Funções, limite e continuidade
Luciana Borges Goecking
Universidade Federal de Alfenas - Instituto de Ciências Exatas fevereiro - 2013
Definição de função
Uma função f : D 7→ Y é uma lei que associa elementos de um conjunto D, chamado domínio da função, a elementos de um outro conjunto Y , chamado o contradomínio da função.
Em nosso estudo, estaremos interessados tão somente em funções cujos domínios sejam subconjuntos dos números reais, o contradomínio será sempre o mesmo, o conjunto dos números reais.
Definição de função
Uma função f : D 7→ Y é uma lei que associa elementos de um conjunto D, chamado domínio da função, a elementos de um outro conjunto Y , chamado o contradomínio da função.
Em nosso estudo, estaremos interessados tão somente em funções cujos domínios sejam subconjuntos dos números reais, o contradomínio será sempre o mesmo, o conjunto dos números reais.
Terminologia e notação
Denotamos por f (x ) o elemento que uma função associa ao elemento x. Escreve-se:
f : x ∈ D 7→ y = f (x )
Uma função f com domínio D é dita limitada à esquerda ou limitada inferiormente se existe um número A tal que A ≤ f (x ) para todo x ∈ D; e limitada à direita ou limitada superiormente se existe um número B tal que f (x ) ≤ B para todo x ∈ D. Uma função que é limitada à direita e a esquerda ao mesmo tempo é dita, simplesmente, limitada; e isso equivale a dizer que existe um número M tal que |f (x )| ≤ M para todo x ∈ D.
Diz-se que uma função f : D 7→ Y é injetiva ou invertível se x 6= x0⇒ f (x) 6= f (x0)
Isso é o mesmo que afirmar: f (x ) = f (x0) ⇒x = x0; e significa que cada elemento y da imagem de f provém de um único elemento x no domínio de f : y = f (x ). Isso nos permite definir a chamada função inversa da função f , frequentemente
indicada com o símbolo f−1, que leva y ∈ f (D) no elemento x ∈ D tal que f (x ) = y .
Diz-se que uma função f : D 7→ Y é sobrejetiva se f (D) = Y . Toda função injetiva é uma bijeção de D sobre f (D).
Uma função que é ao mesmo tempo injetiva e sobrejetiva tem inversa definida em todo o conjunto Y .
Diz-se que uma função f : D 7→ Y é injetiva ou invertível se x 6= x0⇒ f (x) 6= f (x0)
Isso é o mesmo que afirmar: f (x ) = f (x0) ⇒x = x0; e significa que cada elemento y da imagem de f provém de um único elemento x no domínio de f : y = f (x ). Isso nos permite definir a chamada função inversa da função f , frequentemente
indicada com o símbolo f−1, que leva y ∈ f (D) no elemento x ∈ D tal que f (x ) = y .
Diz-se que uma função f : D 7→ Y é sobrejetiva se f (D) = Y . Toda função injetiva é uma bijeção de D sobre f (D).
Uma função que é ao mesmo tempo injetiva e sobrejetiva tem inversa definida em todo o conjunto Y .
Diz-se que uma função f : D 7→ Y é injetiva ou invertível se x 6= x0⇒ f (x) 6= f (x0)
Isso é o mesmo que afirmar: f (x ) = f (x0) ⇒x = x0; e significa que cada elemento y da imagem de f provém de um único elemento x no domínio de f : y = f (x ). Isso nos permite definir a chamada função inversa da função f , frequentemente
indicada com o símbolo f−1, que leva y ∈ f (D) no elemento x ∈ D tal que f (x ) = y .
Diz-se que uma função f : D 7→ Y é sobrejetiva se f (D) = Y . Toda função injetiva é uma bijeção de D sobre f (D).
Uma função que é ao mesmo tempo injetiva e sobrejetiva tem inversa definida em todo o conjunto Y .
Diz-se que uma função f definida num intervalo é crescente se x < x0 ⇒ f (x) < f (x0); decrescente se x < x0 ⇒ f (x) > f (x0); não-decrescente se x < x0 ⇒ f (x) ≤ f (x0)e não-crescente se x < x0 ⇒ f (x) ≥ f (x0). Em todos esses casos f é chamada função monótona.
