Propriedade de colagem de ´ orbitas reparametrizadas

Em [BTV16] é obtido resultados de genericidade de transitividade forte, na topo-logiaC⁰. Para tal, foi introduzido um novo conceito de propriedade de colagem de órbitas para fluxos ainda mais fraca que a propriedade introduzida em [BV15], onde agora são permitidas reparametriza¸cões do tempo de evolu¸cão do sistema. Uma maneira de des-truir a propriedade de colagem de órbitas é fazendo perturba¸cões no fluxo de modo que

os pontos podem come¸car “próximos”, mas ao longo do tempo eles podem afastar-se um do outro pelo fato de que um está “caminhando mais rápido”. A próxima no¸cão de pro-priedade de colagem de órbitas é uma maneira de “empurrar”o ponto que está mais lento, e assim ficar suficientemente próximo nos iterados desejados.

Por Rep n´os denotamos ao conjunto de todos os homeomorfismos crescentes τ : R→R(reparametriza¸c˜oes) satisfazendo τ(0) = 0. Fixado >0, definimos o conjunto

Rep() :={τ ∈Rep :|^{τ(t)−τ(s)}_t−s −1|< , s, t∈R}

Essa condi¸cão implica que toda vez que τ for diferenciável, sua derivada estará próximo da identidade.

Defini¸c˜ao 2.19. Seja (X_t)_t um fluxo cont´ınuo sobre um espa¸co m´etrico compacto(M, d).

Dizemos que (X_t)_t satisfaz a propriedade de colagem de ´orbita reparametrizada se dado >0 existeK()∈R⁺ tal que para quaisquer pontosx₀, ..., x_k∈M e tempost₀, ..., t_k≥0 existemp₀, ..., p_k ≤K(), uma reparametriza¸c˜ao τ ∈(Rep())e um ponto y ∈M tais que

d(X^τ(t)(y), X^t(x₀))< para todot ∈[0, t₀] e

d(X^τ(t+^Pⁱ⁻¹^j=0^(p^j^+t^j⁾⁾(y), X^t(xi))< para todo t ∈[0, ti]

para todo 1 ≤ i ≤ k. Se, adicionalmente, o ponto y poder ser tomado periódico (isto é, X^τ(^P^k^j=0^(p^j^+t^j⁾⁾(y) =y para algum p_k≤K()) dizemos que (X_t)_t satisfaz a propriedade de colagem de órbita reparametrizada periódica.

Observa¸c˜ao: Pela escolha da classe de reparametriza¸c˜ao (Rep()) temos a se-guinte propriedade: τ(t+p₁)−τ(t)≤(1 +)p₁ ≤(1 +)K().

E importante observar que o tempo de pulo real n˜´ ao será p_i, mas algum tempo majorado usando a observa¸cão acima. Mais ainda, a reparametriza¸cão depende dos pon-tos considerados.

Em [BTV16] é provado resultados de C⁰-genericidade dos fluxos satisfazendo a propriedade de colagem de órbitas reparametrizada periódica em certos conjuntos es-pec´ıficos. Além disso, é importante mencionar que no caso discreto os resultados de C⁰ -genericidade são para homeomorfismos satisfazendo a propriedade de colagem de órbitas periódica.

Fluxos de suspens˜ ao

Antes de provar um resultado que nos fornece um critério para a constru¸cão de fluxos com a propriedade de colagem de órbita, vamos introduzir a distância Bowen-Walters para semifluxos de suspensão. Essa distância é definida como o ´ınfimo de ca-minhos caca-minhos que são concatena¸cões de caminhos horizontais e verticais. Assumimos que (M, d) é um espa¸co métrico,f :M →M uma aplica¸cão cont´ınua,ρ:M →R⁺0 é uma fun¸cão teto cont´ınua e (X_t)t≥0 é o semifluxo de suspensão sobre f agindo sobre o espa¸co M_ρ+{(x, t)∈M ×R⁺; 0≤t ≤ρ(x)}. Se ρ≡ 1 é constante igual a 1 então definimos a distância horizontal para pontos em M × {t} por

d_h((x, t),(y, t)) = (1−t)d(x, y) +td(f(x), f(y))

e definimos a distˆancia vertical para pontos (x, t) na ´orbita de (y, s) por d((x, t),(y, s)) = inf{|r|:X_r(x, t) = (y, s)}

Então a distância de Bowen-Walters d₁((x, t),(y, s)) é definida como como o

´ınfimo da soma das medidas dos caminhos horizontais e verticais conectando (x, t) e (y, s).

