2. DIMENSIONAMENTO DE REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ÁGUA
2.1.3 Programação Linear
As técnicas de otimização baseadas em PNL ainda estavam em processo de desenvolvimento na década de 1970 e os métodos mais empregados consistiam na resolução de problemas de otimização irrestrita, apresentando deficiências como a dificuldade na definição dos coeficientes de penalidades, além de encontrar como se como resultados apenas diâmetros contínuos que na maioria dos casos não eram disponíveis para venda. Nesse período, as técnicas de otimização mais robustas empregadas na análise de sistemas e que apresentavam melhores resultados eram baseados na técnica de Programação Linear (PL). Assim, grande parte das aplicações na Engenharia da época procurava linearizar os problemas de modo a poder utilizar essa ferramenta.
O outro trabalho pioneiro no dimensionamento das redes foi proposto por Karmelli, Gadish e Meyers (1968). Embora as redes ramificadas fossem o foco dessa metodologia, ela foi base de dezenas de trabalhos posteriores que a adaptaram para otimizar redes malhadas. O método de Karmelli, Gadish e Meyers (1968) parte do princípio de que as vazões nos trechos da rede são previamente conhecidas. Com isso, é possível formular o problema de forma que as equações tratadas sejam todas lineares, podendo-se assim utilizar uma ferramenta da Programação Linear (PL), como o método Simplex, em que o resultado obtido é um mínimo global, e as restrições físicas e de projeto podem ser expressas explicitamente.
O método proposto por Karmelli, Gadish e Meyers (1968) é baseado em uma seleção especial das variáveis de decisão, em que é utilizado o artifício de admitir uma série de diâmetros candidatos, dentre os comercialmente disponíveis para cada trecho (Figura 2.1), sendo as variáveis de decisão os comprimentos dos segmentos dos trechos com diâmetros constantes. Desse modo o custo de um determinado trecho i é fornecido por:
∑
= = nti 1 j i j ij i l (d ) ) ( C dΨ
(2.2)onde C(d)i é o custo do trecho i da rede de distribuição; lij é o comprimento
ocupado pelo diâmetro dj no trecho i considerado;
Ψ
(dj)i é o preço unitário do tubode diâmetro dj e nti é o número de diâmetros comerciais atribuídos ao trecho i em
questão.
A função objetivo a ser minimizada via PL, cobrindo todos os trechos da rede, será expressa por:
∑∑
= = = NT 1 i nt 1 j i j ij i ) d ( l ) , ( C dq Ψ (2.3)d
L
l
l
ll
ll
d
d
d
1 i i1 i2 ijij-1 ijij 2 j-1 jFigura 2.1 - Esquema da distribuição dos segmentos de trechos do método de Jacoby
A solução obtida deve estar sujeita às seguintes restrições físicas e de projeto: 1. Carga hidráulica nos nós deve ser maior que a mínima requerida:
Z -
∑
= k 1 c c J ≥ Ζκ (2.4)onde Z é a cota piezométrica de cabeceira na rede; Zk é a cota piezométrica requerida
no nó k e; ΣJc é a soma das perdas de carga nos trechos pertencentes ao percurso
compreendido entre a cabeceira e o nó k.
2. A soma dos comprimentos lij, correspondentes aos distintos diâmetros dj,
atribuídos a cada trecho i, deve ser igual ao comprimento do trecho
∑
= = i nt 1 j i ij L l (2.5)3. Não negatividade dos comprimentos lij
lij
≥
0 (2.6)Um dos trabalhos mais importantes para o desenvolvimento de modelos de otimização empregados no dimensionamento de redes de abastecimento de água foi o proposto por Alperovitz e Shamir (1977) que empregava como ferramenta de otimização um método de PL modificado denominado de Gradiente de Programação Linear (GPL). Neste método as vazões nos trechos são inicialmente especificadas e o problema é resolvido através da PL considerando uma formulação semelhante à de Karmelli, Gadish e Meyers (1968), em que se pode trabalhar com diâmetros disponíveis comercialmente. Posteriormente, as vazões são modificadas de acordo com o Gradiente da Função Objetivo (GFO), sendo que Alperovitz e Shamir (1977) empregaram as variáveis duais obtidas a partir da resolução do problema de PL para este fim. Um novo problema, introduzindo as vazões modificadas, é formulado e resolvido através da PL, sendo o processo repetido até que a solução ótima seja encontrada.
