Produto tensorial entre espaços de Banach e aplicações

(1)

Programa de P´

os–Gradua¸

c˜

ao em Matem´

atica

Mestrado em Matem´

atica

Produto tensorial entre espa¸

cos de

Banach e aplica¸

c˜

oes

Adelson Carlos Madruga

Jo˜

ao Pessoa – PB

Fevereiro de 2018

(2)

Programa de P´

os–Gradua¸

c˜

ao em Matem´

atica

Mestrado em Matem´

atica

Produto tensorial entre espa¸

cos de

Banach e aplica¸

c˜

oes

por

Adelson Carlos Madruga

sob a orienta¸c˜ao do

Prof. Dr. Jamilson Ramos Campos

Jo˜

ao Pessoa – PB

Fevereiro de 2018

(3)

M183p Madruga, Adelson Carlos.

Produto tensorial entre espa¸cos de Banach e aplica¸c˜oes / Adelson Carlos Madruga. - Jo˜ao Pessoa, 2018.

95 f.

Orienta¸c˜ao: Jamilson Ramos Campos. Disserta¸c˜ao (Mestrado) - UFPB/CCEN.

1. Matem´atica. 2. Espa¸cos de Banach. 3. Ideais de operadores. 4. Multi-ideais de operadores. I. Campos, Jamilson Ramos. II. T´ıtulo.

(4)

Banach e aplica¸

c˜

oes

por

Adelson Carlos Madruga

1

Disserta¸cão apresentada ao Corpo Docente do Programa de Pós–Gradua¸cão em Ma-temática da Universidade Federal da Para´ıba como requisito parcial para a obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática.

´

Area de Concentra¸c˜ao: An´alise

Aprovada em 26 de Fevereiro de 2018.

Banca Examinadora:

(5)

gralmente,

proporcionando-me uma base s´

olida para

que cada etapa dessa

cami-nhada fosse conquistada.

(6)

Agrade¸co, primeiramente, a DEUS, por permanecer sempre ao meu lado, dando-me coragem e disposi¸c˜ao para alcan¸car essa t˜ao sonhada e importante conquista.

Aos meus pais, Luzia Felix e Antonio Madruga, que não mediram esfor¸cos para a realiza¸cão desse sonho e cuja presen¸ca sempre me serviu de esteio, sustenta¸cão e da certeza de que nunca caminharei sozinho. Essa conquista é nossa!

Aos meus irm˜aos, Francineide Madruga e Jaelson Madruga, por se fazerem sempre presentes mesmo quando me encontrava distante, apoiando-me nos momentos de dificul-dades.

Ao meu sobrinho, Conrado Madruga, que embora ainda n˜ao saiba o significado dessa conquista, transmite-me paz e tranquilidade com sua presen¸ca.

Aos meus av´os, tios, primos e cunhado pelo incentivo constante e, principalmente, pelos momentos de descontra¸c˜ao e lazer.

Aos amigos pela torcida infal´ıvel em todas as etapas dessa trajet´oria.

Aos colegas do mestrado, Bosoerg, Douglas, Fagner, Rafael e Sérgio, pelos conheci-mentos compartilhados, apoio e amizade, tornando, assim, a caminhada mais suportável. Ao meu orientador, Jamilson Campos, que com maestria e dedica¸cão conduziu a orienta¸cão desse trabalho, sempre contribuindo com seu inigualável conhecimento e ex-periência. Obrigado pela confian¸ca, paciência, disponibilidade e incentivo.

Aos meus professores da licenciatura, Agnes Liliane, Cibelle Castro, Claudilene Costa, Fabr´ıcio Lima, Givaldo Lima, Jamilson Campos, Jussara Paiva e Marcos Andr´e, pelo incentivo e ajuda em todos os momentos que deles precisei.

Ao corpo docente do PGMat/UFPB, em especial, à Miriam Pereira, Flank David e Ricardo Burity pelas contribui¸cões dadas a minha forma¸cão durante o transcorrer de suas disciplinas.

Aos professores Mariana Maia e Joedson dos Santos, membros da banca examinadora, por aceitarem o nosso convite e pelas valiosas contribui¸c˜oes dada `a essa pesquisa.

`

A professora Rogéria Gaudencio pela disponibilidade em me supervisionar durante o estágio docência e pelas contribui¸cões que foram de grande importância ao meu cresci-mento profissional. Muito obrigado!

`

As secret´arias do PGMat/UFPB, Ala´ıce Duarte e Roseli Agapito, por sempre se mos-trarem sol´ıcitas quando delas precisei.

(7)

O presente trabalho tem como objetivo principal estudar o produto tensorial entre espa¸cos de Banach. Para isso, inicialmente, apresentaremos alguns resultados de Análise Funcio-nal e de espa¸cos de sequências a valores vetoriais que serão necessários ao desenvolvimento dos conteúdos posteriores. Em seguida, faremos um estudo algébrico do produto tensorial de espa¸cos vetoriais, destacando sua constru¸cão e suas propriedades. No viés topológico, estudaremos as normas projetiva e injetiva, suas propriedades e o dual do produto ten-sorial projetivo. Por fim, veremos duas aplica¸cões do produto tensorial entre espa¸cos de Banach, a saber, uma com respeito ao método de composi¸cão, que gera multi-ideais a partir de ideais de operadores lineares, e a outra relacionada a uma caracteriza¸cão para os operadores absolutamente somantes.

Palavras-chave: Produto tensorial, espa¸cos de Banach, ideais de operadores, multi-ideais, operadores absolutamente somantes.

(8)

This work has as the main purpose to study the tensor product between Banach spaces. For this, initially, we will present some results of Functional Analysis and of vector-valued sequence spaces that will be necessary to the development of the later contents. Next, we will make an algebraic study of the tensor product of vector spaces, highlighting its construction and its properties. In the topological bias, we will study the projective and injective norms, their properties and the dual of the projective tensor product. Finally, we will see two applications of the tensor product between Banach spaces, namely one with respect to the composition method, which generates multi-ideals from the linear operator ideals, and other related to a characterization for the absolutely summing operators. Keywords: Tensor Product, Banach spaces, operator ideals, multi-ideals, absolutely summing operators.

(9)

Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 3

1.1 Resultados Cl´assicos de An´alise Funcional . . . 3

1.2 Dualidade e Adjunto de um operador . . . 19

1.3 Completamento de um espa¸co normado . . . 23

1.4 Espa¸cos de sequˆencias a valores vetoriais . . . 25

2 Produto Tensorial 30 2.1 Produto tensorial de espa¸cos vetoriais . . . 30

2.2 Produto tensorial e lineariza¸c˜ao . . . 37

2.3 Tensores como formas bilineares e como aplica¸c˜oes lineares . . . 43

2.4 Dualidade tensorial e dualidade de tra¸co . . . 47

2.5 Alguns exemplos . . . 49

2.5.1 Fun¸c˜oes de valores vetoriais . . . 49

2.5.2 Fun¸c˜oes de duas vari´aveis . . . 50

3 Produto tensorial projetivo e injetivo 52 3.1 A norma projetiva . . . 52

3.2 O espa¸co dual de X ˆ⊗πY . . . 65

3.3 A norma injetiva . . . 68

4 Aplica¸c˜oes 75 4.1 Multi-ideais de composi¸c˜ao . . . 75

4.2 Operadores absolutamente p-somantes . . . 78

(10)

A seguir, listamos algumas nota¸c˜oes utilizadas neste trabalho.

• N denota o conjunto {1, 2, 3, . . .}; • R denota o conjunto dos n´umeros reais; • C denota o conjunto dos n´umeros complexos; • K denota o corpo R ou C;

• L(E, F ) denota o conjunto de todos os operadores lineares de E em F ;

• L(E, F ) denota o conjunto de todos os operadores lineares cont´ınuos de E em F ; • K(E, F ) denota o conjunto de todos os operadores lineares compactos de E em F ; • BE denota a bola unit´aria fechada no espa¸co E;

• ˚BE denota a bola unit´aria aberta no espa¸co E;

• X# _{denota o dual alg´}_{ebrico do espa¸co X;}

• E0 _{denota o dual topol´}_{ogico do espa¸co E;}

• dim(E) denota a dimensão do espa¸co E; • Im(f ) denota a imagem da aplica¸cão f ; • ker(T ) denota o núcleo do operador linear T ;

• E,→ F denota que E ⊆ F e kxk1 _F ≤ kxk_E, para todo x ∈ E; • E= F denota que E ´1 e isometricamente isomorfo a F ;

• (xj)nj=1 denota a sequˆencia (x1, x2, . . . , xn, 0, 0, . . .);

(11)

• en denota a sequência (0, . . . , 0, 1, 0, . . .) cujos termos são todos nulos com exce¸cão

do n-´esimo;

• [A] ou span {A} denota o espa¸co vetorial gerado pelo subconjunto A de um espa¸co vetorial E;

• T0_{: F}0 _{−→ E}0 _{denota o operador adjunto de T ∈ L(E, F );}

• T#_{: F}#_{−→ E}# _{denota o operador adjunto de T ∈ L(E, F );}

• B(X × Y, Z) denota o conjunto de todas as aplica¸c˜oes bilineares de X × Y em Z; • B(X × Y ) denota o conjunto de todas as formas bilineares de X × Y em K; • X ⊗ Y denota o produto tensorial dos espa¸cos vetoriais X e Y ;

• x ⊗ y denota o tensor elementar em X ⊗ Y ; • co(S) denota a envolt´oria convexa de S;

• co(S) denota o fecho da envolt´oria convexa de S; • π(·) denota a norma projetiva definida em X ⊗ Y ; • ε(·) denota a norma injetiva definida em X ⊗ Y ;

• X ⊗π Y denota o produto tensorial munido da norma projetiva;

• X ⊗εY denota o produto tensorial munido da norma injetiva;

• X ˆ⊗πY denota o completamento do espa¸co normado X ⊗εY , chamado de produto

tensorial projetivo;

• X ˆ⊗εY denota o completamento do espa¸co normado X ⊗εY , chamado de produto

tensorial injetivo;

(12)

O caráter algébrico das aplica¸cões multilineares possibilita que resultados da Álgebra sejam bem incorporados na Análise Funcional, permitindo assim a cria¸cão de ferramentas capazes de auxiliar na resolu¸cão de problemas que envolvem esse tipo de aplica¸cão. Dentre essas ferramentas, destacamos o produto tensorial de espa¸cos vetoriais que, por exemplo, lineariza essas aplica¸cões.

