Propriedades de simetria do tensor de Riemann

Como consequˆencia da sua defini¸c˜ao o tensor curvatura satisfaz v´arias identida- des, algumas delas j´a postas em evidˆencia nos exerc´ıcios anteriores. Para obter estas identidades ´e, contudo, mais f´acil trabalhar num sistema de coordenadas de um observador em queda livre ou RLL, e s´o depois transferir para um sistema arbitr´ario. Tratando-se de rela¸c˜oes entre tensores, estas identidades tˆem a mesma forma em qualquer sistema de coordenadas. Num RLL ˆΓa

cd = 0 e ∂cˆgab = 0 em

qualquer ponto da linha geod´esica do observador em queda livre.

Assim, escolhendo um ponto p arbitr´ario (acontecimento) e tra¸cando uma geod´esica temporal que passa por ele, podemos construir um sistema de coordenadas em queda livre, usando a condi¸c˜ao de transporte paralelo: ∇eˆ0eˆb = 0 (coordenadas

geod´esicas). No ponto p, as componentes do tensor de Riemann nessas coordenadas reduz-se a ˆ Ra_{. bcd} = ˆΓa_bd,c− ˆΓa_bc,d = 1 2ˆg an_(−ˆg bd,nc+ ˆgdn,bc+ ˆgnb,dc+ ˆgbc,nd− ˆgcn,bd− ˆgnb,cd).

Usando a simetria da m´etrica ˆgab _{= ˆg}ba _{e o facto de}

ˆgbc,nd = ˆgbc,dn

porque as derivadas parciais comutam sempre, obtemos ˆ

Rabcd = ˆganRˆn. bcd

= 1

2(−ˆgbd,ac+ ˆgda,bc+ ˆgbc,ad− ˆgca,bd).

Partindo desta express˜ao das componentes covariantes do tensor de Riemann, vˆe-se imediatamente que

Rabcd = Rcdab (2.45)

Rabcd = −Rabdc (2.46)

Rabcd+ Racdb+ Radbc = 0 . (2.47)

As duas primeiras implicam a identidade

Rabcd = −Rbacd, (2.48)

e a terceira destas propriedades ´e conhecida por primeira identidade de Bian- chi.

Existe ainda uma outra identidade muito importante, mas ao contr´ario das ante- riores que s˜ao rela¸c˜oes alg´ebricas de simetria, esta agora ´e uma rela¸c˜ao diferencial. Num dado ponto arbitr´ario, usando coordenadas de um observador em queda livre, a derivada covariante do tensor de Riemann toma a forma

ˆ Ra

. bcd; n = ˆRa. bcd, n = ˆΓabd, cn− ˆΓabc, dn,

e, portanto, em qualquer sistema de coordenadas e em qualquer ponto

Ra_{. bcd;n}+ Ra_{. bdn; c}+ Ra_{. bnc; d} = 0 (2.49) ou seja,

Ra

. b[cd ; n] = 0

dado que o tensor de Riemann ´e antissim´etrico nos dois ´ultimos dois ´ındices. Esta ´ultima propriedade diferencial ´e conhecida por segunda identidade de Bianchi.

Exerc´ıcio 7 Com base nas propriedades expressas pelas Eqs. (27-30) mostre que numa variedade m´etrica n-dimensional o n´umero de componentes linearmente in- dependentes de Rabcd ´e dado pela f´ormula

n(n − 1)(n2_{− n + 2)} 8 − n(n − 1)(n − 2)(n − 3) 4! = n2_(n2_{− 1)} 12 .

Exerc´ıcio 8 Mostre que o tensor de Ricci, cujas componentes s˜ao definidas a partir do tensor de Riemann, por contrac¸c˜ao de dois dos seus ´ındices,

Rbc := Ra. bac,

´e sim´etrico: Rbc = Rcb. O tra¸co deste tensor: R = Raa, ´e conhecido por escalar

curvatura de Ricci. Note que as equa¸c˜oes de Einstein que descrevem o campo gravitacional no v´acuo reduzem-se a Rab = 0.