Dada uma função f : D 7→ Y e B um subconjunto de Y , define-se f−1(B) (mesmo que f não seja invertível) mediante
f−1(B) = {x ∈ D : f (x ) ∈ B} Então, f−1(Y ) = D e f−1(B) = ∅ se B ∩ f (D) = ∅.
Limite e continuidade
Noções topológicasDiz-se que um ponto x é ponto interior de um dado conjunto C, ou ponto interno a C, se esse conjunto contém um intervalo (a, b), o qual, por sua vez, contém x , isto é, x ∈ (a, b) ⊂ C. Segundo essa definição, todos os elementos de um intervalo aberto são pontos interiores desse intervalo.
O interior de um conjunto C é o conjunto de todos os seus pontos interiores.
O intervalo (a, b) é seu próprio interior; é também o interior do intervalo fechado [a, b].
Diz-se que um conjunto C é aberto se todo ponto de C é interior a C, isto é, se o conjunto coincide com o seu interior.
Limite e continuidade
Noções topológicasDiz-se que um ponto x é ponto interior de um dado conjunto C, ou ponto interno a C, se esse conjunto contém um intervalo (a, b), o qual, por sua vez, contém x , isto é, x ∈ (a, b) ⊂ C. Segundo essa definição, todos os elementos de um intervalo aberto são pontos interiores desse intervalo.
O interior de um conjunto C é o conjunto de todos os seus pontos interiores.
O intervalo (a, b) é seu próprio interior; é também o interior do intervalo fechado [a, b].
Diz-se que um conjunto C é aberto se todo ponto de C é interior a C, isto é, se o conjunto coincide com o seu interior.
Limite e continuidade
Noções topológicasDiz-se que um ponto x é ponto interior de um dado conjunto C, ou ponto interno a C, se esse conjunto contém um intervalo (a, b), o qual, por sua vez, contém x , isto é, x ∈ (a, b) ⊂ C. Segundo essa definição, todos os elementos de um intervalo aberto são pontos interiores desse intervalo.
O interior de um conjunto C é o conjunto de todos os seus pontos interiores.
O intervalo (a, b) é seu próprio interior; é também o interior do intervalo fechado [a, b].
Diz-se que um conjunto C é aberto se todo ponto de C é interior a C, isto é, se o conjunto coincide com o seu interior.
Limite e continuidade
Noções topológicasDiz-se que um ponto x é ponto interior de um dado conjunto C, ou ponto interno a C, se esse conjunto contém um intervalo (a, b), o qual, por sua vez, contém x , isto é, x ∈ (a, b) ⊂ C. Segundo essa definição, todos os elementos de um intervalo aberto são pontos interiores desse intervalo.
O interior de um conjunto C é o conjunto de todos os seus pontos interiores.
O intervalo (a, b) é seu próprio interior; é também o interior do intervalo fechado [a, b].
Diz-se que um conjunto C é aberto se todo ponto de C é interior a C, isto é, se o conjunto coincide com o seu interior.
Vizinhança
Dado ε > 0, o intervalo Vε(a) = (a − ε, a + ε) é chamado uma vizinhança ε de a.
Às vezes interessa considerar uma vizinhança ε de a, excluído o próprio ponto a, a chamada vizinhança perfurada. Vamos denotá-la Vε0(a) :
V ‘ε(a) = Vε(a) − {a} = {x : 0 < |x − a| < ε}
Ponto de acumulação
Diz-se que um número a é ponto de acumulação de um conjunto C se toda vizinhança de a contém infinitos elementos de C. Isto equivale a dizer que toda vizinhança de a contém algum elemento de C diferente de a; ou ainda, dado ε > 0 , Vε0(a) contém algum elemento de C
Vizinhança
Dado ε > 0, o intervalo Vε(a) = (a − ε, a + ε) é chamado uma vizinhança ε de a.
Às vezes interessa considerar uma vizinhança ε de a, excluído o próprio ponto a, a chamada vizinhança perfurada. Vamos denotá-la Vε0(a) :
V ‘ε(a) = Vε(a) − {a} = {x : 0 < |x − a| < ε} Ponto de acumulação
Diz-se que um número a é ponto de acumulação de um conjunto C se toda vizinhança de a contém infinitos elementos de C. Isto equivale a dizer que toda vizinhança de a contém algum elemento de C diferente de a; ou ainda, dado ε > 0 , Vε0(a) contém algum elemento de C
Vizinhança
Dado ε > 0, o intervalo Vε(a) = (a − ε, a + ε) é chamado uma vizinhança ε de a.
