Aline de Lurdes Zuliani Lunkes

(1)

CENTRO DE CIˆENCIAS NATURAIS E EXATAS

CURSO DE GRADUA ¸C ˜AO EM MATEM ´ATICA-LICENCIATURA

TRABALHO DE CONCLUS ˜

AO DE CURSO

ESPA ¸

COS M´

ETRICOS - UMA INTRODU ¸

C ˜

AO

Aline de Lurdes Zuliani Lunkes

Santa Maria, RS, Brasil

2015

(2)

Aline de Lurdes Zuliani Lunkes

Trabalho de Conclus˜ao de Curso de Matem´atica, da Universidade Federal de Santa Maria, como requisito parcial

para obten¸c˜ao do t´ıtulo de

Licenciada em Matem´

atica

´

Area de Concentra¸c˜ao: Matem´atica

Orientador: Prof. Dr. Juliano Dami˜

ao B. de Godoi

Santa Maria, RS, Brasil

2015

(3)

CENTRO DE CIˆENCIAS NATURAIS E EXATAS

DEPARTAMENTO DE MATEM ´ATICA

A Comiss˜

ao Examinadora, abaixo assinada,

aprova o Trabalho de Conclus˜

ao de Curso II

Espa¸

cos M´

etricos: Uma - Introdu¸

c˜

ao

elaborado por

Aline de Lurdes Zuliani Lunkes

como requisito parcial para obten¸c˜ao do grau de

Licenciada em Matem´

atica

COMISS ˜AO EXAMINADORA:

Juliano Dami˜ao B. de Godoi, Dr.

(Orientador)

Maur´ıcio F. da Silva, Dr.(UFSM)

Saradia S. Della Flora, Dr.a(UFSM)

Santa Maria, RS, Brasil

2015

(4)

Neste trabalho de conclusão de curso em Matemática, apresentaremos uma in-trodu¸cão aos espa¸cos métricos. No cap´ıtulo 1, alguns resultados importantes de espa¸cos métricos. No segundo cap´ıtulo abordaremos aplica¸cões cont´ınuas, onde será importante para o cap´ıtulo 3, sobre homeomorfismo, que é o cap´ıtulo final deste trabalho.

(5)

Introdu¸c˜ao 6

1 Espa¸cos M´etricos 7

1.1 Defini¸c˜ao e exemplos de Espa¸cos M´etricos . . . 7

1.2 Bolas e Esferas . . . 19

1.3 Espa¸co M´etrico Discreto . . . 22

1.4 Espa¸co M´etrico Limitado . . . 23

2 Aplica¸c˜oes Cont´ınuas 26 2.1 Defini¸c˜oes e exemplos . . . 26

2.2 Propriedades das Aplica¸c˜oes Cont´ınuas . . . 31

3 Homeomorfismos entre espa¸cos m´etricos 34 3.1 Defini¸c˜ao e exemplos . . . 34

3.2 Proje¸c˜ao Estereogr´afica . . . 37

Referˆencias Bibliogr´aficas 38

(6)

Introdu¸c˜

ao

O objetivo deste trabalho, é fornecer conhecimento em espa¸cos métricos para a aluna, pois, tal conteúdo não é contemplado no curr´ıculo obrigatório do curso de Licencia-tura em Matemática da UFSM.

Mas, o que ´e um espa¸co m´etrico? E como surgiu? Conforme [2] e [3], devido `

as necessidades da Análise, muitos conceitos topológicos necessitavam ser dados a outros objetos diferentes dos números reais. Havia a necessidade de falar de limite ou de con-juntos abertos para vetores, fun¸cões, curvas, superf´ıcies, etc. Mauricie Frechét, em 1906, descobriu uma estrutura simples e absolutamente geral, permitindo dar sentido às no¸cões topológicas que se apresentam naturalmente na maior parte dos problemas de análise: é aquilo a que chamamos agora estrutura de espa¸cos métricos. A resposta para o que é um espa¸co métrico será dada na primeira se¸cão do cap´ıtulo 1.

Este trabalho se divide em três cap´ıtulos: no cap´ıtulo 1, temos o conceito de es-pa¸cos métricos, além de suas principais propriedades; no cap´ıtulo 2 a defini¸cão de aplica¸cão cont´ınua, com suas propriedades; e finalmente, no último cap´ıtulo a partir dos conceitos anteriores, definiremos homeomorfismo entre espa¸cos métricos, ou seja, saber quando dois espa¸cos métricos são equivalentes, dando ênfase à proje¸cão estereográfica.

Tal proje¸cão era conhecida, inicialmente, como proje¸cão planisférica, por Ptolomeu (100-170). Esta proje¸cão foi de grande uso na representa¸cão de cartas celestes (mapa do céu noturno). Até onde se tem conhecimento, o mapa mais antigo do mundo, criado em 1507, foi constru´ıdo com o aux´ılio de tal proje¸cão. Observa-se que ela transforma cada hemisfério em um disco circular. Fran¸cois d’Aiguillon deu o nome a tal proje¸cão de pro-je¸cão estereográfica em 1613. Esta destaca-se em diferentes áreas da matemática, e possui aplica¸cões em diversos campos, tais como: análise, equa¸cões diferenciais, cartografia para mapeamento da terra, geologia e fotografia.

(7)

1

Espa¸cos M´

etricos

Neste cap´ıtulo, apresentamos a defini¸cão de espa¸co métrico, bem como, uma série de exemplos e propriedades de tais espa¸cos. Utilizamos a bibliografia [4] para a constru¸cão deste cap´ıtulo.

1.1 Defini¸c˜

ao e exemplos de Espa¸cos M´etricos

Em determinadas áreas da Matemática, tais como Análise e Geometria, é necessária a compreensão do que vem ser a distância entre dois objetos de um determinado conjunto. No que segue, fornecemos o conceito de métrica, que generaliza o conceito usual de dis-tância.

Defini¸cão 1.1. Seja M um conjunto não vazio. Uma fun¸c˜_{ao d : M × M −→ R, é dita} uma métrica em M se, para quaisquer x, y, z ∈ M, as seguintes condi¸cões são satisfeitas: M1) d(x, x) = 0;

M2) Se x 6= y ent˜ao d(x, y) > 0;

M3) d(x, y) = d(y, x);

M4) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

O número real d(x, y) é chamado de distância de x a y e o par (M, d) é denominado espa¸co métrico.

Para um melhor entendimento da defini¸cão acima, no que segue, serão dados vários exemplos de espa¸cos métricos.

(8)

Exemplo 1.1. Qualquer conjunto M n˜ao vazio pode se tornar um espa¸co m´etrico. Para isto, basta considerar d : M × M −→ R, definida por

d(x, y) =      1, se x 6= y, 0, se x = y.

Temos que d é uma métrica em M , pois d satisfaz as condi¸cões M1), M2), M3) e M4).

De fato, as condi¸cões M1), M2) e M3) são consequências da defini¸cão de d. Agora, caso

d(x, z) = 0, então x = z. Logo, d(x, y) + d(y, z) ≥ 0 + 0 = d(x, z). Supondo d(x, z) = 1, então x 6= z. Com isto, não podemos ter, ao mesmo tempo, d(x, y) = 0 e d(y, z) = 0, pois, neste caso, ter´ıamos x = y e y = z, implicando em x = z, contrariando nossa suposi¸cão. Deste modo, d(x, y) = 1 ou d(y, z) = 1. Assim, 1 ≤ 1+d(x, y) ou 1 ≤ 1+d(y, z). Portanto, d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), para quaisquer x, y, z ∈ M, o que prova a validade de M4). A

métrica d, deste exemplo, é conhecida como métrica zero-um.