O produto tensorial foi introduzido na Análise Funcional por meio de um estudo de-senvolvido por Murray e Von Neumann [12] no final da década de 1930. Anos depois, mais especificamente em 1943, Schatten em [18] e [19] fez o primeiro estudo das classes de normas sobre os produtos tensoriais entre espa¸cos de Banach. Entretanto, as várias possibilidades do uso dos produtos tensoriais na Teoria dos Espa¸cos de Banach só ficou evi-dente e ganhou for¸ca com o artigo de Grothendieck [8], Résumé de la théorie métrique des produits tensoriels topologiques, publicado em 1956 no Brasil. Nesse inestimável trabalho, entre muitas coisas, Grothendieck define e estuda a classe dos operadores absolutamente somantes. Embora atualmente, os estudos sobre esse tipo de classe, em sua grande mai-oria, fa¸cam uso de caracteriza¸cões por desigualdades ou por operadores induzidos, nos estudos de Grothendieck eles foram, inicialmente, postos em termos de produto tensorial. Como havia alguma relutância de pensar em termos de produto tensorial na Análise Funcional, os resultados apresentados no Résumé foram, de certa forma, considerados de dif´ıcil compreensão. Anos depois, por volta de 1960, vários pesquisadores como Lindens-trauss, Pelczyński e Pietsch e seus colaboradores reescreveram as ideias de Grothendieck sobre a teoria dos operadores absolutamente somantes de forma mais compreens´ıvel e sistematizaram a teoria de ideais de operadores, de certo modo, sem o uso de produtos tensoriais. Anos depois, o estudo de ideais de operadores com uso de produtos tensori-ais aparece novamente, dentre muitos trabalhos, no estudo de Pietsch [15], publicado em 1983, e no livro de Pisier [16] e no de Defant e Floret [5].

Iniciado por volta dos anos 1970, o trabalho desenvolvido por Pisier na Teoria dos Espa¸cos de Banach foi o que finalmente chamou a aten¸cão para a abordagem do produto tensorial na Análise Funcional. Sua obra [16] foi fundamental para solucionar seis dos problemas deixados por Grothendieck no Résumé. Além disso, Pisier deixa claro que

(13)

Atualmente, pesquisadores como, por exemplo, P. Rueda e G. Botelho vêm utilizando o produto tensorial entre espa¸cos de Banach como uma importante ferramenta na Análise Funcional. Entre seus trabalhos, destacamos o artigo [1], desenvolvido com a colabora¸cão de D. Pellegrino, que deixa evidente, entre outras contribui¸cões, a utilidade do produto tensorial projetivo no método de composi¸cão, que gera multi-ideais a partir de ideais de operadores lineares, e o artigo [3], que aborda a propriedade Schur em produtos tensoriais projetivos e injetivos.

O objetivo principal deste trabalho é estudar o produto tensorial entre espa¸cos vetoriais (e de Banach), mostrando sua constru¸cão, algumas de suas propriedades e duas aplica¸cões na Análise Funcional. Para isso, estruturamos a disserta¸cão em quatro cap´ıtulos da forma que descrevemos abaixo.

O Cap´ıtulo 1 traz uma breve explana¸cão de resultados preliminares necessários para o desenvolvimento da teoria ao longo do trabalho. Nele, apresentamos resultados clássicos de Análise Funcional e, entre muitas coisas, tecemos algumas considera¸cões sobre os espa¸cos de sequências a valores vetoriais.

No Cap´ıtulo 2, abordamos a teoria do produto tensorial de espa¸cos vetoriais. Nosso interesse, nesse cap´ıtulo, se concentra no estudo alg´ebrico dessa teoria, observando sua constru¸c˜ao e suas propriedades.

No Cap´ıtulo 3, estudamos duas maneiras de normar o produto tensorial de espa¸cos vetoriais (em particular, de Banach). Trabalhamos a norma projetiva, mostramos que o produto tensorial projetivo lineariza as aplica¸c˜oes bilineares cont´ınuas e determinamos o espa¸co dual do produto tensorial projetivo. Al´em disso, apresentamos um estudo sobre a norma injetiva.

No último cap´ıtulo, o Cap´ıtulo 4, apresentamos duas aplica¸cões dos produtos tensoriais entre espa¸cos de Banach: a primeira aplica¸cão relaciona o produto tensorial ao método de composi¸cão, método usado para gerar multi-ideais a partir de ideais de operadores lineares; a segunda apresenta uma caracteriza¸cão para os operadores absolutamente p-somantes em fun¸cão da continuidade de operadores entre espa¸cos produtos tensoriais.

Um fato digno de nota: muitos resultados clássicos de Análise Real e de Álgebra Linear serão utilizados indistintamente ao longo da disserta¸cão sem nenhuma men¸cão ou indica¸cões de referências.

(14)

Preliminares

Neste cap´ıtulo, faremos uma breve apresenta¸cão de alguns resultados de Análise Fun-cional e dos espa¸cos de sequências a valores vetoriais que serão necessários para o de-senvolvimento da teoria dos próximos cap´ıtulos. Salientamos que algumas demonstra¸cões serão omitidas, por se tratarem de resultados clássicos, e para elas apontaremos as devidas referências.

1.1 Resultados Cl´

assicos de An´

alise Funcional

Na presente se¸cão, iremos expor algumas defini¸cões e resultados clássicos de Análise Funcional, como os importantes teoremas do Gráfico Fechado e os de Hahn-Banach. Em sua constru¸cão, utilizamos como referências principais os livros [2], [4] e [11]. Iniciamos o texto definindo uma norma sobre um espa¸co vetorial:

Defini¸cão 1.1. Uma norma num espa¸co vetorial E é uma aplica¸cão

k·k_E: E −→ [0, ∞) x 7−→ kxk_E que satisfaz as seguintes propriedades:

(i) kxk_E ≥ 0, para todo x ∈ E e kxk_E = 0 se, e somente se, x = 0. (ii) kλxk_E = |λ| · kxk_E_{, para todos λ ∈ K e x ∈ E.}

(iii) kx + yk_E ≤ kxk_E + kyk_E, para todos x, y ∈ E (desigualdade triangular).

Quando um espa¸co vetorial for munido de uma norma ser´a chamado de espa¸co vetorial normado ou simplesmente espa¸co normado e denotado pelo par (E, k·k_E).

(15)

Defini¸cão 1.2. Um espa¸co normado E é chamado de espa¸co de Banach se ele for completo na métrica

d(x, y) = kx − yk , para todo x, y ∈ E, induzida pela norma.

Defini¸c˜ao 1.3. Sejam E1, . . . , En espa¸cos normados. As seguintes express˜oes definem

normas sobre o espa¸co produto cartesianos E1× · · · × En :

k(x1, . . . , xn)k1 = kx1k + . . . + kxnk , k(x1, . . . , xn)k2 = kx1k 2 + . . . + kxnk 212 , e k(x1, . . . , xn)k∞= max {kx1k , . . . , kxnk} .

Defini¸c˜ao 1.4. Duas normas k·k e k·k₀ em um espa¸co vetorial E s˜ao equivalentes se existem constantes a, b > 0 tais que, para todo x ∈ E, tem-se

a kxk₀ ≤ kxk ≤ b kxk₀.

O próximo resultado se trata de um exerc´ıcio corriqueiro em Análise Funcional e por isso omitiremos sua demonstra¸cão.

Proposi¸c˜ao 1.5. Sejam E1, . . . , En espa¸cos normados.

(a) As aplica¸c˜oes k·k₁, k·k₂ e k·k_∞ definem normas equivalentes no produto cartesiano E1 × · · · × En.

(b) E1 × · · · × En munido de uma das normas do item (a) ´e Banach se, e somente se,

E1, . . . , En s˜ao espa¸cos de Banach.

Veremos, na proposi¸c˜ao a seguir, a importˆancia dos subespa¸cos fechados de um espa¸co de Banach.

Proposi¸cão 1.6. Sejam E um espa¸co de Banach e F um subespa¸co vetorial de E. Então, F é um espa¸co de Banach se, e somente se, F é fechado em E.

Demonstra¸c˜ao: Sejam F um espa¸co de Banach e (xn)∞n=1 uma sequˆencia em F tal que

xn−→ x ∈ E. Ent˜ao, para todo ε > 0 existe n0 = n0(ε) ∈ N tal que n > n0 implica em

kxn− xk < ε 2. Assim kxm− xnk = kxm− x + x − xnk ≤ kxm− xk + kx − xnk < ε 2+ ε 2 = ε,

(16)

para todos m, n > n0. Portanto (xn)∞n=1 ´e uma sequˆencia de Cauchy em F e existe y ∈ F

tal que xn→ y. Pela unicidade do limite, x = y ∈ F , provando que F ´e fechado em E.

Reciprocamente, suponha que F ´e fechado em E e seja (xn)∞n=1 uma sequˆencia de

Cauchy em F . Ent˜ao, (xn)∞n=1 ´e de Cauchy em E e portanto existe x ∈ E tal que xn→ x.

Como F é fechado, temos que x ∈ F , provando assim que F é um espa¸co de Banach. Nosso objetivo agora é mostrar que qualquer espa¸co vetorial normado de dimensão finita é um espa¸co de Banach. Para isso precisaremos do seguinte lema:

Lema 1.7. Sejam E um espa¸co normado e B = {x1, . . . , xn} um conjunto de vetores

linearmente independentes de E. Ent˜ao existe uma constante c > 0, que depende do conjunto B, tal que

ka1x1+ · · · + anxnk ≥ c(|a1| + · · · + |an|),

para quaisquer escalares a1, . . . , an.

Demonstra¸cão: Veja [2, Lema 1.1.5]. Teorema 1.8. Todo espa¸co normado de dimensão finita é um espa¸co de Banach. Conse-quentemente, todo subespa¸co de dimensão finita de um espa¸co normado E é fechado em E.

Demonstra¸c˜ao: Sejam E um espa¸co normado de dimens˜ao n, {β1, . . . , βn} uma base

normalizada de E e (xk)∞k=1 uma sequˆencia de Cauchy em E. Ent˜ao para cada k ∈ N

existem ´unicos escalares ak

1, . . . , akn tais que xk = a1kβ1+ · · · + aknβn. Dado ε > 0, podemos

tomar um n0 ∈ N tal que kxk− xmk < c · ε sempre que k, m ≥ n0, onde c ´e a constante

do Lema 1.7 para o conjunto {β1, . . . , βn}. Segue ent˜ao que n X j=1 ak_j − am j ≤ 1 c n X j=1 (ak_j − am j )βj = 1 ckxk− xmk < ε,

sempre que k, m ≥ n0. Da´ı, para cada j = 1, . . . , n, a sequˆencia de escalares (akj) ∞ k=1 ´e

de Cauchy, portanto convergente. Digamos bj = lim k a

k

j, j = 1, . . . , n. Nesse caso, temos

lim k Pn j=1 ak j − bj = 0. Definindo x = b₁β₁+ · · · + b_nβ_n, temos x ∈ E e lim k kxk− xk = limk n X j=1 (ak_j − bj)βj ≤ lim k n X j=1 ak_j − bj = 0,

provando que xk −→ x. Portanto E ´e um espa¸co Banach. A segunda afirma¸c˜ao segue da

(17)

Definiremos agora alguns espa¸cos de sequˆencias de escalares que ser˜ao utilizados em resultados posteriores. Denotaremos por c0, c00, `p e `∞, respectivamente, o espa¸co das

sequências que convergem para zero, das sequências eventualmente nulas, das sequências p-somáveis e das sequências limitadas. Em s´ımbolo temos

c0 := (aj)∞j=1: aj ∈ K para todo j ∈ N e aj −→ 0 ,

c00:=(aj)∞j=1 ∈ c0: existe j0 ∈ N tal que aj = 0, para todo j ≥ j0 ,

`p := ( (aj)∞j=1: aj ∈ K para todo j ∈ N e ∞ X j=1 |aj| p < ∞ ) , `∞:=

(aj)∞j=1: aj ∈ K para todo j ∈ N e sup j∈N

|aj| < ∞

.