Exerc´ıcio 9 A partir do tensor de Riemann pode ainda definir-se o tensor de Weyl, exactamente com as mesmas simetrias, e cujas componentes s˜ao

Cabcd = Rabcd−

1

2(gacRbd− gadRbc+ gbdRac− gbcRad) + 1

6(gadgcb− gacgbd)R Mostre que numa variedade 4-dimensional onde o tensor de Riemann tem 20 com- ponentes independentes, o tensor de Weyl tem s´o 10 componentes independentes. Note que por constru¸c˜ao ele tem as mesmas simetrias que o tensor de Riemann, mas al´em disso satisfaz a identidade,

Ca_bac = 0 .

Com base no exerc´ıcio anterior, vemos que Rabcd = Cabcd se Rab = 0. ´E tamb´em

interessante notar que s´o em espa¸cos com dimens˜ao superior a 3 ´e que existe tensor de Weyl. E, por outro lado, ´e precisamente o tensor de Weyl que descreve o campo gravitacional no v´acuo, quando n˜ao h´a fluidos a preencher o espa¸co ou outros campos materiais, pois nessas regi˜oes o tensor de Ricci ´e nulo: Rab = 0. Assim,

de acordo com a relatividade geral, se vivˆessemos num universo o espa¸co-tempo tivesse s´o trˆes dimens˜oes, a gravidade n˜ao existiria no v´acuo.

Vejamos agora o que acontece quando fazemos um re-escalamento da m´etrica: gab 7→ ˆgab = Ωgab, (ˆgab = Ω−1gab), onde Ω ´e uma constante. A conex˜ao n˜ao se

modificaria, pois ∇Xˆgab= 0, e portanto o tensor curvatura de Riemann,

ˆ Ra

Al´em disso, a contrac¸c˜ao de a com c na equa¸c˜ao anterior d´a ˆ Rbd = Rbd. Contudo, ˆ R = Ω−1_gab_Rˆ ab = Ω−1gabRab= Ω−1R , (2.50)

e o tensor de Riemann totalmente covariante vem ˆ

Rabcd= ˆgaeRˆe. bcd = ΩgaeRe. bcd= ΩRabcd,

e de modo semelhante,

ˆ

Cabcd = ΩRabcd. (2.51)

Mas se admitirmos que Ω(xa_{) varie no espa¸co-tempo, estas rela¸c˜oes vˆem muito}

modificadas excepto a equa¸c˜ao (2.51), que se manteria inalter´avel e ˆ

Ca

. bcd = C. bcda ,

o que se vem a revelar uma propriedade muito ´util do tensor de Weyl perante os re-escalamentos da m´etrica.

2.6

Espa¸cos de Curvatura Constante

Consideremos um espa¸co tri-dimensional M com uma m´etrica definida positiva gab, a, b = 1, 2, 3 e um tensor de Levi-Civita εabc. Se o tensor curvatura Rabcd n˜ao

determina uma direc¸c˜ao privilegiada em qualquer ponto de da variedade, M diz-se um espa¸co isotr´opico. Veremos no cap´ıtulo sobre Cosmologia, que as solu¸c˜oes de Big Bang das equa¸c˜oes de Einstein s˜ao espa¸cos-tempo onde as hipersuperf´ıcies t = constante s˜ao espa¸cos deste tipo. Veremos que estas solu¸c˜oes ocorrem em universos que satisfazem o chamado princ´ıpio cosmol´ogico, que assume que o universo a uma grande escala deve ser o mesmo por toda a parte e em todas as direc¸c˜oes.

