1.3 Vetores no R 3
1.3.2 Produto vetorial e misto
Suponha que temos um parafuso fixo e uma chave de fenda conectada a ele. A chave de fenda ´e um corpo r´ıgido e podemos associ´a-la a um vetor v, cujo comprimento coincide com o dela. Queremos enroscar esse parafuso girando a chave. Para tanto, aplicamos uma for¸ca F no extremo da chave, oposto ao do parafuso, que forma um ˆangulo ✓ com a chave.
Suponha que o parafuso est´a na origem (0, 0, 0). O movimento resultante do parafuso ´e chamado de Torque e pode ser associado a um vetor. Como obtˆe-lo? ´E f´acil perceber que o parafuso se movimentar´a em dire¸c˜ao perpendicular `a chave e `a for¸ca aplicada no extremo da chave, que ´e seu eixo de rota¸c˜ao. O vetor Torque (T ) na origem ´e obtido por um c´alculo entre vetores chamado Produto Vetorial, escreve-se T = v⇥ F .
H´a muitas aplica¸c˜oes de Produto Vetorial na F´ısica, por exemplo, para o c´alculo da for¸ca exercida sobre uma part´ıcula carregada e mergulhada num campo magn´etico, desde que esse campo seja constante e a carga unit´aria. Aparece no c´alculo do Momento Angular. Em Computa¸c˜ao Gr´afica, ´e bastante utilizado para calcular a normal de um triˆangulo ou outro pol´ıgono, isso permite criar efeitos que simulam ilumina¸c˜ao e assim obter gr´aficos mais realistas, dentre outras aplica¸c˜oes.
Defini¸c˜ao 1.3.2
Sejam u e v vetores do R3 e ✓ o ˆangulo entre eles. Definimos o produto vetorial u⇥ v por um vetor tal que:
i. u⇥ v tem dire¸c˜ao perpendicular a u e v.
ii. u⇥ v tem sentido dado pela Regra da M˜ao Direita, isto ´e, com a m˜ao direita aberta apoiamos o dedo m´ınimo no vetor u, gire os dedos, deixando a palma da m˜ao fixa, at´e chegar em v, o sentido de u⇥ v ser´a aquele apontado pelo dedo polegar da m˜ao.
iii. ku ⇥ vk = kuk kvk sin(✓) ´e o seu comprimento, que corresponde `a ´area do paralelogramo gerado por u e v.
Propriedades 1.3.1
Sejam u, v e w vetores doR3 e ↵2 R 1. u⇥ v = (v ⇥ u)
2. u⇥ v = 0 ) u = ↵v
3. u· (u ⇥ v) = v · (u ⇥ v) = 0 4. ↵(u⇥ v) = (↵u) ⇥ v = v ⇥ (↵u)
Justificativas: 1. Pela Regra da M˜ao Direita, segue a justificativa de mudan¸ca de sentido. 2. Se u⇥ v = 0, ent˜ao kuk kvk sin(✓) = 0, ✓ ´e o ˆangulo entre u e v. Logo, sin(✓) = 0 e
ent˜ao ✓ = 0, uk v.
u⇥ v multiplicado pelo ˆangulo entre eles. Como u ⇥ v tem dire¸c˜ao perpendicular a u, ent˜ao o produto interno ser´a 0. De modo an´alogo, v· (u ⇥ v) = 0.
4. Multiplicar um vetor por uma constante n˜ao altera a dire¸c˜ao, no m´aximo o sentido. Se ↵ > 0, ent˜ao os sentidos de u⇥ v e de u n˜ao mudar˜ao ao multiplicar por ↵. Assim, ↵(u⇥ v) e (↵u) ⇥ v tˆem mesmo sentido. Em rela¸c˜ao ao m´odulo:
k↵(u ⇥ v)k = |↵| ku ⇥ vk = |↵| kuk kvk sin(✓). Por outro lado,
k(↵u) ⇥ v)k = k↵uk kvk sin(✓) = |↵| kuk kvk sin(✓). Logo, tˆem mesma dire¸c˜ao, mesmo sentido e mesmo comprimento.
