CAMPINAS
Instituto de Matemática, Estatística e
Computação Científica
JULIETH PAOLA SAAVEDRA RAMIREZ
FLUXOS DE G
2
-ESTRUTURAS
Campinas
2017
FLUXOS DE G
2-ESTRUTURAS
Dissertação apresentada ao Instituto de Mate-mática, Estatística e Computação Científica da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestra em Matemática.
Orientador: Henrique Nogueira de Sá Earp
Este exemplar corresponde à versão
final da Dissertação defendida pela
aluna JULIETH PAOLA
SAAVE-DRA RAMIREZ e orientada pelo Prof.
Dr. Henrique Nogueira de Sá Earp.
Campinas
2017
Ficha catalográfica
Universidade Estadual de Campinas
Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Ana Regina Machado - CRB 8/5467
Saavedra Ramirez, Julieth Paola,
Sa12f SaaFluxos de G_2-estruturas / Julieth Paola Saavedra Ramirez. – Campinas, SP : [s.n.], 2017.
SaaOrientador: Henrique Nogueira de Sá Earp.
SaaDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.
Saa1. Geometria diferencial. 2. G-estruturas. 3. Conexões (Matemática). I. Sá Earp, Henrique Nogueira,1981-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: Flows of G_2-structures Palavras-chave em inglês:
Differential geometry G-structures
Connections (Mathematics)
Área de concentração: Matemática Titulação: Mestra em Matemática Banca examinadora:
Henrique Nogueira de Sá Earp [Orientador] Viviana Jorgelina del Barco
Andrew James Clarke
Data de defesa: 22-03-2017
Programa de Pós-Graduação: Matemática
pela banca examinadora composta pelos Profs. Drs.
Prof.(a). Dr(a). HENRIQUE NOGUEIRA DE SÁ EARP
Prof.(a). Dr(a). VIVIANA JORGELINA DEL BARCO
Prof.(a). Dr(a). ANDREW JAMES CLARKE
A Ata da defesa com as respectivas assinaturas dos membros encontra-se no processo de vida acadêmica do(a) aluno(a).
Agradeço ao Prof. Dr. Henrique Sá Earp, pela orientação num temas tão interessantes da matemática. Agradeço aos professores da banca, Prof. Dra. Viviana Jorgeline del Barco e Prof Dr. Andrew James Clarke, por me ajudar com as dúvidas e pelas valiosas observações que contribuíram no meu trabalho. Também estou profundamente agradecido ao Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica em geral, pela contribuição na minha formação matemática. Finalmente, a meus pais e irmãos, dos quais recebo um imenso apoio e carinho apesar da distância. Por fim, agradeço a CAPES por ter financiado este projeto.
Neste trabalho estudaremos o fluxo de G2-estruturas em 7-variedades compactas, segundo
os textos de R. Bryant [Bry87,BX11], S. Grigorian [Gri13] e S. Karigiannis [Kar03,Kar09]. Tais métodos têm como objetivo obter G2–estruturas com torção o mais trivial possível,
idealmente convergindo para soluções ϕ satisfazendo a condição livre de torção ∇ϕ = 0. Na primeira parte, recordaremos os conceitos básicos de geometria riemanniana, como conexões, curvatura e holonomia em fibrados principais e vetoriais. Em seguida, apresentaremos as propriedades elementares de G2–estruturas, com destaque para o tensor de torção total e
a classificação destas estruturas segundo classes de torção. Na última parte, estudaremos fluxos de G2-estruturas. Em um primeiro momento, descreveremos em plena generalidade
as equações de evolução das quantidades geométricas relevantes, tais como a métrica, a forma de volume e as componentes da torção. Por fim, focaremos nos casos importantes do fluxo e do co-fluxo laplacianos, culminando em uma revisão bibliográfica dos resultados mais recentes em termos de existência e unicidade de soluções.
We study flows of G2–strucutres on compact 7-manifolds, following the works of R. Bryant
[Bry87, BX11], S. Grigorian [Gri13] and S. Karigiannis [Kar03, Kar09]. Such methods aim at obtaining G2–structures with torsion as trivial as possible, ideally converging to
solutions ϕ satisfying the torsion-free condition ∇ϕ = 0. In the first part, we recall the basic concepts from Riemannian geometry, such as connections, curvature and holonomy on principal bundles and vector bundles. In the second part, we introduce the elementary properties of G2–structures, highlighting the importance of the full torsion tensor and
the classification of said structures by their torsion class. In the last part, we study flows of G2–structures. First, we describe in full generality the evolution equations of
the relevant geometric quantities, such as the metric, the volume form and the torsion components. Finally, we focus on the impostant cases of the Laplacian and co-Laplacian flows, culminating at a bibliographic review of the most recent results about existence and uniqueness of solutions.
Introdução . . . 11
1 PRELIMINARES . . . 13
1.1 Fibrado vetorial . . . 13
1.2 Fibrado principal . . . 17
1.3 Conexão em fibrado vetorial e principal . . . 23
1.3.1 Conexão em fibrado vetorial . . . 23
1.3.2 Conexão em fibrado principal . . . 24
1.4 Curvatura de uma conexão . . . 29
1.4.1 Curvatura em fibrado vetorial. . . 29
1.4.2 Curvatura em fibrado principal . . . 34
1.4.3 Transporte paralelo e holonomia . . . 36
1.5 Introdução a variedades riemannianas . . . 37
1.5.1 Produto interno de tensores . . . 39
1.5.2 Orientação e forma volume . . . 40
1.5.3 Elementos da teoria de Hodge . . . 40
1.5.4 Operador de Green . . . 43
1.5.5 Conexão riemanniana . . . 44
1.5.6 Curvatura em variedades riemannianas . . . 45
2 GEOMETRIA DE G2-ESTRUTURAS . . . 47
2.1 Produto vetorial . . . 47
2.2 Grupo G2 . . . 54
2.3 Representação de G2 . . . 55
2.4 Variedades com G2-estrutura . . . 57
2.4.1 Métrica de G2-estruturas . . . 59
2.4.2 Produto vetorial sobre uma G2-estrutura . . . 59
2.4.3 G2-decomposição de Ω∗(M ) . . . 64
2.5 Formas de torção intrínseca a uma G2-estrutura . . . 69
2.6 As 16 classes de torção de G2-estruturas . . . 73
2.7 Torção para G2−estruturas e curvatura Ricci . . . 76
2.8 Fórmulas de curvatura em termos do tensor torção . . . 77
3 FLUXO DE G2−ESTRUTURAS . . . 80
3.1 Deformação de G2-estruturas . . . 80
3.2 Evolução de um fluxo geral de ϕ . . . 89
3.2.1 Evolução da métrica . . . 90
3.2.2 Evolução da 4-forma dual ψ em coordenadas locais . . . 91
3.2.3 Evolução das formas de torção . . . 93
3.3 Fluxo do laplaciano de Hodge . . . 96
3.3.1 Laplaciano de Hodge de ϕ . . . 96
3.3.2 Funcional de Hitchin . . . 98
3.4 Co-fluxo laplaciano de Hodge. . . 100
Introdução
As G2-estruturas numa 7-variedade tem sido estudadas por mais de 40 anos. Em 1969,
Alfred Gray estudou o produto cruz sob variedades, na qual em 7-variedades corresponde a G2-estruturas. Anos depois, Fernandez e Gray classificou as possíveis classes de torção
de uma G2-estrutura [FG]. Uma 7-variedade admite uma G2-estrutura se, e somente se,
é orientavel e admite estrutura spin. Um caso importante é quando a G2-estrutura é
livre de torção o qual implica que o grupo de holonomia está contido em G2. Desde que
Richard Hamilton introduziu o fluxo de Ricci [Ham82b] os fluxos geométricos começaram desempenhar um papel importante no estudo de estruturas geométricas. Para fluxos de G2-estruturas se pretende obter uma G2-estrutura livre de torção. Spiro Karigiannis
[Kar09] estudou a evolução de uma G2-estrutura e propriedades que dependem apenas da
variação da métrica como os símbolos de Christoffel e as curvatura de Riemann, curvatura de Ricci e cuvatura escalar.
Ao momento de considerar um fluxo de uma G2-estruturas temos o caso do fluxo
laplaciano para uma variedade de dimensão 7 compacta com uma G2−estrutura ϕ fechada
d
dtϕ = ∆ϕϕ, (1)
onde ∆ϕϕ é o laplaciano de Hodge definida pela métrica gϕ, que é a métrica associada a uma G2−estrutura ϕ. Este fluxo foi estudado pela primeira vez em trabalhos não publicados
de Bryant, Steven Altschuler e Harvey na década 90 (ver [Bry03]). Posteriormente, tem os trabalhos por Bryant e Xu [BX11], Xu e Ye [XY09] entre outros que trabalharam propriedades de existência e unicidade do fluxo laplaciano. Quando a G2-estrutura é
fechada este fluxo é o fluxo gradiente (em relação a um produto interno apropriadamente escolhido) do funcional de Hitchin [BX11]. Como demonstrou Hitchin [Hit], para uma G2−estrutura fechada ϕ atinge um ponto crítico se ϕ define uma G2-estrutura livre de
torção.
