrusora
A fabricação de cada camada de um duto específico define uma atividade. Cada atividade deve estar alocada a uma bobina de entrada, que armazena o duto
em produção vindo da atividade anterior. A única exceção é a primeira atividade de um duto, que não precisa de bobina de entrada, pois é responsável por fabricar a sua camada mais interna. De modo similar, cada atividade deve também estar alocada a uma bobina de saída, que armazena o duto com a camada adicional produzida. A bobina de saída de uma atividade é a mesma bobina de entrada da atividade seguinte e o transporte dos dutos em produção de uma máquina para a seguinte é feito nessa bobina. Após a conclusão de todas as camadas de um duto, a última atividade, chamada de respool, é executada e consiste em transferir o duto da bobina de saída da última camada para uma bobina externa, que será enviada ao cliente. Este trabalho trata apenas da alocação das bobinas internas à produção, assim as bobinas externas enviadas ao cliente não foram consideradas. Dessa forma, no modelo proposto, a última atividade de um duto, o respool, apenas precisa de uma bobina de entrada. O duto em produção deve ser alocado a uma bobina com um raio de curvatura que não faça com que este seja danificado.
A bobina, que é responsável pelo armazenamento e locomoção dos dutos, é dividida em duas partes, o tambor e o flange. O tambor é a parte central da bobina, onde os dutos ficam armazenados, e pode apresentar variação de diâmetro e do tamanho do transverso. Já o flange são as duas abas localizadas nas extremidades da bobina, que são responsáveis pela sustentação de toda estrutura e suporte para movimentação. A Figura 18 esquematiza as partes de uma bobina.
Neste estudo, somente o diâmetro do tambor foi considerado crítico para a alocação das bobinas, pois está diretamente relacionado à restrição do raio de curvatura mínimo do duto. O diâmetro do flange e a largura do transverso, por suas vezes, estão associados ao comprimento do duto e não apresentam nenhuma restrição para a extensa maioria dos casos.
4.4 EXEMPLO ILUSTRATIVO
Para ilustrar o problema tratado neste trabalho foi proposto um exemplo completo do processo de alocação de bobinas. Neste exemplo, o objetivo é alocar de forma ótima, isto é, com a movimentação mínima, quatro bobinas, sendo duas com tambor de 14 ft e duas com tambor de 20 ft, para produção de três dutos fictícios compostos, cada um, por três camadas. As atividades para a fabricação de cada camada dos dutos e o seu escalonamento em máquinas já foram estabelecidas conforme o plano de produção mostrado na Tabela 14.
Tabela 14 – Exemplo de plano de produção
Duto Atividade Diâmetro mínimo (ft)
Início (UT)
Fim
(UT) Workcenter Máquina Local
Duto 1 AT1 14 1 3 Carcaça Carcaça 1 1
Duto 1 AT2 20 4 6 Armadora Armadora1 3
Duto 1 AT3 14 7 9 Extrusora Extrusora 1 4
Duto 1 R - 11 14 Respool Respool I 5
Duto 2 AT1 14 8 10 Carcaça Carcaça 1 1
Duto 2 AT2 20 11 13 Armadora Armadora1 2
Duto 2 AT3 20 15 17 Extrusora Extrusora 1 4
Duto 2 R - 18 20 Respool Respool I 5
Duto 3 AT1 14 2 4 Carcaça Carcaça 2 1
Duto 3 AT2 14 5 7 Espiraladora Espiraladora 1 3
Duto 3 AT3 14 15 17 Extrusora Extrusora 2 4
Duto 3 R - 18 20 Respool Respool 2 5
A Tabela 15 apresenta a matriz de distância entre os cinco locais considerados neste exemplo, que correspondem aos quatro workcenters de
produção e ao respool. A distância é obtida considerando o percurso de movimentação de uma bobina vazia da entrada de um workcenter à saída de outro workcenter. A distância de um workcenter para ele mesmo não é nula, pois o deslocamento entre sua entrada e a saída não pode ser desconsiderado.