Para uma fun¸cão tetoρcont´ınua arbitrária adistância de Bowen-Walters é definida, para quaisquer pontos (x, t),(y, s)∈M como

d_ρ((x, t),(y, s)) :=d₁((x,_ρ(x)^t ),(y,_ρ(y)^s ))

Observa¸cão: A distância de Bowen-Walters gera a mesma topologia que a métrica induzida no fluxo de suspensão pela dinâmica da base, Ver [BB00] e [BW72].

O pr´oximo teorema foi originalmente provado em ([BV15])

Teorema 3.1. Seja M um espa¸co métrico e f : M → M satisfazendo a propriedade de colagem de órbitas. Assuma que a fun¸cão altura ρ :M →R⁺0 é limitada superiormente e afastada do zero, é uniformemente cont´ınua e as constantes

C_ξ := sup

n≥1

sup

y∈B(x,n,ξ)

|S_nρ(x)−S_nρ(y)|<∞, verificam lim

ξ→0C_ξ = 0 (3.1) 45

onde S_nρ =

n−1

j=0

ρ◦f^j. Então o fluxo de suspensão obtido pela base f e altura ρ tem a propriedade de colagem de órbita. Além disso, se f satisfaz a propriedade de colagem de

orbitas periódica, então a suspensão satisfaz a propriedade de colagem de órbitas periódica.

Demonstra¸cão. Assumimos que f :M →M satisfaz a propriedade de colagem de órbita e que a fun¸cão alturaρé limitada inferiormente e superiormente. Dado >0 arbitrário e fixado, tomamos pontos{(x_i, s_i)∈ M_ρ, i= 1, ..., k} e tempos {t_i, i= 1, ..., k} arbitrários.

Usando que ρ ´e uniformemente cont´ınua e satisfaz a condi¸c˜ao 3.1, existe 0 < ξ < ₃ suficientemente pequeno tal queξ+C_ξ < ₃, que C_ξ < ₃infx∈M{ρ(x)} e |ρ(z)−ρ(w)|<

(inf{ρ})²

3 sup{ρ} para todoz, w ∈M com d(z, w)< ξ.

Usaremos, então, a propriedade de colagem de órbita def com erroξ. Mais precisamente, se N(ξ) é dado pela propriedade de colagem de órbita de f, existe x ∈ M que sombreia os peda¸cos de órbitas dos pontos xi durante ni + 1 iterados com “tempos de pulos”no máximo N(ξ) iterados, isto é, existem{p˜_i ≤N(ξ),1≤i≤k}, ex∈M tal que:

d(f^j(x), f^j(x₁))≤ξ, 0≤j ≤n₁+ 1

d(f^{j+ ˜}^p¹⁺ⁿ¹^{+...+ ˜}^Pⁱ⁻¹⁺ⁿⁱ⁻¹⁺⁽ⁱ⁻¹⁾(x), f^j(x_i))≤ξ, 0≤l ≤n_i+ 1, 2≤i≤k

TomamosT() = T(ξ) := (N(ξ)+2) supρ. Observamos queT(ξ) depende apenas deξ, e portanto depende apenas de , e do supremo da fun¸c˜ao altura ρ. Tomamos ent˜ao s=s₁.

Antes de demonstrar o teorema faremos alguns comentários sobre as dificuldades envol-vidas na demonstra¸cão. Nosso objetivo é mostrar que a trajetória do ponto (x, s) sob a a¸cão do fluxo de suspensão segue suficientemente próximo dos peda¸cos de órbitas gerados pelos pontos (xi, si) com um controle no tempo entre os peda¸cos de órbitas. Em cada momento do processo de sombreamento, precisamos de um controle no número de pulos envolvidos tanto do pontox quanto dos pontos x_i. Demonstraremos apenas o casok= 2 que abrange todas as dificuldades envolvidas no caso geral e onde a nota¸cão é significan-temente simplificada. O caso geral pode ser demonstrado semelhansignifican-temente a este. Como a propriedade de colagem de órbitas não depende da métrica, e sim da topologia, vamos utilizar a distância de Bowen-Walters para fazer as estimativas. Procedemos então com a seguinte afirma¸cão:

Afirma¸c˜ao:d_ρ(X_t(x, s), X_t(x₁, s₁))≤, t ∈[0, t₁] e existe p₁ ≤T() tal que d_ρ(X_t+t₁_+p₁(x, s), X_t(x₂, s₂))≤ ∀t ∈[0, t₂].