As desigualdades de Hölder e de Minkowski para sequências são necessárias para mos-trar que o espa¸co `p é um espa¸co normado. As duas próximas proposi¸cões mostram essas

desigualdades e as respectivas demonstra¸c˜oes podem ser encontradas em [11, Example 1.2-3].

Proposi¸cão 1.9 (Desigualdade de Hölder para sequˆ_{encias). Sejam n ∈ N e p, q > 1} tais que 1_p + 1_q = 1. Então

n X j=1 |ajbj| ≤ n X j=1 |aj|p !_p1 · n X j=1 |bj|q !1_q ,

para quaisquer escalares a1, . . . , an, b1, . . . , bn.

Proposi¸c˜ao 1.10 (Desigualdade de Minkowski para sequˆencias). Seja p ≥ 1. Ent˜_{ao para quaisquer n ∈ N e escalares a}1, . . . , an, b1, . . . , bn, temos

n X j=1 |aj+ bj|p !1_p ≤ n X j=1 |aj|p !_p1 + n X j=1 |bj|p !1_p

Os dois teoremas seguintes mostram que os espa¸cos de sequˆencias `p e `∞ s˜ao Banach.

Teorema 1.11. Se 1 ≤ p < ∞, ent˜ao `p ´e um espa¸co de Banach com a norma

(aj)∞j=1 p = ∞ X j=1 |aj| p !1_p .

(18)

Teorema 1.12. O espa¸co das sequˆencias limitadas `∞ ´e Banach com a norma (aj)∞j=1 ∞= sup j∈N |aj|

Demonstra¸cão: Veja [11, Example 1.5-2]. Como toda sequência convergente é limitada temos que c0 é um subespa¸co de `∞. O

fato de c0 ser um espa¸co de Banach [2, Exemplo 1.1.7] segue da Proposi¸c˜ao 1.6 que c0 ´e

um subespa¸co fechado de `∞. O espa¸co c00´e um subespa¸co n˜ao-fechado de c0 e portanto

n˜ao ´e Banach [2, Exemplo 1.1.7].

Agora, iremos apresentar alguns resultados relacionados aos operadores lineares cont´ınuos. Iniciaremos definindo esse tipo operador.

Defini¸c˜_{ao 1.13. Sejam E e F espa¸cos normados sobre um corpo K. Uma aplica¸cão} T : E −→ F é dita um operador linear cont´ınuo se é linear e cont´ınua simultaneamente, isto é,

(i) T (λx + y) = λT (x) + T (y), para todo λ ∈ K e quaisquer x, y ∈ E;

(ii) Se para todos x0 ∈ E e ε > 0 existe δ > 0 tal que kT (x) − T (x0)k < ε, sempre que

x ∈ E e kx − x0k < δ.

Além disso, se T : E −→ F for um operador linear cont´ınuo bijetor cujo operador inverso T−1: F −→ E for cont´ınuo, dizemos que T é um isomorfismo topológico, ou simplesmente isomorfismo, e que E e F são topologicamente isomorfos, ou simplesmente isomorfos.

Denotaremos o conjunto de todos os operadores lineares cont´ınuos de E em F por L(E, F ). Se F for o corpo dos escalares K, escrevemos E0

em vez de L(E, K) e o chama-remos de dual topol´ogico de E, ou simplesmente dual de E, e seus elementos chamaremos de funcionais lineares cont´ınuos. Sendo T : E −→ F um operador linear, dizemos que T ´e uma isometria linear se kT (x)k_F = kxk_E, para todo x ∈ E.

O próximo teorema traz algumas caracteriza¸cões que são bastante úteis para mostrar a continuidade de um operador linear.

Teorema 1.14. Sejam E, F espa¸cos normados e T : E → F um operador linear. S˜ao equivalentes:

(a) T ´e Lipschitziano.

(b) T ´e uniformemente cont´ınuo. (c) T ´e cont´ınuo.

(19)

(d) T ´e cont´ınuo em algum ponto de E. (e) T ´e cont´ınuo na origem.

(f ) sup

kxk≤1

kT (x)k < ∞.

(g) Existe c > 0 tal que kT (x)k_F ≤ ckxk_E, para todo x ∈ E.

Demonstra¸cão: Da teoria dos espa¸cos métricos, sabemos que as implica¸cões (a) ⇒ (b) ⇒ (c) ⇒ (d) são sempre válidas e não dependem da linearidade de T .

(d)⇒(e) Digamos que T ´e cont´ınuo no ponto x0 ∈ E. Ent˜ao, para todo ε > 0 existe

δ = δ(ε) > 0 tal que kT (x) − T (x0)k < ε, sempre que kx − x0k < δ. Seja x ∈ E tal que

kxk < δ. Ent˜ao, kxk = kx + x0− x0k < δ implica em

kT (x) − T (0)k = kT (x) − 0k = kT (x) + T (x0) − T (x0)k

= kT (x + x0) − T (x0)k < ε,

donde T ´e cont´ınuo na origem.

(e)⇒(f) Sendo T cont´ınuo na origem, existe δ > 0 tal que kT (x)k < 1, sempre que kxk < δ. Da´ı, kxk ≤ 1 implica em δ 2x

< δ que por sua vez implica em

δ 2kT (x)k = T δ 2x < 1,

para todo x ∈ E tal que kxk ≤ 1. Logo,

sup

kxk≤1

kT (x)k ≤ 2 δ < ∞.

(f)⇒(g) Se x = 0 a desigualdade ´e trivialmente satisfeita para qualquer c > 0. Seja x ∈ E \ {0}. Ent˜ao, kT (x)k kxk = T x kxk ≤ sup kyk≤1 kT (y)k =: c < ∞.

Portanto, kT (x)k ≤ c kxk para todo x ∈ E. (g)⇒(a) Sejam x, y ∈ E. Temos

kT (x) − T (y)k = kT (x − y)k ≤ c kx − yk

(20)

A condi¸c˜ao (f) do Teorema 1.14 nos mostra como normar o espa¸co L(E, F ) dos ope-radores lineares cont´ınuo de E em F :

Proposi¸c˜ao 1.15. Sejam E e F espa¸cos normados. (a) A express˜ao

kT k = sup

x∈BE

kT (x)k

define uma norma no espa¸co L(E, F ).

(b) kT (x)k ≤ kT k · kxk, para todos T ∈ L(E, F ) e x ∈ E. (c) Se F for Banach, então L(E, F ) também é Banach.

Demonstra¸c˜ao: Veja [2, Proposi¸c˜ao 2.1.4]. Apresentamos agora uma classe especial de operadores lineares cont´ınuos.

Defini¸cão 1.16. Um operador linear cont´ınuo T : E −→ F é dito ser de posto finito se a imagem de T é um subespa¸co de dimensão finita de F . Denotaremos por F (E, F ) o conjunto dos operadores lineares cont´ınuos de posto finito de E em F .

O operador ϕ ⊗ y : E −→ F definido por ϕ ⊗ y(x) := ϕ(x)y, com ϕ ∈ E0 e y ∈ F , ´e um exemplo de operador linear cont´ınuo de posto finito. De fato, dados a, b ∈ E e λ ∈ K, temos

ϕ ⊗ y(a + λb) = ϕ(a + λb)y = ϕ(a)y + λϕ(b)y = ϕ ⊗ y(a) + λϕ ⊗ y(b),

donde ϕ ⊗ y ´e linear. A continuidade de ϕ ⊗ y segue de

kϕ ⊗ y(x)k = kϕ(x)yk ≤ kϕk kyk kxk ,

para todo x ∈ E. Al´em disso, kϕ ⊗ yk = sup_x∈B_Ekϕ(x)yk = kϕk kyk . Como ϕ ⊗ y(E) ⊆ [y], temos que ϕ ⊗ y ´e um operador linear cont´ınuo de posto finito.

Os operadores lineares cont´ınuos de posto finito possuem a seguinte caracteriza¸cão: Proposi¸cão 1.17. Seja T : E −→ F um operador linear cont´ınuo. São equivalentes: (a) T é de posto finito.

(21)

Demonstra¸cão: (a) ⇒ (b) Suponha que a imagem de T tenha dimensão finita, isto é, dim(T (E)) = n ∈ N. Escolha uma base {y1, . . . , yn} para T (E). Desse modo, para todo

x ∈ E existem ´unicos α1, . . . αn∈ K tais que

T (x) =

n

X

i=1

αiyi. (1.1)

Para cada i = 1, . . . , n, defina ϕi: E −→ K pondo ϕi(x) = αi. Note que a linearidade de

ϕi segue da unicidade de cada elemento de T (E) como combina¸c˜ao linear de vetores da

base e da linearidade de T . Não é dif´ıcil mostrar que a fun¸cão k·k_s: T (E) → [0, ∞), dada por kT (x)k_s :=Pn

i=1|ϕi(x)|, define uma norma em T (E). Como, por hip´otese, T (E) tem

dimens˜ao finita, a norma de F restrita a T (E) e a norma k·k_s s˜ao equivalentes, logo existe k > 0 tal que

|ϕi(x)| = |αi| ≤ |α1| + · · · + |αn| = kT (x)k_s≤ k kT (x)k ≤ k kT k kxk ,

para todos x ∈ E, i = 1, . . . , n. Portanto, ϕi ∈ E0, para todo i = 1, . . . , n. De (1.1) segue

que T =Pn

i=1ϕi⊗ yi.

(b) ⇒ (a) Se T = Pn

i=1ϕi ⊗ yi, ent˜ao T ∈ L(E, F ) e T (E) ⊆ [y1, . . . , yn], portanto

T ∈ F (E, F ).

Apresentaremos a seguir um conjunto de teoremas que fazem parte dos principais resultados dessa se¸cão. São eles: o Teorema de Banach-Steinhaus, o Teorema da Aplica¸cão Aberta, o Teorema do Gráfico Fechado e os Teoremas de Hahn-Banach.

