6.3 M´etodo de Ziegler Nichols
6.3.2 Projeto baseado na resposta em malha fechada
Figura 6.16: Compensa¸c˜ao pelo m´etodo de Ziegler-Nichols
Os parˆametros do controlador s˜ao ajustados para obter-se uma raz˜ao de decaimento de 0.25. A raz˜ao de um quarto corresponde a ζ = 0.21. Ou seja, o transit´orio dominante decai um quarto do seu valor ap´os um per´ıodo de oscila¸c˜ao. Os valores propostos s˜ao dados na Tabela 6.1
Tabela 6.1: Ajustes para o m´etodo de Ziegler-Nichols Tipo de Controle Ganhos ´otimos
Proporcional K= 1 RL
PI K= 0.9
RL TI= L
0.3
PID
K= 1.2 RL TI = 2L TD = 0.5L
6.3.2 Projeto baseado na resposta em malha fechada
As regras de ajuste de parˆametros de controladores descritas nesta se¸c˜ao foram desenvolvidas `a partir das experiˆencias de Ziegler realizadas em diversos processos e tamb´em dos m´etodos de an´alise de Nichols.
Os ajustes propostos s˜ao dados em termos do ganho de um controlador proporcional que leva o sistema ao limite de estabilidade,Kosc, e do per´ıodo de oscila¸c˜ao Posc. Assim, considere o processo mostrado na figura 6.16.
Neste processo,
Posc= 2π ωosc = 2π
ωπ
Os ajustes propostos para a compensa¸c˜ao por este m´etodo s˜ao mostrados na Tabela 6.2.
Os ajustes de Ziegler-Nichols fornecem em geral uma maneira de se conseguir uma resposta r´apida com um n´ıvel adequado de estabilidade. Contudo, eles s˜ao baseados em experiˆencias com processos t´ıpicos e devem ser condiderados como primeiras alternativas.
Exemplo 6.3.1 Considere o sistema mostrado na Figura 6.17.
Calcule os ajustes de um controlador PID para este sistema.
• C´alculo de Kosc e Posc.
A fun¸c˜ao de transferˆencia em malha fechada para o sistema da figura 6.17 ´e dada por
G(s) = K¯
s3+ 3,5s2+ 3,5s+ ( ¯K+ 1)
Tabela 6.2: Compensa¸c˜ao por Ziegler-Nichols - ajustes propostos
Tipo C(s) Kc TI Td
P Kc 0,50Kosc
PI Kc
1 +T1
Is
0,45Kosc 0,83Posc PID Kc
1 +T1
Is +Tds
0,60Kosc 0,50Posc 0,125Posc PD Kc(1 +Tds) 0,60Kosc 0,125Posc
C(s): FT do compensador
Kc : ganho est´atico
TI : cte de tempo do termo integrador
Td : cte de tempo do termo derivador
Σ Kc 0.5
(1 + 2s)(1 +s)(1 + 0.5s)
R(s) + Y(s)
−
Figura 6.17: Compensa¸c˜ao pelo m´etodo de Ziegler-Nichols - exemplo onde K¯ = 0,5Kc.
A aplica¸c˜ao do crit´erio de Routh-Hurwitz fornece K¯ ≤11,25
K¯ ≥ −1,0 tal queK¯osc= 11,25 eKosc= 22,5.
Da equa¸c˜ao auxiliar, s1,2 =±j1,87, de forma que ωosc= 1,87, e portanto Posc= 3,36 seg.
• C´alculo do controlador
Kc= 0,60×Kosc= 13,5 TI= 0,50×Posc= 1,68 Td= 0,125×Posc= 0,42 Portanto, a fun¸c˜ao de transferˆencia do controlador ´e dada por
C(s) = 13,5
1 + 1
1,68s+ 0,42s
Os parˆametros ¯Kosc e Posc podem tamb´em ser determinados dos diagramas de Bode. Isto ´e mais conveniente se estes diagramas estiverem dispon´ıveis.