Demonstra¸cão. Uma vez que s=s₁ podemos escrever: para todot∈[0, t₁]. Podemos agora estimar a distância de Bowen-Walters, d_ρ de acordo com os seguintes três casos:

(i) se j = j(x, s₁, t) = j₁(x₁, s₁, t) podemos estimar a distˆancia acima natural-mente pelos segmentos vertical e horizontal. Segue-se ent˜ao que

dρ(Xt(x, s1), Xt(x1, s1))

Uma vez que os pontos numa mesma bola dinâmica sempre estão a uma distância ξ ao longo de um determinado peda¸co de órbita a soma dos dois primeiros termos no lado direito acima é menor que ξ. Quanto ao terceiro termo do lado direito acima, que denotamos por (∗∗), pela escolha deξe pela continuidade uniforme da fun¸cãoρ, deduzimos usando a desigualdade triangular que:

(∗∗)≤ |s₁+t−Pj1−1

i=0 ρ(fⁱ(x)−s₁+t−Pj1−1

i=0 ρ(fⁱ(x₁)))

ρ(f^j¹(x)) |

+s₁ +t−Pj1−1

i=0 ρ(fⁱ(x₁))

ρ(f^j¹(x))ρ(f^j¹(x₁)) |ρ(f^j¹(x))−ρ(f^j¹)|

≤ C_ξ

infρ + C_ξ infρ

Pela escolha deξ temos d_ρ(X_t(x, s₁), X_t(x₁, s₁))< como quer´ıamos mostrar.

Figura 3.1: Descri¸cão esquemática dos segmentos vertical e horizontal usados para estimar a distância de Bowen-Walters: (A) corresponde ao caso (i) acima; (B) correponde ao caso (iii) abaixo e que podemos utilizar para ilustrar também o caso (ii) que possui prova semelhante ao caso (iii). Figura encontrada originalmente em [BV15]

(ii) O segundo caso a considerar ´ej =j(x, s₁, t) =j₁(x₁, s₁, t) + 1. Notando que

f^j(x) e f^j¹(x) s˜ao elementos consecutivos da mesma ´orbita, temos

Uma vez quex foi escolhido previamente pela propriedade de colagem de órbitas da basef de tal forma que sua órbita esteja próxima da órbita de x₁ durante os primeiros j₁+ 1 iterados então a soma dos primeiros dois termos é menor que ξ. Quanto aos dois termos envolvidos no valor absoluto, que denotamos por φ, são positivos e j(x, s1, t) = j₁(x₁, s₁, t) + 1 segue-se da rela¸cão (3.2) que

Após a escolha do ponto (x, s) parcialmente determinado pela propriedade de co-lagem de órbita e tomando s =s₁, afirmamos que a segunda parte da afirma¸cão também

é satisfeita. Para cada uma das situa¸cões (i)-(iii) acima com tempo t₁ vamos subdividir a prova em mais três subcasos adicionais, correspondendo às posi¸cões relativas no número de pulos dex e de x1.

Nesse caso tomamos ent˜ao:

Figura 3.2: A linha pontilhada representa o peda¸co da trajet´oria de x sombreando o peda¸co da trajet´oria X_t(f^j¹(x₁),0) para t ∈ [0, s₁ +t₁−Pj1−1

i=0 ρ(fⁱ(x))], e ap´os algum tempo p₁, sombreia o peda¸co da trajet´oria X_t(x₂, s₂) para um tempo t ∈ [0, t₂]. Figura originalmente encontrada em [BV15]

p₁ =









 s₂+

p−1˜

i=0

ρ(f^j¹⁺ⁱ(x))−[s₁+t₁−

j1−1

i=0

ρ(fⁱ(x))], se s₂ ≤ρ(f^p+j^˜ ¹(x)) (s2−Cξ) +

p−1˜

i=0

ρ(f^j¹⁺ⁱ(x))−[s1+t1−

j1−1

i=0

ρ(fⁱ(x))], caso contr´ario

Em ambos os casos temos |p1| ≤ (˜p1 + 2) supρ ≤ (N(ξ) + 2) supρ=T(). Agora, pode-se estimar d_ρ(X_t+p₁_+t₁(x, s₁), X_t(x₂, s₂)) de acordo com a posi¸c˜ao relativa do n´umero de pulos.

Se s₂ ≤ ρ(f^p^˜¹^+j¹(x)) então X_p₁_+t₁(x, s₁) = (f^j¹^{+ ˜}^p¹(x), s₂). Para qualquer t ∈ [0, t₂], definimos, com abuso de nota¸cãoj(f^j¹^{+ ˜}^p¹(x), s₂, t)∈N0 ej₂(x₂, s₂, t)∈N0 que são unicamente determinandos por

j−1 j =j₂+ 1 podemos deduzir similarmente com vimos casos anteriores que

d_ρ(X_t+p₁_+t₁(x, s₁), X_t(x₂, s₂))< para todot∈[0, t₂]

Uma vez que j = j₂ e pontos numa mesma bola dinâmica estão sempre a uma distância meor queξao longo dos peda¸cos de órbitas, a soma dos dois primeiros termos do lado direito acima é menor que ξ. Devemos majorar o terceiro somatório do lado direito acima, o qual denotaremos por (∗ ∗ ∗). pela desigualdade triangular, temos

(∗ ∗ ∗)≤ |s2 −Cξ+t−Pj−1 segue-se que a soma dos dois primeiros termos ´e menor que ξ. Uma vez que os dois termos

Figura 3.3: Figura esquemática onde a linha pontilhada representa o peda¸co de as contas são análogas ao caso (ii) com a modifica¸cão na defini¸cão de p₁ que deve ser mudada para

Como anteriormente, temos |p₁| ≤(˜p₁+ 2) supρ≤((N(ξ) + 2) supρ) =T() em ambos os casos.

