Exercício 9.1. Seja X := Rn. Mostre que \CB(X), o espaço de funções contínuas, limitadas
e crescentes de X até R é um espaço métrico completo.
Solução. Nós já sabemos que o espaço de funções contínuas e limitadas é um espaço métrico completo, então tudo que temos que fazer é mostrar que o conjunto das funções contínuas, limitadas e crescentes é fechado. Para ver isto, suponha que (fm) seja uma sequência
convergente de funções contínuas, limitadas e crescentes. De…na f := lim fm. Nós já sabemos
que f é contínua e limitada. Só precisamos mostrar que f é crescente. Para isto, …xe dois pontos x e y em Rn tais que x y. Pra todo m2 N, nós temos que fm(x) fm(y). Além
disto, como fm ! f, nós necessariamente temos que fm(x)! f(x) e fm(y) ! f(y). Isto
agora implica que f(x) f (y).
Exercício 9.2. Considere uma versão geral do modelo de crescimento ótimo que vimos em sala. Isto é, considere o seguinte problema:
max fctg1t=0 1 X t=0 tu (c t) sujeito a kt+1+ ct= f (kt) k0 dado.
Suponha que o modelo satisfaz as seguintes propriedades: (i) 0 < < 1;
(ii) u é contínua; (iii) f é contínua;
(iv) f (0) = 0 e existe k > k0 > 0 tal que k f (k) k pra todo k 2 0; k e k > f (k) pra
todo k > k: Mostre que
42 CAPÍTULO 9. PROGRAMAÇÃO DINÂMICA (a) Escreva o problema acima no formato de problema sequencial que estudamos em sala.
Isto é, de…na fxtg1t=0, F e .
(b) Escreva a equação de Bellman (equação funcional) correspondente ao problema sequencial que você escreveu na letra (a).
(c) Note que se k0 2 0; k , então, idependentemente das escolhas do agente, kt 2 0; k
pra todo t. Use isto e a equação funcional que você escreveu na letra (b) para de…nir um operador : C 0; k ! R[0;k] da mesma forma que …zemos em sala. Argumente que encontrar uma função contínua que é solução para a equação funcional na letra (b) é equivalente a encontrar uma função contínua que é um ponto …xo para o operador . (d) Mostre que de…nido na letra (b) é de valores compactos e contínua. Aqui eu realmente quero que você prove que é hemicontínua superior e inferior (usando sequências, etc.). (e) Usando o que você aprendeu na letra (d), aplique o teorema do máximo para argumentar
que mapeia funções contínuas em funções contínuas.
(f) Cheque as condições do lema de Blackwell e argumente que é uma contração. (g) Use o teorema de ponto …xo de Banach para argumentar que a equação funcional
de…nida na letra (b) tem uma única solução no espaço de funções contínuas. De posse da solução da equação funcional, explique como você construiria uma solução para o problema sequencial agora.
Solução.
(a) Pra cada t, de…na xt := kt. Agora nós podemos usar a restrição de que ct= f (kt) kt+1
para de…nir F por F (xt; xt+1) := u (f (xt) xt+1). Finalmente, de 0 ct f (kt) nós
vemos que tem que ser de…nida como (xt) := [0; f (xt)]. Assim, o problema acima
pode ser escrito no formato que aprendemos em sala como max fxt+1g 1 t=0 1 X t=0 u (f (xt) xt+1) sujeito a xt+1 2 [0; f (xt)] , pra todo t 0 e x0 dado.
(b) A equação funcional correspondente ao problema acima é V (x) = max
43 (c) Do pressuposto 4 no problema, é claro que se k0 2 0; k , então, independentemente
das escolhas do agente, nunca será possível obter kt2 0; k . Em outras palavras, pra=
qualquer valor x 2 0; k , nós sempre temos (x) 0; k . Podemos, então, de…nir o operador : C 0; k ! R[0;k] por
(V ) (x) = max
y2[0;f(x)][u (f (x) y) + V (y)] ,
pra todo x 2 0; k . Suponha que uma função V satisfaça a equação funcional acima. Mas então,
(V ) (x) = max
y2[0;f(x)][u (f (x) y) + V (y)]
= V (x) ;
pra todo x 2 0; k . Ou seja, V é um ponto …xo do operador . Similarmente, se V é um ponto …xo do operador , então
V (x) = (V (x))
= max
y2[0;f(x)][u (f (x) y) + V (y)] ;
pra todo x 2 0; k . Ou seja, V satisfaz a equação funcional acima.