Exerc´ıcios
1. Dado o processo
G(s) = 1
(s+ 2)(s+ 5) projete um controlador que assegure:
• Erro ao degrau nulo em regime permanente.
• Resposta tipo primeira ordem, comTr5% = 1 seg..
2. Dado o processoG(s) = (s+2)(s+4)20 projete um controlador que assegure, em malha fechada:
• Erro ao degrau nulo em regime permanente.
• Resposta tipo segunda ordem, com amortecimentoζ = 0.7.
3. Seja a fun¸c˜ao de transferˆencia de um processo, a ser controlado em malha fechada, dada por G(s) = 1
s(1 + 0.1s) (6.3.1)
Deseja-se projetar um controlador a estrutura
Gc(s) =K1 +τ1s
1 +τ2s (6.3.2)
para o projeto dado, de modo que, em malha fechada, o sistema resultante apresente as seguintes caracter´ısticas:
• Erro em regime nulo para entrada em degrau
• Resposta tipo segunda ordem, com raz˜ao de amortecimento ζ≈0.5
• tr5%≈0.3 s
4. Para o processo com fun¸c˜ao de transferˆencia G(s) = 1+0.5s5 projete um controlador que assegure em malha fechada:
• resposta tipo 1a ordem
• erro ao degrau em regime permanente de 1%
• tempo de resposta a 5% de 0.1 seg.
5. Supondo que o processo do Exerc´ıcio 4 possua uma dinˆamica n˜ao modelada, consistindo de um p´olo em s=−20, ou seja,G(s) = (1+0.5s)(1+0.05s)5 :
• determine o tempo de resposta do sistema em malha fechada, com o compensador projetado (sistema compensado)
• determine o erro em regime permanente do sistema compensado para uma entrada em degrau
• determine o amortecimento e a frequencia natural do sistema compensado
• esboce a resposta em malha fechada a uma entrada em degrau 6. Dado o processo com fun¸c˜ao de transferˆencia
G(s) = 4
(s+ 1)(s+ 3)(s+ 4)
projete um controlador que assegure erro zero ao degrau e uma resposta de segunda ordem, com tempo de respostat5%= 1.0seg e amortecimento ζ = 0.7.
7. Para o sistema do Exerc´ıcio 6, usando o m´etodo de Ziegler-Nichols, projete um controlador P I. A estrutura do controlador ´e: Gc =Kc(1 +T1
Is) ondeKc = 0.45Kosce TI= 0.83Posc.
8. A fun¸c˜ao de transferˆencia em malha aberta de um processo, levantada experimentalmente, ´e 1+0.5s1 . Um controlador proporcional ´e usado para o sistema em malha fechada. O operador especifica um erro est´atico ao degrau e seleciona o ganho correspondente. Observa-se ent˜ao uma resposta oscilat´oria a uma entrada em degrau, com primeira ultrapassagem de 20% e freq¨uˆencia de oscila¸c˜ao de 1.91 Hz, em desacordo com o modelo. Determine:
• o modelo real do processo
• o erro ao degrau esperado e o erro ao degrau observado
• otr5% esperado e o tr5% observado
9. Um sistema de controle com realimenta¸c˜ao negativa unit´aria tem um processo com a seguinte fun¸c˜aoo de transferˆencia
G(s) = 400 s(s+ 40)
e deseja-se usar um controlador em cascata do tipo proporcional-integral Gc(s) =K1+K2
s
Determine valores adequados de K1 de tal maneira que a primeira ultrapassagem seja de aproxi-madamente 20% e o tempo de resposta a 2% seja de 1.5 segundos. Use as condi¸c˜oes de pertinˆencia ao lugar das ra´ızes.
10. Dado o processo cuja fun¸c˜ao de transferˆencia ´eG(s) = 3
(5s+ 1)(6s+ 1)
• Escolher o controlador e determinar seus parˆametros para que o sistema em MF cumpra as especifica¸c˜oes:
– e(∞) = 0
– resposta tipo segunda ordem com ζ = 0,43
• Calcular os tempos de resposta em malha aberta e malha fechada.