Os fluxos estudados se concentram no fluxo de 3-forma ϕ. No entanto, uma G2-estrutura
também pode ser definida pela 4−forma dual ∗ϕ, que iremos denotar por ψ. É então natural considerar o análogo do fluxo laplaciano (1), mas para a 4-forma ψ.
d
dtψ = ∆ψψ, (2)
chamado co-fluxo laplaciano de uma G2−estrutura, o qual foi originalemte proposta por
Karigiannis, McKay e Tsui em [KT12]. O funcional volume pode ser definido em termos de ψ e então atinge um ponto crítico dentro da classe de cohomologia de ψ sempre que d ∗ ψ = dϕ = 0 para uma G2-estrutura co-fechada, isto é dψ = 0. O fluxo (2) pode
também ser interpretado como um fluxo gradiente do funcional volume e é fácil ver que o volume cresce monotonicamente ao longo deste fluxo. A vantagem de desenvolver fluxo de G2-estruturas é que ela permite examinar as equações de evolução para a torção sob um
fluxo geral.
No capitulo 1 estudaremos conceitos básicos de fibrados, conexidade, curvatura e algumas propriedades de geometria Riemanniana como conexidade de Levi-Civita, operador de Hodge e curvatura. No capítulo 2 se exporemos conceitos relacionados ao grupo G2 e
G2-estruturas (formas de torção e fórmulas da curvatura em G2-estruturas). No capítulo 3
daremos uma introdução a deformação de G2−estruturas e as equações de evolução de
uma G2−estrutura incluindo a evolução da métrica, a 4-forma dual ψ e as formas de torção
para um fluxo geral que vai ser de ajuda para o fluxo laplaciano e o co-fluxo laplaciano de uma G2-estrutura. A demonstração para teoria de existência e unicidade em fluxo e
co-fluxo laplaciano é feita utilizando espaços de Frechet [BX11, Gri13] na qual não vai ser exposto em este trabalho.
1 Preliminares
O objetivo deste capítulo inicial é expor os conceitos e fatos básicos que serão necessários ao desenvolvimento de todo o trabalho. As referências para o material apresentado serão citadas ao longo de cada seção. Aqui, como em todo o texto, serão assumidos sem menção explícita os conhecimentos mais elementares sobre medida, integração e análise funcional.
Começamos apresentando os conceitos básicos estudados no contexto de Fibrados vetoriais.
1.1
Fibrado vetorial
Esta parte do texto segue da seção 10 de [Lee03] e de [dM].
Definição 1.1.1. Seja M uma variedade diferencial de dimensão n. Um fibrado vetorial
real (ou complexo) de posto k sobre M é uma variedade diferenciável E munida com uma aplicação suave e sobrejetora π : E → M que satisfaz:
1. Para cada p ∈ M , as fibras Ep = π−1(p) tem estrutura de k-espaço vetorial real (ou complexo).
2. Para cada p ∈ M , existe uma vizinhança U ⊂ M de p e um homeomorfismo Φ : π−1(U ) → U × Rk os quais satisfazem as seguintes condições:
• πU ◦ Φ = π (onde πU : U × Rk → U é a projeção); • para cada q ∈ U , temos que Φ
E p
: Ep → Rk é isomorfismo de espaços vetoriais. O espaço E é chamado espaço total, a dimensão das fibras π−1(p) é chamado o posto do fibrado, π é chamada a projeção e Φ é chamada a trivialização local de E sobre U .
Exemplo 1.1.2. 1. O exemplo mais natural é o fibrado trivial onde E = M × Rk com a aplicação π : M × Rk → M dada por π(m, x) = m, isto é, a projeção sobre o primeiro fator.
2. (A faixa de Möbius) Defina uma relação de equivalência sobre R2 declarando que (x, y) ∼ (x0, y0) se, e somente se, (x0, y0) = (x + n, (−1)ny) para algum n ∈ Z. Sejam E = R2/ ∼ o espaço quociente e q : R2 → E a aplicação quociente que envia (x, y) na sua classe de equivalência. Definimos π : E → S1 a aplicação sobre a esfera
unitária que faz o seguinte diagrama comutar R2 q // π1 E π R ε //S 1
onde π1 : R2 → R é a projeção sobre o primeiro fator e ε : R → S1 é a aplicação de
recobrimento suave dado por ε(x) = e2πix. Do anterior, segue que π : E → S1 é um fibrado vetorial, onde E é conhecida como a faixa de Möbius.
Figura 1 – Fibrado da faixa de Möbius
3. (O fibrado tangente T M ) Seja M uma variedade diferenciável. Definimos o fibrado tangente de M como o conjunto
T M = {(x, v) : x ∈ M, v ∈ TxM } . Seja T M = a
p∈M
TpM , onde TpM é o espaço tangente de M e π = T M → M a projeção (x, v) 7→ x. Vamos definir uma topologia e uma estrutura de variedade em T M tal que π é uma submersão C∞ se M é de classe C∞. Para tanto, consideremos um atlas αi : Ui ⊂ M → ˜Ui ⊂ Rm em M e definimos
Φi : π−1(Ui) ⊂ T M → Ui × Rm por
Φi(x, v) = (x, Dαi(x) · v). Temos que Φi é uma bijeção e que
Φj ◦ Φ−1i : (Ui∩ Uj) × Rm → (Ui ∩ Uj) × Rm
(x, w) → (x, D(αj ◦ α−1i )(αi(x)) · w) é um difeomorfismo.
Colocamos a topologia em T M declarando que W ⊂ T M é aberto se, e somente se, Φi(W ∩ π−1(Ui)) é aberto para todo i. Deste modo, as aplicações Φi são homeomor-fismos e o conjunto das aplicações
˜
Φi : π−1(Ui) → ˜Ui× Rm
(x, v) 7→ (αi(x), Dαi(x) · v)
é um atlas Ck em T M . A projeção π é claramente uma submersão C∞ e o diagrama abaixo é comutativo π−1(Ui) U˜i× Rm ˜ Ui αi◦ π π1 ˜ Φi
Para cada par i, j com Ui∩ Uj 6= ∅, defina
δij : Ui∩ Uj → GL(m, R)
x 7→ D(αj ◦ α−1i )(αi(x)). Assim, as mudanças de cartas são ˜Φj◦ ˜Φ−1i (x, v) = (x, δ
j
i(x) · v). Pela regra da cadeia, temos que se x ∈ Ui∩ Uj ∩ Uk, então δij(x) = (δ
j i(x))
−1
e δik(x) = δkj(x) · δij(x),
onde o produto é a composição das duas transformações lineares.
Lema 1.1.3. Seja π : E → M um fibrado vetorial suave de posto k. Suponha Φ :
π−1(Ui) → Ui × Rk e Ψ : π−1(Uj) → Uj × Rk são duas trivializações locais de E com Ui∩ Uj 6= ∅. Existe uma aplicação suave τij : Ui∩ Uj → GL(k, R), tal que a descomposição Φ ◦ Ψ−1 : (Ui∩ Uj) × Rk→ (Ui∩ Uj) × Rk tem a forma
Φ ◦ Ψ−1(p, v) = (p, τij(p)v),
onde τ (p)v é uma ação da matriz τ (p) de ordem k × k sobre o vetor v ∈ Rk. Demonstração. O seguinte diagrama comuta
(Ui∩ Uj) × Rk π−1(Ui∩ Uj) (Ui∩ Uj) × Rk
Ui∩ Uj
π1 π π1
Φ Ψ
Segue que π1◦ (Φ ◦ Ψ−1) = π1, o que significa que
Φ ◦ Ψ−1(p, v) = (p, σ(p, v))
para uma aplicação suave σ : (Ui∩ Uj) × Rk → Rk. Além disso, para cada p ∈ Ui∩ Uj, a aplicação v 7→ σ(p, v) de Rk é uma aplicação linear invertível, então existe uma matriz k × k não-singular τ (p), tal que σ(p, v) = τ (p)v. Assim τ : Ui ∩ Uj → GL(k, R) é uma aplicação suave.
As funções suaves τij : Ui∩ Uj → GL(k, R) são chamadas funções de transição entre as trivializações locais Φ e Ψ.
Dada uma cobertura aberta de M e uma família τij : Ui∩ Uj → GL(k, R) satisfazendo as condições:
1. τii é a identidade de GL(k, R);
2. τij(p) = τik(p) ◦ τkj(p) para todo p ∈ Ui∩ Uj ∩ Uk;
3. A aplicação (p, v) ∈ (Ui∩ Uj ∩ Uk) × Rk → τij(x)v ∈ Rk é de classe C∞,
podemos definir um fibrado tomando E como o espaço quociente da união disjunta dos Ui× F pela relação de equivalência que identifica (p, v) com (p
0
, v0) se p0 = p ∈ Ui∩ Uj e v0 = τij(p)v. Definimos a projeção π : E → M como a aplicação que associa à classe de equivalência de (p, v) ∈ Ui× Rk o ponto p e a estrutura de variedade tal que as bijeções Φi : Ui× Rk → π−1(Ui), composta da aplicação quociente com a inclusão de Ui× F na união disjunta, sejam difeomorfismos. Uma cobertura aberta e uma família de aplicações com as propriedades acima é chamado de um cociclo em M com valores no grupo de matrizes GL(k, R).
