ÁLGEBRA LINEAR com GEOMETRIA ANALÍTICA

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ÁLGEBRA LINEAR

com

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Reitor

José Daniel Diniz Melo

Vice-Reitor

Henio Ferreira de Miranda

Diretoria Administrativa da EDUFRN

Maria da Penha Casado Alves (Diretora) Helton Rubiano de Macedo (Diretor Adjunto) Bruno Francisco Xavier (Secretário)

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Helton Rubiano (Coordenador) Kamyla Alvares (Editora)

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Wildson Confessor (Coordenador) Renata Coutinho (Colaboradora)

Revisão técnica

Fagner Lemos de Santana

Paulo Roberto Ferreira dos Santos Silva Nir Cohen

Design editorial

Débora Borges Ferreira (Diagramação)

Guilherme Francisco do Nascimento (Diagramação) Rafael Campos (Capa)

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Débora Borges Ferreira

Julia Victoria Toledo Benavides

ÁLGEBRA LINEAR

com

GEOMETRIA ANALÍTICA

Natal 2021

ÁLGEBRA LINEAR

com

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Fundada em 1962, a Editora da UFRN (EDUFRN) permanece até hoje dedicada à sua principal missão: produzir livros com o fim de divulgar o conhecimento técnico-científico produzido na Universidade, além de promover expressões culturais do Rio Grande do Norte. Com esse objetivo, a EDUFRN demonstra o desafio de aliar uma tradição de quase seis décadas ao espírito renovador que guia suas ações rumo ao futuro.

Todos os direitos desta edição reservados à EDUFRN – Editora da UFRN Av. Senador Salgado Filho, 3000 | Campus Universitário

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Álgebra linear com geometria analítica [recurso eletrônico] / Débora Borges Ferreira, Julia Victoria Toledo Benavides. – Dados eletrônicos (1 arquivo : 10 MB). – Natal, RN : EDUFRN, 2021.

Modo de acesso: World Wide Web <repositório.ufrn.br>

Título fornecido pelo criador do recurso ISBN 978-65-5569-181-8

1. Álgebra linear. 2. Geometria analítica. 3. Matrizes. 4. Equações lineares. I. Benavides, Julia Victoria Toledo. II. Título.

CDD 512.5

RN/UF/BCZM 2021/31 CDU 512.64

Elaborado por Gersoneide de Souza Venceslau – CRB-15/311

Publicação digital financiada com recursos do Fundo Editorial da UFRN. A seleção da obra foi realizada pelo Conselho Editorial da EDUFRN, com base em avaliação cega por pares, a partir dos critérios definidos no Edital nº 4/2019-EDUFRN, para a linha editorial Recursos didático-pedagógicos.

Coordenadoria de Processos Técnicos

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Pref´acio

Este livro é introdutório e nos deteremos à Álgebra Linear no plano R2 _{e no espa¸co} R3_{. Ele surgiu como notas de aulas da disciplina ´}_{Algebra Linear Básica ofertada pelo} Departamento de Matemática da UFRN.

No primeiro cap´ıtulo, tratamos de vetores na ótica de Geometria Anal´ıtica que é o cálculo de produto interno, produto vetorial e misto para aplica¸cões no estudo das equa¸cões da reta e do plano, do cálculo de áreas, volumes e distâncias. No Cap´ıtulo 2, definimos matrizes reais e suas opera¸cões. No Cap´ıtulo 3, estudamos sistemas de equa¸cões lineares e usamos os Cap´ıtulos 1 e 2 para auxiliar na solu¸cão dos sistemas e entender geometricamente suas representa¸cões. O Cap´ıtulo 4 se dedica a encontrar métodos clássicos para a resolu¸cão de sistemas com uso de Determinantes e Regra de Cramer.

(7)

Sum´ario

Pref´acio 6

1 Vetores e geometria anal´ıtica 10

1.1 No¸c˜oes preliminares . . . 10

1.2 Vetores do R2 _{. . . 11}

1.2.1 Adi¸c˜ao de vetores no R2 _{. . . 12}

1.2.2 Produto de um escalar por um vetor . . . 13

1.2.3 Produto interno ou escalar no R2 _{. . . 20}

1.3 Vetores no R3 _{. . . 24}

1.3.1 Opera¸c˜ao com vetores em R3 _{. . . 25}

1.3.2 Produto vetorial e misto . . . 25

1.4 Equa¸c˜ao da reta . . . 33

1.4.1 Equa¸c˜ao da reta no R2 _{. . . 33}

1.4.2 Equa¸c˜ao da reta no R3 _{. . . 35}

1.5 Equa¸c˜ao do plano . . . 36

1.6 Interse¸c˜ao de retas e planos . . . 38

1.6.1 Posi¸c˜oes de retas no R2 _{. . . 38}

1.6.2 Posi¸c˜oes de retas no R3 _{. . . 39}

1.7 Posi¸c˜oes de planos . . . 41

1.7.1 Posi¸c˜oes entre retas e planos . . . 42

1.8 Distˆancias no espa¸co: d(., .) . . . 43

1.8.1 Distˆancia entre pontos . . . 43

1.8.2 Distˆancia entre um ponto e um plano . . . 43

1.8.3 Distˆancia entre um ponto e uma reta . . . 44

1.8.4 Distˆancia entre planos . . . 45

(8)

8 SUM ´ARIO

1.9 Interse¸c˜ao de esferas . . . 46

2 Matrizes 49 2.1 Matrizes: defini¸c˜oes e exemplos . . . 49

2.1.1 Tipos especiais de matrizes . . . 51

2.2 Opera¸c˜oes com matrizes . . . 52

2.2.1 Adi¸c˜ao de matrizes . . . 52

2.2.2 Multiplica¸c˜ao por um escalar . . . 52

2.2.3 Multiplica¸c˜ao de uma matriz por outra n_{⇥ 1 . . . 53}

2.2.4 Produto de matrizes . . . 54

2.2.5 Associando matrizes m_{⇥ n com pontos do R}mn _{. . . 54}

2.2.6 Matrizes particionadas em vetores coluna . . . 55

2.3 Transposi¸c˜ao de matrizes . . . 60

3 Sistemas de equa¸c˜oes lineares 64 3.1 Defini¸c˜oes e exemplos . . . 64

3.1.1 Interpreta¸c˜ao geom´etrica de um sistema 2x2 . . . 67

3.2 Matriz na forma escada . . . 69

3.2.1 Elimina¸c˜ao de Gauss . . . 72

3.3 Interpreta¸c˜ao geom´etrica noR3 _{. . . 78}

4 Determinantes e matrizes inversas 83 4.1 Determinantes . . . 83

4.2 Desenvolvimento de Laplace . . . 85

4.3 Matriz adjunta e matriz inversa . . . 89

4.4 Regra de Cramer . . . 91

4.5 C´alculo do posto por determinantes . . . 93

4.6 Invers˜ao de matrizes usando o m´etodo de Gauss . . . 95

5 Espa¸cos vetoriais 98 5.1 Espa¸cos vetoriais: defini¸c˜oes e exemplos . . . 98

5.2 Subespa¸cos vetoriais . . . 100

5.3 Combina¸c˜ao linear . . . 102

5.4 Dependˆencia e independˆencia linear . . . 103

5.4.1 Base de espa¸co e mudan¸ca de base . . . 105

5.5 Matriz mudan¸ca de base . . . 109

6 Transforma¸c˜oes lineares 115 6.1 Transforma¸c˜oes lineares do plano no plano . . . 117

6.1.1 Dilata¸c˜ao ou contra¸c˜ao . . . 117

(9)

6.1.3 Reflex˜ao na origem . . . 119

6.1.4 Rota¸cão no sentido anti-horário de um ângulo ✓ . . . 119

6.1.5 Cisalhamento horizontal . . . 120

6.2 Imagem e n´ucleo de uma transforma¸c˜ao linear . . . 121

(10)

CAP´ITULO

1 Vetores e geometria anal´ıtica

1.1 No¸c˜

oes preliminares

A palavra vetor vem do latim e significa carregar. É um elemento matemático que tem infinitas aplica¸cões nas mais diversas áreas da ciência. De modo mais comum, vetor é associado ao movimento de uma part´ıcula de um ponto A a um ponto B. É também usado para representar grandezas f´ısicas como velocidade de um corpo ou de uma rea¸cão qu´ımica, polaridade de uma molécula, for¸ca, impulso, campo elétrico e magnético, torque e outros. Tais grandezas, para serem identificadas, precisam de dire¸cão, sentido e magnitude.

Defini¸c˜ao 1.1.1

Vetores são segmentos de reta orientados no plano ou no espa¸co, partindo da origem do sistema coordenado. A dire¸cão do vetor é determinada pela reta em que o segmento se encontra, o sentido é a orienta¸cão dada, e o comprimento é chamado de magnitude.

Denotaremos aqui vetores por letras em negrito. Representamos um vetor pela sua ex-tremidade, uma vez que ela determina todas as caracter´ısticas de um vetor. Por exemplo, para vetores no R3 _{temos como exemplo v = (1, 0, 0).}

(11)

extremidade em A e B ser um representante de v.

B

A

Figura 1.1: Representante de v Fonte: autoria pr´opria

1.2 Vetores do

R

2

Os vetores doR2 _{têm a representa¸cão v = (x, y) tais que x e y são n´}_{umeros reais. Em} coordenadas cartesianas, a primeira entrada x é chamada de coordenada das abscissas, e a segunda y é das ordenadas. Na figura a seguir, temos três vetores. Observe que BA = CD = v e que BA tem mesma dire¸cão de CE , mas sentido contrário.

x y A B C E D

Figura 1.2: Vetores no plano Fonte: autoria pr´opria

(12)

Para aplica¸cões na F´ısica, suponha que um corpo se locomove no espa¸co com o passar do tempo, denominamos de vetor posi¸cão aquele cuja extremidade coincide com a loca-liza¸cão do corpo. Por exemplo, se um objeto sai da origem e se locomove sobre a reta y = x com velocidade constante p2 m/s; então, dado um tempo t em segundos, o corpo estará em localizado na extremidade do vetor posi¸cão (t, t). Assim, seu deslocamento pode ser representado pela fun¸cão vetorial P (t) = (t, t), t_{2 R.}

1.2.1 Adi¸c˜

ao de vetores no

R

2

Defini¸c˜ao 1.2.1

Sejam v1 = (x1, y1) e v2 = (x2, y2) vetores do R2. Definimos a soma por v1+ v2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1+ y2).

Para representar o vetor soma, verificamos que v1 + v2 coincide com a diagonal do paralelogramo de lados v1 e v2. Esse ´e um bom exerc´ıcio de Geometria Euclidiana Plana.

x y (0, 0) (x1, y1) v1 (x2, y2) v2 v1+ v2 (x1+ x2, y1+ y2)

Figura 1.3: Soma de vetores Fonte: autoria pr´opria

Na Figura 1.3, tem-se que v1+ v2 ´e a diagonal do paralelogramo de lados em v1 e v2.