Sob a hipótese de que o dom´ınio é espa¸co de Banach, o Teorema de Banach-Steinhaus mostra que uma fam´ılia de operadores lineares cont´ınuos é uniformemente limitada sempre que for pontualmente limitada. Para sua demonstra¸cão necessitaremos do Teorema de Baire que enunciaremos a seguir e cuja demonstra¸cão pode ser vista em [4, Theorem 2.1]. Teorema 1.18 (Teorema de Baire). Sejam (M, d) um espa¸co métrico completo e (Fn)∞n=1 uma sequência de subconjuntos fechados de M tais que M =

∞

[

n=1

Fn. Ent˜ao,

existe n0 ∈ N tal que Fn0 tem interior n˜ao vazio.

Teorema 1.19 (Banach-Steinhaus). Sejam E um espa¸co de Banach, F um espa¸co normado e (Ti)i∈I uma fam´ılia de operadores em L(E, F ) satisfazendo a seguinte condi¸c˜ao:

para cada x ∈ E existe cx < ∞ tal que

sup

i∈I

kTi(x)k < cx.

(22)

Demonstra¸c˜ao: Seja (Ti)i∈I uma fam´ılia de operadores em L(E, F ). Para cada n ∈ N

considere o conjunto

A(n, Ti) = {x ∈ E : kTi(x)k ≤ n}

e a aplica¸c˜ao cont´ınua k·k ◦ Ti : E → R. Como A(n, Ti) = (k·k ◦ Ti)−1([0, n]), segue que

A(n, Ti) ´e fechado para todos n ∈ N e i ∈ I. Dessa forma,

An := x ∈ E : sup i∈I kTi(x)k ≤ n =\ i∈I A(n, Ti)

´_{e fechado para todo n ∈ N, pois a interse¸c˜ao de conjuntos fechados ´e sempre um fechado.} Afirmamos que E = ∞ [ n=1 An. De fato, ∞ [ n=1

An⊆ E por defini¸cão. Para a inclusão contrária,

dado x ∈ E existem cx < ∞ e n1(x) ∈ N tais que

sup

i∈I

kTi(x)k < cx ≤ n1,

donde x ∈S∞

n=1An. Pelo Teorema 1.18, tem-se int(An0) 6= ∅, para algum n0 ∈ N. Sejam

a ∈ int (An0) e r > 0 tais que a bola fechada de centro a e raio r esteja contida no aberto

int (An0), isto ´e,

{x ∈ E : kx − ak ≤ r} ⊆ int (An0).

Considerando agora y ∈ E tal que kyk ≤ 1, observe que, se x = a + ry, ent˜ao kx − ak = kryk ≤ r e portanto x ∈ An0. Da´ı,

kTi(x − a)k = kTi(x) − Ti(a)k ≤ kTi(x)k + kTi(a)k ≤ n0+ n0 ≤ 2n0,

para todo i ∈ I. Logo, kTi(ry)k = kTi(x − a)k ≤ 2n0 e kTi(y)k ≤

2n0

r para todo i ∈ I e todo y ∈ E com kyk ≤ 1. Tomando o supremo sobre y ∈ BE obtemos

kTik = sup kyk≤1

kTi(y)k ≤

2n0

r ,

para todo i ∈ I. Por fim, tomando o supremo sobre os ´ındices i ∈ I temos

sup i∈I kTik ≤ 2n0 r < ∞.

(23)

Vejamos uma consequˆencia do teorema apresentado anteriormente.

Corol´ario 1.20. Sejam E um espa¸co de Banach, F um espa¸co normado e (Tn)∞n=1 uma

sequˆencia em L(E, F ) tal que (Tn(x))∞n=1 ´e convergente em F para todo x em E. Se

definirmos

T : E −→ F

x 7−→ T (x) = lim

n→∞Tn(x),

ent˜ao T ´e um operador linear cont´ınuo.

Demonstra¸cão: A linearidade de T segue imediatamente das propriedades dos limites e da linearidade de cada Tn. Por hipótese, a sequência (Tn(x))∞n=1 é convergente para todo

x ∈ E, logo ´e limitada. Da´ı, sup_n∈NkTn(x)k < ∞, para todo x ∈ E. Pelo Teorema 1.19,

existe c > 0 tal que sup

n∈N

kTnk ≤ c. Al´em disso,

kTn(x)k ≤ kTnk kxk ≤ c kxk ,

para todos x ∈ E e n ∈ N. Fazendo n → ∞ conclu´ımos que kT (x)k ≤ c kxk para todo x ∈ E e, portanto, T é cont´ınua. Defini¸cão 1.21. Sejam E, F e G espa¸cos vetoriais. Uma aplica¸cão A : E × F −→ G é dita bilinear se for linear em cada variável, isto é,

(i) A(λx1+ x2, y) = λA(x1, y) + A(x2, y), para todo x1, x2 ∈ E, y ∈ F e λ ∈ K e

(ii) A(x, λy1+ y2) = λA(x, y1) + A(x, y2), para todo x ∈ E, y1, y2 ∈ F e λ ∈ K.

Denotaremos por B(X × Y, Z) o espa¸co vetorial das aplica¸cões bilineares de X × Y em Z. Se Z = K denotaremos o espa¸co das formas bilineares por B(X × Y ). A próxima proposi¸cão estabelece algumas caracteriza¸cões para a continuidade de uma aplica¸cão bili-near. A demonstra¸cão desse resultado é semelhante ao da Proposi¸cão 1.14 e por isso será omitida.

Proposi¸cão 1.22. Sejam E, F , G espa¸cos normados e A : E × F −→ G uma aplica¸cão bilinear. Então para qualquer uma das normas em E × F da Proposi¸cão 1.5, as seguintes afirma¸cões são equivalentes:

(a) A ´e cont´ınua.

(b) A ´e cont´ınua na origem.

(24)

(d) Existe C ≥ 0 tal que kA(x, y)k ≤ C kxk · kyk para todos x ∈ E e y ∈ F .

Seja T : E → F uma aplica¸cão. Dizemos que T é uma aplica¸cão aberta se T (A) é aberto em F para todo conjunto A aberto em E. Nosso próximo resultado mostra que se E e F são espa¸cos de Banach, então todo operador linear cont´ınuo e sobrejetor definidos entre esses espa¸cos é uma aplica¸cão aberta. Para a demonstra¸cão consulte [2, Teorema 2.4.2].

Teorema 1.23 (Teorema da Aplica¸cão Aberta). Sejam E, F espa¸cos de Banach e T : E → F um operador linear, cont´ınuo e sobrejetor. Então, T é uma aplica¸cão aberta. Em particular, todo operador linear, cont´ınuo e bijetor entre espa¸cos de Banach é um isomorfismo.

Sejam E e F espa¸cos normados. O gr´afico de um operador linear T : E → F ´e o conjunto

G(T ) := {(x, T (x)) : x ∈ E} ⊆ E × F.

Note que da linearidade de T segue que G(T ) ´e um subespa¸co vetorial de E × F . Veremos que se E e F forem espa¸cos de Banach, a continuidade de T ´e equivalente ao fato de G(T ) ser fechado em E × F .

Teorema 1.24 (Teorema do Gráfico Fechado). Sejam E, F espa¸cos de Banach e T : E → F um operador linear. Então, T é cont´ınuo se, e somente se, G(T ) é fechado em E × F .

Demonstra¸c˜ao: Suponha T cont´ınuo e considere a fun¸c˜ao

f : E × F −→ R

(x, y) 7−→ kT (x) − yk

uma fun¸cão. Provaremos que f é cont´ınua. Dado (xn, yn)∞n=1 uma sequência em E × F

tal que (xn, yn) → (x, y), da continuidade de T temos que T (xk) → T (x) em F . Da´ı,

T (xn) − yn → T (x) − y. Como a fun¸c˜ao k·k ´e cont´ınua segue que kT (xn) − ynk →

kT (x) − yk. Portanto, f é cont´ınua. Temos então que G(T ) = f−1({0}) é fechado em E × F .

Reciprocamente, considere que G(T ) é fechado. Sabemos que o produto cartesiano E × F de espa¸cos de Banach também é um espa¸co de Banach com a norma k·k₁. Segue da Proposi¸cão 1.6 que G(T ) também é um espa¸co de Banach com a norma k·k₁.

Afirma¸cão: A aplica¸cão π : G(T ) → E, dada por π(x, T (x)) = x, é linear, cont´ınua e bijetora.

(25)

Primeiro, provaremos a linearidade. Sejam λ ∈ K e (x, T (x)), (y, T (y)) ∈ G(T ). Temos

π((x, T (x)) + λ(y, T (y))) = π(x + λy, T (x) + λT (y)) = π(x + λy, T (x + λy)) = x + λy = π(x, T (x)) + λπ(y, T (y)),

donde π é linear. Da rela¸cão x ∈ E 7→ T (x) ∈ F, segue que π(G(T )) = E, isto é, π é sobrejetiva. Se π(x, T (x)) = 0, temos x = 0 e assim T (x) = 0. Isso implica que ker(π) = {0} e portanto π é injetiva. Temos também que π é cont´ınua, pois

kπ(x, T (x))k = kxk ≤ kxk + kT (x)k = k(x, T (x))k₁,

Para todo x ∈ E.

Pelo Teorema da Aplica¸cão Aberta, π−1 também é cont´ınua e assim, existe c > 0 tal que kπ−1(x)k₁ = k(x, T (x))k₁ ≤ c kxk, para todo x ∈ E. Da´ı,

kT (x)k ≤ kT (x)k + kxk = k(x, T (x))k₁ ≤ c kxk ,

para todo x ∈ E e portanto T é cont´ınuo. O Teorema de Hahn-Banach é de grande importância na Análise Funcional e em outras ´

areas da Matemática, seja por suas aplica¸cões ou por seus corolários. Apresentaremos a seguir o Teorema de Hahn-Banach que é válido para espa¸cos vetoriais reais e complexos e sua demonstra¸cão pode ser vista em [2, Teorema 3.1.2].

Teorema 1.25 (Hahn-Banach). Sejam E um espa¸_{co vetorial sobre K e p : E → R uma} fun¸c˜ao que satisfaz

p(ax) = |a| p(x), para todo a ∈ K e todo x ∈ E, e

p(x + y) ≤ p(x) + p(y), para quaisquer x, y ∈ E.

Se G ⊆ E é um subespa¸_{co vetorial e ϕ : G → K é um funcional linear tal que |ϕ(x)| ≤ p(x),} para todo x ∈ G, então existe um funcional linear _{ϕ : E → K que estende ϕ a E e que}_e satisfaz |ϕ(x)| ≤ p(x), para todo x ∈ E._e

Apresentaremos agora três corolários do Teorema de Hahn-Banach que também re-cebem esta nomenclatura. Os dois últimos serão usados com maior frequência ao longo deste trabalho.

