Produto tensorial e lineariza¸c˜ ao - Produto tensorial entre espaços de Banach e aplicações

(b) Como, por hip´otese, os conjuntos {wi: i ∈ I} e {zj: j ∈ J } s˜ao linearmente indepen-

dentes, ent˜ao pelo item (a) o conjunto {wi⊗ zj: (i, j) ∈ I × J } ´e linearmente indepen-

Observa¸cão 2.4. Se X e Y são espa¸cos vetoriais de dimensão finita segue da Proposi¸cão 2.3 que dim(X ⊗ Y ) = dim(X)dim(Y ). Al´_{em disso, se Y = K temos que dim(X ⊗ K) =} dim(X)dim(K) = dim(X) e, independente das considera¸cões dimensionais, X ⊗K e K⊗X são isomorfos a X.

Seja u ∈ X ⊗ Y um tensor n˜ao-nulo qualquer. Ent˜_{ao existe um n ∈ N estritamente pe-} queno de tal forma que existe uma representa¸c˜ao de u contendo n termos; sejaPn

i=1xi⊗yi

tal representa¸c˜ao. Mostraremos que os conjuntos {x1, . . . , xn} e {y1, . . . , yn} s˜ao linear-

mente independentes. De fato, suponha, por absurdo, que x1 seja uma combina¸c˜ao linear

de x2, . . . , xn, isto ´e, x1 =Pn_i=2λixi, com λi ∈ K. Temos

u = n X i=1 xi⊗ yi = x1⊗ y1+ n X i=2 xi⊗ yi = n X i=2 λixi⊗ y1+ n X i=2 xi⊗ yi = λ2x2 ⊗ y1+ · · · + λnxn⊗ y1+ x2⊗ y2+ · · · + xn⊗ yn = λ2(x2⊗ (y1+ y2)) + · · · + λn(xn⊗ (y1+ yn)) = n X i=2 λixi⊗ (y1+ yi) = n X i=2 wi⊗ zi,

onde wi = λixi e zi = y1 + yi. Disso segue que o termo x1 ⊗ y1 pode ser absorvido pelos

outros, dando uma representa¸cão de u com n − 1 termos, o que gera uma contradi¸cão. Chamaremos o número n de posto de u. Claro que os tensores com posto n = 1 são os já definidos tensores elementares.

Como podemos identificar se dois tensores s˜ao iguais? Ou em outras palavras, como ´e poss´ıvel determinar se Pn

i=1xi ⊗ yi ´e uma representa¸c˜ao do tensor nulo? A princ´ıpio,

poder´ıamos determinar isso pela avalia¸c˜ao Pn

i=1A(xi, yi) para cada forma bilinear A ∈

B(X × Y ). Entretanto, existem formas mais fáceis, como mostra a seguinte proposi¸cão: Proposi¸cão 2.5. Sejam u =Pn

i=1xi⊗ yi ∈ X ⊗ Y e n ∈ N. S˜ao equivalentes:

(i) u = 0; (ii) Pn

i=1ϕ(xi)ψ(yi) = 0, para todos ϕ ∈ X

#_{, ψ ∈ Y}#_;

(iii) Pn

i=1ϕ(xi)yi = 0, para todo ϕ ∈ X #_;

(iv) Pn

i=1ψ(yi)xi = 0, para todo ψ ∈ Y#.

Demonstra¸cão: As implica¸cões (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) seguem diretamente com uso da mesma técnica usada na demonstra¸cão do item (a) da Proposi¸cão 2.3. Mostraremos que (iii) ⇒ (iv) ⇒ (i).

(iii) ⇒ (iv) Seja ψ ∈ Y#_{. Se} Pn

i=1ϕ(xi)yi = 0, para todo ϕ ∈ X#, ent˜ao temos que

ψ(Pn

i=1ϕ(xi)yi) = 0 e pela linearidade do ψ,

i=1ϕ(xi)ψ(yi) = 0. Agora usando a

linearidade do ϕ, temos que ϕ(Pn

i=1xiψ(yi)) = 0. Como essa ´ultima igualdade ´e verdade

para todo ϕ ∈ X#, segue que Pn

i=1ψ(yi)xi = 0. O resultado segue da arbitrariedade

permitida na escolha do ψ.