Definição 1.1.4. Seja π : E → M um fibrado vetorial. Uma seção de E é uma aplicação
contínua σ : M → E que satisfaz π ◦ σ = IdM. Isso significa que σ(p) é um elemento da fibra Ep para cada p ∈ M .
Definição 1.1.5. Uma seção local de E é uma aplicação contínua σ : U → E definida
sobre algum subconjunto aberto U ⊂ M o qual satisfaz π ◦ σ = IdU. Uma seção definida sobre M é chamada seção global.
Exemplo 1.1.6. Seja M uma variedade suave com ou sem fronteira.
Figura 2 – Seções locais de um fibrado vetorial
2. Se E = M × Rk é um fibrado produto, existe uma função injetiva entre E e as funções contínuas F : M → Rk determinando seções ˜F : M → M × Rk dadas por
˜
F (x) = (x, F (x)), e vice-versa. Se M é uma variedade suave com ou sem fronteira, então as seções ˜F são suaves se, e somente se, F é suave.
Definição 1.1.7. Seja π : E → M um fibrado vetorial de posto n. Um referencial local
para E sobre um aberto U ⊂ M é um conjunto {s1, . . . , sr} de seções locais tais que {si(p)}ri=1 constituem uma base para a fibra Ep, para cada p ∈ U .
Referenciais locais existem sempre que (U, Φ) é uma trivialização local. Se {ei}ri=1 é uma base para o referencial do tipo V ∼= Rn, pode-se definir as seções locais:
si : Ui → E através de si(p) = Φ−1(p, ei) i = 1, . . . , r Qualquer seção local σ ∈ ΓU(E) pode ser escrita na forma
σ(p) =X i
σi(p)si(p),
com σi ∈ C∞(U ) para todo p ∈ U .
1.2
Fibrado principal
Começamos apresentando os conceitos básicos estudados no contexto de Fibrados Principais.
Esta parte do texto segue de [dM,FM, Joy00, Ste99,Tau11].
Nesta seção G denotará, exceto menção contrária, um grupo de Lie e B um espaço topológico, que será a base do fibrado principal.
Definição 1.2.1. Sejam M e N duas variedades dotadas de uma ação com respeito a G.
Uma aplicação f : M → N é G−equivariante se f (m · g) = f (m) · g para todo m ∈ M e g ∈ G.
Definição 1.2.2. Um G-fibrado principal é uma tripla (P, M, π), se constitui de
• P o espaço total,
• M a base do fibrado (espaço topológico) e • G o grupo estrutural do fibrado.
A relação entre eles é dada por
1. G age livremente à direita em P : (p, a) 7→ pa, p ∈ P , a ∈ G.
2. O espaço das órbitas dessa ação é M . Isso significa que existe uma aplicação sobreje-tora
π : P → M
tal que as órbitas de G são os conjuntos π−1{x}, x ∈ M .
3. P é localmente trivial no sentido em que para todo x ∈ M existe uma vizinhança Uα de x e uma aplicação bijetora
ρα : π−1(Uα) → Uα× G que é da forma
ρα(p) = (π(p), φ(p)) onde φ : π−1(Uα) → G é uma aplicação que satisfaz
φ(pa) = φ(p)a
para todo p ∈ π−1(Uα) e a ∈ G (i,e. ρα é um homeomorfismo suave equivariante pela ação de G).
O fibrado π : P → M é dito topológico se os espaços envolvidos são espaços topológicos e as aplicações são continuas (e homeomorfismos quando bijetoras). O fibrado principal é de classe Ck, k ≥ 1, se os espaços envolvidos são variedades diferenciáveis de classe Ck (em particular G deve ser grupo de Lie) e as aplicações envolvidas são diferenciáveis de classe Ck (e difeomorfismos no caso das bijeções). Nesse caso a projeção π : P → M torna-se uma submersão, pois através do isomorfismo ρα ela se identifica com a projeção na primeira coordenada Uα× G → Uα. As fibras do fibrado principal são denotadas por Px = π−1{x} com x ∈ M .
Exemplo 1.2.3. (Fibrado trivial) O produto M × G é um fibrado principal com grupo
estrutural G, cuja ação à direita é Rh(x, g) = (x, g) · h = (x, gh). Em particular, um grupo G pode ser visto como fibrado principal em que a base se reduz a um ponto M = {x}.
Exemplo 1.2.4. Seja M uma n-variedade suave e E = T M o fibrado tangente de M ,
onde
FE = {(m, e1, ..., ek) : m ∈ M e (e1, ..., ek) é uma base de Em}.
Temos que FE é uma variedade e, pelo exemplo 3na seção de fibrado vetorial, existe uma projeção de E a M e uma ação de GL(n, R) sobre E. Seja π : FE → M uma aplicação que satisfaz π(m, e1, ..., ek) = m. Para cada A = [Aij] ∈ GL(n, R) e (m, e1, ..., ek) ∈ FE temos a seguinte aplicação ρ : GL(n, R) × FE → FE, dada por ρ(A, (m, e
1, ..., ek)) = (m, e 0 1, ..., e 0 k), onde e0i = k X j=1
Aijej define uma ação com grupo estrutural GL(n, R) sobre FE, assim (E, M, π) é um GL(n, R)-fibrado principal. Quando E = T M o fibrado FT M é escrito por
F (M ) e é chamado fibrado de referenciais M .
Definição 1.2.5. (ver [Joy00]) Seja M uma variedade e P um fibrado principal sobre M , com fibras no grupo de Lie G. Seja ρ uma representação de G sobre um espaço vetorial V . Logo G age sobre o espaço produto P × V pelo fibrado principal no primeiro fator e com a representação sobre o segundo fator. Seja ρ(P ) = (P × V )/G o quociente de P × V pela G-ação. Agora P/G = M , assim uma aplicação de ρ(P ) = (P × V )/G → P/G = M é uma projeção de ρ(P ) a M . Como G age livremente sobre P , então esta projeção tem fibras V e assim ρ(P ) é um fibrado vetorial sobre M , com fibras V .
Definição 1.2.6. Sejam M uma variedade e {Ui} uma cobertura aberta de M . Um cociclo em M com valores em G é uma família de funções δij : Ui∩ Uj → G de classe C∞ satisfazendo
δik(p) = δjk(p) · δij(p) ∀p ∈ Ui∩ Uj ∩ Uk.
Teorema 1.2.7. Sejam F uma variedade, ρ uma ação de G em F e {δij : Ui∩ Uj → G}i,j um cociclo em uma variedade M . Então existe um fibrado π : E → M com fibra F , grupo estrutural G e funções de transição ρij = ρ ◦ δij.
Demonstração. Sejam ˜E a união disjuntaa i
(Ui×F ) e ˜π : ˜E → M definida por ˜π(x, v) = x para (x, v) ∈ Ui× F . Definimos em ˜E a relação
(x, v) ∼ (y, w) ⇔ x = y e w = ρij(x)v se x ∈ Ui∩ Uj.
Como δij é um cociclo, a relação ∼ é de equivalência. Seja E o conjunto das classes de equivalência e seja q : ˜E → E a aplicação quociente, temos que existe uma única aplicação
contínua π : E → M tal que o diagrama abaixo comuta ˜ E E M q π˜ π
e, para cada i, a aplicação Ψi : Ui× F → π−1(Ui) ⊂ E definida pela composta de q com a inclusão Ui× F ⊂ ˜E é um homeomorfismo. Pela definição da relação de equivalência, segue que o homeomorfismo
Ψ−1j ◦ Ψi : (Ui∩ Uj) × F → (Ui∩ Uj) × F é dado por
(x, v) → (xρij(x)(v)).
Portanto, exite uma única estrutura de variedade em E satisfazendo as condições do teorema.
Observação 1.2.8. Seja E um fibrado vetorial sobre M , sendo a fibra V um K-espaço
vetorial com K = R ou K = C. O conjunto de seções de classe Ck é um K−espaço vetorial e também um C∞(M )−módulo com as operações definidas ponto a ponto. Denotaremos este espaço de seções por Γk(E). Afirmamos que Γk(E) tem dimensão infinita. De fato, fixando i e tomando Xi : Ui → V uma função C∞ que anula fora de um compacto de Ui, podemos definir Xj : Uj → V para cada j como sendo 0 se p /∈ Ui e igual a ρij(p)Xi(p) se p ∈ Ui∩ Uj, que é portanto uma seção de E de classe Ck. Se o referencial tem um produto interno que é preservado por todo ρ(g) então, tem um produto interno D,E
p que varia diferenciavelmente com o ponto base, no sentido que para todo par de seções locais σ1, σ2
a aplicação p 7→ Dσ1(p), σ2(p)
E p é C
∞
.