(26)

Corol´_{ario 1.26. Sejam G um subespa¸co de um espa¸co normado E e ϕ : G → K um} funcional linear cont´ınuo. Ent˜ao, existe um funcional linear cont´ınuo _{ϕ : E → K cuja}_e restri¸c˜ao a G coincide com ϕ e tal que kϕk = kϕk._e

Demonstra¸c˜ao: Consideremos a fun¸c˜_{ao p : E → R dada por p(x) = kϕk kxk. Para todo} a ∈ K e todos x, y ∈ E, temos

p(ax) = kϕk kaxk = |a| kϕk kxk = |a| p(x)

e

p(x + y) = kϕk kx + yk ≤ kϕk (kxk + kyk) = kϕk kxk + kϕk kyk = p(x) + p(y).

Como |ϕ(x)| ≤ kϕk kxk = p(x) para todo x ∈ G, pelo Teorema de Hahn-Banach existe um funcional linear _{ϕ : E → K cuja restri¸c˜ao a G coincide com ϕ e que satisfaz |}_e ϕ(x)| ≤_e p(x) = kϕk kxk para todo x ∈ E. Logo,ϕ ´_ee cont´ınuo e kϕk ≤ kϕk. Por outro lado,_e

kϕk = sup x∈BG |ϕ(x)| = sup x∈BG |ϕ(x)|_e ≤ sup x∈BE |ϕ(x)| = k_e ϕk ._e Portanto, kϕk = kϕk._e

Corol´ario 1.27. Seja E um espa¸co normado. Para todo x0 ∈ E, x0 6= 0, existe um

funcional linear ϕ ∈ E0 tal que kϕk = 1 e ϕ(x0) = kx0k.

Demonstra¸c˜ao: Sejam G = [x0] o espa¸co gerado por x0 e ϕ : G → K o funcional linear

cont´ınuo dado por ϕ(λx0) = λ kx0k. Ent˜ao, pelo Corol´ario 1.26 existeϕ : E → K funcionale linear cont´ınuo tal queϕ coincide com ϕ em G e k_e ϕk = kϕk . Portanto,_e ϕ(x_e 0) = ϕ(x0) =

kx0k e kϕk = kϕk =_e sup kλx0k≤1 |ϕ(λx0)| = sup kλx0k≤1 |λ| kx0k = sup kλx0k≤1 kλx0k = 1. Corol´ario 1.28. Sejam E um espa¸co normado, E 6= {0} e x ∈ E. Ent˜ao

kxk = sup

ϕ∈BE0

(27)

Demonstra¸c˜ao: Dado x ∈ E, vale |ϕ(x)| ≤ kϕk kxk para todo ϕ ∈ E0. Da´ı, sup kϕk≤1 |ϕ(x)| ≤ sup kϕk≤1 (kϕk kxk) = kxk .

Pelo Corol´ario 1.27 existe ψ ∈ E0 tal que kψk = 1 e ψ(x) = kxk . Logo, kxk = ψ(x) ≤ sup

kϕk≤1

|ϕ(x)|

e com isso ganhamos a primeira igualdade. A segunda igualdade segue de max {|ϕ(x)| : ϕ ∈ E0 e kϕk = 1} ≤ sup kϕk=1 |ϕ(x)| ≤ sup kϕk≤1 |ϕ(x)| e de sup kϕk≤1 |ϕ(x)| = kxk = ψ(x) ≤ max {|ϕ(x)| : ϕ ∈ E0 e kϕk = 1} . Conceituaremos agora o que é uma proje¸cão e um subespa¸co complementado. Antes de definir esse último, apresentaremos uma proposi¸cão que estabelece uma equivalência necessária à sua defini¸cão.

Defini¸cão 1.29. Um operador linear cont´ınuo P : E −→ E, onde E é um espa¸co de Banach, é chamado uma proje¸cão se P2 _{:= P ◦ P = P .}

Proposi¸cão 1.30. Sejam E um espa¸co de Banach e F um subespa¸co de E. As seguintes afirma¸cões são equivalentes:

(a) Existe uma proje¸cão P : E −→ E tal que P (E) = F . Neste caso dizemos que P é uma proje¸cão de E sobre F .

(b) F ´e fechado e existe um subespa¸co fechado G ⊆ E tal que E = F + G e F ∩ G = {0}, isto ´e, E = F ⊕ G.

Neste caso, temos que F = {x ∈ E : P (x) = x} e G = Ker(P ).

Demonstra¸c˜ao: (a) ⇒ (b) Seja x ∈ F . Tomando y ∈ E tal que P (y) = x temos que x = P (y) = P (P (y)) = P (x). Se x = P (x), ent˜ao x ∈ Im(P ) = F . Considerando o operador identidade de E, idE: E −→ E, temos

(28)

o que mostra que F ´e fechado.

Agora, tomando G = ker(P ), não é dif´ıcil mostrar que G é um subespa¸co fechado de E. Temos que (x − P (x)) ∈ G, P (x) ∈ F e x = (x − P (x)) + P (x), para todo x ∈ E. Ainda, se x ∈ G ∩ F , temos x = P (x) pois x ∈ F e P (x) = 0 pois x ∈ G. Portanto x = 0. (b) ⇒ (a) Por hipótese, para cada x ∈ E, existem únicos x1 ∈ F e x2 ∈ G tais que x =

x1+ x2. ´E imediato que o operador P : E −→ E dado por P (x) = x1 est´a bem definido,

´e linear, P2 _{= P , Im(P ) = F , ker(P ) = G e F = {x ∈ E : P (x) = x}. Provaremos agora}

que P ´e cont´ınuo. Seja (xn)∞n=1 uma sequˆencia em E tal que xn −→ x e P (xn) −→ y.

Para cada n, escreva xn= yn+ zn com yn ∈ F e zn ∈ G. Ent˜ao

zn= xn− yn= xn− P (xn) −→ x − y.

Como G ´e fechado, x − y ∈ G e portanto P (x) = P (y). Por outro lado, yn= P (xn) −→ y.

Como F é fechado por hipótese, y ∈ F . Dessa forma, y = P (y) = P (x). Pelo Teorema do Gráfico Fechado temos que o operador linear P é cont´ınuo. Defini¸cão 1.31. Sejam E um espa¸co de Banach e F um subespa¸co de E. Dizemos que F é complementado em E se satisfaz as condi¸cões equivalentes da Proposi¸cão 1.30.

Definiremos agora quando um operador T entre espa¸cos normados é compacto. Defini¸cão 1.32. Um operador linear T : E −→ F entre espa¸cos normados é dito compacto se T (BE) é compacto em F .

Denotaremos por K(E, F ) o conjunto dos operadores compactos de E em F .

Proposi¸cão 1.33. Sejam E e F espa¸cos normados. Então K(E, F ) é subespa¸co vetorial de L(E, F ). Além disso, se F for espa¸co de Banach então K(E, F ) é fechado em L(E, F ). Demonstra¸cão: Veja [2, Proposi¸cão 7.2.5]. Ainda falando de alguns conceitos e resultados básicos de Análise Funcional, falaremos brevemente sobre séries em espa¸cos de Banach.

Defini¸c˜ao 1.34. Sejam E um espa¸co de Banach e (xn)∞n=1 uma sequˆencia em E. Dizemos

que (xn)∞n=1 é somável quando a série

P∞

n=1xn ´e convergente, absolutamente som´avel

quando a s´erie P∞

n=1kxnk ´e convergente e que (xn) ∞

n=1 ´e incondicionalmente som´avel

quando a s´erie P∞

n=1xσ(n) converge para toda permuta¸c˜ao σ : N → N.

Proposi¸c˜ao 1.35. Seja E um espa¸co de Banach. A fam´ılia (xi)i∈I de elementos de E ´e

som´avel se, e somente se, o conjunto I0 = {i ∈ I : xi 6= 0} ´e finito e P_i∈I₀xi = x, ou o

conjunto I0 ´e enumer´avel e limN −→∞

PN

(29)

Demonstra¸cão: Veja [9, Proposition A.4.2 (2)]. Desse modo, se (xi)i∈I é uma fam´ılia absolutamente somável, então existe um

subcon-junto enumer´avel I0 de I tal que xi = 0 se i /∈ I0.

Proposi¸cão 1.36. Um espa¸co normado E é Banach se, e somente se, toda sequência absolutamente somável é incondicionalmente somável.

Demonstra¸c˜ao: Sejam E um espa¸co de Banach, (xn)∞n=1 uma sequˆencia absolutamente

som´_{avel em E e σ : N → N uma permuta¸c˜ao. Para cada n ∈ N, defina y}n:= kxnk. Ent˜ao,

a sequência de números reais (yn)∞n=1 é absolutamente somável em R, logo

incondicional-mente som´avel. Assim sendo, P∞

n=1 xσ(n) = P∞

n=1yσ(n) < ∞. Pelo Crit´erio de Cauchy

para s´eries, para todo ε > 0 existe n0 = n0(ε) ∈ N tal que

n X k=1 xσ(k) − m X k=1 xσ(k) = n X k=m+1 xσ(k) ≤ n X k=m+1 xσ(k) ≤ ∞ X k=n0 xσ(k) < ε,

para todos n ≥ m > n0. Consequentemente, a sequˆencia (Pk_n=1xσ(n))∞k=1 das somas

parciais da s´erie P∞

n=1xσ(n) ´e de Cauchy em E, logo existe x ∈ E tal que ∞ X n=1 xσ(n) = lim k k X n=1 xσ(n) = x.

Reciprocamente, seja (xn)∞n=1uma sequˆencia de Cauchy em E. Ent˜ao, para cada k ∈ N

e ε = 1

2k > 0, existe n0 = n0(k) ∈ N tal que kxn− xmk <

1

2k, para todos n, m > n0.

Considere n1 := n0(1₂) + 1 e, para k > 1, nk := max{n0(₂1k), nk−1} + 1. Assim, obtemos

uma sequˆencia de ´ındices n1 < n2 < n3 < · · · tais que

xnk+1 − xnk

< ₂1k. Pelo Crit´erio

de Compara¸cão, a convergência da série

∞ X k=1 1 2k = 1 implica em ∞ X k=1 xnk+1 − xnk < ∞.

Por hipótese, temos que toda série absolutamente somável é incondicionalmente somável. Em particular, P∞

k=1(xnk+1 − xnk) = a, para algum a ∈ E. Assim,

lim k xnk+1 = limk xn1 + k X j=1 (xnj+1 − xnj) ! = xn1 + lim k k X j=1 (xnj+1 − xnj) = xn1 + a,

(30)

isto é, (xn)∞n=1 é uma sequência de Cauchy que possui subsequência convergente para

xn1 + a. Ent˜ao, xn→ xn1 + a ∈ E e portanto E ´e Banach.

1.2 Dualidade e Adjunto de um operador

Nesta se¸c˜ao, discorreremos sobre os duais dos espa¸cos `p e c0 e apresentaremos a no¸c˜ao

de operador adjunto.