Embora apresentassem pequenos erros na diferenciação do método de modificação dos diâmetros, que foram corrigidos posteriormente por Quidry et al. (1979), a formulação proposta por Alperovitz e Shamir (1977) mostrou-se apropriada para se trabalhar com a minimização dos custos da rede uma vez que os resultados obtidos eram baseados em diâmetros comerciais, o que até então tinha sido uma novidade em se tratando de otimização de redes de abastecimento. Outro ponto forte
do método proposto é a possibilidade de se trabalhar com diferentes condições de demandas da rede.
Melhorias do método de Alperovitz e Shamir (1977) foram feitas por diversos autores. Quindry, Brill, e Liebman (1981) propuseram uma formulação, após incorporar as correções na expressão do gradiente, utilizando as cargas nos nós como dados conhecidos ao invés das vazões. Fujiwara et al. (1987) apresentaram uma derivação completa das expressões do gradiente corrigido por Quidry et al. (1979), sugerindo o uso de um método quasi-Newton para determinar a direção do GFO e um método de busca unidirecional para a definição do “tamanho do passo” a ser adotado. Foi verificado que a solução final é muito sensível ao “tamanho do passo”, o que pode ser devido à existência de vários ótimos locais muito próximos. Kessler e Shamir (1989) propuseram a adoção do método do gradiente projetado para definição tanto da direção quanto do passo do GFO, obtendo então melhores resultados a partir da metodologia GPL.
Outros métodos que minimizam o custo da rede a partir da PL foram propostos por Bhave (1979), Bhave (1983a) e Bhave (1983b), que empregaram uma metodologia baseada na Teoria dos Grafos para definição dos caminhos críticos da rede de modo a seccioná-la transformando-a numa rede ramificada, que pode então ser otimizada através do método de Karmelli, Gadish e Meyers (1968). Esse método está restrito aos sistemas de distribuição que atuam por gravidade e que são abastecidos por uma única fonte.
Morgan e Goulter (1986) propuseram um método de dois estágios que utilizava a PL para determinar os comprimentos dos segmentos de trechos e uma ferramenta de análise hidráulica baseada no método de Cross (1936), para efetivar o balanço das vazões após cada estágio de otimização. Um procedimento semelhante foi adotado por Leal (1997), utilizando, no entanto, o método Granados (GRANADOS, 1990), de Programação Dinâmica (PD), como otimizador.
De um modo geral os modelos baseados na PL foram relegados ao segundo plano no final dos anos 1980 devido a alguns fatores:
• dificuldade de retratar linearmente o problema não linear de modo completo, sendo que, para a utilização dessa ferramenta, é necessária a inclusão de diversas aproximações;
• aparecimento de novos métodos de PNL que possibilitam trabalhar com restrições como por exemplo: Programação Quadrática Sequencial - SQP - (GILL, MURRAY e WRIGHT, 1984; SCHITTKOWSKI, 1985), Gradiente Reduzido Generalizado 2 - GRG2 - (LASDON ET AL. 1984).
• aumento excessivo do número de variáveis de decisão, para problemas de maior porte, uma vez que, ao se utilizar formulação de Karmelli, Gadish e Meyers (1968), são necessários cerca de cinco vezes mais variáveis para descrever o problema via PL;
• aumento considerável da capacidade dos computadores desde o início dos anos 1970, o que tornou possível utilização de métodos mais complexos que demandam maior capacidade computacional, o que era impraticável anteriormente.