Se F é um espaço vetorial munido com um produto interno e o grupo age por trans-formações ortogonais, então para cada ponto p da base temos um produto interno D,E
p na fibra π−1(p) que varia diferenciavelmente no sentido que se σi, i = 1, 2 são seções do fibrado, então a aplicação p ∈ M 7→ Dσ1(p), σ2(p)
E
p ∈ R é diferenciável. Se π : E → R é um fibrado vetorial, usando uma partição da unidade em M , podemos construir uma estrutura de fibrado riemanniano em π : E → M . Usando essa estrutura podemos reduzir o grupo estrutural do fibrado de GL(n, R) para O(n). De fato, para cada trivialização local de π−1(U ) associamos seções locais X1, . . . , Xk tais que para cada p ∈ U , X1(p), . . . , Xk(p) é uma base π−1(p). Ortogonalizando essa base, obtemos seções Y1, . . . , Yk. Assim temos uma nova família de trivializações locais U × Rk→ π−1(U ) tal que (p, q) 7→
k X i=1
qiYi(p). As correspondentes funções de transição definem um cociclo com valores no grupo ortogonal.
Analogamente, se o referencial é um espaço vetorial complexo munido de um produto hermitiano invariante pela ação.
Exemplo 1.2.9. 1. Considere a ação trivial ρ : GL(m, R) → Dif(Rm) dada por ρ(A) = A. Então o fibrado vetorial correspondente é o fibrado tangente de M e as seções Ck são exatamente os campos de vetores Ck em M .
2. (Fibrado de Tensores) Um tensor do tipo (r, k) em um R-espaço vetorial V de dimensão finita é uma aplicação multilinear
T : V∗× · · · × V∗× V × · · · × V → R.
O conjunto T(r,k)(V ) dos tensores do tipo (r, k) é um R-espaço vetorial. Temos identificações canônicas T(0,0)(V ) = R, T(1,0)(V ) = V e T(0,1)(V ) = V∗.
Dizemos que um tensor T do tipo (0, k) é simétrico se T (vσ(1), . . . , vσ(k)) = T (v1, . . . , vk)
para toda permutação σ de k elementos. Denotamos o subespaço dos tensores simétricos por Sk(V ).
Os tensores T do tipo (0, k) são chamados k-tensores antissimétricos e satisfazem T (Vσ(1), . . . , vσ(k)) = sgn(σ)T (v1, . . . , vk)
para toda permutação σ de k elementos. Denotamos o subespaço desses tensores por Λk(Rm)∗
O grupo linear GL(m, R) age em T(r,k)(Rm) da seguinte maneira: para cada A ∈ GL(m, R) e T um tensor do tipo (r, k) definimos
A · T (ϕi, vj) = T (ϕi◦ A, A−1· vj).
Como esta ação é linear, o fibrado correspondente sobre M é vetorial, chamado o fibrado de tensores em M e denotado por T(r,k)(M ). A fibra sobre um ponto p ∈ M pode ser identificada com T(r,k)(TpM ). Uma seção deste fibrado é chamada um campo de tensores em M . Devido as identificações nos casos de dimensão mais baixa, o espaço de seções de T(0,0)M nada mais é do que C∞(M ) e as seções de T(1,0)M são campos de vetores em M . As seções do fibrado dos tensores do tipo (0, k)
antissimétricos, denotados por Λk(T M )∗, nada mais são de que k-formas diferenciais em M . Note que o fibrado Λ1(T M )∗ é então o fibrado cotangente T∗M .
Observação 1.2.10. Se um G-fibrado principal π : E → M possui uma seção global
diagrama abaixo comuta M × G E M π1 π Φ
De fato, basta tomar Φ(p, g) = σ(p) · g, com o produto por g significando a ação livre e transitiva à direita de G em E. Logo, um fibrado principal não trivial não possui seção global.
Exemplo 1.2.11. 1. (O fibrado dos referenciais) Seja ρ : GL(m, R) → Dif(GL(m, R))
a ação definida por
ρ(A)(B) = AB.
Fixando uma base de Rm, podemos representar B por uma matriz inversível. As co-lunas de B ∈ GL(m, R) definem uma nova base de Rm. Podemos portanto identificar GL(m, R) com o espaço das bases de Rm e ρ(A) pode ser interpretada como uma mu-dança de base. A fibra sobre um ponto p do fibrado correspondente π : R(T M ) → M pode ser identificada com o espaço das bases de TpM . Esse fibrado é chamado o fibrado dos referencias de M . Assim, uma seção local em um aberto U ⊂ M é uma m-upla de campos de vetores Xi : U → T M , de classe C∞, tais que para cada p ∈ U o conjunto {X1(p), . . . , Xm(p)} é uma base de TpM .
2. Seja q : E → M um fibrado vetorial munido de uma métrica riemanniana, isto é, um produto interno em cada fibra que varia suavemente com o ponto base no sentido que, para quaisquer seções C∞ σi : M → E, i = 1, 2, a função p 7→
D
σ1(p), σ2(p)
E p é C∞. Consideremos o fibrado principal π : O(E) → M , cuja fibra pelo ponto p é o espaço dos referenciais ortonormais da fibra pelo ponto p cujo grupo estrutural é o grupo das matrizes ortogonais O(n).
O fibrado vetorial é orientado se cada fibra possui uma orientação que varia con-tinuamente no sentido que, para cada p ∈ M e n seções locais σ1, . . . , σn em uma vizinhança de p que são linearmente independentes nessa vizinhança, então σ(q), . . . , σn(q) tem a mesma orientação para q próximo de p. Nesse caso podemos considerar o fibrado principal π : O+(E) → M cuja fibra pelo ponto p é o espaço dos referenciais ortonormais positivos. Nesse caso o grupo estrutural é SO(n).
Definição 1.2.12. Sejam π : P → M e π0 : P0 → M0 com grupo G. Um morfismo é um par de aplicações f : M → M0, ˜f : P0 → P tais que π0 ◦ ˜f = f ◦ π e f0(qg) = f0(q)g para todo g ∈ G. Da equivariância segue que a restrição de f0 a cada fibra é um difeomorfismo sobre a correspondente fibra. Se a aplicação f na base é um difeomorfismo, então f0 também é um difeomorfismo. Nesse caso, dizemos que o morfismo é um isomorfismo e os fibrados são equivalentes.
Dizemos que o fibrado principal π : P → M é trivial se é equivalente ao fibrado principal M × G → M , onde a ação à direita do fibrado produto é ((p, g), h) 7→ (p, gh).
Como já observamos, um fibrado principal é trivial se, e somente se, possui uma seção global.
Definição 1.2.13. Um morfismo de fibrados vetoriais π : E → M , π0 : E0 → M0 é um par de aplicações (f0, f ) : (E, M ) → (E0, M0) tais que π0 ◦ f0 = f ◦ π e a restrição de f0 a cada fibra é linear. Se f0 é um difeomorfismo então dizemos que os fibrados são isomorfos.
1.3
Conexão em fibrado vetorial e principal
Começaremos a estudar as conexões em fibrados principais e vetoriais. A parte de conexões de fibrados vetoriais é tomado principalmente de [Lee09] e a parte de fibrados principais temos as seguintes referências [lee].
1.3.1
Conexão em fibrado vetorial
Definição 1.3.1. Uma conexão num fibrado vetorial π : E → M é uma aplicação linear
∇ : Γ(E) → Ω1(M, E)
satisfazendo a regra de Leibniz
∇(f s) = f ∇s + s ⊗ df,
para todo s ∈ Γ(E) e f ∈ C∞(M ). Dado X ∈ X(M ), a contração ∇Xs := (∇s)(X) é chamada covariante de s ao longo de X.
Observação 1.3.2. Uma definição equivalente é a seguinte: Seja π : E → M um fibrado
vetorial suave de posto k. A derivada covariante ou conexão de Koszul é uma aplicação ∇ : X(M ) × Γ(M, E) → Γ(M, E) tal que para todo f ∈ C∞(M ), X, X1, X2 ∈ X(M ) e
s, s1, s2 ∈ Γ(M, E) que cumpre as seguintes condições
1. ∇f X(s) = f ∇Xs;
2. ∇X1+X2s = ∇X1s + ∇X2s;
3. ∇X(s1 + s2) = ∇Xs1+ ∇Xs2;
4. ∇X(f s) = (Xf )s + f ∇Xs.
Sejam π : E → M um fibrado vetorial de posto k com conexão ∇, φ uma trivialização do fibrado sobre o aberto U e {ei}ki=1 uma base de K = R ou K = C, logo temos
ei(p) = φ−1(p, ei) para algum p ∈ U ⊂ M . Para cada fibra ei do fibrado com respeito ao
aberto U a conexão pode ser vista como: ∇Xej =
k X i=1
ωij(X)ei.
A forma ωji é chamada de forma de conexão.
Proposição 1.3.3. Se s = X
i
siei é uma expressão local de uma seção s ∈ Γ(E) em termos das fibras locais e1, . . . , ek, temos que
∇Xs = X i (Xsi+X r ωri(X)sr)ei. Demonstração. ∇Xs = ∇X( X i siei) = X i (Xsi)ei+ X i si∇Xei = X i (Xsi)ei+ X i,j siωij(X)ej = X i (Xsi)ei+ X i,r srωri(X)ei = X i (Xsi+X r ωir(X)sr)ei.