Exemplo 1.2. Sejam (M, d) um espa¸co métrico e N ⊂ M. Podemos munir N com uma métrica, dita métrica induzida pela de M , a qual é dada por d |N ×N. Esta restri¸cão

satisfaz as condi¸cões M1), M2), M3) e M4), pois d é uma métrica. Neste caso, N é dito

um subespa¸co m´etrico de M .

Exemplo 1.3. O conjunto R dos números reais é um exemplo de espa¸co métrico. Para vermos isto, basta-nos mostrar que d : R × R → R, dada por

d(x, y) = |x − y|,

para todo x, y ∈ R, é uma métrica em R. Para verificarmos isto, mostremos a validade das condi¸cões M1), M2), M3) e M4), da Defini¸cão 1.1.

M1) Considerando x = y, temos d(x, x) = |x − x| = 0;

M2) Se x 6= y, ent˜ao x − y 6= 0, e assim d(x, y) = |x − y| > 0;

M3) Sejam x, y ∈ R. Ent˜ao

(9)

M4) Se x, y, z ∈ R, ent˜ao, devido `a desigualdade triangular do valor absoluto,

d(x, z) = |x − z| = |x − y + y − z| ≤ |x − y| + |y − z|

= d(x, y) + d(y, z).

Visto que d satisfaz as condi¸cões M1), M2), M3) e M4), segue que d é uma métrica

em R, que ´e denominada m´etrica usual da reta.

A próxima defini¸cão é importante, pois dá origem a vários de exemplos de espa¸cos métricos.

Defini¸c˜_{ao 1.2. Seja E um espa¸co vetorial real. Dizemos que k · k : E → R, definida por}

k · k(x) = kxk, para todo x ∈ E, ´_{e uma norma em E quando, para quaisquer x, y ∈ E e λ ∈ R,}

N1) se x 6= 0, ent˜ao kxk 6= 0;

N2) kλ · xk = |λ| kxk;

N3) kx + yk ≤ kxk + kyk.

(10)

Se k · k ´_{e uma norma em E, ent˜ao, caso λ = 0, por N}2) segue que, k0k = k0 · 0k =

|0| k0k = 0, ou seja, o vetor nulo tem norma zero. E mais, kxk > 0 se, e somente se, x 6= 0. Com efeito, se x ∈ E, ent˜ao, visto que E ´e um espa¸co vetorial, −x ∈ E. Por N2),

com λ = −1,

k − xk = k(−1)xk = | − 1| kxk = kxk.

Logo, por N3), 0 = kx + (−x)k ≤ kxk + k − xk = kxk + kxk, ou seja, 0 ≤ 2kxk, implicando

em kxk ≥ 0. Portanto, por N1) e pelo fato de k0k = 0, kxk > 0 se, e somente se, x 6= 0.

Exemplo 1.4. Se Rn _{= {(x} 1, x2, . . . , xn); xi ∈ R}, ent˜ao os pares (Rn, k · k1) e (Rn, k · k2), onde kxk1 = n X i=1 |xi| e kxk2 = max 1≤i≤n|xi|,

para todo x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn, s˜ao exemplos de espa¸cos vetoriais normados. Para

verificarmos isto, devemos mostrar que k · k1 e k · k2 s˜ao normas em Rn. Vejamos

primeira-mente que k · k1 ´e norma em Rn.

N1) Se x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn\ {0}, ent˜ao existe k ∈ {1, 2, . . . , n} tal que xk 6= 0. Logo,

kxk1 = n X i=1 |xi| ≥ |xk| > 0. N2) Se λ ∈ R e x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn, ent˜ao kλ xk1 = kλ(x1, x2, . . . , xn)k1 = k(λ · x1, λ · x2, . . . , λ · xn)k1 = |λ · x1| + |λ · x2| + · · · + |λ · xn| = |λ| |x1| + |λ| |x2| + · · · + |λ| |xn| = |λ| (|x1| + |x2| + · · · + |xn|) = |λ| kxk1. N3) Se x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Rn, ent˜ao, kx + yk1 = k(x1+ y1, x2+ y2, . . . , xn+ yn)k1

(11)

= |x1+ y1| + |x2+ y2| · · · + |xn+ yn|

≤ (|x1| + |x2| + · · · + |xn|) + (|y1| + |y2| + · · · + |yn|)

= kxk1+ kyk1.

Portanto, como k · k1 satisfaz as condi¸c˜oes da Defini¸c˜ao 1.2, segue que N1), N2) e N3),

k · k1 ´e uma norma em Rn.

Agora, mostremos que k · k2 ´e uma norma em Rn.

N1) Se x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn\ {0}, ent˜ao existe k ∈ {1, 2, . . . , n}, tal que xk 6= 0.

Deste modo, kxk2 = max 1≤i≤n|xi| ≥ |xk| > 0. N2) Se λ ∈ R e x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn, ent˜ao kλ · xk2 = kλ(x1, . . . , xn)k2 = k(λ x1, . . . , λ xn)k2 = max 1≤i≤n|λ xi| = |λ| max 1≤i≤n|xi| = |λ| kxk2. N3) Se x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Rn, ent˜ao kx + yk2 = k(x1 + y1, . . . , xn+ yn)k2 = max 1≤i≤n|xi+ yi| ≤ max 1≤i≤n(|xi| + |yi|) = max

1≤i≤n|xi| + max1≤i≤n|yi|

= kxk2+ kyk2.

Assim, visto que k · k2 satisfaz as condi¸c˜oes N1), N2) e N3), k · k2 ´e uma norma em Rn.

(12)

quando existe uma constante kf > 0, tal que

|f (x)| ≤ kf,

para todo x ∈ X. Se B(X; R) = {f : X → R; f ´e limitada}, ent˜ao k · k : B(X; R) → R, dada por

kf k = sup

x∈X

|f (x)|, para todo f ∈ B(X; R), define uma norma em B(X; R).

Com efeito, no que segue mostraremos k · k satisfaz as condi¸c˜oes da Defini¸c˜ao 1.2, N1), N2)

e N3).

N1) Se f ∈ B(X; R) \ {0}, ent˜ao existe x ∈ X, tal que f (x) 6= 0. Logo,

kf k = sup x∈X |f (x)| ≥ |f (x)| > 0. N2) Se λ ∈ R e f ∈ B(X; R), ent˜ao kλ · f k = sup x∈X |λ · f (x)| = |λ| · sup x∈X |f (x)| = |λ|kf k. N3) Se f, g ∈ B(X; R), ent˜ao kf + gk = sup x∈X |(f + g)(x)| ≤ sup x∈X (|f (x)| + |g(x)|) = sup x∈X |f (x)| + sup x∈X |g(x)| = kf k + kgk.

O próximo teorema relaciona espa¸cos vetoriais normados e espa¸cos métricos. O mesmo garante a existência de vários exemplos de espa¸cos métricos.

(13)

ent˜_{ao (E, d) ´e um espa¸co m´etrico, sendo d : E × E → R definida por}

d(x, y) = kx − yk, para todo x, y ∈ E. Neste caso, a m´etrica d ´e dita proveniente da norma k · k.

Demonstra¸cão. Para provarmos este teorema, basta mostrar que d satisfaz as condi¸cões M1), M2), M3) e M4) da Defini¸cão 1.1,

M1) d(x, x) = kx − xk = k0k = 0, para todo x ∈ E;

M2) se x, y ∈ E, com x 6= y, ent˜ao x − y 6= 0. Consequentemente, d(x, y) = kx − yk > 0;

M3) d(x, y) = kx − yk = k − (y − x)k = ky − xk = d(y, x), para todo x, y ∈ E;

M4) como consequência da condi¸cão N3), da Defini¸cão 1.2, temos

d(x, z) = kx − zk

= k(x − y) + (y − z)k ≤ kx − yk + ky − zk

= d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ E.