(d) Por de…nição, pra cada x 2 0; k , nós temos (x) = [0; f (x)]. Pra todo x, [0; f (x)] é um intervalo fechado em R e, portanto, é um conjunto compacto. Isto mostra que é de valores compactos. Resta mostrar que é contínua. Comecemos com a hemicontinuidade inferior. Fixe x 2 0; k e y 2 (x). Considere uma sequência qualquer fxng1
n=1 0; k tal que xn ! x. Precisamos mostrar que existe uma
sequência yn ! y tal que yn 2 (xn) pra todo n. Se x = 0, então y = 0 e a
sequência yn = 0 pra todo n satisfaz a propriedade desejada. Suponha, então, que
x6= 0. De…na := y=f (x). Observe que 2 [0; 1] e y = f (x). Além disto, pra todo n, f (xn)2 [0; f (xn)]. De…na, então, yn:= f (xn), pra todo n. Como f é contínua,
f (xn) ! f (x) = y. Isto mostra que é hemicontínua inferior. Vamos mostrar
agora que é hemicontínua superior. Suponha que fxng1
n=1 0; k e xn! x 2 0; k .
Considere uma outra sequência fyng1
n=1tal que yn 2 (xn) pra todo n. Nós precisamos
mostrar que fyng1
n=1 tem uma subsequência que converge para algum ponto y 2 (x).
Mas note que, pra todo n, yn2 (xn) 0; k . Ou seja,fyng1
n=1 0; k . Como 0; k
é um conjunto compacto, nós sabemos que existe uma subsequência yk de fyng tal
que yk ! y 2 0; k . Só nos resta mostrar que y 2 (x). Mas, pra todo k, yk 0,
o que implica que y 0. Além disto, pra todo k, yk f xk . Como f é contínua e
xk ! x, isto implica que y f (x). Ou seja, y 2 [0; f (x)] = (x). Nós concluímos
que é hemicontínua superior.
(e) Lembre-se que o nosso operador foi de…nido por
44 CAPÍTULO 9. PROGRAMAÇÃO DINÂMICA Como u e f são contínuas, se V for contínua, então a funcão L (x; y) de…nida por L (x; y) := u (f (x) y) + V (y) é contínua. Além disto, nós já mostramos no item anterior que é contínua e de valores compactos. Uma imediata aplicação do teorema do máximo nos garante que a função (V ) é contínua sempre que V for contínua. (f) Vamos primeiro checar que o operador é crescente. Suponha que V; W 2 C 0; k
sejam tais que W V . Fixe x 2 0; k e seja y 2 [0; f (x)] tal que (V ) (x) = u (f (x) y ) + V (y ). Observe que (V ) (x) = u (f (x) y ) + V (y ) u (f (x) y ) + W (y ) max y2[0;f(x)][u (f (x) y) + W (y)] = (W ) (x) :
Isto mostra que é crescente. Agora …xe 2 R+. Observe que, pra qualquer V 2
C 0; k e x 2 0; k , (V + ) (x) = max y2[0;f(x)][u (f (x) y) + (V (y) + )] = + max y2[0;f(x)][u (f (x) y) + (V (y))] = (V ) (x) + :
Portanto, as condições do lema de Blackwell são veri…cadas e nós podemos concluir que é uma contração.