Definição 1.3.4. Sejam X, Y campos de vetores, então T (X, Y ) = ∇XY − ∇YX − [X, Y ] é um tensor e é chamado tensor torção. Se T (X, Y ) = 0 para todo X, Y campos de vetores dizemos que T é livre de torção.
1.3.2
Conexão em fibrado principal
Seja α : P × G → P uma ação à direita de um grupo de Lie G sobre uma variedade suave P . Denotamos por x · g = xg = α(x, g). Para cada A ∈ g = TeG, λ(A)(g) = TeLg(A) para cada g ∈ G e onde Lg : G → G é a translação à esquerda por g. Temos que
λ(A)(g) = d dt t=0 g exp(tA).
Seja lx : G → P definida por lx(g) := xg. Dados A ∈ g e x ∈ P , o vetor vx(A) ∈ TxP é definido por
vx(A) = Telx(A). Logo, obtemos que
vx(A) := d dt t=0x · exp(tA)
para x ∈ P . Isto monstra que este fluxo dado por ϕ(t, x) := x exp(tA) gera um campo vetorial v(A) : x 7→ v(A)(x) := vx(A). A aplicação v : g → X(P ) dada por A 7→ v(A) é linear.
Lema 1.3.5. Se a ação é livre e A 6= 0, então v(A) é não nulo.
Definição 1.3.6. A 1-forma de Maurer-Cartan com valores na álgebra de Lie g sobre G
é definida por
µ(g)(Xg) = Tg(Lg−1)(Xg).
Para cada g ∈ G, considere ρg : P → P , Rg : G → G definida por ρg(u) : = u · g
Rg(a) : = ag.
Teorema 1.3.7. Seja α : P × G → P uma ação com G grupo de Lie, então T α :
T P × T G → T P é dada por
T α · (Xp, Yg) = Tρg · Xp+ vpg(µ(Yg))
para Xp ∈ TpP, Yg ∈ TgG e µ a forma de Maurer-Cartan a esquerda de G.
Seja π : P → M um G-fibrado principal suave. Assim, temos uma ação à direita livre de G em P cujas órbitas são exatamente as fibras. Seja u ∈ P , o subespaço vertical Vu é o subespaço de TuP composto de vetores tangentes a fibra π(π−1(u)).
Temos que Vu = núcleo(Tuπ) = núcleo(π∗u) e V = ∪u∈PVu é um subfibrado de T P , o qual é uma distribuição integrável sobre P chamada distribuição vertical ou fibrado vertical.
Definição 1.3.8. Sejam π : P → M um fibrado principal e ρ a correspondente ação do
fibrado. Definimos ρg : P × G → P a ação dada por ρg(u) := ρ(u, g) = u · g. Uma conexão é uma distribuição H ⊂ T P onde H : u 7→ HuP , tal que satisfaz as seguintes condições para todo u ∈ P :
1. TuP = VuP ⊕ HuP ;
2. Hρg(u)P = (ρg)∗HuP para todo g ∈ G.
Definição 1.3.9. O vetor tangente Y ∈ TuP é chamado vetor horizontal a u se Y ∈ H e é chamado vetor vertical a u se Y ∈ Vu .
Para cada u temos duas projeções ph : TuP → Hu e pv : TuP → Vu. Obtemos um morfismo de fibrados vetoriais ph : T P → H e pv : T P → V. Para qualquer vetor tangente obtemos uma descomposição única entre o vetor horizontal e o vertical
Definição 1.3.10. Um campo X ∈ X(P ) é dito vertical se X(p) ∈ Vp para todo p. Denotamos por X(V) o subespaço de X(P ) contendo os campos de vetores contidos em V, isto é, campos vetoriais tangentes às fibras de P . Da ação à direita de G sobre P obtemos que a aplicação v : g → X(P ) é um homomorfismo de álgebras de Lie. A imagem v(g) é um álgebra de Lie e está contida em X(V).
Dado u ∈ P , aplicando a projeção TuP → Vu temos que o isomorfismo inverso g → Vu está dado por A → v(A)u, assim obtemos uma aplicação linear TuP → g.
Definição 1.3.11. Seja π : P → M um G-fibrado principal suave. Uma 1-forma de
conexão sobre P com valores na álgebra de Lie g é ω ∈ Ω1(P, g), que satisfaz as seguinte propriedades:
ω(v(A)u) = A para todo u ∈ M. Temos que ω ◦ ph = 0.
Teorema 1.3.12. A forma de conexão satisfaz
ρ∗gω = Adg−1ω.
Em outras palavras, ω(Tρg(Y )) = Adg−1ω(Y ) para todo Y ∈ T P .
Demonstração. Como ph(Y ) ∈ Hu, temos que Tρg(ph(Y )) ∈ Hug. Além disso, pv(Y ) = v(A)u para um único A ∈ g e então
ω(Y ) = ω(ph(Y ) + pv(Y )) = ω(pv(Y )) = ω(v(A)u) = A. Assim,
ω(Tρg(Y )) = ω(Tρg(ph(Y ) + pv(Y ))) = ω(Tρg(ph(Y ) + v(A)u)) = ω(Tρg(ph(Y )) + Tρg(v(A)u)) = ω(Tρg(v(A)u)) = ω(v(Adg−1(A))) = Adg−1(A) = Adg−1(ω(Y )).
Teorema 1.3.13. Seja π : P → M um G-fibrado principal e ω a 1-forma com valores na
álgebra de Lie g sobre P tal que 1. ω(v(A)u) = A para todo u; 2. ρ∗gω = Adg−1ω.
Se H é definida por Hu := núcleo(ωu) para todo u ∈ P , então H é uma conexão sobre π : P → M .
Demonstração. Se Yu ∈ TuP , então Yu − v(ωu(Yu)) está em Hu = núcleo(ωu). De fato, ω(Yu− v(ωu(Yu))) = ω(Yu) − ω(Yu) = 0. Assim podemos escrever Yu = Yu− v(ωu(Yu)) + v(ωu(Yu)). Concluindo que TuP = Hu+ Vu. Mas, se Yu ∈ Hu∩ Vu, então Yu = v(A) para um único A e também 0 = ω(Yu) = ω(v(A)) = A, assim que, Yu = v(0) = 0. Logo temos que TuP = Hu⊕ Vu.
Suponha que Yu = Hu. Portanto, ω(Tρg(Yu)) = ρ
∗
gω(Yu) = Adg−1ω(Yu) = Adg−1(0) = 0.
Assim Tρg(Hu) ⊂ Hug. Mas, como dim Hu = dim Hug, então concluímos que Tρg(Hu) = Hug.
Definição 1.3.14. A forma de conexão é uma 1-forma ω com valores na álgebra de Lie g
que satisfaz o Teorema 1.3.13.
Seja π : P → M um G-fibrado vetorial e (φ, U ) a trivialização do fibrado, definimos sφ : U → π−1(U ) a seção local associada dada por sφ : p 7→ φ−1(p, e). Reciprocamente, se s : U → π−1(U ) é uma seção local, então φ−1(p, g) = ps(g) define as trivializações do fibrado principal. Seja ω a forma de conexão P e s uma seção definida sobre U , obtemos uma 1-forma A = s∗ω com valores na álgebra de Lie g. A é chamada forma local de conexão.
Proposição 1.3.15. Sejam s1 e s2 seções locais de P definidas sobre U1 e U2
respectiva-mente e A1 = s∗1ω e A2 = s∗2ω. Então para uma função suave f : U1∩ U2 → G tal que
s2 = s1f sobre U1∩ U2, temos que
A2 = Adg−1A1+ f∗µ.
Demonstração. Temos que A2(Xp) = s∗2ω(Xp) = ω(Ts2 · Xp). Seja Xp = ˙γ(0) para alguma
curva γ. Logo, se α : P × G → P é a ação, então temos que: Ts2 · Xp = d dt t=0s2(γ(t)) = d dt t=0s1(γ(t))f (γ(t)) = d dt α(s1(γ(t)), f (γ(t))) = T α(Ts1 · Xp, T f · Xp) = Tρg · (Ts1 · Xp) + vs1(p)f (p)(µ(T f · Xp)) = Tρg(Ts1 · Xp) + vs1(p)f (p)(f ∗ µ(Xp)). Aplicando ω, obtemos A2(Xp) = ω(Tρg · (Ts1· Xp) + f ∗ µ(Xp)) = ρ∗gω(Ts1 · Xp) + f ∗ µ(Xp) = Adg−1ω(Ts 1 · Xp) + f ∗µ(X p) = Adg−1A1(Xp) + f∗µ(Xp).
Teorema 1.3.16. Seja ω a 1-forma conexão sobre um G-fibrado principal π : P → M .
Seja {(Uα, φα)}α∈A as trivializações associadas ao G-fibrado com seções locais sα : Uα → P e ταβ : Uα∩ Uβ → G o cociclo e definimos a seguinte aplicação sβ = sαταβ. Logo, para Aα := s∗αω, α ∈ A temos que
Aβ = Adταβ−1Aα+ ταβ∗ µ.
sobre Uα∩ Uβ. Reciprocamente, se para toda trivialização (Uα, φα) com seção associada sα, existe uma 1-forma em M com valores na álgebra de Lie g tal que Aβ = Adταβ−1Aα+ ταβ∗ µ vale para quaisquer Uα, Uβ com Uα∩ Uβ não vazio, então existe uma forma de conexão ω tal que Aα := s∗αω para todo α.