Defini¸c˜ao 1.3.3
Chamamos os vetores i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1) de vetores canˆonicos. Note que todo vetor do R3 pode ser escrito como uma soma de m´ultiplos de i, j e k:
(a, b, c) = ai + bj + ck.
Chamamos essa escrita de combina¸c˜ao linear de i, j e k. Pela Regra da M˜ao Direita e as propriedades anteriores, temos
Propriedades 1.3.2 a) i⇥ i = j ⇥ j = k ⇥ k = (0, 0, 0) b) i⇥ j = k c) j⇥ k = i d) k⇥ i = j e) j⇥ i = k f) k⇥ j = i g) i⇥ k = j Teorema 1.3.1 Sejam u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2), ent˜ao u⇥ v = (y1z2 y2z1, x1z2+ x2z1, x1y2 x2y1).
Demonstra¸c˜ao: reescrevendo os vetores usando os canˆonicos, temos u = x1i + y1j + z1k e v = x2i + y2j + z2k. Pelas Propriedades 1.3.1 e 1.3.2, u⇥ v = (x1i + y1j + z1k)⇥ (x2i + y2j + z2k). Distribuindo: u⇥ v = (x1x2)i⇥ i + (x1y2)i⇥ j + (x1z2)i⇥ k + (y1x2)j ⇥ i + (y1y2)j⇥ j + (y1z2)j⇥ k + (z1x2)k⇥ i + (z1y2)k⇥ j + (z1z2)k⇥ k = (x1y2)i⇥ j + (x1z2)i⇥ k + (y1x2)j⇥ i + (y1z2)j⇥ k + (z1x2)k⇥ i + (z1y2)k⇥ j = (x1y2)k + (x1z2)( j) + (y1x2)( k) + (y1z2)i + (z1x2)j + (z1y2)( i) = (y1z2 z1y2)i + (z1x2 x1z2)j + (x1y2 y1x2)k.
Uma maneira pr´atica de calcular o produto vetorial ´e o conhecido M´etodo de Sarrus. Basta dispor em linha reta i, j e k. Abaixo deles, colocar os vetores u e v, e repetimos as duas primeiras colunas, como a seguir:
i j k i j
x1 y1 z1 x1 y1 x2 y2 z2 x2 y2
Agora, trace trˆes diagonais, cada uma com trˆes valores, da esquerda para a direita e multiplique-os. Depois, diagonais da direita para a esquerda e multiplique-os. Subtraia os valores e encontre o produto vetorial.
Exemplo 1.3.2 Sejam u = (1, 2, 3) e v = (4, 5, 6), calcular u⇥ v. Solu¸c˜ao: i j k i j 1 2 3 1 2 4 5 6 4 5
As diagonais s˜ao: 12i, 12j, 5k da esquerda para direita. E, 8k, 15i, 6j da direita para a esquerda. Ent˜ao: u⇥v = 12i+12j +5k 8k 15i 6j = 3i+6j 3k = ( 3, 6, 3).
Exemplo 1.3.3
Calcular a ´area do triˆangulo com v´ertices em (0, 0, 1), (1, 2, 1) e (3, 2, 0).
Solu¸c˜ao: Chame A = (0, 0, 1), B = (1, 2, 1) e C = (3, 2, 0), assim o triˆangulo tem lados AB, AC e BC. Vamos escolher arbitrariamente dois de seus lados, por exemplo AB e AC. Sejam u o vetor AB, e v o vetor AC, ent˜ao u = (1, 2, 0) e v = (3, 2, 1). Sabemos que ku ⇥ vk ´e a ´area do paralelogramo gerado por u e v, ent˜ao metade desse valor ser´a a
´area do triˆangulo. Usando o m´etodo anterior, obtemos que u⇥ v = ( 2, 1, 4) , ent˜ao ku ⇥ vk =p4 + 1 + 16 =p
21. A ´area ser´ap 21/2.
Defini¸c˜ao 1.3.4
O Produto Misto ou Produto Triplo Escalar de u, v e w ´e definido como (u⇥v)·w. O Produto Misto ´e um n´umero real, e uma de suas aplica¸c˜oes ´e no c´alculo do volume do paralelep´ıpedo, determinado por u, v e w.
