A Matemática do Espaço-tempo Curvo

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Cap´ıtulo 2

A Matem´

atica do Espa¸co-tempo

Curvo

2.1 Introdu¸c˜

ao `

as variedades diferenci´

aveis

´

E dif´ıcil imaginar um problema f´ısico que não esteja, de algum modo, ligado a um espa¸co cont´ınuo. São exemplos o espa¸co f´ısico 3-D, o espa¸co de configura¸cão e o espa¸co das fases da Mecânica Anal´ıtica, o espa¸co de todos os estados de equil´ıbrio termodinâmico de um sistema f´ısico, os espa¸cos de Hilbert da mecânica quântica, etc. Estes espa¸cos têm diferentes propriedades geométricas, mas todos têm qual-quer coisa em comum, qualqual-quer coisa que tem a ver com o facto de todos serem espa¸cos cont´ınuos e não, por exemplo, espa¸cos tipo esponja (espa¸cos com buracos) ou espa¸cos tipo rede cristalina ou qualquer outro conjunto de pontos discretos. A importância da geometria diferencial para a f´ısica teórica moderna reside na possibilidade de realizar o estudo das propriedades comuns a todos esses espa¸cos. Isso poderá permitir encontrar estruturas básicas semelhantes em áreas muito dis-tintas da f´ısica. De todas as propriedades dos espa¸cos cont´ınuos, as mais básicas são as que conduzem à defini¸cão de variedade (diferenciável), que é a designa¸cão matemática precisa que substitui a palavra “espa¸co”.

Em relatividade não há nada tão vital como a realidade f´ısica de um “aconteci-mento”ou ponto do espa¸co-tempo. Trata-se de um conceito completamente inde-pendente do sistema de coordenadas escolhido para o descrever. O conceito de variedade atende a esta separa¸cão essencial. Como primeira tentativa de introdu-zir o conceito de variedade diremos que um conjunto (de pontos abstractos) M é uma variedade se na vizinhan¸ca de cada ponto de M se define uma aplica¸cão 1–1, cont´ınua, que admite uma inversa também cont´ınua, sobre uma vizinhan¸ca

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do espa¸co euclideano Rn_,

ϕ : U ⊂ M → V ⊂ Rn_,

e diz-se que ϕ é um homeomorfismo, isto é, uma aplica¸cão bijectiva e bi-cont´ınua.

A Variedade Espa¸co-Tempo

Em relatividade, o espa¸co-tempo, constitu´ıdo pelo conjunto de todos os aconte-cimentos f´ısicos, forma a variedade base. Um ponto da variedade espa¸co-tempo é pois um acontecimento f´ısico. Um exemplo de acontecimento f´ısico é a colisão de dois ve´ıculos. Todos os observadores têm de estar de acordo sobre este facto. Daqui se percebe porque é que um ponto do espa¸co-tempo deverá ser indepen-dente de qualquer sistema de coordenadas. O acontecimento “colisão”entre dois ve´ıculos é uma coincidência no espa¸co e no tempo para todos os observadores. Se um observador quiser tirar uma fotografia ao acontecimento, não interessa a veloci-dade com que viaja relativamente aos ve´ıculos que colidem, ou a distância focal da objectiva da câmara (que determina a amplia¸cão da imagem), estes acontecimen-tos só produzem efeiacontecimen-tos coordenados e não afectam a natureza do acontecimento. Este é o exemplo mais simples de um objecto geométrico, ou seja uma entidade que existe independentemente dos sistemas de coordenadas e referenciais. Todas as quantidades f´ısicas são representáveis por diferentes objectos geométricos, os quais dão origem a novas variedades em cada ponto da variedade espa¸co-tempo. Quase todos estes objectos são imediatamente generalizados quando se passa do espa¸co-tempo plano para o espa¸co-tempo curvo da relatividade geral.

Para dar exemplo de outros objectos geométricos, além dos acontecimentos f´ısicos, consideremos um segmento orientado entre dois pontos vizinhos. Obtemos assim um vector do espa¸co-tempo plano. A sua generaliza¸cão, o vector tangente, é um objecto geométrico mesmo no espa¸co-tempo curvo. A métrica, que é uma aplica¸cão bi-linear que a cada vector faz corresponder o quadrado do seu comprimento, é ou-tro exemplo de um objecto geométrico. Existem muitos ouou-tros exemplos, que serão introduzidos em devido tempo, de modo a permitir-nos tratar geometricamente as leis f´ısicas que nos interessam.

Defini¸c˜

ao de Variedade. Exemplos

Da defini¸c˜ao anterior de M como variedade ressalta que M ´e um conjunto que se assemelha, localmente, a Rn_{. Historicamente, a ideia de variedade surge como uma}

generaliza¸cão dos espa¸cos de configura¸cão da mecânica anal´ıtica e das superf´ıcies da geometria elementar. A possibilidade de introduzir coordenadas generalizadas num

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espa¸co de configura¸cão ou de parametrizar uma superf´ıcie, pode ser entendida como uma consequência da hipótese da variedade poder ser coberta por sub-conjuntos homeomórficos a conjuntos abertos em Rn_{. ´}_{E importante que a defini¸cão envolva}

unicamente conjuntos abertos e n˜ao a totalidade de M e de Rn_{, pois n˜ao estamos}

interessados em restringir a topologia global de M. Admitamos que a topologia local de M seja a mesma (i.e., induzida por ϕ−1_{) que a topologia de R}n_.

Nota: A topologia local permite precisar o conceito de continuidade; e a topologia global caracteriza o espa¸co `a larga escala permitindo, por exemplo, distinguir uma esfera dum cilindro.

Na Relatividade Geral (RG) o espa¸co-tempo M é a variedade (base), solu¸cão das equa¸cões de Einstein; cada ponto p ∈ M é um acontecimento f´ısico, o qual deve ser independente do sistema de coordenadas. Sobre a variedade base constroem-se outros espa¸cos onde vivem os diferentes objectos geométricos que representam as grandezas f´ısicas (curvas, fun¸cões, campos vectoriais, métrica, formas diferenciais, etc.). (A identifica¸cão de um acontecimento com um ponto matemático é devida a Newton).

A defini¸cão de variedade é dada de forma independente da escolha de coordenadas particulares e da possibilidade da variedade ser um sub-conjunto de um espa¸co espa¸co euclideano de dimensão superior. Para poder formulá-la rigorosa e efici-entemente necessitamos de algumas no¸cões matemáticas que serão introduzidas a seguir.

Chamamos espa¸co topol´ogico ao par (M, τ ), onde M é um conjunto e τ é uma coleçcão de sub-conjuntos abertos de M com as seguintes propriedades:

1. M ∈ τ e o conjunto ϕ ∈ τ .

2. A união de qualquer número de subconjuntos de τ também pertence a τ . 3. A interseçcão de qualquer número de subconjuntos de τ também pertence a

τ .

A coleçcão de subconjuntos τ é uma topologia para M e os membros de τ são conhecidos por conjuntos abertos de M.

Em resumo: um Espa¸co Topológico é um par (M, τ ) onde M é um conjunto de pontos (vectores, matrizes, formas diferenciais, etc.) e τ é uma coleçcão de subconjuntos de M tais que:

1. ϕ, M ∈ τ 2. S_α∈IVα ∈ τ

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3. T_α∈IVα ∈ τ

Posto isto, podemos dar a defini¸c˜ao precisa de variedade. Diz-se que um conjunto de “pontos” M ´e uma variedade se:

1. M ´e um espa¸co topol´ogico (de Hausdorff).

2. Em torno de cada ponto p de M existe pelo menos uma vizinhan¸ca V (p) (conjunto aberto) onde ´e poss´ıvel definir um sistema de coordenadas (um homeomorfismo local entre pontos de V e os pontos de um espa¸co euclideano Rn_).

Uma vizinhan¸ca de p ∈ M, V (p), ´e um conjunto aberto que cont´em p.

M diz-se um espa¸co de Hausdorff se pontos diferentes possuem sempre vizinhan¸cas disjuntas.

Um conjunto aberto juntamente com um sistema de coordenadas forma uma carta ou vizinhan¸ca coordenada. O n´umero de cartas necess´arias para cobrir a variedade M pode ser maior que um.

Um sub-coleçcão B de τ é designada uma base de τ se todo o conjunto aberto de M é uma união de membros de B.

Sejam (M, τ ) e (N, σ) dois espa¸cos topológicos e f : M → N uma aplica¸cão. Então f é cont´ınua em p ∈ M se para toda a vizinhan¸ca V de f (p) existe uma vizinhan¸ca U de p tal que f (U) ⊂ V . Uma aplica¸cão diz-se cont´ınua se é cont´ınua em todos os pontos.

Se f ´e injectiva (1–1) e sobrejectiva , ou seja bijectiva, e se f e f−1 _{s˜ao ambas}

cont´ınuas, diz-se que f ´e um homeomorfismo e (M, τ ) e (N, σ) dizem-se homeom´or-ficos.