Às vezes interessa considerar uma vizinhança ε de a, excluído o próprio ponto a, a chamada vizinhança perfurada. Vamos denotá-la Vε0(a) :
V ‘ε(a) = Vε(a) − {a} = {x : 0 < |x − a| < ε} Ponto de acumulação
Diz-se que um número a é ponto de acumulação de um conjunto C se toda vizinhança de a contém infinitos elementos de C. Isto equivale a dizer que toda vizinhança de a contém algum elemento de C diferente de a; ou ainda, dado ε > 0 , Vε0(a) contém algum elemento de C
Um ponto de acumulação de um conjunto pode ou não pertencer ao conjunto; por exemplo, os extremos a e b de um intervalo aberto (a, b) são pontos de acumulação desse intervalo, mas não pertencem a ele. Todos os pontos do intervalo também são seus pontos de acumulação e pertencem a ele.
Um ponto x de um conjunto C diz-se isolado quando existe ε >0 tal que Vε0(x ) não contém qualquer elemento de C. Chama-se discreto todo conjunto cujos elementos são todos isolados.
Um ponto de acumulação de um conjunto pode ou não pertencer ao conjunto; por exemplo, os extremos a e b de um intervalo aberto (a, b) são pontos de acumulação desse intervalo, mas não pertencem a ele. Todos os pontos do intervalo também são seus pontos de acumulação e pertencem a ele.
Um ponto x de um conjunto C diz-se isolado quando existe ε >0 tal que Vε0(x ) não contém qualquer elemento de C. Chama-se discreto todo conjunto cujos elementos são todos isolados.
Um ponto de acumulação de um conjunto pode ou não pertencer ao conjunto; por exemplo, os extremos a e b de um intervalo aberto (a, b) são pontos de acumulação desse intervalo, mas não pertencem a ele. Todos os pontos do intervalo também são seus pontos de acumulação e pertencem a ele.
Um ponto x de um conjunto C diz-se isolado quando existe ε >0 tal que Vε0(x ) não contém qualquer elemento de C. Chama-se discreto todo conjunto cujos elementos são todos isolados.
Por exemplo, o conjunto A = 1 2, 2 3, 3 4, ..., n n + 1, ...
é discreto, pois seus pontos são todos isolados. Seu único ponto de acumulação é o número 1, que não pertence ao conjunto.
Diz-se que um número x é ponto aderente a C, se qualquer vizinhança de x contém algum elemento de C. Isso significa que x pode ser um elemento de C ou não, mas se não for certamente será ponto de acumulação de C. Não confunda ponto de aderência com ponto de acumulação!
O conjunto dos pontos aderentes a C é chamado o
fecho ou aderência de C, denotado com o símbolo C. Temos que C = C ∪ C0, onde C0 é o conjunto de seus pontos de acumulação.
Exemplo.
1) O fecho do conjunto A visto anteriormente é o conjunto B = A ∪ {1} = 1,1 2, 2 3, 3 4, ..., n n + 1, ...
Diz-se que um número x é ponto aderente a C, se qualquer vizinhança de x contém algum elemento de C. Isso significa que x pode ser um elemento de C ou não, mas se não for certamente será ponto de acumulação de C. Não confunda ponto de aderência com ponto de acumulação!
O conjunto dos pontos aderentes a C é chamado o
fecho ou aderência de C, denotado com o símbolo C. Temos que C = C ∪ C0, onde C0 é o conjunto de seus pontos de acumulação.
Exemplo.
1) O fecho do conjunto A visto anteriormente é o conjunto B = A ∪ {1} = 1,1 2, 2 3, 3 4, ..., n n + 1, ...
Diz-se que um número x é ponto aderente a C, se qualquer vizinhança de x contém algum elemento de C. Isso significa que x pode ser um elemento de C ou não, mas se não for certamente será ponto de acumulação de C. Não confunda ponto de aderência com ponto de acumulação!
O conjunto dos pontos aderentes a C é chamado o
fecho ou aderência de C, denotado com o símbolo C. Temos que C = C ∪ C0, onde C0 é o conjunto de seus pontos de acumulação.
Exemplo.
