Nesta se¸c˜ao, listamos e provamos algumas propriedades relacionadas `as aplica¸c˜oes cont´ınuas.
Teorema 2.1. Sejam (M, dM), (N, dN) e (P, dP) espa¸cos m´etricos. Se f : M → N ´e
cont´ınua em a ∈ M e g : N → P ´e cont´ınua em f (a) ∈ N , ent˜ao g ◦ f : M → P ´e cont´ınua em a.
Demonstra¸c˜ao. Dado ε > 0, pela continuidade de g em f (a), existe δ1 > 0 tal que se
f (x) ∈ N e d(f (x), f (a)) < δ1, ent˜ao d(g(f (x)), g(f (a)) < ε. Agora, visto que δ1 > 0,
da continuidade de f em a, obtemos um δ > 0 tal que se x ∈ M e d(x, a) < δ, ent˜ao d(f (x), f (a)) < δ1. Logo, d((g ◦ f )(x), (g ◦ f )(a)) < ε. O que prova a continuidade de g ◦ f
em a.
O pr´oximo corol´ario afirma que toda restri¸c˜ao de uma aplica¸c˜ao cont´ınua ´e tam- b´em cont´ınua.
Corol´ario 2.1. Sejam (M, dM) e (N, dN) espa¸cos m´etricos. Se f : M → N ´e cont´ınua
em a ∈ X ⊂ M , ent˜ao f |X: X → N tamb´em ´e cont´ınua em a.
Demonstra¸c˜ao. Ora, por hip´otese, que f : M → N ´e cont´ınua em a ∈ X ⊂ M . Ainda, pelo Exemplo 2.4, a inclus˜ao i : X → M , dada por i(x) = x, tamb´em ´e cont´ınua. Agora, como f |X = f ◦ i, segue, pelo teorema anterior, que a restri¸c˜ao f |X ´e cont´ınua a.
Para o pr´oximo resultado vamos precisar do seguinte conceito: Sejam M, N1 e
N2 espa¸cos m´etricos. A aplica¸c˜ao f : M → N1× N2 equivale a um par (f1, f2), sendo
f1 : M → N1 e f2 : M → N2 denominadas aplica¸c˜oes coordenadas de f . Neste caso,
tem-se f (x) = (f1, f2)(x) = (f1(x), f2(x)), para todo x ∈ M .
Teorema 2.2. Sejam (M, dM), (N1, d1) e (N2, d2) espa¸cos m´etricos. A aplica¸c˜ao f =
(f1, f2) : M → N1 × N2 ´e cont´ınua em a ∈ M se, e somente se, f1 : M → N1 e
Demonstra¸c˜ao. Seja f cont´ınua em a, ent˜ao, sendo pi : N1× N2 → Ni, para i = 1, 2, uma
proje¸c˜ao, e f1 = p1◦ f e f2 = p2◦ f , segue, do Teorema 2.1, que f1 e f2 s˜ao cont´ınuas em
a.
Para mostrarmos a rec´ıproca, consideramos em N1× N2 a m´etrica d, definida por
d[(x1, x2), (y1, y2)] = max{d1(x1, y1), d2(x2, y2)},
para quaisquer (x1, x2), (y1, y2) ∈ N1× N2.
Como as aplica¸c˜oes coordenadas s˜ao cont´ınuas em a ∈ M , dado um ε > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que dM(x, a) < δ1 ent˜ao d1(f1(x), f1(a)) < ε e dM(x, a) < δ2 temos
que d2(f2(x), f2(a)) < ε. Tomando δ = min{δ1, δ2}, temos que dM(x, a) < δ implica em
d(f (x), f (a)) = max[{d1(f1(x), f1(a)), d2(f2(x), f2(a))}] < ε. Logo, f ´e cont´ınua em a.
Corol´ario 2.2. Sejam M1, M2, N1 e N2 espa¸cos m´etricos. Se f1 : M1 → N1 e f2 : M2 →
N2 s˜ao cont´ınuas, ent˜ao a aplica¸c˜ao ϕ = f1 × f2 : M1 × M2 → N1 × N2, definida por
ϕ(x1, x2) = (f1× f2)(x1, x2) = (f1(x1), f2(x2)), tamb´em ´e cont´ınua.
Demonstra¸c˜ao. Para verificar o corol´ario, basta notar que se considerarmos as proje¸c˜oes pi : M1 × M2 → M1, para i = 1, 2, ent˜ao as aplica¸c˜oes coordenadas de ϕ s˜ao f1 ◦ p1 :
M1× M2 → N1 e f2 ◦ p1 : M1× M2 → N2. Deste modo, segue, dos Teoremas 2.1 e 2.2,
que ϕ ´e cont´ınua.
