Os seguintes resultados são importantes no estudo da álgebra dos octônios. Esta parte do texto segue das notas de Salamon e Walpuski [SW10].
Definição 2.1.1. Uma aplicação bilinear antissimétrica num espaço de Hilbert real de
dimensão finita V
× : V × V → V (2.1)
é dita um produto vetorial se, para todo u, v ∈ V , satisfaz:
hu × v, ui = hu × v, vi = 0 (2.2)
|u × v|2 = |u|2|v|2 − hu, vi2. (2.3)
Lema 2.1.2. Seja (2.1) uma aplicação bilinear antissimétrica, então as seguintes afirma- ções são equivalentes:
1. Para todo u, v ∈ V vale a equação (2.2).
2. Para todo u, v, w ∈ V , temos que
3. A aplicação ϕ : V3 → R, definida por:
ϕ(u, v, w) := hu × v, wi (2.5) é uma 3-forma alternada (chamada calibração associativa de (V, ×)).
Demonstração. Seja (2.1) uma operação bilinear antissimétrica e assumindo (2.2), segue que para todo u, v, w ∈ V , temos que:
0 = hv × (u + z), u + zi = hv × z, ui + hv × u, zi = hv × z, ui − hu × v, zi
isto prova (2.4). Suponhamos (2.4) e seja ϕ definida por (2.5), assim pela antissimetria, obtemos que para todo u, v, w vale ϕ(u, v, w) + ϕ(v, u, w) = 0 , logo ϕ(u, v, w) = ϕ(v, w, u). Portanto, ϕ é uma 3-forma alternada. Além disso:
ϕ(x, x, z) = ϕ(x, y, y) = ϕ(x, y, x) = 0.
Como u × v = −v × u, então para todo u, v, z, temos ϕ(u, v, z) = −ϕ(v, u, z). Assim ϕ(u, v, z) = ϕ(v, z, u), logo ϕ ∈ Λ3(V∗).
Definição 2.1.3. Seja V um espaço vetorial. Uma 3-forma ϕ ∈ Λ3V∗ é chamada não degenerada se, para cada par de vetores linearmente independentes u, v ∈ V , existe um vetor w ∈ V tal que ϕ(u, v, w) 6= 0. Um produto interno é dito compatível com ϕ se a aplicação × : V × V → V definida por ϕ(u, v, w) := hu × v, wi é um produto vetorial.
Lema 2.1.4. Seja (2.1) uma aplicação bilinear antissimétrico num espaço de Hilbert V que satisfaz (2.2). As seguintes afirmações são equivalentes
1. A aplicação bilinear (2.1) satisfaz (2.3). 2. Se u e w são ortonormais, então |u × w| = 1.
3. Se |u| = 1 e w é ortogonal a u, logo u × (u × w) = −w. 4. Para todo u, w ∈ V temos
u × (u × w) = hu, wiu − |u|2w. (2.6) 5. Para todo u, v, w ∈ V tem-se
Demonstração. Que (i) implica (ii) é imediato. Provamos (ii) implica (iii). Seja u ∈ V um vetor fixo com |u| = 1 e definimos uma aplicação A : V → V dado por Aw := u × w. Logo, por antissimetria do produto vetorial e pela equação (2.4), temos que A é o antiadjunto e por (2.4) e por (2.2) preserva o subespaço W := u⊥ = {v ∈ V : hu, vi = 0}. Daí a restrição de A2a W é antiadjunto e, por (ii), temos que para w ∈ W vale hw, A2wi = −|u×w|2 = −|w|2. Logo a A2
W = − Id. Isto prova (ii) implica (iii).
Agora provamos (iii) implica (iv). Fixando u ∈ V e dada aplicação A : V → V definida por Aw := u × w, então temos por (iii) que A2w = −|u|2w sempre que w seja ortogonal a u. Assim A2u = 0, isto implica (iv).
A afirmação (v) segue de (iv) substituindo u com u + v. Para provar que (v) implica (i), considere w = v em (2.7), tendo em conta a equação (2.4) e tomando o produto interno respeito a u, temos que |u × v|2 = hu, u × (v × v) + v × (u × v)i = |u|2|v|2 − hu, vi2. Isto
prova o lema.
