2.3 Prova de Expansividade
2.3.3 Prova do Teorema de Expansividade para o Futuro
A prova do Teorema ´e dividida em trˆes etapas, a saber:
• A primeira, ´e mostrar que a cada retorno xj da ´orbita de x para Σ corresponde um
retorno pr´oximo yj da ´orbita de y para Σ. Isso ´e feito no Lema 2.3.3.
• A segunda, ´e mostrar que existe um mapa de Poincar´e suave, com tempo grande, definido em toda faixa de Σ entre as variedades est´aveis de xj e yj.
• E por ´ultimo, mostrar que esses mapas de Poincar´e s˜ao uniformemente hiperb´olicos, em particular, eles expandem cu-curvas uniformemente.
Por uma cu-curva em Σ entende-se uma curva γ contida na se¸c˜ao transversal Σ e cuja dire¸c˜ao tangente Tzγ ⊂ Cρu(z) para todo z ∈ γ.
Lema 2.3.4. Dado ǫ0 > 0 existe δ > 0 tal que se x∈ Σδ e y∈ Λ satisfazem:
a) ∃ τj tal que xj = Xτj(x)∈ Σδ e τj − τj−1 > max{t1, t2} para todo j ≥ 1;
b) d(Xt(x), Xh(t)) < δo para todo t > 0 e algum h∈ K
ent˜ao ∃ K > 0 tal que existe uma sequˆencia (νj)j≥0 tal que
• | νj − h(τj)|< Kδ0;
• d(xj, yj) < Kδ0.
Prova: : J´a temos que dist(Xt(x), Xh(t)(y)) < δ0∀t > 0 e algum h ∈ K. Suponha que
dist(Xτj(x), Xh(τj)(y)) < Kδ0, por (2.2) temos que xj = Xτj(x)∈ Σδ, assim Xh(τj)(y) = yj
est´a perto de Σ.
Por uma caixa de fluxo, considere ǫj ∈ (−Kδ0, Kδ0), portanto Xǫj(y) ∈ Σ para
algum ǫj ∈ (−Kδ0, Kδ0). Fazendo νj = h(τj) + ǫj temos:
1. yj = Xνj(y)∈ Σ∀j ≥ 0;
2. | νj − h(τj)|=| h(τj) + ǫj− h(τj)|=| ǫj |< Kδ0 e
3. d(xj, yj) = d(Xτj(x), Xνj(y)) = d(Xτj(x), Xh(τj)+ǫj(y)) = d(Xτj(x), Xh(τj)(Xǫj(y))) <
Kδ0+|ǫj| < Kδ0+ Kδ0 < Kδ0.
Figura 2.10: Caixa de fluxo
Agora, vamos provar que existe mapa de Poincar´e suave com tempo grande defi- nido em toda faixa de Σ entre as variedades est´aveis de xj e yj; denotada por Σj
Para cada j escolha γj ⊂ Σ uma cu-curva transversal a folhea¸c˜ao est´avel Σ
yj respectivamente. Como dist(Xt(x), Xh(t)(y)) < δ0∀t ∈ R ent˜ao dist(Xt(x), Xh(t)(y)) <
δ0∀t ∈ [tj, tj+1].
Lembrando que para Σ se¸c˜ao δ-adaptada existem mapas de Poincar´e Rj tais que
Rj(Wǫs(xj, Σ))⊂ Wsǫ(Rj(xj), Σ)
e
Rj(Wǫs(yj, Σ))⊂ Wǫs(Rj(yj), Σ),
assim, para mostrar a existˆencia de um mapa de Poincar´e, basta provar que existe um mapa de Poincar´e definido em γj ⊂ Σ.
Tomar δ0 menor que o raio de injetividade do mapa exponencial da variedade
ambiente, isto ´e, a parametriza¸c˜ao da geod´esica exp : TxM → M ´e invers´ıvel na δ0 vizi-
nha¸ca de x em M para qualquer ponto x∈ M , ent˜ao existe uma ´unica geod´esica ligando cada Xt(x) para Xh(t)(y) e varia continuamente com t. Usando essas geod´esicas podemos
deformar a curva γj∪ [yj, yj+1]∪ γj+1 na curva [xj, xj+1]. Al´em disso tal deforma¸c˜ao tem
derivada injetiva. Segue-se que h´a uma imers˜ao suave
φ : [0, 1]× [0, 1] → M
tal que
φ({0} × [0, 1]) = γj φ([0, 1]× {1}) = [yj, yj+1]
φ({1} × [0, 1]) = γj+1 φ([0, 1]× {0}) = [xj, xj+1].