1) O fecho do conjunto A visto anteriormente é o conjunto B = A ∪ {1} = 1,1 2, 2 3, 3 4, ..., n n + 1, ...
Diz-se que um conjunto é fechado quando ele coincide com o seu fecho, isto é, C = C.
Exemplo. 1) [a, b]
Diz-se que um conjunto é fechado quando ele coincide com o seu fecho, isto é, C = C.
Exemplo. 1) [a, b]
Diz-se que um conjunto é fechado quando ele coincide com o seu fecho, isto é, C = C.
Exemplo. 1) [a, b]
Diz-se que um conjunto é fechado quando ele coincide com o seu fecho, isto é, C = C.
Exemplo. 1) [a, b]
Definição. Dada uma função f com domínio D, seja a um ponto de acumulação de D (que pode ou não pertencer a D). Diz-se que um número L é o limite de f (x ) com x tendendo a a se, dado qualquer ε > 0, existe δ > 0 tal que
x ∈ D, 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x ) − L| < ε .
Para indicar isso escreve-se limx →af (x ) = L,
ou
Definição. Dada uma função f com domínio D, seja a um ponto de acumulação de D (que pode ou não pertencer a D). Diz-se que um número L é o limite de f (x ) com x tendendo a a se, dado qualquer ε > 0, existe δ > 0 tal que
x ∈ D, 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x ) − L| < ε .
Para indicar isso escreve-se limx →af (x ) = L,
ou
Definição. Dada uma função f com domínio D, seja a um ponto de acumulação de D (que pode ou não pertencer a D). Diz-se que um número L é o limite de f (x ) com x tendendo a a se, dado qualquer ε > 0, existe δ > 0 tal que
x ∈ D, 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x ) − L| < ε .
Para indicar isso escreve-se limx →af (x ) = L,
ou
A condição acima pode ainda ser escrita das seguintes três maneiras equivalentes:
x ∈ Vδ0(a) ∩ D ⇒ |f (x ) − L| < ε,
x ∈ Vδ0(a) ∩ D ⇒ L − ε < f (x ) < L + ε,
A definição anterior costuma ser chamada a definição ε − δ de limite.
Sempre que nos referirmos ao limite de uma função com x → a deve-se entender que a é ponto de acumulação do domínio D da função, mesmo que isso não seja dito explicitamente.
A definição anterior costuma ser chamada a definição ε − δ de limite.
Sempre que nos referirmos ao limite de uma função com x → a deve-se entender que a é ponto de acumulação do domínio D da função, mesmo que isso não seja dito explicitamente.
Definição. Diz-se que a função f é contínua no ponto x = a de D se existir o limite de f (x ) com x tendendo a a e esse limite for igual a f (a); e diz-se que f é contínua em seu domínio, ou contínua, simplesmente, se ela for contínua em todos os pontos desse domínio.
Propriedades do limite
Teorema. Se uma função f com domínio D tem limite L com x → a, então |f (x )| tem limite |L|. Em particular, se f é contínua em x = a, então |f (x )| também é contínua nesse ponto, isto é, limx →a|f (x)| = |f (a)|.
Teorema. Se uma função f com domínio D tem limite L com x → a, e se A < L < B, então existe δ > 0 tal que
x ∈ Vδ0(a) ∩ D ⇒ A < f (x ) < B.
Corolário. Se uma função f com domínio D tem limite L com x → a, então existe δ > 0 tal que f (x ) é limitada em Vδ0(a) ∩ D.
Corolário(permanência do sinal). Se uma função f com
domínio D tem limite L 6= 0 com x → a, então existe δ > 0 tal que, x ∈ Vδ0(a) ∩ D ⇒ f (x ) > L/2 se L > 0 e f (x ) < L/2 se L < 0; ou seja, |f (x )| > |L|/2 em ambos os casos.
Propriedades do limite
Teorema. Se uma função f com domínio D tem limite L com x → a, então |f (x )| tem limite |L|. Em particular, se f é contínua em x = a, então |f (x )| também é contínua nesse ponto, isto é, limx →a|f (x)| = |f (a)|.
Teorema. Se uma função f com domínio D tem limite L com x → a, e se A < L < B, então existe δ > 0 tal que
x ∈ Vδ0(a) ∩ D ⇒ A < f (x ) < B.