Exemplo 2.1.5. A estrutura vetorial de R7 pode se obter com a base i,j,k,e,ei,ej,ek, onde i,j,k são geradores anticomutativo com i2 = j2 = k2 = −1 e ij=k, logo o produto está dado por:
u × v := u2v3− u3v2− u4v5+ u5v4− u6v7+ u7v6 u3v1− u1v3− u4v6+ u6v4− u7v5+ u5v7 u1v2− u2v1− u4v7+ u7v4− u5v6+ u6v5 u1v5− u5v1+ u2v6− u6v2+ u3v7− u7v3 −u1v4+ u4v1− u2v7+ u7v2+ u3v6− u6v3 u1v7− u7v1− u2v4+ u4v2− u3v5+ u5v3 −u1v6+ u6v1+ u2v5− u5v2− u3v4+ u4v3
com eijk:= dxi∧ dxj ∧ dxk, a 3-forma associada (2.5) é dada por:
ϕ0 = e123− e145− e167− e246− e275− e347− e356 (2.8)
Lema 2.1.6. Seja V um espaço de Hilbert real com produto vetorial (2.1). Seja ϕ ∈ Λ3V∗ dada por (2.5), então:
1. Seja u ∈ V onde |u| = 1 e Wu := u⊥= {v ∈ V : hu, vi = 0}. Defina ωu : Wu× Wu →
R e Ju : Wu → Wu por
ωu(v, w) := hu, v × wi Juv := u × v
para todo u, v ∈ Wu. Logo ωu é uma forma simplética sobre Wu, Ju é uma estrutura
complexa compatível com ωu e o produto interno associado é o herdado de V . Em
2. Suponha dim V = 2n + 1 ≥ 3. É única a orientação de V tal que a forma volume associada dV ∈ Λ2n+1V∗ satisfaz
(uyϕ)n−1∧ ϕ = n!|u|n−1dV (2.9) para cada u ∈ V . Em particular, n é ímpar.
Demonstração. Vamos provar (i). Pelo Lema 2.1.2 a forma bilinear ωu é antissimétrica e
pelo Lema 2.1.4 temos que Ju◦ Ju = − Id. Além disso, para todo v, w ∈ V temos
ωu(v, Juw) = hu × v, u × wi = −hv, u × (u × w)i = hv, wi.
Daí, a primeira equação segue da definição de ωu e Ju, a segunda segue de (2.4) e a última
do Lema 2.1.4. Assim, a dimensão de ωu é par e a dimensão de V é ímpar.
Agora provaremos (ii). Seja {u, v1, . . . , v2n} uma base de V2n+1 onde u tem norma um
e v1, . . . , v2n é uma base simplética de Wu. Portanto, existe uma única orientação de V
positiva nessa base. Seja dV ∈ Λ2n+1V∗ a forma volume. Para provar a equação (2.9), suponha primeiro que |u| = 1 e seja v1, . . . , v2n uma base simplética ortonormal de Wu.
Avaliando em ambos lados da equação respeito à base obtemos n! em ambos lados da equação. Isso prova (2.9) sempre que u seja de norma um. Resulta de (2.9) que n é ímpar, pois caso contrário o lado esquerdo muda de sinal quando substituímos u por −u. Isso prova Lema.
Lema 2.1.7. Seja n > 1 um inteiro ímpar e V um espaço de Hilbert real orientado
de dimensão 2n + 1 com forma volume dV ∈ Λ2n+1V∗. Seja ϕ ∈ Λ3V∗ uma 3-forma e denotamos o grupo de isotropia por
G := {L ∈ Aut(V ) : L∗ϕ = ϕ}. (2.10) Se ϕ satisfaz (2.9) então G ⊂ SO(V ).
Demonstração. Seja L ∈ G e u ∈ V . Assim de (2.9) temos que: |(Lu)|n−1L∗ dV = 1 n!L ∗ ((Lu)yϕ)n−1∧ ϕ) = 1 n!(L ∗ ((Lu)yϕ))n−1∧ L∗ϕ) = 1 n!((uyL ∗ ϕ))n−1∧ L∗ϕ = 1 n!((uyϕ)) n−1∧ ϕ) = |u|n−1dV . Então existe uma constante c > 0, tal que
para cada u ∈ V . Como n > 1, então |Lu| = cn−11 |u| para qualquer u ∈ V e consequente-
mente
L∗dV = c2n+1n−1 dV = c
3n
n−1L∗dV .
Assim c = 1, isto conclui a demonstração.
Teorema 2.1.8. Seja V um espaço de Hilbert, então V admite produto vetorial se, e
somente se, sua dimensão é 3 ou 7.
Demonstração. Assumamos que dim V > 1, seja (2.1) o produto vetorial sobre V e seja ϕ : V × V × V → R dado por ϕ(u, v, w) = hu × v, wi, temos que ϕ ∈ Λ3(V∗). Pelo Lema
2.1.6, a dimensão de V é ímpar. Pelo Lema 2.1.7 temos que dim V = 4n + 3 para algum inteiro n ≥ 0. Em particular dim V 6= 5.