Propriedades 1.3.3
O volume do paralelep´ıpedo determinado por u, v e w ´e|(u ⇥ v) · w|.
Demonstra¸c˜ao: o volume ´e igual `a ´area da base vezes a altura do paralelep´ıpedo. Considere a base formada por u e v, ent˜ao a ´area da base ser´a
kuk kvk sin(✓) = ku ⇥ vk .
Ao projetarmos w no plano formado por u e v, obtemos um triˆangulo retˆangulo, a altura ser´a kwk | sin( )|, ´e o ˆangulo entre w e o plano formado por u e v. Assim, o volume ser´a
kuk kvk sin(✓) kwk | sin( )| = ku ⇥ vk kwk | sin( )|.
Observe que o ˆangulo que w faz com u⇥ v ´e igual a ⇡/2 . E sin( ) = cos(⇡/2 ), e o volume do paralelep´ıpedo ser´a
ku ⇥ vk kwk | cos(⇡/2 )| = |(u ⇥ v) · w|.
Propriedades 1.3.4
Dados os vetores u, v e w, vale (u⇥ v). w = u · (v ⇥ w).
Demonstra¸c˜ao: segue da defini¸c˜ao de produto interno e do Teorema 1.3.1.
Outra aplica¸c˜ao interessante de Produto Misto ´e sobre coplanaridade. Dados trˆes vetores n˜ao paralelos, como saber se est˜ao no mesmo plano? Basta calcular o produto misto dos vetores em qualquer ordem. Caso o resultado do produto misto dˆe zero, ent˜ao esses vetores s˜ao coplanares.
Exemplo 1.3.4
Dados quatro pontos distintos do espa¸co A = (1, 2, 3), B = ( 1, 2, 0), C = ( 1, 1, 2) e D = (2, 1, 0), verificar se est˜ao no mesmo plano.
Solu¸c˜ao: Tome os vetores AB, AC e AD. Se esses trˆes vetores estiverem no mesmo plano, ent˜ao os quatro pontos s˜ao coplanares. Caso contr´ario, esses vetores geram um
paralelogramo e, portanto, h´a um volume relacionado a ele. Vamos calcular|(AB ⇥AC)· AD| = |( 3, 4, 2) ⇥ (1, 1, 3)| = 13. Logo, os trˆes vetores geram um paralelep´ıpedo e, por conseguinte, s˜ao n˜ao coplanares.
Lista de exerc´ıcios 1
1) O que ´e um vetor? O que o caracteriza?
2) O que s˜ao representantes de vetores? E vetores opostos? Dˆe exemplo de cada um deles.
3) Qual o vetor soma de dois vetores perpendiculares entre si cujos m´odulos s˜ao 1 e 2 unidades?
4) A soma de dois vetores de m´odulos diferentes pode ser nula? Tente explicar. 5) Calcule o m´odulo do vetor a + b em cada caso abaixo.
a) b) c) b a 45 b 120 a b 90 a Dados 8 > > > < > > > : a = 3 cm b = 5p 2 cm cos 45 = p22 Dados 8 > > > < > > > : a = 5 cm b = 8p 2 cm cos 120 = 0, 5 Dados 8 < : a = 10 cm b = 5p 2 cm
6) Um proj´etil ´e atirado com velocidade de 400m/s fazendo um ˆangulo de 45º com a horizontal. Determine as componentes vertical e horizontal da velocidade do proj´etil. 7) Qual a diferen¸ca entre vetor velocidade e velocidade escalar?