De acordo com o teorema anterior e os Exemplos 1.4 e 1.5, (Rn_{, d}

(14)

Observa¸cão 1.1. Uma pergunta natural surge neste momento: Se (M, d) é um espa¸co métrico, então a métrica d é proveniente de alguma norma em M ? Primeiramente, obser-vamos que para isto ocorrer M deveria ser um espa¸co vetorial e isto nem sempre ocorre, basta-nos considerar, por exemplo, o conjunto M = {0, 1}, munido da métrica zero-um. Deste modo, a pergunta acima deve ser reescrita como: Se M é um espa¸co vetorial real e (M, d) é um espa¸co métrico, então d é proveniente de alguma norma em M ? O próximo teorema nos dá uma resposta satisfatória, nos fornecendo condi¸cões necessárias e sufi-cientes para que uma métrica em um espa¸co vetorial seja proveniente de uma norma no mesmo.

Teorema 1.2. Sejam E um espa¸co vetorial real e d uma métrica em E. Então d é proveniente de uma norma em E se, e somente se, para quaisquer x, y, a ∈ E e λ ∈ R arbitrários, se tenha d(x + a, y + a) = d(x, y) e d(λx, λy) = |λ|d(x, y),

Demonstra¸c˜_{ao. Suponhamos que exista uma norma em E, k · k : E → R, tal que}

d(x, y) = kx − yk,

para todo x, y ∈ E. Se x, y, a ∈ E e λ ∈ R, ent˜ao

d(x + a, y + a) = k(x + a) − (y + a)k = kx − yk

(15)

e

d(λx, λy) = kλx − λyk = kλ(x − y)k = |λ|kx − yk = |λ|d(x, y).

Reciprocamente, suponhamos que, para x, y, a ∈ E e λ ∈ R arbitr´arios, tenhamos d(x + a, y + a) = d(x, y) e d(λx, λy) = |λ|d(x, y).

Consideremos f : E → R, definida por f (x) = d(x, 0), para todo x ∈ E. Mostremos que, f define uma norma em E.

De fato, a seguir são verificadas as condi¸cões da Defini¸cão 1.2, N1), N2) e N3) para f .

N1) Se x ∈ E\{0}, então, por d ser uma métrica, a condi¸cão M2) da Defini¸cão 1.1, garante

que f (x) = d(x, 0) > 0. Em particular, f (x) 6= 0; N2) Se x ∈ E e λ ∈ R, ent˜ao

f (λx) = d(λx, 0) = d(λx, λ0) = |λ|d(x, 0) = |λ|f (x).

N3) Se x, y ∈ E, ent˜ao

f (x + y) = d(x + y, 0) ≤ d(x + y, y) + d(y, 0) = d(x, 0) + d(y, 0) = f (x) + f (y).

Portanto, f ´_{e uma norma em E, o que conclui a prova da afirma¸c˜ao. Finalmente,}

d(x, y) = d(x − y, y − y) = d(x − y, 0) = f (x − y),

ou seja, a m´etrica d ´e proveniente da norma f .

A seguir damos a defini¸cão de produto interno em um espa¸co vetorial. Veremos também que todo produto interno dá origem a uma norma e, consequentemente, pelo que foi exposto acima, também dá origem a uma métrica.

(16)

Defini¸c˜_{ao 1.3. Seja E um espa¸co vetorial sobre R. Dizemos que h·, ·i : E × E → R ´e um} produto interno em E se, para quaisquer x, y, z ∈ E e α ∈ R, satisfaz:

P1) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi;

P2) hαx, yi = αhx, yi;

P3) hx, yi = hy, xi;

P4) Se x 6= 0, ent˜ao hx, xi > 0.

Neste caso, o par (E, h·, ·i) ´e dito espa¸co com produto interno.

Observa¸cão 1.2. Se h·, ·i ´_{e um produto interno em E, então, das condi¸cões da Defini¸cão} 1.3, P2) e P3), temos que, se x, y ∈ E e α ∈ R, hx, αyi = αhx, yi. Ainda, por P1) e

P2), hx, y + zi = hx, yi + hx, zi, para quaisquer x, y, z ∈ E. Vale ressaltar, tamb´em que

h0, yi = 0. Com efeito,

h0, yi = h0 · 0, yi = 0h0, yi = 0.

O próximo teorema nos fornece uma desigualdade, denominada desigualdade de Cauchy-Schwarz, a qual é de suma importância para garantir que um produto interno dá origem a uma norma.

Teorema 1.3. Seja (E, h·, ·i) um espa¸co com produto interno e x, y ∈ E. Ent˜ao |hx, yi| ≤phx, xiphy, yi.

Demonstra¸c˜ao. Se y = 0, vemos que a desigualdade vale, pois 0 ≤ 0. Se y 6= 0, conside-remos x + ty ∈ E, para t ∈ R. Neste caso, pela observa¸c˜ao acima e por P4),

0 ≤ hx + ty, x + tyi = hx, xi + 2thx, yi + t2hy, yi.

Como a desigualdade acima vale para todo t ∈ R, ∆ = 4hx, yi2 _{− 4hx, xihy, yi ≤ 0.}

Consequentemente,

|hx, yi| ≤phx, xiphy, yi, para todo x, y ∈ E.

(17)

Exemplo 1.6. A aplica¸c˜_{ao h·, ·i : R}n_{× R}n_{→ R, dada por} hx, yi = n X i=1 xiyi,

para quaisquer x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Rn, define um produto interno

em Rn_{. De fato, abaixo provamos a validade das condi¸c˜}_{oes da Defini¸c˜}_{ao 1.3, P}

1), P2), P3)

e P4). Para tal, sejam x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn), z = (z1, z2, . . . , zn), com

x, y, z ∈ Rn _{e α ∈ R.} P1) hx + y, zi = n X i=1 (xi+ yi)zi = n X i=1 xizi+ n X i=1 yizi = hx, zi + hy, zi; P2) hαx, yi = n X i=1 αxiyi = α n X i=1 xiyi = αhx, yi; P3) hx, yi = n X i=1 xiyi = n X i=1 yixi = hy, xi;

P4) Se x 6= 0, ent˜ao xk 6= 0, para algum k ∈ {1, 2, . . . , n}. Logo,

hx, xi = n X i=1 x2_i ≥ x2 k > 0.

Portanto, (Rn, h·, ·i) ´e um espa¸co com produto interno.

Teorema 1.4. Seja E um espa¸co vetorial real. Se h·, ·i ´e um produto interno em E, ent˜ao k · k : E → R, definida por

kxk =phx, xi,

para todo x ∈ E, ´e uma norma em E. Esta norma ´e dita norma proveniente do produto interno h·, ·i.

Demonstra¸cão. Abaixo, mostramos a validade das condi¸cões da Defini¸cão 1.2 N1), N2) e

N3) para k · k, definida por kxk =phx, xi.

N1) Se x ∈ E \ {0}, ent˜ao, por P4), hx, xi > 0 e assim kxk =phx, xi > 0.

N2) Se λ ∈ R e x ∈ E, ent˜ao, por P2) e P3),

(18)

N3) Se x, y ∈ E, segue, por P1), P2) e P3) e pelo Teorema 1.3, que kx + yk2 = hx + y, x + yi = hx, xi + 2hx, yi + hy, yi = kxk2+ 2hx, yi + kyk2 ≤ kxk2+ 2|hx, yi| + kyk2 ≤ kxk2+ 2kxk · kyk + kyk2 = (kxk + kyk)2. Logo, kx + yk ≤ kxk + kyk.