Todas as estimativas restantes necessárias para provar a propriedade de cola-gem de órbitas são feitas completamente similares aos casos já vistos, e por essa razão omitiremos os detalhes.

Provamos então a afirma¸cão, e então como afirmamos acima o fluxo de suspensão possui a propriedade de colagem de órbita. Isso completa a prova do teorema

Vamos agora ver como podemos aplicar o teorema anterior para criar exemplos importante de fluxos com a propriedade de colagem de ´orbitas.

Consideramos o subshift do tipo finito σA : Σ_A → Σ_A. Para ρ : Σ_A → R uma fun¸c˜ao cont´ınua positiva pode-se definir um fluxo de suspens˜ao da seguinte forma:

Seja

Y :={(x, s) :s ∈[0, ρ(x)], x∈Σ_A} ⊂Σ_A×R

Identificamos os pontos (x, ρ(x)) e (σA(x),0) para todox∈ΣApara obter o espa¸co ΛA,ρ. Então Λ_A,ρ é um espa¸co métrico e pode-se definir um fluxo g^t sobre Λ_A,ρ por

g^t(x, s) = (x, s+t),∀s+t∈[0, ρ(x)]

e lembrando da identifica¸cão. mais precisamente, se z = φ(x, s), onde φ : Y → Λ_A,ρ é a apica¸cão quociente, então g^t(z) = (σ_a^k(x), t+s−

k−1

j=0

ρ(σ^j_a(x))) com k escolhido de tal forma que

t+s−

k−1

j=0

ρ(σ^j_a(x))∈[0, ρ(σ^k_A)]

Teorema 3.2. SejaΛum conjunto hiperb´olico localmente maximal para o fluxoX^t:M → M tal que X_|^t

Λ é transitivo. Então existem um subshift do tipo finito bilateral transitivo σA : Σ_A →Σ_A, uma fun¸cão teto positiva ρ : Σ_A →R⁺ Hölder e uma aplica¸cão cont´ınua sobrejetiva h: Λ_A,ρ →Λ tal que se g^t: Σ_A→Σ_A é uma suspensão de deσA, temos:

h◦X_|^t

Λ =g^t◦h e g^t ´e transitivo.

Demonstra¸c˜ao. [Bow75]

Como aplica¸cão do teorema 3.1 mostraremos que todo um fluxo Axioma A res-trito a cada pe¸ca básica satifaz a propriedade de colagem de órbitas periódica.

Corolário 3.3. Se (X^t) :M →M é um fluxo Axioma A então (X^t) restrito a cada pe¸ca básica satisfaz a propriedade de colagem de órbitas periódica. Em particular, todo fluxo Anosov transitivo satisfaz a propriedade de colagem de órbitas periódica.

Demonstra¸c˜ao. Fixemos Λ uma pe¸ca b´asica. Pelo Teorema 3.2 (X_|^t

Λ) é um fator topológico de uma suspensão de um subshift bilateral do tipo finito transitivo com altura Hölder.

Assim, como fatores topoógicos preservam a propriedade de colagem de órbitas, basta mostrar que toda suspensão de um subshift bilateral do tipo finito transitivo com altura Hölder possui a propriedade de colagem de órbitas. Já mostramos na Proposi¸cão (2.12) que todo subshift do tipo finito transitivo possui a propriedade de colagem de órbitas periódica, assim pelo Teorema 3.1 basta mostrar que toda fun¸cao Hölder ρ : Σ_A → IR⁺ satisfaz a condi¸cão 3.1 do Teorema 3.1.

Seja (y_k)∈B((x_k), n, ) e N ∈N tal que ₂¹N ≤. Se (y_k)∈ B((x_k), n,₂¹N), por defini¸cão (x_k),(y_k) que coincidem são menores ou iguais à quantidade dos s´ımbolos que coincidem

` e esta ´ultima express˜ao converge para zero quando N → ∞.