Al´em disso Sj = φ([0, 1]× [0, 1]), que ´e uma superf´ıcie imersa cuja fronteira ´e formada
por γj,γj+1 e os segmentos de ´orbita [xj, xj+1] e [yj, yj+1], pode ser escolhido tal que
• Todos os pontos de Sj est˜ao a uma distˆancia inferior a δ1 do segmento de ´orbita
[xj, xj+1], para alguma constante uniforme δ0 com δ1 > δ0, que podem ser tomadas
arbitrariamente pr´oximas de zero, reduzindo se necess´ario, ver figura 2.11.
• A interse¸c˜ao de Sj com uma se¸c˜ao transversal de qualquer singularidade, denotadas
por Σ0,± e Σi,±, ´e transversal a folhe¸c˜ao est´avel correspondente, ver figura 2.11.
Em seguida, defina Tj como a uni˜ao das variedades est´aveis locais atrav´es de
pontos de Sj, isto ´e, Tj =Sx∈SjWǫss(x).Ver figura 2.11.
Proposi¸c˜ao 2.3.5. O dominio Tj n˜ao cont´em singularidades do fluxo.
Prova: : Por constru¸c˜ao, todo ponto deTj est´a h´a uma distˆancia menor ou igual a ǫ de
Sj e, consequentemente, `a distˆancia menor ou igual a ǫ + δ1 de [xj, xj+1]. Assim, tendo ǫ
e δ0 muito menor que os tamanhos das se¸c˜oes transversais associadas `as singularidades,
Figura 2.11: Constru¸c˜ao de mapas de Poincar´e entre variedades est´aveis
qualquer singularidade. Assim, quando o segmento de ´orbita [xj, xj+1] n˜ao intersecta
se¸c˜ao transversal na vizinhan¸ca de alguma singularidade a prova est´a conclu´ıda.
No caso geral devemos analisar as interse¸c˜oes do tubo com as caixas de fluxo associadas `as singularidades. Uma observa¸c˜ao importante ´e o lema seguinte.
Lema 2.3.6. Suponha [xj, xj+1] intersecta uma se¸c˜ao transversal Σi,±k de alguma singu-
laridade σk em ˆx com d(ˆx, ∂Σi,±k ) > δ. Ent˜ao
(1) [yj, yj+1] intersecta Σi,±k em algum ˆy com d(ˆx, ˆy) < Kδ0 e al´em disso
(2) ˆx e ˆy est˜ao em alguma componente conexa de Σi,±k \Ws loc(σk).
Prova: : A prova do item (1) ´e an´aloga a prova do Lema 2.3.4, j´a temos que dist(Xt(x), Xh(t)(y)) <
δ0∀t > 0 e algum h ∈ K suponha agora que d(Xr0(x), Xh(r0)(y)) < Kδ0, como Xr0(x) =
ˆ
x ∈ Σi,±k temos que Xh(r0)(y) est´a perto de Σ
i,±
k utilizando uma caixa de fluxo em uma
vizinhan¸ca de Σi,±k obtemos Xǫ(Xh(r0)(y)) ∈ Σ
i,±
k para algum ǫ ∈ (−Kδ0, Kδ0). Fazendo
s0 = h(r0) + ǫ temos: ˆ x = Xr0(x), ˆy = Xs0(y)∈ Σ i,± k com |s0− h(r0)| < Kδ0 ⇓
[yj, yj+1] intersecta Σi,±k em ˆy com d(ˆx, ˆy) < Kδ0.
A prova do item (2) ´e por contradi¸c˜ao. Sejam ˜x = Xr1(x) e ˜y = Xs1(y) pontos associados
a ˆx e ˆy respectivamente tais que as duas ´orbitas deixam a caixa de fluxo associado `a singularidade σk, ent˜ao ˜x e ˜y pertencem a diferentes sa´ıdas da se¸c˜ao transversal de σk,
1. Suponha que h(r1) > s1, note que s1 ≫ s0 e s0 ≈ h(r0) pois tomamos s0 = h(r0) + ǫ,
portanto
s1 ≫ s0 ≈ h(r0)
⇓
h(r1) > s1 > h(r0)
segue-se que existe t ∈ (r0, r1) tal que h(t) = s1, como h ´e cont´ınua n˜ao decrescente
Xt(x) est´a de um lado da caixa de fluxo de σk, enquanto que Xh(t)(y) pertence `a
sa´ıda da se¸c˜ao transversal, no outro lado da caixa de fluxo, ver figura 2.12. Assim, dist(Xt(x), Xh(t)(y)) tem a ordem de grandeza do diˆametro da caixa de fluxo, que
podemos supor muito maior que δ0. O que ´e uma Contradi¸c˜ao.