Observa¸c˜ao 1.3. Como consequˆ_{encia do Exemplo 1.6 e do Teorema 1.4, k · k : R}n_{→ R,} dada por

kxk =phx, xi = q

x2

1 + x22+ · · · + x2n,

para todo x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn, ´e uma norma em Rn, conhecida como norma

eu-clideana. Assim, a mesma, pelo Teorema 1.1, dá origem a uma métrica, também conhecida como métrica euclideana. Para x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Rn temos,

d(x, y) = kx − yk =p(x1− y1)2+ (x2− y2)2+ · · · + (xn− yn)2.

Observa¸c˜_{ao 1.4. Seja E um espa¸co vetorial real normado. Se k · k define uma norma} em E, então esta é proveniente de algum produto interno em E? Para respondermos esta pergunta, notamos que se kxk =phx, xi, onde h·, ·i é um produto interno em E, então, para x, y ∈ E,

(19)

Consequentemente, vale a chamada identidade do paralelogramo

kx + yk2+ kx − yk2 = 2(kxk2+ kyk2).

Com isto, podemos ver que k · k1, k · k2, dadas no Exemplo 1.4, n˜ao s˜ao provenientes de

produto interno algum em Rn_{. Afirmamos que a rec´ıproca tamb´}_{em vale, ou seja, se a}

identidade do paralelogramo é satisfeita para uma norma k · k, então esta é proveniente de algum produto interno em E. Entretanto, a prova desta rec´ıproca demanda de outros resultados, relacionados à continuidade e será omitida (sugerimos ao leitor [5]).

Na próxima se¸cão introduziremos o conceito de bolas em diferentes espa¸cos m´ etri-cos. Também veremos uma série de exemplos. Tais conceitos são muito importantes, pois a partir deles, introduziremos conceitos gerais de aplica¸cões cont´ınuas.

1.2 Bolas e Esferas

Defini¸cão 1.4. Sejam (M, d) um espa¸co métrico, a ∈ M e r > 0. Então, definimos 1) a bola aberta de centro a e raio r por B(a; r) = {x ∈ M ; d(x, a) < r} ;

2) a bola fechada de centro a e raio r por B[a; r] = {x ∈ M ; d(x, a) ≤ r} ; 3) a esfera de centro a e raio r por S(a; r) = {x ∈ M ; d(x, a) = r} .

As bolas e esferas podem adquirir aspectos inesperados. No que segue, veremos alguns exemplos.

Exemplo 1.7. Seja (M, d) um espa¸co métrico, onde d é a métrica zero-um. Então, para quaisquer a ∈ M e r > 0, B(a; r) = {x ∈ M ; d(x, a) < r} =      M, se r > 1, {a}, se r ≤ 1.

Ainda, vˆe-se que B[a; r] = M, se r ≥ 1, B[a; r] = {a}, se r < 1. Agora, visto que B[a; r] = B(a; r) ∪ S(a; r), S(a; r) = B[a; r] − B(a; r) = ∅. Logo, se r 6= 1, S(a; 1) = M \ {a}.

(20)

Exemplo 1.8. Sejam (R; d), onde d ´e a m´etrica usual de R, a ∈ R e r > 0. Neste caso, B(a; r) = {x ∈ R; d(x, a) < r}

= {x ∈ R; |x − a| < r}

= {x ∈ R; a − r < x < a + r} = (a − r, a + r). Tamb´em, B[a; r] = [a − r, a + r] e S(a; r) = {a − r, a + r}.

Exemplo 1.9. Em (R2_{, d), (R}2_{, d} 1) e (R2, d2), temos que se a = (a1, a2) ∈ R2 e r > 0, Sd(a; r) =(x, y) ∈ R2; d((x, y), (a1, a2)) = r =n_{(x, y) ∈ R}2; p(x − a1)2+ (y − a2)2 = r o . Sd1(a; r) =(x, y) ∈ R 2_{; d} 1((x, y), (a1, a2)) = r =(x, y) ∈ R2; |x − a1| + |y − a2| = r . Sd2(a; r) =(x, y) ∈ R 2_{; d} 2((x, y), (a1, a2)) = r =(x, y) ∈ R2; max {|x − a1|, |y − a2|} = r .

(21)

Exemplo 1.10. Se B([a, b], R) ´e o espa¸co m´etrico do Exemplo 1.3, f ∈ B([a, b], R) e r > 0,

B[f ; r] = {g ∈ B([a, b], R); d(g, f ) ≤ r} , = {g ∈ B([a, b], R); kg − f k ≤ r} .

Exemplo 1.11. Sejam (M, d) um espa¸co métrico e N ⊂ M um subespa¸co métrico de M. Então, se para cada a ∈ N e cada r > 0, denotarmos por BN(a; r) a bola aberta de centro

a e raio r, relativamente `a m´etrica d, temos

BN(a; r) = B(a; r) ∩ N.

Com efeito,

BN(a; r) = {x ∈ N ; d(x, a) < r}

= {x ∈ M ; d(x, a) < r} ∩ N = B(a; r) ∩ N.

Al´em disso, podemos mostrar que BN[a; r] = B[a; r] ∩ N e SN(a; r) = S(a; r) ∩ N.

Por exemplo, ao considerarmos S1 _{= {(x, y) ∈ R}2; x2+ y2 = 1} como um subespa¸co m´_{etrico de R}2_{, munido da m´}_{etrica euclideana, temos que B}

S1(a; r) ´e um arco de c´ırculo,

(22)

Na próxima se¸cão, utilizando os conceitos de bola aberta, fornecemos o conceito de Espa¸co Métrico Discreto.

1.3 Espa¸co M´etrico Discreto

Defini¸cão 1.5. Seja M um espa¸co métrico. Dizemos que a ∈ M é ponto isolado de M quando existe r > 0 tal que B(a; r) = {a} .

Exemplo 1.12. Seja Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} um subespa¸co m´etrico de R, munido com a m´_{etrica euclideana. Todo ponto n ∈ Z ´e isolado, pois existe r = 1 > 0, tal que}

B(n; 1) = {m ∈ Z; d(m, n) < 1}

(23)

Já, se considerarmos, A =_n1_{; n ∈ N} , então 0 não é ponto isolado de A, pois para todo r > 0, existe n ∈ N tal que d(n1, 0) =

1

n < r, isto ´e, B(0; r) 6= {a}, para todo r > 0.

Exemplo 1.13. Seja (M, d) um espa¸co métrico, sendo d a métrica zero-um. Todos os pontos de M são pontos isolados, pois dado a ∈ M , existe r = 1₂ > 0, tal que B(a;1₂) = {a}.

Exemplo 1.14. Se E 6= {0} é um espa¸co vetorial real, munido da norma k · k, então todo ponto de E não é ponto isolado. De fato, como E 6= {0}, existe b ∈ E \ {0}. Assim, dados a ∈ E e r > 0, y = a +2kbkrb ∈ E é tal que ky − ak =

r

2 < r. Consequentemente, y ∈ B(a; r)

e y 6= a. Ou seja, B(a; r) 6= {a}. Portanto, a n˜ao ´_{e ponto isolado de E.}

Defini¸cão 1.6. Dizemos que o espa¸co métrico (M, d) é discreto quando todo ponto de M é isolado.

Exemplo 1.15. Pela defini¸c˜_{ao acima podemos concluir que, no Exemplo 1.12, Z é discreto} e A não é discreto. Do Exemplo 1.13, todo espa¸co métrico (M, d), onde d é a métrica zero-um, é discreto e todo espa¸co vetorial normado não nulo, pelo Exemplo 1.14, não é discreto.

1.4 Espa¸co M´etrico Limitado

Defini¸cão 1.7. Sejam (M, d) um espa¸co métrico e X ⊂ M . Dizemos que X é limitado quando existe um número real r ≥ 0 tal que d(x, y) ≤ r, para quaisquer x, y ∈ X. Se X é limitado e não vazio, o conjunto {d(x, y); x, y ∈ X} é não vazio e limitado superiormente. O diâmetro de X é definido como sendo o número

(24)

Exemplo 1.16. Qualquer bola B(a; r) em um espa¸co m´etrico ´e limitada, pois para quais-quer x, y ∈ B(a; r), temos

d(x, y) ≤ d(x, a) + d(a, y) < r + r = 2r.