8) (UnB-DF) Sobre a composi¸c˜ao dos vetores a seguir, podemos dizer que: v1
v2
v3
a) v1+ v2+ v3 = v4 b) v1+ v2+ v3+ v4 = 0
c) v1+ v2+ v3 = v4 d) v1+ v2+ v3 = v4
9) Determine o m´odulo e represente, por meio de um vetor, a for¸ca resultante do sistema de for¸cas. a b c d 4N 3N 5N 3N 2N
10) Sejam A = (1, 2), B = (3, 2) e C = (2, 4). Determine D para que ABCD seja um paralelogramo.
11) Se v , w e u s˜ao vetores do R3 e c um escalar, explique se faz sentido as express˜oes:
ku.vk , v.u + w, w.(v.u) e c(u + v).
12) Calcule a ´area do triˆangulo ABC, onde A = (1, 2, 4), B = (2, 1, 0) e C = (0, 3, 1). Verifique se ele ´e retˆangulo.
13) Se a proje¸c˜ao de v em u pode ser calculada por projuv = ⇣ u.v u.u
⌘
u , ent˜ao calcule a proje¸c˜ao de v em u e de u em v para v = (1, 2, 1) e u = (2, 0, 1).
14) Encontre todos os vetores que s˜ao ortogonais a (3, 1).
15) Sob que condi¸c˜oes ku + vk = kuk + kvk e ku + vk = kuk kvk? 16) Usando as propriedades do produto interno, mostre que
a) (u + v)(u v) = kuk2 kvk2
b) ku + vk2+ku vk2 = 2kuk2+ 2kvk2
c) ku + vk = ku vk se, e somente se, u e v s˜ao ortogonais.
a) v + w b) v w c) 2v w
18) Justifique por que o produto misto de trˆes vetores ser zero significa que eles s˜ao copla-nares.
19) Verifique se os pontos A = (1, 2, 1), B = (0, 1, 1), C = (1, 1, 0) e D = (1, 3, 1) s˜ao coplanares.
20) Calcule o volume do paralelep´ıpedo que tem um dos v´ertices no ponto A = (2,1,6) e os trˆes v´ertices adjacentes nos pontos B = (4,1,3), C = (1.3,2) e D = (1,2, 1).
21) Calcule a ´area do triˆangulo ABC, onde A = (2,1,6) , B = (4,1,3) e C = (1,3,2). 22) Prove que v⇥ (w + u) = v ⇥ w + v ⇥ u e (v + w) ⇥ u = u ⇥ u + w ⇥ u. 23) Sejam u = (1, 3, 0) e v = ( 1, 2, 1).
a) Encontre o vetor unit´ario e paralelo a 2u v b) Ache o ˆangulo entre u e v
24) Mostre que v = w
kwk ´e unit´ario, isto ´e, kvk = 1, para todo vetor w.
25) Encontre as coordenadas do ponto m´edio do segmento com extremos em A e B no espa¸co.
26) Uma for¸ca u de m´odulo igual a 3, 5N ´e aplicada sobre um corpo que se encontra no ponto B na dire¸c˜ao de A0 fazendo um ˆangulo de 30 , como mostrado na figura a seguir:
1 2 3 4 5 1 2 3 B A0 30 v
27) (PUC-RJ-2008) Um veleiro deixa o porto navegando 70 km em dire¸c˜ao leste. Em seguida, para atingir seu destino, navega mais 100 km na dire¸c˜ao nordeste. Despre-zando a curvatura da terra e admitindo que todos os deslocamentos s˜ao coplanares, determine o deslocamento total do veleiro em rela¸c˜ao ao porto de origem. (Considere p
2 = 1, 4 e p
5 = 2, 2).
28) Dados v = (1, 2, 1) e w = (0, 3, 2), encontre o ˆangulo entre v e w e a norma (comprimento) de v 2w .