Defini¸c˜ao 1.2.2

Definimos tamb´em o vetor diferen¸ca

v1 v2 = (x1, y1) (x2, y2) = (x1 x2, y1 y2).

(13)

Exemplo 1.2.1

Se v = (1, 2) e u = (3, 0), ent˜ao

v + u = (1, 2) + (3, 0) = (1 + 3, 2 + 0) = (4, 2) e

v u = (1 3, 2 0) = ( 2, 2). Na Figura 1.4, v + u ´e o vetor vermelho e v u o verde.

x y (3, 0) (1, 2) (4, 2) ( 2, 2) (0, 0)

Figura 1.4: Soma e subtra¸c˜ao de vetores Fonte: autoria pr´opria

Observa¸c˜ao 1.2.1

Definimos a soma de um ponto A = (x0, y0) com o vetor v = (a, b) como o ponto B = (x0+ a, y0+ b), isto ´e,

A + v = (x0, y0) + (a, b) = (x0+ a, y0+ b).

E mais, v = B A. Desse modo, se C = (x1, y1), ent˜ao C A = (x1, y1) (x0, y0) = (x1 x0, y1 y0).

1.2.2 Produto de um escalar por um vetor

Em Geometria Anal´ıtica usualmente denominamos n´umeros reais por escalares.

Defini¸c˜ao 1.2.3

Seja c um n´umero real qualquer e v = (x, y), ent˜ao definimos cv = (cx, cy).

O vetor cv tem a mesma dire¸cão de v, logo cv_{\\v . Se c > 0, então cv tem o mesmo} sentido de v . Se c < 0, então o sentido de cv é oposto ao de v . Observe que

(14)

Assim, em suma:

• c = 0 ) cv = (0, 0) = 0.

• c 2 (0, 1) ) cv tem mesma dire¸cão e sentido de v, mas comprimento menor. • c 2 ( 1, 0) ) cv tem mesma dire¸cão de v, mas sentido contrário e comprimento

menor.

• c > 1 ) cv tem mesma dire¸cão e mesmo sentido de v, mas comprimento maior. • c < 1 ) cv tem mesma dire¸cão de v, mas sentido contrário e comprimento maior.

Propriedades 1.2.1

Sejam u, v e w vetores quaisquer e “a, b” escalares, ent˜ao valem as rela¸c˜oes abaixo: a) u + v = v + u (comutatividade)

b) (u + v) + w = u + (v + w) (associatividade) c) u + 0 = u (elemento neutro da soma ´e o 0) d) u + ( u) = 0 (inverso aditivo) e) a(bu) = (ab)u f) a(u + v) = au + av g) (a + b)u = au + bu h) 1u = u i) u\\v , u = av Exemplo 1.2.2

Para A = (a, b) e B = (c, d), calcule a distˆancia entre eles e as coordenadas do ponto m´edio do segmento AB.

Solu¸cão: A distância de A a B é igual ao comprimento do representante AB. Se 0 = (0, 0) é o vetor nulo, então podemos observar que

kABk = kOA OB_{k = k(a, b)} (c, d)_{k = k(a} c, b d)_{k .}

(15)

Substituindo: (a, b) (x, y) = (x, y) (c, d) ) (a x, b y) = (x c, y d). Da´ı, M = ✓ a + c 2 , b + d 2 ◆ . B (0, 0) A

Figura 1.5: Cálculo de distância entre A e B Fonte: autoria própria

Exemplo 1.2.3

Seja ABC um triˆangulo qualquer e sejam D e E os pontos m´edios de AC e BC, respectivamente; podemos mostrar, usando vetores, que DE_{\\AB e que kDEk =} kABk /2 .

Solu¸c˜ao: Veja a figura a seguir:

B C

E

A

D

Figura 1.6: Triˆangulo ABC Fonte: autoria pr´opria

Observe que DE = CE CD e AB = CB CA. Como CA = 2CD e CB = 2CE, ent˜ao

DE = CE CD = 1

(16)

Exemplo 1.2.4

O Vetor Velocidade Média ou Velocidade Vetorial Média no intervalo de tempo [t1, t2] é obtido ao efetuarmos a diferen¸ca entre os vetores posi¸cão P (t2) e P (t1), e multiplicarmos por _t₂1_t₁. Por exemplo, se o vetor posi¸cão de um móvel que se locomove no plano é P (t) = (t2_{, t/2) para todo t real, então o vetor velocidade} média no intervalo [1, 2] é representado por

vm =

P (2) P (1) 2 1 =

(22_{, 2/2)} ₍₁2_{, 1/2)}

1 = (3, 1/2).

Observe que a velocidade vetorial média não está relacionada com a velocidade escalar média. A escalar contabiliza o movimento total percorrido pela part´ıcula ou corpo, já a vetorial leva em considera¸cão apenas as posi¸cões inicial e final.

Exemplo 1.2.5

O Vetor Velocidade Instantânea v(t) é calculado usando limites, por conseguinte, derivadas. Se P (t) = (x(t), y(t)) é o vetor posi¸cão, então

v(t) = lim t!0

P (t + t) P (t) t = (x

0_{(t), y}0_(t)).

No exemplo anterior, a velocidade instantˆanea ser´a v(t) = (2t, 1/2), t2 R.

Exemplo 1.2.6

Para v(t) = (v1(t), v2(t)), o Vetor Acelera¸c˜ao a(t) ´e a(t) = lim t!0 v(t + t) v(t) t = (v 0 1(t), v20(t)). Exemplo 1.2.7

Um corpo se desloca com velocidade inicial v0 = 20 m/s e acelera¸c˜ao constante a = 2 m/s sobre a reta y = 2x , iniciando seu movimento na origem (0, 0) e subindo em dire¸c˜ao nordeste.

(a) Qual o vetor velocidade média no intervalo [0, 10] e a instantânea após 10 se-gundos?

(b) Qual a posi¸c˜ao do m´ovel nesse instante?

Solu¸cão: (a) A velocidade média é obtida pelo quociente vm =

(17)

onde P (t) é a posi¸cão no tempo t. Nesse caso, P (0) = (0, 0). A equa¸cão do movimento diz que s(t) = s0 + v0t + at2/2, onde s0 = 0, v0 = 20, a = 2. Assim,

s(t) = 20t + t2 _{) s(10) = 200 + 100 = 300.}

Ou seja, em 10 segundos o corpo se locomoveu 300 metros. Precisamos saber as coordenadas x e y para encontrarmos P (10). Como o corpo se locomove sobre a reta y = 2x, 300m será a hipotenusa do triângulo retângulo de lados x e 2x, logo

3002 = x2+ (2x)2 ) x = 300p 5. Assim, P (10) = ✓ 300 p 5, 600 p 5 ◆

, e a velocidade m´edia ser´a vm = P (10) P (0) 10 0 = ✓ 30 p 5, 60 p 5 ◆ .

Para obter a velocidade instantˆanea, precisamos achar P (t). Usando a equa¸c˜ao do movimento, temos P(t) = (x(t), y(t)) = ✓ s(t) p 5, 2 s(t) p 5 ◆ ,

pois s(t) é a hipotenusa do triângulo retângulo de lados x(t) e y(t) = 2x(t). O vetor velocidade instantânea será

v(t) = P0(t) = (x0(t), y0(t)) = ✓ t + 2t p 5 , 2 t + 2t p 5 ◆ ) v(10) = ✓ 30 p 5, 2 30 p 5 ◆ . (b) P (10) = ✓ 300 p 5, 600 p 5 ◆ . Exemplo 1.2.8

(PUC-SP) Se a velocidade vetorial de um ponto material é constante e não nula, sua trajetória é de que tipo?

(18)

Exemplo 1.2.9

(UFB) A fada Sininho, personagem do famoso filme de Walt Disney Peter Pan, baseado no livro Peter and Wendy de J. M. Barrie, está voando e descrevendo três quartos de uma circunferência de raio 4 m, do ponto P até o ponto Q, no sentido horário, em 2s. Pede-se determinar, nesse deslocamento:

R = 4m

Figura 1.7: Exemplo 9

Exemplo: continua¸c˜ao

a) a varia¸c˜ao de espa¸co; b) o vetor deslocamento;

c) a velocidade escalar m´edia; d) a velocidade vetorial m´edia.

Solu¸cão: a) Como ela deslocou-se em 3/4 da circunferência cujo comprimento é 2⇡4 = 8⇡, então ela percorreu (3/4)8⇡ = 6⇡.

b) O vetor deslocamento tem extremidades em (0, 4) e ( 4, 0). Supondo que a origem do sistema cartesiano se encontra do centro da circunferˆencia em quest˜ao, logo, v = ( 4, 0) (0, 4) = ( 4, 4).

(19)

d) A velocidade vetorial m´edia ´e o vetor deslocamento dividido por 2: v/2 = ( 4, 4)/2 = ( 2, 2).

Exemplo 1.2.10

Qualquer movimento é causado por uma a¸cão de uma for¸ca F . Por exemplo, um objeto em queda livre está se movimentando para o chão por a¸cão da for¸ca da gravidade.

Para descrever essa importante grandeza f´ısica (medida em Newton, simbolizada por N ), precisamos da dire¸cão e do sentido do movimento. Assim, um vetor é o elemento matemático perfeito, e seu comprimento será a magnitude ou intensidade da for¸ca exercida.

Várias for¸cas podem agir ao mesmo tempo sobre um corpo, o resultado do movi-mento se dará pelo vetor soma de todas as for¸cas, chamado de ”resultante”. Outra situa¸cão necessária, às vezes, é decompor a for¸ca, isto é, encontrar a proje¸cão da for¸ca nos eixos x e y, no caso de uma for¸ca agindo sobre um objeto no plano. Suponha que um corpo se encontra na origem (0, 0) e que duas for¸cas agirão sobre ele: F1 = (1, 2) e F2 = (3, 1). Desse modo, o corpo se locomoverá na dire¸cão e no sentido da for¸ca resultante F1 + F2 = (4, 1).

Exemplo 1.2.11

Um corpo movendo-se na dire¸cão horizontal sofre a a¸cão de uma for¸ca de módulo igual a 20N , alinhada a 45o _{com essa dire¸cão. Encontre as componentes x e y dessa} for¸ca.