Ou seja, diam(B(a; r)) ≤ 2r.

Observa¸cão 1.5. Existem situa¸cões em que o diâmetro de uma bola B(a; r) é menor do que 2r. Por exemplo, se considerarmos B(2;√_{2) em M = Z, munido da métrica induzida} da de R, então

B(2;√2) = {1, 2, 3} e diam(B(2;√2)) = 2 < 2√2.

Exemplo 1.17. Em um espa¸co vetorial real normado E 6= {0}, a bola aberta B(a; r) tem diâmetro 2r. De fato, devido ao Exemplo 1.16, basta mostrarmos que qualquer número menor do que 2r não pode ser uma cota superior para o conjunto {d(x, y) = kx−yk; x, y ∈ B(a; r)}. Para tal, seja s ∈ R, com s < 2r. Então existe t ∈ R tal que s < 2t < 2r. Ainda, visto que E 6= {0}, existe y 6= 0 em E. Considerando x = _kykty , vemos que kxk = t < r. Consequentemente, a + x, a − x ∈ B(a; r). Além disso,

d(a + x, a − x) = k(a + x) − (a − x)k = 2kxk = 2t > s.

(25)

Exemplo 1.18. Todo espa¸co vetorial real normado E 6= {0} não é limitado. Com efeito, suponhamos E limitado. Então existe r > 0 tal que d(x, y) ≤ r, para quaisquer x, y ∈ E. Agora, visto que E 6= {0}, existe v 6= 0 em E. Assim, 2rv

kvk ∈ E e d(v, 0) = kv − 0k = kvk = 2r > r,

o que contraria nossa suposi¸c˜_{ao. Portanto, E n˜ao ´e limitado.}

O próximo resultado nos dá uma maneira alternativa de definirmos conjuntos limitados em um espa¸co métrico.

Teorema 1.5. Sejam (M, d) um espa¸co métrico e X ⊂ M . Então X é limitado se, e somente se, existe alguma bola B de M contendo X.

Demonstra¸cão. Se X = ∅, então X ⊂ B, para qualquer bola de M . Se X 6= ∅, então existe a ∈ X. Como X é limitado, existe r > 0 tal que d(x, a) ≤ r, para todo x ∈ X. Consequentemente, X ⊂ B[a; r] ⊂ B(a; 2r).

Reciprocamente, se X ⊂ B = B(a; r), para algum r > 0 e a ∈ M , ent˜ao d(x, a) < r, para todo x ∈ X. Agora, para quaisquer x, y ∈ X, temos d(x, y) ≤ d(x, a)+d(y, a) < r+r = 2r, ou seja, diam(X) < 2r. Portanto, X ´e limitado.

(26)

2

Aplica¸c˜

oes Cont´ınuas

Até o presente momento, sabemos o que é um espa¸co métrico. Em estudos mais avan¸cados há a necessidade de buscar uma maneira de relacionar tais espa¸cos. Tal rela¸cão é dada através de aplica¸cões, mais especificamente aplica¸cões cont´ınuas, que será o tema de estudo neste cap´ıtulo. A bibliografia utilizada para a constru¸cão deste cap´ıtulo é [4].

2.1 Defini¸c˜

oes e exemplos

Nesta se¸cão, fornecemos a defini¸cão de aplica¸cão cont´ınua entre dois espa¸cos métricos, bem como uma série de exemplos de tais aplica¸cões. Vale ressaltar que tal defini¸cão é uma generaliza¸cão do conceito de continuidade visto em Análise Real.

Defini¸cão 2.1. Sejam (M, dM) e (N, dN) espa¸cos métricos. Dizemos que a aplica¸cão

f : M → N ´e cont´ınua em a ∈ M quando, para todo ε > 0 dado, existe δ > 0 tal que dM(x, a) < δ implica dN(f (x), f (a)) < ε.

Diz-se também que f : M → N é cont´ınua quando ela é cont´ınua em todos os pontos a ∈ M .

(27)

Observa¸cão 2.1. A aplica¸cão f : M → N é cont´ınua em a se, somente se, dada qualquer bola B0 = B(f (a); ε), existe uma bola B = B(a; δ) tal que f (B) ⊂ B0.

A defini¸cão acima generaliza o conceito de continuidade visto no curso de Análise Real, pois se considerarmos d a m´_{etrica usual de R, então f : M ⊂ R → R é cont´ınua em} a se, e somente se, para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que

x ∈ M, d(x, a) < δ implica d(f (x), f (a)) < ε

o que equivale a dizer que

∀ ε > 0, ∃ δ > 0; x ∈ M e |x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε.

Exemplo 2.1. Sejam (M, dM) e (N, dN) espa¸cos m´etricos, sendo dM a m´etrica

zero-um. Ent˜ao f : M → N ´e sempre cont´ınua, pois dado ε > 0, existe δ = 1₂ tal que B(a; δ) = B(a;1₂) = {a} e assim, f (B(a; δ)) = {f (a)} ⊂ B(f (a); ε).

Exemplo 2.2. Sejam (M, dM), (N, dN) espa¸cos m´etricos e a um ponto isolado de M .

Então qualquer aplica¸cão f : M → N é cont´ınua em a. Com efeito, como a é ponto isolado de M , existe δ > 0 tal que B(a; δ) = {a}. Deste modo, dado ε > 0,

f (B(a; δ)) = f ({a}) = {f (a)} ⊂ B(f (a); ε).

Portanto f ´e cont´ınua em a.

Como consequência do exemplo anterior temos que se M é um espa¸co métrico discreto, então toda aplica¸cão f : M → N é cont´ınua, sendo N espa¸co métrico.

Observa¸cão 2.2. Se (M, dM), (N, dN) são espa¸cos métricos, então, ao negarmos a Defini¸cão

2.1, concluimos que f : M → N ´e descont´ınua em a ∈ M , quando

(28)

Por exemplo, a aplica¸c˜_{ao ξ : R → R, definida por} ξ(x) =      1, se x 6= y, 0, se x = y,

´_{e descont´ınua em todo ponto a ∈ R, sendo R munido da m´etrica usual. Com efeito,} con-siderando ε = 1₂ _{> 0, temos que dado δ > 0, existe, pela densidade de Q em R, x}δ tal que

d(xδ, a) = |xδ−a| < δ, sendo xδracional se a for irracional e xδ irracional se a for racional.

Com isto, |ξ(xδ)−ξ(a)| = 1 ≥ 1₂. Portanto, ξ é descont´ınua em R, já que a ∈ R é arbitrário.

Observa¸cão 2.3. Se f : M → N é tal que f |B é cont´ınua em a, para alguma bola

centrada em a, então f é cont´ınua em a. Com efeito, sejam ε > 0 e B = B(a; r). Como f |B é cont´ınua em a, existe δ > 0 tal que se x ∈ B e dM(x, a) < δ, então

dN(f (x), f (a)) < ε. Consequentemente, ao tomarmos δ1 = min{δ, r}, teremos que

x ∈ M e dM(x, a) < δ1 ⇒ dN(f (x), f (a)) < ε,

ou seja, f é cont´ınua em a. Deste modo, o conceito de continuidade em um ponto é local, isto é, depende apenas do comportamento de f nas proximidades de tal ponto.

Defini¸c˜ao 2.2. Sejam (M, dM) e (N, dN) dois espa¸cos m´etricos. Dizemos que uma

apli-ca¸c˜ao f : M → N ´e Lipschitziana quando existe uma constante c > 0, chamada constante de Lipschitz, tal que dN(f (x), f (y)) ≤ c · dM(x, y), para quaisquer x, y ∈ M .