Tabela 15 – Distâncias (metros) entre locais do exemplo
Entrada|Saída 1 2 3 4 5 1 85 20 70 90 80 2 130 85 115 20 55 3 120 75 80 75 25 4 165 130 150 90 105 5 115 80 100 75 0
A Tabela 16 mostra os instantes e locais de liberação de cada bobina. Tabela 16 – Instantes e locais de liberação das bobinas do exemplo
Bobina Diâmetro (ft) Instante de liberação (UT) Local de liberação Bobina 1 14 0 5 Bobina 2 14 0 5 Bobina 3 20 1 5 Bobina 4 20 1 5
Neste trabalho é proposto o conceito de uso de uma bobina. Um uso corresponde a um par de atividades consecutivas do mesmo duto. Um uso possui um instante e um local de início, que são, respectivamente, o instante e o local da sua primeira atividade. De forma análoga, um uso apresenta um instante e local de fim, que são, respectivamente, o local e o fim de sua segunda atividade. O uso também possui um diâmetro mínimo, que é o diâmetro mínimo de sua primeira atividade. A Tabela 17 apresenta os dados dos 9 usos definidos pelas 12 atividades do exemplo.
Tabela 17 – Usos definidos pelo plano de produção do exemplo
Uso Duto Primeira atividade Segunda atividade Diâmetro mínimo (ft) Início do uso (UT) Fim do uso (UT) Local de início Local de fim
Uso 1 Duto 1 AT1 AT2 14 1 6 1 3
Uso 2 Duto 1 AT2 AT3 20 4 9 3 4
Uso 3 Duto 3 AT1 AT2 14 2 7 1 3
Uso 4 Duto 3 AT2 AT3 14 5 17 3 4
Uso 5 Duto 1 AT3 R 14 7 14 4 5
Uso 6 Duto 2 AT1 AT2 14 8 13 1 2
Uso 7 Duto 2 AT2 AT3 20 11 17 2 4
Uso 8 Duto 2 AT3 R 20 15 20 4 5
Uso 9 Duto 3 AT3 R 14 15 20 4 5
No alto da Figura 19 é possível observar um diagrama de Gantt do plano de produção definido na Tabela 17. Na parte de baixo da mesma figura, há um diagrama de Gantt para os usos correspondentes. Os usos são identificados por números diferentes e estão relacionados a um duto e a duas atividades. Assim, por exemplo, o Uso 4 refere-se ao Duto 3 e às suas Atividades 2 e 3, que correspondem à execução das máquinas Espiraladora 1 e Extrusora 2.
As bobinas devem ser alocadas aos usos. Essa alocação significa que a bobina alocada será colocada vazia na saída da máquina que executa a primeira atividade, depois essa bobina cheia, isto é, com o duto em produção, será movimentada para a entrada da máquina que executa a segunda atividade. Ao final da segunda atividade a bobina estará novamente vazia e pronta para ser movimentada para o seu próximo uso. A movimentação das bobinas cheias já é fixada pelo plano de produção, e, portanto, não tem como ser otimizada nessa etapa do planejamento. Entretanto, a alocação afeta diretamente a movimentação de bobinas vazias.
Figura 19 – Diagramas de Gantt do plano de produção e dos seus usos Duto 1
Duto 2 Duto 3
Uso 3-D3 AT1/AT2 (14) Uso 9-D3 AT3/R (14)
Uso 4-D3 AT2/AT3 (14) Diagrama de Usos Plano de Produção Uso 1-D1 AT1/AT2 (14) Uso 5-D1 AT3/R (14)
Uso 2-D1 AT2/AT3 (20)
Uso 6-D2 AT1/AT2 (14) Uso 8-D2 AT3/R (20)
Tempo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 D1-AT1 (14) D1-AT2 (20) D1-AT3 (14) D1-R
D2-AT1 (14) D2-AT2 (20)
Uso 7-D2 AT2/AT3 (20)
D2-AT3 (20) D2-R
As Tabelas 18 e 19 mostram a solução do problema, uma alocação das bobinas de 14 ft e 20 ft aos usos e a correspondente movimentação de bobinas vazias. Essa solução assume que deve ser respeitado um intervalo mínimo de um período entre duas alocações consecutivas de uma bobina, tempo para que sua movimentação possa ser realizada.