Demonstração. A primeira parte do teorema segue da Proposição 1.3.15. Para a segunda parte definimos a 1-forma sobre πUα, para cada α com valores na álgebra de Lie g sobre P do seguinte modo: para p ∈ Uα, u = sα(p), Xp ∈ TpM e A ∈ g, definimos ωα(Tpsα· Xp+ vu(A)) := Aα(Xp) + A. Isso define ωα sobre o conjunto sα(Uα) ⊂ π−1(Uα). Para qualquer outro, u1 ∈ π−1(Uα) é da forma u1 = sα(p)f para uma única f que depende suavemente de p. Seja
ωα(Xu1) := Adg−1ωα(Tρg−1 · Xu1).
Falta demonstrar que se Uα∩ Uβ é não vazio, então ωα = ωβ, assim pode se juntar para definir uma forma de conexão global. Se ωα e ωβ coincidem com sβ(Uα∩ Uβ), logo elas devem coincidir com π−1(Uα∩ Uβ), porque temos que ρgωα = Adg−1ωα e ρ∗gωβ = Adg−1ωβ
para todo g ∈ G. Assim,
ωα(v(A)u) = A = ωβ(v(A)u)
para algum u ∈ π−1(Uα∩ Uβ). Só falta ver que ωβ(Tpsβ· Xp) = ωα(Tpsα· Xp) para qualquer Xp ∈ TpM . Note que ωβ(Tpsβ · Xp) = Aβ(Xp). Mas, usando os cálculos da Proposição
1.3.15temos T sβ · Xp = Tρταβ. (T sα· Xp) + vsα(p)ταβ(p)(g ∗ αβµ(Xp)), então ωα(Tpsβ · Xp) = ω(T ρταβ · (T sα· Xp) + vsα(p)ταβ(p)(g ∗ αβµ(Xp))) = ρ∗ταβωα(T sα· Xp) + ταβ∗ µ(Xp) = Adτ−1 αβ Aα(Xp) + ταβµ(Xp) = Aβ(Xp) = ωβ(Tpsβ· Xp). Logo Aα := s∗αω para todo α.
Vamos descrever o chamado fibrado de referenciais de uma variedade M , fibrado que é um exemplo mais natural de fibrado principal, e que desempenha um papel fundamental em geometria das variedades. As definições foram tomadas do livro [Ste99, Joy00]
Definição 1.3.17. Seja π : E → M um fibrado vetorial de posto n. Um fibrado vetorial
˜
π : ˜E → M de posto k < n é chamado um subfibrado vetorial se ˜E é uma subvariedade de E tal que para cada p ∈ M , a fibra ˜Em = ( ˜E ∩ Em) é um subespaço vetorial da fibra Em de E.
Seja M uma variedade n-dimensional e F (M ) o espaço definido no exemplo 1.2.4. F (M ) é um fibrado principal sobre M com fibras GL(n, R). Seja G um subgrupo de Lie de GL(n, R). Logo uma G-estrutura sobre M é um subfibrado principal P de F(M ) com fibras G.
1.4
Curvatura de uma conexão
Nesta seção serão estudados o conceito de curvatura e alguns resultados importantes, para os quais temos como referências [Lee09,dM, MM92,FM].
1.4.1
Curvatura em fibrado vetorial
Se σ : M → E é uma seção e X ∈ X(M ), então ∇Xσ é uma seção também. Assim pode se definir ∇Y∇Xσ com respeito a algum Y ∈ X(M ). Em geral, ∇Y∇Xσ 6= ∇X∇Yσ.
Definição 1.4.1. Sejam X, Y ∈ X(M ), o operador curvatura é dado pela aplicação
F (X, Y ) : Γ(E) → Γ(E) que é definida por
F (X, Y )σ := ∇X∇Yσ − ∇Y∇Xσ − ∇[X,Y ]σ,
isto quer dizer F (X, Y ) := [∇X, ∇Y] − ∇[X,Y ].
Teorema 1.4.2. Para uma seção fixa σ, a aplicação bilinear (X, Y ) 7→ F (X, Y )σ é C∞
bilinear e antissimétrica. Igualmente, F (X, Y ) : Γ(E) → Γ(E) é um C∞ homomorfismo de módulos C∞, o qual é linear sobre as funções suaves, ou seja
F (X, Y )(f σ) = f F (X, Y )(σ).
Sobre uma variedade pode se definir a derivada Lie LX : Tsr(M ) → T r
s(M ) e a derivada exterior d : Ωk(M ) → Ωk+1(M ), assim pode se estender a derivada covariante sobre os campos de tensores.
Definição 1.4.3. Seja Υ ∈ Tlk, a derivada covariante ∇Υ é definida sobre os elementos de Tl+1k por
∇Υ(µ1, . . . , µk, X, Y
1, . . . , Yl) = ∇XΥ(µ1, . . . , µk, Y1, . . . , Yl), que cumpre a regra de Leibniz, isto é, ∇X(α ⊗ β) = ∇Xα ⊗ β + α ⊗ ∇Xβ.
Com respeito ao subespaço de k tensores alternantes, temos uma aplicação ∇X : Ω(M ) → Ω(M ) que cumpre a regra de Leibniz ∇X(α ∧ β) = ∇Xα ∧ β + α ∧ ∇Xβ.
Teorema 1.4.4. Seja ω ∈ Ωk(M ) e d : Ωk(M ) → Ωk+1(M ) a derivada exterior. Se ∇ é uma derivada covariante livre de torção sobre M , então
dω(X0, X1, . . . , Xk) = k X i=0
Demonstração. Temos que dω(X0, X1, . . . , Xk) = k X i=0 (−1)iXi(ω(X0, . . . ,Xci, . . . , Xk)) + X 1≤r<s≤k (−1)r+sω([Xr, Xs], X0, . . . ,Xcr, . . . ,Xcs, . . . , Xk) = k X i=0 (−1)iXi(ω(X0, . . . ,Xci, . . . , Xk)) + X 1≤r<s≤k (−1)r+sω(∇XrXs− ∇XsXr, X0, . . . ,Xcr, . . . ,Xcs, . . . , Xk) = k X i=0 (−1)iXi(ω(X0, . . . ,Xci, . . . , Xk)) + X 1≤r<s≤k (−1)r+1ω(X0, . . . ,Xcr, . . . , ∇X rXs, . . . , Xk) −X 1 ≤ r < s ≤ k(−1)sω(X0, . . . , ∇XsXr, . . . ,Xcs, . . . , Xs) = k X i=0 ∇Xiω(X0, . . . ,Xci, . . . , Xk).
Precisamos definir a derivada covariante exterior. Portanto, definimos ∧ : Ω(M, E) × Ω(M ) → Ω(M, E), está bem definido, no sentido que (α ∧ ω) ∧ β = α ∧ (ω ∧ β) para ω ∈ Ω(M, E) e α ∈ Ω(M ). Para σ ∈ Γ(E) := Ω(M, E) e α, ω ∈ Ω(M ) este produto cumpre as seguintes regras:
1. α ∧ (σ ⊗ ω) := σ ⊗ α ∧ ω; 2. (σ ⊗ ω) ∧ α := σ ⊗ ω ∧ α; 3. α ∧ σ = σ ∧ α = σ ⊗ α.
Além disso, para α ∈ Ωk(M ) e ω ∈ Ωl(M, E), temos que α ∧ ω = (−1)klω ∧ α.
Teorema 1.4.5. Dada uma conexão ∇ sobre um fibrado vetorial π : E → M , existe um
único operador d∇: Ω(M, E) → Ω(M, E) tal que 1. d∇(Ωk(M, E)) ⊂ Ωk+1(M, E);
2. Para cada α ∈ Ωk(M ) e ω ∈ Ωl(M, E), temos que: • d∇(α ∧ ω) = dα ∧ ω + (−1)kα ∧ d∇ω;
3. d∇σ = ∇σ para σ ∈ Γ(E).
Em particular, se α ∈ Ωk(M ) e σ ∈ Ω0(M, E) = Γ(E), temos que d∇(σ ⊗ α) = d∇σ ∧ α + σ ⊗ dα.
Definição 1.4.6. O operador d∇ dado pelo teorema anterior é chamado de derivada covariante exterior.
Seja {ei} os campos de fibras para E sobre U ⊂ M . Logo, localmente, para ω ∈ Ωk(M, E), pode se escrever
ω =Xei⊗ ωi, onde ωi ∈ Ωk(M ). Assim, temos que
d∇ω = d∇(ei ⊗ ωi) = ei⊗ dωi+ d∇ei∧ ωi = ej ⊗ dωj + ω j iej∧ ωi = ej ⊗ dωj + ej⊗ ωij∧ ωi = ej ⊗ (dωj + ωij ∧ ω i ).
