Teorema. Se uma função f com domínio D tem limite L com x → a, então |f (x )| tem limite |L|. Em particular, se f é contínua em x = a, então |f (x )| também é contínua nesse ponto, isto é, limx →a|f (x)| = |f (a)|.
Teorema. Se uma função f com domínio D tem limite L com x → a, e se A < L < B, então existe δ > 0 tal que
x ∈ Vδ0(a) ∩ D ⇒ A < f (x ) < B.
Corolário. Se uma função f com domínio D tem limite L com x → a, então existe δ > 0 tal que f (x ) é limitada em Vδ0(a) ∩ D.
Corolário(permanência do sinal). Se uma função f com
domínio D tem limite L 6= 0 com x → a, então existe δ > 0 tal que, x ∈ Vδ0(a) ∩ D ⇒ f (x ) > L/2 se L > 0 e f (x ) < L/2 se L < 0; ou seja, |f (x )| > |L|/2 em ambos os casos.
Propriedades do limite
Teorema. Se uma função f com domínio D tem limite L com x → a, então |f (x )| tem limite |L|. Em particular, se f é contínua em x = a, então |f (x )| também é contínua nesse ponto, isto é, limx →a|f (x)| = |f (a)|.
Teorema. Se uma função f com domínio D tem limite L com x → a, e se A < L < B, então existe δ > 0 tal que
x ∈ Vδ0(a) ∩ D ⇒ A < f (x ) < B.
Corolário. Se uma função f com domínio D tem limite L com x → a, então existe δ > 0 tal que f (x ) é limitada em Vδ0(a) ∩ D. Corolário(permanência do sinal). Se uma função f com domínio D tem limite L 6= 0 com x → a, então existe δ > 0 tal que, x ∈ Vδ0(a) ∩ D ⇒ f (x ) > L/2 se L > 0 e f (x ) < L/2 se L < 0; ou seja, |f (x )| > |L|/2 em ambos os casos.
Propriedades do limite
Teorema. Se uma função f com domínio D tem limite L com x → a, então |f (x )| tem limite |L|. Em particular, se f é contínua em x = a, então |f (x )| também é contínua nesse ponto, isto é, limx →a|f (x)| = |f (a)|.
Teorema. Se uma função f com domínio D tem limite L com x → a, e se A < L < B, então existe δ > 0 tal que
x ∈ Vδ0(a) ∩ D ⇒ A < f (x ) < B.
Corolário. Se uma função f com domínio D tem limite L com x → a, então existe δ > 0 tal que f (x ) é limitada em Vδ0(a) ∩ D. Corolário(permanência do sinal). Se uma função f com domínio D tem limite L 6= 0 com x → a, então existe δ > 0 tal que, x ∈ Vδ0(a) ∩ D ⇒ f (x ) > L/2 se L > 0 e f (x ) < L/2 se L < 0; ou seja, |f (x )| > |L|/2 em ambos os casos.
Propriedades do limite
Teorema. Se uma função f com domínio D tem limite L com x → a, então |f (x )| tem limite |L|. Em particular, se f é contínua em x = a, então |f (x )| também é contínua nesse ponto, isto é, limx →a|f (x)| = |f (a)|.
Teorema. Se uma função f com domínio D tem limite L com x → a, e se A < L < B, então existe δ > 0 tal que
x ∈ Vδ0(a) ∩ D ⇒ A < f (x ) < B.
Corolário. Se uma função f com domínio D tem limite L com x → a, então existe δ > 0 tal que f (x ) é limitada em Vδ0(a) ∩ D. Corolário(permanência do sinal). Se uma função f com domínio D tem limite L 6= 0 com x → a, então existe δ > 0 tal que, x ∈ Vδ0(a) ∩ D ⇒ f (x ) > L/2 se L > 0 e f (x ) < L/2 se L < 0; ou seja, |f (x )| > |L|/2 em ambos os casos.
Teorema. Se duas funções f e g com o mesmo domínio D têm limites com x → a, então
a) f (x ) + g(x ) tem limite e lim[f (x ) + g(x )] = lim f (x ) + lim g(x ); b) sendo k constante, kf (x ) tem limite e lim[kf (x )] = k . lim f (x );
c) f(x)g(x) tem limite e lim[f (x )g(x )] = lim f (x ) lim g(x );
d) se, além das hipóteses feitas, lim g(x ) 6= 0, então f (x )/g(x ) tem limite e lim f (x )
g(x ) =
lim f (x ) lim g(x ).
Teorema. Se duas funções f e g com o mesmo domínio D têm limites com x → a, então
a) f (x ) + g(x ) tem limite e lim[f (x ) + g(x )] = lim f (x ) + lim g(x ); b) sendo k constante, kf (x ) tem limite e lim[kf (x )] = k . lim f (x ); c) f(x)g(x) tem limite e lim[f (x )g(x )] = lim f (x ) lim g(x );
d) se, além das hipóteses feitas, lim g(x ) 6= 0, então f (x )/g(x ) tem limite e lim f (x )
g(x ) =
lim f (x ) lim g(x ).