Escrevendo Rabcd na forma RAB onde os ´ındices A = [ab] e B = [cd] tomam

todos os valores das combina¸c˜oes anti-sim´etricas dos ´ındices a, b e c, d. Sendo M 3-dimensional, n(n − 1)/2 = 3. Por outro lado, RAB = RBA de modo que o tensor

curvatura Rabcd de M s´o tem 6 componentes independentes e induz uma aplica¸c˜ao

sim´etrica, αA → RABαB, que transforma um tensor anti-sim´etrico αab = αAnoutro

tensor anti-sim´etrico: R cd

ab αcd. Introduzindo uma base no espa¸co destes tensores

anti-sim´etricos, o tensor curvatura RAB poder´a ser escrito como uma matriz 3 × 3.

Se os valores pr´oprios desta aplica¸c˜ao n˜ao s˜ao todos iguais, dever´a existir um vector pr´oprio privilegiado, seja αA, com um valor pr´oximo m´aximo. Mas como

isto implicaria tamb´em uma direc¸c˜ao preferida num dado ponto de M, αa = εabcαbc,

em contradi¸c˜ao com a assumida isotropia, ent˜ao todos os valores pr´oprios devem ser iguais e portanto a aplica¸c˜ao deve ser proporcional `a aplica¸c˜ao identidade. Temos assim

Rab

cd = 2Kδ[acδb]d

ou, de modo equivalente

Rabcd= K (gacgbd− gadgbc) . (2.52)

Exerc´ıcio 10 O tensor curvatura de um espa¸co bi-dimensional (superf´ıcie) pode ser definido pela rela¸c˜ao

Rabcd= K (gacgbd− gadgbc) ,

onde K, conhecido por curvatura Gaussiana ou curvatura m´edia, ´e dada por

K = 1

R1R2

.

R1 e R2 aqui s˜ao os raios principais de curvatura da superf´ıcie no ponto. Os sinais

de R1 e R2 s˜ao iguais se os respectivos centros de curvatura est˜ao para o mesmo

lado da superf´ıcie, e K > 0 neste caso. Se os centros est˜ao em lados opostos da superf´ıcie, ent˜ao os sinais s˜ao diferentes e K < 0.

Mostre que se pode escrever o tensor de Riemann na forma Rabcd = (gacgbd− gadgbc)

R1212

g ,

onde g ´e o determinante do tensor da m´etrica, e determine a rela¸c˜ao entre K e o escalar de Ricci R = gab_R

ab.

Problemas

2.1 Dadas duas bases ligadas pela transforma¸c˜ao eµ0 = Lσ_µ0e_σ, mostre que os

coeficientes de conex˜ao n˜ao Γα

µν n˜ao obedecem a uma lei de transforma¸c˜ao

tensorial.

2.2 Mostre que se xa _{e x}a _{s˜ao coordenadas de uma variedade diferenci´avel M}

definidas nos conjuntos abertos U e U, respectivamente, ent˜ao no dom´ınio de intersec¸c˜ao U ∩ U temos ∂xa ∂xs ∂2_xs ∂xb_∂xc = − ∂xq ∂xb ∂xr ∂xc ∂2_xa ∂xq_∂xr

2.3 Partindo da defini¸c˜ao: ∇aeb = Γdbaed, mostre que as componentes da co-

nex˜ao afim n˜ao se transformam como as componentes de um tensor do tipo (1, 2), i.e., um tensor uma vez contravariante e duas vezes covariante, numa transforma¸c˜ao geral de coordenadas. Em particular, verifique que

Γa_bc = ∂xa ∂xs ∂xd ∂xb ∂xf ∂xcΓ s df+ ∂xa ∂xs ∂2_xs ∂xb_∂xc.

2.4 Mostre que no caso de uma m´etrica diagonal, e numa base coordenada, os s´ımbolos de Christoffel s˜ao dados por

Γa bc= 0, Γbaa = − 1 2gbb ∂gaa ∂xb , Γa_ab = ∂ ∂xb ln( √ g_aa), Γa_aa = ∂ ∂xaln √ g_aa. onde a 6= b 6= c e n˜ao se aplica a conven¸c˜ao de soma.

