AfonsoFernandesdaSilva Caracter´ısticasTopol´ogicaseErg´odicasdeSistemasDinˆamicoscomaPropriedadedeColagemde´Orbitas UniversidadeFederaldaBahia-UFBAInstitutodeMatem´aticaeEstat´ıstica-IME

Programa de P´ os-Graduac ¸˜ ao em Matem´ atica - PGMAT Dissertac ¸˜ ao de Mestrado

Caracter´ısticas Topol´ ogicas e Erg´ odicas de Sistemas Dinˆ amicos com a Propriedade de Colagem

de ´ Orbitas

Afonso Fernandes da Silva

Salvador-Bahia

Fevereiro de 2018

Sistemas Dinˆ amicos com a Propriedade de Colagem de ´ Orbitas

Afonso Fernandes Da Silva

Disserta¸c˜ ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´ os-Gradua¸c˜ ao em Matem´ atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´ atica.

Orientador: Prof. Dr. Thiago Bomfim S˜ ao Luiz Nunes.

Salvador-Bahia

Fevereiro de 2018

de Colagem de ´ orbitas / Afonso Fernandes Da Silva. – Salvador: UFBA, 2018.

70 f. : il.

Orientador: Prof. Dr. Thiago Bomfim S˜ ao Luiz Nunes.

Disserta¸ c˜ ao (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´ atica e Estat´ıstica, Programa de P´ os-gradua¸ c˜ ao em Matem´ atica, 2018.

Referˆ encias bibliogr´ aficas.

1. Sistemas Dinˆ amicos. 2. Propriedade de colagem de ´ orbita. 3.Especifica¸ c˜ ao.

I. Nunes, Thiago Bomfim S˜ ao Luiz. II. Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´ atica e Estat´ıstica. III. T´ıtulo.

CDU : 517.98

: 519.218.84

Sistemas Dinˆ amicos com a Propriedade de Colagem de ´ Orbitas

Afonso Fernandes Da Silva

Disserta¸c˜ ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´ os-Gradua¸c˜ ao em Matem´ atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´ atica, aprovada em 21 de fevereiro de 2018.

Banca examinadora:

Prof. Dr. Thiago Bomfim S˜ ao Luiz Nunes (Orientador) UFBA

Prof. Dr. Paulo C´ esar Rodrigues Pinto Varandas UFBA

Prof. Dr. Anderson Reis da Cruz

UFRB

tribu´ıram com esse trabalho.

Agrade¸co a todos aqueles que de alguma forma colaboraram com essa parte da

minha vida acadˆ emica: A Deus em primeiro lugar, pois onde parecia imposs´ıvel tive

inspira¸c˜ ao e for¸ca para continuar e n˜ ao desistir, a Capes pela confian¸ca e pelo suporte

econˆ omico que foi fundamental para mim nestes anos, ao professor Joilson e os demais

professores que se dedicaram a buscar e nos oferecer bolsas de estudos, ao meu professor

e orientador Thiago Bomfim pela grande paciˆ encia e dedica¸c˜ ao em meus momentos de

dificuldade, aos demais membros da banca aos quais tenho a honra de ser avalido, aos

meus pais Maria da Paz e Antonio Fernandes, a Geovandro Alves Vasconcelos que foi

de grande ajuda nos momentos da vida em que estive enfermo, a quem devo muitos

agradecimentos e a todos os meus colegas, professores, amigos brasileiros e aos amigos

portutgueses da igreja de Coimbra e do coro da capela da Universidade de Coimbra, em

especial Ant´ onio, Raquel, Ana e Telmo que conheci na minha vida acadˆ emica pelo apoio

e pela amizade que levarei por toda minha vida.

(I Cor´ıntios, 13)

O presente trabalho tem como objetivo descrever algumas caracter´ısticas de sis- temas dinˆ amicos com a propriedade de colagem de ´ orbitas, evidenciando as diferen¸cas e semelhan¸cas com as propriedades de sistemas dinˆ amicos com a propriedade de especi- fica¸c˜ ao. Estudaremos as propriedades topol´ ogicas e erg´ ogicas da colagem de ´ orbitas, em particular, desde dinˆ amicas do intervalo at´ e dinˆ amicas hiperb´ olicas tanto a tempo discreto quanto a tempo cont´ınuo. Mostraremos atrav´ es de resultados e contra-exemplos que a propriedade de colagem de ´ orbitas ´ e uma condi¸c˜ ao muito mais fraca que especifica¸c˜ ao, mas que ainda preserva propriedades importantes. Todo o trabalho foi baseado nos artigos de Bomfim e Varandas [BV15] e Bomfim,Torres e Varandas [BTV17].

Palavras-chave: Propriedade de colagem de ´ orbitas; Especifica¸c˜ ao; Hiperbolicidade.

This paper is an attempt to describe some characteristics of dynamic systems with gluing orbit property, evidencing the differences and similarities with the property of dynamics systems with specification property. We will study the topological and ergodic properties of dynamic systems with gluing orbit property, in particular, from dynamics of the interval to hyperbolic dynamics in both discrete and continuous time, running through intermittent dynamics. We will show through results and counterexample that the gluing orbits property is a much weaker condition than specification, but still preserves important properties. All work was based on the articles of Bomfim and Varandas [BV15]

and Bomfim, Torres and Varandas [BTV17].

Keywords: Gluing Orbit Property; Specification; Hyperbolicity.

Introdu¸ c˜ ao 1

1 Preliminares 5

1.1 Entropia e press˜ ao . . . . 5

1.2 Dinˆ amicas simb´ olicas . . . . 11

1.3 Dinˆ amicas expansoras . . . . 13

1.4 Hiperbolicidade . . . . 15

1.5 Propriedade de especifica¸c˜ ao . . . . 19

2 Propriedade de colagem de ´ orbitas 29 2.1 Exemplos . . . . 32

2.1.1 Rota¸c˜ oes e fluxos irracionais . . . . 32

2.1.2 Dinˆ amicas do intervalo . . . . 35

2.1.3 Produto de dinˆ amicas . . . . 37

2.1.4 G.O.P. Vs entropia positiva . . . . 38

2.1.5 Subshift do tipo finito . . . . 39

2.1.6 Difeomorfismos hiperb´ olicos . . . . 40

2.2 Propriedade de colagem de ´ orbitas reparametrizadas . . . . 43

3 Fluxos de suspens˜ ao 45

4 Propriedades topol´ ogicas e erg´ odicas 57

Referˆ encias 68

O objetivo dos Sistemas Dinˆ amicos ´ e entender a evolu¸c˜ ao de um sistema descre- vendo em cada instante de tempo o estado em que cada part´ıcula do sistema se encon- tra com ˆ enfase no comportamento assint´ otico, especialmente na presen¸ca de recorrˆ encia n˜ ao-trivial. Temos um “espa¸co de fase”M cujos pontos representam os poss´ıveis esta- dos do sistema, um ”tempo”onde observamos o estado de cada elemento do sistema que pode ser tomado discreto ou cont´ınuo e pode estender-se apenas para o “futuro”(sistema n˜ ao-invert´ıvel) ou simultaneamente para o “passado”e “futuro”(sistema invers´ıvel). No caso de sistemas a tempo discreto invers´ıveis usamos o conjuto dos n´ umeros inteiros e o conjunto dos n´ umeros reais no caso cont´ınuo, e para sistemas n˜ ao-invers´ıveis usamos o conjunto dos n´ umeros inteiros positivos no caso discreto e os reais n˜ ao-negatitivos no caso cont´ınuo. Temos tamb´ em uma lei temporal que determinar´ a o estado de cada ponto do sistema em cada instante de tempo a partir de estados anteriores de cada ponto desse sis- tema. Consideramos sempre que a lei temporal que rege o sistema n˜ ao varia com o tempo.

O foco do presente trabalho ser´ a estudar duas propriedades em sistemas dinˆ amicos, a saber,especifica¸ c˜ ao e propriedade de colagem de ´ orbitas. A propriedade de especifica¸c˜ ao, que ´ e um invariante topol´ ogico, foi primeiramente introduzida por Rufus Bowen [Bow71].