Corol´ario 2.3. Sejam M um espa¸co espa¸co m´etrico, E um espa¸co vetorial real normado, f, g : M → E, α, β : M → R aplica¸c˜oes cont´ınuas, com β(x) 6= 0, para todo x ∈ M. Ent˜ao as aplica¸c˜oes f + g : M → E, α · f : M → E e αβ : M → R tamb´em s˜ao cont´ınuas. Demonstra¸c˜ao. Devemos lembrar que r : R \ {0} → R, definida por r(x) = x1, ´e cont´ınua. Com isto, notando que f + g = s ◦ (f, g), α · f = m ◦ (α, f ) e αβ = m ◦ (id × r) ◦ (α, β), sendo id : R → R dada por id(x) = x, segue, pelos resultados estabelecidos nesta se¸c˜ao, a validade do corol´ario em quest˜ao.
3
Homeomorfismos entre espa¸cos m´etricos
Em ´Algebra Linear, vemos que a inversa de uma transforma¸c˜ao linear bijetiva ainda ´e linear. Na teoria de Grupos e An´eis tamb´em vemos que o inverso de um homo- morfismo bijetor ainda ´e um homomorfismo. Em espa¸cos m´etricos tal similaridade n˜ao ocorre, ou seja, existem aplica¸c˜oes cont´ınuas bijetivas, com inversa descont´ınua. Quando ocorrer da inversa ser cont´ınua, teremos o que chamamos de homeomorfismo. Tal con- ceito ´e de grande utilidade para classificar espa¸cos m´etricos e com uma vis˜ao mais ampla, espa¸cos topol´ogicos.
Na primeira se¸c˜ao deste cap´ıtulo, damos a defini¸c˜ao de homeomorfismo, alguns exemplos e propriedades relacionadas. J´a na segunda e ´ultima se¸c˜ao abordamos um tipo especial de homeomorfismo, a proje¸c˜ao estereogr´afica. A bibliografia utilizada para a constru¸c˜ao deste cap´ıtulo ´e [4].
3.1
Defini¸c˜ao e exemplos
Defini¸c˜ao 3.1. Sejam M e N espa¸cos m´etricos. Um homeomorfismo de M sobre N ´e uma bije¸c˜ao cont´ınua f : M → N cuja inversa f−1 : N → M tamb´em ´e cont´ınua. Neste caso, diz-se que M e N s˜ao homeomorfos e denotamos por M ≈ N .
Observa¸c˜ao 3.1. Sejam (M, dM) e (N, dN) espa¸cos m´etricos. Ent˜ao, s˜ao v´alidas:
1) M ≈ N, para isto basta utilizar a aplica¸c˜ao identidade em M , que ´e um homeomorfismo; 2) M ≈ N ⇒ N ≈ M ent˜ao existe f : M → N que ´e um homeomorfismo. Portanto, existe h = f−1 : M → N que ´e cont´ınua, bijetora e sua inversa tamb´em ´e cont´ınua. Logo, h ´e homeomorfismo, ou seja, N ≈ M ;
3) Se M ≈ N e N ≈ P , mostremos que M ≈ P. Assim, M ≈ N ent˜ao existe g : N → P homeomorfismo. Assim, temos que h = g ◦ f : M → P ´e um homeomorfismo, pois ´e composi¸c˜ao de homeomorfismos. Logo, M ≈ P.
Portanto, ≈ ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia em M, a classe de todos os espa¸cos m´etricos. Exemplo 3.1. Se M = R est´a munido da m´etrica zero-um, ent˜ao a aplica¸c˜ao identidade i : M → R n˜ao ´e um homeomorfismo. De fato, pelo Exemplo 2.1, temos que a fun¸c˜ao i ´e cont´ınua. Al´em disso, i ´e bije¸c˜ao, com i−1(y) = y, para todo y ∈ R. Agora, j = i−1 n˜ao ´e cont´ınua. Para vermos isto, seja a ∈ R qualquer e consideremos ε = 1
2. Deste modo, B(j(a); ε) = B j(a);1 2 = {j(a)} = {a}.
Consequentemente, n˜ao existe δ > 0, tal que j(a − δ, a + δ) = (a − δ, a + δ) ⊂ B(j(a); ε), ou seja, j ´e descont´ınua em a.
Exemplo 3.2. Sejam [−1, 0] ∪ (1, ∞), [0, +∞) subespa¸cos m´etricos de R. Ent˜ao, a fun¸c˜ao f : [−1, 0] ∪ (1, ∞) → [0, +∞), definida por f (x) = x2, ´e cont´ınua, pois ´e a restri¸c˜ao de
uma fun¸c˜ao polinomial, que ´e cont´ınua, ao subconjunto [−1, 0] ∪ (1, ∞). Ainda, f ´e bijetiva, com inversa g = f−1 : [0, +∞) → [−1, 0] ∪ (1, ∞), dada por g(y) = √y, se y > 1 e g(y) = −√y, se 0 ≤ y ≤ 1. Mas g ´e descont´ınua em 1. Portanto, f n˜ao ´e um homeomorfismo.