Escreve-se muitas vezes M em vez de (M, τ ) quando a topologia está subenten-dida. Se N é um subconjunto de M a topologia induzida de N é a coleçcão de subconjuntos U ∩ N, onde U é um (sub)conjunto aberto de M. Se (M, τ ) e (N, σ) são espa¸cos topológicos e M × N é o produto cartesiano, a topologia produto é a topologia cuja base é dada por

B = U × V : U ∈ τ eV ∈ σ.

Seja o conjunto dos n´umeros reais. A topologia usual sobre R tem os intervalos abertos como base. A topologia usual sobre Rn _{´e a topologia produto sobre R ×}

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Variedade Diferenci´

avel

Seja M um espa¸co de Hausdorff com uma base contável. M diz-se uma variedade topológica (ou simplesmente, uma variedade) se todo o ponto p ∈ M tem uma vizinhan¸ca V homeomórfica a (um subconjunto aberto de) Rn_{. Isto basta para}

assegurar que M se “assemelha” localmente a Rn_{. Mas por si s´o n˜ao acarreta}

nenhuma no¸cão de regularidade, isto é, de diferenciabilidade das fun¸cões. Isto pode obter-se do seguinte modo.

Definimos primeiro uma carta sobre M, i.e., um par (U, ϕ), onde 1. U ´e um subconjunto aberto de M,

2. ϕ : U → Rn_{´e um homeomorfismo de conjuntos abertos.}

A aplica¸cão ϕ pode ser usada para estabelecer um sistema de coordenadas sobre U duma maneira óbvia: Sejam xk_{(k = 1, 2, , n) n fun¸cões coordenadas sobre R}n

—se a = (a1_{, . . . , a}n_{) ∈ R}n _{ent˜ao x}k_{(a) = a}k_{. Ent˜ao a coordenada de ordem k de}

p ∈ U ´e Xk_{(p) := x}k_{◦ ϕ(p).}

Notas

1. Em geral não é suficiente uma única carta. Se são dadas duas cartas so-bre um conjunto M, deve haver interseçcão dos seus dom´ınios. é aqui que entra a questão da regularidade (ou diferenciabilidade): as propriedades de regularidade das variedades vão ser deduzidas a partir das propriedades de regularidade das fun¸cões que definem mudan¸cas de coordenadas nas regiões de interseçcão dos dom´ınios das cartas.

2. A ideia a ser desenvolvida aqui baseia-se no facto de sabermos lidar com fun¸c˜oes em Rn_{, e de podermos usar este conhecimento, com a ajuda de}

cartas, para lidar com fun¸c˜oes definidas sobre a variedade M.

Suponhamos agora que (U1, ϕ1) e (U2, ϕ2) s˜ao duas cartas n-dimensionais sobre M,

cujos dom´ınios se sobrepõem. Na região de interseçcão U1 ∩ U2 podem definir-se

duas aplica¸c˜oes de M em Rn_{. Como as aplica¸c˜oes ϕ}

i s˜ao 1–1, podem ser invertidas,

logo podem ser dadas as seguintes aplica¸c˜oes de Rn _{em R}n

χ = ϕ2◦ ϕ−11

χ−1 = ϕ1◦ ϕ−12

As cartas (U1, ϕ1) e (U2, ϕ2) dizem-se Ck–relacionadas se χ ´e uma aplica¸c˜ao Ck

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Figura 2.1: Introdu¸c˜ao de coordenadas xa _{≡ π}a_{◦ φ num ponto p da variedade M.}

Para a maioria das aplica¸cões não será uma restri¸cão significativa supôr que todas as fun¸cões são C∞_{, isto é, infinitamente diferenciáveis. Usaremos o termo regular}

como sin´onimo de Ck_{; s´o consideraremos cartas regularmente relacionadas.}

A chave para o passo seguinte baseia-se no facto de uma fun¸cão regular duma outra fun¸cão regular ser ainda uma fun¸cão regular. Portanto, faz sentido considerar todas as cartas que estão regularmente relacionadas —assim se traduz matemáticamente a vaga exigência f´ısica: todos os sistemas de coordenadas são igualmente bons (Princ´ıpio da Covariância Geral).

Um atlas para M é uma coleçcão de cartas regularmente relacionadas que cobrem M. Um atlas diz-se completo se não é uma subcoleçcão própria de qualquer outro atlas. (Isto significa que não existe nehuma carta, compat´ıvel (=regularmente relacionada) com todas as outras cartas do atlas, que não perten¸ca ao atlas). Qualquer atlas pode ser completado pela adi¸cão de todas as cartas compat´ıveis com as nele contidas. Um conjunto M juntamente com um atlas completo de cartas n-dimensionais designa-se por variedade diferenciável n-dimensional. Um atlas completo é também designado uma estrutura diferenciável para M. Podia-se pensar que a estrutura diferenciável é única, mas existem exemplos que mostram que isso não é assim. Os livros clássicos discutem várias espécies de pa-tologias que podem surgir. Mas aqui o nosso interesse foca-se naquilo que funciona e não naquilo que não funciona.

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Exemplos de Variedades Diferenci´aveis:

• M = qualquer subconjunto aberto de Rn_{, com um atlas constituido por}

uma única carta U = M, ϕ = idU (a aplica¸cão idêntica sobre Rn, restrita a

U). Este é um exemplo trivial, no entanto, suficiente para introduzir todo o cálculo tensorial, com excep¸cão das opera¸cões que envolvam integra¸cão. O próprio Rn _{é um exemplo de variedade. Logo (para n=1) a recta real é uma}

variedade [Sternberg, p. 36].

• A n-esfera Sn _{= {(x}1_{, . . . , x}n_{) ∈ R}n_:P∞

a=1(xa)2 = 1}. S˜ao necess´arias pelo

menos duas cartas para cobrir a variedade (digamos para S2_{, projec¸c˜oes}

estereogr´aficas a partir dos dois polos). [Sternberg p. 36]

• O grupo geral linear GL(n, R) ´e o conjunto das matrizes n×n n˜ao singulares. Pode ser visto como um subconjunto aberto de Rn2

. Como veremos mais adiante, este é um exemplo de um grupo de Lie e como tal é também uma variedade diferenciável.

2.2 Objectos Geom´

etricos

A diferenciabilidade duma variedade dota-a de uma estrutura suficientemente rica para podermos definir um grande número de objectos geométricos como sejam: curvas, fun¸cões, vectores tangentes, covectores, tensores, etc.

Fun¸c˜

oes definidas numa variedade

Tal como vimos no estudo do espa¸co-tempo de Minkowski, uma fun¸cão definida numa variedade M é a aplica¸cão

f : M → R.

A fun¸cão é diferenciável em M se f ◦ ϕ−1 _{é diferenciável em R}n_{, onde ϕ é um}

homomeomorfismo de M em Rn. Como ϕ associa a cada ponto p ∈ M um ponto de Rn, ficam implicitamente definidas n aplica¸cões (projeçcões coordenadas) em Rn_,

πa_{: R}n _{→ R,}

com as quais podemos construir n aplica¸c˜oes compostas xa_{≡ π}a_{◦ ϕ : M}n_{→ R}1_.

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Trata-se de n fun¸cões diferenciáveis definidas num aberto U ⊂ M. Os números reais x1_{(p), . . . , x}n_{(p) são as coordenadas de p com respeito a ϕ. Admitimos em}

geral que as coordenadas xa _{s˜ao fun¸c˜oes C}∞_{. Evitaremos muitas vezes}

referirmo-nos directamente `a aplica¸c˜ao ϕ de M em Rn_.

Assumimos que ´e sempre poss´ıvel definir coordenadas {xa_{} num aberto U ⊂ M,}

e que qualquer conjunto de fun¸c˜oes suficientemente diferenci´aveis ya _{= y}a_(xb_),

definidas num aberto V ⊂ M : V , e que seja localmente invert´ıvel (J 6= 0, o Jacobiano da transforma¸c˜ao ´e diferente de zero em todos os pontos onde U ∩V 6= 0) constitui um novo sistema de coordenadas {ya_{, a = 1, . . . , n}.}

Vector tangente a uma curva

A defini¸cão de vector em relatividade geral inspira-se no conceito de velocidade, o vector tangente à trajectória da part´ıcula. Assim, define-se o vector tangente Y à curva Γ(λ) como o operador de deriva¸cão ao longo daquela curva. Quando nos referimos a uma curva pensamos sempre numa curva diferenciável, isto é, uma aplica¸cão cont´ınua Γ(λ) que aplica um intervalo (a, b) da recta real no espa¸co-tempo M (de modo que para cada valor do parâmetro λ ∈ (a, b), Γ(λ) é um ponto de M) e que é tal que as fun¸cões x0_{(Γ(λ)) , . . . , x}3_{(Γ(λ)), isto é, x}a_{(Γ(λ)), com}

a = 0, 1, 2, 3, são fun¸cões diferenciáveis de λ para qualquer sistema de coordenadas Γ : (a, b) ⊂ R1 _{−→ U ⊂ M}

λ0 7−→ Γ(λ0) = p

onde o λ ´e o parˆametro da curva.