Agora vamos provar que dim V ≤ 7. Seja A : V → End(V ) dada por A(u)v := u × v e seja o funcional linear u∗ : V → R dado por v 7→ hu, vi. Então, segue do Lema 2.1.4 que
A(u)u = 0 A(u)2 = uu∗− |u|2Id .
Seja γ : V → End(R ⊕ V ) dada por γ(u) := 0 −u∗ u A(u)
Logo, para cada u ∈ V
γ(u)∗+ γ(u) = 0 γ(u)∗γ(u) = 2|u|2Id .
A primeira equação decorre do fato de que A(u) é antiadjunto para cada u e a última equação segue por cálculo direto. Isto implica que γ se estende a um mapa linear da álgebra de Clifford C(V ) para End(R ⊗ V ). A restrição desta extensão em qualquer subespaço de dimensão par é injetiva (ver [Sal00]). Como 22n ≤ (2n + 2)2, isto implica n ≤ 3 e portanto, dim V = 2n + 1 ≤ 7. Assim termina a demostração com o Teorema 2.1.9.
Teorema 2.1.9. ([SW10]) Seja V um espaço vetorial de dimensão 7 e ϕ, ϕ0 ∈ Λ3
(V∗). Então:
1. ϕ é não degenerada se, e somente se, admite um produto interno compatível. 2. O produto interno dado em (i), se existe é unicamente determinado por ϕ.
3. Se ϕ e ϕ0 são não degeneradas, os vetores u, v, w são ortonormais para ϕ e satisfaz ϕ(u, v, w) = 0 e os vetores u0, v0, w0 são ortonormais para ϕ0 e satisfaz ϕ0(u0, v0, w0) = 0, logo existe L ∈ Aut(V ) tal que L(u) = u0, L(v) = v0 e L(w) = w0.
Lema 2.1.10. Seja V um espaço de Hilbert e ϕ ∈ Λ3V∗. Logo as seguintes afirmações são equivalentes
i) ϕ é compatível com o produto interno.
ii) Existe uma orientação sobre V tal que a forma volume associada dV ∈ Λ7V∗ satisfaz:
uyϕ ∧ vyϕ ∧ ϕ = 6hu, vi dV (2.11) para todo u, v ∈ V .
Demonstração. Vamos demonstrar que (i) implica (ii). Pelo Lema 2.1.6existe uma orien- tação única em V tal que a forma volume associada satisfaz
uyϕ ∧ uyϕ ∧ ϕ = 6|u|2dV
para cada u ∈ V . Aplicando esta identidade a u + v e u − v e tomando a diferença obtemos (2.11). Além disso, se u, v ∈ V são linearmente independentes logo ϕ(u, v, u×v) = |u×v|2 =
|u|2|v|2− hu, vi2 6= 0. Portanto, ϕ é não degenerado. Isto mostra que (i) implica (ii).
Agora vamos mostrar que (ii) implica (i). Seja u, v ∈ V linearmente independentes. Como u 6= 0, da equação (2.11) temos que a 7-forma σ := uyϕ∧uyϕ∧ϕ = 6|u|2dV ∈ Λ7(V∗) é não nula. Escolhendo uma base v1, . . . , v7 de V , com v1 = u e v2 = v, e avaliando em σ
sobre esta base, obtemos que um dos termos ϕ(u, v, vj) com j ≥ 3 é não nulo. Então ϕ é
não degenerada.
Seja V × V → V dada por (u, v) 7→ u × v uma aplicação bilinear. Devemos provar que também satisfaz (2.3). Pelo Lema2.1.4, é necessário mostrar
|u| = 1, hu, vi = 0 ⇒ |u × v| = |v|. Provamos isso em cinco etapas. Vamos fixar um vetor unitário u ∈ V .
(i) Seja uma aplicação linear A : V → V dada por Av := u × v. Então A é antiadjunto e o núcleo é gerado pelo vetor u. Que A é antiadjunto segue da identidade hAv, wi = ϕ(u, v, w).
(ii) Seja A a aplicação dada pelo item anterior. Existem constantes positivas λ1, λ2, λ3 e
uma base ortonormal v1, w1, v2, w2, v3, w3 de u⊥ tal que Avj = λjwj e Awj = −λjvj
para j = 1, 2, 3.
Pelo item (i), existe uma constante λ > 0 e um vetor v ∈ u⊥ tal que A2v = −λ2v, |v| = 1.
Denotamos por w := λ−1Av. Logo Av = λw, Aw = −λv, w é ortogonal a v, e |w|2 = λ−2hAv, Avi = −λ−2hv, A2vi = |v|2 = 1.