Logo os coeficientes da k + 1-formas de d∇ω, com respeito ao referencial {ej} são dadas por dωj+ ωij∧ ωi. O operador ∧ pode ser estendido a um operador bilinear entre Ω(M, End(E)) e Ω(M, E), de tal maneira que
(A ⊗ α) ∧ (σ ⊗ β) = A(σ) ⊗ αβ. Para α, β ∈ Ω(M ), s, σ ∈ Γ(E) e s∗ ∈ Γ(E)∗, temos que
(s ⊗ s∗ ⊗ α) ∧ (σ ⊗ β) := s∗(σ)s ⊗ (α ∧ β). Assim
∇End(E)⊗EX (L ⊗ σ) = (∇End(E)X L) ⊗ σ + L ⊗ ∇EXσ.
Proposição 1.4.7. Para cada Φ ∈ Ωk(M, End(E)) e ω ∈ Ωk(M, E), temos que d∇(Φ ∧ ω) = d∇Φ ∧ ω + (−1)kΦ ∧ d∇ω.
Demonstração. Temos que dE((A ⊗ α) ∧ (σ ⊗ β)) := dE(A(σ) ⊗ (α ∧ β)) = ∇E(A(σ)) ∧ (α ∧ β) + A(σ) ⊗ d(α ∧ β) = (−1)k(α ∧ ∇E(A(σ)) ∧ β) + A(σ) ⊗ d(α ∧ β) = (−1)k α ∧ {∇End(E)A ∧ σ + A ∧ ∇Eσ} ∧ β +A(σ) ⊗ dα ∧ β + (−1)kA(σ) ⊗ α ∧ dβ = (∇End(E)A) ∧ α ∧ σ ∧ β + (−1)kA ∧ α ∧ (∇Eσ) ∧ β +A(σ) ⊗ dα ∧ β + (−1)kA(σ) ⊗ α ∧ dβ = (∇End(E)A ∧ α + A ⊗ dα) ∧ (σ ⊗ β) +(−1)k(A ⊗ α) ∧ (∇Eσ ∧ β + σ ⊗ dβ) = dEnd(E)(A ⊗ α) ∧ (σ ⊗ β) + (−1)k(A ⊗ α) ∧ dE(σ ⊗ β). Pela linearidade concluímos que para Φ ∈ Ωk(M, End(E)) e ω ∈ Ω1(M, E), temos que
dE(Φ ∧ ω) = dEnd(E)Φ ∧ ω + (−1)kΦ ∧ dEω.
Se X, Y ∈ X(M ) e Ψ ∈ Ω2(M, End(E)), usando o seguinte isomorfismo Ω2(M, E) ∼= Λ2((M ), Γ(E)), temos que
(Ψ ∧ σ)(X, Y ) = Ψ(X, Y )σ com σ ∈ Ω(M, E).
Proposição 1.4.8. A aplicação d∇◦ d∇ : Ωk(M, E) → Ωk+2(M, E) é dada pela ação de F , a 2-forma de curvatura de ∇E,
d∇◦ d∇µ = F ∧ µ
para µ ∈ Ωk(M, E).
Demonstração. Primeiro verificamos o caso onde k = 0. Seja µ ∈ Ω1(M, E), temos que d∇µ(X, Y ) = ∇X(µ(Y )) − ∇Y(µ(X)) − µ([X, Y ])
= d∇(µ(Y ))(X) − d∇(µ(X))(Y ) − µ([X, Y ]). Logo, σ ∈ Ω0(M, E). Além disso, temos que
(d∇◦ d∇σ)(X, Y ) = ∇X(d∇σ(Y )) − ∇Y(d∇σ(X)) − σ([X, Y ]) = ∇X∇Yσ − ∇X∇Yσ − σ([X, Y ])
Mais geralmente, se µ = σ ⊗ θ, então d∇◦ d∇µ = d∇◦ d∇(σ ⊗ θ) = d∇(d∇σ ∧ θ + σ ⊗ dθ) = (d∇d∇σ) ∧ θ − d∇σ ∧ dθ + d∇σ ∧ dθ + 0 = (F ∧ σ) ∧ θ = F ∧ (σ ∧ θ) = F ∧ (σ ⊗ θ) = F ∧ µ.
Proposição 1.4.9. Seja π : E → M um fibrado vetorial e Fα = dωα + ωα ∧ ωα e Fβ = dωβ+ ωβ∧ ωβ a curvatura local de Uα e Uβ respectivamente. Temos que
Fβ = ταβ−1Fαταβ, onde ταβ : Uα∩ Uβ → GL(n, R) são funções de transição.
Demonstração. Tendo em conta que ωα = ταβ−1ωαταβ + ταβ−1dταβ e usando que d(ταβ−1) = −ταβ−1dταβταβ−1, temos que Fα = dωβ+ ωβ∧ ωβ = d(ταβ−1ωαταβ+ ταβ−1dταβ) +(ταβ−1ωαταβ+ ταβ−1) ∧ (τ −1 αβωαταβ + ταβ−1dταβ) = d(ταβ−1) ∧ ωαταβ + ταβ−1dωαταβ − ταβ−1ωα∧ dταβ−1+ d(τ −1 αβ ∧ dταβ) +ταβ−1ωα∧ ωαταβ+ ταβ−1dταβταβ−1∧ ωαταβ +ταβ−1ωUα ∧ dταβ + τ −1 αβdταβ ∧ ταβ−1dταβ = ταβ−1dωα∧ ωαταβ+ ταβ−1ωα∧ ωαταβ = ταβ−1Fαταβ, na qual usamos que ταβ−1dταβ ∧ ταβ−1dταβ = d(ταβ−1ταβ) = 0.
Seja ∇ a conexão sobre o fibrado vetorial π : E → M , uma forma simples de ver a identidade de Bianchi é a seguinte: Se U, V, W ∈ X(M ), então
[∇U, [∇V, ∇W]] + [∇V, [∇W, ∇U]] + [∇W, [∇U, ∇V]] = 0 onde [∇U, ∇V] := ∇U ◦ ∇V − ∇V ◦ ∇U.
Seja (U, x) uma carta sobre M e Fµν : Γ(E) U → Γ(E)
U a curvatura local definida por:
Fµν = [∇∂µ, ∇∂ν] = F (∂µ, ∂ν), onde ∂µ=
∂
∂xµ. Logo temos a seguinte versão da identidade de Bianchi [∇∂µ, Fνλ] + [∇∂ν, Fλν] + [∇λν, Fµν] = 0.
Proposição 1.4.10. Seja F a forma de curvatura de uma conexão ∇ sobre um fibrado
E, então a identidade de Bianchi está dada por: d∇F = 0.
1.4.2
Curvatura em fibrado principal
Seja ω0 uma conexão em um G-fibrado principal π : P → M . Uma k-forma α com
valores em g é horizontal se α(X1, . . . , Xk) = 0 toda vez que algum Xi é vertical. Ela é equivariante se R∗gα = Ad(g−1) ◦ α para todo g ∈ G. Uma k-forma horizontal e equivariante é uma k-forma no fibrado adjunto Ad(P ) → M associado à representação adjunta do grupo em sua álgebra de Lie. De fato, dada uma k-upla (X1, . . . , Xk) de campos de vetores em M , a função f : P → g definida por f = α(dX1, . . . ,Xck), com Xcj o levantamento horizontal de Xj, é uma função equivariante e, portanto, uma seção do fibrado adjunto. Em particular a cada forma de conexão ω podemos associar a forma horizontal e equivariante ω − ω0 e portanto, uma 1-forma em M com valores no fibrado adjunto.
Se a fibra sobre cada ponto tem uma estrutura de álgebra de Lie e α, β são 1-formas com valores no fibrado, podemos definir a 2-forma
[α, β](X, Y ) = [α(X), β(Y )] − [α(Y ), β(X)],
onde no segundo membro estamos usando, sobre cada ponto, o colchete da fibra correspon-dente. Um caso importante é a 1-forma α de Maurer-Cartan no grupo de Lie G com valores em g. Assim, se X é um campo de vetores invariante à esquerda em G, então α(X) é con-tante. Lembramos que o colchete de Lie é o colchete de Lie dos correspondentes campos in-variantes à esquerda. Logo, se α é a forma de Maurer-Cartan, e X, Y são campos de vetores invariantes à esquerda temos que dα(X, Y ) = Xα(Y ) − Y α(X) − α([X, Y ]) = −α([X, Y ]). Logo,
dα = −[α, α].
Em uma trivialização local do fibrado associado, temos α = X I
αIdxI e β = X
J
βJdxJ com αI e βJ aplicações do aberto trivializador em g. Daí,
[α, β] =X I,J
[αI, βJ]dxI∧ dxJ.
Definição 1.4.11. (Derivada exterior covariante) Seja ω uma conexão no fibrado principal
π : P → M . A derivada covariante de uma k-forma η com valores na álgebra de Lie g é a k + 1 forma dωη definida por
dωη(X1, . . . , Xk1) = dη(X
H
1 , . . . , X
H k+1), onde dω é a derivada exterior usual e Xj(p) = XjH(p) + X
V
j (p), com X H
j (p) ∈ Hp e XjV(p) ∈ Vp. A curvatura da conexão ω é a derivada covariante da própria forma da conexão:
Se uma k forma η é equivariante, então sua derivada exterior também o é, bem como a derivada covariante dωη. Portanto, a curvatura de uma conexão é uma 2-forma equivariante.
