A an´alise dos modelos existentes e dos requisitos de controle direcionou a construc¸˜ao de um modelo de fila que fosse capaz de fornecer o atraso sofrido pelos ve´ıculos, a posic¸˜ao do final da fila, e que pudesse ser utilizado em um algoritmo de tempo real para controle de tr´afego. Em situac¸˜oes de sobre-saturac¸˜ao pode ser observado a existˆencia de m´ultiplas ondas de choque ao longo de uma mesma aproximac¸˜ao. Este fenˆomeno ´e reproduzido pelo modelo, o que implica na gerac¸˜ao de m´ultiplas filas, e no gerenciamento das mesmas.
Como forma de simplificac¸˜ao, o modelo possibilita apenas 2 estados para os ve´ıculos. Ou eles est˜ao em movimento, com velocidade igual `a velocidade livre da via ( velocidade de cruzeiro), ou eles est˜ao parados. Dessa maneira, toda vez que um ve´ıculo for considerado parado, a contabilizac¸˜ao do atraso se d´a sem considerar a desacelerac¸˜ao ou retomada de velocidade.
Seguindo esta id´eia pode-se visualizar a seguinte situac¸˜ao, descrita na Figura 5.1. Ela rep- resenta um caso de sobre-saturac¸˜ao da via, onde coexistem algumas filas, sendo formadas e sendo extintas devido `a mudanc¸a de estado do sem´aforo. A cada mudanc¸a de verde para vermelho, ou de vermelho para verde, ondas de choque s˜ao formadas criando diferentes zonas de compress˜ao e ex- pans˜ao ao longo da via. O tamanho da fila ´e dado em metros (considerando um tamanho m´edio de cada ve´ıculo) e o tempo em segundos. Assim, o atraso acumulado ´e obtido atrav´es do somat´orio das ´areas em cinza ([´area] = [veic × s]), e o atraso m´edio ´e dado por:
a= A Nv
(5.1) onde:
A= ´area sob a curva; Nv= n´umero de ve´ıculos.
O modelo proposto pode parecer um pouco pesado se for levado em conta o n´umero de filas que eventualmente deve ser capaz de gerenciar, pois existe a possibilidade de haver mais de uma fila por aproximac¸˜ao. Por´em, como as filas intermedi´arias tˆem as mesmas propriedades, como taxa de crescimento e de extinc¸˜ao, basta manter um hist´orico dos tempos de verde e de vermelho ocorridos entre o tempo atual e o in´ıcio da ´ultima fila. Como a indicac¸˜ao semaf´orica atual sempre ´e conhecida, basta reconstruir as filas a partir destes dados.
Seguindo a id´eia de que os ve´ıculos est˜ao ou em velocidade de cruzeiro ou parados, pode-se calcular o tempo necess´ario para que um ve´ıculo rec´em detectado encontre o final da fila. Ou seja,
quanto maior a fila, menor o tempo para se chegar ao final dela. Este c´alculo ´e realizado apenas para a fila mais antiga, sendo que a transferˆencia de ve´ıculos entre as filas intermedi´arias se faz atrav´es do d´ebito de ve´ıculos descarregados durante o tempo de verde. Observando a Figura 5.1, ´e poss´ıvel identificar a fila mais antiga at´e o instante t1como sendo a Fila 1, e a fila intermedi´aria at´e este mesmo
instante como sendo a Fila 2. A id´eia de idade da fila est´a relacionada `a formac¸˜ao do bloco de ve´ıculos parados e n˜ao `a chegada de ve´ıculos ao bloco. Por esta raz˜ao, a fila mais antiga corresponde sempre ao bloco de ve´ıculos parados que est´a mais afastado da linha de parada, ou mais pr´oximo `a entrada da via. A fila mais antiga ser´a referenciada como sendo a fila principal. Toda vez que a fila principal se exting¨ue a fila intermedi´aria mais pr´oxima torna-se a fila principal vigente.
Ainda na Figura 5.1 ´e poss´ıvel identificar quatro pontos importantes a serem destacados:
• Coordenada a: indica a posic¸˜ao do final da Fila 1 no instante de tempo t1;
• Coordenada b: indica a posic¸˜ao da frente da Fila 1 no instante de tempo t1;
• Coordenada c: indica a posic¸˜ao do final da Fila 2 no instante de tempo t1;
• Coordenada d: indica a posic¸˜ao da frente da Fila 2 no instante de tempo t1.
Para um melhor entendimento do processo de carga e descarga de filas ser˜ao discutidos os seguintes cen´arios:
• cen´ario 1: Presenc¸a de uma ´unica fila, que ´e completamente servida durante o tempo de verde. Esta ´e a situac¸˜ao mais b´asica de todas e permite que todos os ve´ıculos em fila atravessem a linha de parada, assim como pode ser visto na Figura 5.2.
O processo de formac¸˜ao da fila se d´a de acordo com o perfil de chegadas dado pelo detector veicular presente na entrada do link. A cada instante de tempo a posic¸˜ao do final da fila ´e atualizada de acordo com este perfil. Toda vez que uma fase de verde entra em vigˆencia ´e iniciado o processo de extinc¸˜ao da fila que se d´a `a taxa do fluxo de saturac¸˜ao da via. Este processo s´o ´e encerrado quando a frente da fila encontra o final dela, ou seja, a fila se extingue. • cen´ario 2: Presenc¸a de uma ´unica fila, que apesar de ser extinta durante o tempo de verde n˜ao
permite que todos os ve´ıculos sejam descarregados.