Em poucas palavras significa que dado um n´ umero finito de peda¸cos de ´ orbitas e um erro fixado, podemos encontrar um ponto cuja ´ orbita “sombreia”, a menos do erro fixado, cada peda¸co de ´ orbita e que o tempo em que a ´ orbita desse ponto demora para sair de um peda¸co de ´ orbita para outro ´ e o mesmo e s´ o depende do erro fixado.

Sistemas dinˆ amicos com especifica¸c˜ ao s˜ ao sempre topologicamente mixing, e na dinˆ amica do intervalo Blokh [Blo83] provou que vale a rec´ıproca, o que nos fornece uma grande variedade de exemplos. Atualmente, sabemos que a propriedade de especifica¸c˜ ao implica em muitas propriedade topol´ ogicas e erg´ odicas, por exemplo: princ´ıpio de grandes desvios para dinˆ amicas a tempo discreto e observ´ aveis cont´ınuos [You90]; entropia positiva [Bow71]; descri¸c˜ ao fina do formalismo termodinˆ amico a tempo discreto [Tho09]; densi- dade de medidas peri´ odicas e abundˆ ancia de medidas erg´ odicas com suporte m´ aximo, n˜ ao

1

atˆ omicas e com entropia zero [Sig70] e [Sig72]; taxa de crescimento assint´ otico de ´ orbitas peri´ odicas [Bow71].

Especifica¸c˜ ao est´ a diretamente associada a sistemas hiperb´ olicos, todos os siste- mas hiperb´ olicos mixing tˆ em especifica¸c˜ ao, por´ em ´ e muito raro que valha especifica¸c˜ ao no complementar da hiperbolicidade [SVY16] e [SVY15]. O exemplo do fluxo de suspens˜ ao obtido por uma base que ´ e um difeomorfismo Anosov mixing e com altura constante nunca ter´ a a propriedade de especifica¸c˜ ao, pois n˜ ao ser´ a mixing, assim em [BV15] foi in- troduzido o conceito de propriedade de colagem de ´ orbitas que ´ e um invariante topol´ ogico mais fraco que especifica¸c˜ ao. Essa propriedade caractericaza os sistemas hiperb´ olicos transitivos, e ´ e satisfeita por dinˆ amicas do intervalo transitivas, e fluxos de suspens˜ ao obtidos por uma base intermitente (Maneville-Poumeau) e altura H¨ older sempre tˆ em a propriedade de colagem de ´ orbitas. Atualmente, temos diversos resultados de sistemas dinˆ amicos com a propriedade de colagem de ´ orbitas similares aos de especifica¸c˜ ao, assim a propriedade de colagem de ´ orbitas vem se mostrando suficiente em rela¸c˜ ao ` a especifica¸c˜ ao.

O corpo deste trabalho est´ a dividido em 5 cap´ıtulos cujos conte´ udos discutiremos a seguir.

1. Cap´ıtulo 1: Apresenta¸c˜ ao da preliminares. Nessse cap´ıtulo s˜ ao definidos Entropia e Press˜ ao que s˜ ao maneiras de medir a complexidade do sistema, e assim um sistema pode ser dito ca´ otico se possuir entropia positiva; Estudo de sistemas dinˆ amicos Hi- perb´ olicos que foi iniciado por Smale na d´ ecada de 60; Sistemas dinˆ amicos simb´ olicos que exerce um papel importante, pois atrav´ es da conjuga¸c˜ ao topol´ ogica com alguns sistemas complicados, podemos deduzir boas propriedades; Especifica¸ c˜ ao, estudada por Bowen na d´ ecada de 70 que foi a inspira¸c˜ ao na defini¸c˜ ao de propriedade de colagem de ´ orbitas.

2. Cap´ıtulo 2: Apresentaremos a propriedade de colagem de ´ orbitas que foi intro- duzida em [BV15] e uma se¸c˜ ao de exemplos e contra-exemplos importantes que nos ajudam a perceber as diferen¸cas ou semelhan¸cas da propriedade de colagem de

´

orbitas com a propriedade de especifica¸c˜ ao. Dentre outros exemplos, as rota¸c˜ oes

irracionais no c´ırculo que s˜ ao exemplos de dinˆ amicas discretas transitivas, mas n˜ ao

s˜ ao mixing, fluxos lineares irracionais no toro que possuem entropia zero e s˜ ao exem-

plos de dinˆ amicas a tempo cont´ınuo transitivas e n˜ ao-mixing e estudaremos o caso

particular sobre dinˆ amicas definidas no intervalo, onde vale que transitiva cont´ınua

implica em ter a propriedade de colagem de ´ orbitas. No caso de fluxos, tamb´ em de-

finimos propriedade de colagem de ´ orbitas reparametrizada, que ´ e uma vers˜ ao mais

fraca da propriedade de colagem de ´ orbitas, pois em algumas dinˆ amicas os pontos podem come¸car pr´ oximos, mas no decorrer do tempo ficarem afastados. Isso pode ocorrer, por exemplo, quando perturbamos um fluxo com a propriedade de colagem de ´ orbitas de modo que os pontos n˜ ao ”caminhem”na mesma velocidade , assim, por vezes,podemos usar reparametriza¸c˜ oes para ”empurrar”, e assim os pontos ficarem pr´ oximos.

3. Cap´ıtulo 3: Provaremos um teorema originalmente demonstrado em [BV15] que que nos fornece um crit´ erio para gerar exemplos de fluxos com a propriedade de colagem de ´ orbitas que enunciamos aseguir.

Teorema 0.1. Seja M um espa¸ co m´ etrico e f : M → M satisfazendo a proprie- dade de colagem de ´ orbitas. Assuma que a fun¸ c˜ ao altura ρ : M → R

´ e limitada inferiormente e superiormente afastada do zero, ´ e uniformemente cont´ınua e as constantes

C

:= sup

n≥1

sup

y∈B(x,n,ξ)

|S

ρ(x) − S

ρ(y)| < ∞, satisfazem lim

ξ→0

C

= 0 onde S

ρ =

n−1

X

j=0

ρ ◦ f

. Ent˜ ao o semifluxo de suspens˜ ao obtido pela base f e altura ρ tem a propriedade de colagem de ´ orbita. Se f satisfaz a propriedade de colagem de ´ orbitas peri´ odica, ent˜ ao a suspens˜ ao satisfaz a propriedade de colagem de ´ orbitas peri´ odica.

A partir desse teorema provamos que todo fluxo axioma A restrito a cada pe¸ca b´ asica possui a propriedade de colagem de ´ orbitas peri´ odica, e que a suspens˜ ao de uma dinˆ amica expansora transitiva com altura H¨ older possui a propriedade de colagem de ´ orbitas peri´ odica.

4. Cap´ıtulo 4: Demonstraremos algumas propriedades topol´ ogicas e erg´ odicas de fluxos com a propriedade de colagem de ´ orbitas (reparametrizada) como a frequˆ encia inferior de visitas a bolas positiva, que no caso da fam´ılia das bolas centradas em

´

orbitas peri´ odicas temos uma estimativa super linear, no caso de propriedade de colagem de ´ orbitas peri´ odicas e expansividade podemos utilizar os pontos peri´ odicos para calcular a entropia e tamb´ em mostraremos que todo ponto ´ e ponto de entropia.

Sendo mais preciso:

Teorema 0.2. Seja M uma variedade Riemmaniana Compacta e conexa. Assu-

mimos que (X

)

´ e a restri¸ c˜ ao a um conjunto invariante e compacto de um fluxo

cont´ınuo gerado por um campo de vetores lipschitz X : M → T M . Se (X

)

satisfaz

a propriedade de colagem de ´ orbita reparamentrizada, ent˜ ao:

(1) lim inf

t→∞

1

t Leb(s ∈ [0, t] : B

∩ X

(B

) 6= ∅) ≥ τ (x

, ) > 0;

(2) Seja a fam´ılia de bolas B := {B(x, ); x ∈ P er((X

)

), > 0}, ent˜ ao qualquer centro x

que ´ e o centro de uma bola em B existe C(x

) > 0 de tal maneira que τ (x

, ) ≥ C(x

), onde τ(x

, ) ´ e a estimativa dada no item anterior.

Se o fluxo satisfaz a propriedade de colagem de ´ orbita reparametrizada peri´ odica, ent˜ ao:

(3) h

((X

)

) ≤ lim sup

log((#P er(X

)

), T ), onde P er((X

)

, T ) denota o n´ umero de ´ orbitas peri´ odicas de per´ıodo menor ou igual a T .

