4.3 Projeto e Simulação dos Controladores
4.3.3 Projeto e Simulação para o Controlador VS-APPC
Nesta seção, são exibidos os resultados para o caso em que incertezas paramétricas são consideradas. São realizadas três simulações:
• Considerando a referência do tipo degrau r = 2 e desprezando o distúrbio de en- trada;
• Considerando o distúrbio de entrada g(x,t) e a referência tipo degrau r = 2; • Considerando o distúrbio de entrada g(x,t) e a referência tipo onda quadrada com
amplitude de módulo r = 2 e frequência f r = 0.08 Hertz.
As funções de transferência do subsistema e do controlador são dadas, respectiva- mente, por (4.5) e (3.57). Os parâmetros do controlador são calculados a partir das equa- ções em (3.56).
A lei de adaptação chaveada é definida em (3.58). O vetor contendo os valores nomi- nais é dado por θnom. Os elementos desse vetor são calculados com base em um vetor ¯θ,
como descrito em (3.58).
O vetor com os parâmetros verdadeiros da planta é dado por θ∗T= (10, 11, −247.4). A condição inicial do vetor de estado escolhido para as simulações a seguir, com e sem distúrbio na entrada da planta, é dada pelo ponto em xT= (x10, x20, x30) = (0.1, 0.1, 0.1). O vetor contendo os valores nominais é dado por θnomT = (12, 13.2, −245.4) e o vetor
¯
Simulação 7 - Distúrbio de Entrada (g(x,t) = 0) e Entrada do Tipo Degrau
Após as simulações, foram obtidos os gráficos das variáveis de estado (Figura 4.29), da saída controlada (Figura 4.30), do sinal de controle (Figura 4.31), da estimativa da saída filtrada (Figura 4.32).
Figura 4.29: Trajetória das variáveis de estado sob controle.
Nesta simulação foi desconsiderado o efeito do distúrbio g(x,t) no canal da entrada de controle. O controlador VS-APPC apresentou um sobressinal de 189% e um tempo de acomodação de 1.62 segundos, como observado na Figura 4.30. Paralelamente, é garan- tida a convergência do vetor de estado para xT= (0, 0, 0) = (r, r, r2/β), conforme a Figura 4.29. Assim como na simulação 1, o sinal de controle (Figura 4.31), demonstra o elevado esforço de controle, devido às características anteriormente citadas. Adicionalmente, pelo fato da lei de adaptação ser chaveada, os parâmetros do controlador e, consequentemente, o sinal de controle se apresentam chaveando em torno de um determinado intervalo, no intuito de minimizar o erro ε0.
4.3. PROJETO E SIMULAÇÃO DOS CONTROLADORES 57
Figura 4.30: Saída do sistema x sinal de referência.
Figura 4.32: Saída z x saída estimada ˆz.
De acordo com a Figura 4.32, pode-se observar o sinal z, em vermelho, o qual é uma normalização da saída da planta, obtida pela filtragem de y. O sinal ˆz, em azul, é a estimativa para z. Sua estimação é realizada em tempo real. Este sinal é utilizado no projeto devido a necessidade de se obter sinais sem diferenciação, ou seja, apenas é possível utilizar os sinais puros da medição de u e y.
Simulação 8 - Distúrbio de Entrada (g(x,t) = d(t) − x1x3) e do Entrada Tipo Degrau
Após as simulações, foram obtidos os gráficos das variáveis de estado (Figura 4.33), da saída controlada (Figura 4.34), do sinal de controle (Figura 4.35), da estimativa da saída filtrada (Figura 4.36).
4.3. PROJETO E SIMULAÇÃO DOS CONTROLADORES 59
Nesta simulação não foi considerado o efeito do distúrbio no canal da entrada de con- trole. O controlador VS-APPC apresentou um sobressinal de 178% e um tempo de aco- modação de 2.36 segundos, como observado na Figura 4.34. Paralelamente, é garantida a convergência do vetor de estado para xT= (r, r, r2/β), conforme a Figura 4.33. Assim como na simulação 1, o sinal de controle (Figura 4.35), demonstra o elevado esforço de controle, devido às características anteriormente citadas. Adicionalmente, pelo fato da lei de adaptação ser chaveada, os parâmetros do controlador e, consequentemente, o sinal de controle se apresentam chaveados, assim como retratado na simulação 5.