Corolário. Se uma função f com domínio D tem limite L com x → a, então existe δ > 0 tal que f (x ) é limitada em Vδ0(a) ∩ D. Corolário(permanência do sinal). Se uma função f com domínio D tem limite L 6= 0 com x → a, então existe δ > 0 tal que, x ∈ Vδ0(a) ∩ D ⇒ f (x ) > L/2 se L > 0 e f (x ) < L/2 se L < 0; ou seja, |f (x )| > |L|/2 em ambos os casos.
Propriedades do limite
Teorema. Se uma função f com domínio D tem limite L com x → a, então |f (x )| tem limite |L|. Em particular, se f é contínua em x = a, então |f (x )| também é contínua nesse ponto, isto é, limx →a|f (x)| = |f (a)|.
Teorema. Se uma função f com domínio D tem limite L com x → a, e se A < L < B, então existe δ > 0 tal que
x ∈ Vδ0(a) ∩ D ⇒ A < f (x ) < B.
Corolário. Se uma função f com domínio D tem limite L com x → a, então existe δ > 0 tal que f (x ) é limitada em Vδ0(a) ∩ D. Corolário(permanência do sinal). Se uma função f com domínio D tem limite L 6= 0 com x → a, então existe δ > 0 tal que, x ∈ Vδ0(a) ∩ D ⇒ f (x ) > L/2 se L > 0 e f (x ) < L/2 se L < 0; ou seja, |f (x )| > |L|/2 em ambos os casos.
Propriedades do limite
Teorema. Se uma função f com domínio D tem limite L com x → a, então |f (x )| tem limite |L|. Em particular, se f é contínua em x = a, então |f (x )| também é contínua nesse ponto, isto é, limx →a|f (x)| = |f (a)|.
Teorema. Se uma função f com domínio D tem limite L com x → a, e se A < L < B, então existe δ > 0 tal que
x ∈ Vδ0(a) ∩ D ⇒ A < f (x ) < B.
Corolário. Se uma função f com domínio D tem limite L com x → a, então existe δ > 0 tal que f (x ) é limitada em Vδ0(a) ∩ D. Corolário(permanência do sinal). Se uma função f com domínio D tem limite L 6= 0 com x → a, então existe δ > 0 tal que, x ∈ Vδ0(a) ∩ D ⇒ f (x ) > L/2 se L > 0 e f (x ) < L/2 se L < 0; ou seja, |f (x )| > |L|/2 em ambos os casos.
Teorema. Se duas funções f e g com o mesmo domínio D têm limites com x → a, então
a) f (x ) + g(x ) tem limite e lim[f (x ) + g(x )] = lim f (x ) + lim g(x ); b) sendo k constante, kf (x ) tem limite e lim[kf (x )] = k . lim f (x );
c) f(x)g(x) tem limite e lim[f (x )g(x )] = lim f (x ) lim g(x );
d) se, além das hipóteses feitas, lim g(x ) 6= 0, então f (x )/g(x ) tem limite e lim f (x )
g(x ) =
lim f (x ) lim g(x ).
Teorema. Se duas funções f e g com o mesmo domínio D têm limites com x → a, então
a) f (x ) + g(x ) tem limite e lim[f (x ) + g(x )] = lim f (x ) + lim g(x ); b) sendo k constante, kf (x ) tem limite e lim[kf (x )] = k . lim f (x ); c) f(x)g(x) tem limite e lim[f (x )g(x )] = lim f (x ) lim g(x );
d) se, além das hipóteses feitas, lim g(x ) 6= 0, então f (x )/g(x ) tem limite e lim f (x )
g(x ) =
lim f (x ) lim g(x ).
Teorema. Se duas funções f e g com o mesmo domínio D têm limites com x → a, então
a) f (x ) + g(x ) tem limite e lim[f (x ) + g(x )] = lim f (x ) + lim g(x ); b) sendo k constante, kf (x ) tem limite e lim[kf (x )] = k . lim f (x ); c) f(x)g(x) tem limite e lim[f (x )g(x )] = lim f (x ) lim g(x );
d) se, além das hipóteses feitas, lim g(x ) 6= 0, então f (x )/g(x ) tem limite e lim f (x )
g(x ) =
lim f (x ) lim g(x ).