(4) Se, adicionalmente, o fluxo (X

)

´ e Komuro expansivo, ent˜ ao:

[(i)]h

((X

)

) = lim sup

log((#P er(X

)

), T )

[(ii)] Todo ponto em M ´ e um ponto de entropia para o fluxo (X

)

, isto ´ e,

calcular a entropia numa vizinhan¸ ca de cada ponto ´ e o mesmo que calcular a

entropia de todo o sistema.

Preliminares

1.1 Entropia e press˜ ao

Um invariante num´ erico importante relacionado com o crescimento orbital ´ e a entropia. Representa a taxa de crescimento exponencial do n´ umero de segmentos de

´

orbitas destingu´ıveis com taxa de precis˜ ao arbitrariamente pequena mas finita. Para poder entender o conceito de entropia precisamos introduzir a no¸c˜ ao de bola dinˆ amica tanto para tempo discreto quanto para tempo cont´ınuo. Todas as defini¸c˜ oes aqui s˜ ao encontradas em [KH99] e [OV03].

Defini¸ c˜ ao 1.1. Suponhamos que f : M → M ´ e uma aplica¸ c˜ ao cont´ınua num espa¸ co m´ etrico compacto M . Dado x ∈ M , n ≥ 1 e > 0, chamamos bola dinˆ amica de compri- mento n e raio em torno de x ao conjunto:

B (x, n, ) := {y ∈ M : d(f

(x), f

(y)) < para todo j = 0, 1, ..., n − 1}

Da mesma forma definimos bola dinˆ amica para tempo cont´ınuo:

Defini¸ c˜ ao 1.2. Suponhamos que (X

) : M → M ´ e um fluxo cont´ınuo num espa¸ co m´ etrico compacto M . Dado x ∈ M , T > 0 e > 0, chamamos bola dinˆ amica de comprimento T e raio em torno de x ao conjunto:

B (x, T, ) := {y ∈ M : d(X

(x), X

(y)) < para todo t ∈ [0, T ]}

Defini¸ c˜ ao 1.3. Seja f : M → M sistema dinˆ amico. Dado K ⊂ M compacto, > 0 e n ∈ N , dizemos que um cojunto E ⊂ K ´ e (n, ) − separado se dados x, y ∈ E, existe i ∈ {0, 1, ..., n − 1} tal que d(f

(x), f

(y)) ≥ . Em outras palavras se x ∈ E ent˜ ao B(x, n, ) n˜ ao cont´ em nenhum outro ponto de E.

Denotamos por s

(f, , K ) a cardinalidade m´ axima de um conjunto (n, )−separado.

Definimos

5

s(f, , K ) := lim sup

n

1

n log s

(f, , K )

E claro que se 0 ´ <

<

ent˜ ao todo conjunto (n,

) − separado ´ e um conjunto (n,

) − separado. Portanto s

(f,

, K) ≥ s

(f,

, K) para todo n ≥ 1, logo existe lim

s(f, , K ) = s(f, K ).

Defini¸ c˜ ao 1.4. Seja f : M → M cont´ınua num espa¸ co m´ etrico compacto M . A entropia topol´ ogica de f no subconjunto compacto K ⊂ M ´ e definida como

h

(f, K ) = lim

→0

lim sup

n

1

n log s

(f, , K)

Defini¸ c˜ ao 1.5. A entropia de uma dinˆ amica f : M → M num espa¸ co m´ etrico compacto M ´ e definida quando K = M na defini¸ c˜ ao anterior, ou seja

h

(f ) = lim

→0

lim sup

n

1

n log s

(f, , M )

Observa¸ c˜ ao: Se na express˜ ao acima trocarmos o lim sup pelo lim inf o resultado seria o mesmo. Obviamente o lim sup e lim inf n˜ ao precisam ser iguais, e por um lado, ´ e claro que:

lim

lim sup

n

1

n log s

(f, , M ) ≥ lim

→0

lim inf

n

1

n log s

(f, , M )

Por outro lado, temos que s

(f,

, M) ≥ s

(f, , M ) para todo > 0 e n ∈ N . Logo lim sup

n

1

n s

(f, , M ) ≤ lim inf

n

1

n s

(f, 2 , M) e fazendo ir para zero, temos:

h

(f, M ) = lim

→0

lim sup

n

1

n log s

(f, , M ) ≤ lim

→0

lim inf

n

1

n log s

(f, 2 , M)

Tamb´ em poder´ıamos definir a entropia topol´ ogica atrav´ es de conjuntos (n, ) geradores no lugar de (n, ) separado com as mesmas contas anteriores:

Defini¸ c˜ ao 1.6. Seja f : M → M uma dinˆ amica. Dado K ⊂ M , > 0 e n ∈ N ,um conjunto E ⊂ K ´ e um conjunto (n, ) gerador de K , se para todo x ∈ K existe a ∈ E tal que d(f

(x), f

(a)) < para todo i ∈ {0, ..., n − 1}. Em outras palavras

K ⊂ [

a∈E

B(a, n, )

Denotamos por g

(f, , K ) a menor cardinalidade de um conjunto (n, ) gerador e g(f, , M ) := lim sup

n

1

n log(g

(f, , K)), e ainda g(f, K) = lim

→0

g(f, , K). Da mesma forma, a entropia de f ´ e dada quando tomarmos K = M .

Mostremos agora que as duas defini¸c˜ oes s˜ ao equivalentes.

Proposi¸ c˜ ao 1.7. Tem-se g(f, M ) = s(f, M )

Demonstra¸ c˜ ao. Afirmamos que g

(f, , M ) ≤ s

(f, , M ) ≤ g

(f,

, M ). De fato, seja E ⊂ M um conjunto (n, ) separado com cardinalidade m´ axima. Ent˜ ao dado qualquer y ∈ M − E temos que E ∪ {y} n˜ ao ´ e um conjunto (n, ) separado. Portanto, existe x ∈ E tal que para todo i ∈ {0, ..., n − 1} temos d(f

(x), f

(y)) < . Isso prova que E ´ e um conjunto (n, ) gerador de M. Logo g

(f, , M ) ≤ s

(f, , M ).

Seja agora E ⊂ M um conjunto (n, ) separado e seja F ⊂ M um conjunto (n,

) gerador de M . Dado qualquer x ∈ E existe algum ponto y ∈ F tal que d(f

(x), f

(y)) <

para todo i ∈ {0, ..., n − 1}. Defina a aplica¸c˜ ao φ : E → F considerando φ(x) sendo qualquer ponto y nessas condi¸c˜ oes. Seja x, z ∈ E tais que φ(x) = y = φ(z), ent˜ ao temos:

d(f

(x), f

(z)) ≤ d(f

(x), f

(y)) + d(f

(y), f

(z)) <

+

=

para todo i ∈ {0, ..., n − 1}. Como E ´ e (n, ) separado, temos x = z. Logo φ ´ e injetiva.

Como E e F s˜ ao arbitr´ arios, temos s

(f, , M ) ≤ g

(f,

, M ).

Assim, dado > 0 temos:

g(f, , M ) = lim sup

n

1

n log(g

(f, , M ))

≤ lim sup

n

1

n log(s

(f, , M ))

≤ lim sup

n

1

n log(g

(f, 2 , M )) Tomando o limite quando → 0

g(f, M ) = lim

→0

g(f, , M ) ≤ lim

→0

s(f, , M )

= s(f, M ) ≤ lim

→0

g(f,

2 , M) = g(f, M ).

Defini¸ c˜ ao 1.8. Sejam M, N espa¸ cos topol´ ogicos compactos. g : N → N e f : M → M aplica¸ c˜ oes cont´ınuas. Dizemos que g ´ e um fator topol´ ogico de f se existe uma aplica¸ c˜ ao h : M → N cont´ınua sobrejetiva satisfazendo h ◦ f = g ◦ h. Se h : M → N for um homeomorfismo e f = h

◦g ◦h ent˜ ao dizemos que f e g s˜ ao conjugados topologicamente.

A aplica¸ c˜ ao h ´ e ent˜ ao dita uma semiconjuga¸ c˜ ao de f e g

Mostremos agora que a entropia ´ e um invariante por conjuga¸c˜ ao topol´ ogica.

