estágios, em que o primeiro estágio seja um passa-altas com um ponto de interrupção em 100 Hz e o segundo estágio seja um passa-baixas com um ponto de interrupção em 10 kHz. Con-
sidere que a fonte do sinal de entrada tem uma impedância de 100 Ω. Qual é a impedância de saída de pior caso do seu filtro e, portanto, qual é a impedância de carga mínima recomendada?
1.7.2 Reatância de Indutores
Antes de embarcar em um tratamento totalmente correto de impedância, repleto de exponenciais complexas e coisas se- melhantes, usaremos nossos truques de aproximação para descobrir a reatância de um indutor.
Funciona como antes: imaginamos um indutor L acio- nado por uma fonte de tensão senoidal de frequência angular ω, de tal modo que flua uma corrente I(t) I0sen ωt.40 En-
tão, a tensão sobre o indutor é
E, assim, a relação entre os módulos de tensão e corrente – a grandeza semelhante à resistência denominada reatância – é exatamente
Então, para um indutor,
XL ωL.
Indutores, assim como capacitores, têm uma reatância dependente da frequência; no entanto, aqui a reatância au- menta com o aumento da frequência (o oposto dos capacito- res, onde ela diminui com o aumento da frequência). Assim, em uma visualização mais simples, um indutor em série pode ser utilizado para a passagem de CC e de baixas frequências (onde a sua reatância for pequena) enquanto bloqueia altas frequências (onde a sua reatância é alta). Muitas vezes, você vê indutores utilizados dessa maneira, especialmente em cir- cuitos que operam em frequências de rádio; nessa aplicação, eles, às vezes, são denominadas choques.
1.7.3 Tensões e Correntes como Números
Complexos
Neste ponto, é necessário utilizar um pouco de álgebra com- plexa; pode ser que você queira ignorar a matemática em algu- mas das seções a seguir, tomando nota dos resultados à medi- da que os deduzimos. Não é necessário um conhecimento dos detalhes matemáticos para a compreensão do restante do livro. Muito pouco de matemática será utilizado em capítulos pos- teriores. A seção à frente é, seguramente, a mais difícil para o leitor com pouca preparação matemática. Não desanime!
39 Com duas importantes exceções – a saber, linhas de transmissão e fontes
de corrente.
40 Tomamos o caminho fácil aqui, especificando a corrente em vez da tensão;
somos recompensados com uma derivada simples (em vez de uma integral simples!).
Como acabamos de ver, não pode haver deslocamentos de fase entre a tensão e a corrente em um circuito CA sendo acionado por uma onda senoidal em alguma frequência. No entanto, enquanto o circuito possuir apenas elementos linea- res (resistores, capacitores, indutores), as magnitudes das correntes em todos os pontos do circuito ainda serão propor- cionais à magnitude da tensão de acionamento, de modo que podemos esperar encontrar alguma generalização de tensão, corrente e resistência, a fim de resgatar a lei de Ohm. Eviden- temente, um único número não é suficiente para especificar a corrente, por exemplo, em algum ponto do circuito, porque devemos, de algum modo, ter informação sobre o módulo e o desvio de fase.
Embora possamos imaginar especificar os módulos e deslocamentos de fase de tensões e correntes em qualquer ponto do circuito escrevendo-os explicitamente, por exem- plo, V(t) 23,7 sen(377t 0,38), verifica-se que podemos atender mais às nossas necessidades simplesmente usando a álgebra de números complexos para representar as ten- sões e correntes. Então, podemos simplesmente somar ou subtrair as representações de números complexos em vez de laboriosamente ter que somar ou subtrair as funções senoidais reais no tempo. Como as verdadeiras tensões e correntes são quantidades reais que variam com o tempo, temos de desenvolver uma regra para conversão de quan- tidades reais para suas representações, e vice-versa. Lem- brando mais uma vez de que estamos falando de uma única frequência de onda senoidal, ω, concordamos em usar as seguintes regras.