Tabela 18 – Alocação das bobinas na solução do exemplo
Uso Bobina Uso 1 Bobina 1 Uso 2 Bobina 3 Uso 3 Bobina 4 Uso 4 Bobina 2 Uso 5 Bobina 1 Uso 6 Bobina 4 Uso 7 Bobina 3 Uso 8 Bobina 4 Uso 9 Bobina 1
Tabela 19 – Movimentação das bobinas vazias na solução do exemplo
Bobina Diâmetro
(ft) Uso inicial Uso final
Local de entrada Local de saída Distância (m) Bobina 1 14 Local de Liberação Uso 1 5 1 115
Bobina 1 14 Uso 1 Uso 5 3 4 75
Bobina 1 14 Uso 5 Uso 9 5 4 75
Bobina 2 14 Local de
Liberação Uso 4 5 3 100
Bobina 3 20 Local de
Liberação Uso 2 5 3 100
Bobina 3 20 Uso 2 Uso 7 4 2 130
Bobina 4 20 Local de
Liberação Uso 3 5 1 115
Bobina 4 20 Uso 3 Uso 6 3 1 120
Bobina 4 20 Uso 6 Uso 8 2 4 20
Considere, por exemplo, a Bobina 1. Essa bobina é liberada no respool (Local 5) no instante 0. Ela é transportada vazia até a saída do workcenter Carcaça (Local 1), percorrendo uma distância de 115 metros. Entre os instantes 1 e 3, a bobina recebe a camada mais interna do Duto 1. A bobina, contendo essa camada totalmente fabricada, será transportada para a entrada do workcenter Armadora (Local 3). No instante 4 a bobina começa a alimentar a máquina que fabrica a camada intermediária do Duto 1, ficando totalmente esvaziada no instante 6. A bobina é transportada, percorrendo 75 metros, para a saída do workcenter Extrusora (Local 4), onde, entre os instantes 7 e 9, receberá o Duto 1 já completo, com todas as suas três camadas. A bobina será levada para o respool, onde, entre os instantes 11 e 14, o Duto 1 será transferido para uma bobina externa, que será enviada ao cliente. A Bobina 1 em seguida será levada para a Extrusora, percorrendo 75 metros e receberá o Duto 3 da máquina que fabrica sua última camada. A bobina em seguida retorna para o respool, onde estará disponível ao final do horizonte de planejamento.
4.5 MODELO MATEMÁTICO
Seja 𝐿 o conjunto de locais na fábrica. Dado um par de locais 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐿, 𝑑𝑖𝑗
denota a distância entre eles. Seja U o conjunto de usos de bobina, defina 𝑛 = |𝑈|. Para cada uso 𝑢 ∈ 𝑈, 𝑠(𝑢), 𝑠𝑙(𝑢), 𝑒(𝑢) e 𝑒𝑙(𝑢) denotam seu instante de início, local de início, instante final e local final, respectivamente. Seja 𝐾 o conjunto de tamanhos do diâmetro do tambor das bobinas, defina 𝑚 = |𝐾|. Para cada tamanho 𝑘 ∈ 𝐾, 𝑈𝑘 ⊆ 𝑈 denota o conjunto de usos que são compatíveis com bobinas de tamanho k ou maiores. Para cada tamanho 𝑘 ∈ 𝐾, seja 𝑅𝑘 o conjunto de liberações de bobinas
de tamanho k. Para cada 𝑟 ∈ 𝑅𝑘, seja 𝑒(𝑟) o instante de liberação, 𝑒𝑙(𝑟) o local de liberação e 𝑏𝑘(𝑟) o número de bobinas liberadas. Ressalta-se que é possível ter
duas ou mais liberações simultâneas de bobinas de mesmo tamanho, se elas acontecerem em diferentes locais. Os instantes de liberação podem ser compreendidos como usos especiais, em que somente o instante final e o local final são definidos e que 𝑏𝑘(𝑟) bobinas são pré-alocadas. Por fim, o parâmetro 𝛼
representa o tempo mínimo entre duas alocações consecutivas de uma bobina para usos.