Figura 4.34: Saída do sistema x sinal de referência.
Figura 4.36: Saída z x saída estimada ˆz.
De acordo com a Figura 4.36, pode-se observar o sinal z, em vermelho, o qual é uma normalização da saída da planta, obtida pela filtragem de y.
Simulação 9 - Distúrbio de Entrada (g(x,t) = d(t) − x1x3) e Entrada do Tipo Onda
Quadrada
Após as simulações, foram obtidos os gráficos da saída controlada (Figura 4.37), da estimativa da saída filtrada 4.38) e do sinal de controle (Figura 4.39).
Figura 4.37: Saída do sistema x sinal de referência.
Como pode ser visualizado a partir da Figura 4.37, a saída da planta, em vermelho, segue para o sinal de referência, em azul, mesmo com as mudanças sucessivas impostas pela onda quadrada.
4.3. PROJETO E SIMULAÇÃO DOS CONTROLADORES 61
Figura 4.38: Saída z x saída estimada ˆz.
O processo de estimação é realizado concorrentemente ao rastreamento, como pode ser visualizado na Figura 4.38. A estimativa ˆz acompanha as variações do sinal filtrado z, as quais acontecem no evento de uma mudança na amplitude do sinal de referência.
Figura 4.39: Sinal de controle.
O sinal de controle que pode ser visualizado na Figura 4.39 se encontra, em regime permanente, chaveando em torno dos valores −50 e 50 de amplitude, de acordo com as amplitudes r = 2 e r = −2 da onda quadrada, respectivamente.
4.4
Conclusão
Na Tabela 4.1 estão disponíveis os tempos de acomodação, em segundos, da saída da planta y para a referência r e os valores de sobressinal. Aqui são demonstrados os tempos de acomodação com base em dois critérios para o erro definido pela diferença e= r − y: no primeiro o erro deve ser inferior a 2%; e no segundo o erro deve ser nulo. As letras "P" e "A" indicam, respectivamente, presença e ausência do distúrbio de entrada na simulação indicada. As simulações referidas na tabela foram realizadas com base no sinal de referência degrau r = 2.
Tipo de Controle PPC APPC VS-APPC
Distúrbio de Entrada A P A P A P
Número da Simulação 1 2 4 5 7 8
Sobressinal 178% 168% 413% 262% 189% 178%
Tempo de Acomodação (erro em 2%) 1.618 2.365 2.025 2.694 1.619 2.360
Tempo de Acomodação (erro nulo) 3.065 4.347 7.435 7.912 3.066 4.662
Tabela 4.1: Parâmetros das simulações.
As simulações 1 e 2 referem-se aos casos ideais, respectivamente, sem e com distúrbio no canal da entrada de controle, onde os parâmetros são conhecidos. As simulações 4 e 5 referem-se aos casos em que são utilizadas leis de adaptação integrais, respectivamente, sem e com distúrbio no canal da entrada de controle. As simulações 7 e 8 referem-se aos casos em que são utilizadas leis de adaptação chaveadas, respectivamente, sem e com distúrbio no canal da entrada de controle.
De posse dos dados da Tabela 4.1 é possível verificar que os valores de sobressinal e os tempos de acomodação (principalmente os que utilizam o critério de erro nulo) relati- vos às simulações 7 e 8 são bem similares aos apresentados para os casos com parâmetros conhecidos, respectivamente, nas simulações 1 e 2. As simulações 4 e 5, apesar de apre- sentarem um bom transitório (fruto de uma boa regulação do vetor de ganhos adaptativos), têm uma performance qualitativamente inferior às simulações 7 e 8, respectivamente.
As simulações 3, 6 e 9, respectivamente, relacionadas ao PPC, APPC e VS-APPC fo- ram realizadas com o intuito de apresentar de forma mais lúdica o rastreamento da saída da planta y para o sinal de referência r. Para tanto, foi utilizado um sinal do tipo onda quadrada de amplitude com módulo r = 2. A saída da planta acompanha as mudanças estabelecidas pelo sinal de referência, o qual apresenta variações bruscas, entre 2 e −2, no decorrer da simulação. Como o processo de controle e estimação são realizados con- correntemente, para cada mudança do sinal filtrado z há uma contrapartida em ˆz, o que evidencia o processo de estimação.