Solu¸cão: Temos um triângulo retângulo de hipotenusa 20 e catetos iguais, pois o ângulo é de 45 graus. Assim, ambos os catetos medem

cos(45o) = Fx 20 = p 2 2 ) Fx = Fy = 10 p 2. Exemplo 1.2.12

O Vetor Impulso I é um múltiplo do vetor For¸ca. Imagine que uma for¸ca age sobre um corpo durante um intervalo de tempo, o impulso é a grandeza f´ısica que mensura essa a¸cão, desse modo tem a mesma dire¸cão e o mesmo sentido da for¸ca, mas o comprimento é o produto da magnitude da for¸ca pelo intervalo de tempo em segundos. A medida da magnitude é newton segundo.

(20)

Solu¸cão: O impulso será o vetor resultante da for¸ca multiplicado por 2. Logo, Fr = (3, 0) + (0, 4) = (3, 4) cujo comprimento é 25, o impulso é I = 2(3, 4) = (6, 8). A magnitude do impulso é 50N.s.

1.2.3 Produto interno ou escalar no

R

2

A origem histórica das expressões que hoje conhecemos como produtos interno e ve-torial (este veremos na Se¸cão 1.3.2) foram definidas de forma pragmática na Álgebra Ve-torial, conhecida por Álgebra de Quatérnions, e foi formalmente constru´ıda por Hamilton em meados de 1840.

Há uma estreita rela¸cão entre os vetores no R2 _{e o conjunto dos n´}_{umeros complexos,} mas o mesmo não podemos dizer dos vetores no R3_{. Com o objetivo de estabelecer} uma rela¸cão entre algum conjunto e os vetores do R3_{, Hamilton propôs tanto a ´}_Algebra Vetorial quanto a que deu origem à famosa Álgebra de Gibbs-Heaviside, a qual possui amplas aplica¸cões na F´ısica Clássica (Mecânica Newtoniana e Eletromagnetismo) e sua correla¸cão com os vetores do R3 apresenta algumas sutilezas.

Sejam os vetores u = (a, b) e v = (c, d). Suponha que uma part´ıcula sai de (0, 0) e se locomove em linha reta até o ponto (a, b) sob a a¸cão de uma for¸ca com dire¸cão e sentido de v e magnitude _{kvk. Qual o trabalho realizado pela for¸ca para que a part´ıcula} se locomovesse? x y u v (0, 0) (a, b) (c, d) Figura 1.8: Vetores u e v Fonte: autoria própria

Sabemos que a fórmula do trabalho exercido por uma for¸ca é igual à sua magnitude vezes o deslocamento da part´ıcula. Nesse caso, como a for¸ca está na dire¸cão diferente do deslocamento, precisamos saber qual a componente da for¸ca na dire¸cão do deslocamento da part´ıcula, ou seja, precisamos do comprimento da proje¸cão de v em u.

(21)

x y v u proje¸c~ao de v em u ✓ ✓1

Figura 1.9: Proje¸c˜ao ortogonal de v em u Fonte: autoria pr´opria

Assim, o comprimento da proje¸cão será igual a _{kvk cos (✓). O deslocamento da} part´ıcula é kuk, então o trabalho T será

T =kvk kvk cos (✓). Seja ✓2 = ✓ + ✓1, ent˜ao

cos(✓) = cos(✓2 ✓1)

= cos(✓2) cos(✓1) + sin(✓2) sin(✓1) = c kvk · a kuk+ d kvk· b kuk = ca + db kuk kvk.

Logo, o trabalho será T =_{kvk·kuk cos(✓) = ca+db. Veja que é bem simples calcular o} trabalho! Não precisamos saber o ângulo entre o vetor for¸ca e o vetor deslocamento. Basta multiplicar as respectivas coordenadas e somar o resultado. Denominamos essa fun¸cão que associa o vetor for¸ca e o vetor deslocamento com o trabalho da for¸ca de Produto Interno Usual.

Defini¸c˜ao 1.2.4

Dados u = (a, b) e v = (c, d) vetores do R2_{, definimos o produto interno usual} de u com v como a fun¸c˜ao que associa os vetores u e v com o n´umero ac + bd. Escrevemos _{hu, vi ou u · v, assim}

(22)

Exemplo 1.2.13

Se um corpo se locomove de (2, 3) at´e (3, 4) sob a a¸c˜ao da for¸ca v = (2, 1), calcule o trabalho realizado por essa for¸ca.

Solu¸cão: Seja u o vetor que representa o deslocamento do corpo, precisamos encontrar as coordenadas do vetor u. Seus extremos são (2, 3) e (3, 4), então

u = (3, 4) (2, 3) = (3 2, 4 3) = (1, 1).

Assim, o trabalho ser´a T = 1· 2 + 1 · 1 = 3, que ´e o produto interno de (2, 1) com (1, 1). Propriedades 1.2.2 Sejam u, v e w vetores doR2 _{e ↵}_{2 R.} 1. u· u 0. E mais, u.u = 0 () u = 0. 2. ↵(u· v) = (↵u) · v. 3. (u + v)_{· w = u · w + v · w.} 4. u_{· v = v · u.}

De modo geral, existem outras fun¸cões que satisfazem essas propriedades e são cha-madas de produto interno também.

Sabemos que se u = (a, b),_{kuk =}pa2_{+ b}2 _{da Geometria Euclidiana, ent˜ao} u_{· u = (a, b).(a, b) = a}2+ b2 =_kuk2,

(23)

1) Podemos usar o produto interno para calcular ângulo entre vetores. Sejam u e v vetores não nulos e ✓ o ângulo entre eles. Temos que

u_{· v = kuk kvk cos(✓) ) cos(✓) =} u· v (_{kuk · kvk)}.

2) Como _{| cos(✓)|  1, ent˜ao |u · v| = kuk kvk | cos(✓)|  kuk kvk. A desigualdade} |u · v|  kuk kvk ´e conhecida por Desigualdade de Cauchy-Schwarz.

3) _{ku + vk  kuk + kvk é a conhecida Desigualdade Triangular. Note que u + v é} a diagonal do paralelogramo de lados u e v, é também o lado maior do triângulo formado ao dividirmos o paralelogramo. Assim, um dos lados é necessariamente menor que a soma dos outros dois, caso contrário não ter´ıamos um triângulo. 4) Proje¸cão ortogonal de u em v é igual ao vetor

projvu = u· v kvk2v e tem comprimento kuk | cos(✓)|.

Exemplo 1.2.14

Verifique se (a, b).(c, d) = 2ac + bd ´e um produto interno. Solu¸c˜ao: Sejam u = (a, b), v = (c, d) e w = (e, f ) vetores do R2_.

a) u_{· u = (a, b) · (a, b) = 2a}2_{+ b}2 _{0. E, u}_{· u = 2a}2_{+ b}2 _{= 0} _{() a = b = 0.}

b) ↵((a, b)· (c, d)) = ↵(2ac + bd) = 2↵ac + ↵bd, por outro lado ↵(a, b) · (c, d) = (↵a, ↵b) · (c, d) = 2↵ac + ↵bd e s˜ao iguais.

c) (u + v)_{· w = ((a, b) + (c, d)) · (e, f) = (a + c, b + d) · (e, f) = 2(a + c)e + (b + d)f = 2ae +} 2ce+bf +df , por outro lado u_{·w+v·w = (a, b)·(e, f)+(c, d)·(e, f) = 2ae+bf +2ce+df,} que s˜ao iguais.

d) u_{· v = (a, b) · (c, d) = 2ac + bd e v · u = (c, d)(a, b) = 2ca + db, que s˜ao iguais. Logo,} temos um produto interno n˜ao usual.

Uma curiosidade, qual o “tamanho”do vetor (1, 0) utilizando esse produto interno do exemplo anterior?

k(1, 0)k =p(1, 0)_{· (1, 0) =}p2_{· 1 · 1 + 0 · 0 =}p2.

(24)

1.3 Vetores no

R

3

Agora, ampliaremos nossos horizontes para o espa¸co tridimensional R3_{, com} coorde-nadas cartesianas como no desenho a seguir.

y z x A B 0

Figura 1.10: Vetores no espa¸co Fonte: autoria pr´opria

Temos dois vetores u = 0A e v = 0B . Cada um tem três parâmetros, que são as co-ordenadas referentes aos eixos x, y e z. Para obtê-las, tra¸camos retas perpendiculares aos planos xy, xz e yz. Nos pontos onde essas retas cortam os planos, tra¸camos outras retas perpendiculares aos eixos que geram tais planos, dessa forma geramos um paralelep´ıpedo com um de seus vértices na origem, e outros três vértices estão nos eixos coordenados. Segue a figura:

y z

x

(25)

1.3.1 Opera¸c˜

ao com vetores em

R

3

Sabemos que, por duas retas distintas que se interceptam, passa um único plano. Como os vetores são segmentos de retas orientados, por cada vetor passa uma reta, e dois vetores com dire¸cões distintas estão em um único plano. Nesse caso, vale a regra do Paralelogramo de soma de vetores do R2_.

Defini¸c˜ao 1.3.1

Sejam u e v vetores doR3_{, u = (a, b, c) e v = (d, e, f ), e t}_{2 R} a) A soma dos dois vetores ser´a:

u + v = (a + d, b + e, c + f ) e a subtra¸c˜ao

u v = (a d, b e, c f ). b) Multiplica¸c˜ao por escalar:

↵u = t(a, b, c) = (ta, tb, tc). c) Produto Interno usual:

u.v = ad + be + cf.

Valem as Propriedades 1.2.1 e 1.2.2 e a Observa¸c˜ao 1.2.1 para os vetores doR3_.

Exemplo 1.3.1

Dados A = (a, b, c) e B = (d, e, f ), calcular a distˆancia entre eles.

Solu¸cão: Sabemos que a distância entre esses pontos é igual ao comprimento do vetor representante

AB = OB OA = (d a, e b, f c). Logo,

kABk =pAB· AB =p(d a)2_{+ (e} _b)2_{+ (f} _c)2_.

1.3.2 Produto vetorial e misto

(26)

Suponha que o parafuso está na origem (0, 0, 0). O movimento resultante do parafuso é chamado de Torque e pode ser associado a um vetor. Como obtê-lo? É fácil perceber que o parafuso se movimentará em dire¸cão perpendicular à chave e à for¸ca aplicada no extremo da chave, que é seu eixo de rota¸cão. O vetor Torque (T ) na origem é obtido por um cálculo entre vetores chamado Produto Vetorial, escreve-se T = v_{⇥ F .}

Há muitas aplica¸cões de Produto Vetorial na F´ısica, por exemplo, para o cálculo da for¸ca exercida sobre uma part´ıcula carregada e mergulhada num campo magnético, desde que esse campo seja constante e a carga unitária. Aparece no cálculo do Momento Angular. Em Computa¸cão Gráfica, é bastante utilizado para calcular a normal de um triângulo ou outro pol´ıgono, isso permite criar efeitos que simulam ilumina¸cão e assim obter gráficos mais realistas, dentre outras aplica¸cões.