Agora mostraremos que a suspensão de dinâmicas expansoras com altura Hölder possui a propriedade de colagem de órbitas periódicas

Corolário 3.4. Sejam f : M → M uma dinâmica expansora transitiva, cujos pontos periódicos são densos, e ρ : M → R⁺0 Hölder com constante α. Então a suspensão de f com altura ρ possui a propriedade de colagem de órbitas periódica.

Demonstra¸cão. Na Proposi¸cão 2.18 mostramos que toda aplica¸cão expansora transitiva possui a propriedade de colagem de órbitas periódica. Assim, basta mostrar que toda fun¸cão Hölder ρ satisfaz a condi¸cão 3.1 do Teorema 3.1. Seja ρ o raio da vizinhan¸ca local dado pela expansão e λ > 1 a taxa de expansão local. Dado < ρ, afirma-mos que B(x, n, ) ⊂ B(x, λ⁻⁽ⁿ⁾). De fato, dado y ∈ B(x, n, ), por defini¸cão temos d(fⁱ(x), fⁱ(y)) < para todo i = 0, ..., n−1. Logo,por expansão, ≥ d(fⁿ(x), fⁿ(y)) ≥ λd(fⁿ⁻¹(x), fⁿ⁻¹(y)) ≥ ... ≥ λⁿ⁻²d(f(x), f(y)) ≥ λⁿ⁻¹d(x, y). Logo d(x, y) ≤ λ⁻ⁿ⁺¹. Assim temos:

|Snρ(x)−Snρ(y)| ≤

n−1

i=0

|ρ(fⁱ(x))−ρ(fⁱ(y)))|

≤C_α

n−1

i=0

d(fⁱ(x), fⁱ(y))^α

≤C_α^α

n−1

i=0

(λ^(−n+i)α)≤C_α^α(¹_λ)^αn−1 (¹_λ)^α−1

≤C_α^α 1

1−(¹_λ)^α <∞

A ´ultima express˜ao acima converge para zero quando vai para zero.

Propriedades topol´ ogicas e erg´ odicas

Vamos agora introduzir algumas no¸cões de transitividade e recorrência para fluxos cont´ınuos a fim de estabelecer uma compara¸cão com outras no¸cões topológicas de caos.

Defini¸c˜ao 4.1. Seja (Xt)t um fluxo cont´ınuo num espa¸co m´etrico compactoM. Dizemos que

(1) (X_t)_t´e topologicamente mixing, se para quaiquer conjuntos abertosU, V ⊂M existe T > 0 tal que X^−t(U)∩V 6=∅ ∀t≥T;

(2) (X_t)_t tem frequˆencia inferior de visitas a bolas positiva se para todo > 0 e para quaisquer duas bolas B₁, B₂ de raio ;

lim inf

t→∞

tLeb(s∈[0, t] :B₁∩X^−s(B₂)6=∅)>0;

(3) (X_t)_t tem taxa assint´otica inferior de mistura assint´otica na fam´ıliaB das Bolas se para qualquer B₁(x₁, ), B₂(x₂, )∈ B existe uma constante τ =τ(x₂, )>0 tal que

lim inf

t→∞

tLeb(s∈[0, t] :B₁(x₁, )∩X^−s(B₂(x₂, ))6=∅)≥τ(x₂, )>0;

(4) (Xt)t tem taxa de mistura assint´otica inferior super linear na fam´ılia B de bolas se para qualquer centro x₂ que ´e o centro de uma bola em B existe C(x₂) > 0 de tal maneira que τ(x₂, )≥C(x₂);

O teorema a seguir ilustra algumas caracter´ısticas topológicas de sistemas dinâmicos com a propriedade de colagem de órbita. Esse resultado foi originalmente demonstrado em [BTV17]

Teorema 4.2. Seja M uma variedade Riemmaniana compacta e conexa. Assumimos que (X^t)_té a restri¸cão a um conjunto invariante e compacto de um fluxo cont´ınuo gerado por um campo de vetores lipschitzX :M →T M. Se (X^t)_t satisfaz a propriedade de colagem de órbita reparamentrizada, então:

(1) (X^t)_t tem frequˆencia inferior de visitas a bolas positiva

(2) (X^t)_t tem taxa inferior de mistura assint´otica super linear na fam´ılia de bolas B:=

{B(x, );x∈P er((X^t)_t), >0}

Se o fluxo satisfaz a propriedade de colagem de órbita reparametrizada periódica, então:

(3) h_top((X^t)_t)≤lim sup_T_→∞ _T¹ log((#P er(X^t)_t), T), ondeP er((X^t)_t, T)denota o número de órbitas periódicas de per´ıodo menor ou igual a T.