Na nossa defini¸cão de curva diferenciável, a cada ponto imagem corresponde um único valor do parâmetro λ. Assim, duas curvas são consideradas diferentes mesmo que tenham a mesma imagem em M, se são parametrizadas por parâmetros dife-rentes, ou seja, se associamos um valor diferente do parâmetro ao mesmo ponto imagem.

Seja f (xa_{) uma fun¸c˜ao suficientemente diferenci´avel em M. Em cada ponto da}

curva Γ(λ), cuja representa¸c˜ao coordenada escrevemos simplesmente xa _{= x}a_(λ),

a fun¸c˜ao f tem um valor. Assim, ao longo da curva existe uma fun¸c˜ao g(λ) de R1 em R1 definida por

g(λ) = f (xa_{(λ)) = f ◦ Γ(λ)}

A varia¸c˜ao ao longo da curva Γ(λ) ´e dada por dg dλ = X a dxa dλ ∂f ∂xa,

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Figura 2.2: Curva diferenci´avel Γ(λ) passando pelo ponto p = Γ(λ0) da variedade

M.

Defini¸c˜ao 1 O vector tangente a uma curva diferenci´avel Γ(λ) no ponto Γ(λ0)

da curva ´e dado por

Ã d dλΓ(λ) ! λ0 = ˙Γ(λ0) = lim h→0 1 h[Γ(λ0+ h) − Γ(λ0)] , ou mais simplesmente, Ã d dλ ! λ0 =X a Ã dxa dλ ! λ0 ∂ ∂xa, (2.1) onde {dxa

dλ} s˜ao as componentes do vector tangente `a curva xa(λ) no ponto p =

xa_(λ

0).

Como cada curva tem um único parâmetro, a cada curva que passa por p cor-responde um único conjunto {dxa

dλ}p que designamos pelas componentes do vector

tangente `a curva no ponto p.

Duas curvas Γ1(λ) e Γ2(λ) : Γ1(λ0) = Γ2(λ0) = p de M dizem-se equivalentes se

satisfazem

d

dλ(f ◦ Γ1)λ0 =

d

dλ(f ◦ Γ2)λ0,

com uma fun¸cão f arbitrária. A classe de equivalência das curvas que satisfazem a equa¸cão anterior define o vector tangente no ponto p que podemos representar

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por ˙Γp(λ) = Ã d dλ ! p = Up,

sendo Γp(λ) o elemento representativo da classe de equivalˆencia. Isto ´e, tal como

acontece num espa¸co plano, onde cada classe de equivalência de pares de pontos define um vector, também numa variedade curva existe uma classe de equivalência de curvas diferenciáveis que passam em p associada a cada vector tangente. Se a curva caracter´ıstica dessa classe é parametrizada pelo parâmetro λ então o vector tangente pode identificar-se com o operador de deriva¸cão

Up = Ã d dλ ! λ0 =X a Ã dxa dλ ! λ0 ∂ ∂xa, (2.2)

O conjunto de todos os vectores tangentes num ponto p de M gera um espa¸co vectorial que se representa por Tp(M), uma vez definidas as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e

multiplica¸c˜ao por um escalar das respectivas componentes. Assim, se X e Y s˜ao vectores de Tp(M), difinimos o vector X +Y como sendo aquele cujas componentes

s˜ao dadas por Xa_+Ya_{. De modo semelhante se definiria o vector aX, onde a ∈ R}1_.

Note-se que, embora tenhamos recorrido às componentes para definir vectores e adi¸cão de vectores, estas defini¸cões não dependem de um sistema de coordenadas particular, e são portanto independentes das coordenadas.

A Eq. (2.2) apresenta o vector tangente Up como uma combina¸c˜ao linear dos

vectores base: e(a)= ∂/∂xa, e com componentes dadas por

Ua₌ Ã dxa dλ ! λ0 .

Habitualmente representam-se os vectores e(a) simplesmente por ea, mas o ´ındice

a aqui não deve entender-se como representando uma componente mas sim como um rótulo para distinguir os 4 vectores tangentes às 4 linhas coordenadas.

Se fizermos uma transforma¸c˜ao geral de coordenadas, a curva Γ(λ) passa a ter outra representa¸c˜ao coordenada: xa0

= xa0

(λ), e o vector tangente à curva Γ em p pode então apresentar duas diferentes combina¸cões lineares, a saber

Up = Ã dxa0 dλ ! λ0 ∂ ∂xa0 = Ã dxa dλ ! λ0 ∂ ∂xa,

isto ´e, cada sistema de coordenadas permite definir uma base diferente e o vector tangent Up tem diferentes componentes em cada base, mas que se relacionam pela

transforma¸c˜ao dxa0 dλ = ∂xa0 ∂xb dxb dλ. (2.3)

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Por sua vez as bases também estão relacionadas entre si, mas através da trans-forma¸cão inversa ∂ ∂xa = ∂xc0 ∂xa ∂ ∂xc0. (2.4)

Campos Vectoriais sobre uma Variedade

Seja f uma fun¸cão diferenciável de M, isto é, um elemento de F(M), o anel de fun¸cões diferenciáveis da variedade, e suponhamos que f está definida numa vizinhan¸ca do ponto p, Vp. Então qualquer vector tangente em p, Up ∈ Tp(M) é

uma aplica¸c˜ao linear de F(M) em R1_,

Up : F(M) → R1 f 7→ Up(f ) = Ã d dλf ! p .

Note que esta é uma outra maneira, equivalente à anterior, de definir um vector tangente. Se em lugar de um vector tangente em p tivéssemos um campo vectorial, U era evidente que

U : F(M) → F(M),

a açcão de um campo vectorial sobre uma fun¸cão produz outra fun¸cão (dife-renciável): U(f ) = Ua_∂

af .

O conceito de campo vectorial está implicitamente ligado ao conceito de diferenci-abilidade: um campo vectorial é um operador diferencial. Podemos assim usar este facto para definir um campo vectorial de um modo independente das coordena-das: é um operador V que transforma fun¸cões diferenciáveis sobre M em fun¸cões diferenciáveis sobre M.

Exige-se de V que satisfa¸ca as seguintes propriedades: (i) linearidade: V [f + g] = V (f ) + V (g).

(ii) regra de Leibnitz: V (f g) = gV (f ) + f V (g).

As bases coordenadas ea= ∂/∂xa s˜ao campos vectoriais tangentes `as linhas

coor-denadas. E portanto, quando escrevemos

V = Va ∂

∂xa,

as fun¸c˜oes Va _{s˜ao as componentes do campo vectorial tangente V .}

Nem todas as bases s˜ao coordenadas. Qualquer conjunto de n campos vectoriais linearmente independentes, e1, . . . , endefinidos num conjunto aberto de M, podem

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ser usados como uma base,

e1 = E11∂1+ E12∂2 + . . . + E1n∂n

...

en = En1∂1+ En2∂2 + . . . + Enn∂n

O conjunto {ea} ´e uma base se a matriz das suas componentes Enm(p) tem um

determinante diferente de zero em todos os pontos do conjunto aberto.

Exemplo 1 Base n˜ao coordenada em R3: Utilizemos em R3 um sistema de co-ordenadas esf´ericas e a correspondente base coordenada: {∂r, ∂θ, ∂ϕ}. O vector

velocidade de uma part´ıcula escreve-se nesta base como V = Vr∂r+ Vθ∂θ+ Vϕ∂ϕ,

cujas componentes s˜ao respectivamente, Vr = dr dt, V θ ₌ dθ dt, V ϕ ₌ dϕ dt.

Porém estas não são as componentes “f´ısicas”da velocidade, mas sim as seguintes ¯ Vr ₌ dr dt, V¯ θ _{= r}dθ dt, V¯ ϕ _{= r sin θ}dϕ dt,

as quais podem ser entendidas como resultantes da decomposi¸cão de V numa base não coordenada através de

V = ¯Vr_e r+ ¯Vθeθ+ Vϕeϕ, onde er= ∂r, eθ = 1 r∂θ, eϕ = 1 r sin θ∂ϕ.

J´a vimos na RR que os vectores de Tp(M) s˜ao geralmente chamados vectores

con-travariantes para os distinguir dos seus duais que foram designados covectores ou 1-formas.

Tal como na RR, um covector ´e uma aplica¸c˜ao linear de Tp(M) em R; o conjunto

dos covectores forma um espa¸co vectorial, T∗

p(M), que ´e dual de Tp(M) e se designa

por espa¸co co-tangente. Se α ∈ T∗

p(M), ent˜ao

α : Tp(M) −→ R

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Isto é, se α é um covector então α(Y ) =< α, Y >, é um número real para todo o Y ∈ Tp(M) e

α (aX + bY ) = a < α, X > +b < α, Y >, é também um número real para todos os X, Y ∈ Tp(M) e a, b ∈ R.

O espa¸co dual T∗

p(M), constituido por todos os covectores, ´e um espa¸co vectorial

de dimensão igual à dimensão de Tp(M). Assim,

dim³T_p∗(M)´= dim (Tp(M)) = dim(M).

