Nesta se¸c˜ao analisaremos algumas fun¸c˜oes de transferˆencia relacionadas `as propriedades que queremos estudar, especialmente o seguimento de referˆencias e o efeito de perturba¸c˜oes e ru´ıdo. O diagrama de blocos do sistema ´e representado na Figura 4.1.
D(s)
Σ C(s) Σ G(s)
Σ
R(s) E(s) Y(s)
N(s) +
−
+ −
+ +
Figura 4.1: Configura¸c˜ao com realimenta¸c˜ao unit´aria
Podemos considerar na fun¸c˜ao de transferˆencia da Figura 4.1, as entradas como sendo a referˆencia R(s), a perturba¸c˜ao D(s) e o ru´ıdoN(s). A sa´ıda Y(s) ´e dada por
Y(s) = GC(s)
1 +GC(s)R(s)− G(s)
1 +GC(s) − GC(s)
1 +GC(s)N(s) (4.2.1)
Podemos ent˜ao considerar trˆes fun¸c˜oes de transferˆencia de interesse.
A fun¸c˜ao de transferˆencia
Y(s)
R(s) = GC(s)
1 +GC(s) (4.2.2)
relaciona a sa´ıda com a referˆencia. Esta fun¸c˜ao
T = GC(s)
1 +GC(s) (4.2.3)
´e chamada de fun¸c˜ao de sensibilidade complementar.
A fun¸c˜ao de transferˆencia
Y(s)
D(s) = G(s)
1 +GC(s) (4.2.4)
relaciona a sa´ıda com a perturba¸c˜ao e ´e chamada de fun¸c˜ao de sensibilidade `a perturba¸c˜ao.
A fun¸c˜ao de transferˆencia
Y(s)
N(s) = GC(s)
1 +GC(s) (4.2.5)
relaciona a sa´ıda com o ru´ıdo e ´e chamada de fun¸c˜ao de sensibilidade ao ru´ıdo.
Al´em destas trˆes fun¸c˜oes de podemos definir uma quarta fun¸c˜ao de transferˆencia definida como
S = 1
1 +GC(s) (4.2.6)
Esta fun¸c˜ao de transferˆencia corresponde `a rela¸c˜ao entre o erro e a referˆencia, ou seja, E(s)
R(s) = 1
1 +GC(s) (4.2.7)
Observa-se que est fun¸c˜ao de transferˆencia relaciona-se `a fun¸c˜ao sensibilidade complementar por
S+T = 1 (4.2.8)
Propriedades importantes de sistemas de controle em malha fechada podem ser analisadas a partir das propriedades destas fun¸c˜oes de transferˆencia. A seguir analisaremos algumas delas.
4.2.1 Rastreamento ou seguimento da referˆencia (precis˜ao)
Da Equa¸c˜ao 4.2.1, considerandoR(s) =N(s) = 0 segue que para obtermos um seguimento da referˆencia, ou seja Y(s)≈R(s), deve-se ter GC(s)≫ 1. Pode-se concluir que elevados valores de ganho na malha direta assegura esta propriedade. Este ganho depende da planta e do controlador e varia com a freq¨uˆencia.
No entanto o maior interesse ´e assegurar que em regime permanente a sa´ıda siga a referˆencia, e um elevado ganho do controlador em baixas freq¨uˆencias ´e suficiente para assegurar um bom desempenho do sistema de controle em termos de rastreamento.
4.2.2 Rejei¸c˜ao de perturba¸c˜oes
Da fun¸c˜ao de transferˆencia 4.2.1 a perturba¸c˜ao modifica o valor de sa´ıda atrav´es da fun¸c˜ao de sensibilidade
`
a perturba¸c˜ao definida dada por
Y(s)
D(s) = G(s)
1 +GC(s) (4.2.9)
Neste caso o objetivo ´e minimizar a magnitude desta fun¸c˜ao de sensibilidade assegurando boas propri-edade de rejei¸c˜ao de perturba¸c˜ao. Isto ´e conseguido para elevados valores de |1 +GC(s)|. Note que isto ocorre para elevados valores de magnitude deGC(s), quando a fun¸c˜ao de sensibilidade `a perturba¸c˜ao se reduz a 1
C(s) e com ganhos elevados do controlador, tem-se redu¸c˜ao do efeito da perturba¸c˜ao. Portanto a caracter´ıstica do controlador que assegura rastreamento da referˆencia tamb´em assegura a propriedade desejada de rejei¸c˜ao de perturba¸c˜ao.