Teorema. Se duas funções f e g com o mesmo domínio D têm limites com x → a, então
a) f (x ) + g(x ) tem limite e lim[f (x ) + g(x )] = lim f (x ) + lim g(x ); b) sendo k constante, kf (x ) tem limite e lim[kf (x )] = k . lim f (x ); c) f(x)g(x) tem limite e lim[f (x )g(x )] = lim f (x ) lim g(x );
d) se, além das hipóteses feitas, lim g(x ) 6= 0, então f (x )/g(x ) tem limite e lim f (x )
g(x ) =
lim f (x ) lim g(x ).
Teorema. Se duas funções f e g com o mesmo domínio D têm limites com x → a, então
a) f (x ) + g(x ) tem limite e lim[f (x ) + g(x )] = lim f (x ) + lim g(x ); b) sendo k constante, kf (x ) tem limite e lim[kf (x )] = k . lim f (x ); c) f(x)g(x) tem limite e lim[f (x )g(x )] = lim f (x ) lim g(x );
d) se, além das hipóteses feitas, lim g(x ) 6= 0, então f (x )/g(x ) tem limite e lim f (x )
g(x ) =
lim f (x ) lim g(x ).
Corolário. Se f e g são funções contínuas em x = a, então são também contínuas em x = a as funções f + g, fg e kf , onde k é uma constante qualquer; e é também contínua em x = a a função f /g, desde que g(a) 6= 0.
Teorema. Uma condição necessária e suficiente para que uma função f com domínio D tenha limite L com x → a é que, para toda sequência xn∈ D − {a}, xn→ a se tenha f (xn) →L. Em
particular, f é contínua num ponto a se, e somente se, para toda sequência xn∈ D − {a} , xn→ a, se tenha f (xn) →f (a).
Corolário. Uma condição necessária e suficiente para que uma função f com domínio D tenha limite com x → a é que f (xn)tenha limite, qualquer que seja a sequência
Corolário. Se f e g são funções contínuas em x = a, então são também contínuas em x = a as funções f + g, fg e kf , onde k é uma constante qualquer; e é também contínua em x = a a função f /g, desde que g(a) 6= 0.
Teorema. Uma condição necessária e suficiente para que uma função f com domínio D tenha limite L com x → a é que, para toda sequência xn∈ D − {a}, xn→ a se tenha f (xn) →L. Em particular, f é contínua num ponto a se, e somente se, para toda sequência xn∈ D − {a} , xn→ a, se tenha f (xn) →f (a). Corolário. Uma condição necessária e suficiente para que uma função f com domínio D tenha limite com x → a é que f (xn)tenha limite, qualquer que seja a sequência
Corolário. Se f e g são funções contínuas em x = a, então são também contínuas em x = a as funções f + g, fg e kf , onde k é uma constante qualquer; e é também contínua em x = a a função f /g, desde que g(a) 6= 0.
Teorema. Uma condição necessária e suficiente para que uma função f com domínio D tenha limite L com x → a é que, para toda sequência xn∈ D − {a}, xn→ a se tenha f (xn) →L. Em particular, f é contínua num ponto a se, e somente se, para toda sequência xn∈ D − {a} , xn→ a, se tenha f (xn) →f (a). Corolário. Uma condição necessária e suficiente para que uma função f com domínio D tenha limite com x → a é que f (xn)tenha limite, qualquer que seja a sequência
Teorema (critério de convergência de Cauchy). Uma condição necessária e suficiente para que uma função f (x ) com domínio D tenha limite com x → a é que, dado qualquer ε >0, exista δ > 0 tal que
x , y ∈ Vδ0(a) ∩ D ⇒ |f (x ) − f (y )| < ε.
Teorema (continuidade da função composta). Sejam f e g funções com domínios Df e Dg respectivamente, com
g(Dg) ⊂Df. Se g é contínua em x0e f é contínua em
Teorema (critério de convergência de Cauchy). Uma condição necessária e suficiente para que uma função f (x ) com domínio D tenha limite com x → a é que, dado qualquer ε >0, exista δ > 0 tal que
x , y ∈ Vδ0(a) ∩ D ⇒ |f (x ) − f (y )| < ε.
Teorema (continuidade da função composta). Sejam f e g funções com domínios Df e Dg respectivamente, com
g(Dg) ⊂Df. Se g é contínua em x0e f é contínua em y0=g(x0), então h(x ) = f (g(x )) é contínua em x0.