Sendo um espa¸co vectorial, devem estar definidas em T∗

p(M) duas leis de

com-posi¸cão, a adi¸cão entre covectores e a multiplica¸cão por um real [i] < w1+ w2, X >≡< w1, X > + < w2, X >

[ii] < aw, X >≡ a < w, X >

Podemos dar uma defini¸cão semelhante à que demos anteriormente para vector tangente. Tal como o conceito de vector tangente no ponto p está associado à classe de equivalência de curvas que passam por p, também podemos falar de uma classe de equivalência de fun¸cões e associá-la ao conceito de 1-forma ou covector. A rela¸cão de equivalência é definida do seguinte modo.

As fun¸c˜oes f1 e f2 s˜ao equivalentes se

d

dλ(f1◦ Γ)λ0 =

d

dλ(f2◦ Γ)λ0,

para todas as curvas Γ(λ) que passam em p = Γ(λ0).

Num dado sistema de coordenadas, a rela¸c˜ao anterior implica que as derivadas parciais das duas fun¸c˜oes sejam iguais,

Ã ∂f1 ∂xa ! = Ã ∂f2 ∂xa ! .

Designemos por (df )p a classe de equivalˆencia a que pertence f , tal que (df )p ∈

T∗

p(M). Ao definirmos df como um covector estamos implicitamente a afirmar a

existˆencia da aplica¸c˜ao linear,

df : Tp(M) −→ R,

o que equivale a definir

df (Yp) =< df, Yp >,

ou seja, a imagem de Yp por interm´edio da aplica¸c˜ao linear df (o valor df sobre

(14)

Trata-se de um número real igual à derivada dirigida da fun¸cão f segundo o vector Yp.

Se quisermos obter as componentes de df numa base cujo sistema de coordenadas s˜ao {xa_{}, calculamos}

< df, ∂ ∂xa >=

∂f ∂xa,

e escremos df na base dual {dxa_}

df = ∂f

∂xadx a_.

Note que as componentes de {dxa_{} tamb´em s˜ao dadas de modo semelhante,}

(dxa)_b =< dxa, ∂b >= ∂x a

∂xb = δ a

b.

Voltando à no¸cão de campo vectorial, vimos que é uma regra que associa um vector tangente em cada ponto de M. Cada ponto tem o seu espa¸co vectorial tangente, portanto um campo vectorial selecciona um vector de cada espa¸co. Ora, cada curva tem um vector tangente em cada ponto. A questão que se coloca agora é saber se a inversa também é verdadeira: dado um campo vectorial arbitrário, será poss´ıvel come¸car num ponto p e encontrar uma curva cujo vector tangente é o campo vectorial em causa, qualquer que seja o ponto por onde passa a curva? A resposta é afirmativa para campos vectoriais de classe C1 _{e tais curvas designam-se}

curvas integrais do campo vectorial. Se as componentes de V , num dado sistema de coordenadas {xa_{}, são V}a_(xc_{(p)), fun¸cões do ponto p, então V é um vector}

tangente `a curva Γ(λ) se

Va(xc) = dx

a

dλ .

Trata-se de um conjunto de equa¸cões diferenciais ordinárias de primeira ordem para xa_{(λ) e existe sempre uma solu¸cão única numa dada vizinhan¸ca do ponto}

inicial p.1

Os caminhos das diferentes curvas integrais correspondentes a um dado campo vectorial nunca se cruzam, com uma poss´ıvel excep¸c˜ao no ponto onde Va _{= 0 para}

todos o a, devido `a unicidade das solu¸c˜oes.

Vimos tamb´em na RR que para um campo tensorial T de valˆencia (r, s) se podia definir uma derivada dirigida segundo um vector U como

(∇UT )_a...bc...d= Ue∂eTa...bc...d

sendo ainda um tensor de tipo (r, s).

1_{Para uma prova do teorema da existência e unicidade de solu¸cão deste sistema de equa¸cões}

(15)

Aplicando esta defini¸c˜ao ao caso particular de um campo vectorial Y temos (∇UY )b = Ua ∂Yb ∂xa = U a_∂ aYb.

Se Y é um campo vectorial, então ∇UY também deverá ser um campo vectorial.

Por´em, num novo sistema de coordenadas {xa0

} temos Uc0∂Yd 0 ∂xc0 = Ã ∂xc0 ∂xaU a ! ∂xm ∂xc0 ∂ ∂xm Ã ∂xd0 ∂xbY b ! = Uaδ_am Ã ∂xd0 ∂xb ∂Yb ∂xm + ∂2_xd0 ∂xb_∂xmY b ! = Ã Um∂Yb ∂xm ! ∂xd0 ∂xb + ∂2_xd0 ∂xb_∂xmY b_Um_. _(2.5)

O segundo termo do segundo membro da ´ultima equa¸c˜ao, envolvendo a segunda derivada, mostra que Ua_∂

aYb n˜ao se transforma, numa transforma¸c˜ao geral de

coordenadas, como as componentes de um vector.

Daqui podemos concluir que (∇UY )b = Ua∂aYb n˜ao define as componentes de um

vector em geral, embora se transforme realmente como um vector numa trans-forma¸cão linear como é o caso da transtrans-forma¸cão de Lorentz. Ou seja, embora esta expressão defina as componentes de um vector em RR, não define nenhum objecto geométrico bem em RG.

Para encontrar uma expressão apropriada somos obrigados a generalizar o conceito de derivada dirigida. Vamos construir uma derivada que permite um comporta-mento covariante dos dois membros de uma equa¸cão contendo derivadas dirigidas. Para isso, vamos enunciar um conjunto de regras abstractas, capazes de caracteri-zar qualquer operador de deriva¸cão. Veremos depois mais adiante como calculá-lo.

2.3 Conex˜

oes

A defini¸cão da derivada covariante, ou conexão, numa variedade diferenciável cor-responde à introdu¸cão de uma estrutura adicional, i.e., a variedade adquire uma estrutura mais rica que lhe confere enormes potencialidades do ponto de vista das aplica¸cões f´ısicas. As conexões estão adquirir grande popularidade em f´ısica teórica, particularmente nas teorias de “gauge”das part´ıculas elementares. Mas só discutiremos as conexões afins ou lineares, que são as conexões apropriadas às variedades Riemannianas.

Come¸camos por assumir que a quantidade ∇UY tem a mesma natureza tensorial

(16)

Universo de três observadores com vectores tangente U, V e aU + bV , onde a e b são números reais, então

∇aU +bVY = a∇UY + b∇VY, (2.6)

bem como linear em Y , tal como acontecia em RR,

∇U(aY + bZ) = a∇UY + b∇UZ, (2.7)

e como ∇U é um operador de deriva¸cão deve também satisfazer a regra de Leibnitz

∇U(f Y ) = (∇Uf )Y + f ∇UY

= < df, U > +f ∇UY (2.8)

Ao operador que acabámos de definir chamamos derivada covariante, mas ainda não sabemos como calculá-lo. Sabemos simplesmente que deve verificar as propri-edades traduzidas nas Eqs. (2.6-2.8). Veremos que estrutura adicional que agora foi introduzida na variedade espa¸co-tempo, i.e., a derivada covariante, vai ser de grande utilidade em Relatividade Geral, pois vai permitir definir as curvas ou linhas do Universo dos observadores ou part´ıculas em queda livre.

Para calcular ∇UY num sistema de coordenadas arbitr´ario, teremos que definir

como variam os vectores de uma base coordenada {ea}. Se admitirmos que os

vectores derivados continuam a exprimir-se como uma combina¸c˜ao linear dos {ea}

temos ent˜ao

∇eb(ea) = Γcabec, (2.9)

e aos coeficientes das combina¸c˜oes lineares, Γc

ab, chamamos conex˜oes. Veremos

mais adiante, que numa variedade Riemanniana ou pseudo-Riemanniana, como são os espa¸cos-tempo da RG, as conexões são integralmente definidas em termos de primeiras derivadas das componentes do tensor métrico gab. Neste caso, estas

conexões adquirem a designa¸cão de s´ımbolos de Christoffel de segunda espécie. Podemos agora calcular as componentes de ∇UY com Y = Yaea, sendo Y um

campo vectorial e ea = ∂a uma base coordenada

∇UY = Ub∇b(Yaea) = Ub[∇bYc+ YaΓcab]ec,

onde ∇a≡ ∇ea e ∇bYc= ∂bYcporque as componentes Yas˜ao fun¸c˜oes, e a derivada

covariante actua sobre fun¸c˜oes exactamente como o operador de deriva¸c˜ao partial ∂a≡ ∂/∂xa.