Defini¸c˜ao 1.3.2

Sejam u e v vetores do R3 _{e ✓ o ˆangulo entre eles. Definimos o produto vetorial} u⇥ v por um vetor tal que:

i. u⇥ v tem dire¸c˜ao perpendicular a u e v.

ii. u⇥ v tem sentido dado pela Regra da Mão Direita, isto é, com a mão direita aberta apoiamos o dedo m´ınimo no vetor u, gire os dedos, deixando a palma da mão fixa, até chegar em v, o sentido de u_{⇥ v será aquele apontado pelo} dedo polegar da mão.

iii. _{ku ⇥ vk = kuk kvk sin(✓) é o seu comprimento, que corresponde à área do} paralelogramo gerado por u e v.

Propriedades 1.3.1

Sejam u, v e w vetores doR3 _{e ↵}_{2 R} 1. u_{⇥ v = (v ⇥ u)}

2. u⇥ v = 0 ) u = ↵v

3. u· (u ⇥ v) = v · (u ⇥ v) = 0 4. ↵(u⇥ v) = (↵u) ⇥ v = v ⇥ (↵u)

Justificativas: 1. Pela Regra da Mão Direita, segue a justificativa de mudan¸ca de sentido. 2. Se u_{⇥ v = 0, então kuk kvk sin(✓) = 0, ✓ é o ângulo entre u e v. Logo, sin(✓) = 0 e}

ent˜ao ✓ = 0, uk v.

(27)

u⇥ v multiplicado pelo ângulo entre eles. Como u ⇥ v tem dire¸cão perpendicular a u, então o produto interno será 0. De modo análogo, v· (u ⇥ v) = 0.

4. Multiplicar um vetor por uma constante não altera a dire¸cão, no máximo o sentido. Se ↵ > 0, então os sentidos de u⇥ v e de u não mudarão ao multiplicar por ↵. Assim, ↵(u_{⇥ v) e (↵u) ⇥ v têm mesmo sentido. Em rela¸cão ao módulo:}

k↵(u ⇥ v)k = |↵| ku ⇥ vk = |↵| kuk kvk sin(✓). Por outro lado,

k(↵u) ⇥ v)k = k↵uk kvk sin(✓) = |↵| kuk kvk sin(✓). Logo, tˆem mesma dire¸c˜ao, mesmo sentido e mesmo comprimento.

Defini¸c˜ao 1.3.3

Chamamos os vetores i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1) de vetores canˆonicos. Note que todo vetor do R3 _{pode ser escrito como uma soma de m´}_{ultiplos de i, j e k:}

(a, b, c) = ai + bj + ck.

Chamamos essa escrita de combina¸c˜ao linear de i, j e k. Pela Regra da M˜ao Direita e as propriedades anteriores, temos

(28)

Demonstra¸c˜ao: reescrevendo os vetores usando os canˆonicos, temos u = x1i + y1j + z1k e v = x2i + y2j + z2k. Pelas Propriedades 1.3.1 e 1.3.2, u⇥ v = (x1i + y1j + z1k)⇥ (x2i + y2j + z2k). Distribuindo: u⇥ v = (x1x2)i⇥ i + (x1y2)i⇥ j + (x1z2)i⇥ k + (y1x2)j ⇥ i + (y1y2)j⇥ j + (y1z2)j⇥ k + (z1x2)k⇥ i + (z1y2)k⇥ j + (z1z2)k⇥ k = (x1y2)i⇥ j + (x1z2)i⇥ k + (y1x2)j⇥ i + (y1z2)j⇥ k + (z1x2)k⇥ i + (z1y2)k⇥ j = (x1y2)k + (x1z2)( j) + (y1x2)( k) + (y1z2)i + (z1x2)j + (z1y2)( i) = (y1z2 z1y2)i + (z1x2 x1z2)j + (x1y2 y1x2)k.

Uma maneira prática de calcular o produto vetorial é o conhecido Método de Sarrus. Basta dispor em linha reta i, j e k. Abaixo deles, colocar os vetores u e v, e repetimos as duas primeiras colunas, como a seguir:

i j k i j x1 y1 z1 x1 y1 x2 y2 z2 x2 y2

Agora, trace trˆes diagonais, cada uma com trˆes valores, da esquerda para a direita e multiplique-os. Depois, diagonais da direita para a esquerda e multiplique-os. Subtraia os valores e encontre o produto vetorial.

Exemplo 1.3.2 Sejam u = (1, 2, 3) e v = (4, 5, 6), calcular u_{⇥ v.} Solu¸c˜ao: i j k i j 1 2 3 1 2 4 5 6 4 5

As diagonais s˜ao: 12i, 12j, 5k da esquerda para direita. E, 8k, 15i, 6j da direita para a esquerda. Ent˜ao: u_{⇥v = 12i+12j +5k 8k 15i 6j = 3i+6j 3k = ( 3, 6, 3).}

Exemplo 1.3.3

Calcular a área do triângulo com vértices em (0, 0, 1), (1, 2, 1) e (3, 2, 0).

(29)

área do triângulo. Usando o método anterior, obtemos que u⇥ v = ( 2, 1, 4) , então ku ⇥ vk =p4 + 1 + 16 =p21. A área seráp21/2.

Defini¸c˜ao 1.3.4

O Produto Misto ou Produto Triplo Escalar de u, v e w é definido como (u_⇥v)·w. O Produto Misto é um número real, e uma de suas aplica¸cões é no cálculo do volume do paralelep´ıpedo, determinado por u, v e w.

Propriedades 1.3.3

O volume do paralelep´ıpedo determinado por u, v e w ´e|(u ⇥ v) · w|.

Demonstra¸cão: o volume é igual à área da base vezes a altura do paralelep´ıpedo. Considere a base formada por u e v, então a área da base será

kuk kvk sin(✓) = ku ⇥ vk .

Ao projetarmos w no plano formado por u e v, obtemos um triângulo retângulo, a altura será _{kwk | sin( )|,} é o ângulo entre w e o plano formado por u e v. Assim, o volume será

kuk kvk sin(✓) kwk | sin( )| = ku ⇥ vk kwk | sin( )|.

Observe que o ângulo que w faz com u_{⇥ v é igual a ⇡/2} . E sin( ) = cos(⇡/2 ), e o volume do paralelep´ıpedo será

ku ⇥ vk kwk | cos(⇡/2 )_{| = |(u ⇥ v) · w|.}

Propriedades 1.3.4

Dados os vetores u, v e w, vale (u⇥ v). w = u · (v ⇥ w).

Demonstra¸c˜ao: segue da defini¸c˜ao de produto interno e do Teorema 1.3.1.

Outra aplica¸cão interessante de Produto Misto é sobre coplanaridade. Dados três vetores não paralelos, como saber se estão no mesmo plano? Basta calcular o produto misto dos vetores em qualquer ordem. Caso o resultado do produto misto dê zero, então esses vetores são coplanares.

Exemplo 1.3.4

Dados quatro pontos distintos do espa¸co A = (1, 2, 3), B = ( 1, 2, 0), C = ( 1, 1, 2) e D = (2, 1, 0), verificar se est˜ao no mesmo plano.

(30)

paralelogramo e, portanto, há um volume relacionado a ele. Vamos calcular|(AB ⇥AC)· AD| = |( 3, 4, 2) ⇥ (1, 1, 3)| = 13. Logo, os três vetores geram um paralelep´ıpedo e, por conseguinte, são não coplanares.

Lista de exerc´ıcios 1

1) O que ´e um vetor? O que o caracteriza?

2) O que s˜ao representantes de vetores? E vetores opostos? Dˆe exemplo de cada um deles.

3) Qual o vetor soma de dois vetores perpendiculares entre si cujos m´odulos s˜ao 1 e 2 unidades?

4) A soma de dois vetores de m´odulos diferentes pode ser nula? Tente explicar. 5) Calcule o m´odulo do vetor a + b em cada caso abaixo.

a) b) c) b a 45 b 120 a b 90 a Dados 8 > > > < > > > : a = 3 cm b = 5p2 cm cos 45 = p₂2 Dados 8 > > > < > > > : a = 5 cm b = 8p2 cm cos 120 = 0, 5 Dados 8 < : a = 10 cm b = 5p2 cm

6) Um projétil é atirado com velocidade de 400m/s fazendo um ângulo de 45º com a horizontal. Determine as componentes vertical e horizontal da velocidade do projétil. 7) Qual a diferen¸ca entre vetor velocidade e velocidade escalar?

8) (UnB-DF) Sobre a composi¸c˜ao dos vetores a seguir, podemos dizer que: v1

v2

v3

(31)

a) v1+ v2+ v3 = v4 b) v1+ v2+ v3+ v4 = 0

c) v1+ v2+ v3 = v4 d) v1+ v2+ v3 = v4

9) Determine o m´odulo e represente, por meio de um vetor, a for¸ca resultante do sistema de for¸cas. a b c d 4N 3N 5N 3N 2N

10) Sejam A = (1, 2), B = (3, 2) e C = (2, 4). Determine D para que ABCD seja um paralelogramo.

11) Se v , w e u s˜ao vetores do R3 e c um escalar, explique se faz sentido as express˜oes: ku.vk , v.u + w, w.(v.u) e c(u + v).

12) Calcule a área do triângulo ABC, onde A = (1, 2, 4), B = (2, 1, 0) e C = (0, 3, 1). Verifique se ele é retângulo.

13) Se a proje¸c˜ao de v em u pode ser calculada por projuv = ⇣ u.v

u.u ⌘

u , ent˜ao calcule a proje¸c˜ao de v em u e de u em v para v = (1, 2, 1) e u = (2, 0, 1).

14) Encontre todos os vetores que s˜ao ortogonais a (3, 1).

15) Sob que condi¸c˜oes ku + vk = kuk + kvk e ku + vk = kuk kvk? 16) Usando as propriedades do produto interno, mostre que

a) (u + v)(u v) = _kuk2 kvk2

b) _{ku + vk}2+_ku v_k2 = 2_kuk2+ 2_kvk2

c) ku + vk = ku vk se, e somente se, u e v s˜ao ortogonais.

(32)

a) v + w b) v w c) 2v w

18) Justifique por que o produto misto de trˆes vetores ser zero significa que eles s˜ao copla-nares.

19) Verifique se os pontos A = (1, 2, 1), B = (0, 1, 1), C = (1, 1, 0) e D = (1, 3, 1) s˜ao coplanares.

20) Calcule o volume do paralelep´ıpedo que tem um dos vértices no ponto A = (2,1,6) e os três vértices adjacentes nos pontos B = (4,1,3), C = (1.3,2) e D = (1,2, 1).