Proposi¸c˜ao 1.37. Seja 1 ≤ p ≤ ∞. Os espa¸cos `p∗ e (`_p)0 s˜ao isomorfos isometricamente

por meio da rela¸c˜ao de dualidade

b = (bj)∞j=1 ∈ `p∗ ψ 7−→ ϕb ∈ (`p)0, ϕb((aj)∞j=1) = ∞ X j=1 ajbj, para todo (aj)∞j=1 ∈ `p. (1.2)

Demonstra¸cão: Mostraremos que ϕb está bem definida, é linear e cont´ınua. De fato,

pela desigualdade de H¨older temos

∞ X j=1 |ajbj| ≤ ∞ X j=1 |aj| p !_p1 · ∞ X j=1 |bj| p∗ !_p∗1 = (aj)∞j=1 p (bj)∞j=1 p∗ < ∞, logo P∞

j=1ajbj ´e absolutamente convergente e portanto convergente, mostrando assim a

boa defini¸c˜ao da ϕb. Considere agora (aj)∞j=1, (cj)∞j=1 ∈ `p e λ ∈ K. Da´ı,

ϕb((aj)∞j=1+ λ(cj)j=1∞ ) = ϕb((aj + λcj)∞j=1) = ∞ X j=1 (aj+ λcj)bj = ∞ X j=1 (ajbj+ λcjbj) = ∞ X j=1 ajbj+ λ ∞ X j=1 cjbj = ϕb((aj)∞j=1) + λϕb((cj)∞j=1),

portanto ϕb ´e linear. Al´em disso, calculamos

(31)

≤ ∞ X j=1 |aj|p !1_p · ∞ X j=1 |bj|p ∗ !_p∗1 (1.3) = kak_pkbk_p∗.

Tomando o sup em (1.3) com kak_p = 1, temos kϕbk ≤ kbk_p∗. Portanto, ϕb ´e cont´ınua.

A boa defini¸c˜ao, a linearidade e continuidade da ψ seguem imediatamente da ϕb.

Seja a = (aj)∞j=1 ∈ `p. Ent˜ao, a se escreve de forma ´unica como a =

P∞

j=1ajej,

onde ej ´e a base de Schauder de `p. Dado ϕb ∈ (`p)0, pela continuidade de ϕb temos

ϕb(a) =

P∞

j=1ajϕb(ej). De fato, se para cada k ∈ N denotarmos ck =

Pk j=1ajej, por linearidade ϕb(ck) = ϕb k X j=1 ajej ! = k X j=1 ϕb(ajej) = k X j=1 ajϕb(ej), de modo que ϕb(a) = ϕb( lim k→∞ck) = limk→∞ϕb(ck) = limk→∞ k X j=1 ajϕ(ej) = ∞ X j=1 ajϕb(ej),

onde ϕb(ej) = bj. Vejamos que ψ ´e sobrejetora. Se a = (aj)∞j=1 ∈ `p, ent˜ao

ψ(a) = ψ ∞ X j=1 ajej ! = ∞ X j=1 ψ(ajej) = ∞ X j=1 ajψ(ej) = ∞ X j=1 ajbj = ϕb(a),

o que prova a sobrejetividade da ψ e, desse modo, podemos definir a sua inversa. Afirma¸c˜ao: A aplica¸c˜ao inversa ϕb ∈ (`p)0 ψ

−1

7−→ (ϕb(ej))∞j=1 ∈ `p∗ est´a bem definida e ´e

cont´ınua. De fato, seja ak = (ckj) ∞ j=1, onde ck_j =    |bj|p∗ bj , se j ≤ k e bj 6= 0 0, se j > k ou bj = 0 .

(32)

= kϕbk k X j=1 |bj|(p ∗_−1)p !1p = kϕbk k X j=1 |bj| p∗ !1p . Da´ı k X j=1 |bj|p ∗ = ϕb(ak) = |ϕb(ak)| ≤ kϕbk k X j=1 |bj|p ∗ !1p .

Dividindo pelo ´ultimo fator e usando 1 − 1_p = _p1∗, temos

k X j=1 |bj|p ∗ !1−1p = k X j=1 |bj|p ∗ !p∗1 ≤ kϕbk e tomando k −→ ∞, obtemos kbk_p∗ = ∞ X j=1 |bj|p ∗ !_p∗1 ≤ kϕbk .

Logo, (bj)∞j=1 ∈ `p∗ e portanto ψ−1 est´a bem definida e ´e cont´ınua, o que completa a

demonstra¸c˜ao.

A rela¸cão de dualidade apresentada na Proposi¸cão 1.37 também descreve o dual de c0

que apresentaremos na próxima proposi¸cão e a sua demonstra¸cão pode ser vista em [2, Proposi¸cão 4.2.3]:

Proposi¸cão 1.38. Os espa¸cos `1e (c0)0 são isomorfos isometricamente por meio da rela¸cão

de dualidade b = (bj)∞j=1 ∈ `1 ψ 7−→ ϕb ∈ (c0)0, ϕb((aj)∞j=1) = ∞ X j=1 ajbj, para todo (aj)∞j=1∈ c0. (1.4)

Vimos que para todo espa¸co normado E podemos considerar seu dual E0, que é um espa¸co de Banach. Podemos também considerar o dual de E0, que chamamos de bidual e denotamos por E00. O próximo resultado mostra que todo espa¸co normado pode ser encontrado no seu bidual e sua demonstra¸cão se encontra em [2, Proposi¸cão 4.3.1]. Proposi¸cão 1.39. Seja E um espa¸co vetorial normado. Então, para todos x ∈ E e

(33)

ϕ ∈ E0, o operador linear

JE: E −→ E00

x 7−→ JE(x)(ϕ) = ϕ(x)

´e uma isometria linear, chamado de mergulho canˆonico de E em E00.

Observa¸cão 1.40. Quando E for apenas um espa¸co vetorial e estivermos tratando do dual algébrico, utilizaremos a mesma nota¸cão, JE, para denotar o mergulho canônico de

E.

Defini¸c˜ao 1.41. Sejam E, F espa¸cos vetoriais normados e T ∈ L(E, F ) um operador linear cont´ınuo. O operador T0: F0 −→ E0 _{definido por}

T0(ϕ)(x) = ϕ(T (x)), para todos x ∈ E e ϕ ∈ F0 ´e chamado adjunto de T.

No caso em que os espa¸cos vetoriais E e F não sejam necessariamente normados e estivermos considerando seus respectivos duais algébricos, E#e F#, isto é, sem topologia, utilizaremos a nota¸cão T# em vez de T0 para o adjunto de T .

Proposi¸cão 1.42. Sejam E, F espa¸cos vetoriais normados e T ∈ L(E, F ). Então T0é um operador linear cont´ınuo de F0 em E0 e kT k = kT0k. Além disso, se T é um isomorfismo (isométrico), então T0 é um isomorfismo (isométrico).

Demonstra¸c˜ao: Primeiro, veremos que o operador T0 est´a bem definido, ou seja, que T0(ϕ) ∈ E0 para todo ϕ ∈ F0_{. De fato, dados x, y ∈ E e λ ∈ K, temos}

T0(ϕ)(x + λy) = ϕ(T (x + λy)) = ϕ(T (x)) + λϕ(T (y)) = T0(ϕ)(x) + λT0(ϕ)(y)

e

kT0(ϕ)(x)k = kϕ(T (x))k ≤ kϕk kT k kxk , (1.5)

donde T0(ϕ) ∈ E0. Mostraremos agora que T0 ´e linear. Sejam ϕ, ψ ∈ F0 _{e λ ∈ K. Ent˜ao} T0(ϕ + λψ)(x) = (ϕ + λψ)(T (x)) = ϕ(T (x)) + λψ(T (x))

(34)

para todo x ∈ E. Logo, T0(ϕ + λψ) = T0(ϕ) + λT0(ψ) e portanto T0 ´e linear. Tomando o supremo sobre x ∈ BE em (1.5), obtemos

kT0(ϕ)k ≤ kϕk kT k , (1.6)

para todo ϕ ∈ F0. Assim, T0 ∈ L(F0_{, E}0_{). Tomando o supremo sobre ϕ ∈ B}

F0 em (1.6),

conclu´ımos que kT0k ≤ kT k. A desigualdade contr´aria segue de kT (x)k = sup ϕ∈BF 0 |ϕ(T (x))| = sup ϕ∈BF 0 |T0(ϕ)(x)| ≤ kxk sup ϕ∈B_{F 0} kT0(ϕ)k = kxk kT0k .

Portanto, kT k = kT0k. Agora, suponhamos que T seja um isomorfismo isométrico. Então T−1: F → E é, além de linear, cont´ınuo. Para cada ϕ ∈ E0, consideremos ξ ∈ F0 dado por ξ(z) = ϕ(T−1(z)). Como

T0(ξ)(x) = ξ(T (x)) = ϕ(T−1(T (x))) = ϕ(x),

para todo x ∈ E, obtemos T0(ξ) = ϕ e por isso T0 ´e sobrejetor. Seja ψ ∈ ker(T0). Ent˜ao

ψ(T (x)) = T0(ψ)(x) = 0, (1.7)

para todo x ∈ E. Como T é sobrejetor, temos de (1.7) que ψ(y) = 0, para todo y ∈ F , donde T0 é injetor. Para garantir que T0 é um isomorfismo, resta mostrar que (T0)−1 é cont´ınuo, já que a inversa de um operador linear é sempre linear. Mas isso decorre imediatamente do fato (de fácil demonstra¸cão) de que (T0)−1 = (T−1)0. Para concluir, mostremos que kT0(ϕ)k = kϕk, para todo ϕ ∈ F0. Como T é um isomorfismo isométrico, x ∈ BE se, e somente se, T (x) ∈ BF. Da´ı,

kT0(ϕ)k = sup x∈BE |T0(ϕ)(x)| = sup x∈BE |ϕ(T (x))| = sup T (x)∈BF |ϕ(T (x))| = sup z∈BF |ϕ(z)| = kϕk .

1.3 Completamento de um espa¸

co normado

´

E sabido que nem sempre um espa¸co normado é completo e por isso um questionamento natural seria: é poss´ıvel completá-lo? Nesta se¸cão, veremos que a resposta para essa

(35)

questão é afirmativa. Além disso, iremos expor alguns resultados relacionados a esse completamento.

Defini¸cão 1.43. Seja E um espa¸co vetorial normado. Chamaremos de completamento de E o par ( Ê, ξ), onde Ê um espa¸co de Banach e ξ : E −→ Ê uma imersão isométrica (aplica¸cão linear injetiva e, claro, cont´ınua) cuja imagem ξ(E) é densa em Ê, isto é, ξ(E) = Ê.

O teorema a seguir mostra a existência e unicidade do completamento de um espa¸co normado. A demonstra¸cão desse resultado, bastante técnica, pode ser encontrado em [11, Theorem 2.3-2].