(4) Se, adicionalmente, o fluxo (X^t)_t ´e Komuro expansivo, ent˜ao:

(i) h_top((X^t)_t) = lim sup_T_→∞ _T¹ log((#P er(X^t)_t), T)

(ii) Todo ponto em M é um ponto de entropia para o fluxo (X^t)_t, isto é, calcular a entropia numa vizinhan¸ca de cada ponto é o mesmo que calcular a entropia de todo o sistema.

Observa¸cão: No item (4) o teorema ainda será válido se tomarmos lim inf ao invés de lim sup. O item (4) ainda será válido se no lugar de Komuro expansividade supormos que as órbitas periódicas são isoladas.

Antes de demonstrarmos o referido teorema precisamos fazer alguns comentários importantes. Na versão a tempo discreto do teorema acima para especifica¸cão usamos a no¸cão de expansividade para dinâmicas a tempo discreto. No caso de fluxos precisamos primeiramente de uma no¸cão adequada de expansividade para fluxos. Uma no¸cão de ex-pansividade para fluxos foi primeiramente introduzida por Rufus Bowen, mas em ([Ko84]) foi provado que os fluxos Bowen expansivos em variedades sem bordo não admitiam sin-gularidades, por exemplo, o atrator de Lorenz não é Bowen expansivo pois apresenta uma singularidade que é acumulada por órbitas regulares do atrator. A no¸cão que apresentare-mos aqui é a no¸cão introduzida por Komuro em que os fluxos komuro-expansivos podem ter singularidades.

Defini¸cão 4.3. Sejam(M, d)um espa¸co métrico compacto,(X_t)_tum fluxo cont´ınuo sobre M. Dizemos que o fluxo (X_t)_t é Komuro expansivo se dado > 0 existe δ > 0 tal que se x, y ∈ M e d(X^t(x), X^h(t)(y)) < δ para todo t ∈ R e algum homeomorfismo crescente h : R → R então existe t₀ ∈ R tal que X^h(t⁰⁾(y) ∈ X^[t⁰^−,t⁰^+](x), onde X^[t⁰^−,t⁰^+](x) :=

{X^t(x) :t ∈[t₀−, t₀+]}

Observa¸cão: Vale a pena ressaltar que na prova do Teorema 4.2 que daremos só usaremos da defini¸cão de Komuro expansividade a reparametriza¸cão trivial h(t) = t, para todot∈R.

Teorema 4.2. Como se trata de uma an´alise local podemos supor no item (1) e no item (2) do Teorema, a menos de considerar as cartas locais, queM =Rⁿ. Uma vez que (X^t)t

é o fluxo obitido pela equa¸cão diferencial ordinária u⁰ =X(u), temos:

(X^t)⁰(x) = X(X^t(x)), X⁰(x) =x ou equivalentemente X^t(x) = x+Rt

0 X(X^s(x))ds. Seja L > 0 a constante de lipschitz para X.

(1) Consideramos > 0 e 0 < λ < , e seja s(λ) = (1 +λ)K(λ) dado pela propriedade de colagem de ´orbita reparametrizada com erro λ. Consideramos as bolas B_i(x_i, ) com centrox_i ∈M, i= 1,2. Se existirT > 0 tal queX^t(B₁)T

de outra maneira, existem sequˆencias (t_i)_i e (e_i)_i convergindo ao infinito tal que t_i <

e_i < t_i+1, e X^tⁱ(B₁)T

B₂ 6= ∅ e X^eⁱ(B₁)T

B₂ =∅ para todo i ≥1. Pela propriedade de colagem de órbita reparametrizada podemos tomar a sequência (ti) tal que os “tempos de pulo”|t_i+1−t_i| ≤s(λ) para cada i≥1. Ainda mais, se y∈B(x₁, λ) então podemos usar

Para todo t > s(λ). Isso finaliza a prova de (1).

(2) Dado >0 e 0< λ < arbitrário e pontosx₁, x₂ ∈M com órbitas periódicas.

Assumimos que x2 não é uma singularidade. Se x2 for singularidade, seja s(λ) dado pela propriedade de colagem de órbitas reparametrizada. Assim para cada t > 0 existe x_1,t ∈ B(x₁, ) e s₁(t) ≤ s(λ) tal que X^s+s¹(x_1,t) ∈ B(X^s(x₂), ) para todo s ∈ [0, t].