Neste ponto faz-se necess´ario explicar como ´e feito o c´alculo para determinar o n´umero de ve´ıculos capazes de cruzar a linha de parada. Neste caso, a fila se extinguir´a antes da troca de fase, e por isso o valor da ´ultima posic¸˜ao da fila B0 ´e guardado. A soluc¸˜ao ´e geom´etrica,
bastando determinar o ponto F0 de encontro entre as retas 1 e 2, indicadas na Figura 5.3 e descritas por:
R1= qslv(t − t0) (5.2)
R2= −Vc(t − tv) (5.3)
onde:
qs- fluxo de saturac¸˜ao da via veic/s;
lv- tamanho m´edio de um ve´ıculo m;
Vc- velocidade de cruzeiro da via m/s.
Como o que se busca ´e a altura do ponto F0 (Fy0, ou seja, a coordenada y do ponto), pode-se
eliminar o tempo das Equac¸˜oes 5.2 e 5.3 utilizando as seguintes substituic¸˜oes:
vd= tv− t0 (5.4)
t0= 0, (5.5)
e obtendo assim:
R1= qslvt (5.6)
R2= −Vc(t − vd) (5.7)
Fazendo R1= R2encontra-se o instante de tempo t0:
t0= Vcvd Vc+ qslv
(5.8)
Assim, o ponto de encontro F0 pode ser obtido por qualquer uma das equac¸˜oes de reta acima, 5.6 ou 5.7, substituindo o valor de t por t0, resultando em:
Fy0= qslv
V cvd
V c+ qslv
Como o valor m´aximo alcanc¸ado pela fila B0 foi guardado, resta comparar os dois valores e determinar se o tempo de verde foi suficiente ou n˜ao para descarregar toda a fila. Caso n˜ao tenha sido poss´ıvel descarreg´a-la totalmente, os ve´ıculos ser˜ao adicionados `a nova fila `a taxa do fluxo de saturac¸˜ao da via, como mostra a Figura 5.3, at´e que atinjam o valor dado por:
B00y = m ´ax(0, B0y− Fy0) (5.10) • cen´ario 3: Formac¸˜ao de mais de uma fila. De acordo com o modelo proposto as filas inter- medi´arias crescem com taxa igual `a do fluxo de saturac¸˜ao e se desfazem tamb´em `a esta mesma taxa, como pode ser visto na Figura 5.1. Quando a fila principal se extingue ela automatica- mente recebe as caracter´ısticas da fila intermedi´aria que segue, mantendo assim a dinˆamica do sistema. O m´etodo utilizado para calcular a nova posic¸˜ao da fila principal ´e o mesmo explic- itado anteriormente. O ´unico diferencial ´e que se torna necess´ario calcular a nova posic¸˜ao da frente de onda, F00. Observando a Figura 5.4 temos:
Fy = qslv(a + b + c + d + e + f )
Fy00 = qslv(c + d + e + f )
=⇒ Fy00 = Fy− qslv(a + b) (5.11)
e
B000y = Fy− qslva (5.12)
lembrando que para o c´alculo de Fy0na Equac¸˜ao 5.9 e B00y na Equac¸˜ao 5.10 tem-se que vd= a na
Figura 5.4. Para a situac¸˜ao ilustrada na Figura 5.5, F00 ´e nulo, pois a extinc¸˜ao da fila principal se deu durante o vermelho e s´o havia uma ´unica fila intermedi´aria.
At´e este ponto mostrou-se que o modelo retorna diretamente a posic¸˜ao do final fila principal, dado por B(t) e ilustrado na Figura 5.6, que ´e uma decomposic¸˜ao da Figura 5.4. Resta explicitar como ´e feita a contagem do atraso sofrido pelos ve´ıculos. No caso da presenc¸a de uma ´unica fila, a principal, este c´alculo ´e bastante direto e consiste na extrac¸˜ao da ´area em cinza, vista na Figura 5.7, que nada mais ´e do que uma somat´oria no tempo da subtrac¸˜ao dos valores de B(t) por F(t), multiplicado pelo passo da amostragem:
Atraso=
∑
t
J´a para o caso de m´ultiplas filas utiliza-se a informac¸˜ao a respeito da durac¸˜ao dos tempos de vermelho das filas secund´arias para se determinar a ´area desejada. Por ser um modelo discreto no tempo, representa-se o incremento na forma de um degrau, o que gera o formato retangular de cada passo de iterac¸˜ao, como pode ser visto na Figura 5.8.
As ´areas A0, A00, B0e B00s˜ao calculadas da seguinte forma: ´
Area= Tvmqslv∆t (5.14)
sendo Tvm o tempo de vermelho e ∆t o tempo entre amostragens. A diferenc¸a que se busca ressaltar
entre os dois casos ´e fato de no Caso 1 o tempo de vermelho,Tvm, para o c´alculo de A0ser um tempo
parcial pelo fato da fase ainda n˜ao ter se encerrado. J´a no Caso 2, e para a ´area B0, Tvmser integral.