4.2.3 Sensibilidade ao ru´ıdo
Da fun¸c˜ao de sensibilidade ao ru´ıdo 4.2.5 e de 4.2.1 observa-se que o ru´ıdo afeta pouco a sa´ıda se GC(s) → 0. Este requisito ´e conflitante com os requisitos anteriores de seguimento da referˆencia e rejei¸c˜ao de perturba¸c˜ao. No entanto, o ru´ıdo tem componentes de alta freq¨uˆencia e se a magnitudeGC(s) tiver valores baixos em altas freq¨uˆencias e valores elevados em baixas freq¨uˆencias, pode-se conciliar os requisitos de rastreamento de referˆencia, rejei¸c˜ao de perturba¸c˜ao e baixa sensibilidade a ru´ıdos.
4.2.4 Sensibilidade param´etrica
Na obten¸c˜ao de modelos de sistemas parte-se da hip´otese de que os valores dos parˆametros s˜ao conhecidos e constantes. Na realidade varia¸c˜oes nas condi¸c˜oes de opera¸c˜ao como mudan¸cas de temperatura, desgaste de componentes, etc, provocam mudan¸cas nos valores dos parˆametros. Assim, mesmo que os valores dos parˆametros tenham sido obtidos corretamente, e deve-se assinalar que, al´em de poss´ıveis erros, alguns parˆametros podem ser dif´ıceis de serem determinados, o controlador projetado usando o modelo ir´a operar em um sistema cujos parˆametros reais diferem do modelo.
O objetivo aqui ´e estudar o efeito que a varia¸c˜ao param´etrica tem no ganho em regime permanente, ou seja, o ganho entre a entrada e a sa´ıda em regime permanente. Este ganho ser´a representado porT. Na Figura 4.1 o ganho em regime permanente ´e dado por GC(0)
1 +GC(0).
Defini¸c˜ao 6 A Sensibilidade Param´etrica, do ganho T, em regime permanente, com rela¸c˜ao a um parˆametro P, ´e definida por SPT =
∆T T
∆P P
Esta defini¸c˜ao ´e geral e pode ser aplicada com rela¸c˜ao a qualquer parˆametro do sistema. A inter-preta¸c˜ao desta defini¸c˜ao ´e que ela indica a varia¸c˜ao percentual do ganho para uma varia¸c˜ao percentual de um parˆametro. A defini¸c˜ao pode ser aplicada tanto para o ganho de malha aberta quanto para a malha fechada, o que ´e mostrado a seguir.
Nem sempre ´e poss´ıvel uma aplica¸c˜ao direta desta defini¸c˜ao. Se o ganho T for uma fun¸c˜ao n˜ao-linear do parˆametro em rela¸c˜ao ao qual deve-se calcular a sensibilidade, ent˜ao a expans˜ao em s´erie de Taylor, mantendo-se apenas os termos de primeira ordem, permite o c´alculo da sensibilidade, ou seja:
T+ ∆T =T +dT
dP∆P+. . . (4.2.10)
Considerando-se apenas o termo de primeira ordem,
∆T = dT
e portanto a sensibilidade pode ser calculada como SPT = P
T dT
dP (4.2.13)
4.2.5 Estabilidade
Um sistema de controle deve ser est´avel, ou seja, uma entrada limitada n˜ao deve produzir um aumento ilimitado da sa´ıda. A propriedade de estabilidade ser´a estudada neste cap´ıtulo.