Comox₂ é uma singularidade, então temos X^−s¹^−s(B₂(X^s(x₂), ))T interseçcão as bolas continuam a intersectar-se durante um intervalo de tempo|t| ≤ _||X||^−λ

∞. Somado as medidas dosk intervalos dessa forma, e tomando λ= ₂, temos:

Leb({s ∈[0, t] :B(x₁, )\ Uma vez que γ foi tomado arbitr´ario, provamos que

lim inf

(3) Dado >0 eK(₃) dado pela propriedade de colagem de órbita parametrizada periódica para ₃. Para cadaT ≥1 tomamosE ⊂M um subconjunto (T, ) separado. Para cadax∈ E existey(x)∈B(x, T,₃),p(x)≤K(₃) eτ ∈Rep(₃) tal que X^τ(T^+p(x))(y(x)) = y(x). Uma vez que E é (T, ) separado, a aplica¸cão E 3 x 7→ y(x) é injetiva, pois sejam x₁, x₂ ∈ E com x₁ 6=x₂. Existe t₀ ≤T tal que

d(X^t⁰(x₁), X^t⁰(x₂))>

logo

(4)(i) Sejam O(p), O(q) órbitas periódicas distintas de per´ıodo menor ou igual a T. Fixado λ > 0 seja δ₀ = δ₀(λ) dado pela Komuro expansividade. Afirmamos que existe t ∈ R tal que d(X^t(p), X^t(q)) ≥ δ₀. De outra maneira d(X^t(p), X^t(q)) < δ₀ para todo t ∈ R e, pela Komuro expansividade (tomando a reparametriza¸cão τ(t) = t), p∈X^[t⁰^−λ,t⁰^+λ](q) para algunt0 ∈R, o que é uma contradi¸cão. Isso prova que o conjunto dos pontos periódicos P er((X^t)_t, T) é um conjunto (T, ) separado para todo 0< ≤δ₀. Em particular órbitas periódicas de per´ıodo menor ou igual queT são isoladas, e portanto finitas. Assim h_top((X^t)_t)≥lim sup

T→∞

T log(#P er((X^t)_t, T)).

(4)(ii) Mostraremos que cada ponto de M ´e ponto de entropia para o fluxo ((X^t)t). Uma vez que o resultado ´e imediato quando htop((X^t)t) = 0, podemos supor queh_top((X^t)_t)>0.

Pelo item (i) a entropia pode ser calculada usando ´orbitas peri´odicas: h_top((X^t)_t) = lim sup

T→∞

T log(#P er((X^t)_t, T)). Logo para todoγ >0 suficientemente pequeno, podemos definir uma subsequˆencia de n´umeros reais (T_k)k≥1 tendendo ao infinito dependendo de γ de tal maneira que

#P er((X^t)_t, T_k)≥e^(h^top^−2γ)T^k (4.1)

Seja agora x∈M eU ⊂M uma vizinhan¸ca de x. Obviamente,h_top((X^t)_t, U)≤ h_top((X^t)_t), logo basta apenas provar a desigualdade contrária. Fixado 0 < tal que B(x, )⊂ U e tomamos a sequência (T_k)_k definida acima. Seja s() = (1 +)K() dado pela propriedade de colagem de órbita reparametrizada periódoca. Podemos assumir sem perda de generalidade queT_k+1 >2T_k para todok ≥1.

Seja t()>0 dado pela continuidade uniforme de tal maneira que

s∈[0,t()]max d_c⁰(X^s, Id)<

4 (4.2)

e para cadak ≥1 consideramos a decomposi¸c˜ao (dependendo de k)

[0, T_k] :=

N(,k)−1

[

j=0

I_j[

I_N_(,k) (4.3)

onde N(, k) = b_t()^T^kc, I_j := [jt(),(j + 1)t()[,0 ≤ j ≤ N(, k) e o ´ultimo intervalo I_N_(,k) := [T_k−N(, k)t(), T_k] pode ser eventualmente vazio. Por constru¸c˜ao, para todo γ temos #P((X^t)_t, T_k)≥e^(h−2γ)T^k para todo k≥1 grande.

Fixado 0 < δ0 e k0 ≥ 1 grande, dependendo de , de tal forma que (1 +)(T_k+ 2K(₄))< T_k+1 para todok ≥k₀. A propriedade de colagem de órbita para-metrizada periódica nos assegura que para todo ponto periódico p de per´ıodo π(p)≤T_k, existe z = z(p) ∈ B(x,₄), uma reparametriza¸cão τ_p ∈ Rep(₄) e tempos de pulos 0< s_p, s⁰_p ≤K(₄) de tal forma que

d(X^τ^p^(s^p^+t)(z(p)), X^t(p))≤ ₄,∀t ∈[0, π(p)] e X^τ^p^(s^p^+s⁰^p^+π(p)) =z(p)

o ponto z(p) tem per´ıodo π(z(p)) = τ_p(π(p) +s_p +s⁰_p) ≤ (1 +)(T_k+ 2K(₄)) < T_k+1. Ainda, pela propriedade da Komuro-expansividade, se p, q são pontos periódicos, existe t∈Rtal que d(X^t(p), X^t(q))≥δ₀. Pela decomposi¸cão (4.3), e pelo princ´ıpio da casa dos pombos existe 0≤j ≤N(, k) de tal forma que

#{z(p)∈B(x,₄) :π(p)∈I_j} ≥ _N(,k)+1¹ e^(h−2γ)T^k

Afirma¸c˜ao:O conjunto{z(p)∈B(x,₄) :π(p)∈I_j}´e(1 +₄)(T_k+ 2K(₄), δ₀−)separado em U.