2.5 Verifique as seguintes identidades (usando bases coordenadas): (a) ∂mgab = Γa| bm+ Γb| am (b) gas∂cgsb = −gsb∂cgas (c) ∂ag = −ggbc∂agbc = ggbc∂agbc, onde g = det(gab). (d) Γa ab = 2g1 ∂bg = ∂bln √ −g (e) (∇aA)a = √1_−g∂a( √ −gAa_). (f) se Fab = −Fba , (∇bF )ab = √1_−g∂b( √ −gFab_).

2.6 Num espa¸co euclideano, as coordenadas esf´ericas s˜ao definidas pelas rela¸c˜oes x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ .

onde 0 ≤ r < ∞, 0 ≤ θ ≤ π, e 0 < φ ≤ 2π.

(a) Descreva as trˆes fam´ılias de curvas coordenadas.

(b) Obtenha as express˜oes dos vectores base coordenados (naturais) er, eθ, eφ

e os seus duais ea_{, que satisfazem he}a_{, e}

bi = δba, em fun¸c˜ao das bases

naturais das coordenadas cartesianas.

2.7 Obtenha os coeficientes de conex˜ao m´etrica (s´ımbolos de Christoffel) para uma esfera S2_{, numa base coordenada, cuja m´etrica ´e da forma}

com x1 _{= θ e x}2 _{= φ, e mostre que s˜ao: Γ}θ

φφ = − sin θ cos θ, Γφθφ = Γφφθ =

cot θ, sendo os restantes todos nulos, recorrendo `as equa¸c˜oes das geod´esicas deduzidas a partir da Lagrangiana L(xc_{, ˙x}c_{) ≡} 1

2gab˙xa˙xb. Em particular,

mostre como a partir dessas equa¸c˜oes se tem Γθ

θθ = Γφθθ = 0.

2.8 A superf´ıcie de uma esfera S3 _{de raio R num espa¸co euclideano 4-dimensional}

´e dada por

X2 _{+ Y}2_{+ Z}2_{+ W}2 _{= R}2

(a) Mostre que os pontos da esfera podem ser localizados pelas coordenadas (χ, θ, φ) onde

X = R sin χ sin θ cos φ, Z = R sin χ cos θ, Y = R sin χ sin θ sin φ, W = R cos χ.

(b) Mostre que a m´etrica variedade S3 _{descrita nestas coordenadas ´e dada}

por

g = R2h_dχ2_{+ sin}2_(χ)³_dθ2_{+ sin}2_θdφ2´i_.

(c) Determine as conex˜oes n˜ao nulas e a curvatura de S3_.

2.9 Sejam Pα_{(x) e Q}α_{(x) dois campo vectoriais (contravariantes). Mostre que:}

Rβ_{(x) = P}α_∂

αQβ− Qα∂αPβ ,

com ∂α = ∂/∂xα, ´e tamb´em um campo vectorial. Prove que se est´a definida

uma conex˜ao sim´etrica (variedade Riemanniana) podemos tamb´em escrever Rβ(x) = PαQβ_{; α}− QαPβ_{; α}.

2.10 Sejam X e Y dois campos vectoriais transportados paralelamente ao longo de uma curva de uma variedade espa¸co-tempo (M, g).

(a) Mostre que g(X, Y ) = ~X. ~Y ´e constante ao longo dessa curva.

(b) Partindo do resultado anterior conclua que se uma geod´esica ´e do tipo espa¸co (do tipo tempo ou nula) num dado ponto, dever´a ser espacial (temporal ou nula) por toda a parte onde est´a definida.

2.11 Seja C uma curva temporal, U o seu vector tangente, e a = ∇UU a acelera¸c˜ao.

Define-se a derivada de Fermi-Walker pela rela¸c˜ao DFV

Diz-se que um vector V ´e transportado `a Fermi-Walker ao longo de U se DFV

dτ = 0 ⇒ ∇UV = g(V, a)U − g(V, U)a .