Limites laterais e funções monótonas
Seja f uma função cujo domínio D só contenha pontos à direita de um ponto x = a, que seja ponto de acumulação de D, então o limite de f (x ) com x → a, se existir, será um limite à direita. Ao contrário, se D só contiver pontos à esquerda de x = a, o limite de f (x ) com x → a, se existir, será um limite à esquerda. Esses limites são indicados com os símbolos
lim x →a+ ou f (a+) e lim x →a− ou f (a−) respectivamente.
Diz-se que f é contínua à direita (resp. à esquerda) em x = a se f está definida nesse ponto, onde seu limite à direita (resp. à esquerda) é f (a).
Exemplo. Dada f (x ) = x /|x |, tem-se limx →0+
x
|x| =f (0+) = 1 e limx →0− x
|x| =f (0−) = −1
Ela será contínua à direita em x = 0 se definirmos f (0) = 1; e será contínua à esquerda nesse mesmo ponto se pusermos f (0) = −1
Teorema. Seja f uma função monótona e limitada, definida num intervalo I, do qual x = a é ponto de acumulação à esquerda ou à direita. Então f (x ) tem limite com x → a− ou x → a+, respectivamente.
Diz-se que f é contínua à direita (resp. à esquerda) em x = a se f está definida nesse ponto, onde seu limite à direita (resp. à esquerda) é f (a).
Exemplo. Dada f (x ) = x /|x |, tem-se limx →0+
x
|x| =f (0+) = 1 e limx →0− x
|x| =f (0−) = −1
Ela será contínua à direita em x = 0 se definirmos f (0) = 1; e será contínua à esquerda nesse mesmo ponto se pusermos f (0) = −1
Teorema. Seja f uma função monótona e limitada, definida num intervalo I, do qual x = a é ponto de acumulação à esquerda ou à direita. Então f (x ) tem limite com x → a− ou x → a+, respectivamente.
Diz-se que f é contínua à direita (resp. à esquerda) em x = a se f está definida nesse ponto, onde seu limite à direita (resp. à esquerda) é f (a).
Exemplo. Dada f (x ) = x /|x |, tem-se limx →0+
x
|x| =f (0+) = 1 e limx →0− x
|x| =f (0−) = −1
Ela será contínua à direita em x = 0 se definirmos f (0) = 1; e será contínua à esquerda nesse mesmo ponto se pusermos f (0) = −1
Teorema. Seja f uma função monótona e limitada, definida num intervalo I, do qual x = a é ponto de acumulação à esquerda ou à direita. Então f (x ) tem limite com x → a− ou x → a+, respectivamente.
Teorema. Uma condição necessária e suficiente para que uma função seja contínua num ponto a de seu domínio, que seja ponto de acumulação à direita e à esquerda desse domínio, é que os limites laterais da função existam nesse ponto e sejam ambos iguais a f (a).
Teorema. Seja f uma função com domínio D, f (x ) 6= 0. Se f (x ) → 0+ com x → a, então 1/f (x ) → +∞ com x → a; e se f (x ) → 0− com x → a, então 1/f (x ) → −∞ com x → a. Teorema. Suponhamos que f (x ) → A e g(x ) → B com x → +∞. Então, com x → +∞,
a) f (x ) + g(x ) → A + B;
b) sendo k constante, kf (x ) → kA; c) f (x )g(x ) → AB;
Teorema. Uma condição necessária e suficiente para que uma função seja contínua num ponto a de seu domínio, que seja ponto de acumulação à direita e à esquerda desse domínio, é que os limites laterais da função existam nesse ponto e sejam ambos iguais a f (a).
Teorema. Seja f uma função com domínio D, f (x ) 6= 0. Se f (x ) → 0+ com x → a, então 1/f (x ) → +∞ com x → a; e se f (x ) → 0− com x → a, então 1/f (x ) → −∞ com x → a. Teorema. Suponhamos que f (x ) → A e g(x ) → B com x → +∞. Então, com x → +∞,
a) f (x ) + g(x ) → A + B;
b) sendo k constante, kf (x ) → kA; c) f (x )g(x ) → AB;
Teorema. Uma condição necessária e suficiente para que uma função seja contínua num ponto a de seu domínio, que seja ponto de acumulação à direita e à esquerda desse domínio, é que os limites laterais da função existam nesse ponto e sejam ambos iguais a f (a).