21) Calcule a ´area do triˆangulo ABC, onde A = (2,1,6) , B = (4,1,3) e C = (1,3,2). 22) Prove que v⇥ (w + u) = v ⇥ w + v ⇥ u e (v + w) ⇥ u = u ⇥ u + w ⇥ u. 23) Sejam u = (1, 3, 0) e v = ( 1, 2, 1).

a) Encontre o vetor unit´ario e paralelo a 2u v b) Ache o ˆangulo entre u e v

24) Mostre que v = w

kwk é unitário, isto é, kvk = 1, para todo vetor w.

25) Encontre as coordenadas do ponto m´edio do segmento com extremos em A e B no espa¸co.

26) Uma for¸ca u de módulo igual a 3, 5N é aplicada sobre um corpo que se encontra no ponto B na dire¸cão de A0 fazendo um ângulo de 30 , como mostrado na figura a seguir:

1 2 3 4 5 1 2 3 B A0 30 v

(33)

27) (PUC-RJ-2008) Um veleiro deixa o porto navegando 70 km em dire¸cão leste. Em seguida, para atingir seu destino, navega mais 100 km na dire¸cão nordeste. Despre-zando a curvatura da terra e admitindo que todos os deslocamentos são coplanares, determine o deslocamento total do veleiro em rela¸cão ao porto de origem. (Considere p

2 = 1, 4 e p5 = 2, 2).

28) Dados v = (1, 2, 1) e w = (0, 3, 2), encontre o ˆangulo entre v e w e a norma (comprimento) de v 2w .

1.4 Equa¸c˜

ao da reta

1.4.1 Equa¸c˜

ao da reta no

R

2

Sabemos que, por dois pontos distintos, passa uma única reta r. Sejam P0 = (x0, y0) e P1 = (x1, y1) dois pontos distintos de r, a dire¸cão de r (vetor diretor de r) será P0P1 = (x1 x0, y1 y0). x y r P0 P1

Figura 1.12: Reta passando por P0 e P1 Fonte: autoria pr´opria

Os pontos de r ter˜ao a forma

P0+ tP0P1 = (x0+ t(x1 x0), y0+ t(y1 y0)),

(34)

8 < :

x = x0+ t(x1 x0) y = y0+ t(y1 y0).

Esse sistema é conhecido por equa¸cões paramétricas da reta, muito usado para repre-sentar o Movimento Retil´ıneo Uniforme da F´ısica. O ponto (x0, y0) é o ponto onde uma part´ıcula inicia seu movimento, t é o tempo, v = (x1 x0, y1 y0) representa o deslo-camento por unidade de tempo, ou seja, a velocidade média. Observe que, para outra escolha de P0 e P1, teremos outra equa¸cão paramétrica, isto é, outra parametriza¸cão da reta.

Se for poss´ıvel P0 e P1 tais que x1 6= x0 e y1 6= y0, podemos isolar o t no sistema e achar:

x x1 x0 x1

= y y1 y0 y1

que é conhecida por equa¸cões simétricas da reta. Observe que os denominadores são as coordenadas do vetor diretor da reta. Multiplicando os meios pelos extremos e isolando o y, obtemos

y = y1 y0 x1 x0

x + x1y0 y1x0 x1 x0

que é da forma y = ax + b onde a é o coeficiente angular e b, o coeficiente linear. Nesse caso, a reta é o gráfico de uma fun¸cão. Se a reta for paralela ao eixo x, então, para quaisquer dois pontos de r, teremos que a coordenada y é a mesma, da´ı y1 y0 = 0. As equa¸cões paramétricas são ₈

< :

x = x0+ t(x1 x0) y = y0

. Isolando t, temos que t = x x0

x1 x0, ou seja, dado qualquer x real, tomando esse t

en-contramos que o ponto P = (x, y0) est´a na reta. Assim, a equa¸c˜ao da reta se resume a y = y0.

De modo análogo, se a reta for paralela ao eixo y, então sua equa¸cão será x = x0.

Exemplo 1.4.1

Encontre as equa¸cões da reta que passa por (1, 2) e (4, 5). Solu¸cão: As equa¸cões paramétricas serão

(35)

1.4.2 Equa¸c˜

ao da reta no

R

3

Analogamente ao feito noR2_{, sejam P}

0 = (x0, y0, z0) e P1 = (x1, y1, z1) dois pontos. A reta que passa por eles possui pontos que satisfazem a Equa¸c˜ao Vetorial

P = tP0P1+ P0 = t(x1 x0, y1 y0, z1 z0) + (x0, y0, z0), que gera as seguintes equa¸c˜oes param´etricas:

8 > < > : x = x0+ t(x1 x0) y = y0 + t(y1 y0) z = z0+ t(z1 z0)

Isolando t, podemos obter também as equa¸cões simétricas a seguir: x x0 x1 x0 = y y0 y1 y0 = z z0 z1 z0 para x1 6= x0, y1 6= y0 e z1 6= z0.

Suponha que conhecemos apenas um ponto P0 = (x0, y0, z0) da reta e sua dire¸cão v = (a, b, c), isso significa que a reta r é paralela ao vetor v . Substituindo v por P1P0 também obtemos estas equa¸cões paramétricas:

8 > > > < > > > : x = x0+ at y = y0+ tb z = z0+ tc E as equa¸c˜oes sim´etricas da reta

x x0 a = y y0 b = z z0 c . Exemplo 1.4.2

Encontre as equa¸c˜oes da reta que passa por P = (1, 2, 3) e tem dire¸c˜ao v = ( 1, 0, 4).

(36)

para todo t real, e as equa¸cões simétricas são x 1 1 = z 3 4 e y = 2. Exemplo 1.4.3

Um corpo se move em linha reta na dire¸c˜ao v = (1, 2, 0), com velocidade constante p

5 m/s. Se o corpo saiu da origem, descreva seu movimento por meio das equa¸c˜oes param´etricas da reta.

Solu¸cão: Como o corpo saiu da origem e se locomove na dire¸cão de v, então ele se move sobre uma reta que está no plano xy, o vetor velocidade é o próprio v. Logo, para todo t real, ₈ > > > < > > > : x = t y = 2t z = 0 são as equa¸cões paramétricas da reta.

Exemplo 1.4.4

Encontre as equa¸cões de todas as retas que passam por P = (1, 2, 1), e são perpen-diculares à reta com dire¸cão (1, 0, 0).

Solu¸cão: Seja (a, b, c) um vetor diretor de r, então (a, b, c)_{· (1, 0, 0) = 0, isto é, a = 0, e} não há restri¸cões para b e c. As equa¸cões vetoriais são: (x, y, z) = t(0, b, c) + (1, 2, 1), para todo t real.

1.5 Equa¸c˜

ao do plano

Há vários modos de caracterizar um plano: i) 3 pontos não colineares;

ii) 1 reta e 1 ponto fora da reta;

iii) 1 ponto e 1 vetor normal ao plano (vetor perpendicular a todos os vetores paralelos ao plano);

(37)

Primeiramente, obteremos a equa¸cão do plano ↵ usando o fato que conhecemos P0 = (x0, y0, z0) um ponto do plano e um vetor normal ao plano N = (a, b, c). Seja P = (x, y, z) um ponto de ↵, então o vetor P0P é paralelo a ↵, consequentemente P0P .N = 0. Resolvendo esse produto interno, temos

(x x0, y y0, z z0)· (a, b, c) = 0 ) (x x0)a + (y y0)b + (z z0)c = 0 ) ax + by + cz (ax0+ bx0 + cz0) = 0.

Essa última é conhecida por equa¸cão geral do plano. Observe que os coeficientes de x, y e z são as coordenadas do vetor normal ao plano e o termo independente é o produto interno de N e OP0.

Suponha que conhecemos A, B e C, três pontos não colineares de um plano, podemos determinar o vetor normal ao plano fazendo o produto vetorial de dois vetores do plano, por exemplo AB⇥AC = N. Da´ı, escolhemos um dos pontos para ser o P0 e encontramos a equa¸cão geral.

Se temos uma reta r e um ponto P0 fora da reta, escolhemos dois outros pontos de r e procedemos como anteriormente. Caso tenhamos um ponto P0 e dois vetores paralelos ao plano e não paralelos entre si, calculamos o produto vetorial destes e obteremos um vetor normal ao plano, necessários para obter a equa¸cão geral do plano.

Uma outra forma de caracterizar um plano é por meio de suas equa¸cões paramétricas. Sejam v1 = (x1, y1, z1) e v2 = (x2, y2, z2) dois vetores paralelos ao plano ↵ e não colineares, e P0 um ponto de ↵. Um ponto P pertencerá ao plano ↵ quando P0P for coplanar a v1 e v2, isto é, P0P = t1v1+ t2v2, t1, t2 2 R ) (x x0, y y0, z z0) = t1(x1, y1, z1) + t2(x2, y2, z2) ) 8 > > > < > > > : x = x0+ t1x1 + t2x2 y = y0+ t1y1+ t2y2 z = z0 + t1z1+ t2z2

Essas três equa¸cões são conhecidas como equa¸cões paramétricas do plano. A partir da equa¸cão geral do plano, podemos obter as paramétricas isolando uma das variáveis x, y ou z e colocando os parâmetros nas outras duas.

Exemplo 1.5.1

(38)

Solu¸c˜ao: Os coeficientes de x, y e z s˜ao as coordenadas do vetor normal ao plano: 2x + 3y + 1z (1, 5, 1)· (2, 3, 1) = 0.

A equa¸cão geral será 2x + 3y + 1z 16 = 0. Para obter as paramétricas, isolamos x, por exemplo, e colocamos y = t1 e z = t2. Obtemos:

8 > > > < > > > : x = 16 t2 3t1 2 y = t1 z = t2

Para essa escolha de parametriza¸cão, estamos afirmando que esse plano é paralelo aos vetores ( 3/2, 1, 0) e ( 1/2, 0, 1), e passa pelo ponto (8, 0, 0), o qual pode ser facilmente verificado pela equa¸cão geral do plano. Fazendo o produto vetorial desses dois vetores, temos (1, 3/2, 1/2) que é um múltiplo do vetor normal (2, 3, 1), ou seja, é também normal ao plano dado.

Exemplo 1.5.2

Encontre a equa¸cão geral do plano ↵ que é paralelo ao plano x + y 2z 2 = 0 e contém o ponto (2, 3, 2).

Solu¸cão: O vetor normal ao plano x+y 2z 2 = 0 é (1, 1, 2). Logo, será o vetor normal a ↵ também, pois são paralelos. A equa¸cão geral de ↵ será x+y 2z (2, 3, 2)_{·(1, 1, 2) = 0,} que é x + y 2z 1 = 0.