(iv) ⇒ (i) Sejam A : X × Y −→ K uma forma bilinear, E = [x1, · · · , xn], F = [y1, · · · ,

yn] subespa¸cos de X e Y respectivamente e T : E × F −→ K a restri¸c˜ao de A em E × F .

Escolhendo bases para os subespa¸cos de dimensão finita E, F e expandindo T em rela¸cão a essas bases, produzimos uma representa¸cão para T da forma

T (x, y) =

j=1

θj(x)ωj(y), (2.3)

onde m ∈ N, θj ∈ E#e ωj ∈ F#[10, Corollary s/n page 362]. Podemos estender o dom´ınio

de θj e ωj para X e Y respectivamente da seguinte maneira: escolhendo complementos

alg´ebricos G, H para E, F respectivamente de tal modo que X = E ⊕ G e Y = F ⊕ H. Ent˜ao, se x = x1+ x2 ∈ X com x1 ∈ E e x2 ∈ G, definimos θj(x) = θj(x1). Definimos os

funcionais ωj da mesma forma. Agora, podemos considerar T como uma forma bilinear

em X × Y usando a representa¸c˜ao dada em (2.3). Dessa forma, A e T podem ser formas bilineares diferentes em X × Y , mas que coincidem em E × F . Assim, usando (iv), para todo A ∈ B(X × Y ) temos u(A) = n X i=1 A(xi, yi) = n X i=1 T (xi, yi) = n X i=1 m X j=1 θj(xi)ωj(yi) = n X i=1 m X j=1 θj(ωj(yi)xi) = m X j=1 θj n X i=1 ωj(yi)xi ! = 0, e portanto u = 0.

A proposi¸cão anterior estabelece meios eficazes de reconhecermos quando dois tensores são iguais e iremos utilizá-la constantemente durante esse trabalho. Entretanto, veremos, a seguir, que nem sempre é necessário tomar todos os funcionais no dual algébrico para provar que dois tensores são os mesmos. Para isso precisaremos da seguinte defini¸cão: Defini¸cão 2.6. Um subconjunto S de um espa¸co dual X# é dito separador de pontos se ele contém funcionais lineares suficientes para distinguir os pontos de X, isto é, se ϕ(x) = 0 para todo ϕ ∈ S, então x = 0. Equivalentemente, se x 6= y isso implica que ϕ(x) 6= ϕ(y), para todo ϕ ∈ S.

Observa¸cão 2.7. (a) A partir da defini¸cão acima, fica evidente que ao aplicar a Pro- posi¸cão 2.5 não é necessário tomar os funcionais em todo o espa¸cos dual, mas apenas a subconjuntos separadores de pontos.

(b) Um caso importante do uso do item (a) ocorre quando os espa¸cos componentes no produto tensorial s˜ao espa¸cos duais: para mostrar quePn

i=1ϕi⊗ψi = 0 em X#⊗Y#

e suficiente ter Pn

i=1ϕi(x)ψi(y) = 0, para todos x ∈ X e y ∈ Y . De fato, considere

que Pn

i=1ϕi⊗ ψi = 0. Usando a Proposi¸c˜ao 2.5, temos que

i=1θ(ϕi)ω(ψi) = 0,

para todos θ ∈ X## _{e ω ∈ Y}##_{. Sendo J}

X: X −→ X## e JY : Y −→ Y##

mergulhos canˆonicos, como os conjuntos JX(X) e JY(Y ) s˜ao separadores de pontos

de X# e Y# respectivamente (veja [2, Exerc´ıcio 4.5.11], para espa¸cos normados), temos 0 = n X i=1 JE(x)(ϕi)JE(y)(ψi) = n X i=1 ϕi(x)ψi(y), para todos x ∈ X e y ∈ Y .