2. Suponha agora que h(r1) ≤ s1, lembremos que Xh(r0)(y) est´a pr´oximo de ˆy, pois
s0 = h(r0) + ǫ, perto da se¸c˜ao transversal, de modo que o segmento de ´orbita inteiro
de Xh(r0)(y) para Xs1(y) est´a contido na caixa de fluxo. Como
s0 ≈ h(r0) < h(r1)≤ s1
como h ´e cont´ınua n˜ao decrescente, o segmento de ´orbita cont´em Xh(r1)(y), entretanto,
Xr1(x) pertence a sa´ıda da se¸c˜ao tansversal no lado oposto da caixa de fluxo, ver figura
2.12. Assim, como anteriormente dist(Xr1(x), Xh(r1)(y)) tem a ordem de grandeza do
diˆametro da caixa de fluxo, que mais uma vez pode ser tomado muito maior que δ0.
Isto ´e uma Contradi¸c˜ao, o que completa a prova do Lema 2.3.6.
Valtando a prova da proposi¸c˜ao. Recordemos que por constru¸c˜ao a interse¸c˜ao de Sj com a se¸c˜ao Σi,± ´e transversal `a folhea¸c˜ao est´avel correspondente, ver figura 2.13.
Pelo Lema anterior esta interse¸c˜ao est´a inteiramente contida em uma componente conexa de Σi,±\Ws
loc(σk). Desde que Tj consiste de variedades est´aveis locais de pontos de Sj
sua interse¸c˜ao com Σi,± est´a contida na regi˜ao delimitada pelas variedades Ws(ˆx, Σi,±) e
Ws(ˆy, Σi,±). Por isso inteiramente contida em uma componente conexa de Σi,±\Ws loc(σk).
Repetindo esse argumento para cada interse¸c˜ao do tubo Tj com uma vizinha¸ca
de alguma singularidade, conclu´ımos a prova da Proposi¸c˜ao 2.3.5 .
O pr´oximo passo ´e mostrar que a ´orbita futura de cada ponto z ∈ Tj deixa o tubo
em tempo finito. Precisamos fazer a seguinte hip´otese:
Hip´otese 2.3.7 (H). Sj = φ([0, 1]×[0, 1]) ´e um disco mergulhado e as variedades est´aveis
Ws
Figura 2.12: Interse¸c˜ao em mesma componente conexa
Com isso, est´a bem definida a proje¸c˜ao cont´ınua π : Tj → Sj atribuindo a cada
z ∈ Tj um ´unico ξ ∈ Sj cuja variedade forte est´avel local que cont´em z. Seja Yt(ξ) =
π(Xt(ξ)) fluxo induzido por Xt em Sj n˜ao necessariamente completo, definido para maior
intervalo de tempo t, tal que [xj, xj+1] e [yj, yj+1] s˜ao ´orbitas de Yt.
Por continuidade, para qualquer subconjunto E de Sj a uma distˆancia positiva
de ∂Sj existe ǫ > 0 tal que Yt(ξ) est´a definido para qualquer ξ ∈ E e t ∈ [0, ǫ]. Ent˜ao
como consequˆencia temos a seguinte propriedade
(P) Dado qualquer subconjunto E de Sj a uma distˆancia poistiva de γj+1, existe ǫ > 0
tal que Yt(ξ) est´a definido para todo ξ ∈ E e t ∈ [0, ǫ].
A Hip´otese acima pode ser removida desde que lembremos que φ : [0, 1]× [0, 1] → M ´e uma imers˜ao, ent˜ao neste caso podemos definir o fluxo Yt em [0, 1]× [0, 1] ao inv´es
de Sj da seguinte maneira: Dado qualquer w ∈ [0, 1] × [0, 1] existe U vizinhan¸ca de
w e V vizinhan¸ca de φ(w) tal que φ : U → V ´e um difeomorfismo. Escolhendo V suficientemente pequeno, Wss
ǫ (ξ) intersecta V apenas em ξ. Temos ent˜ao, bem definido
a proje¸c˜ao π :Sξ∈V Wss
ǫ (ξ)→ V que a cada z ∈
S
ξ∈V Wssǫ (ξ) associa um ´unico elemento
de V cuja variedade est´avel cont´em z. Podemos ent˜ao definir Yt(w) para t pequeno por
Yt(w) = φ−1(π(Xt(φ(w)))); como antes podemos estender Yt a um dom´ınio m´aximo. Isso
define um fluxo em [0, 1]× [0, 1] tal que [0, 1] × {i} e {i} × [0, 1] s˜ao trajet´orias.