Para cada tamanho 𝑘 ∈ 𝐾, define-se um grafo direcionado 𝐺𝑘 = (𝑉𝑘, 𝐴𝑘) com
o conjunto de vértices 𝑉𝑘 = 𝑈𝑘⋃𝑅𝑘⋃{𝑡}, onde t é um uso artificial que representa o
final da sequência de alocações de todas as bobinas. O conjunto de arcos 𝐴𝑘 é dado por 𝐴𝑘1⋃𝐴2𝑘⋃𝐴3𝑘, onde 𝐴1𝑘= {(𝑟, 𝑢)|𝑟 ∈ 𝑅𝑘, 𝑢 ∈ 𝑈𝑘, 𝑠(𝑢) ≥ 𝑒(𝑟) + 𝛼}, 𝐴2𝑘= {(𝑢, 𝑣)|𝑢 ∈
𝑈𝑘, 𝑣 ∈ 𝑈𝑘, 𝑠(𝑣) ≥ 𝑒(𝑢) + 𝛼} e 𝐴3𝑘 = {(𝑢, 𝑡)|𝑢 ∈ 𝑈
𝑘⋃ 𝑅𝑘}. Para cada 𝑘 ∈ 𝐾, defina
𝛿𝑘−(𝑢) ⊆ 𝐴
𝑘 como o conjunto de arcos de 𝐺𝑘 entrando no vértice 𝑢 ∈ 𝑉𝑘.
Analogamente, 𝛿𝑘+(𝑢) denota o conjunto de arcos que deixa 𝑢. Para cada 𝑘 ∈ 𝐾 e todo (𝑢, 𝑣) ∈ 𝐴𝑘, defina uma variável binária 𝑥𝑢𝑣𝑘 que indica se uma bobina de
tamanho k é alocada a 𝑢 e em seguida é alocada para 𝑣.
O custo 𝑐𝑢𝑣𝑘 de uma variável 𝑥𝑢𝑣𝑘 corresponde ao custo de movimentação
de uma bobina vazia de tamanho 𝑘 de 𝑒𝑙(𝑢) até 𝑠𝑙(𝑣). Se 𝑣 = 𝑡, o custo é definido como zero, uma vez que as bobinas não são de fato transferidas para o uso final artificial; caso contrário, o custo pode ser proporcional a 𝑑𝑒𝑙(𝑢),𝑠𝑙(𝑣). No entanto, caso
o usuário do modelo também esteja interessado em minimizar o número de bobinas utilizadas, custos fixos 𝑀𝑘 devem ser adicionados aos custos das variáveis referentes aos arcos em 𝐴1𝑘. Se os custos fixos forem relativamente altos em comparação aos custos de movimentação, o modelo é capaz de encontrar soluções com a quantidade mínima possível de bobinas.