Agora, iremos analisar a intera¸cão entre os produtos tensoriais e algumas constru¸cões dos espa¸cos vetoriais geralmente utilizadas. Sejam E e F subespa¸cos dos espa¸cos vetoriais X e Y respectivamente. Então E ⊗ F pode ser considerado com um subespa¸co do produto tensorial X ⊗ Y de forma natural. Se u =Pn

i=1xi ⊗ yi ∈ E ⊗ F , podemos pensar em u

como um elemento de X ⊗ Y dado por

u(A) =

i=1

A(xi, yi),

onde A ∈ B(X × Y ). Isso nos dá uma aplica¸cão linear injetiva de E ⊗ F em X ⊗ Y . De fato, considere a aplica¸cão inclusão I : E ⊗ F −→ X ⊗ Y . Suponha que Pn

i=1xi⊗ yi = 0

em X ⊗ Y . Pela demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 2.5, para cada forma bilinear T em E × F , existe uma forma bilinear A ∈ B(X × Y ) tal que Pn

i=1T (xi, yi) =

i=1A(xi, yi). Isso

implica quePn

i=1T (xi, yi) = 0. Da´ı, segue que

i=1xi⊗ yi = 0 em E ⊗ F e, portanto, I

´e injetiva.

Mostraremos agora que o produto tensorial respeita a soma direta.

Proposi¸c˜ao 2.8. Sejam X, Y espa¸cos vetoriais e F , G subespa¸cos de Y tais que Y = F ⊕ G. Ent˜ao X ⊗ Y = (X ⊗ F ) ⊕ (X ⊗ G).

Demonstra¸c˜ao: Seja u = Pn

existem fi ∈ F e gi ∈ G tais que yi = fi + gi. Ent˜ao u = n X i=1 xi⊗ yi = n X i=1 xi⊗ (fi+ gi) = n X i=1 (xi⊗ fi+ xi⊗ gi) = n X i=1 xi⊗ fi+ n X i=1 xi⊗ gi = u1+ u2.

Portanto, X ⊗ Y ´e expresso na formas X ⊗ F + X ⊗ G. Agora, iremos mostrar que (X ⊗ F ) ∩ (X ⊗ G) = {0}. Seja u ∈ (X ⊗ F ) ∩ (X ⊗ G), de modo que tenhamos duas representa¸c˜oes de u: u = n X i=1 vi⊗ yi = m X j=1 wj ⊗ zj, (2.4)

com yi ∈ F e zj ∈ G. Considere agora a forma bilinear A ∈ B(X × Y ) definida por

A(x, y) = ϕ(x)ψ(y). Pela igualdade (2.4), temos u(A) =Pn

i=1ϕ(vi)ψ(yi) =

j=1ϕ(wj)ψ(zj).

Disso segue que

0 = n X i=1 ϕ(vi)ψ(yi) − m X j=1 ϕ(wj)ψ(zj) = ψ n X i=1 ϕ(vi)yi ! − ψ m X j=1 ϕ(wj)zj ! = ψ n X i=1 ϕ(vi)yi− m X j=1 ϕ(wj)zj ! . Logo Pn i=1ϕ(vi)yi − Pm j=1ϕ(wj)zj = 0 e portanto Pn i=1ϕ(vi)yi = Pm j=1ϕ(wj)zj. Mas F ∩ G = {0}, ent˜ao Pn

i=1ϕ(vi)yi = 0, para todos ϕ ∈ X

#_{. Segue que u = 0.}

Dessa proposi¸cão, e sob as mesmas hipóteses, segue que o espa¸co quociente (X ⊗ Y )/(X ⊗ F ) pode ser identificado como X ⊗ (Y /F ). De fato, sejam X, Y espa¸cos vetoriais e F , G subespa¸cos de Y de forma que Y = F ⊕ G. Então

X ⊗ Y X ⊗ F ' (X ⊗ F ) ⊕ (X ⊗ G) (X ⊗ F ) ' X ⊗ G ' X ⊗ Y F.

De forma análoga, se H e W são subespa¸cos de X tais que X = H ⊕ W , então X ⊗ Y

H ⊗ Y ' X H ⊗ Y.