Demonstra¸c˜ao. Sejam p, q ∈ P((X^t)_t, T_k) pontos peri´odicos e z(p), z(q) ∈ B(x,₄) ⊂ U

Como os per´ıodos de p e q diferem no m´aximo de t(), segue-se da escolha de t() que d(X^t(p), X^t(q)) < δ0 − para todo t ∈ R, contradizendo a propriedade de

resta mostrar que o primeiro limite da pen´ultima linha acima converge para zero:

lim sup

t = 0(l’Hôpital), pois o logar´ıtmo vai para o infinito muito mais lenta-mente que qualquer polinômio, então temos que a expressão acima converge para zero quando k→ ∞.

Pela arbitrariedade deγ, provamos finalmente o item (4)(ii). Com isso, o teorema est´a demonstrado.

Observa¸cão:A conclusão do item(4)(ii)ainda será válida se substitu´ırmos a pro-priedade de colagem de órbita parametrizada e komuro expansividade apenas pela hipótese de propriedade de colagem de órbita

Demonstra¸c˜ao. Dadok grande, seja Ek ={xi}i=1,...,r um conjunto (Tk, ) separado maxi-mal constru´ıdo com cardinalidade maior ou igual a e^(h−2γ)T^k. A propriedade de colagem de ´orbita nos assegura que para cada i = 1, ..., r existe z_i ∈ B(x,₄) ⊂ U e tempos de pulos 0≤s_i ≤K(₄) tal que

d(z_i, x)< ₄ e d(X^t+sⁱ(z_i), X^t(x_i))< ₄

para qualquert ∈[0, Tk]. Como na prova anterior, dada a decomposi¸c˜ao (4.3), o princ´ıpio da casa dos pombos nos garante que existe 0≤j ≤N(, k) tal que fazendoγ →0 temos o resultado. A prova que a primeira parcela da soma acima vai para zero ´e semelhante ao caso anterior.

Vamos estudar agora algumas propriedades da pressão topológica em sistemas dinâmicos satisfazendo a propriedade de colagem de órbita, onde sobre certas hipóteses sobre os potenciais podemos deduzir boas propriedades, generalizando algumas proprie-dades do teorema anterior para pressão topológica.

Defini¸c˜ao 4.4. Seja uma fun¸c˜ao cont´ınuaφ:M →Re X^t:M →M um fluxo cont´ınuo.

Notemos que todo potencial constante sempre satisfaz a condi¸cão acima, logo o conjunto dos potenciais que satisfazem a condi¸cão acima não é o vazio.

Ter varia¸cão limitada é uma condi¸cão suficiente para provarmos a existência e unicidade do estado de equil´ıbrio quando a dinâmica tem especifica¸cão e expansividade (ver [Bw75] e [Er77]). Para mostrar a importância desta classe, verificamos que no caso de conjuntos hiperbólicos todas as fun¸cões Hölder têm varia¸cão limitada.

Proposi¸cão 4.5. Seja Λ ⊂ M um conjunto hiperbólico para o fluxo X^t. Então toda fun¸cão Hölder emΛ tem varia¸cão limitada.

Demonstra¸cão. Por hiperbolicidade, a menos de tomarmos suficientemente pequeno, existem C > 0 e a > 0 tais que: y ∈ B(x, t, ) ⇒ d(X^s(y), X^s(x)) ≤ Ce^−a^min{s,t−s}, qualquer s∈[0, t] (Ver [KH99]). Sendo assim, sejaφ uma fun¸cão α-Hölder. Logo:

| Segue-se das estimativas queφ possui varia¸c˜ao limitada.

Proposi¸c˜ao 4.6. Seja X^t : M → M um fluxo cont´ınuo definido num espa¸co m´etrico

Ademais, se X^t for Komuro expansivo ent˜ao acontece a igualdade.

Demonstra¸cão. Tome >0 eT(₃) dado pela propriedade de colagem de órbita periódica.

Seja ˜E o conjunto dos z(y) constru´ıdos. Notemos que a aplica¸c˜ao

No documento AfonsoFernandesdaSilva Caracter´ısticasTopológicaseErgódicasdeSistemasDinâmicoscomaPropriedadedeColagemdeÓrbitas UniversidadeFederaldaBahia-UFBAInstitutodeMatemáticaeEstat´ıstica-IME (páginas 53-81)