1.6 Interse¸c˜

ao de retas e planos

1.6.1 Posi¸c˜

oes de retas no

R

2

NoR2_{, há três posi¸cões poss´ıveis para duas retas: coincidentes, paralelas e} concorren-tes. Dadas as equa¸cões de duas retas, como verificar a posi¸cão entre elas? A primeira coisa que precisamos saber é se elas têm a mesma dire¸cão ou não. Para o caso em que as retas têm dire¸cões distintas, como estão no mesmo plano, elas são concorrentes. Se têm a mesma dire¸cão, então temos duas possibilidades: as retas são iguais (coincidentes) ou paralelas. Para saber em que caso estamos, fazemos a interse¸cão das duas retas e verificamos se é vazia ou não.

Exemplo 1.6.1

(39)

Solu¸cão: A reta r tem equa¸cão simétrica x = y 1₂ , então seu vetor diretor é (1, 2). O vetor diretor da segunda reta é (2, 4), como (2, 4) = 2(1, 2), essas retas têm a mesma dire¸cão. Vamos calcular a interse¸cão entre elas. Para isso, podemos substituir as equa¸cões paramétricas de s na equa¸cão de r:

y = 2x + 1) 1 + 4t = 2(2t) + 1 ) 1 + 4t = 1 + 4t,

o que é verdade; logo todo ponto de s está em r, então r = s. Outro modo de resolver o problema é escrever a equa¸cão de s na forma simétrica:

x 2 =

y 1 4 ,

multiplicando meios por extremos temos 4x = 2y 2 que ´e equivalente a y = 2x + 1, a mesma equa¸c˜ao de r. Logo, r = s.

Exemplo 1.6.2

Sejam 1 x = y₃ e x 2₂ = y 1₆ as equa¸c˜oes de duas retas r e s, respectivamente. Encontre a interse¸c˜ao entre elas.

Solu¸cão: Observe que a equa¸cão da reta r não está na forma padrão x x0

a = y y0 b . Rees-crevendo, temos x 1 1 = y 3,

indicando que seu vetor diretor será ( 1, 3). O diretor da reta s é ( 2, 6), logo, as retas têm a mesma dire¸cão. Vamos verificar a interse¸cão entre elas. Uma maneira é isolar o x em r e s e igualá-los:

3 y 3 =

y + 7

3 ) 7 = 3, o que não é verdade, então r é paralela a s.

Uma outra maneira ´e resolver o sistema: 8 < : 1 x = y/3 x 2 2 = y 1 6 ) 8 < : y = 3x + 3 y = 3x + 7

Subtraindo as equa¸cões, obtemos 0 = 4, o que não é verdade! Assim, o sistema não possui solu¸cão, e as retas são paralelas.

1.6.2 Posi¸c˜

oes de retas no

R

3

(40)

coincidentes e paralelas têm vetores diretores com mesma dire¸cão; já as retas concorrentes ou reversas não.

Para sabermos em que situa¸cão estamos, calculamos a interse¸cão entre as retas, se for vazia, então elas são reversas.

Exemplo 1.6.3

Sejam r e s retas com equa¸c˜oes x 5 = y 2 3 = z 3 e x 1 3 = y + 1 3 = z + 2 2 , respectivamente. Encontre a posi¸c˜ao dessas retas.

Solu¸cão: As dire¸cões das retas são (5, 3, 2) e (3, 3, 2), logo, não são paralelas e nem coin-cidentes. Para saber se são concorrentes ou reversas, calculamos a interse¸cão, igualando as equa¸cões na forma paramétrica:

8 > > > < > > > : x = 5t = 3t0+ 1 y = 3t + 2 = 3t0 ₁ z = 3t = 2t0 ₂_{) t}0 _{= 1 e t = 4/5.} H´a interse¸c˜ao no ponto (4,2,0).

Defini¸c˜ao 1.6.1

Duas retas concorrentes formam quatro ângulos, definimos o ângulo entre elas como o menor destes, logo sempre menor ou igual 90 . O ângulo entre retas reversas r e s é definido como o ângulo entre r e s0, onde s0 _{é reta paralela a s e intercepta r.} O ângulo entre retas coincidentes e paralelas é zero.

Se v1 e v2 são os vetores diretores das retas r e s respectivamente, e o ângulo entre v1 e v2é menor que 90 , então, o ângulo ✓ entre r e s é igual ao ângulo entre v1 e v2. Assim,

cos(✓) = v1· v2 kv1k kv2k

.

Caso contrário, o ângulo ✓ entre r e s será o suplementar do ângulo ✓0 entre seus diretores: cos(✓) = cos(180 ✓0) = v1· v2

kv1k kv2k .

Como o ângulo entre os diretores é maior que 90 , logo, o produto interno do numerador será negativo e o cosseno do ângulo positivo. Assim, generalizamos para

cos(✓) = |v1· v2| kv1k kv2k

(41)

Exemplo 1.6.4

O ˆangulo entre as retas do Exemplo 1.6.3 satisfaz cos(✓) = |(5, 3, 2) · (3, 3, 2)| k(5, 3, 2)k k(3, 3, 2)k = 28 p 38p24 = 4 p 209.

1.7 Posi¸c˜

oes de planos

Dois planos podem ser coincidentes, paralelos ou se interceptarem em uma reta (se-cantes ou concorrentes). Nos dois primeiros casos, os vetores normais s˜ao paralelos, j´a no ´

ultimo caso os normais s˜ao n˜ao paralelos.

Exemplo 1.7.1

Verifique as posi¸c˜oes de x 2y + 5z + 1 = 0 e 2x 4y + 7z = 0.

Solu¸cão: O primeiro plano tem vetor normal (1, 2, 5) e o segundo (2, 4, 7). Não existe um número real t tal que t(1, 2, 5) seja igual a (2, 4, 7). Logo, os vetores normais não são paralelos, e consequentemente os planos se interceptam em uma reta r. Vamos achar as equa¸cões de r.

Uma maneira ´e resolver o sistema: 8 < : x 2y + 5z + 1 = 0 2x 4y + 7z = 0 ) 8 < : 2x 4y + 10z + 2 = 0 2x 4y + 7z = 0

Subtraindo as equa¸cões, obtemos 3z + 2 = 0, o que implica em z = 2/3. A interse¸cão dos planos será a reta com coordenada z = 2/3 e que satisfaz ambas as equa¸cões, por exemplo a primeira: x 2y + 5( 2/3) + 1 = 0, isso implica em x 2y = 7/3 e z = 2/3. As equa¸cões paramétricas são: ₈

> > > < > > > : x = 7/3 + 2t y = t z = 2/3

para todo t real. Assim, o vetor diretor dessa reta é (2, 1, 0), e um ponto é (7/3, 0, 2/3). Uma maneira alternativa de encontrar o vetor diretor da reta interse¸cão é observar que o produto vetorial dos vetores normais aos dois planos resultará no diretor da reta interse¸cão.

Exemplo 1.7.2

(42)

Solu¸cão: Os vetores normais aos planos são (1, 1, 2) e (3, 3, 6). Como (3, 3, 6) = 3(1, 1, 2), então, os planos são paralelos ou coincidentes. Vejamos a interse¸cão:

8 < : x + y 2z + 2 = 0 3x + 3y 6z + 2 = 0 ) 8 < : 3x + 3y 6z + 6 = 0 3x + 3y 6z + 2 = 0 .

Subtraindo as equa¸cões, obtemos 4=0, o que é um absurdo! Logo, não há interse¸cão e os planos são paralelos.

1.7.1 Posi¸c˜

oes entre retas e planos

Dados uma reta r e um plano ↵, onde v é o vetor diretor de r e N o vetor normal a ↵, temos três possibilidades para suas posi¸cões:

• r está contida em ↵, neste caso N é perpendicular a v, e então N · v = 0 ;

• r é paralela a ↵, novamente N é perpendicular a v, e então N · v = 0 e r \ ↵ = ; • r corta ↵ em um ponto P0, agora N .v6= 0 e r \ ↵ = P0.

Exemplo 1.7.3

Sejam a reta r : x 1

2 = y = z 9

3 e o plano ↵ : x 2y + z + 3 = 0. Encontre a posi¸c˜ao relativa aos dois.

Solu¸cão: O vetor diretor de r é (2, 1, 3) e o vetor normal ao plano é (1, 2, 1). Vamos calcular o produto interno deles: (2, 1, 3)· (1, 2, 1) = 2 2 + 3 = 3, que é diferente de zero, assim a reta corta o plano.

Vamos encontrar o ponto de corte reescrevendo as equa¸c˜oes param´etricas da reta r: 8 > > > < > > > : x = 1 + 2t y = t z = 9 + 3t

para todo t real, e substituindo-as na equa¸c˜ao do plano: x 2y + z + 3 = 0 : (1 + 2t) 2(t) + (9 + 3t) + 3 = 0) t = 13/3.

(43)

Conclus˜ao, a reta r corta ↵ em (-23/3,-13/3,-4).

1.8 Distˆ

ancias no espa¸co: d(., .)

1.8.1 Distˆ

ancia entre pontos

Escreveremos d(P1, P2) para representar a distância entre dois pontos do espa¸co P1 = (x1, y1, z1) e P2 = (x2, y2, z2), e é igual ao comprimento do vetor P1P2, isto é,

d(P1, P2) = p

(x2 x1)2+ (y2 y1)2+ (z2 z1)2.

1.8.2 Distˆ

ancia entre um ponto e um plano

A distância entre um ponto P0 = (x0, y0, z0) e um plano ↵, com equa¸cão ax + by + cz d = 0, será denotada por d(P0, ↵) e vale o comprimento do menor segmento com extremos em P0 e um ponto de ↵.

↵

P0

P1

Figura 1.13: Distˆancia de P0 a ↵ Fonte: autoria pr´opria

O menor segmento será aquele que é perpendicular ao plano, logo, paralelo ao vetor normal do plano. Podemos calculá-la se conhecermos outro ponto qualquer P1 do plano ↵. Basta observar que a distância de P0 a ↵ é o comprimento da proje¸cão ortogonal do vetor P0P1 em N . Então, d(P0, ↵) =kprojNP1P0k = |P1 P0· N| kNk2 kNk ) d(P0, ↵) = |P1 P0· N| kNk .

(44)

De modo an´alogo, para a6= 0 ou b 6= 0, obtemos a mesma f´ormula. d(P0, ↵) = |ax0

+ by0+ cz0 d| p

a2_{+ b}2 _{+ c}2 .