Teorema. Seja f uma função com domínio D, f (x ) 6= 0. Se f (x ) → 0+ com x → a, então 1/f (x ) → +∞ com x → a; e se f (x ) → 0− com x → a, então 1/f (x ) → −∞ com x → a. Teorema. Suponhamos que f (x ) → A e g(x ) → B com x → +∞. Então, com x → +∞,
a) f (x ) + g(x ) → A + B;
b) sendo k constante, kf (x ) → kA; c) f (x )g(x ) → AB;
Teorema. a) Se f (x ) → +∞ com x → a, e se g(x ) > k , então f (x ) + g(x ) → +∞ com x → a. Além disso, se k > 0,
Funções contínuas em intervalos fechados
Teorema do Valor Intermediário. Seja f uma função contínua num intervalo I = [a, b], com f (a) 6= f (b). Então, dado qualquer número d compreendido entre f (a) e f (b), existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = d . Em outras palavras, f (x ) assume todos os valores compreendidos entre f (a) e f (b), com x variando em (a, b).
Lema. Toda função contínua num intervalo limitado e fechado I = [a, b] é limitada nesse intervalo.
Funções contínuas em intervalos fechados
Teorema do Valor Intermediário. Seja f uma função contínua num intervalo I = [a, b], com f (a) 6= f (b). Então, dado qualquer número d compreendido entre f (a) e f (b), existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = d . Em outras palavras, f (x ) assume todos os valores compreendidos entre f (a) e f (b), com x variando em (a, b).
Lema. Toda função contínua num intervalo limitado e fechado I = [a, b] é limitada nesse intervalo.
Teorema. Toda função contínua num intervalo limitado e fechado I = [a, b] assume valores máximo e mínimo nesse intervalo.
Teorema. Se f é uma função contínua num intervalo limitado e fechado I = [a, b]. Então f (I) também é um intervalo limitado e fechado [m, M](que pode se reduzir a um ponto), onde m e M são os valores mínimos e máximos, respectivamente, da função f .
Teorema. A imagem de qualquer intervalo por uma função contínua f é um intervalo (que pode se reduzir a um ponto).
Teorema. Toda função f , contínua e injetiva num intervalo I, é
crescente ou decrescente. Sua inversa g, definida em J = f (I), também é contínua.
Teorema. Toda função contínua num intervalo limitado e fechado I = [a, b] assume valores máximo e mínimo nesse intervalo.
Teorema. Se f é uma função contínua num intervalo limitado e fechado I = [a, b]. Então f (I) também é um intervalo limitado e fechado [m, M](que pode se reduzir a um ponto), onde m e M são os valores mínimos e máximos, respectivamente, da função f .
Teorema. A imagem de qualquer intervalo por uma função contínua f é um intervalo (que pode se reduzir a um ponto). Teorema. Toda função f , contínua e injetiva num intervalo I, é crescente ou decrescente. Sua inversa g, definida em J = f (I), também é contínua.
Teorema. Toda função contínua num intervalo limitado e fechado I = [a, b] assume valores máximo e mínimo nesse intervalo.
Teorema. Se f é uma função contínua num intervalo limitado e fechado I = [a, b]. Então f (I) também é um intervalo limitado e fechado [m, M](que pode se reduzir a um ponto), onde m e M são os valores mínimos e máximos, respectivamente, da função f .
Teorema. A imagem de qualquer intervalo por uma função contínua f é um intervalo (que pode se reduzir a um ponto). Teorema. Toda função f , contínua e injetiva num intervalo I, é crescente ou decrescente. Sua inversa g, definida em J = f (I), também é contínua.
Teorema. Toda função contínua num intervalo limitado e fechado I = [a, b] assume valores máximo e mínimo nesse intervalo.
Teorema. Se f é uma função contínua num intervalo limitado e fechado I = [a, b]. Então f (I) também é um intervalo limitado e fechado [m, M](que pode se reduzir a um ponto), onde m e M são os valores mínimos e máximos, respectivamente, da função f .
Teorema. A imagem de qualquer intervalo por uma função contínua f é um intervalo (que pode se reduzir a um ponto). Teorema. Toda função f , contínua e injetiva num intervalo I, é crescente ou decrescente. Sua inversa g, definida em J = f (I), também é contínua.