2.2 Produto tensorial e lineariza¸c˜ao

Um dos objetivos principais do produto tensorial é linearizar as aplica¸cões bilineares. Nesta se¸cão, veremos como isso funciona e que, em certo sentido, a menos de isomor- fismos, o produto tensorial é o único espa¸co vetorial em que as aplica¸cões bilineares são linearizadas.

Seja A : X × Y −→ K uma forma bilinear. Recordamos que cada tensor u ∈ X ⊗ Y atua como um funcional linear no espa¸co das formas bilineares e, portanto, podemos definir uma aplica¸c˜ao

A : X⊗Y −→ K

u 7−→ eA(u) = u(A).

Note que eA est´a bem definida e ´e facilmente vista como um funcional linear em X ⊗ Y . De fato, sejam u, v ∈ X ⊗ Y e λ ∈ K. Pela linearidade de u e v temos

A(u + λv) = (u + λv)(A) = u(A) + (λv)(A) = u(A) + λv(A) = eA(u) + λ eA(v).

Al´em disso, tem-se eA(Pn

i=1xi⊗ yi) =

i=1A(xe _i⊗ y_i) = Pn

i=1A(xi, yi).

Seja θ : X × Y −→ X ⊗ Y , definida por θ(x, y) = x ⊗ y, uma aplica¸c˜ao. Note que θ ´e bilinear, pois dados x1, x2 ∈ X, y ∈ Y e λ ∈ K, temos

θ(λx1+ x2, y) = (λx1+ x2) ⊗ y = λ(x1⊗ y) + x2⊗ y = λθ(x1, y) + θ(x2, y)

e, analogamente, θ(x, λy1 + y2) = λθ(x, y1) + θ(x, y2), para todos x ∈ X, y1, y2 ∈ Y e

λ ∈ K. Agora, observe que a composi¸cão da aplica¸cão bilinear θ e o funcional linear eA que aplica X ⊗ Y em K, nos dá a forma bilinear A. De fato,

( eA ◦ θ)(x, y) = eA(θ(x, y)) = eA(x ⊗ y) = (x ⊗ y)(A) = A(x, y).

Por outro lado, se ψ : X ⊗ Y −→ K é um funcional linear tal que a composi¸cão do ψ com a aplica¸cão bilinear θ tem por resultado a forma bilinear A em X × Y , isto é,

ψ ◦ θ = A = eA ◦ θ, ent˜ao ψ = eA. De fato, dado u =Pn i=1xi⊗ yi ∈ X ⊗ Y , temos ψ(u) = ψ n X i=1 xi⊗ yi ! = n X i=1 ψ(xi⊗ yi) = n X i=1 ψ(θ(xi, yi)) = n X i=1 (ψ ◦ θ)(xi, yi) = n X i=1 ( eA ◦ θ)(xi, yi) = n X i=1 e A(θ(xi, yi)) = n X i=1 e A(xi⊗ yi)) = eA n X i=1 xi⊗ yi ! = eA(u), (2.5)

o que garante a unicidade do funcional linear eA. Assim, as formas bilineares em X × Y est˜ao em correspondˆencia um-para-um com os funcionais lineares em X ⊗ Y . Em resumo,

B(X × Y ) = (X ⊗ Y )#.

Observa¸cão 2.9. Observe que o cálculo da unicidade (2.5) nos mostra que para conhecer como um funcional aplicado num tensor se comporta, basta conhecer seu comportamento nos tensores elementares. Dessa forma, a partir de agora, quando formos provar que um funcional definido num produto tensorial é linear, iremos considerar apenas os tensores elementares.

Podemos aplicar a mesma ideia às aplica¸cões bilineares. Se A : X × Y −→ Z é uma aplica¸cão bilinear, definimos uma aplica¸cão eA : X ⊗ Y −→ Z por

e A n X i=1 xi⊗ yi ! = n X i=1 A(xi, yi).