Proposi¸ c˜ ao 1.9. Sejam M, N espa¸ cos m´ etricos compactos e g : N → N ´ e um fator topol´ ogico de f : M → M ent˜ ao h

(g) ≤ h

(f ). Em particular se f e g s˜ ao topologica- mente conjugadas ent˜ ao h

(g) = h

(f ).

Demonstra¸ c˜ ao. Seja h a semiconjuga¸c˜ ao tal que h ◦ f = g ◦ h, h(M ) = N e d

, d

as distˆ ancias em M e N , respectivamente.

Como h ´ e uniformemente cont´ınua, para cada > 0, existe δ() > 0 tal que d

(x

, x

) <

δ() ent˜ ao d

(h(x

), h(x

)) < . Dessa forma, a imagem por h da bola dinˆ amica B

(f, δ(), n) de f est´ a contida na bola B

(g, , n) de g, e consequentemente g

(f, δ(), n) ≥ g

(g, , n).

Assim

lim sup

n

1

n log(g

(f, δ(), n)) ≥ lim sup

n

1

n log(g

(g, , n)) logo

h

(f ) = lim

→0

lim sup

n

1

n log(g

(f, δ(), n) ≥ lim

→0

lim sup

n

1

n log(g

(g, , n)) = h

(g) A primeira parte est´ a provada. Na hip´ otese de conjuga¸c˜ ao, basta observar que f tamb´ em ser´ a um fator topol´ ogico de g e aplicar o que j´ a provamos.

A priori a entropia topol´ ogica poderia depender da m´ etrica. Mostremos que a entropia depende apenas da topologia. De fato, seja M um espa¸co m´ etrico compacto e d

, d

m´ etricas induzindo a mesma topologia em M . Seja ent˜ ao uma dinˆ amica cont´ınua f : M → M . Notemos que f : (M, d

) → (M, d

) ´ e conjugado a f : (M, d

) → (M, d

) pelo homeomorfismo h : (M, d

) −−→

(M, d

). Em particular teremos que a entropia topol´ ogica de f calculada por d

´ e a mesma que calculado por d

.

A defini¸c˜ ao de entropia topol´ ogica estende-se facilmente para o contexto de fluxos cont´ınuos X

= {X

: M → M : t ∈ R } num espa¸co m´ etrico compacto M .

Seja K ⊂ M . Dizemos que um conjunto E ⊂ K ´ e um conjunto (T, )-separado em K se a bola dinˆ amica B(x, T, ) de cada x ∈ E n˜ ao cont´ em nenhum outro elemento de E .

Denotamos por s

(φ, , K) a cardinalidade maximal de um conjunto (T, )-separado E ⊂ K.

Defini¸ c˜ ao 1.10. A entropia topol´ ogica para um fluxo φ

: M → M em K ´ e dada por:

h

(X

, K) = lim

→0

lim sup

T→∞

1

T log(s

(φ, , K ))

Defini¸ c˜ ao 1.11. A entropia topol´ ogica de (X

),h

((X

)) ´ e definida tomando K = M

na defini¸ c˜ ao acima.

Observa¸ c˜ ao: Dada X

: M → M um fluxo cont´ınuo num espa¸co m´ etrico com- pacto M. Dizemos que um ponto x ∈ M ´ e um ponto de entropia se para toda vizinha¸ca compacta de x a entropia calculada em tal vizinhan¸ca ´ e igual a entropia de todo o sistema.

Defini¸ c˜ ao 1.12. Seja X

: M → M um fluxo cont´ınuo numa espa¸ co m´ etrico compacto M. Dado K ⊂ M , > 0 e T ∈ R

,um conjunto E ⊂ K ´ e um conjunto (T, ) gerador de K, se para todo x ∈ K existe y ∈ E tal que d(X

(x), X

(y)) < para todo t ∈ [0, T ]. Isso quer dizer que

K ⊂ ∪

B(y, T, )

Denotamos por g

((X

)

, , K) a menor cardinalidade de um conjunto (T, ) gera- dor e g((X

)

, , K) := lim sup

n

1

n log(g

((X

)

, , K )), e ainda g((X

)

, K) = lim

→0

g((X

)

, , K).

Da mesma forma, a entropia de (X

)

,h

((X

)

), ´ e definida quando tomarmos K = M na defini¸c˜ ao acima.

Da mesma forma que no caso discreto, temos s(X

, M ) = g(X

, M ). Para provar isso, basta usar a pr´ oxima proposi¸c˜ ao e a demonstra¸c˜ ao do caso discreto, proposi¸c˜ ao 1.7.

Proposi¸ c˜ ao 1.13. h

((X

)

) = h

(X

)

Demonstra¸ c˜ ao. Seja E ⊂ M um subconjunto (T, )-gerador para M relativamente ao fluxo (X

)

. Ent˜ ao E ´ e um conjunto (n, )-gerador para M relativamente ao tempo 1, qualquer que seja n ≤ T + 1. Em particular, g

(X

, , M ) ≤ g

((X

)

, , M). Segue-se que

lim sup

n

1

n log(g

(X

, , M)) ≤ lim sup

T

1

T log(g

((X

)

, , M )).

Por compacidade e continuidade, para cada > 0 podemos encontrar δ > 0, δ ∈ (0, ) tal que se d(x, y) < δ ent˜ ao max

0≤t≤1

d(X

(x), X

(y)) < . Se E ∈ M ´ e um conjunto (n, δ)-gerador para M relativamente a X

ent˜ ao E ´ e um conjunto (T, )-gerador para M relativamente ao fluxo (X

)

, qualquer que seja T ≤ n. Em particular, g

((X

)

, , M) ≤ g

(X

, δ, M ).

Segue-se que

lim sup

n

1

n log(g

(X

, , M )) ≥ lim sup

T

1

T log(g

((X

)

, δ, M )).

Fazendo agora e δ tenderem a zero, obtemos que g((X

)

, M ) ≤ g(X

, M), como afir- mamos.

Assim como no caso discreto, tamb´ em iremos provar que a entropia topol´ ogica

de fluxos ´ e preservada por conjuga¸c˜ ao topol´ ogica.

Defini¸ c˜ ao 1.14. Seja ϕ

: M → M e φ

: N → N fluxos cont´ınuos definidos em espa¸ cos m´ etricos compactos M, N . φ ´ e um fator topol´ ogico de ϕ ou φ ´ e semiconjugado a ϕ se existe uma fun¸ c˜ ao cont´ınua sobrejetiva h : M → N tal que h(ϕ(t, x)) = φ(t, h(x)) para todo t ∈ R . Se h ´ e um homeomorfismo, ent˜ ao dizemos que ϕ e φ s˜ ao conjugados.

Proposi¸ c˜ ao 1.15. Sejam M, N espa¸ cos m´ etricos compactos e φ

: N → N cont´ınuo ´ e um fator topol´ ogico de ϕ

: M → M cont´ınuo. Ent˜ ao h

(φ

) ≤ h

(ϕ

). Em particular se ϕ

e φ

s˜ ao topologicamente conjugadas ent˜ ao h

(ϕ

) = h

(φ

).

Demonstra¸ c˜ ao. Basta usar a proposi¸c˜ ao (1.13) e depois utilizar a proposi¸c˜ ao (1.9).

A proposi¸c˜ ao anterior n˜ ao ´ e v´ alida se em vez de conjuga¸c˜ ao supormos equivalˆ encia topol´ ogica, pois seja X

: M → M um fluxo cont´ınuo com entropia n˜ ao nula e conside- remos X

: M → M . Claramente os fluxos s˜ ao topologicamente equivalentes, basta tomar o homeomorfismo τ : R → R com τ (t) =

, mas h

((X

)

) = h

((X

)) 6=

h

(X

) = h

(X

), usamos ent˜ ao que no caso discreto que tomando f : M → M temos h

(f

) = 2h

(f ).(Ver [KH99])

Agora vamos apresentar uma defini¸c˜ ao de press˜ ao topol´ ogica P (f, φ) de uma dinˆ amica f e um potencial φ em termos de conjuntos separados. A press˜ ao topol´ ogica desempenha o mesmo papel que entropia, mas agora levamos em conta o peso que um dado potencial atribui a cada ponto do espa¸co. Seja f : M → M uma transforma¸c˜ ao cont´ınua num espa¸co m´ etrico compacto M e φ : M → R uma fun¸c˜ ao cont´ınua.