1. Tensões e correntes são representadas pelas quantida- des complexas V e I. A tensão V0 cos(ωt ϕ) deve ser
representada pelo número complexo V0ejϕ. Lembre-se
de que ejϕ cos ϕ j sen ϕ, em que
2. Obtemos tensões e correntes reais multiplicando suas representações de números complexos por ejωt e, em seguida, tomamos a parte real:
Em outras palavras, tensão de circuito versus tempo representação de número complexo multiplique por ejωt e obtenha a parte real
(Em eletrônica, o símbolo j é usado no lugar de i na exponen- cial, a fim de evitar confusão com o símbolo i, que significa corrente de pequeno sinal.) Assim, no caso geral, as tensões e correntes reais são dadas por
Por exemplo, uma tensão cuja representação complexa é
V 5 j
corresponde a uma tensão (real) em função do tempo de
1.7.4 Reatância de Capacitores e Indutores
Com essa convenção, podemos aplicar a complexa lei de Ohm corretamente para circuitos que contêm capacitores e indutores, assim como para os resistores, uma vez que sa- bemos a reatância do capacitor ou indutor. Descobriremos o que isso significa. Começamos com uma tensão senoidal simples V0 cos ωt aplicada em um capacitor:
Então, utilizando I C(dV (t)/dt), obtemos
isto é, para um capacitor,
ZC é a impedância de um capacitor na frequência ω; ela é
igual em módulo à reatância XC 1/ωC que encontramos anteriormente, mas com um fator de j que responde por 90° de deslocamento de fase adiantado da corrente em função da tensão. Como um exemplo, um capacitor de 1 μF tem uma impedância de 2.653 jΩ em 60Hz, e 0,16jΩ em 1 MHz. As reatâncias correspondentes são 2653 Ω e 0,16 Ω.41 Sua reatância (e também a sua impedância) em CC é infinita.
Se fizéssemos uma análise semelhante para um indu- tor, encontraríamos
Um circuito contendo apenas capacitores e indutores sempre tem uma impedância puramente imaginária, o que significa que a tensão e a corrente estão sempre 90° fora de fase – ele é puramente reativo. Quando o circuito contém resistores, tem
41 Note a convenção de que a reatância X
C é um número real (o deslocamento
de fase de 90° está implícito no termo “reatância”), mas a impedância corres- pondente é puramente imaginária: Z R jX.
também uma parte real da impedância. O termo “reatância”, nesse caso, significa apenas a parte imaginária.
1.7.5 A Lei de Ohm Generalizada
Com estas convenções para representar tensões e correntes, a lei de Ohm toma uma forma simples. Ela é simplesmente
em que a tensão representada por V é aplicada no circuito de impedância Z, resultando em uma corrente representada por
I. A impedância complexa de dispositivos em série ou em
paralelo obedece às mesmas regras que a resistência:
(em série) (1.30)
(em paralelo) (1.31)
Por fim, para completar, resumimos aqui as fórmulas para a impedância de resistores, capacitores e indutores:
(resistor) (capacitor) (indutor)
(1.32)
Com essas regras, podemos analisar diversos circuitos CA pelos mesmos métodos gerais que foram utilizados ao lidar- mos com circuitos CC, isto é, a aplicação das fórmulas para circuitos em série e paralelo e a lei de Ohm. Nossos resulta- dos para circuitos tais como divisores de tensão parecerão quase os mesmos de antes. Para multiplicarmos redes conec- tadas, podemos usar as leis de Kirchhoff, assim como em cir- cuitos CC, neste caso utilizando as representações complexas para V e I: a soma das (complexas) quedas de tensão em tor- no de uma malha fechada é zero, e a soma das (complexas) correntes em um ponto é zero. A última regra implica, como em circuitos CC, que a corrente (complexa) em um circuito em série é a mesma em todos os pontos.