Podemos escrever finalmente,

∇UY = Ub[∂bYc+ YaΓcab]ec (2.10)

ou mais simplesmente,

(17)

com Yc ; b = ∂Yc ∂xb + Y a_Γc ab. Os coeficientes de conex˜ao Γc

ab que determinam a opera¸c˜ao de diferencia¸c˜ao

cova-riante n˜ao devem ser confundidos com as componentes de um tensor. Na verdade, numa transforma¸c˜ao geral de coordenadas os Γc

ab transformam-se de uma forma

não homogénea, aparecendo um segundo termo na lei de transforma¸cão que envolve derivadas de segunda ordem das coordenadas e que compensa o termo extra que aparece em (2.5). Nem Ub_∂

bYanem UbYaΓcabse comportam isoladamente como as

componentes de um vector, numa transforma¸c˜ao geral de coordenadas. Portanto, as componentes do campo vectorial ∇UY s˜ao UbY; ba e as derivadas covariantes Ya; b

formam as componentes de um tensor de tipo (1, 1).

Para representar este tensor cujas componentes s˜ao as derivadas covariantes das componentes do campo vectorial Y podemos escrever ∇Y . E podemos escrevˆe-lo numa base coordenada como

∇Y = Ya

; bdxb⊗ ∂a, (2.11)

onde as componentes Ya

; b s˜ao dadas pela express˜ao anterior.

Nota sobre conven¸c˜oes e nota¸c˜oes:

N˜ao devemos confundir ∇bYc e (∇bY )c. A primeira express˜ao representa a

deri-vada covariante das fun¸c˜oes Yc_{, componentes do campo vectorial Y , e a segunda}

representa as componentes do campo vectorial derivada covariante de Y . Em al-guns livros de texto não se faz esta distin¸cão, porque se usa a nota¸cão: ∇aYb ≡ Yb;a.

Porém, neste curso não confundimos as duas nota¸cões, pois de acordo com as nossas defini¸cões a derivada covariante de uma fun¸cão é diferente da derivada covariante de um campo vectorial. Assim,

∇bYc= ∂bYc, e (∇bY )c = ∂bYc+ YaΓcab.

´

E costume, mesmo quando ea n˜ao ´e um vector de uma base coordenada, usar a

nota¸c˜ao

∇af = ea(f ) := f,a,

para qualquer fun¸c˜ao. Se ea = ∂a ent˜ao a v´ırgula representa efectivamente uma

deriva¸c˜ao parcial. Podemos ent˜ao escrever (∇Y )a

(18)

Exemplo 2 Considere o caso do espa¸co euclideano 2-dimensional R2 _em

coorde-nadas polares

ds2 = dx2+ dy2 = dr2+ r2dφ2, (2.12) sendo a transforma¸c˜ao de coordenadas e sua inversa dadas por

( x = r cos φ y = r sin φ ( φ = tan−1_(y/x) r = √x2_{+ y}2

A correspondente transforma¸c˜ao das bases ∂/∂xa _{e ∂/∂y}b_{, onde os x}a_representam

as coordenadas cartesianas e os yb _{representam as coordenadas curvil´ıneas, ´e obtida}

a partir da matriz Jacobiana e sua inversa, ∂ ∂yb = ∂xa ∂yb ∂ ∂xa, dy b ₌ ∂yb ∂xadx a nomeadamente            er = ∂x ∂r ex+ ∂y ∂r ey = cos φ ex+ sin φ ey eφ = ∂x ∂φex+ ∂y ∂φey = − r sin φ ex+ r cos φ ey (2.13)

onde exa = ∂_xa e e_yb = ∂_yb. E igualmente se obt´em

     dr = cos φ dx + sin φ dy dφ = −1 rsin φ dx + 1 rcos φ dy sendo a matriz Jacobiana e sua inversa, respectivamente

Ã ∂xa ∂yb ! = Ã cos φ −r sin φ sin φ r cos φ ! , Ã ∂yb ∂xa ! =    cos φ sin φ −1 r sin φ 1 rcos φ    .

Com estes dados é fácil inverter o sistema de equa¸cões (2.13) e obter ex = cos φ er− 1 r sin φ eφ ey = sin φ er+ 1 reφ.

Antes de prosseguir, aproveitemos para salientar que o tensor m´etrico se escreve numa base coordenada (natural) de tensores covariantes de segunda ordem e numa base qualquer

g = gαβdxα⊗ dxβ = gabωa⊗ ωb

as quais tomam a forma seguinte no caso particular de R2 _{em coordenadas}

carte-sianas e coordenados polares

(19)

com ω1 _{= dr e ω}2 _{= rdφ. As bases duais de {dr, dφ} e de {ω}1_{, ω}2_{} no espa¸co}

tangente s˜ao, respectivamente, {er = ∂ ∂r, eφ= ∂ ∂φ}, { ∂ ∂r, 1 r ∂ ∂φ}. ´

E nesta segunda base que se escrevem as componentes f´ısicas de um vector (do espa¸co tangente) de R2_{. Mas seja ent˜ao um campo vectorial V = V}r_e

r+ Vφeφ. A

varia¸c˜ao de V segundo r ou segundo φ ´e dada genericamente por ∂V ∂yβ = ∂Vα ∂yβ eα+ V α∂eα ∂yβ = Ã ∂Vµ ∂yβ + V α_Γµ αβ ! eµ, (2.14) com ∂eα ∂yβ = Γ µ αβeµ. Em particular, ∂er ∂r = 0 ⇒ Γ µ rr = 0 para todo o µ, ∂er ∂φ = − sin φ ex+ cos φ ey = 1 r eφ⇒ Γ r rφ= 0, Γφrφ= 1 r, ∂eφ ∂r = − sin φ ex+ cos φ ey = ∂er ∂φ ⇒ Γ r φr = 0, Γφφr = 1 r, (2.15) ∂eφ ∂φ = −r er ⇒ Γ r φφ = −r, Γφφφ = 0.

Voltando `a eq. (2.14) que define o campo vectorial resultante da deriva¸c˜ao covari-ante de V segundo as linhas coordenadas, ∂V/∂yβ_{, vemos que as componentes do}

campo vectorial derivado s˜ao

∂Vµ

∂yβ + V α_Γµ

αβ. (2.16)

Usando as nota¸c˜oes introduzidas anteriormente, podemos escrever as componentes desse campo vectorial como

Vµ_;β = V_,βµ + Vα_Γµ

αβ. (2.17)

Assim, a eq. (2.14) pode escrever-se de forma mais compacta ∂V

∂yβ = V µ

(20)

Divergˆencia e Laplaciano

Em coordenadas cartesianas a divergˆencia de um campo vectorial V ´e dada por Vµ

, µ, ou seja, deriva¸c˜ao parcial das componentes do campo vectorial seguida de

contraçcão dos ´ındices, dando assim lugar à forma¸cão de um escalar em rela¸cão grupo de Lorentz. Mas num espa¸co euclideano com coordenadas curvil´ıneas, como R2 _{com coordenadas polares, ou num espa¸co(-tempo) curvo, temos de ter em conta}

as derivadas das bases e temos que proceder à contraçcão dos ´ındices do tensor ∇V. Esta opera¸cão dá origem a um escalar, a divergência de V, ∇ · V, cujo valor é Vµ

;µ, visto que a contraçcão é uma opera¸cão independente do referencial.

Exemplo 3 Vamos calcular a divergˆencia do campo vectorial V em coordenadas polares. Com base nas equa¸c˜oes (2.15) vemos que

Γα rα = Γrrr+ Γrrφ= 1 r, Γα φα = Γrφr + Γφφφ = 0.      (2.19) Portanto temos Vµ ;µ = Vµ,µ+ VαΓµαµ = ∂V r ∂r + ∂Vφ ∂φ + 1 rV r_, = 1 r ∂ ∂r(rV r_{) +} ∂ ∂φV φ _(2.20)

Vejamos agora o cálculo do laplaciano, isto é, a divergência do gradiente de um campo escalar, Φ(yα_{). Como sabemos, o gradiente de Φ é um co-vector cujas}

componentes s˜ao ∂_ybΦ, ou seja neste caso

dΦ = ∂Φ ∂yady a₌ ∂Φ ∂rdr + ∂Φ ∂φdφ.

Para obter as componentes do vector gradiente, isto ´e, do dual do co-vector gradi-ente, usamos a m´etrica inversa para subir os ´ındices do co-vector,

(dΦ)a = gab∂Φ ∂yb , (2.21) ou em nota¸c˜ao matricial, Ã 1 0 0 r−2 ! Ã Φ,r Φ,φ ! = Ã Φ,r Φ,φ/r2 ! .

(21)

Usando estas componentes do campo vectorial gradiente podemos agora calcular a divergˆencia do gradiented de Φ, ∇ · ∇Φ ≡ ∇2Φ = 1 r ∂ ∂r Ã r∂Φ ∂r ! + 1 r2 ∂2_Φ ∂φ2 .

Esta é a expressão de ∇2_{Φ em coordenadas polares, correspondente à conhecida}

express˜ao em coordenadas cartesianas ∇2_{Φ =} ∂2Φ

∂x2 +

∂2_Φ

∂y2 .

A derivada covariante pode estender-se a tensores de tipo arbitr´ario pelas regras de Leibnitz

∇Uhω, Xi = h∇Uω, Xi + hω, ∇UXi

∇U(T ⊗ S) = (∇UT ) ⊗ S + T ⊗ (∇US). (2.22)

As equa¸c˜oes (2.22) garantem a compatibilidade da derivada covariante com a es-trutura diferencial da variedade espa¸co-tempo.