Dados n ≥ 1 e > 0, definimos

s

(f, φ, ) := sup

E

{ X

x∈E

e

} onde E ´ e um conjunto (n, )-separado em M . Definimos:

s(f, φ, ) = lim sup

n

1

n log(s

(f, φ, ))

Defini¸ c˜ ao 1.16. A press˜ ao topol´ ogica de f com rela¸ c˜ ao ao potencial φ ´ e dada por P (f, φ) = lim

→0

s(f, φ, )

Apesentaremos a seguir uma defini¸c˜ ao de press˜ ao topol´ ogica P (X

, φ) de um fluxo X

e um potencial φ em termos de conjuntos separados.

Seja X

: M → M um fluxo cont´ınuo num espa¸co m´ etrico compacto M e φ : M → R uma fun¸c˜ ao cont´ınua.

Dados T ≥ 0 e > 0, definimos

s

(X

, φ, ) := sup

E

{ X

x∈E

e

}

onde E ´ e um conjunto (T, )-separado maximal em M .Em seguida, como anteriormente, definimos:

s(X

, φ, ) = lim sup

T

1

T log(s

(X

, φ, ))

Defini¸ c˜ ao 1.17. A press˜ ao topol´ ogica de X

com rela¸ c˜ ao ao potencial φ ´ e dada por P (X

, φ) = lim

→0

s(f, φ, )

1.2 Dinˆ amicas simb´ olicas

Consideremos para cada n´ umero natural N ≥ 2 o espa¸co

Σ := {ω = (..., ω

, ω

, ω

, ...); ω

∈ {0, 1, ..., N − 1}, ∀i ∈ Z } = {0, 1, ..., N − 1}

das sequˆ encias bilaterais de N s´ımbolos e o espa¸co unilateral an´ alogo

Σ

:= {ω = (ω

, ω

, ...); ω

∈ {0, 1, ..., N − 1}, ∀i ∈ N

} = {0, 1, ..., N − 1}

Notando que Σ ´ e um produto direto de Z c´ opias do conjunto {0, 1, ..., N − 1}

podemos munir este com a topologia discreta e usar a topologia produto para definir uma topologia em Σ.

Notemos que se considerarmos o conjunto finito {0, 1, ..., N −1} como o grupo finito Z /N Z ent˜ ao aquele produto ´ e um grupo topol´ ogico comutativo compacto.

Defini¸ c˜ ao 1.18. Fixados inteiros n

< n

< ... < n

e n´ umeros α

, ..., α

∈ {0, 1, ..., N − 1} chamamos ao conjunto

C

α1,...,αk

:= {ω ∈ Σ; ω

= α

, i = 1, ..., k}

um cilindro e ao n´ umero k de d´ıgitos fixos o comprimento do cilindro Os cilindros no espa¸co Σ

s˜ ao definidos de modo an´ alogo.

Uma forma alternativa de definir uma topologia em Σ (e portanto em Σ

) ´ e declarar que todos os cilindros s˜ ao conjuntos abertos e que formam uma base da topologia. Ent˜ ao todo cilindro ´ e tamb´ em um conjunto fechado, pois o complementar de um cilindro ´ e uma uni˜ ao finita de cilindros. Um conjunto aberto arbitr´ ario ´ e uma uni˜ ao enumer´ avel de cilindros.

Ainda uma outra forma de introduzir a topologia ´ e definindo a distˆ ancia:

d(ω, ω

) :=

sempre que w

= w

para todo |i| ≤ N no caso bilateral(resp. para todo 0 ≤ i ≤ N no caso unilateral.

E importante mencionar que todas as no¸c˜ ´ oes citadas acima induzem a mesma topologia de Tychonoff logo Σ ´ e um espa¸co m´ etrico compacto.

Defini¸ c˜ ao 1.19 (Transforma¸c˜ ao shift). Consideremos o desvio para a esquerda em Σ σ : Σ → Σ dada por σ(ω) = ω

= (..., ω

, ω

, ...)

onde ω

= ω

. σ ´ e uma transforma¸c˜ ao bijetora que transforma cilindros em ci- lindros. Logo ´ e um homeomorfismo de Σ. De modo an´ alogo definimos o desvio unilateral que ser´ a apenas uma transforma¸c˜ ao cont´ınua n˜ ao invert´ıvel do espa¸co Σ

nele pr´ oprio, mas ser´ a um homeomorfismo local.

Subshift do tipo finito:Consideramos aqui um caso especial de sistema dinˆ amicos simb´ olicos.

Seja A = (A

)

uma matriz N × N cujas entradas a

s˜ ao zeros ou uns. Seja Σ

:= {w ∈ Σ : a

= 1, ∀n ∈ Z }

Defini¸ c˜ ao 1.20. A restri¸ c˜ ao

σ|

:= σ

diz-se um subshift bilateral do tipo finito determinada pela matriz A.

Vale ainda mencionar o caso unilateral.

Seja A = (A

)

uma matriz N × N cujas entradas a

s˜ ao zeros ou uns. Seja Σ

:= {w ∈ Σ

: a

= 1, ∀n ∈ N }

Defini¸ c˜ ao 1.21. A restri¸ c˜ ao

σ|

:= σ

diz-se um subshift unilateral do tipo finito determinada pela matriz A.

Exemplo 1.22. Tomando A = {0, 1}, considere todas as sequˆ encias bin´ arias nas quais n˜ ao existem dois 1’s adjascentes. Essa restri¸ c˜ ao pode ser posta pela seguinte matriz:

"

1 1 1 0

#

O subshift determinado ´ e chamado de subshift da raz˜ ao ´ aurea.

1.3 Dinˆ amicas expansoras

Defini¸ c˜ ao 1.23 (Dinˆ amicas expansoras). Uma transforma¸ c˜ ao cont´ınua f : M → M num espa¸ co m´ etrico compacto M diz-se espansora se existem constantes σ > 1 e ρ > 0 tais que para todo p ∈ M , a imagem de bola B(p, ρ) cont´ em uma vizinhan¸ ca do fecho de B(f (p), ρ) e

d(f (x), f(y)) ≥ σd(x, y) para todo x, y ∈ B (p, ρ)

Observa¸ c˜ ao: ` As vezes na defini¸c˜ ao de dinˆ amica expansora, ao inv´ es de pedirmos a condi¸c˜ ao sobre a imagem da bola podemos pˆ or uma condi¸c˜ ao mais forte, mas que na pr´ atica ´ e mais facilmente chec´ avel: basta pedir que f seja aberta.

Proposi¸ c˜ ao 1.24. Seja f : M → M diferenci´ avel em M variedade riemanniana compacta ,ent˜ ao f ´ e expansora se, e somente se existir σ > 1 e alguma m´ etrica riemanniana em M tal que

k Df (x)v k≥ σ k x k para todo x ∈ M e todo v ∈ T

M

Demonstra¸ c˜ ao. Pelo teorema da fun¸c˜ ao impl´ıcita, f ´ e um difeomorfismo local. Para cada x ∈ M seja δ

o tamanho da vizinhan¸ca tal que f

´ e um difeomorfismo com a sua imagem. Cobrimos M com tais bolas, e como M ´ e compacta, podemos tomar uma subcobertura finita {B(x, δ

), i = 1, ..., n}. Seja δ := min

i

{δ

}. Podemos tomar ainda δ

> 0 tal que toda componente conexa da pr´ e-imagem de qualquer bola de raio δ

tenha diˆ ametro menor que δ

. Seja

> 0 tal que d(x, y) <

implique que d(f (x), f (y)) <

. Seja γ : [0, 1] → M com γ(0) = f (x) e γ(1) = f (y) uma curva diferenci´ avel unindo f(x) e f(y) e contida numa bola de raio δ

. Ent˜ ao a curva ˜ γ, univocamente definida por ˜ γ(0) = x e ˜ γ(1) = y e f (˜ γ (t)) = γ(t) ´ e uma curva diferenci´ avel unindo x a y e

Comp.(γ ) = Z

0

k D

f (˜ γ(t)) k dt ≥ σ Z

0

k γ(t) ˜ k dt = σComp(˜ γ) Atendendo agora a que d(f(x), f(y)) = inf

γ

{Comp(γ)} onde o ´ınfimo ´ e tomado sobre todas as curvas diferenci´ aveis unindo f(x) e f(y) contidas na bola de raio δ

com centro em f (x), obtemos

d(f (x), f(y)) ≥ σd(x, y)