Teorema. Se duas funções f e g com o mesmo domínio D têm limites com x → a, então
a) f (x ) + g(x ) tem limite e lim[f (x ) + g(x )] = lim f (x ) + lim g(x ); b) sendo k constante, kf (x ) tem limite e lim[kf (x )] = k . lim f (x ); c) f(x)g(x) tem limite e lim[f (x )g(x )] = lim f (x ) lim g(x );
d) se, além das hipóteses feitas, lim g(x ) 6= 0, então f (x )/g(x ) tem limite e lim f (x )
g(x ) =
lim f (x ) lim g(x ).
Teorema. Se duas funções f e g com o mesmo domínio D têm limites com x → a, então
a) f (x ) + g(x ) tem limite e lim[f (x ) + g(x )] = lim f (x ) + lim g(x ); b) sendo k constante, kf (x ) tem limite e lim[kf (x )] = k . lim f (x ); c) f(x)g(x) tem limite e lim[f (x )g(x )] = lim f (x ) lim g(x );
d) se, além das hipóteses feitas, lim g(x ) 6= 0, então f (x )/g(x ) tem limite e lim f (x )
g(x ) =
lim f (x ) lim g(x ).
Teorema. Se duas funções f e g com o mesmo domínio D têm limites com x → a, então
a) f (x ) + g(x ) tem limite e lim[f (x ) + g(x )] = lim f (x ) + lim g(x ); b) sendo k constante, kf (x ) tem limite e lim[kf (x )] = k . lim f (x ); c) f(x)g(x) tem limite e lim[f (x )g(x )] = lim f (x ) lim g(x );
d) se, além das hipóteses feitas, lim g(x ) 6= 0, então f (x )/g(x ) tem limite e lim f (x )
g(x ) =
lim f (x ) lim g(x ).
Corolário. Se f e g são funções contínuas em x = a, então são também contínuas em x = a as funções f + g, fg e kf , onde k é uma constante qualquer; e é também contínua em x = a a função f /g, desde que g(a) 6= 0.
Teorema. Uma condição necessária e suficiente para que uma função f com domínio D tenha limite L com x → a é que, para toda sequência xn∈ D − {a}, xn→ a se tenha f (xn) →L. Em
particular, f é contínua num ponto a se, e somente se, para toda sequência xn∈ D − {a} , xn→ a, se tenha f (xn) →f (a).
Corolário. Uma condição necessária e suficiente para que uma função f com domínio D tenha limite com x → a é que f (xn)tenha limite, qualquer que seja a sequência
Corolário. Se f e g são funções contínuas em x = a, então são também contínuas em x = a as funções f + g, fg e kf , onde k é uma constante qualquer; e é também contínua em x = a a função f /g, desde que g(a) 6= 0.
Teorema. Uma condição necessária e suficiente para que uma função f com domínio D tenha limite L com x → a é que, para toda sequência xn∈ D − {a}, xn→ a se tenha f (xn) →L. Em particular, f é contínua num ponto a se, e somente se, para toda sequência xn∈ D − {a} , xn→ a, se tenha f (xn) →f (a). Corolário. Uma condição necessária e suficiente para que uma função f com domínio D tenha limite com x → a é que f (xn)tenha limite, qualquer que seja a sequência
Corolário. Se f e g são funções contínuas em x = a, então são também contínuas em x = a as funções f + g, fg e kf , onde k é uma constante qualquer; e é também contínua em x = a a função f /g, desde que g(a) 6= 0.
Teorema. Uma condição necessária e suficiente para que uma função f com domínio D tenha limite L com x → a é que, para toda sequência xn∈ D − {a}, xn→ a se tenha f (xn) →L. Em particular, f é contínua num ponto a se, e somente se, para toda sequência xn∈ D − {a} , xn→ a, se tenha f (xn) →f (a). Corolário. Uma condição necessária e suficiente para que uma função f com domínio D tenha limite com x → a é que f (xn)tenha limite, qualquer que seja a sequência
Teorema (critério de convergência de Cauchy). Uma condição necessária e suficiente para que uma função f (x ) com domínio D tenha limite com x → a é que, dado qualquer ε >0, exista δ > 0 tal que
x , y ∈ Vδ0(a) ∩ D ⇒ |f (x ) − f (y )| < ε.
Teorema (continuidade da função composta). Sejam f e g funções com domínios Df e Dg respectivamente, com
g(Dg) ⊂Df. Se g é contínua em x0e f é contínua em
Teorema (critério de convergência de Cauchy). Uma condição necessária e suficiente para que uma função f (x ) com domínio D tenha limite com x → a é que, dado qualquer ε >0, exista δ > 0 tal que
x , y ∈ Vδ0(a) ∩ D ⇒ |f (x ) − f (y )| < ε.
Teorema (continuidade da função composta). Sejam f e g funções com domínios Df e Dg respectivamente, com
g(Dg) ⊂Df. Se g é contínua em x0e f é contínua em y0=g(x0), então h(x ) = f (g(x )) é contínua em x0.