1.8.3 Distˆ

ancia entre um ponto e uma reta

Escrevemos d(P0, r) para a distância entre um ponto P0 = (x0, y0, z0) e uma reta r, isto é, o comprimento do menor segmento com extremos em P0 e em algum ponto de r. Seja P1 um ponto qualquer de r, o segmento P0P1 é a hipotenusa de um triângulo retângulo com base em r, como na figura a seguir.

r P P1 P0 d P0P1

Figura 1.14: Distˆancia de um ponto P0 a uma reta r Fonte: autoria pr´opria

Os outros dois catetos desse triângulo são a proje¸cão de P0P1 na reta, ou melhor, no vetor diretor da reta (v) e o que nos dará a distância procurada. Pelo Teorema de Pitágoras: kP1P0k2 = d2(P0, r) +kprojvP1P0k2 ) d2_(P 0, r) =kP1P0k2 kprojvP1P0k2 ) d2(P0, r) =kP1P0k2 |P 1P0· v|2 kvk2 =kP1P0k 2 kP1P0k2kvk2cos2(✓) kvk2 ) d2_(P 0, r) = kP 1P0k2kvk2 kP1P0k2kvk2cos2(✓) kvk2 = kP1P0k2kvk2sin2(✓) kvk2 ) d(P0, r) = kP1 P0k kvk sin(✓) kvk .

Nesse caso, para n˜ao ter que calcular sen(✓), usamos o produto vetorial: d(P0, r) = kP1

(45)

1.8.4 Distˆ

ancia entre planos

A distância entre dois planos ↵ e , d(↵, ), com vetores normais N1 e N2 respectiva-mente, é calculada como segue. Se os planos são coincidentes ou se interceptam, então a distância será zero. Se forem paralelos, escolha arbitrariamente um ponto P0 = (x0, y0, z0) de um dos planos, por exemplo ↵, e calcule a distância de P0 a (com equa¸cão geral ax + by + cz d = 0), assim,

d( , ↵) = d(P0, ) = |ax0

+ by0+ cz0 d| p

a2_{+ b}2_{+ c}2 .

1.8.5 Distˆ

ancia entre retas

a) A distância entre duas retas r e s, d(r, s) é zero se r = s ou se r intercepta s. b) Se r é paralela a s, então d(r, s) = d(P, s), onde P é qualquer ponto de r.

c) Se r e s são reversas, então seja r0 uma reta paralela a r que corta s. Por r0 e s passa um único plano ↵, note que esse plano contém todas as retas paralelas a r e que cortam s. Assim, d(r, s) = d(r, ↵) = d(P1, ↵), onde P1 é um ponto qualquer de r e o vetor normal de ↵ é v1⇥ v2. Assim,

d(r, s) = |P1P2· (v1⇥ v2)| kv1⇥ v2k

, onde P2 ´e um ponto de s.

Exemplo 1.8.1

Sejam r e s com equa¸c˜oes x 1₂ = y+1₃ = 1 z₂ e x₃ = y 3₃ = z 4, respectivamente. Calcule a distˆancia entre elas.

Solu¸cão: Observe que o vetor diretor de r é v1 = (2, 3, 2), o vetor diretor de s é v2 = (3, 3, 1), e não são paralelos, logo, r e s não são paralelas e nem coincidentes. Resta saber se interceptam ou se são reversas. Vamos igualar as expressões das formas paramétricas das duas retas para saber se há interse¸cão: x = 2t + 1 = 3t0, y = 3t 1 = 3t0 + 3 e z = 1 2t = t0+ 4. Não existem t e t0 que satisfa¸cam! Portanto, não há interse¸cão entre elas, e as retas são reversas. Vamos aplicar a fórmula para P1 = (1, 1, 1) e P2 = (0, 3, 4)

(46)

1.9 Interse¸c˜

ao de esferas

Defini¸c˜ao 1.9.1

A esfera de centro (a, b, c) e raio r é o lugar geométrico dos pontos P = (x, y, z) que distam r do centro, isto é, d(P, (a, b, c)) = r, equivalentemente,

p

(x a)2_{+ (y} _b)2_{+ (z} _c)2 _{= r} ) (x a)2+ (y b)2+ (z c)2 = r2.

Exemplo 1.9.1

Encontre a equa¸cão da esfera de centro em (0, 0, 0) e raio 2. Solu¸cão: A equa¸cão satisfaz

(x 0)2+ (y 0)2 + (z 0)2 = 22 ) x2_{+ y}2_{+ z}2 _{= 4.}

Exemplo 1.9.2

Ache o centro e o raio da esfera de equa¸cão 3x2_{+ 3y}2_{+ y + 3z}2 _{= 0.} Solu¸cão: Precisamos reescrever na forma padrão:

(x a)2+ (y b)2+ (z c)2 = r2, ) x2+ y2+y

3 + z 2 _{= 0,} ao dividirmos por 3. Ent˜ao,

x2_{+ (y + 1/6)}2_{+ z}2 _{= 1/6}2_. Assim, o centro ´e (0, 1/6, 0), e o raio ´e 1/6.

Sejam S1 e S2 duas esferas distintas, com centros em C1 e C2 e raios r1 e r2. A interse¸cão de duas esferas é vazia, um único ponto ou um c´ırculo, dependendo da distância dos centros:

(47)

• d(C1, C2) > r1+ r2 ) S1\ S2 = ;

• d(C1, C2) < r1+ r2 ) S1\ S2 = circunferˆencia.

Exemplo 1.9.3

Sejam x2_{+ (y} ₁₎2 _{+ z}2 _{= 4 e (x} ₁₎2 _{+ (y} ₂₎2_{+ z}2 _{= 5 as equa¸c˜oes de duas} esferas. Encontre a interse¸c˜ao, se existir.

Solu¸c˜ao: Temos que C1 = (0, 1, 0), C2 = (1, 2, 0), r1 = 2, r2 = p 5 . Ent˜ao d(C1, C2) = p (1 0)2_{+ (2} ₁₎2_{+ (0} ₀₎2 ₌p_{2 < r} 1+r2 = 2+ p

5. Logo, a interse¸cão é um c´ırculo. Vamos achar a equa¸cão do c´ırculo.

Isolando z2 _{nas duas equa¸c˜oes das esferas e igualando-os, temos}

z2 = 4 x + 2 (y 1)2 = 5 (x 1)2 (y 2)2 _{) x + y = 3/4.}

Obtivemos a equa¸cão de um plano do espa¸co, logo, procuramos a interse¸cão de um plano com uma das esferas. Substituindo essa informa¸cão em uma das equa¸cões das esferas, por exemplo, na primeira, obtemos

x2+ (3/4 x 1)2+ z2 = 4 _{) x}2+ 1/16 + x/2 + x2+ z2 = 4 ) 2x2₊x 2 + 1/16 + z 2 _{= 4} ₎ x2 1/2 + x/2 + z 2 _{= 4} _1/16 ) x 1/p2+ p 2 8 !2 + z2 = 254 64 . Tomando bx = x 1/p2 + p 2 8 , temos bx2 + z2 = 254

64, a qual é a equa¸cão da circunferência procurada.

Lista de exerc´ıcios 2

1) Encontre a equa¸cão paramétrica da reta que é a interse¸cão dos planos 3x y + z = 0 e x + 2y + z = 1.

2) Ache a equa¸c˜ao do plano paralelo ao plano 2x y + 5z 3 = 0 e que passa por P = (1, 2, 1).

3) Encontre a equa¸c˜ao do plano que passa pelo ponto P = (2, 1, 0) e ´e perpendicular aos planos x + 2y 3z + 2 = 0 e 2x y + 4z 1 = 0.

(48)

5) Verifique se as retas r : (x, y, z) = (9t, 1 + 6t, 2 + 3t) e s : (x, y, z) = (1 + 2t, 3 + t, 1) se interceptam e em caso afirmativo determine a interse¸c˜ao.

6) Dadas as retas r : x 2₂ = y₂ = z e s : x 2 = y = z, obtenha uma equa¸c˜ao geral para o plano determinado por r e s.

7) Considere os vetores v = (1, 3, 2), w = (2, 1, 1) e u = (1, 2, 0). Seja ⇡ um plano paralelo aos vetores w e u e r uma reta perpendicular ao plano ⇡. Ache a proje¸c˜ao ortogonal do vetor v sobre a reta r, ou seja, a proje¸c˜ao ortogonal de v sobre o vetor diretor da reta r.

8) Encontre o ˆangulo entre o plano 2x y + z = 0 e o plano que passa pelo ponto P = (1, 2, 3) e ´e perpendicular ao vetor (1, 2, 1).

9) Ache as equa¸c˜oes dos planos em R3 ortogonais ao vetor (2, 2, 2), que distam p3 do ponto (1, 1, 1).

10) Obtenha uma equa¸cão geral do plano ⇡ que contém a reta r : x 2y + 2z = 0 e 3x 5y + 7z = 0 e forma com o plano x + z = 0 um ângulo de 60 .

11) Mostre que o ˆangulo entre duas retas do R2 _{satisfaz tan(✓) =} |ms mr|

1+msmr, onde mr e ms

s˜ao os coeficientes angulares das retas. Dica: sin2(✓) = 1 cos2_{(✓) e tan(✓) =} sin(✓)

cos(✓).

12) Uma fonte luminosa pontual, situada em F = (0, 0, 1), emite um raio luminoso na dire¸c˜ao do ponto A = (1, 1, 0), que ´e refletido por um espelho plano contido em y = 3. a) Em que ponto do espelho incide o raio luminoso?

b) Em que ponto o raio refletido atinge o plano xz?

(Dica: O ângulo de incidência é igual ao de reflexão, e o plano que contém os raios de incidência e de reflexão é perpendicular ao espelho).

(49)

CAP´ITULO

2 Matrizes

2.1 Matrizes: defini¸c˜

oes e exemplos

As matrizes têm um papel fundamental e constituem uma ferramenta poderosa para a resolu¸cão de sistemas lineares. Neste cap´ıtulo, definiremos matriz, opera¸cões com matrizes e propriedades básicas delas. No final, faremos algumas aplica¸cões e mostraremos como elas aparecem no dia a dia das engenharias e de outras áreas afins.

Afinal, o que são matrizes? Por agora entenderemos as matrizes como um arranjo de números reais, ou variáveis. Esses arranjos são ordenados por linhas e colunas.

Exemplo 2.1.1

Seja a matriz A com trˆes linhas e quatro colunas A = 0 B @ 2 3 5 17 7 3 2 3 2 3 5 2 1 C A . Observe que a primeira coluna de A ´e

A(1) = 0 B @ 2 7 2 1 C A . A primeira e a terceira linhas de A s˜ao dadas por

A1 = ⇣

2 3 7 17 ⌘ e A3 = ⇣

(50)

Defini¸c˜ao 2.1.1

Uma matriz ´e um arranjo quadrado ou retangular de n´umeros reais da seguinte forma A = 0 B B B B @ a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ... ... an1 an2 . . . anm 1 C C C C A.