Se agora M ´ e uma variedade Riemanniana e f : M → M ´ e uma transforma¸c˜ ao expansora,

ent˜ ao segue que para todo x a defini¸c˜ ao que a aplica¸c˜ ao derivada D

f : T

M → T

M ´ e

expansora relativamente ` a norma gerada pela m´ etrica Riemanniana, isto ´ e, existe µ > 1

tal que para todo x ∈ M e v ∈ T

M temos

k D

f(v) k≥ µ k v k

Exemplo 1.25. Considere a transforma¸ c˜ ao n˜ ao invert´ıvel da circunferˆ encia E

: S

→ S

, que em nota¸ c˜ ao multiplicativa ´ e dada por

E

(z) = z

, |z| = 1 e em nota¸ c˜ ao aditiva

E

(x) = 2x( mod 1)

Pela proposi¸ c˜ ao anterior E

´ e uma transforma¸ c˜ ao expansora. Mais geralmente, as trans- forma¸ c˜ oes

E

: S

→ S

dada por E

(x) = mx( mod 1),

onde m ´ e um inteiro com valor absoluto maior que 1, s˜ ao tamb´ em expansoras.

Em [KH99] ´ e mostrado que essas transforma¸c˜ oes s˜ ao topologicamente transitivas (possui uma ´ orbita densa) e o conjunto das ´ orbitas peri´ odicas ´ e denso.

Exemplo 1.26. Considere σ : Σ

→ Σ

o shift unilateral do tipo finito associado a uma matriz de transi¸ c˜ ao A. Recordamos em Σ

a distˆ ancia definida por

d((x

)

, (y

)

) = 2

, N = inf{n ∈ N : x

6= y

}

Afirmamos que σ ´ e uma transforma¸ c˜ ao expansora. De fato, fixamos ρ ∈ [1/2, 1) e δ = 2. A bola de raio ρ em torno de qualquer ponto (p

)

∈ Σ

´ e o cilindro [0, p

]

= {(x

)

∈ Σ

: x

= p

} que cont´ em esse ponto. Da distˆ ancia definida acima, temos

d((x

)

, (y

)

) = 2d((x

)

, (y

)

)

para quaiquer (x

)

, (y

)n no cilindro [0, p

]

. Al´ em disso σ([0, p

]

) ´ e a uni˜ ao de todos os cilindros [0, q] tais que A

= 1. Em particular ele cont´ em o cilindro [0, p

]

. Como os cilindros s˜ ao abertos e fechados de Σ

, isto mostra que a imagem da bola de raio ρ em torno de (p

)

cont´ em uma vizinhan¸ ca da bola de raio ρ em tormo de (p

)n. Assim todo shift unilateral do tipo finito ´ e uma transforma¸ c˜ ao expansora.

Exemplo 1.27. Seja J ⊂ [0, 1] uma uni˜ ao finita de (dois ou mais) intervalos compac- tos disjuntos. Considere uma aplica¸ c˜ ao f : J → [0, 1] tal que a restri¸ c˜ ao de f a cada componente conexa de J ´ e um difeomorfismo sobre [0, 1]. Suponha que existe σ > 1 tal que

|f

(x)| ≥ σ para todo x ∈ J.

Denote por Λ =

∞

\

n=0

f

(J)

Segue-se imediatamente da defini¸c˜ ao que Λ ´ e compacto. Em [OV03] ´ e mostrado que Λ ´ e um conjunto de Cantor e que f

(Λ) = Λ, e a restri¸c˜ ao f|

´ e uma transforma¸c˜ ao expansora.

Exemplo 1.28. Seja f : S

→ S

um difeomorfismo local de classe C

com grau maior que 1 (o grau topol´ ogico ´ e a constante definida como o n´ umero de pr´ e-imagens de todo ponto).

Suponha que os pontos peri´ odicos de f s˜ ao hiperb´ olicos, ou seja, |(f

)

(x)| 6= 1 para todo x ∈ F ix(f

) e todo n ≥ 1. Seja Λ o complementar da uni˜ ao das bacias de atra¸ c˜ ao dos pontos peri´ odicos atratores de f (|(f

)

(x)| < 1). Ent˜ ao a restri¸ c˜ ao f : Λ → Λ ´ e uma transforma¸ c˜ ao expansora. Esse resultado ´ e consequˆ encia de um teorema devido a Ma˜ n´ e (ver [Man85]).

1.4 Hiperbolicidade

Defini¸ c˜ ao 1.29. Seja M uma variedade Riemanniana fechada, d a distˆ ancia Riemanni- ana induzida em M , k . k a norma Riemanniana e f : M → M um difeomorfismo. Um conjunto Λ ⊂ M invariante por f ´ e dito hiperb´ olico para f se existe C > 0, λ ∈ (0, 1) e para todo x ∈ Λ existem E

(x), E

(x) ⊂ T

M tais que:

1. T

M = E

(x) ⊕ E

(x)

2. k Df

(v

) k≤ Cλ

k v

k, ∀v

∈ E

(x), n ≥ 0 3. k Df

(v

) k≤ Cλ

k v

k, ∀u

∈ E

(x), n ≥ 0 4. Df

(E

(x)) = E

(f (x)) e Df

(E

(x)) = E

(f (x))

Observa¸ c˜ ao:No caso de transforma¸c˜ oes lineares A : R

→ R

, dizemos que A

´ e hiperb´ olica se todos os autovalores da matriz associada ` a transforma¸c˜ ao A tˆ em norma diferente de 1. Assim se p ´ e um ponto fixo para uma transforma¸c˜ ao diferenci´ avel f : M → M, ent˜ ao {p} ´ e hiperb´ olico se Df

for uma matriz hiperb´ olica. Mais geralmente, seja p um ponto peri´ odico de per´ıodo n para o difeomorfismo de classe C

f : M → M numa variedade compacta diferenci´ avel M , ent˜ ao a ´ orbita de p ´ e um conjunto hiperb´ olico para f se (Df

)

: T

M → T

M ´ e uma transforma¸c˜ ao linear hiperb´ olica.

Passemos a defini¸c˜ ao de conjuntos hiperb´ olicos localmente maximais.

Defini¸ c˜ ao 1.30. Seja Λ um conjunto hiperb´ olico para um difeomorfismo f : U ⊂ M → M. Se existe uma vizinhan¸ ca aberta V de Λ tal que Λ = Λ

:= T

n∈Z

f

( ¯ V ), ent˜ ao Λ ´ e

dito localmente maximal.

Exemplo 1.31 (Ferraduras de Smale). Seja ∆ um retˆ angulo em R

e f : ∆ → R

um difeomorfismo sobre sua imagem tal que a intersec¸ c˜ ao ∆ ∩ f (∆) consiste de dois

ret˜ angulos horizontais, ∆

e ∆

, e a restri¸ c˜ ao de f ` as componentes ∆

⊂ f

(∆) ´ e uma

transforma¸ c˜ ao hiperb´ olica linear, contraindo na dire¸ c˜ ao vertical e expandindo na dire¸ c˜ ao

horizontal. Desse modo, ∆

e ∆

s˜ ao retˆ angulos ”verticais”. Seja Λ = ∩

f

(∆) .

Λ 6= M ´ e hiperb´ olico para f, ver ([KH99]).

Figura 1.1: Descri¸c˜ ao esquem´ atica dos primeiros passos da constru¸c˜ ao do exemplo ferra- dura de Smale.

Defini¸ c˜ ao 1.32. Um difeomorfismo de classe C

f : M → M numa variedade compacta M diz-se um difeomorfismo de Anosov se M ´ e um conjunto hiperb´ olico para f.

Exemplo 1.33.

A : R

→ R

(x, y) 7→ (2x + y, x + y)

O determinante da matriz associada a A ´ e 1 e A( Z

) = Z

. Definimos a rela¸ c˜ ao de equivalˆ encia em R

dada por

(x, y) ≈ (x

, y

), se (x − x

, y − y

) ∈ Z

Assim A(x, y) ≈ A(x

, y

). Isso define uma aplica¸ c˜ ao

A ˆ : T

→ T

(x, y) 7→ (2x + y mod 1, x + y mod 1)

que ´ e um difeomorfismo de Anosov. Os valores pr´ oprios da matriz A s˜ ao λ

=

√5 2

, e a decomposi¸ c˜ ao hiperb´ olica em cada ponto ´ e obtida por transla¸ c˜ ao para esse ponto dos subespa¸ cos pr´ oprios da matriz.