Em virtude da Observa¸cão 2.9, vamos mostrar que eA é uma aplica¸cão linear por meio apenas de tensores elementares. Então, seja u = x ⊗ y ∈ X ⊗ Y . Note que se u = 0 tem-se eA(u) = 0, pois para cada ϕ ∈ Z# _{a composi¸c˜}_{ao ϕ ◦ A ´}_{e um funcional bilinear em}

X × Y e, portanto,

ϕ(A(x, y)) = (ϕ ◦ A)(x, y) = (x ⊗ y)(ϕ ◦ A) = 0,

o que implica em A(x, y) = 0. Al´em disso, se u, v ∈ X ⊗ Y , onde u = x ⊗ y e v = w ⊗ z, e λ ∈ K, ent˜ao

= A(x, y) + λA(w, z) = eA(u) + λ eA(v)

e portanto eA é linear. A unicidade da aplica¸cão eA segue de cálculo análogo ao da unicidade (2.5) no caso do funcional linear. A situa¸cão é ilustrada no diagrama abaixo:

X × Y θ A _// Z X ⊗ Y Ae >>

A aplica¸cão especial θ : X × Y −→ X ⊗ Y age como uma aplica¸cão bilinear universal: todo o argumento que constru´ımos acima nos mostra que qualquer aplica¸cão bilinear definida em X × Y se fatora por θ via uma aplica¸cão linear definida no produto tensorial X ⊗ Y .

Em resumo, temos que o produto tensorial é o espa¸co vetorial que lineariza as aplica¸cões bilineares. Além disso, o próximo teorema mostrará que as aplica¸cões bilineares podem ser identificadas como aplica¸cões lineares definidas no produto tensorial de espa¸cos vetoriais. Teorema 2.10. Sejam X, Y e Z espa¸_{cos vetoriais sobre o corpo K. Para cada aplica¸cão} bilinear A : X × Y −→ Z existe uma única aplica¸cão linear eA : X ⊗ Y −→ Z tal que A(x, y) = eA(x ⊗ y), para todos x ∈ X, y ∈ Y . Além disso, a correspondência A ←→ eA é um isomorfismo entre os espa¸cos vetoriais B(X × Y, Z) e L(X ⊗ Y, Z).

Demonstra¸cão: A boa defini¸cão, a linearidade e a unicidade da aplica¸cão eA já foi demonstrada anteriormente. Mostraremos apenas que a correspondência A ←→ eA é um isomorfismo. Considere o operador

Φ : B(X × Y,Z) −→ L(X ⊗ Y, Z) A 7−→ eA.

Vamos mostrar inicialmente que Φ ´e linear e, pela Observa¸c˜ao 2.9, usaremos para isso tensores elementares. Sejam x ⊗ y ∈ X ⊗ Y e λ ∈ K. Temos

^ (A + λB)(x ⊗ y) = (A + λB)(x, y) = A(x, y) + (λB)(x, y) = A(x, y) + λB(x, y) = eA(x ⊗ y) + λ eB(x ⊗ y). Logo, Φ(A + λB) = (A + λB) = e^ A + λ eB = Φ(A) + λΦ(B)

e portanto Φ é linear. Agora, seja A ∈ ker(Φ), isto é, Φ(A) = 0. Temos que eA = Φ(A) = 0 e portanto eA(x ⊗ y) = A(x, y) = 0, para quaisquer x ∈ X e y ∈ Y . Segue que A = 0 e assim Φ é injetor. Por fim, iremos mostrar a sobrejetividade do Φ. Seja T ∈ L(X ⊗ Y, Z). Defina a aplica¸cão

A : X × Y −→ Z

(x, y) 7−→ A(x, y) = T (x ⊗ y).

Note que A ´e bilinear, isto ´e, A ∈ B(X × Y, Z). De fato, pela linearidade de T , tem-se

A(λx1 + x2, y) = T ((λx1+ x2) ⊗ y) = T ((λx1) ⊗ y + x2⊗ y)

= T ((λx1) ⊗ y) + T (x2 ⊗ y) = λT (x1⊗ y) + T (x2⊗ y)

= λA(x1, y) + A(x2, y),

para todos x1, x2 ∈ X, y ∈ Y e λ ∈ K. De modo an´alogo, temos

A(x, λy1+ y2) = λA(x, y1) + A(x, y2),

para todos x ∈ X, y1, y2 ∈ Y e λ ∈ K. Como A ´e bilinear, vimos inicialmente que existe

uma ´unica aplica¸c˜ao eA ∈ L(X ⊗ Y, Z) tal que A = eA ◦ θ. Por outro lado, A = T ◦ θ. De fato, dados x ∈ X e y ∈ Y , (T ◦ θ)(x, y) = T (x ⊗ y) = A(x, y). Da unicidade de eA e da igualdade A = eA ◦ θ segue que T = eA e portanto Φ(A) = eA = T , provando assim a

sobrejetividade da Φ.