A é uma matriz m_{⇥ n, pois tem m linhas e n colunas. Escrevemos A}m⇥n, e m⇥ n é chamada de ordem de A. O valor aij denota a entrada de A na linha i e na coluna j. A(j) _{denota a j-ésima coluna de A, e A}

i denota a i-´esima linha de A. Assim, A(j) = 0 B B B B @ a1j a2j ... anj 1 C C C C A e Ai = ⇣ ai1 ai2 . . . ain ⌘ .

Se m = n, An⇥n ´e chamada de matriz quadrada e sua diagonal ´e composta por elementos aii para i = 1, ..., n.

Exemplo 2.1.2

(51)

2.1.1 Tipos especiais de matrizes

Exemplo 2.1.3 A = 0 0 0 0 ! , B = 1 0 0 1 ! , C = 0 B @ 3 0 0 0 2 0 0 0 1 1 C A , D = 0 B B B B @ 0 0 0 5 0 0 2 0 0 3 0 0 1 0 0 0 1 C C C C A E = 0 B @ 2 0 1 0 1 1 0 0 3 1 C A , F =⇣ 1 0 ⌘, G = 0 B @ 1 2 3 1 C A . Defini¸c˜ao 2.1.2 No exemplo anterior:

a) A matriz A é chamada de matriz nula de ordem 2⇥ 2, pois todas suas entradas são iguais a zero. Toda matriz cujas entradas são iguais a 0 é chamada matriz nula.

b) A matriz B ´e chamada matriz identidade de ordem 2_{⇥ 2, usualmente} escreve-mos I2⇥2 para representar B. Toda matriz quadrada com todos os elementos da diagonal valendo 1 e os demais iguais a 0 ´e chamada de Identidade e escreve-se In⇥n.

c) As matrizes A, B e C são denominadas matrizes diagonais, pois são quadradas e todos os seus elementos são 0 com poss´ıvel exce¸cão da diagonal.

d) As matrizes A, B, C e E são denominadas matrizes triangulares superiores, pois são quadradas e todos os seus elementos abaixo da diagonal são 0. Podemos escrever isso como aij = 0 quando i > j. Caso contrário, dizemos que é triangular inferior.

(52)

2.2 Opera¸c˜

oes com matrizes

2.2.1 Adi¸c˜

ao de matrizes

Defini¸c˜ao 2.2.1

Definimos a soma de matrizes (2⇥ 2) desta maneira: a11 a12 a21 a22 ! + b11 b12 b21 b22 ! = a11+ b11 a12+ b12 a21+ b21 a22+ b22 ! . Exemplo 2.2.1 A = 1 2 3 4 ! e B = 0 6 2 1 ! ) A+B = 1 + 0 2 + 6 3 + 2 4 + ( 1) ! = 1 8 5 3 ! .

Podemos estender essa opera¸c˜ao para quaisquer duas matrizes (m_{⇥ n), desde que} sejam da mesma ordem. Por exemplo, Am⇥n+ Bm⇥n= Cm⇥n, onde cij = aij + bij.

2.2.2 Multiplica¸c˜

ao por um escalar

Defini¸c˜ao 2.2.2

Sejam a matriz Am⇥n e c2 R, definimos o produto de cA como uma matriz tal que o elemento (i, j) ´e caij.

(53)

2.2.3 Multiplica¸c˜

ao de uma matriz por outra n

⇥ 1

Defini¸c˜ao 2.2.3 Sejam A_1⇥n = (aij)1⇥n e X = 0 B B B B @ x1 x2 ... xn 1 C C C C

A, definimos o produto de A por X como

⇣ a11 a12 ... a1n ⌘ . 0 B B B B @ x1 x2 ... xn 1 C C C C A= a11x1+ a12x2+ ... + a1nxn.

Observe que esse produto resulta em um número real e é o produto interno ou escalar da Defini¸cão 1.2.4. Se Am⇥n, então AX = 0 B B B B @ A1 A2 ... Am 1 C C C C AX = 0 B B B B @ A1X A2X ... AmX 1 C C C C A, onde Ai é a linha i de A. Ou, ainda,

AX =⇣ A(1) _A(2) _{. . . A}(n) ⌘ 0 B B B B @ x1 x2 ... xn 1 C C C C A= x1A (1)_{+ x} 2A(2)+ ... + xnA(n).

Essa última expressão é chamada de combina¸cão linear das colunas de A.

(54)

2.2.4 Produto de matrizes

Defini¸c˜ao 2.2.4

Sejam as matrizes Am⇥k e Bk⇥n. A matriz produto C = AB (de ordem m⇥ n) ´e obtida mediante

cij = AiB(j).

Ou seja, cij é igual ao produto dos vetores Ai ( i-ésima linha de A) e do vetor B(j) (j-ésima coluna de B ).

Exemplo 2.2.4

Considere as matrizes A e B, queremos encontrar C = AB, A = 1 2 3 3 4 0 ! e B = 0 B @ 2 1 0 0 3 0 5 4 0 1 C A .

Solu¸cão: Pela defini¸cão anterior a matriz C terá 2 linhas e 3 colunas, e c11 = A1B(1) = 1.( 2) + 2.0 + ( 3).5 = 17, c12 = A1B(2) = 1.1 + 2.3 + ( 3).( 4) = 19. Continuando as contas, encontramos a matriz C

C = 17 19 0 6 15 0

! .

Denominamos uma matriz n_{⇥ 1 de vetor coluna, e uma matriz 1 ⇥ n de vetor} linha. É natural pensá-las como pontos do Rn _{e assim o faremos frequentemente.} Softwares como o Matlab ou Scilab sempre identificam vetores doRn_{como matrizes} n_{⇥1, ou 1⇥n, conforme se deseje. Isto é, ora como vetores coluna, ora como vetores} linha, a depender de como sejam registrados.

2.2.5 Associando matrizes m

⇥ n com pontos do R

mn

(55)

A soma de matrizes m⇥ n e sua multiplica¸cão por números reais funciona exatamente da mesma forma que a soma de pontos no Rmn _{e a multiplica¸cão de pontos do} _Rmn _por número real. Exemplo 2.2.5 1 2 1 1 ! + 3 2 1 0 ! = 4 4 0 1 ! = 0 B B B B @ 1 2 1 1 1 C C C C A+ 0 B B B B @ 3 2 1 0 1 C C C C A= 0 B B B B @ 4 4 0 1 1 C C C C A. Essa opera¸cão é conhecida como vetoriza¸cão.

2.2.6 Matrizes particionadas em vetores coluna

Definimos o produto de uma matriz A_m⇥n por um vetor coluna v como uma com-bina¸c˜ao linear de colunas da matriz A, tendo como pesos as coordenadas de v :

Av = A(1)x1+ A(2)x2+ ... + A(n)xn.

Isso torna bastante natural olhar uma matriz como particionada em n vetores coluna de An⇥1 ⇠=Rn, ou seja, A = (A(1), A(2), ..., A(n)).

Observe que podemos pensar na soma de duas matrizes, olhando-as particionadas em vetores colunas. Por exemplo, se A = (A(1)_{, A}(2)_{, ..., A}(n)_{) e B = (B}(1)_{, B}(2)_{, ..., B}(n)_), ent˜ao

A + B = (A(1)+ B(1), A(2)+ B(2), ..., A(n)+ B(n)).

Igualmente, ao multiplicarmos matrizes por números, se c é um número real, então cA = (cA(1)_{, cA}(2)_{, ..., cA}(n)_).

Exemplo 2.2.6

Considere a matriz A = (1, 2, 3) e o vetor v = 0 B @ 1 3 2 1 C

A , podemos formar o produto Av, que resulta na matriz 1_{⇥ 1 dada por:}

(56)

Lista de exerc´ıcios 1

1) Sejam as matrizes A = 0 B @ 1 0 1 2 1 0 0 0 1 1 C A e B = 0 B @ 4 2 9 3 0 1 2 1 0 1 C A , calcule A + B, B A e 4(A + B). 2) Sejam A = 1 0 1 2 1 0 ! , x = 0 B @ 0 0 1 1 C A e y = 0 B @ 1 2 0 1 C A , verifique se Ax = Ay. 3) Certo ou errado? Justifique suas respostas:

( ) Se A é uma matriz e Ax = 0, então x = 0. ( ) Se A é uma matriz 3⇥ 3, então A

0 B @ 1 0 0 1 C A = A1.

( )Se A ´e uma matriz 3_{⇥ 3, ent˜ao A} 0 B @ 1 1 0 1 C A = A(1) A(2)_.

( ) Se A ´e uma matriz 3⇥ 3 e Av = 0, para todo v 2 R3_{, ent˜ao A = 0.} 4) Seja A = 1 2 3 0 1 1 ! e v = 0 B @ 1 0 2 1 C A ,

a) Calcule o produto Av conforme a parti¸cão de A por linhas. b) b = (1, 0, 1) é combina¸cão linear das linhas de A?

c) O vetor c = (1, 2) ´e combina¸c˜ao linear das colunas de A?

(57)

Exemplo 2.2.7 A =⇣ 1 2 3 ⌘ e B = 0 B @ 1 2 3 1 C A , ent˜ao AB =⇣ 1 2 3 ⌘ 0 B @ 1 2 3 1 C A = (14) e BA = 0 B @ 1 2 3 1 C A⇣ 1 2 3 ⌘= 0 B @ 1 2 3 2 4 6 3 6 9 1 C A .

Isto é, enquanto pontos do R3_{, A e B não são diferentes, uma vez que suas três} coordenadas são idênticas. No entanto, enquanto matrizes, com as quais se pode operar a multiplica¸cão matricial, A é uma matriz 1 _{⇥ 3, B é 3 ⇥ 1 e AB dá um resultado} completamente diferente de BA.

Como já frisamos anteriormente, é poss´ıvel trabalhar com vetores como matrizes 1⇥n, ou como matrizes n⇥ 1. Contudo, para evitar ambiguidades, é melhor fixar uma delas como padrão. Na verdade, o produto matriz-vetor constitui um caso particular do produto matriz-matriz AB, no caso onde B é n_{⇥ 1. Desse modo, os vetores do R}n _{passam a ser} identificados como matrizes n_{⇥ 1 de números reais, salvo men¸cão em contrário.}

A multiplica¸cão vetor, por exemplo, é, de fato, uma multiplica¸cão matriz-matriz, a soma de vetores é a soma de matrizes n_{⇥1, etc. Isso nos facilitará enormemente} o jogo algébrico com vetores e matrizes.

Propriedades 2.2.1

Para matrizes A, B e C coerentemente definidas (ou seja, das quais fa¸ca sentido realizar o produto) e c_{2 R, valem as propriedades:}

P1- Associativa: (AB)C = A(BC)

P2- Linearidade `a direta: A(B + C) = AB + AC e A(cB) = cAB P3- Linearidade `a esquerda: (A + B)C = AC + BC e (cA)B = c(AB)