Mais geralmente, seja L : R

→ R

uma matriz com entradas inteiras, com determinante 1 ou −1 e sem valores pr´ oprios com m´ odulo igual a 1, isto ´ e, uma matriz hiperb´ olica. Definindo como acima a rela¸c˜ ao de equivalˆ encia em R

(x

, ..., x

) ≈ (y

, ..., y

), se (x

− y

, ..., x

− y

) ∈ Z

Ent˜ ao L( Z

) = Z

e L ´ e invert´ıvel em Z

. Logo L determina uma transforma¸c˜ ao in- vert´ıvel no toro R

/ Z

que tem propriedades muito semelhantes ` as discutidas no exemplo acima. A transforma¸c˜ ao obtida ´ e um difeomorfismo de Anosov, Ver ([KH99]).

Para fluxos, a defini¸c˜ ao de hiperbolicidade ´ e a seguinte:

Defini¸ c˜ ao 1.34. Seja M uma variedade riemanniana fechada, d a distˆ ancia riemanniana induzida em M , k . k a norma riemanniana e φ : R × M → M um fluxo diferenci´ avel. Um conjunto Λ ⊂ M compacto φ

-invariante ´ e dito hiperb´ olico para φ

se existe λ < 1 < µ e para todo x ∈ Λ existem E

(x), E

(x) ⊂ T

M tais que:

1. T

M = E

⊕ < X > ⊕E

, onde X =

φ

|

2.

|

φ

(x) ∈< X > e Dim.(< X >) = 1;

3. Dφ

(E

) = E

e Dφ

(E

) = E

; 4. k Dφ

|

k≤ λ

e k Dφ

|

k≤ µ

Defini¸ c˜ ao 1.35. Seja Λ um conjunto hiperb´ olico para um fluxo diferenci´ avel φ : R ×M → M. Se existe uma vizinhan¸ ca aberta V de Λ tal que Λ = T

t∈IR

φ

(V ), ent˜ ao Λ ´ e dito localmente maximal.

Defini¸ c˜ ao 1.36. Um fluxo φ

: M → M de classe C

numa variedade compacta M diz-se um fluxo de Anosov se M ´ e um conjunto hiperb´ olico para φ

.

Uma forma para obtermos fluxos de Anosov ´ e construir um fluxo de suspens˜ ao cuja base ´ e um difeomorfismo de Anosov e altura ρ := 1. Seja f : M → M um difeomor- fismo, consideramos o produto M × R com a rela¸c˜ ao de equivalˆ encia (x, 1) ≈ (f (x), 0).

denotamos o quociente por essa rela¸c˜ ao por M

= M × R / ≈.

Exemplo 1.37. Dado um difeomorfismo Anosov f : M → M , a suspens˜ ao X

com altura ρ := 1 de f ´ e um fluxo de Anosov em M

. De fato, seja T M = E

⊕ E

a decomposi¸ c˜ ao cont´ınua associada a f. definimos para (x, 0) ∈ M × 0

E

(x, 0) = E

e E

= E

Quando (x, t) ∈ M × [0, 1], definimos

E

= Dφ

(x, 0)(E

) e E

= Dφ

(x, 0)(E

) N˜ ao ´ e dif´ıcil observar que T M

= E

⊕ X ⊕ E

, onde X =

X

|

.

Exemplo 1.38 (Fluxo geod´ esico). Seja M uma variedade riemmaniana compacta. O fibrado tangente T M ´ e o espa¸ co das duplas (x, v) em que x ∈ M e v ´ e um vetor tangente

`

a variedade no ponto x. denotamos por T

M o fibrado tangente unit´ ario, formado pelas duplas (x, v) ∈ T M com k v k= 1. Segue-se da teoria das equa¸ c˜ oes diferenciais que para cada (x, v) ∈ T M existe uma ´ unica geod´ esica γ

: R → M na variedade tal que γ

(0) = 0 e γ

(0) = v . Al´ em disso, a fam´ılia de transforma¸ c˜ oes definida por

f

: (x, v) 7→ (γ

(t), γ

(t))

´ e um fluxo no fibrado tangente unit´ ario T

M , que ´ e chamado fluxo geod´ esico de M . Em ([An67]) ´ e mostrado que se M ´ e variedade compacta com curvatura seccional negativa ent˜ ao o fluxo geod´ esico ´ e um fluxo de Anosov mixing.

Defini¸ c˜ ao 1.39. Um ponto x ∈ M diz-se n˜ ao-errante relativamente ` a transforma¸ c˜ ao f : M → M se para qualquer conjunto aberto U 3 x existe N > 0 tal que f

(U ) ∩ U 6= ∅.

o conjunto de todos os pontos n˜ ao-errantes denota-se por Ω(f ) ´ e um conjunto n˜ ao vazio invariante por f .

Um ponto x ∈ M diz-se fixo relativamente ` a transforma¸ c˜ ao f : M → M se f (x) = x Denotamos o conjunto dos pontos fixos de uma transforma¸ c˜ ao f por F ix(f )

Um ponto x ∈ M diz-se peri´ odico de per´ıodo relativamente ` a transforma¸ c˜ ao f : M → M se existe n tal que f

(x) = x. Denotamos o conjunto dos pontos peri´ odicos de f por P er(f)

Observa¸ c˜ ao: Para fluxos, as defini¸c˜ oes acima s˜ ao semelhantes levando em conta o tempo cont´ınuo e a devida defini¸c˜ ao de hiperbolicidade para fluxos.

Defini¸ c˜ ao 1.40. Seja X

: M → M cont´ınuo numa variedade compacta riemmanniana M. X

´ e axioma A se o conjunto dos n˜ ao-errante Ω(X

) ´ e um conjunto hiperb´ olico para (X

) e o conjunto dos pontos peri´ odicos ´ e denso em Ω(X

).

Defini¸ c˜ ao 1.41. Seja M uma variedade riemanniana fechada, d a distˆ ancia riemanniana induzida em M, k . k a norma riemanniana e f : M → M um difeomorfismo. Dizemos que f ´ e axioma A se Ω(f ) for um conjunto hiperb´ olico para f e P er(f ) ´ e denso em Ω(f ) Observa¸ c˜ ao: Em [Bow75] e [Sm67] ´ e mostrado que todo Anosov satisfaz axioma A. Notemos tamb´ em que o conjunto n˜ ao-errante de um Axioma A sempre ´ e localmente maximal (ver por exemplo [KH99]).

1.5 Propriedade de especifica¸ c˜ ao

Na d´ ecada de setenta em [Bow71] foi introduzido o conceito de especifica¸c˜ ao para sistemas dinˆ amicos, formulado da seguinte maneira:

Dado um n´ umero finito de peda¸cos de ´ orbitas e um erro fixado, podemos encon-

trar um ponto cuja ´ orbita sombreia, a menos de um erro fixado, cada peda¸co de ´ orbita e

que o “tempo de pulo”de um peda¸co de ´ orbita para outro pode ser controlado em fun¸c˜ ao

do erro. Matematicamente:

Defini¸ c˜ ao 1.42. Dado > 0, existe N () ≥ 1, que s´ o depende de , tal que para quaisquer pontos x

, x

, ..., x

∈ M e tempos n

, n

, ..., n

≥ 0 e para todos p

, p

, ..., p

≥ N () existe um ponto x ∈ M tais que:

d(f

(x), f

(x

)) ≤ , 0 ≤ j ≤ n

d(f

(x), f

(x

)) ≤ , 2 ≤ i ≤ k − 1 e 0 ≤ j ≤ n

Se para todo p

≥ N () existir um x como descrito acima tal que f

(x) = x, dizemos que f satisfaz a propriedade de especifica¸ c˜ ao peri´ odica.

De maneira an´ aloga definimos especifica¸c˜ ao para semifluxos.