Afirma¸c˜ao 2.3.8. Uma singularidade σ para Yt corresponde a uma singularidade de X
na variedade forte est´avel de σ em M .
De fato, pois Yt(σ) = σ ⇒ π(Xt(σ)) = σ ⇒ Xt(σ) = σ visto que π ´e definido
como . O mesmo para Yt(w) = φ−1(π(Xt(φ(w)))), pois Yt(σ) = σ ⇒ φ−1(π(Xt(φ(σ)))) =
σ⇒ π(Xt(φ(σ))) = φ(σ) ⇒ Xt(φ(σ)) = φ(σ)⇒ φ(σ) ´e singularidade para X.
△ Note que as trajet´orias dos pontos de{0}×[0, 1] entram no quadrado. Portanto, a ´
unica maneira das trajet´orias sa´ırem ´e atrav´es de{1}×[0, 1], assim teremos a reformula¸c˜ao da propriedade (P).
(P) Dado qualquer subconjunto E de [0, 1]×[0, 1] a uma distˆancia poistiva de {1}×[0, 1], existe ǫ > 0 tal que Yt(w) est´a definido para todo w∈ E e t ∈ [0, ǫ].
Proposi¸c˜ao 2.3.9. Dado qualquer ponto z ∈ Tj existe t > 0 tal que Xt(z) /∈ Tj.
Prova: : A prova ´e por contradi¸c˜ao. Primeiro assuma a hip´otese (H) e suponha que existe z ∈ Tj tal que Xt(z)∈ Tj para todo t≥ 0. Seja z0 = π(z), ent˜ao Yt(z0) est´a definido
para todo t≥ 0 assim faz sentido ω(z0). Yt(z0) n˜ao pode acumular em γj+1, caso contr´ario
Yt(z0) n˜ao estaria definido para todo t≥ 0. Como M ´e compacto, temos que ω(z0) ´e um
subconjunto compacto de Sj, e est´a a uma distˆancia positiva de γj+1. Pela propriedade
(P) temos que exite ǫ > 0 tal que Yt(w) est´a definido para todo t∈ [0, ǫ] e todo w ∈ ω(z0),
j´a que ω(z0) ´e invariante, podemos estender Yt para todo R. Pelo Teorema de Poincar´e
Bendixson temos que ω(z0) s´o poder´a ser formado por um ´unica ´orbita fechada, visto
que o tubo n˜ao tem singularidades. Considere o disco D ⊂ Sj delimitado pela ´orbita
de w0 ∈ ω(z0), aplicando o Teorema de Poincar´e sucessivamente conclu´ımos que Yt tem
alguma singularidade σ no interior de D, o que implica que Xt tem uma singularidade
na variedade est´avel local, contrariando a Proposi¸c˜ao 2.3.5. Esta contradi¸c˜ao completa a prova da proposi¸c˜ao 2.3.9, sob hip´otese (H). O caso geral e feito da mesma maneira, lidando apenas com o fluxo induzido em [0, 1]× [0, 1] em vez de Sj.
At´e aqui, mostramos que toda ´orbita do fluxo induzido Yt em Sj deve eventual-
mente cruzar γj+1 ent˜ao existe mapa de Poincar´e cont´ınuo
r : γj → γj+1
ξ 7→ Yθ(ξ)(ξ).
Agora vamos deduzir que toda Xt-´orbita deixa Tj atrav´es de Σj+1, o que prova
que Rj est´a definido em Σj.
Seja γ uma curva centro inst´avel em Σδ(Σδ= ) conectando W(xj, Σ) e W(yj, Σ).
Para cada z∈ γ seja t(z) o menor tempo tal que Xt(z) est´a na fronteira de Tj.
Observa¸c˜ao 2.3.10. Cada Xt(ξ)(ξ) ∈ Ws(Yt(z)(π(z))).