Teorema 1.44. Seja E um espa¸co normado. Então existe um espa¸co de Banach Ê e uma isometria ξ de E em um subespa¸co W de Ê que é denso em Ê. O espa¸co Ê é único, a menos de isometrias.

Um resultado muito útil sobre a bola unitária fechada do completamento de um espa¸co normado é apresentado a seguir e sua demonstra¸cão pode ser vista em [20, Proposi¸cão 3.11].

Proposi¸cão 1.45. Sejam E um espa¸co normado e ( Ê, ξ) o seu completamento. Então B_Eˆ = Bξ(E).

O espa¸co normado E pode ser identificado como um subespa¸co denso do seu completa-mento Ê com a seguinte identifica¸cão x ∈ E ←→ ξ(x) ∈ Ê. A menos dessa identifica¸cão, podemos escrever E = ξ(E). Assim, pela Proposi¸cão 1.45 temos que

BE ˆ E

= B_Eˆ. (1.8)

Lema 1.46. Sejam E um espa¸co vetorial normado, ( ˆE, ξ) o seu completamento e A ⊆ E. Ent˜ao ξ(AE)

ˆ E

= ξ(A)Eˆ.

Demonstra¸c˜ao: Mostraremos primeiro que ξ(AE)

ˆ E

⊆ ξ(A)Eˆ. Seja z ∈ ξ(AE)

ˆ E

, ent˜ao existe uma sequˆencia (zn) em A

E

tal que ξ(zn) −→ z. Fixando n ∈ N, como zn ∈ A E

, existe uma sequˆencia (xk) em A tal que xk −→ zn. Teremos da continuidade de ξ que

ξ(xk) −→ ξ(zn) e conclu´ımos que ξ(zn) ∈ ξ(A) ˆ E

, para todo n ∈ N. Da´ı temos z ∈ ξ(A)Eˆ

ˆ E

= ξ(A)Eˆ. Provaremos agora a inclusão contrária. Dado y ∈ ξ(A)Eˆ, podemos tomar uma sequência (yn) em A tal que ξ(yn) −→ y. Como A ⊆ A

E

, temos que (yn)

estar´a em AE. Portanto, y ∈ ξ(AE)

ˆ E

.

Agora, sejam ( ˆE, ξ) o completamento do espa¸co normado E e A ⊆ E. Usando a identifica¸c˜ao (1.8) e o Lema 1.46, obtemos (AE)

ˆ E

(36)

1.4 Espa¸

cos de sequˆ

encias a valores vetoriais

O objetivo dessa se¸cão é estudar os espa¸cos de sequências a valores vetoriais `∞(E),

`p(E), `wp(E), ùp(E) e co(E), onde E é um espa¸co normado. Veremos quais as condi¸cões

para que esses espa¸cos sejam Banach e uma rela¸cão de inclusão entre eles. Nesse texto foram utilizadas as referências [5], [6] e [13].

Seja E um espa¸co vetorial normado. Denotamos por `∞(E) o conjunto de todas as

sequˆencias limitadas em E, isto ´e, sequencias (xn)∞n=1 ∈ EN de tal modo que existe uma

constante M ≥ 0 tal que kxnk ≤ M , para todo n ∈ N. Simbolicamente,

`∞(E) = (xn)∞n=1 ∈ EN: (xn)∞n=1 ´e limitada em E .

´

E simples mostrar que `∞(E) é um espe¸co vetorial com as opera¸cões usuais de sequências

e que a fun¸c˜ao k·k_∞: `∞(E) → [0, ∞) dada por

k(xn)∞n=1k∞:= sup n

kxnk_E,

est´a bem definida e caracteriza uma norma em `∞(E).

Veremos a seguir em que condi¸c˜ao o espa¸co (`∞(E), k·k_∞) ´e um espa¸co de Banach e a

demonstra¸c˜ao para esse resultado pode ser vista em [13, Proposi¸c˜ao 2.1.4].

Proposi¸cão 1.47. (`∞(E), k·k∞) é um espa¸co de Banach se, e somente se, E é um espa¸co

de Banach.

Defini¸cão 1.48. Seja E um espa¸co normado. O conjunto das sequências que convergem para zero em E será denotado por c0(E) e em s´ımbolos temos

c0(E) :=(xj)∞j=1: xj ∈ E, para todo j ∈ N e kxjk_E −→ 0 .

Não é dif´ıcil mostrar que c0(E) é um subespa¸co de `∞(E) e o próximo resultado garante

que c0(E) ´e um espa¸co de Banach com a norma de herdada de `∞(E). A demonstra¸c˜ao

deste fato pode ser encontrada em [13, Teorema 2.2.4 (a)].

Proposi¸cão 1.49. Seja E um espa¸co de Banach. Então c0(E) é um subespa¸co fechado

de `∞(E). Consequentemente, (c0(E), k·k∞) ´e um espa¸co de Banach.

Defini¸cão 1.50. Sejam E um espa¸co vetorial normado e 1 ≤ p < ∞. Dizemos que uma sequência (xn)∞n=1 em E é fortemente p-somável se

P∞

n=1kxnk p

< ∞.

(37)

Em s´ımbolo temos `p(E) := ( (xn)∞n=1 ∈ EN: ∞ X n=1 kxnkp < ∞ ) .

Com as opera¸cões usuais de sequências, `p(E) é um espa¸co vetorial. Além disso, utilizando

a Desigualdade de Minkowski 1.10, não é dif´ıcil mostrar que a fun¸cão k·k_p : `p(E) −→ [0, ∞) (xn)∞n=17−→ k(xn)∞n=1kp = ∞ X n=1 kxnkp !1_p ,

define uma norma em `p(E).

Proposi¸cão 1.51. Seja E um espa¸co normado. Então (`p(E), k·kp) é um espa¸co de

Banach se, e somente se, E ´e um espa¸co de Banach.

Demonstra¸cão: Como `p(E) contém uma cópia isométrica de E pela aplica¸cão x ∈

E 7→ (x, 0, 0, · · · ) ∈ `p(E), que possui imagem fechada (´e um exerc´ıcio simples mostrar

isso), então se `p(E) é um espa¸co de Banach, E também o é.

Reciprocamente, seja (xk₎∞

k=1 uma sequˆencia de Cauchy em `p(E). Ent˜ao, para todo

ε > 0 existe k0(ε) = k0 ∈ N tal que

xk− xr

p <

ε

2, para todos k, r > k0. Em particular, xk_j − xr_j p ≤ ∞ X n=1 xk_n− xr_n p = xk− xr p p < ε 2 p , (1.9)

para todo j ∈ N e para todos k, r > k0. Desse modo, para cada j ∈ N, a sequˆencia (xkj)∞k=1

´e de Cauchy em E. Definamos y := (yj)∞j=1, onde yj = lim k→∞x

k j.

Afirma¸c˜ao: y ∈ `p(E) e xk → y.

De fato, temos que (1.9) implica em

m X n=1 xk_n− xr_n p <ε 2 p ,

para todo m ∈ N e para todos k, r > k0. Fazendo r → ∞, temos m X n=1 xk_n− yn p ≤ε 2 p ,

(38)

para todo m ∈ N e todo k > k0. Agora, fazendo m → ∞ segue que ∞ X n=1 xk_n− yn p = xk− y p ≤ε 2 p ,

para todo k > k0. Consequentemente, xk → y. Tomando k = k0 + 1, temos que

xk0+1_{− y = (x}k0+1

n − yn)∞n=1 ∈ `p(E). Portanto, y = xk0+1− (xk0+1− y) ∈ `p(E).

Defini¸cão 1.52. Uma sequência (xj)∞j=1 em E é dita ser fracamente p-somável quando ∞ X j=1 |ϕ(xj)| p < ∞, sempre que ϕ ∈ E0.

O conjunto de todas as sequências fracamente p-somáveis em E será denotado por `w p(E). Em s´ımbolo, `w_p(E) := ( (xn)∞n=1 ∈ EN: ∞ X n=1 |ϕ(xn)| p < ∞, ∀ ϕ ∈ E0 ) .

Observe que de (1.10) temos (xj)∞j=1 ∈ `wp(E) se, e somente se, (ϕ(xj))∞j=1 ∈ `p, para todo

ϕ ∈ E0. Além disso, não é dif´ıcil mostrar que `w_p(E) é um espa¸co vetorial com as opera¸cões usuais de sequências.

Definimos a seguinte fun¸c˜ao sobre o espa¸co `w p(E): k·k_p,w : `w_p(E) −→ [0, ∞) (xj)∞j=1 7−→ (xj)∞j=1 p,w := sup ϕ∈B_E0 ∞ X j=1 |ϕ(xj)|p !1_p .

Com um argumento de gráfico fechado, não é dif´ıcil provar que a fun¸cão k·k_p,w está bem definida e define uma norma sobre `w_p(E) (as propriedades de norma são facilmente verificadas).

Mais ainda, utilizando a mesma técnica usada na demonstra¸cão da Proposi¸cão 1.51 e com a ajuda do Teorema de Hahn-Banach, temos a seguinte proposi¸cão:

Proposi¸c˜ao 1.53. (`w

p(E), k·kp,w) ´e um espa¸co de Banach se, e somente se, E um espa¸co

de Banach.

Defini¸cão 1.54. Uma sequência (xj)∞j=1 em E é dita ser incondicionalmente p-somável

quando lim n (xj)∞j=n p,w = 0.

(39)

Denotamos o espa¸co das sequências incondicionalmente p-somáveis por ù_p(E) := n (xj)∞j=1 ∈ ` w p(E) : lim_n (xj)∞j=n p,w = 0 o . (1.10) O termos incondicionalmente p-somável é justificado pelo seguinte resultado, cuja demonstra¸cão pode se encontrada em [5, Proposition 8.3].

Proposi¸cão 1.55. Um sequência (xj)∞j=1 em E é incondicionalmente somável se, e

so-mente se, (xj)∞j=1 ∈ `u1(E).

Mostraremos a seguir que o espa¸co `u

p(E) ´e um espa¸co de Banach com a norma induzida

por `w p(E).

Proposi¸cão 1.56. Seja E um espa¸co de Banach. Então ù

p(E) ´e um subespa¸co fechado

de `w_p(E) com a norma k·k_p,w.