Exemplo 4 Mostre que se ω ´e um campo de co-vectores ent˜ao (∇Uω)a= Ub[ωa,b− ωcΓcab].

Como < ω, X > é uma fun¸cão, a sua derivada covariante segundo o campo vectorial U é simplesmente a derivada dirigida dessa fun¸cão segundo U,

∇U < ω, X >= Ub∂b(ωaXa) = Ub(ωa,bXa+ ωaXa,b)

e a derivada covariante do co-vector ω segundo U pode obter-se a partir de < ∇Uω, X > = Ub(ωa,bXa+ ωaXa,b)− < ω, Ub(Xc,b+ XdΓcdb)ec>

ωa;bXaUb = (ωa,b− ωcΓcab)XaUb,

donde se obt´em a express˜ao solicitada.

Exerc´ıcio 1 Mostre que as componentes da derivada covariante de um campo tensorial T de tipo (1, 1) s˜ao dadas por

(22)

Para finalizar, voltemos `a derivada covariante de um campo vectorial segundo outro campo vectorial: ∇UY . Vimos que se tratava de outro campo vectorial.

Porém, ∇Y (o “gradiente”de Y ) define um tensor de valência (1, 1). Podemos então escrever

∇aY = ea· ∇Y,

onde o segundo membro é uma contraçcão (para cada valor do ´ındice a) do campo vectorial base eacom o tensor de tipo (1, 1), ∇Y . Esta contraçcão define um campo

vectorial para cada valor de a. Portanto, se fixarmos o valor de a, ∇aY define um

campo vectorial, mas se a toma todos os valores poss´ıveis: a = 0, 1, 2, 3 ent˜ao (∇aY )b s˜ao as componentes de um tensor misto de tipo (1, 1).

Transporte paralelo e Derivada covariante

Numa variedade diferenciável não existe uma no¸cão intr´ınseca de paralelismo entre vectores definido em pontos diferentes. A conexão afim é no fundo uma regra que permite estabelecer uma certa no¸cão de paralelismo. Para dar uma ideia como funciona esta regra, consideremos uma superf´ıcie esférica bi-dimensional.

A

B

C

Figura 2.3: Transporte paralelo de um vector ao longo do meridiano ABC. Na figura o vector, que representamos por V , é tangente ao meridiano que passa por ABC, entre o polo norte (A) e o polo sul (C). Supomos que transportamos V do ponto A ao ponto C, mantendo-o tangente à esfera, pelo que se não rodar em torno do eixo normal ao plano de tangência durante o transporte, V deverá manter-se tangente à curva ABC. Ao chegar ao ponto C o vector aponta no sentido

(23)

oposto ao vector inicial aplicado em A, embora mantendo-se na mesma direçcão, de acordo com os nosso critérios de R3. Será poss´ıvel que do ponto de vista da geometria da esfera os dois vectores, inicial e final, sejam paralelos?

Figura 2.4: Transporte paralelo de um vector ao longo do meridiano ADC. Antes de arriscarmos uma resposta a esta questão vamos agora imaginar o trans-porte de V de A a C segundo um outro caminho: ADC, que é também um meridiano da esfera que intersecta ABC nos polos A e C segundo ângulos rectos. Como V é perpendicular a ADC em A, por constru¸cão, a maneira natural de o transportar é mantê-lo perpendicular a ADC e tangente à esfera, como se mostra na fig. 2. Este transporte dá origem a um vector V em C que, do ponto de vista de R3 é paralelo a V em A, e claramente anti-paralelo ao vector V transportado para C ao longo do caminho ABC. Qual dos dois vectores aplicados em C, obtidos à custa dos dois transportes considerados, é realmente paralelo ao vector inicial? A verdade é que se os dois transportes continuarem fechando as curvas e voltando ao ponto A, os vectores transportados coincidem com o vector inicial em A. Por outro lado, se depois de transportar V ao longo de ABC, continuar o trans-porte ao longo do tro¸co CDA para fechar o caminho, verifico que o vector que

(24)

chega a A é anti-paralelo do vector que partiu de A. Com estes exemplos, somos levados a concluir que não existe uma no¸cão global de paralelismo numa variedade curva. Mas podemos introduzir uma no¸cão de transporte paralelo exigindo que nesse transporte o campo vectorial se mantenha constante no sentido da derivada covariante. É neste sentido que a conexão afim funciona como uma regra para o transporte paralelo.

Estamos agora em condi¸c˜oes de compreender o significado da derivada covariante, definida anteriormente de modo abstracto. Consideremos uma curva C(λ) e o seu campo vectorial tangente U = d/dλ. No ponto p = C(λ0), tomemos um vector

arbitr´ario Yp ∈ Tp(M). A conex˜ao permite-nos definir um campo vectorial Y (λ)

ao longo de C(λ), o qual se obtém transportanto Y paralelamente, i.e., mudando o menos poss´ıvel de direçcão, ao mesmo tempo que obrigamos Y a pertencer aos sucessivos planos tangentes nos pontos da curva C(λ). Até certo ponto podemos dizer que Y “não muda”ao longo de C(λ). Podemos então definir uma derivada em rela¸cão à qual Y tem uma taxa de varia¸cão nula. Esta derivada é a derivada covariante na direçcão U, i.e., ∇U. Assim, se

∇UY = 0 (2.23)

diz-se que Y ´e transportado paralelamente ao longo de C(λ).

Sendo Y (xa_{) ´e um campo vectorial definido por toda a parte sobre C(λ), podemos}

definir ∇UY em p da maneira como habitualmente se define uma taxa de varia¸c˜ao.

Para isso, seja p = C(λ0) e Yk(λ) um campo a ser transportado paralelamente e

que ´e a igual a Y (λ) no ponto C(λ0+ ²), i.e.,

∇UYk = 0, Yk(λ0+ ²) = Y (λ0+ ²),

ent˜ao a derivada pode ser calculada inteiramente no espa¸co vectorial Tp(M):

(∇UY )p = lim ²→0

Yk→p(λ0+ ²) − Y (λ0)

² . (2.24)

Em geral, a derivada covariante de um tensor T na direçcão de U (i.e., ao longo da curva integral de U) e no ponto p é definida pela rela¸cão

(∇UT )p = lim_²→0

Tk→p(²) − T (0)

² .

onde Tk→p(²) ´e o valor do tensor T depois de ser transportado paralelamente de p

sobre a curva dado por λ = 0 para o ponto da curva infinitesimalmente próximo e dado por λ = ². Sendo C(λ) a curva integral de U então o seu vector tangente é por defini¸cão U = d/dλ.

Num referencial em queda livre, também conhecido por referencial inercial local ou referencial de Lorentz local (RLL), a derivada covariante toma uma forma mais simples porque a métrica toma a forma de Minkowski e as conexões anulam-se.

(25)

Figura 2.5: Derivada covariante do campo vectorial Y segundo U. Se representar a base do RLL por {eˆa}, ent˜ao

g(eˆa, eˆb) = gˆaˆb= ηab = diag(−1, 1, 1, 1),

e, portanto, neste referencial as conex˜oes s˜ao nulas: Γc

ab = 0. Logo

∇UY =

dYˆa

dλ eˆa,

e as componentes de ∇UY s˜ao simplesmente as derivadas derigidas das fun¸c˜oes Ya

segundo U.

Note que uma consequˆencia de Γc

ab = 0 ´e naturalmente

∇eˆa(eˆb) = 0, (2.25)

isto é, os vectores base são propagados ou transportados paralelamente segundo os eaˆ. Fazendo â = ˆ0, vem

∇eˆ0(eˆb) = 0, (2.26)

onde eˆ₀ = d/dτ ´e o vector tangente `a linha do Universo de um observador em

queda livre. Em particular, fazendo eˆ0 = U, vector tangente `a linha do Universo

do observador em queda livre (observador geod´esico), vem ∇eˆ0(eˆ0) = 0 em qualquer

sistema de coordenadas, e sendo

Ua₌ dxa

(26)

as componentes da 4-velocidade do observador em queda livre, a Eq.(2.25) pode escrever-se ∇eˆ0(eˆb) = d2_xa dτ2 + Γ a bc dxb dτ dxc dτ = 0. (2.27)

Qualquer curva que seja solu¸cão desta equa¸cão chama-se uma geodésica. Um observador em queda livre segue então ao longo de uma geodésica do espa¸co-tempo. Sendo dada a geodésica de um observador em queda livre, então a equa¸cão (2.26) determina o RLL que acompanha o observador para os diferentes valores de τ , desde que sejam conhecidas as orienta¸cões iniciais dos vectores base.

