Programação Linear PL

A Programação Linear compreende modelos de programação onde as variáveis são contínuas e todas as expressões apresentam um comportamento linear. A condição necessária para sua utilização é que todas as relações entre as diferentes variáveis sejam lineares, tanto restrições quanto a função objetivo a ser otimizada (LUENBERGER, 1973).

Os métodos de Programação Linear apresentam como principal desvantagem a presunção de linearidade nas relações, particularmente na função-objetivo. Somente para um conjunto limitado de problemas esta hipótese pode ser aceita sem grande distorção da realidade. Várias técnicas de linearização, tais como linearização por partes, expansões por séries de Taylor de primeira ordem e esquemas iterativos, podem ser usadas com sucesso (LOUCKS e FALKSON, 1970).

Windsor e Chow (1972) usaram um modelo PL em estudos de operação de múltiplos reservatórios. Nesse estudo uma condição de aproximação linear foi usada para substituir funções não-lineares, que envolviam um conjunto de variáveis de decisão. Windsor (1973) apresentou uma metodologia empregando Programação Linear Recursiva, como ferramenta de otimização para a análise de sistemas de controle de inundação em múltiplos reservatórios. Clyde e King (1973) desenvolveram um modelo de alocação ótima de recursos hídricos para o estado de Uttah nos Estados Unidos, usando um modelo de PL. O sistema de minimização de custo, era composto por combinações de variáveis, como: águas subterrâneas, águas superficiais e transferência de água entre reservatórios, dentre outras, que minimizavam os custos. Becker e Yeh (1974) desenvolveram uma metodologia usando PL que visava a otimização operacional de um sistema de múltiplos reservatórios, em tempo real.

Rydzewski e Rashid (1981) descreveram uma abordagem para encontrar uma alocação ótima de recursos hídricos superficiais e subterrâneos para três áreas agrícolas localizadas a leste do vale do rio Jordão, Israel, em condições de escassez de abastecimento de água. Usaram modelos de PL e de PNL e o modelo de PL foi usado para otimizar a obtenção de água em oito fontes e destiná-las para três áreas de irrigação.

Loucks et al. (1981) apresentaram três métodos para linearização por partes, ressaltando que com a utilização de processos de linearização, a programação linear pode ser usada para maximizar funções côncavas ou para minimizar funções convexas.

De acordo com Loucks et al. (1981), Goodman (1984), Votruba (1988), Votruba e Broza (1989) e Wurbs (1996) o emprego de técnicas de Programação Linear é observado em diversos modelos destinados à alocação de recursos hídricos para múltiplos usos, desde

simples modelos de alocação até complexos sistemas de gerenciamento e de operação de reservatórios.

Palmer et al. (1982) usou um modelo de PL para determinar rendimentos firmes de sistemas de reservatórios composto por um único reservatório ou por múltiplos reservatórios na bacia do rio Potomac, Estados Unidos, Análises de conflitos foram realizadas para determinar o impacto da diminuição da vazão a jusante sobre o rendimento do sistema. A aplicação da técnica de Programação Linear Sequencial para a otimização da operação de reservatórios foi demonstrada por Grygier e Stedinger (1985).

Segundo Yeh (1985) a programação linear, particularmente em operação de sistemas de reservatórios, apresenta como principais vantagens: o fato de não precisar de uma regra inicial na operação de reservatórios; a existência de rotinas computacionais ou solvers prontos para a resolução dos problemas; a destreza em se ajustar a problemas multidimensionais e a segurança no alcance de valores ótimos globais.

Palmer e Holmes (1988) incorporou um modelo de PL em um sistema de apoio à decisão para determinar a condições de funcionamento ideal em um sistema de reservatórios. O modelo de PL baseava-se em duplo objetivo: o de melhorar os rendimentos e o de minimizar os prejuízos económicos associados a déficits do sistema.

Ellis e ReVelle (1988) apresentaram um algoritmo linear separável determinista para maximizar a produção de energia hidrelétrica agregada. A metodologia do modelo baseava-se em transformar problemas não-lineares de maximização de geração hidrelétrica, com funções não-separáveis, em problemas lineares, com funções separáveis, que podiam ser resolvidos por pacotes computacionais de programação linear disponíveis.

Crawley e Dandy (1993) expuseram um modelo determinístico que utilizava técnicas de Programação Linear para simular diversas situações de utilização e de rendimento de um sistema de abastecimento de água na cidade de Adelaide, Austrália.

Segundo Wurbs (1996) existem vários pacotes computacionais genéricos para a resolução de problemas de Programação Linear, um dos mais utilizados é o modelo GAMS, da GAMS Development Corporation, inicialmente desenvolvido pelo Banco Mundial.

Foued e Sameh (2001) desenvolveram um modelo de operação e controle de sistemas de reservatórios com múltiplos usos. O método utilizado é baseado na aplicação de uma abordagem de programação objetivo estocástica.

Etkin et al. (2008) desenvolveram um modelo de programação estocástica linear, que transforma precipitações em previsões sazonais de vazão, em tempo real. O principal objetivo do modelo era o de prever lançamentos mais eficientes e equitativos, visando a

manutenção de uma dada vazão defluente a jusante. Visando proporcionar uma facilidade operacional, o modelo oferece uma interface gráfica baseada em VBA (GUI). O modelo foi aplicado em uma rede de reservatórios e estruturas de desvio na bacia do Rio Comoe no sudoeste de Burkina Faso, África Ocidental.

Price e Ostfeld (2012) desenvolveram um modelo que linearizava funções objetivo e equações de restrição não lineares convexas, através de um método de linearização baseado em GAMS/CBC (General Algebraic Modeling System/Coin-or Branch and Cut) com programação linear. O algoritmo sugerido pelo modelo permite uma linearização iterativa, através do aumento ou diminuição da convexidade de equações não-lineares, incorporada em modelos de otimização de programação linear.

Ramos et al. (2015) compararam duas metodologias de modelagem de funções de produção de hidroeletricidade (HPF) de longo prazo para problemas de planejamento de operação de longo prazo. A primeira abordagem consistiu em uma aproximação não linear que utilizava uma função sigmoide. A segunda consistiu em fazer aproximações lineares por partes, onde as características não lineares são aproximadas por um conjunto de funções convexas. O modelo desagregava a meta de cada subsistema de geração de energia em metas individualizadas de geração. Um estudo de caso foi aplicado ao sistema elétrico brasileiro. Os resultados mostram que a abordagem linear por partes apresenta uma boa aproximação com um tempo de processamento consideravelmente menor.