A formulação pode ser observada a seguir:
𝑀𝑖𝑛 ∑ ∑ 𝑐𝑢𝑣𝑘𝑥𝑢𝑣𝑘 (𝑢,𝑣)∈𝐴𝑘 𝑘∈𝐾 (58) sujeito a ∑ 𝑥𝑣𝑢𝑘 (𝑣,𝑢)∈𝛿𝑘−(𝑢) − ∑ 𝑥𝑢𝑣𝑘 (𝑢,𝑣)∈𝛿𝑘+(𝑢) = 0 ∀𝑘 ∈ 𝐾, ∀𝑢 ∈ 𝑈 𝑘 (59) − ∑ 𝑥𝑟𝑢𝑘 (𝑟,𝑢)∈𝛿𝑘+(𝑟) = −𝑏𝑘(𝑟) ∀𝑘 ∈ 𝐾, ∀𝑟 ∈ 𝑅 𝑘 (60)
∑ ∑ 𝑥𝑣𝑢𝑘
(𝑣,𝑢)∈𝛿𝑘−(𝑢)
= 1
𝑘∈𝐾 ∀𝑢 ∈ 𝑈 (61)
𝑥𝑢𝑣𝑘 ≥ 0 𝑒 é 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 ∀𝑘 ∈ 𝐾, ∀(𝑢, 𝑣) ∈ 𝐴𝑘 (62)
A função objetivo está definida em (58) e consiste em minimizar o custo associado à movimentação de bobinas vazias devido às sequências de alocação para cada uma delas. As Equações (59) são restrições de conservação de fluxo, que garantem que, para cada diâmetro de bobina e para cada uso, deve haver o mesmo número de usos antecessores, que pode ser uma liberação, e de usos sucessores, que pode ser t. As Equações (60) garantem que as alocações sejam compatíveis com o número de bobinas de diâmetro k liberadas em cada instante. As Equações (61) garantem que exatamente uma bobina compatível deve ser alocada para cada uso. As Restrições (62) definem que todas as variáveis 𝑥𝑢𝑣𝑘 são não negativas e
inteiras. Em função das Equações (61), as únicas variáveis que possivelmente podem assumir valores superiores a 1 são aquelas em que 𝑢 ∈ 𝑅𝑘 e 𝑣 = 𝑡, isto é, as variáveis que indicam quantas bobinas de cada liberação não serão usadas na solução. A seguinte equação:
∑ ∑ 𝑥𝑢𝑡𝑘 (𝑢,𝑡)∈𝛿𝑘−(𝑡) = ∑ ∑ 𝑏𝑘 𝑟∈𝑅𝑘 𝑘∈𝐾 (𝑟), 𝑘∈𝐾 (63)
decorre de (59-60) e, portanto, não precisa ser incluída no modelo. De qualquer forma, ela significa que o fluxo de todas as bobinas termina no vértice t.
A Figura 20 apresenta os grafos dos usos das bobinas de 14 ft e 20 ft para o exemplo ilustrativo da Seção 4.4. No grafo de usos de bobinas de 14 ft, a bobina que sai do Uso 1 no instante 6, tem a possibilidade de ser realocada a seguir para os Usos 5, 6 e 9 ou seguir direto para t (o que significa que ela não vai mais ser usada). Já no grafo de usos de bobinas de 20 ft, a mesma bobina que sai do Uso 1 tem a possibilidade de ser realocada, além dos outros usos mencionados no caso anterior, para os Usos 7 ou 8. Na parte de baixo da mesma figura, mostra-se um grafo com os arcos que possuem valor 1 na solução do modelo. Esses arcos correspondem à solução ótima mostrada nas Tabelas 18 e 19.