(a) Mostre que o produto escalar de dois vectores n˜ao ´e alterado se ambos foram transportados `a Fermi-Walker.

(b) Mostre que o transporte `a Fermi-Walker ao longo de uma geod´esica ´e o mesmo que o transporte paralelo.

2.12 Tensor Energia-Momento

O tensor energia-momento ´e definido de modo que, numa base ortonormada, Tˆ0ˆ0 _{´e a densidade de energia, T}ˆ0ˆi _{= T}ˆiˆ0 _{´e a componente i da densidade de}

momento (e a componente-i da densidade de fluxo de energia), e Tˆiˆj = Tˆjˆis˜ao as tens˜oes espaciais, ou melhor, ´e a componente-i do fluxo da componente-j da densidade de momento. Se ˜n ´e um co-vector normal a uma superf´ıcie, T (˜n) = Tab_n

aeb ´e a densidade de fluxo de energia-momento que atravessa a

superf´ıcie.

(a) Para um fluido perfeito no seu referencial inercial local (ortonormado), Tab _{= diag(ρ, p, p, p), onde ρ ´e a densidade de energia e p ´e a press˜ao.}

Mostre que a transforma¸c˜ao destas componentes para um referencial onde a 4-velocidade do fluido tem componentes Ua _{se pode escrever}

T = ρU ⊗ U + ph, onde h = g−1+ U ⊗ U

´e o tensor do tipo (2, 0) (de 2a _{ordem, contravariante) que projecta no}

espa¸co de repouso do observador U (e ´e tamb´em a m´etrica da hipersu- perf´ıcie espacial ortogonal a U).

(b) Considere um observador com 4-velocidade V , cujo referencial inercial local (instantˆaneo) ´e definido pela base (ortonormada) {eˆa}. Mostre

que a 4-velocidade do fluido pode ser decomposta numa parte temporal e numa parte espacial no referencial do observador do seguinte modo: Uˆ0 _{= −g(U, V ) = −U · V e U}ˆi_e

ˆi = U + g(U, V )V . O que s˜ao Uˆ0 e Uˆi

em termos da 3-velocidade do fluido Ui _{medida pelo observador?}

(c) Usando os resultados da al´ınea b), calcule a densidade de energia, a densidade de momento, e as tens˜oes espaciais medidas pelo observa- dor a partir das componentes ortonormais Tˆaˆc _{na base {e}

ˆ

a}. Mostre

que os seus resultados concordam com a transforma¸c˜ao de Lorentz das componentes dadas no referencial do fluido.

equa¸c˜oes relativistas do fluido,

∇Uρ + (ρ + p)∇ · U = 0, (ρ + p)∇UU = −h · ∇p.

Ser´a que um elemento de fluido segue uma geod´esica? Justifique a sua resposta. Para um fluido n˜ao relativista e para uma base ortonormal, mostre que estas equa¸c˜oes se reduzem `as equa¸c˜oes da hidrodinˆamica de Newton. Quais s˜ao os termos extra que aparecem se a conex˜ao ´e n˜ao nula?

(e) Deduza as componentes do tensor energia-momento electromagn´etico Tab

EM em termos do tensor Fab e da m´etrica, a partir da derivada funci-

onal da ac¸c˜ao electromagn´etica, isto ´e T_EMab = 2δSEM δgab , SEM = Z LEM √ −gd4x, LEM = − 1 4FabF ab_.

onde L ´e a densidade Lagrangiana. Mostre que (∇aT )abEM = 0 para

um campo electromagn´etico livre, mas a igualdade n˜ao verifica quando existem (densidade de) correntes Ja_{. Compare o seu resultado com a}

for¸ca de Lorentz sobre uma carga em movimento, e explique porque ´e que o tensor das tens˜oes electromagn´etico n˜ao se conserva na presen¸ca de fontes. O que ´e ent˜ao conservado?