Demonstra¸cão: A verifica¸cão de que ù

p(E) ´e um subespa¸co vetorial de `wp(E) ´e

ime-diata. Mostraremos que `u

p(E) ´e fechado em `wp(E). Sejam (xk) ∞

k=1 uma sequˆencia de

Cauchy em `u

p(E) e x ∈ `wp(E) tais que xk → x em `wp(E). Observe que, para cada k ∈ N,

xk_{= (x}k n) ∞ n=1 ∈ `up(E). Logo, lim l→∞ (xk_n)∞_n=l w,p = 0,

para todo k ∈ N. Em outras palavras, para todo ε > 0 existe l0 = l0(ε, k) ∈ N tal que

(xk_n)∞_n=l

w,p <

ε

2, (1.11)

para todo l > l0. Por outro lado, xk→ x em `wp(E) implica que existe k0 = k0(ε) ∈ N tal

que ε 2 > xk− x w,p = (xk_n− xn)∞n=1 w,p = sup ϕ∈B_E0 ∞ X n=1 ϕ(xk_n− xn) p !_p1 ≥ sup ϕ∈BE0 ∞ X n=l ϕ(xk_n− xn) p !1_p = (xk_n)∞_n=l− (xn)∞n=l w,p, (1.12)

para todo k > k0 e todo l ∈ N. De (1.11) e (1.12), para l > l0(ε, k0) e k = k0+ 1, temos

k(xn)∞n=lkw,p = (xn)∞n=l− (x k n) ∞ n=l+ (x k n) ∞ n=l w,p ≤ (xn)∞n=l− (x k n) ∞ n=l _w,p+ (xk_n)∞_n=l _w,p < ε 2 + ε 2 = ε, isto ´e, lim l→∞k(xn) ∞ n=lkw,p = 0. Logo x ∈ ` u p(E).

Defini¸c˜ao 1.57. Seja E um espa¸co vetorial normado. Um subconjunto A ⊆ E ´e fraca-mente limitado se para todo funcional ϕ ∈ E0, ϕ(A) ´_{e limitado em K.}

(40)

As defini¸cões de conjunto limitado e fracamente limitado são equivalentes como mostra o lema a seguir, cuja demonstra¸cão pode ser vista em [13, Lema 2.4.9].

Lema 1.58. Sejam E um espa¸co vetorial normado e A um subconjunto de E. Então, A é limitado se, e somente se, A é fracamente limitado.

Proposi¸c˜ao 1.59. Sejam 1 ≤ p < ∞ e E um espa¸co de Banach. Ent˜ao `p(E)

1

,→ `u_p(E),→ `1 w_p(E),→ `1 ∞(E).

Demonstra¸c˜ao: Seja (xj)∞j=1 ∈ `p(E). Ent˜ao,

(xj)∞j=1 w,p = sup ϕ∈B_E0 ∞ X j=1 |ϕ(xj)|p !_p1 ≤ sup ϕ∈B_E0 ∞ X j=1 kϕkpkxjkp !1_p = sup ϕ∈B_E0  kϕk ∞ X j=1 kxjkp !1_p = (xj)∞j=1 p sup ϕ∈B_E0 kϕk = (xj)∞j=1 p.

Por fim, se (xj)∞j=1 ∈ `p(E) ent˜ao

P∞ j=1kxjkp < ∞ e assim lim n (xj)∞j=n w,p ≤ lim_n (xj)∞j=n p = 0. Portanto `p(E) 1 ,→ ù p(E). A inclusão ù p(E) 1 ,→ `w

p(E) segue imediatamente da Proposi¸c˜ao 1.56.

Agora, seja (xj)∞j=1 ∈ `wp(E). Ent˜ao, ∞

X

j=1

|ϕ(xj)|p < ∞,

para todo ϕ ∈ E0. Logo, o conjunto {xj: j ∈ N} dos termos da sequˆencia (xj)∞j=1 ´e

fracamente limitado e, pelo Lema 1.58, ´e limitado. Assim, existe M ≥ 0 tal que kxjk ≤ M ,

para todo j ∈ N, e ent˜ao (xj)∞j=1 ∈ `∞(E). Al´em disso,

kxkk = sup ϕ∈BE0 |ϕ(xk)| ≤ sup ϕ∈BE0 ∞ X j=1 |ϕ(xj)| p !1_p = (xj)∞j=1 w,p,

para todo k ∈ N. Tomando o supremo sobre k ∈ N, obtemos (xj)∞j=1

∞ ≤ (xj)∞j=1 w,p, donde `w p(E) 1 ,→ `∞(E).

(41)

Produto Tensorial

Neste cap´ıtulo, apresentaremos o produto tensorial do ponto de vista algébrico. Inicial-mente, definiremos os tensores elementares como funcionais lineares e o produto tensorial como um subespa¸co gerado por esses funcionais. Mostraremos as suas principais propri-edades, em especial, que o produto tensorial pode ser identificado como um espa¸co de lineariza¸cão para aplica¸cões bilineares. Além disso, apresentaremos duas outras formas de ver os tensores: como formas bilineares e como aplica¸cões lineares. Restringindo nosso estudo aos espa¸cos vetoriais de dimensão finita, veremos que os produtos tensoriais for-necerão meios de compreender a dualidade de espa¸cos de aplica¸cões lineares e de formas bilineares. Por fim, veremos alguns exemplos. Para o desenvolvimento desse cap´ıtulo utilizamos como referências principais o livro [17] e a disserta¸cão [20].

2.1 Produto tensorial de espa¸

cos vetoriais

Nesta se¸cão, estudaremos a constru¸cão do produto tensorial entre espa¸cos vetoriais e algumas de suas propriedades. Construiremos o produto tensorial dos espa¸cos vetoriais X e Y , X ⊗ Y , como um subespa¸co de funcionais lineares sobre B(X × Y ) da seguinte maneira: dados x ∈ X, y ∈ Y , denotaremos por x ⊗ y o funcional dado pela avalia¸cão de uma forma bilinear A no ponto (x, y) ∈ X × Y , isto é,

x ⊗ y : B(X × Y ) −→ K

A 7−→ (x ⊗ y)(A) = A(x, y).

O funcional x ⊗ y ´e chamado tensor elementar. Temos ainda que o tensor x ⊗ y ´e linear. De fato, dados A, C ∈ B(X × Y ) e λ ∈ K, teremos

(42)

= A(x, y) + λC(x, y) = (x ⊗ y)(A) + λ(x ⊗ y)(C).

Defini¸c˜ao 2.1. O subespa¸co do dual alg´ebrico B(X × Y )#_{gerado pelos elementos x ⊗ y,}

com x ∈ X e y ∈ Y , ser´a chamado de produto tensorial de X por Y , denotado por X ⊗ Y , e chamaremos os elementos de X ⊗ Y de tensores.

Em s´ımbolos, temos X ⊗ Y = span {x ⊗ y : x ∈ X, y ∈ Y } = ( _n X i=1 λixi⊗ yi: n ∈ N, λi ∈ K, xi ∈ X, yi ∈ Y, i = 1, . . . n ) ,

e, portanto, um tensor t´ıpico em X ⊗ Y tem a forma

u =

n

X

i=1

λixi⊗ yi, (2.1)

com λi ∈ K, xi ∈ X, yi ∈ Y . Salientamos que essa forma de representa¸c˜ao do tensor u

não é única. Essa não unicidade será explorada mais adiante. Se u =Pn

i=1λixi⊗ yi ∈ X ⊗ Y e A ∈ B(X × Y ), então a a¸cão de u em A é dada por

u(A) = n X i=1 λiA(xi, yi). (2.2) ´

E importante ressaltar que o valor da expressão (2.2) não depende da representa¸cão es-colhida para u.

Veremos a partir de agora algumas propriedades elementares dos produtos tensoriais. Proposi¸c˜_{ao 2.2. Sejam X, Y espa¸cos vetoriais e K um corpo. Ent˜ao}

(i) (x1 + x2) ⊗ y = x1⊗ y + x2⊗ y, para todos x1, x2 ∈ X e y ∈ Y .

(ii) x ⊗ (y1+ y2) = x ⊗ y1+ x ⊗ y2, para todos x ∈ X e y1, y2 ∈ Y .

(iii) λ(x ⊗ y) = (λx) ⊗ y = x ⊗ (λy), para todos x ∈ X, y ∈ Y e λ ∈ K. (iv) 0 ⊗ y = x ⊗ 0 = 0, para todos x ∈ X e y ∈ Y .

Demonstra¸c˜_{ao: Seja A : X × Y −→ K uma forma bilinear.} (i) Sejam x1, x2 ∈ X e y ∈ Y . Temos

((x1+ x2) ⊗ y)(A) = A(x1+ x2, y) = A(x1, y) + A(x2, y)

(43)

donde segue a igualdade desejada. (ii) Demonstra¸c˜ao an´aloga a de (i).

(iii) Sejam x ∈ X, y ∈ Y e λ ∈ K. Temos que (λ(x⊗y))(A) = λ((x⊗y)(A)) = λA(x, y) = A(λx, y) = A(x, λy). Isso implica que (λ(x ⊗ y))(A) = ((λx) ⊗ y)(A) = (x ⊗ (λy))(A), donde segue o resultado.

(iv) Basta tomar λ = 0 no item (iii). Ressaltamos que a representa¸c˜ao do tensor u ∈ X ⊗ Y dada em (2.1) pode ser rescrita usando o item (iii) da Proposi¸c˜ao 2.2, na forma

u =

n

X

i=1

zi⊗ yi,

onde zi = λixi. Assim, sem perda de generalidade, utilizaremos indistintamente qualquer

uma das representa¸c˜oes.

A pr´oxima proposi¸c˜ao mostra como conjuntos linearmente independentes e bases po-dem ser transferidos dos espa¸cos vetoriais para o produto tensorial.

Proposi¸c˜ao 2.3. Sejam X e Y espa¸cos vetoriais.

(a) Sejam W e Z subconjuntos linearmente independentes de X e Y respectivamente. Então {x ⊗ y : x ∈ W, y ∈ Z} é um subconjunto linearmente independente de X ⊗Y . (b) Sejam {wi: i ∈ I} e {zj: j ∈ J } bases para X, Y respectivamente. Então o conjunto

{wi⊗ zj: (i, j) ∈ I × J } ´e uma base para X ⊗ Y .

Demonstra¸c˜_{ao: (a) Sejam n ∈ N, u =} Pn

i=1λixi ⊗ yi ∈ X ⊗ Y tal que xi ∈ W e

yi ∈ Z. Suponha que u = 0 e considere A : W × Z −→ K uma forma bilinear definida

por A(x, y) = ϕ(x)ψ(y), onde ϕ ∈ X#, ψ ∈ Y# funcionais lineares não-nulos. Temos que u(A) = 0, pois u é um funcional linear que não se anulam. Da´ı, temos

u(A) = n X i=1 λiA(xi, yi) = n X i=1 λiϕ(xi)ψ(yi) = ψ n X i=1 λiϕ(xi)yi ! = 0,

para todo ψ ∈ Y#. Segue que Pn

i=1λiϕ(xi)yi = 0 e assim, como Z ´e linearmente

in-dependente, temos λi = 0, i = 1, . . . , n. O resultado segue ent˜ao de (iv) da Proposi¸c˜ao

2.2.

(b) Como, por hip´otese, os conjuntos {wi: i ∈ I} e {zj: j ∈ J } s˜ao linearmente

indepen-dentes, ent˜ao pelo item (a) o conjunto {wi⊗ zj: (i, j) ∈ I × J } ´e linearmente