Podemos usar outra nota¸cão para escrever a equa¸cão das geodésicas ∇UU =

DU

dτ = 0, (U = eˆ0),

que põe em relevo o facto de um geodésica ser uma curva cujo vector tangente é intrinsecamente constante (tem derivada intr´ınseca nula) ao longo da curva. Grosseiramente podemos dizer que quando nos deslocamos sobre um geodésica caminhamos ao longo da “mesma direçcão”. Neste sentido, as geodésicas são a generaliza¸cão das linhas rectas do espa¸co euclideano. Do ponto de vista da f´ısica percebe-se bem esta semelhan¸ca: um observador em queda livre sente localmente como se se deslocasse com velocidade uniforme numa linha recta ou, o que é o mesmo, como se permanecesse em repouso.

Contudo, do ponto de vista global a geometria do espa¸co-tempo mostra que as geod´esicas se comportam de modo bem diferente das linhas rectas da geometria euclideana.

Nem todas as geodésicas são linhas do Universo de um observador em queda livre. Com a introdu¸cão da métrica será poss´ıvel distinguir geodésicas temporais, nulas e espaciais. Mas só as primeiras poderão ser linhas do Universo de um observador ou part´ıcula material.

Já sabemos que o mesmo caminho de uma variedade pode corresponder a mais do que uma curva, cada uma das quais é parametrizada por um parâmetro dife-rente. Podemos então caracterizar um caminho num espa¸co-tempo como sendo uma geodésica se existe uma parametriza¸cão tal que os vectores tangentes à curva correspondente constituem um campo de vectores paralelos ao longo da curva:

U = ˙C(s) ⇒ ∇UU = 0.

Suponhamos que definimos ˜C(λ) = C(s) com s = aλ + b e a, b constantes. Fazendo xa_{(λ) = x}ah_C(λ)_˜ i

(27)

temos ent˜ao d2_xa dλ2 + Γ a bc dxb dλ dxc dλ = ds dλ d ds( dxa ds ds dλ) + Γ a bc dxb ds dxc ds ( ds dλ) 2 = a2(d 2_xa ds2 + Γ a bc dxb ds dxc ds ) = 0.

Portanto ˜C(λ) é também uma geodésica. ´

E fácil mostrar que s = aλ+b é a parametriza¸cão mais geral que faz com ˜C(λ) ainda satisfa¸ca a equa¸cão das geodésicas. Chamam-se parâmetros afins os parâmetros com esta propriedade, ou seja, quaisquer dois parâmetros afins estão relacionados por uma equa¸cão linear: s = aλ + b.

Como o vector tangente a uma geodésica C(λ), U = ˙C, é transportado paralela-mente: ∇UU = 0, temos então para uma conexão métrica (ver adiante)

g(U, U) = K = constante.

O valor desta constante pode ser alterado por uma reparametriza¸c˜ao da geod´esica. Fazendo ˜C(λ) = C(aλ + b), vem ˜U = aU e portanto g( ˜U, ˜U) = a2_K.

Podemos distinguir trˆes situa¸c˜oes:

(i) K < 0, U ´e temporal por toda a parte e existe uma parametriza¸c˜ao tal que g(U, U ) = −1;

(ii) K = 0, U é um vector nulo por toda a parte e a geodésica é do tipo luz; (iii) K > 0, U é espacial por toda a parte.

No primeiro caso mencionado, C é uma linha do Universo poss´ıvel de um observa-dor em queda livre. Neste caso a coordenada temporal deste observaobserva-dor é o seu parâmetro tempo próprio porque se o usamos para parametrizar C temos

eˆ0 = U = ˙C ⇒ g(eˆ0, eˆ0) = −1.

Quanto às geodésicas nulas, podem ser consideradas como os caminhos de espa¸co-tempo da luz, mais precisamente, as superf´ıcies de igual fase das ondas electro-magnéticas são atravessadas por geodésicas nulas. Isto corresponde ao resultado da RR, onde as ondas planas electromagnéticas propagam-se na direçcão de um vector constante nulo.

Na verdade, c´alculos de relatividade geral mostram que, no limite dos pequenos comprimentos de onda (i.e., quando o comprimento de onda se torna bastante

(28)

pequeno quando comparado com as dimensões espaciais do problema), em qualquer ponto de uma geodésica nula que define o caminho de uma superf´ıcie de onda de luz, o vector tangente à geodésica corresponde exactamente ao vector nulo, Ka_,

4-vector-onda, que está ligado à frequência das ondas.

Conex˜

ao m´

etrica

O Princ´ıpio da Equivalência leva-nos a afirmar que a RR é válida localmente, isto é, na vizinhan¸ca de um observador em queda livre e, por conseguinte, o espa¸co-tempo da Relatividade Geral tambem deve ter uma estrutura métrica, que num referencial em queda livre toma a forma de Minkowski, como vimos. Mas nestes RLL’s a derivada covariante reduz-se às derivadas dirigidas usuais, logo

gab;c = ∂cgab.

E num referencial em queda livre, como a m´etrica toma a forma de Minkowski, tem-se ∂cgˆaˆb= 0. Logo, para satisfazer o princ´ıpio da Equivalˆencia devemos exigir

que

∇Ug = 0,

qualquer que seja o campo vectorial U. Diz-se então que a métrica é covariante-mente constante. Esta condi¸cão é por sua vez equivalente a impôr que se X(λ) e Y (λ) são dois campos vectoriais transportados paralelamente ao longo da curva C(λ), então o produto interno

g (X(λ), Y (λ)) = constante. ´

E de esperar que isto seja assim se C(λ) é a linha do Universo de um observa-dor em queda livre, cujo referencial é definido pela condi¸cão (2.26) e g(eˆa, e_ˆb) =

g_ˆ_aˆb=constante. Da mesma maneira, para o transporte sobre uma curva arbitr´aria exigimos g (X(λ), Y (λ)) = constante.

Diferenciando esta express˜ao segundo U vem Ua_∂ a(gcd)XcYd+ gcd Ã dXc dλ Y d_{+ X}cdYd dλ ! = 0. (2.28)

Como, por hip´otese, X(λ) e Y (λ) s˜ao transportados paralelamente, temos dXc

dλ = −Γ

c

abXaUb,

e uma equa¸c˜ao semelhante para Y . Assim, obtemos 0 = Ua_Xc_Yd_∂

(29)

Como este resultado deve verificar-se para qualquer U, X e Y conclu´ımos que ∂cgab− gdbΓdac− gadΓdbc= 0, (2.29)

ou seja,

∂cgab = Γb|ac+ Γa|bc = 2Γ(a|b)c. (2.30)

Da Eq. (2.29) chegamos a gab;c = 0 e, portanto, ∇Ug = 0, como j´a t´ınhamos

visto quando discutimos o princ´ıpio da equivalência. Mas vemos agora também, que o facto da métrica ser covariantemente constante tem como resultado uma rela¸cão estreita entre os coeficientes de conexão lineares e a métrica. Da Eq. (2.30) podemos obter sucessivamente, por permuta¸cão dos ´ındices,

1

2(gab,c+ gac,b− gbc,a) = Γ(a|b)c+ Γ(a|c)b− Γ(b|c)a = Γa|bc+

³

Γb|[ac]+ Γc|[ab]− Γa|[bc]

´

.

Veremos mais adiante que os s´ımbolos de conexão utilizados em RG são simétricos nos dois últimos ´ındices quando escritos numa base coordenada,

Γa|bc = Γa|(bc),

temos neste caso,

1

2(gab,c+ gac,b− gbc,a) = Γa|bc. (2.31) No âmbito das geometrias Riemannianas era costume utilizar outras nota¸cões e designa¸cões para os s´ımbolos de conexão. Assim, escrevia-se

[bc, a] em vez de Γa|bc,

e designavam-se por s´ımbolos de Christoffel de 1a _{esp´ecie. E escrevia-se}

n d bc o em vez de Γd bc

e designavam-se por s´ımbolos de Christoffel de 2a_{esp´ecie, verificando-se as rela¸c˜oes}

n d bc o = gda _{[bc, a] ,} _Γd bc = gdaΓa|bc, ou seja Γd bc= 1 2g da_(g

ab,c+ gac,b− gbc,a) , (2.32)

se estivermos a trabalhar numa base coordenada.

Ainda hoje é frequente reservar a designa¸cão de s´ımbolos de Christoffel, embora se tenha passado a usar a nota¸cão moderna, para as conexões associadas às geome-trias Riemannianas ou pseudo-Riemannianas da RG. Para concluir este assunto,

(30)

vamos definir uma conex˜ao m´etrica como aquela onde dois campos vectoriais transportados paralelamente segundo uma dada curva, tenham um produto in-terno constante ao longo dessa curva.

Exemplo 5 Mostrar que

Γa_ab = 1 2g ∂g ∂xb = ∂ ∂xb ln( √ −g) .

Comecemos por constatar que Γa_ab = gadΓd|ab = 1 2g ad∂gad ∂xb + 1 2g ad Ã ∂gbd ∂xa − ∂gba ∂xd ! .

O segundo termo do segundo membro anula-se devido `as propriedades de simetria. Temos ent˜ao, Γa ab = 1 2g ad ∂gad ∂xb (2.33)

Esta express˜ao pode ser escrita em termos do determinante g do tensor m´etrico gab.