Defini¸ c˜ ao 1.43. Seja (X

)

um semifluxo sobre um espa¸ co m´ etrico separ´ avel M . Di- zemos que (X

)

tem a propriedade de especifica¸ c˜ ao se dado > 0, Existe T () > 0, que s´ o depende de , tal que para quaisquer pontos x

, x

, ..., x

∈ M e tempos t

, t

, ..., t

≥ 0 e para todos p

, p

, ..., p

≥ T () existe um ponto x ∈ M tais que:

d(X

(x), X

(x

)) ≤ , ∀t ∈ [0, t

] e, se x

= X

j=0(pj+tj)

(x) ∈ M ent˜ ao

d(X

(x

), X

(x

)) < , ∀t ∈ [0, t

] para todo 2 ≤ i ≤ k.

Se para todo p

≥ T () existir x que satisfaz a propriedade acima e tal que X

(x) = x, dizemos que (X

) satisfaz a propriedade de especifica¸ c˜ ao peri´ odica.

Observa¸ c˜ ao:Originalmente, a no¸c˜ ao de especifica¸c˜ ao dada por Bowen era de especifica¸c˜ ao peri´ odica. Notemos que especifica¸c˜ ao ´ e equivalente a que o pulo ap´ os o sombreamento pode ser escolhido o mesmo, independente da quantidade de ´ orbitas e do tamanho das ´ orbitas.

Defini¸ c˜ ao 1.44. Dizemos que uma dinˆ amica f : M → M ´ e transitiva se existe x ∈ M tal que {f

(x) : n ∈ N } ´ e denso em M .

Usaremos o lema a seguir para caracterizar dinˆ amicas transitivas.

Lema 1.45. Suponha que M ´ e um espa¸ co de Baire com base enumer´ avel de abertos.

Ent˜ ao f : M → M ´ e transitiva se, e somente se para todo par de abertos U, V existe

k(U, V ) ≥ 1 tal que f

(U ) ∩ V 6= ∅.

Demonstra¸ c˜ ao. Suponhamos que f ´ e transitiva e seja x ∈ M um ponto cuja ´ orbita {f

(x) : n ∈ N } ´ e densa em M . Ent˜ ao existe m ≥ 1 tal que f

(x) ∈ U e (usando que {f

(x) : i > m} tamb´ em ´ e denso) existe, digamos n > m tal que f

(x) ∈ V . Tome k = n − m. Ent˜ ao f

(x) ∈ f

(U ) ∩ V . Isso prova que a condi¸c˜ ao ´ e necess´ aria.

prova-se agora que a condi¸c˜ ao ´ e suficiente. Suponhamos que a condi¸c˜ ao de in- tersec¸c˜ ao se verifica. Seja U

, U

, ... uma base enumer´ avel de conjuntos abertos de M . Assim para qualquer x ∈ M e qualquer conjunto aberto com x ∈ U ⊂ M existe n tal que x ∈ U

⊂ U . Para demonstrar a transitividade topol´ ogica ´ e suficiente construir uma

´

orbita que intersecte todos os conjuntos U

. Por hip´ otese existe um natural N

tal que f

(U

) ∩ U

6= ∅. Seja V

um conjunto aberto n˜ ao vazio tal que V

⊂ U

∩ f

(U

).

Claramente V

´ e compacto. Existe um natural N

tal que f

(V

) ∩ U

6= ∅. Novamente toma-se V

aberto tal que V

⊂ V

∩ f

(U

). Por indu¸c˜ ao constru´ımos uma sequˆ encia encaixante de conjuntos abertos V

tais que V

⊂ V

∩ f

(U

). A intersec¸c˜ ao V =

∞

\

n=1

V

=

∞

\

n=0

V

6= ∅ pois V

´ e compacto. Se x ∈ V ent˜ ao f

(x) ∈ U

para todo n ∈ N .

Defini¸ c˜ ao 1.46. Dizemos que uma dinˆ amica f : M → M ´ e mixing, quando dados dois abertos U, V ⊂ M existe n ∈ N tais que f

(U) T

V 6= ∅, ∀m ≥ n.

Proposi¸ c˜ ao 1.47. Seja f : M → M uma dinˆ amica com especifica¸ c˜ ao sendo M espa¸ co m´ etrico compacto. Ent˜ ao f ´ e mixing.

Demonstra¸ c˜ ao. Dados abertos U, V ⊂ M tomamos dois pontos x

∈ U, x

∈ V , tomamos as bolas B

(x

, ), i = 1, 2 de modo que B

⊂ U e B

⊂ V . aplicamos especifica¸c˜ ao com tempos n

= 0, n

= 0 e erro δ =

. Assim existe y ∈ B(x

, δ) e N (δ) ≥ 1 tais que para todo n ≥ N (δ) temos f

(y) ∈ B(x

, δ). Assim, f

(B (x

, )) T

B(x

, ) 6= ∅, para todo n ≥ N (δ). Logo f ´ e mixing.

O pr´ oximo resultado nos diz que a propriedade de especifica¸c˜ ao ´ e preservada por fatores topol´ ogicos, mais precisamente

Proposi¸ c˜ ao 1.48. Seja f : M → M com especifica¸ c˜ ao e g : N → N um fator topol´ ogico de f , com M, N espa¸ cos m´ etricos compactos. Seja h : M → N cont´ınua sobrejetiva com g ◦ h = h ◦ f . Ent˜ ao g possui a propriedade de especifica¸ c˜ ao. Ademais, se f tem especifica¸ c˜ ao peri´ odica ent˜ ao g tem especifica¸ c˜ ao peri´ odica.

Demonstra¸ c˜ ao. Dado > 0, x

, ..., x

∈ N e n

, ..., n

∈ N inteiros quaisquer, sejam

{y

∈ M, i = 1, .., k} tais que h(y

) = x

. O ponto importante aqui ´ e que como h ´ e

cont´ınua num compacto ela ´ e uniformemente cont´ınua, logo existe δ > 0 tal que

d

(z, w) < δ ⇒ d

(h(z), h(w)) < para todo z, w ∈ M

Como f possui a propriedade de especifica¸c˜ ao, existe N (δ) ≥ 1 tal que para todos p

, ..., p

≥ N (δ) existe y ∈ M tais que

d

(f

(y), f

(y

)) ≤ δ, 0 ≤ j ≤ n

d

(f

(y), f

(y

)) ≤ δ, 2 ≤ i ≤ k, 0 ≤ j ≤ n

Logo tomando x = h(y) temos:

d

(g

(x), g

(x

)) = d

(g

(h(y)), g

(h(y

)))

= d

(h(f

(y)), h(f

(y

))) < , para 0 ≤ j ≤ n

, e

d

(g

(x), g

(x

)) = d

(h(f

(y)), h(f

(y

))) ≤ para 2 ≤ i ≤ k e 0 ≤ j ≤ n

. Assim conclu´ımos que g tem especifica¸c˜ ao.

Antes de mostrarmos a outra afirma¸c˜ ao, observamos que se g ◦ h = h ◦ f , se supormos por indu¸c˜ ao que g

◦ h = h ◦ f

, ent˜ ao

h ◦ f

(x) = h ◦ f

(f(x)) = g

◦ h(f(x)) = g

(g(h(x))) = g

h(x).

Assim, por indu¸c˜ ao o resultado vale para todo n.

Suponhamos que f tem especifica¸c˜ ao peri´ odica, mostremos que g tamb´ em tem es- pecifica¸c˜ ao peri´ odica. De fato,suponhamos que para todo p

≥ N (), p

∈ N podemos encontrar y ∈ M que realiza a propriedade de especifica¸c˜ ao e tal que f

(y) = y. Logo

g

(h(y)) = h(f

(y)) = h(y).

As defini¸c˜ oes anteriores podem se aplicadas tamb´ em para contexto de fluxos.

Defini¸ c˜ ao 1.49. Dizemos que um fluxo X

: M → M ´ e transitivo se existe x ∈ M tal que {X

(x) : t ∈ R

} ´ e denso em M.

Defini¸ c˜ ao 1.50. Dizemos que um fluxo X

: M → M ´ e mixing, quando dados dois abertos U, V ⊂ M existe T ∈ R

tais que X

(U ) T

V 6= ∅, ∀s ≥ T .

Observa¸ c˜ ao: Resultados an´ alogos aos anteriores tamb´ em s˜ ao v´ alidos para fluxos.