11. Para o processo do Exerc´ıcio 10, escolher um controlador e determinar os seus parˆametros para obtere(∞) = 0 e resposta tipo primeira ordem com tr5%−M F = 1,0 seg.
12. Se a fun¸c˜ao de transferˆencia do processo do Exerc´ıco 10, forG(s) = 3
(5s+ 1)(6s+ 1)(0,5s+ 1), e se aplicar o controlador calculado no Exerc´ıcio 11,
• Qual ser´a o comportamento do sistema em MF? (Esbo¸car a resposta temporal ao degrau unit´ario).
• Qual o m´aximo valor do ganho do controlador compat´ıvel com uma resposta sem oscila¸c˜oes?
13. Seja o processo cuja fun¸c˜ao de transferˆencia ´eG(s) = 3
(1 + 10s)(1 + 0,5s)
• Desprezando a constante de tempo igual a 0,5seg, determine o controlador para o qual a resposta em MF ´e caracterizada por e (∞) = 0 e tM F −r5% = 1seg.
• Considere agora as duas constantes de tempo e o controlador obtido anteriormente. Determine ζ eωnda resposta em MF, otM Fr5% e o maior valor do ganho do controlador para que a resposta n˜ao seja oscilat´oria.
14. Usando os crit´erios de Ziegler-Nichols, determine os parˆametros de controladores P,PI e PID para os sistemas cujas fun¸c˜oes de transferˆencia s˜ao dadas abaixo:
a. G(s) = 10(1 + 5s)
15. Seja o processo cuja FT em malha aberta ´eG(s)H(s) = K s(1 + 0,2s)2
• suponha K=1, calcule as margens de ganho e fase do sistema.
• Qual o valor de K que produzir´a uma margem de ganho de 6 dB?
• A partir dos resultados dos itens anteriores e dos ajustes de Ziegler-Nichols, determine os parˆametros de um controlador para o processo considerado.
16. Para o sistema
G(s) = 10
(s+ 2)(s+ 5)(s+ 1)
deve-se projetar um controlador. Para o projeto pode-se desprezar a menor constante de tempo a. Projete para o sistema aproximado um controlador que garanta, simultaneamente:
i) Resposta do tipo primeira ordem para o sistema aproximado;
ii) Tempo de resposta a 5% de 0.1 seg;
iii) Erro nulo ao degrau.
b. Com o controlador projetado e usando o lugar das ra´ızes, estude o efeito da constante de tempo desprezada.
17. Para o sistema da Figura 6.18(a), ondeG(s) = 4 (s+ 2)(s+ 4) a. Projete um controlador que assegure:
– Erro zero a uma perturba¸c˜ao do tipo degrau.
– Resposta a uma referˆencia do tipo degrau de primeira ordem com tempo de resposta a 5% de 0.1seg.
b. Suponha agora que a perturba¸c˜ao atue no sistema de acordo com a Figura 6.18(b). O contro-lador ainda rejeita a perturba¸c˜ao em degrau? Porque? Explique em que condi¸c˜oes gerais isto n˜ao acontece.
(a) Figura para o item 17a.
D(s)
Σ C(s) Σ G(s)
R(s)+ Y(s)
−
+ −
(b) Figura para o item 17b.
Figura 6.18: Problema 17 18. Uma planta de segunda ordem ´e dada porG(s) = 4
(s+ 2)(s+ 4)
a. Projete um controlador que assegure erro nulo a uma referˆencia em degrau e resposta de primeira ordem com tempo de resposta a 5% de 0.3seg.
b. Determine os erros ao degrau, `a rampa e `a par´abola de referˆencia do sistema compensado.
Comente as propriedades do controlador com rela¸c˜ao ao erro aos diferentes sinais de referˆencia.