Toda aplica¸c˜ao lipschitziana ´e cont´ınua, pois dados ε > 0 e a ∈ M , existe δ = ε c tal que dM(x, a) < δ ⇒ dN(f (x), f (a)) ≤ c · dM(x, a) < c · δ = ε.

Ainda, sobre as aplica¸c˜oes lipschitzianas, no que segue, vemos um modo de cons-truir aplica¸c˜_{oes lipschitzianas e, consequentemente, cont´ınuas quando N = R.} Inicial-mente, notamos que se f, g : M → R s˜ao lipschitzianas, com constantes de Lipschitz cf e

(29)

cg, respectivamente, ent˜ao f + g ´e lipschitziana, com constante de Lipschitz cf + cg, pois

Tamb´_{em, se f : M → R ´e lipschitziana, com constante de Lipschitz c}f, a aplica¸c˜ao k · f,

para k ∈ R, ´e lipschitziana, com constante de Lipschitz |k|cf, pois

d_R((k · f )(x), (k · f )(y)) = |k · f (x) − k · f (y)| = |k| · |f (x) − f (y)| ≤ |k|cf · dM(x, y).

Como consequência das propriedades acima, podemos mostrar, por indu¸cão, que toda combina¸cão linear k1 · f1+ k2· f2+ · · · + kn· fn de aplica¸cões fi : M → R lipschitzianas,

´e lipschitziana, sendo ki ∈ R, com i = 1, 2, . . . , n.

Exemplo 2.3. A fun¸c˜_{ao f : R → R, definida por f (x) = x}n_{, para n ∈ N, ´e lipschitziana}

em cada conjunto limitado de R, em particular, em toda bola B ⊂ R, e assim, pela Observa¸cão 2.3 e por toda aplica¸cão lipschitziana ser cont´ınua, f é cont´ınua. De fato, se |x| ≤ k e |y| ≤ k, então

d(f (x), f (y)) = |xn− yn|

= |x − y| · |xn−1+ xn−2· y + · · · + yn−1| ≤ |x − y| · (|x|n−1+ |x|n−2|y| + · · · + |y|n−1) ≤ k · |x − y| = k · d(x, y), onde k = n · kn−1.

Como consequˆencia disto, toda fun¸c˜_{ao polinomial p : R → R, dada por p(x) = a}0+ a1x +

· · · + anxn, com ai ∈ R, ´e cont´ınua.

Exemplo 2.4. Seja E um espa¸co vetorial real normado. A aplica¸c˜ao m : R × E → E, definida por m(λ, x) = λ · x, ´_{e lipschitziana em cada conjunto limitado de R × E. De fato,}

(30)

se considerarmos em R × E a m´etrica d, dada por

d[(λ, x), (µ, y)] = |λ − µ| + kx − yk,

para quaisquer (λ, x), (µ, y) ∈ R × E, ent˜ao, caso |λ|, |µ|, |x| e |y| sejam menores do que, ou iguais a k,

d[m(λ, x), m(µ, y)] = kλ · x − µ · yk

≤ |λ − µ| · kxk + |µ| · kx − yk ≤ k(|λ − µ| + kx − yk)

= k · d[(λ, x), (µ, y)].

Logo, m ´_{e cont´ınua em cada parte limitada de R × E. Em particular, m ´e cont´ınua em} cada bola B de R × E, e assim, m ´e cont´ınua.

Um tipo de aplica¸c˜ao lipschitziana muito comum ´e obtida quando a constante de Lipschitz vale 1.

Defini¸cão 2.3. Sejam (M, dM) e (N, dN) dois espa¸cos métricos. Se f : M → N é tal que

dN(f (x), f (y)) ≤ dM(x, y), para quaisquer x, y ∈ M , então f é dita uma contra¸cão fraca.

Exemplo 2.5. As contra¸cões fracas, sendo lipschitzianas, são cont´ınuas. Abaixo, seguem vários exemplos de contra¸cões fracas.

1) A aplica¸c˜ao constante f : M → N, definida por f (x) = c ∈ N . Basta notar que dN(f (x), f (y)) = dN(k, k) = 0 ≤ dM(x, y), para quaisquer x, y ∈ M.

2) Uma imersão isométrica é uma aplica¸cão f : M → N tal que dN(f (x), f (y)) = dM(x, y),

para quaisquer x, y ∈ M . Em particular, toda imersão isométrica é uma contra¸cão fraca. Com isto, a inclusão i : X ,→ M , definida por i(x) = x, onde X é um subespa¸co de M , é cont´ınua.

(31)

contra¸c˜_{ao fraca, pois se x, y ∈ E, temos}

d_R(k · k(x), k · k(y)) = |kxk − kyk| ≤ kx − yk = d_E(x, y).

4) Sejam (M1, d1), . . . , (Mn, dn) espa¸cos m´etricos. Para cada i ∈ {1, 2, . . . , n} definimos

a aplica¸c˜ao proje¸c˜ao pi : M1 × M2 × · · · × Mn → Mi, pondo pi(x1, . . . , xn) = xi. Ao

considerarmos M1× M2× · · · × Mn munido com a m´etrica d, definida por

d(x, y) = d1(x1, y1) + d2(x2, y2) + · · · + dn(xn, yn),

para todo x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ M1× M2× · · · × Mn, vemos que

di(pi(x), pi(y)) = di(xi, yi) ≤ d(x, y), ou seja, pi ´e uma contra¸c˜ao fraca.

5) Sejam (M, d), (M × M, δ) espa¸cos m´etricos, onde

δ[(x, y), (a, b)] = d(x, a) + d(y, b), ∀ (x, y), (a, b) ∈ M × M.

Então a m´_{etrica d : M × M → R é contra¸cão fraca, pois}

d_R(d(x, y), d(a, b)) = |d(x, y) − d(a, b)|

≤ |d(x, y) − d(a, y)| + |d(a, y) − d(a, b)|

≤ d(x, a) + d(y, b) = δ[(x, y), (a, b)], ∀ (x, y), (a, b) ∈ M × M.

6) Seja E um espa¸co vetorial real normado. Então, a aplica¸cão s : E × E → E, dada por s(x, y) = x + y é uma contra¸c˜_{ao fraca, quando consideramos em E × E a norma} k(x, y)k = kxk + kyk. De fato, ks(x, y) − s(a, b)k ≤ kx − ak + ky − bk = k(x, y) − (a, b)k.

2.2 Propriedades das Aplica¸c˜

oes Cont´ınuas

Nesta se¸cão, listamos e provamos algumas propriedades relacionadas às aplica¸cões cont´ınuas.

(32)

Teorema 2.1. Sejam (M, dM), (N, dN) e (P, dP) espa¸cos m´etricos. Se f : M → N ´e

cont´ınua em a ∈ M e g : N → P é cont´ınua em f (a) ∈ N , então g ◦ f : M → P é cont´ınua em a.

Demonstra¸c˜ao. Dado ε > 0, pela continuidade de g em f (a), existe δ1 > 0 tal que se

f (x) ∈ N e d(f (x), f (a)) < δ1, ent˜ao d(g(f (x)), g(f (a)) < ε. Agora, visto que δ1 > 0,

da continuidade de f em a, obtemos um δ > 0 tal que se x ∈ M e d(x, a) < δ, ent˜ao d(f (x), f (a)) < δ1. Logo, d((g ◦ f )(x), (g ◦ f )(a)) < ε. O que prova a continuidade de g ◦ f

em a.

O próximo corolário afirma que toda restri¸cão de uma aplica¸cão cont´ınua é tam-bém cont´ınua.