´
E comum utilizarmos a express˜ao equivalˆencia topol´ogica ao inv´es de homeomor- fismo, pois do ponto de vista topol´ogico dois espa¸cos m´etricos homeomorfos s˜ao indistin- gu´ıveis. Uma propriedade P de que goza um espa¸co m´etrico M ´e dita topol´ogica quando qualquer espa¸co N homeomorfo a M , tamb´em goza de P . As propriedades topol´ogicas
diferem das propriedades m´etricas de M , que s˜ao aquelas preservadas atrav´es de isome- trias, isto ´e, se M goza de P e M e N s˜ao isom´etricos (existe uma aplica¸c˜ao f : M → N bijetiva que preserva distˆancia), ent˜ao N goza de P . Notemos que toda isometria ´e um homeomorfismo e assim toda propriedade topol´ogica ´e m´etrica, mas ser uma propriedade m´etrica n˜ao implica em ser uma propriedade topol´ogica, como veremos no pr´oximo ex- emplo.
Exemplo 3.3. Ser discreto ´e uma propriedade topol´ogica. De fato, sejam M e N espa¸cos m´etricos homeomorfos e suponhamos M discreto. Provemos que N tamb´em ´e discreto. Como N ≈ M , existe f : N → M , que ´e um homeomorfismo. Agora, dado a ∈ N , f (a) ∈ M . Visto que M ´e discreto, f (a) ´e ponto isolado de M . Por consequinte, existe ε > 0, tal que B(f (a); ε) = {f (a)}. Ainda, sendo f : N → M cont´ınua, existe δ > 0 tal que f (B(a; δ)) ⊂ B(f (a); ε) = {f (a)}. Deste modo, se existir x 6= a em B(a; δ), ent˜ao f (x) = f (a). Mas f ´e injetiva. Logo, x = a, o que contraria nossa suposi¸c˜ao. Portanto, B(a; δ) = {a}, isto ´e, a ´e um ponto isolado de N . Finalmente, por a ser um elemento arbitr´ario de N , segue que N tamb´em ´e discreto. Como consequˆencia, N e Q n˜ao podem ser homeomorfos.
Exemplo 3.4. Ser limitado ´e uma propriedade m´etrica, mas n˜ao ´e topol´ogica. Com efeito, se M = N e N = {n1; n ∈ N} s˜ao vistos como subespa¸cos de R, ent˜ao f : M → N ,
dada por f (n) = n1, para todo n ∈ N, ´e um homeomofismo, sendo M n˜ao limitado e N limitado, ou seja, ser limitado n˜ao ´e uma propriedade topol´ogica. Entretanto, se X ´e um espa¸co m´etrico limitado e isom´etrico a Y , ent˜ao, devido `a distˆancia ser preservada, Y deve ser limitado, isto ´e, ser limitado ´e uma propriedade m´etrica.
Exemplo 3.5. Seja E um espa¸co vetorial real normado. Para a ∈ E e para λ ∈ R \ {0}, a transla¸c˜ao Ta: E → E e a homotetia Hλ : E → E definidas por Ta(x) = x+a e Hλ(x) = λ·x
s˜ao exemplos de homeomorfismos De fato, Tae Hλ serem aplica¸c˜oes cont´ınuas ´e decorrente
do cap´ıtulo 2. Ainda, Ta−1 = T−a e Hλ−1 = Hλ−1, que tamb´em s˜ao cont´ınuas. Portanto, as
transla¸c˜oes e homotetias em um espa¸co vetorial s˜ao homeomorfismos.
Como consequˆencia do exemplo anterior podemos mostrar que duas bolas abertas B(a; r) e B(b; s) em um espa¸co vetorial real normado E s˜ao homeomorfas. De fato, basta-
nos considerar a composta ϕ = Tb◦ Hsr ◦ T−a: E → E. Temos que
ϕ |B(a;r): B(a; r) → B(b; r),
´e um homeomorfismo. Com isto, B(a; r) ≈ B(b; s).
Exemplo 3.6. Toda bola aberta de um espa¸co vetorial normado (E, k·k) ´e homeomorfa a E. Para vermos isto, basta-nos considerar a bola unit´aria B = B(0; 1) e mostrar que existe um homeomorfismo ψ : E → B. Seja ψ(x) = (1+kxk)x . Visto que kψ(x)k =
kxk
1 + kxk < 1, para todo x ∈ E, ψ est´a bem definida. Ainda, ψ ´e um aplica¸c˜ao cont´ınua de E em B. Agora, sendo Φ : B → E, dada por φ(y) = y
1 − kyk, com kyk < 1, para todo y ∈ B, vemos que φ ´e cont´ınua. Al´em do mais, vale (ψ ◦ φ)(y) = y e (φ ◦ ψ)(x) = x para quaisquer x ∈ E, y ∈ B. Logo, φ = ψ−1. Consequentemente, ψ ´e um homeomorfismo. Ou seja, B ≈ E. Utilizando o que foi dito acima, segue que toda bola aberta em E ´e homeomorfa a B. Por isto e por ≈ ser uma rela¸c˜ao de equivalˆencia em M, toda bola aberta em E ´e homeomorfa a E.