Desta maneira pode-se concluir que o desempenho transitório das técnicas adaptativas baseadas em leis chaveadas é superior em relação àquelas que utilizam leis integrais.
Capítulo 5
Conclusões e Perspectivas
Neste trabalho foi apresentado um controlador adaptativo por posicionamento de po- los e estrutura variável, denominado VS-APPC, para o supressão do fenômeno caótico no sistema de Lorenz.
O VS-APPC reúne características dos esquemas de controle por posicionamento de polos e do VSC, tais como aplicabilidade a sistemas de fase mínima e não-mínima, tran- sitório rápido e robustez.
As não linearidades presentes no sistema foram modeladas como uma perturbação na entrada da planta. Foi provado que a dinâmica de erro nulo do sistema é estável, fato este que é de fundamental importância para o controle da forma como foi executado.
Com base nas simulações ficou demonstrado que a supressão do fenômeno caótico bem como a regulação do vetor de estado do sistema no ponto de equilíbrio foram atin- gidos. Os resultados alcançados foram considerados satisfatórios, em um primeiro mo- mento, já que foi garantido o seguimento da trajetória da saída da planta para o sinal de referência, além de ter sido imposto à planta a dinâmica desejada de acordo com o polinô- mio característico A(s)∗, bem como foi demonstrada a robustez na presença de incertezas paramétricas e de um distúrbio limitado.
Algumas perspectivas futuras podem ser apontadas a partir deste trabalho, tais como: a implementação do sistema de Lorenz e do controlador VS-APPC; a demonstração ma- temática da robustez a distúrbios de entrada (visto até esta etapa não terem sido realizadas as provas matemáticas incluindo o distúrbio e seu limite definido em projeto); a inclusão de uma dinâmica não-modelada, bem como da prova matemática de que este controla- dor é robusto neste sentido; e, finalmente, a utilização desta estratégia de controle para controlar plantas mais complexas, que apresentem o fenômeno do caos.
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Apêndice A
Conceitos sobre sistemas
A.1
Representação de um Sistema
Um sistema pode ser caracterizado pela sua quantidade de variáveis de entrada e saída. Um sistema denominado MIMO (multiple input, multiple output) tem mais de uma va- riável de entrada e/ou saída. Um sistema denominado SISO (single input, single output) apresenta apenas uma entrada e uma saída.
Se as características do sistema não sofrem alteração com o passar do tempo, este sistema é denominado invariante no tempo ou estacionário. Caso ao sistema possa ser aplicado o princípio da superposição, este é dito linear.
Um sistema SISO e LIT (Linear Invariante no Tempo) pode ser descrito em espaço de estado por (A.1), cujas matrizes A, B, C e D são, respectivamente, a matriz de estado, a matriz de controle, a matriz de saída e a matriz de transmissão direta. Aplicando-se a Transformada de Laplace a estas equações e considerando o sistema relaxado (condições iniciais nulas), pode-se obter a função de transferência (A.2), que corresponde à relação entre as Transformadas de Laplace da saída (Y (s)) e da entrada (U (s)).
( ˙
x(t) = Ax(t) + Bu(t) ˙
y(t) = Cx(t) + Du(t) (A.1)
G(s)=∆ Y(s) U(s)= bmsm+ bm−1sm−1+ · · · + b0 sn+ an−1sn−1+ · · · + a 0 + D = B(s) A(s)+ D (A.2) Classifica-se G(s) como própria se G(∞) é finita, ou seja, n ≥ m e estritamente própria se G(∞) = 0, isto é, n > m.
A equação característica do sistema (A.1) é definida como sn+ an−1sn−1+ · · · + a0=
0.
Este sistema representado em (A.1) é classificado como um sistema invariante no tempo, uma vez que suas matrizes A, B, C e D são constantes, em oposição aos sistemas variantes no tempo.
Os sistemas ainda podem ser dinâmicos, para o caso em que as saídas do sistema dependem dos valores passados das entradas do sistema, ou estáticos, caso o contrário se verifique.
determinada em função dos dados de entrada, em oposição aos sistemas estocásticos, que dependem não só dos dados de entrada do sistema, mas também de outros fatores, normalmente aleatórios, que necessitam de uma modelagem probabilística.