Teorema 1.4.12. ( Equação de Cartan) A curvatura Ω de uma conexão ω em um fibrado
principal satisfaz a equação:
Ω = dω + [ω, ω]. Demonstração. Temos que
dω(X, Y ) = Xω(Y ) − Y ω(X) − ω([X, Y ]). Vamos considerar vários casos.
1. Suponha que X(z), Y (z) ∈ Vz. Nesse caso o primeiro membro se anula. Para calcular o segundo membro no ponto z, podemos substituir os campos X e Y por campos de vetores verticais X ef Y que coincidem com X e Y no ponto z e que, em cada pontoe w, Lw(X(w)) = Lf z(X(z)) e Lw(Y (w)) = Le z(Y (z)). Logo ω(X) e ω(f Y ) são funçõese constantes e, portanto,
dω(z)(X(z), Y (z)) = −ω[X,f Y ](z).e 2. Se v, w ∈ TzP são dois vetores horizontais, então
Ω(z)(v, w) = dω(v, w)
e [ω, ω](z)(v, w) = [ω(z)v, ω(z)w] = 0. Temos ainda que a equação de Cartan também é verificada nesse caso.
3. Resta considerar o caso em que v ∈ Vz e w ∈ Hz. Seja a ∈ g e Rz(g) = ρ(z, g), sendo ρ a ação do fibrado tal que DRz(id)(a) = v. Então Xt : P → P , Xt(z) = Rexp(ta)(z), é o fluxo do campo vertical X definido por X(y) = DRy(id)a. Seja Y
um campo horizontal tal que Y (z) = w. Como Ω é uma forma horizontal, temos que Ω(X, Y ) = 0. Por outro lado, ω(X) é a função contante igual a a e ω(Y ) = 0. Portanto Xω(Y ) + Y ω(X) = 0. O colchete de Lie dos campos satisfaz a equação [X, Y ] = LX(Y ) = d dtX ∗ tY
t=0. Como Y é um campo horizontal e Xt = Rexp(ta), temos que Xt∗Y é um campo horizontal para todo t e, consequentemente, [X, Y ] é um campo horizontal, o que implica ω([X, Y ]) = 0 e concluímos a prova da equação de Cartan.
Proposição 1.4.13. ( Equação de Bianchi) A curvatura Ω de uma conexão ω de um
fibrado principal satisfaz à equação
Demonstração. Pela equação de Cartan, temos que dΩ = [dω, ω] − [ω, dω],
pois d2ω = 0. Por outro lado, tomando uma carta local no fibrado, podemos mostrar a igualdade abaixo:
dΩ − [Ω, ω] = [[ω, ω], ω].
Usando novamente a expressão do segundo membro em uma carta local vemos que essa forma se anula, consequência da identidade de Jacobi na álgebra de Lie.
1.4.3
Transporte paralelo e holonomia
Vamos definir transporte paralelo, na qual temos como referência utilizada [Joy00]. Seja π : E → M um fibrado vetorial sobre uma variedade, ∇ a conexão sobre E, γ : [a, b] → M uma curva suave em M e γ∗E o fibrado sobre [0, 1] equipado com a conexão γ∗∇E = ∇γ.
Definição 1.4.14. A seção σ ∈ Ω0(γ∗E) é paralela ao longo de γ se ∇γσ = 0.
Suponhamos que γ∗E tem trivializações sobre [0, 1] (Como o intervalo é fechado, então é contrátil, assim sempre é possível ter as trivializações). Temos que, existe um difeomorfismo
Ψ : [0, 1] × Rn → γ∗E,
tal que, Ψ(t, ·) : t × Rn→ Eγ(t) é um isomorfismo linear para cada t ∈ [0, 1]. Seja {ei} a base canônica de Rn, e
{i(t) = Ψ(t, e i)}
forma uma base para γ∗E com t ∈ [0, 1]. A seção σ de γ∗E é dada por σ = ifi, onde fi : [0, 1] → R são funções a valor real.
Teorema 1.4.15. Para cada v ∈ Eγ(0), existe uma única seção paralela σ ∈ Ω0(γ∗E) tal que σ(0) = v.
Definição 1.4.16. O transporte paralelo ao longo de γ é a aplicação
Pγ : Eγ(0) → Eγ(1),
dada por Pγ(v) = σ(1), onde σ é a única seção paralela de γ∗E tal que σ(0) = v.
Definição 1.4.18. Seja M uma variedade, E um fibrado vetorial sobre M e ∇E a conexão sobre M . Assim, γ é dito um laço baseado em x se γ : [0, 1] → M é um caminho suave por partes com γ(0) = γ(1) = x.
Se γ é um laço baseado em x, temos que a aplicação de transporte paralelo Pγ é uma aplicação linear invertível, assim que, Pγ está contido em GL(Eγ(0)), o grupo de transformações lineares invertíveis de Eγ(0).
Definição 1.4.19. Seja p ∈ M . Definimos o Grupo de Holonomia Holx(∇E) de ∇E baseado em x como:
Holx(∇) := {Pγ : γ laço baseado em x}. (1.1) Supondo M conexa, considere x, y ∈ M e γ : [0, 1] → M uma curva diferenciável por partes, com γ(0) = x e γ(1) = y. Seja α um laço baseado em x, então γαγ−1 é um laço baseado em y e Pγαγ−1 = Pγ◦ Pα◦ Pγ−1, onde Pγ−1 = Pγ−1. Daí, se Pα ∈ Holx(∇), então
Pγ◦ Pα◦ Pγ−1 ∈ Holy(∇). Logo temos a identidade
PγHolx(∇)Pγ−1 = Holy(∇). (1.2) Isto mostra que no caso conexo o grupo de holonomia é independente do ponto base x, assim o grupo de holonomia é um invariante global da conexão.
1.5
Introdução a variedades riemannianas
Nesta seção vamos ver propriedades de variedades Riemannianas, as quais são impor-tantes no desenvolvimento deste trabalho. Como referências temos [Lee09], [dM], [DC] e [Lee06].
Uma métrica Riemanniana de classe Ck em um aberto U ⊂ Rm é uma aplicação que, em cada x ∈ U , associa um produto interno
D ·, ·E x : R m × Rm → R
tal que para todo par de campos de vetores X, Y : U → Rm de classe Ck a função x ∈ U 7→DX(x), Y (x)E
x ∈ R é de classe de C k.
Sejam ∂
∂xi : U → R
m os campos de vetores x 7→ (0, . . . , 1, . . . , 0), em que a i−ésima coordenada é igual 1 e as demais são 0. Considere a matriz G(x) = [gij(x)]ij, em que gij(x) = ∂ ∂xi, ∂ ∂xj
x. Se pensarmos cada vetor v ∈ R
m como uma matriz m × 1, então
gij(x) = gji(x) para todo x ∈ U vt· G(x) · v > 0 para todos x ∈ U, v ∈ R. (1.3)
Reciprocamente, se uma matriz de funções G = (gij) satisfaz as condições acima, então ela define uma métrica Riemanniana pela fórmula
D v, wE
x = v
t· G(x) · w.
Uma métrica Riemanniana sobre uma variedade M , de classe Ck, é definida como uma aplicação que a cada x ∈ M associa um produto interno
D ·, ·E
x : TxM × TxM → R,
tal que para todo par de campos de vetores X, Y de classe Ck em M , a função x ∈ M 7→ D
X(x), Y (x)E
x é de classe C k.
Se {ϕi : Ui ⊂ M → ˜Ui ⊂ Rm} é um atlas Ck+1 em M , uma métrica Riemanniana em M pode ser identificada como uma família de métricas Riemannianas em cada ˜Ui, tal que as mudanças de coordenadas são isométricas.
Mais geralmente, uma forma bilinear simétrica de classe Ck em M é uma função B que associa, a cada x ∈ M , uma forma bilinear simétrica B(x) : TxM × TxM → R tal que para todo par de campos vetoriais X e Y de classe Ck a aplicação x 7→ B(x)(X(x), Y (x)) é Ck. Portanto, uma métrica Riemanniana é uma forma bilinear simétrica de classe Ck que é positiva definida: B(x)(v, w) > 0 se v, w ∈ TxM \ {0}.
Proposição 1.5.1. Toda variedade M de classe Ck+1 admite métrica Riemanniana de classe Ck.
Definição 1.5.2. Uma métrica Riemanniana em M é completa se M , com a função
distância correspondente, é um espaço métrico completo, isto é, toda sequência de Cauchy em M é convergente.
Definição 1.5.3. Ao par (M, g) onde M é uma variedade munida de uma métrica g e
dá-se nome de Variedade Riemanniana
Seja (e1, . . . , en) referenciais locais para T M e (ϕ1, . . . , ϕn) as cofibras duais, uma métrica Riemanniana pode ser escrita localmente como
g = gijϕi⊗ ϕj. A matriz dos coeficientes definida por gij =
D ∂i, ∂j
E
, é simétrica em i e j e depende suavemente de p ∈ M . Em particular, na fibra coordenada, g tem a forma
g = gijdxi⊗ dxj. E da simetria de gij o anterior é equivalente a