Segundo o teorema de Laplace de expansão de um determinante, este é igual à soma algébrica dos produtos dos elementos de uma fila pelos respectivos complementos algébricos, logo

∂g ∂gab

= ∆ab_,

onde ∆ab_{´e o complemento alg´ebrico do elemento g}

ab do determinante g. E a partir

da regra de obten¸c˜ao da matriz inversa podemos escrever ∂g

∂gab

= g gab_. _(2.34)

Por consequˆencia temos

dg = g gab_{d g} ab. (2.35) E como gab_dg ab = −gabdgab, pois gab_g

ab = δaa = 4, usando este resultado na Eq.(2.34), esta poder´a escrever-se

∂g

(31)

Usando as Eqs. (2.34), (2.35) e (2.36) podemos escrever ∂g ∂xc = g g ab∂gab ∂xc = −g gab ∂gab ∂xc .

A partir das quais se obt´em, finalmente, as express˜oes desejadas.

Sistema de Coordenadas Geod´esico

Para concluir esta seçcão vamos enunciar o Lema seguinte sob a possibilidade de anulamento dos s´ımbolos de Christoffel em certas condi¸cões.

Lema 1 É sempre poss´ıvel um sistema de coordenadas no qual todas as compo-nentes dos s´ımbolos de Christoffel se anulam num dado ponto. Um tal sistema é conhecido por sistema geodésico.

A prova ´e simples. Suponha que os s´ımbolos de Christoffel se anulam num ponto p ∈ M estando definido um sistema de coordenadas, xa_{, numa certa vizinhan¸ca V}

p.

Vamos então introduzir um novo sistema através da transforma¸cão de coordenadas xa0 = xa− xa_p+ 1

2Γ

a

bc(p)(xb− xbp)(xc− xcp) . (2.37)

Aqui o sub-´ındice indica o valor no ponto dado p. ´E com certeza poss´ıvel atribuir significado a este novo sistema de coordenadas pelo menos numa pequena regi˜ao em torno do ponto p, onde xa0

p = 0. Efectivamente, diferenciando em rela¸c˜ao a xd

d´a ∂xa0 ∂xd = δ a d+ 1 2Γ a bc(p)δbd(xc− xcp) + 1 2Γ a bc(p)(xb− xbp)δcd = δa d+ Γadc(p)(xc− xcp) , pelo que ³∂dxa 0´ p = δ a d e det[∂dxa 0

]p 6= 0. O que mostra que a equa¸c˜ao (2.37) define

um novo sistema de coordenadas numa vizinhan¸ca Vp.

Vamos agora calcular os s´ımbolos de Christoffel no novo sistema de coordenadas xa0

, usando a lei de transforma¸c˜ao (ver problema 2 no final do cap´ıtulo) entre s´ımbolos de Christoffel de segunda esp´ecie

Γa0 b0_c0 = ∂xa0 ∂xs ∂xd ∂xb0 ∂xf ∂xc0Γ s df+ ∂xa0 ∂xs ∂2_xs ∂xb0 ∂xc0 .

(32)

A transforma¸c˜ao de coordenadas (2.37), permite escrever ∂xa0 ∂xs |p= δ a s, ∂xs ∂xa0 |p= δ s a ∂2_xs ∂xa0 ∂xb0 = −Γ s ab(p) .

Usando estes resultados na transforma¸c˜ao dos Γ, encontramos para os s´ımbolos de Christoffel no ponto p no novo sistemas de coordenadas,

Γa0

b0_c0(p) = δ_saδ_bdδ_cfΓs_df(p) − δa_sΓs_bc(p)

= 0

2.4 Tensor Tors˜

ao

Dados os campos vectoriais X e Y , podemos definir dois novos objectos antis-sim´etricos em X e Y , concretamente

[X, Y ] e ∇XY − ∇YX,

os quais são ambos campos vectoriais. O primeiro deles, o comutador [X, Y ] = (XY − Y X), veremos já em seguida que se trata efectivamente de um campo vectorial. Mas quanto ao segundo, depois de ter sido definida a derivada covariante do campo vectorial Y ao longo da curva integral de X, ∇XY , não restam dúvidas

de que se trata de um campo vectorial, e o mesmo se poder´a dizer de ∇YX, pelo

que a diferen¸ca ∇XY − ∇YX tamb´em dever´a ser um campo vectorial.

Comutadores de campos vectoriais

Dado um sistema de coordenadas {xa_{}, ´e muitas vezes conveniente adoptar {∂/∂x}b_}

como uma base para campos vectoriais. Contudo, qualquer conjunto de campos vectoriais linearmente independentes pode funcionar como base, e é fácil mostrar que nem todos esses conjuntos podem derivar-se de sistemas de coordenadas. Quando aplicados a fun¸cões cont´ınuas os operadores ∂/∂xa_{e ∂/∂x}b _{comutam pois:}

[∂a, ∂b](f ) = ∂a∂bf − ∂b∂af = 0

para todos os valores de a e de b, mas o mesmo já não acontece com dois campos vectoriais arbitrários X e Y . Ou seja,

[X, Y ] = Xa_∂ a(Yb∂b) − Yb∂bXa∂a = Xa_Yb_(∂ a∂b− ∂b∂a) + (Xa∂aYb)∂b− (Yb∂bXa)∂a = XaYb[∂a, ∂b] + (Xa∂aYc− Ya∂aXc) ∂c = (Xa∂aYc− Ya∂aXc) ∂c,

(33)

X = c

2

X = a

1

X = d

2

X = b

1

Figura 2.6: Linhas coordenadas numa variedade 2-dimensional. visto que [∂a, ∂b] = 0. Portanto o comutador

[X, Y ] = XY − Y X ´e um campo vectorial cujas componentes, (Xa_∂

aYc− Ya∂aXc), n˜ao se anulam em

geral.

Sejam agora V = d/dλ e W = d/dµ dois campos vectoriais linearmente inde-pendentes e, que por isso poder˜ao ser dois elementos elementos de uma base. O comutador

[ d dλ,

d

dµ] = [V, W ] = LVW

é chamado o parêntesis de Lie de V e W ou derivada de Lie de W segundo V , em homenagem a Sophus Lie, o grande matemático dos finais do século XIX, o mesmo dos grupos de Lie. Em geral, não será poss´ıvel representar os elementos dessa base como derivadas relativamente a um qualquer sistema de coordenadas. Embora os campos vectoriais V e W estejam definidos ao longo de curvas integrais parametri-zadas respectivamente por λ e µ, estes parâmetros não representam coordenadas independentes. Uma tal base diz-se não-coordenada ou não holonómica.

´

E importante perceber que esta distin¸cão entre bases coordenadas e não-coordenadas só pode ser feita sobre uma dada região de uma variedade e não num único ponto. As diferentes propriedades das bases coordenadas e não-coordenadas só terão im-portância sobre regiões de uma variedade, e serão irrelevantes em problemas que envolvem somente o espa¸co tangente Tp(M) de um único ponto p.

(34)

Exerc´ıcio 2 Mostre que os campos vectoriais base, unit´arios, para as coordenadas polares no plano euclideano, definidos por

erˆ = cos θex+ sin θey

e_θˆ = − sin θex+ cos θey

onde ex = ∂/∂x e ey = ∂/∂y, constituem uma base n˜ao-coordenada. Determine a

base dual correspondente para covectores.

Vejamos qual é a interpreta¸cão geométrica do comutador de dois campos vectoriais. Na figura (2.6) desenhámos as linhas coordenadas de uma variedade 2-dimensional. Note que, por defini¸cão, x1 _{é constante ao longo das linhas coordenadas de x}2_{, isto}

é, das curvas integrais de ∂/∂x2_{. Esta é a razão porque ∂/∂x}1 _{e ∂/∂x}2 _comutam:

cada um destes campos vectoriais é uma derivada ao longo de uma linha sobre a qual o outro campo vectorial é fixo. Consideremos agora os dois campos vectoriais arbitrários V e W cujas curvas integrais estão desenhadas na figura (2.7). Uma curva integral de W não é necessariamente uma curva de λ =constante, e vice-versa. O operador d/dµ não é uma derivada mantendo λ fixo, pelo que

[ d dλ,

d dµ] 6= 0

Embora as curvas integrais de V e W se assemelhem a curvas coordenadas, as respectivas parametriza¸cões não são as de um sistema de coordenadas. Mesmo o facto de estas curvas se assemelharem a linhas coordenadas é um artif´ıcio das duas dimensões: num espa¸co a 3-dimensões pode acontecer que a curva (1) intersecta as curvas (α) e (β) mas (2) intersecta apenas (α).

Conex˜

oes sim´

etricas

Uma conexão diz-se simétrica se as duas quantidades [X, Y ] e ∇XY − ∇YX,são

iguais:

∇XY − ∇YX = [X, Y ] . (2.38)

A designa¸cão “simétrica”traduz o facto de, numa base coordenada, a rela¸cão an-terior implicar a simetria dos coeficientes de conexão:

Γd_ac = Γd_ca.

Na realidade, fazendo X = ea e Y = eb, sendo {ea= ∂a} uma base coordenada no

espa¸co tangente, vem