2.13 Suponha que Aµ(x) se transforma como um campo vectorial covariante (co-

vector ou 1-forma). Mostre que ∂[αAβ] se transforma como um tensor covari-

ante de 2a _{ordem. Mostre ainda que se F}

αβ = −Fβα ent˜ao ∂αFβγ ´e tamb´em

um campo tensorial.

2.14 Seja Yab um tensor anti-sim´etrico que satisfaz Ya(b;c) = 0. Mostre que se

Rab = 0, ent˜ao o tensor Fab = RabcdYcd satisfaz as equa¸c˜oes de Maxwell no

v´acuo em espa¸co-tempo curvo:

F[ab ; c] = 0, Fab; b = 0.

2.15 (a) Calcule as componentes n˜ao nulas (i, j, k, l = θ, φ) do tensor de Riemann Rijkl, para a 2-esfera de m´etrica

ds2 _{= r}2_(dθ2_{+ sin}2_θdφ2_).

(b) Considere o transporte paralelo de um vector tangente ~A = Aθ_~e

θ+Aφ~eφ

`a esfera ao longo de um paralelogramo infinitesimal cujas lados s˜ao definidos por ~eθdθ e ~eφdφ. Usando os resultados da al´ınea a), mostre

que at´e `a primeira ordem em dΩ ≡ sin θdθdφ, o comprimento de ~A fica inalterado mas a sua direc¸c˜ao roda de um ˆangulo igual dΩ.

2.16 Considere o espa¸co 3-dimensional com elemento de linha

ds2 ₌ dr2

(1 − 2M/r) + r

2³_dθ2_{+ sin}2_θdφ2´

(a) Calcule a distˆancia radial entre a esfera r = 2M e a esfera r = 3M. (b) Calcule o volume espacial entre as duas esferas da al´ınea anterior. 2.17 Numa certa geometria do espa¸co-tempo a m´etrica ´e dada por

ds2 _{= −(1 − Ar}2₎2_dt2_{+ (1 − Ar}2₎2_dr2_{+ r}2³_dθ2_{+ sin}2_θdφ2´ _.

(a) Calcule a distˆancia pr´opria ao longo da linha radial do centro r = 0 at´e ao raio coordenada r = R.

(b) Calcule a ´area da esfera de raio coordenado r = R. (c) Calcule o 3-volume da esfera de raio coordenado r = R.

2.18 Considere a geometria bi-dimensional que tem como elemento de linha

dΣ2 = dr

2

(1 − 2M/r) + r

2_dφ2_.

Determine uma superf´ıcie num espa¸co plano tri-dimensional que tem a mesma geometria intr´ınseca desta superf´ıcie. [Nota: Esta ´e uma superf´ıcie da geo- metria de um buraco negro de Schwarzschild que discutiremos adiante.] 2.19 Um certo espa¸co-tempo tri-dimensional tem como elemento de linha

ds2 _{= −(1 − 2M/r) dt}2_{+ (1 − 2M/r)}−1_dr2_{+ r}2_dφ2

(a) Obtenha a Lagrangiana que lhe permitir´a determinar as geod´esicas deste espa¸co-tempo a partir de um princ´ıpio variacional.

(b) Usando o resultado de (a) escreva as componentes da equa¸c˜ao das geod´esicas.

(c) Obtenha os s´ımbolos de Christoffel n˜ao nulos para esta m´etrica a partir dos resultados anteriores.

2.20 Mostre que

(∇c∇d− ∇d∇c)(T )ab = Tf bRaf cd + TafRbf cd

e

Sugest˜ao: Aplicque o operador das derivadas covariantes ao tensor T = Tab_e

a⊗ eb admitindo um sistema de coordenadas normais de Riemann onde

No documento A Matemática do Espaço-tempo Curvo (páginas 41-51)