(g) Como é uma contração e o espaço C 0; k é completo, nós sabemos que existe uma única V 2 C 0; k , tal que (V ) = V . Nós já argumentamos na letra (c) que isto é equivalente a dizer que a equação funcional que de…nimos na letra (b) tem uma única solução no espaço de funções contínuas. Como V é contínua e 0; k é compacto, então V é obviamente limitada. O princípio da otimalidade, então, nos garante que soluções para o problema sequencial podem ser encontradas recursivamente da seguinte forma: escolha x1 2 arg max y2[0;f(x0)] [u (f (x0) y) + V (y)] ; x2 2 arg max y2[0;f(x1)] [u (f (x1) y) + V (y)] ; x3 2 arg max y2[0;f(x2)] [u (f (x2) y) + V (y)] ;
e assim por diante. A sequência fxt+1g1t=0 construída desta forma será uma solução
para o problema sequencial. Além disto, pra qualquer x0 2 0; k nós teremos
V x0 = max fxt+1g 1 t=0 1 X t=0 u (f (xt) xt+1) sujeito a xt+1 2 [0; f (xt)] , pra todo t 0
45 e
x0 dado.
Isto completa o exercício.
Exercício 9.3. Considere uma equação de Bellman tradicional. Isto é, considere uma equação funcional do tipo:
V (x) = max
y2 (x)F (x; y) + V (y) ;
para todo x 2 X, em que X é um subconjunto convexo e compacto do Rn. Além disto
suponha que é uma correspondência contínua, de valores compactos e grá…co convexo tal que (x) X pra todo x 2 X.9.1 Finalmente, suponha que F é contínua e estritamente côncava e que 0 < < 1.
Fato: O espaço de funções de X até R côncavas e contínuas é completo sob a métrica do sup, d1.
(a) De…na o operador : C (X) ! C (X) da forma usual. Os resultados que estudamos em sala imediatamente nos garantem que tem um único ponto …xo, V . Use uma variação dos argumentos que aprendemos em sala para mostrar que V é uma função côncava.
(b) Suponha agora que V seja uma solução côncava para a equação funcional acima. Mostre que na verdade V é estritamente côncava.
Solução.
(a) De…na o operador : C (X)! C (X) por (V ) (x) = max
y2 (x)F (x; y) + V (y) ;
pra qualquer x 2 X. Os nossos argumentos tradicionais nos garantem que está bem de…nido. Vamos agora mostrar que mapeia funções côncavas em funções côncavas. Isto é, suponha que V 2 C (X) seja côncava. Vamos mostrar que (V ) é côncava. Para tanto, …xe x; ^x 2 X e 2 (0; 1). Sejam y 2 (x) e ^y 2 (^x) tais que
(V ) (x) = F (x; y ) + V (y ) e
(V ) (^x) = F (^x; ^y ) + V (^y ) :
De…na y := y + (1 ) ^y e x := x + (1 ) ^x. Como tem grá…co convexo, nós sabemos que y 2 x . Além disto, como F é estritamente côncava e V é côncava,
F x ; y + V y > [F (x; y ) + V (y )] + (1 ) [F (^x; ^y ) + V (^y )] = (V ) (x) + (1 ) (V ) (^x) :
46 CAPÍTULO 9. PROGRAMAÇÃO DINÂMICA Mas então, (V ) x = max y2 (x ) F x ; y + V (y) F x ; y + V y > (V ) (x) + (1 ) (V ) (^x) ;
e nós concluímos que (V ) é côncava (na verdade nós mostramos que (V ) é até mesmo estritamente côncava). Considere agora o espaço de funções côncavas e contínuas de X até R. Como é uma contração em C (X), logicamente, é também uma contração no espaço menor que inclui apenas as funções contínuas e côncavas. Na questão nós fomos informados que tal espaço também é completo. Pelo teorema de ponto …xo de Banach nós sabemos que existe uma única função contínua e côncava W : X ! R tal que (W ) = W . Mas o mesmo teorema nos garante que existe uma única função contínua V : X ! R tal que (V ) = V . Dada a unicidade dos dois pontos …xos acima nós somos obrigados a concluir que W = V .
(b) Na letra (a) nós aprendemos que a equação funcional acima tem uma única solução, V , no espaço de funções contínuas e que esta função é côncava. Vamos mostrar agora que V é na verdade estritamente côncava. Como V é um ponto …xo do operador , é su…ciente mostrar que (V ) é estritamente côncava. Mas nós já mostramos na letra (a) que o operador mapeia funções côncavas em funções estritamente côncavas e, portanto (V ) é estritamente côncava.