Figura 20 – Grafos de usos e a solução para o exemplo dado
Uso 3-D3 AT1/AT2 (14) Uso 9-D3 AT3/R (14)
Uso 4-D3 AT2/AT3 (14)
Grafo da Solução Uso 2-D1 AT2/AT3 (20)
Uso 6-D2 AT1/AT2 (14) Uso 8-D2 AT3/R (20) Uso 7-D2 AT2/AT3 (20)
Uso 3-D3 AT1/AT2 (14) Uso 9-D3 AT3/R (14)
Uso 4-D3 AT2/AT3 (14)
Grafo de Usos de Bobinas de 20 ft
Uso 1-D1 AT1/AT2 (14) Uso 5-D1 AT3/R (14)
Uso 2-D1 AT2/AT3 (20)
Uso 6-D2 AT1/AT2 (14) Uso 8-D2 AT3/R (20) Uso 7-D2 AT2/AT3 (20)
Uso 9-D3 AT3/R (14) Uso 4-D3 AT2/AT3 (14)
Grafo de Usos de Bobinas de 14 ft
Uso 1-D1 AT1/AT2 (14) Uso 5-D1 AT3/R (14)
Uso 6-D2 AT1/AT2 (14)
Uso 1-D1 AT1/AT2 (14) Uso 5-D1 AT3/R (14)
Tempo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Liberação 1 t Liberação 2 t t Liberação 1 Liberação 2
Uso 1-D1 AT1/AT2 (14) Uso 5-D1 AT3/R (14)
Uso 4-D3 AT2/AT3 (14)
Uso 3-D3 AT1/AT2 (14) Uso 9-D3 AT3/R (14)
Uso 6-D2 AT1/AT2 (14) Uso 1-D1 AT1/AT2 (14) Uso 2-D1 AT2/AT3 (20) Uso 5-D1 AT3/R (14) Uso 7-D2 AT2/AT3 (20) Uso 4-D3 AT2/AT3 (14)
Uso 3-D3 AT1/AT2 (14) Uso 9-D3 AT3/R (14)
Uso 8-D2 AT3/R (20) Uso 6-D2 AT1/AT2 (14) Uso 1-D1 AT1/AT2 (14) Uso 2-D1 AT2/AT3 (20) Uso 5-D1 AT3/R (14) Uso 7-D2 AT2/AT3 (20) Uso 4-D3 AT2/AT3 (14)
Uso 3-D3 AT1/AT2 (14) Uso 9-D3 AT3/R (14)
Uso 8-D2 AT3/R (20) Uso 6-D2 AT1/AT2 (14)
Teorema 1. Para o caso de um único tamanho, ou seja, |𝐾|=1, a relaxação linear de (58-62) corresponde a um problema de fluxo em rede de custo mínimo e, portanto, pode ser resolvido em tempo polinomial e sempre tem solução ótima inteira.
Prova. Para o caso de um único tamanho, as Equações (59-61) e (63) podem ser simplificadas para:
∑ 𝑥𝑣𝑢 (𝑣,𝑢)∈𝛿−(𝑢) − ∑ 𝑥𝑢𝑣 (𝑢,𝑣)∈𝛿+(𝑢) = 0 ∀𝑢 ∈ 𝑈 (64) − ∑ 𝑥𝑟𝑢 (𝑟,𝑢)∈𝛿+(𝑟) = −𝑏(𝑟) ∀𝑟 ∈ 𝑅 (65) ∑ 𝑥𝑣𝑢 (𝑣,𝑢)∈𝛿−(𝑢) = 1 ∀𝑢 ∈ 𝑈 (66) ∑ 𝑥𝑢𝑡 (𝑢,𝑡)∈𝛿𝑘−(𝑡) = ∑ 𝑏(𝑟) 𝑟∈𝑅 (67)
Subtraindo as Equações (66) das correspondentes Equações (64), obtém-se:
− ∑ 𝑥𝑢𝑣
(𝑢,𝑣)∈𝛿+(𝑢)
= −1 ∀𝑢 ∈ 𝑈 (68)
As Equações (65-68) definem um fluxo em rede em um grafo com 2|𝑈|+|𝑅|+1 nós, onde cada vértice 𝑢 ∈ 𝑈 é dividido em um nó de entrada com demanda de 1 unidade (Equações (66)) e um nó de saída com oferta de 1 unidade (Equações (68)). Logo, pela propriedade da integralidade de fluxo, conforme apresentado por Ahuja, Magnanti e Orlin (1993), sempre existe uma solução ótima em que todas as variáveis são inteiras. ∎
Para o caso em que existem vários tamanhos (|𝐾|>1), o modelo proposto corresponde a um fluxo em rede multi-commodity inteiro. Apesar desse problema em geral ser NP-difícil, em muitos casos práticos o valor de relaxação costuma ser muito forte, muito próximo ou até mesmo igual ao valor da solução ótima inteira. Isso permite que problemas de grande porte sejam resolvidos de forma eficiente. Como
exemplo, tem-se o modelo de alocação ótima de vagões em ferrovias proposto por Fukasawa et al. (2002).