Corolário 2.1. Sejam (M, dM) e (N, dN) espa¸cos métricos. Se f : M → N é cont´ınua

em a ∈ X ⊂ M , então f |X: X → N também é cont´ınua em a.

Demonstra¸cão. Ora, por hipótese, que f : M → N é cont´ınua em a ∈ X ⊂ M . Ainda, pelo Exemplo 2.4, a inclusão i : X → M , dada por i(x) = x, também é cont´ınua. Agora, como f |X = f ◦ i, segue, pelo teorema anterior, que a restri¸cão f |X é cont´ınua a.

Para o pr´oximo resultado vamos precisar do seguinte conceito: Sejam M, N1 e

N2 espa¸cos m´etricos. A aplica¸c˜ao f : M → N1× N2 equivale a um par (f1, f2), sendo

f1 : M → N1 e f2 : M → N2 denominadas aplica¸c˜oes coordenadas de f . Neste caso,

tem-se f (x) = (f1, f2)(x) = (f1(x), f2(x)), para todo x ∈ M .

Teorema 2.2. Sejam (M, dM), (N1, d1) e (N2, d2) espa¸cos m´etricos. A aplica¸c˜ao f =

(f1, f2) : M → N1 × N2 ´e cont´ınua em a ∈ M se, e somente se, f1 : M → N1 e

(33)

Demonstra¸c˜ao. Seja f cont´ınua em a, ent˜ao, sendo pi : N1× N2 → Ni, para i = 1, 2, uma

proje¸c˜ao, e f1 = p1◦ f e f2 = p2◦ f , segue, do Teorema 2.1, que f1 e f2 s˜ao cont´ınuas em

a.

Para mostrarmos a rec´ıproca, consideramos em N1× N2 a m´etrica d, definida por

d[(x1, x2), (y1, y2)] = max{d1(x1, y1), d2(x2, y2)},

para quaisquer (x1, x2), (y1, y2) ∈ N1× N2.

Como as aplica¸cões coordenadas são cont´ınuas em a ∈ M , dado um ε > 0, existem δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que dM(x, a) < δ1 então d1(f1(x), f1(a)) < ε e dM(x, a) < δ2 temos

que d2(f2(x), f2(a)) < ε. Tomando δ = min{δ1, δ2}, temos que dM(x, a) < δ implica em

d(f (x), f (a)) = max[{d1(f1(x), f1(a)), d2(f2(x), f2(a))}] < ε. Logo, f ´e cont´ınua em a.

Corol´ario 2.2. Sejam M1, M2, N1 e N2 espa¸cos m´etricos. Se f1 : M1 → N1 e f2 : M2 →

N2 são cont´ınuas, então a aplica¸cão ϕ = f1 × f2 : M1 × M2 → N1 × N2, definida por

ϕ(x1, x2) = (f1× f2)(x1, x2) = (f1(x1), f2(x2)), tamb´em ´e cont´ınua.

Demonstra¸cão. Para verificar o corolário, basta notar que se considerarmos as proje¸cões pi : M1 × M2 → M1, para i = 1, 2, então as aplica¸cões coordenadas de ϕ são f1 ◦ p1 :

M1× M2 → N1 e f2 ◦ p1 : M1× M2 → N2. Deste modo, segue, dos Teoremas 2.1 e 2.2,

que ϕ ´e cont´ınua.

Corolário 2.3. Sejam M um espa¸co espa¸co m´_{etrico, E um espa¸co vetorial real normado,} f, g : M → E, α, β : M → R aplica¸cões cont´ınuas, com β(x) 6= 0, para todo x ∈ M. Então as aplica¸c˜_{oes f + g : M → E, α · f : M → E e} α_β _{: M → R também são cont´ınuas.} Demonstra¸c˜_{ao. Devemos lembrar que r : R \ {0} → R, definida por r(x) =} _x1, é cont´ınua. Com isto, notando que f + g = s ◦ (f, g), α · f = m ◦ (α, f ) e α_β = m ◦ (id × r) ◦ (α, β), sendo id : R → R dada por id(x) = x, segue, pelos resultados estabelecidos nesta se¸cão, a validade do corolário em questão.

(34)

3

Homeomorfismos entre espa¸cos m´

etricos

Em Álgebra Linear, vemos que a inversa de uma transforma¸cão linear bijetiva ainda é linear. Na teoria de Grupos e Anéis também vemos que o inverso de um homo-morfismo bijetor ainda é um homomorfismo. Em espa¸cos métricos tal similaridade não ocorre, ou seja, existem aplica¸cões cont´ınuas bijetivas, com inversa descont´ınua. Quando ocorrer da inversa ser cont´ınua, teremos o que chamamos de homeomorfismo. Tal con-ceito é de grande utilidade para classificar espa¸cos métricos e com uma visão mais ampla, espa¸cos topológicos.

Na primeira se¸cão deste cap´ıtulo, damos a defini¸cão de homeomorfismo, alguns exemplos e propriedades relacionadas. Já na segunda e última se¸cão abordamos um tipo especial de homeomorfismo, a proje¸cão estereográfica. A bibliografia utilizada para a constru¸cão deste cap´ıtulo é [4].

3.1 Defini¸c˜

ao e exemplos

Defini¸cão 3.1. Sejam M e N espa¸cos métricos. Um homeomorfismo de M sobre N é uma bije¸cão cont´ınua f : M → N cuja inversa f−1 : N → M também é cont´ınua. Neste caso, diz-se que M e N são homeomorfos e denotamos por M ≈ N .

Observa¸cão 3.1. Sejam (M, dM) e (N, dN) espa¸cos métricos. Então, são válidas:

1) M ≈ N, para isto basta utilizar a aplica¸cão identidade em M , que é um homeomorfismo; 2) M ≈ N ⇒ N ≈ M então existe f : M → N que é um homeomorfismo. Portanto, existe h = f−1 : M → N que é cont´ınua, bijetora e sua inversa também é cont´ınua. Logo, h é homeomorfismo, ou seja, N ≈ M ;

(35)

3) Se M ≈ N e N ≈ P , mostremos que M ≈ P. Assim, M ≈ N então existe g : N → P homeomorfismo. Assim, temos que h = g ◦ f : M → P é um homeomorfismo, pois é composi¸cão de homeomorfismos. Logo, M ≈ P.

Portanto, ≈ é uma rela¸cão de equivalência em M, a classe de todos os espa¸cos métricos. Exemplo 3.1. Se M = R está munido da métrica zero-um, então a aplica¸cão identidade i : M → R não é um homeomorfismo. De fato, pelo Exemplo 2.1, temos que a fun¸cão i é cont´ınua. Além disso, i é bije¸cão, com i−1_{(y) = y, para todo y ∈ R. Agora, j = i}−1 não é cont´ınua. Para vermos isto, seja a ∈ R qualquer e consideremos ε = 1

2. Deste modo, B(j(a); ε) = B j(a);1 2 = {j(a)} = {a}.

Consequentemente, n˜ao existe δ > 0, tal que j(a − δ, a + δ) = (a − δ, a + δ) ⊂ B(j(a); ε), ou seja, j ´e descont´ınua em a.

Exemplo 3.2. Sejam [−1, 0] ∪ (1, ∞), [0, +∞) subespa¸cos m´_{etricos de R. Ent˜ao, a fun¸c˜ao} f : [−1, 0] ∪ (1, ∞) → [0, +∞), definida por f (x) = x2_{, ´}_{e cont´ınua, pois ´}_{e a restri¸c˜}_{ao de}

uma fun¸cão polinomial, que é cont´ınua, ao subconjunto [−1, 0] ∪ (1, ∞). Ainda, f é bijetiva, com inversa g = f−1 : [0, +∞) → [−1, 0] ∪ (1, ∞), dada por g(y) = √y, se y > 1 e g(y) = −√y, se 0 ≤ y ≤ 1. Mas g é descont´ınua em 1. Portanto, f não é um homeomorfismo.