Além disso, o complemento ortogonal de u, v, w é invariante sob A. Portanto, (ii) segue por indução.
(iii) Seja λi dada por (ii). Logo λ1λ2λ3 = 1.
Seja A a aplicação dada por (i), denotamos por W = u⊥ e seja ω : W × W → R por ω(v, w) := hAv, wi = ϕ(u, v, w)
para v, w ∈ W . Logo, por (i), ω ∈ Λ2W∗ é uma forma simplética. Além disso, ω(vi, wi) = hAvi, wii = λi para i = 1, 2, 3, ω(vi, vj) = ω(wi, wj) onde ω(vi, wj) = 0
para i 6= j e ω(vi, vj) = ω(wi, wj) = 0 para todo i e j. Portanto,
λ1λ2λ3 =
1
6ω(v1, w1, v2, w2, v3, w3) (2.12) = dV(u, v1, w1, v2, w2, v3, w3). (2.13)
Aqui a primeira equação segue de (ii) e a definição de ω e segunda equação segue de 2.11. Como os vetores u, v1, w1, v2, w2, v3, w3 formam uma base ortonormal de V
com normal ±1. Como a base é positiva então vale (iii). (iv) Sejam
G := {L ∈ Aut(V ) : L∗ϕ = ϕ} e H := {L ∈ G : Lu = u}.
Logo dim G ≥ 14 e dim H ≥ 8. Como dim Aut(V ) = 49 e dim Λ3(V∗) = 35, o subgrupo de isotropia G de ϕ tem dimensão pelo menos 14. Pelo Lema 2.1.7, G age sobre a esfera S := {v ∈ V : |v| = 1} que tem dimensão 6. Assim, o subgrupo isotrópico H de u sob essa ação tem dimensão dim H ≥ dim G − dim S ≥ 14 − 6 = 8. (v) Seja λi dada pelo item (ii). Logo λ1 = λ2 = λ3 = 1.
Pela definição de A no item (i) e H no item (iv), temos que hALv, Lwi = hAv, wi para todo L ∈ H e v, w ∈ V . Pelo Lema 2.1.7 H ⊂ SO(V ). Portanto,
L ∈ H ⇒ LA = AL. (2.14)
Seja λ1 6= λ2 6= λ3 sem perda de geralidade. Logo, pela equação (2.14), o subespaço
W1 := Span{v1, w1} e W23:= Span{v2, w2, v3, w3} são preservados por cada elemento
L ∈ H. Assim H ⊂ O(W1) × O(W23). Já que dim O(W1) = 1 e dim O(W23) = 6, isto
implica que dim H ≤ 7, o que contradiz o item (iv). Isto prova que λ1 = λ2 = λ3 e
pelo item (iii), isto implica que λj = 1 para cada j.
Pelo itens (ii) e (iv) temos que A2v = −v para cada v ∈ u⊥. Assim, pelo item (i), |Av|2 = −hv, A2vi = |v|2 para cada v ∈ u⊥. Isto conclui a demonstração.
Definição 2.1.11. Seja V um espaço de Hilbert de dimensão 7 e seja [·, ·, ·] : V ×V ×V → V
uma aplicação dada por
[u, v, w] := (u × v) × w + hv, wiu − hu, wiv, (2.15) tal aplicação é chamada colchete associador.
Esta aplicação também pode ser expressada da forma: [u, v, w] = 1 3 (u × v) × w + (v × w) × u + (w × u) × v . (2.16)
Definição 2.1.12. Um subespaço S ⊂ V é chamado associativo se [u, v, w] = 0 para todo
u, v, w ∈ S.
Lema 2.1.13. A aplicação ψ : V4 → R definida por:
ψ(u, v, w, x) := h[u, v, w], xi = 1 3 ϕ(u × v, w, x) + ϕ(v × w, , u, x) + ϕ(w × u, v, x) (2.17) é uma 4-forma alternada (calibração coassociativa de (V, ϕ)). Além disso, ψ = ∗ϕ onde ∗ : ΛkV∗ → Λ7−kV∗ é operador de Hodge associado ao produto interno e a orientação dada pelo Lema 2.1.10.
A calibração associativa sobre o espaço vetorial R7
ϕ0 = e123− e145− e167− e246+ e257− e347− e356 (2.18)
correspondente forma de calibração coassociativa é
ψ0 = −e1247− e1256+ e1346− e1357− e2345− e2367 + e4567. (2.19)
Vamos denotar por
(LAα)(v1, . . . , vk) = α(Av1, . . . , vk) + · · · + α(v1, . . . , Avk), (2.20)
para uma ação de A ∈ End(V ) sobre α ∈ ΛkV∗.