Como corolário imediato do teorema anterior, segue o importante fato, que discutimos previamente no in´ıcio dessa se¸cão, que dá conta do dual do espa¸co produto tensorial. Corolário 2.11. O dual do produto tensorial de espa¸cos vetoriais X e Y é dado por (X ⊗ Y )# _{= B(X × Y ).}

O próximo resultado nos mostra que, a menos de um isomorfismo, o produto tensorial é o único espa¸co vetorial onde é poss´ıvel a lineariza¸cão de aplica¸cões bilineares.

Teorema 2.12. (Unicidade do produto tensorial) Sejam X e Y espa¸cos vetoriais. Suponha que existam um espa¸co vetorial W e uma aplica¸cão bilinear B : X × Y −→ W com a seguinte propriedade: para todo espa¸co vetorial Z e cada aplica¸cão bilinear A : X × Y −→ Z, existe uma única aplica¸cão linear L : W −→ Z tal que A = L ◦ B. Então existe um isomorfismo J : X ⊗ Y −→ W tal que J (x ⊗ y) = B(x, y), para todo x ∈ X, y ∈ Y .

Demonstra¸cão: Mostraremos que a aplica¸cão eB de X ⊗ Y em W é um isomorfismo e fazendo-se eB = J , segue o resultado.

Por hipótese, temos que a aplica¸cão B : X × Y −→ W é bilinear. Assim, pelo Teorema 2.10, existe uma única aplica¸cão eB ∈ L(X ⊗ Y, W ) tal que B = eB ◦ θ, isto é, B(x, y) =

B(θ(x, y)) = eB(x ⊗ y), para todos x ∈ X, y ∈ Y . Como a aplica¸cão eB é linear, basta mostrarmos que eB é bijetiva.

Tomando Z = X ⊗ Y , A = θ : X × Y −→ X ⊗ Y e aplicando a propriedade que é dada a W e B por hipótese, temos que existe uma única aplica¸cão linear L : W −→ X ⊗ Y tal que θ = L ◦ B. Então L(B(x, y)) = (L ◦ B)(x, y) = θ(x, y) = x ⊗ y, para todos x ∈ X, y ∈ Y . Agora, suponha que x ⊗ y ∈ ker( eB), isto é, eB(x ⊗ y) = 0. Da´ı,

x ⊗ y = L(B(x, y)) = L( eB(x ⊗ y)) = L(0) = 0

e portanto eB é injetiva. Iremos provar agora que eB é sobrejetiva, mas antes disso, é necessário provarmos que o conjunto {B(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y } gera W . Suponha, por absurdo, que isso não ocorra. Então existe w ∈ W tal que w /∈ span{B(X × Y )} e podemos supor w 6= 0. É fácil ver que a aplica¸cão identidade em W , IW: W −→ W ,

satisfaz a condi¸c˜ao B = IW ◦ B. Tomando Z = W no enunciado do teorema e fazendo

temos A = B e L = IW segue que IW é a única aplica¸cão linear tal que B = IW◦ B. Se β

é uma base para span{B(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y }, então β ∪ {w} é um conjunto linearmente independente. Assim, com o aux´ılio do Lema de Zorn, podemos considerar uma base γ de W contendo β ∪ {w}. Seja t : W −→ W uma aplica¸cão linear definida primeiramente no vetores da base γ por

t(x) =    x, se x ∈ β 0, se x /∈ β

e ent˜ao estendendo-a por linearidade a todos os vetores de W . Em particular, t(w) = 0 e note que t 6= IW, pois t(w) = 0 6= w = IW(w). Dados x ∈ X, y ∈ Y , tem-se

(t ◦ B)(x, y) = t(B(x, y)) = IW(B(x, y)) = B(x, y),

mostrando que t ◦ B = B, o que contraria a unicidade de IW. Portanto, {B(x, y) : x ∈

X, y ∈ Y } gera W . Assim, para todo w ∈ W , existem um k ∈ N, λi ∈ K e vetores xi ∈ X,

yi ∈ Y , com i = 1, . . . , k tais que

w = k X i=1 λiB(xi, yi) = k X i=1 B(λixi, yi).