´

E comum utilizarmos a expressão equivalência topológica ao invés de homeomor-fismo, pois do ponto de vista topológico dois espa¸cos métricos homeomorfos são indistin-gu´ıveis. Uma propriedade P de que goza um espa¸co métrico M é dita topológica quando qualquer espa¸co N homeomorfo a M , também goza de P . As propriedades topológicas

(36)

diferem das propriedades métricas de M , que são aquelas preservadas através de isome-trias, isto é, se M goza de P e M e N são isométricos (existe uma aplica¸cão f : M → N bijetiva que preserva distância), então N goza de P . Notemos que toda isometria é um homeomorfismo e assim toda propriedade topológica é métrica, mas ser uma propriedade métrica não implica em ser uma propriedade topológica, como veremos no próximo ex-emplo.

Exemplo 3.3. Ser discreto é uma propriedade topológica. De fato, sejam M e N espa¸cos métricos homeomorfos e suponhamos M discreto. Provemos que N também é discreto. Como N ≈ M , existe f : N → M , que é um homeomorfismo. Agora, dado a ∈ N , f (a) ∈ M . Visto que M é discreto, f (a) é ponto isolado de M . Por consequinte, existe ε > 0, tal que B(f (a); ε) = {f (a)}. Ainda, sendo f : N → M cont´ınua, existe δ > 0 tal que f (B(a; δ)) ⊂ B(f (a); ε) = {f (a)}. Deste modo, se existir x 6= a em B(a; δ), então f (x) = f (a). Mas f é injetiva. Logo, x = a, o que contraria nossa suposi¸cão. Portanto, B(a; δ) = {a}, isto é, a é um ponto isolado de N . Finalmente, por a ser um elemento arbitrário de N , segue que N também é discreto. Como consequˆ_{encia, N e Q não podem} ser homeomorfos.

Exemplo 3.4. Ser limitado é uma propriedade métrica, mas não é topológica. Com efeito, se M = N e N = {n1; n ∈ N} são vistos como subespa¸cos de R, então f : M → N ,

dada por f (n) = _n1_{, para todo n ∈ N, é um homeomofismo, sendo M não limitado e N} limitado, ou seja, ser limitado não é uma propriedade topológica. Entretanto, se X é um espa¸co métrico limitado e isométrico a Y , então, devido à distância ser preservada, Y deve ser limitado, isto é, ser limitado é uma propriedade métrica.

Exemplo 3.5. Seja E um espa¸co vetorial real normado. Para a ∈ E e para λ ∈ R \ {0}, a transla¸c˜ao Ta: E → E e a homotetia Hλ : E → E definidas por Ta(x) = x+a e Hλ(x) = λ·x

são exemplos de homeomorfismos De fato, Tae Hλ serem aplica¸cões cont´ınuas é decorrente

do cap´ıtulo 2. Ainda, T_a−1 = T−a e H_λ−1 = Hλ−1, que tamb´em s˜ao cont´ınuas. Portanto, as

transla¸c˜oes e homotetias em um espa¸co vetorial s˜ao homeomorfismos.

Como consequˆencia do exemplo anterior podemos mostrar que duas bolas abertas B(a; r) e B(b; s) em um espa¸co vetorial real normado E s˜ao homeomorfas. De fato,

(37)

basta-nos considerar a composta ϕ = Tb◦ Hs_r ◦ T−a: E → E. Temos que

ϕ |B(a;r): B(a; r) → B(b; r),

´e um homeomorfismo. Com isto, B(a; r) ≈ B(b; s).

Exemplo 3.6. Toda bola aberta de um espa¸co vetorial normado (E, k·k) ´e homeomorfa a E. Para vermos isto, basta-nos considerar a bola unit´aria B = B(0; 1) e mostrar que existe um homeomorfismo ψ : E → B. Seja ψ(x) = (1+kxk)x . Visto que kψ(x)k =

kxk

1 + kxk < 1, para todo x ∈ E, ψ está bem definida. Ainda, ψ é um aplica¸cão cont´ınua de E em B. Agora, sendo Φ : B → E, dada por φ(y) = y

1 − kyk, com kyk < 1, para todo y ∈ B, vemos que φ é cont´ınua. Além do mais, vale (ψ ◦ φ)(y) = y e (φ ◦ ψ)(x) = x para quaisquer x ∈ E, y ∈ B. Logo, φ = ψ−1. Consequentemente, ψ é um homeomorfismo. Ou seja, B ≈ E. Utilizando o que foi dito acima, segue que toda bola aberta em E é homeomorfa a B. Por isto e por ≈ ser uma rela¸cão de equivalˆ_{encia em M, toda bola aberta em E é} homeomorfa a E.

3.2 Proje¸c˜

ao Estereogr´

afica

A proje¸cão estereográfica nada mais é do que uma aplica¸cão que projeta uma esfera unitária n-dimensional em um hiperplano de dimensão n − 1.

Seja Sn_{= {x ∈ R}n+1_{; kxk = 1} a esfera unit´}_{aria n-dimensional e N = (0, 0, . . . , 1) ∈}

Sn, o seu pólo norte. A proje¸cão estereográfica π : Sn− {N } → Rn, é definida da seguinte forma: dado um ponto x = (x1, . . . , xn+1) ∈ Sn− {N }, onde π(x) é o ponto em que a

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semirreta N x ⊂ Rn+1 _{intercepta o hiperplano x}

n+1 = 0. Note que os pontos da

semir-reta N x s˜ao da forma N + t(xN ), com t ≥ 0. Assim, um ponto dessa semirreta est´a no hiperplano xn+1= 0 se, e somente se, 1 + t(xn+1− 1) = 0, donde t = _1−x1_n+1 e, portanto,

π(x) = 1

1 − xn+1

· (x1, . . . , xn).

A expressão acima mostra que π é cont´ınua. Tal proje¸cão, na realidade, é um homeo-morfismo. De fato, considerando a aplica¸c˜_{ao cont´ınua φ : R}n _{→ S}n _{− {N }, definida}

por φ(y) = 2y1 kyk2₊₁, . . . , 2yn kyk2₊₁, kyk2₋₁ kyk2₊₁

, para todo y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Rn, vemos que

φ◦π = id_Sn_{−{N }} e π ◦ φ = id

Rn. Com isto, π ´e um homeomorfismo.

Vale ressaltar que a proje¸cão estereográfica possui várias propriedades interes-santes, tais como:

1) Qualquer c´ırculo em Sn _´_{e levado pela proje¸c˜}_{ao estereogr´}_{afica a um c´ırculo ou uma}

reta no plano Rn;

2) Sejam N o p´_{olo norte do S}n_{, x e x}0 _{dois pontos distintos da esfera. Ent˜}_{ao, os}

triângulos N xx0 e N π(x)π(x0) são semelhantes; 3) A Proje¸cão Estereográfica preserva ângulos. Para maiores detalhes, citamos [1].

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[1] AHLFORS, Lars V., Complex Analysis, 3rd ed.. Nova Iorque: Editora Mc Graw-Hill, 1979.

[2] COURANT, Richard e ROBBINS, Herbet, O que é Matemática ? Uma abor-dagem elementar de métodos e conceitos. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna Ltda, 2000.

[3] DIEUDONN É, Jean, A Forma¸cão da Matemática Contemporânea. Lisboa : Editora Publica¸cões Dom Quixote Ltda, 1990.

[4] LIMA, Elon L., Espa¸cos M´etricos, 4o edi¸c˜ao, Projeto Euclides. Rio de Janeiro: Editora IMPA, 2011.

[5] YOSHIDA, K., Functional Analysis, 6th ed.. Nova Iorque: Editora Springer, 1980.