Fazendo zi = λixi, com i = 1, . . . , k, temos w = k X i=1 B(zi, yi) = eB k X i=1 zi⊗ yi ! , onde Pk

i=1zi⊗ yi ∈ X ⊗ Y . Portanto, eB ´e sobrejetiva e, consequentemente, um isomor-

fismo.

A seguir, definiremos a aplica¸c˜ao produto tensorial entre dois operadores lineares e provaremos algumas de suas propriedades. Antes disso, definiremos a transposta de um tensor u.

Defini¸c˜ao 2.13. Seja u =Pn

i=1xi⊗ yi um tensor em X ⊗ Y . A transposta de u ´e o tensor

dado por ut_{= (}Pn

i=1xi⊗ yi)t:=

i=1yi⊗ xi ∈ Y ⊗ X.

Note que u 7−→ ut _´_{e uma aplica¸c˜}_{ao linear bem definida. De fato, basta observar que}

essa aplica¸cão é simplesmente a lineariza¸cão da aplica¸cão bilinear A : X × Y −→ Y ⊗ X. Além disso, é uma questão simples mostrar que a transposta produz um isomorfismo de X ⊗ Y em Y ⊗ X. Usaremos a mesma ideia para definirmos o produto tensorial de aplica¸cões lineares.

Defini¸cão 2.14. Sejam S : X −→ E e T : Y −→ F aplica¸cões lineares. Definimos a aplica¸cão (linear) S ⊗ T : X ⊗ Y −→ E ⊗ F , chamada produto tensorial das aplica¸cões lineares S e T, como a lineariza¸cão da aplica¸cão bilinear A : X × Y −→ E ⊗ F dada por A(x, y) = S(x)⊗T (y). Assim, temos S ⊗T (x⊗y) = S(x)⊗T (y), para todo (x, y) ∈ X ×Y . Veremos a seguir que a aplica¸cão produto tensorial S ⊗ T herda algumas propriedades dos seus componentes.

Proposi¸cão 2.15. Sejam S : X −→ E, T : Y −→ F aplica¸cões lineares e S⊗T : X⊗Y −→ E ⊗ F a aplica¸cão produto tensorial de S e T . Se S e T são injetivas (respectivamente, sobrejetivas), então S ⊗ T é injetiva (respectivamente, sobrejetiva).

Demonstra¸cão: Seja x⊗y ∈ ker(S ⊗T ). Então (S ⊗T )(x⊗y) = 0, isto é, S(x)⊗T (y) = 0, onde S(x) ∈ E e T (y) ∈ F . Dado ψ ∈ F#, pela Proposi¸cão 2.5 temos S(x)ψ(T (y)) = 0 e pela linearidade de S

S(xψ(T (y))) = S(x)ψ(T (y)) = 0,

Como, por hipótese, S é injetiva, isso implica que xψ(T (x)) = 0, para todo ψ ∈ F#. Então, para cada ϕ ∈ X#, temos que ϕ(xψ(T (y))) = ϕ(x)ψ(T (y)) = 0 e da linearidade e injetividade de T segue que ψ(ϕ(x)y) = 0. Isso implica em ϕ(x)y = 0, para todo ϕ ∈ X#

Agora, seja e ⊗ f ∈ E ⊗ F e suponha que S e T sejam sobrejetivas. Ent˜ao existem x ∈ X, y ∈ Y tais que S(x) = e e T (y) = f . Da´ı, temos

e ⊗ f = S(x) ⊗ T (y) = S ⊗ T (x ⊗ y),

com x ⊗ y ∈ X ⊗ Y . Portanto, S ⊗ T ´e sobrejetiva.

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