Observa¸c˜ao 2.3.11. Para{ξ} = γ ∩ Ws(x
j, Σ) temos Yt(ξ) = Xt(ξ) e assim t(ξ) = θ(ξ),
assim Xt(z)(ξ) s´o sai de Tj por γj+1
Precisamos provar agora que qualquer ponto de γ, por Xt, tamb´em deixa o tubo,
Tj, por γj+1.
Tome z ∈ γ perto de ξ, por continuidade Xt-trajet´oria de z e ξ mant´em-se
pr´oximas e por contra¸c˜ao, Xt-trajet´orias de ξ mantˆem-se pr´oximas de [xj, xj+1]. Note que
a ´orbita de z n˜ao deixa o tubo atrav´es da uni˜ao de variedades forte est´aveis passando por [xj, xj+1], pois se assim fosse, contrariaria a defini¸c˜ao de Yt. Portanto, Xt(z) deixa o tubo
atrav´es de Σj+1.
Considere agora, ˆγ ⊂ γ o maior subconjunto conexo contendo ξ tal que Xt(z)(z)∈
Σj+1 para todo z ∈ ˆγ. Para concluir que toda Xt-´orbita dexa Tj atrav´es de Σj+1, preci-
Figura 2.14: Mapa de Poincar´e definido com o fluxo induzido
Afirma¸c˜ao 2.3.12. ˆγ = γ
A prova ´e por contradi¸c˜ao. Suponha que ˆγ n˜ao ´e igual a toda γ, tome ent˜ao ˆx∈ ˆγ diferente de ξ tal que ˜x = Xt(ˆx)(ˆx) pertence a fronteira centro inst´avel de Σj+1, ver figura
2.13. Como a aplica¸c˜ao DR manda cone inst´avel em cone inst´ave e ˜γ ={Xt(z)(z), z ∈ ˆγ}
´e uma cu-curva, temos uma contradi¸c˜ao. △
Figura 2.15: .
Concluindo ent˜ao que Xt(z)(z)∈ Σj+1 para z ∈ γ.
Para finalizar a demonstra¸c˜ao do Teorema de Expansividade para o Futuro pre- cisamos provar o lema seguinte, que afirma que cu-curvas ligando as folhas est´aveis de
pontos pr´oximos deve ser curta.
Lema 2.3.13. Suponhamos ρ suficientemente pequeno. Ent˜ao existe uma constante k tal que, para qualquer par de pontos x, y∈ Σ e qualquer cu-curva γ ligando x a algum ponto de Ws(y, Σ) temos
l(γ) ≤ k.d(x, y).
Onde l representa o comprimento da curva e d ´e a distˆancia intrinsica da superf´ıcie Σ.
Prova: : Como a se¸c˜ao Σ ´e de classe C2, podemos considerar as coordenadas em Σ
para que o ponto regular x corresponda `a origem e o espa¸co Ecu
Σ(x) corresponda ao eixo
vertical, identificando assim a se¸c˜ao Σ com um subconjunto do seu espa¸co tangente em x, dotado da m´etrica euclidiana. Por hip´otese, γ ´e uma cu-curva, ent˜ao est´a contida em um cone de largura c1ρ centrado em x. Portanto, ver figura, que o comprimento de γ ´e
delimitado por c2d(x, y). Tome k = c2.
Em particular, como fixamos t1 na proposi¸c˜ao 2.1.6 tal que λ < 13, temos que o
espa¸co Ecu
Σ expande por fator trˆes, maior que um.
J´a provamos que o mapa de Poincar´e Rj est´a bem definido na faixa entre va-
riedades est´aveis de xj e yj dentro de Σ, al´em disso Rj ´e hiperb´olico e o comprimento
da cu-curva ´e expandido por fator trˆes, maior que um. Isso contradiz a condi¸c˜ao b) do teorema pois dist(Xt(x), Xh(t)(y)) acabar´a por se tornar maior que kδ0; assim, yj = Xνj
deve estar na variedade est´avel Ws(x
j = Xτj(x), Σ).
Figura 2.16: Expans˜ao
Como Xh(τj)(y) est´a na ´orbita de yj e a variedade forte-est´avel ´e localmente
invariante temos que
Xh(τj)(y)∈ W
s
xj. (2.3)
Desde a observa¸c˜ao 2.1.4 tomamos se¸c˜oes transversais tais que (Ws, Σ) ⊂ Wss ǫ (x),
De acordo com o Lema 2.3.4. |νj− h(τj)| < kδ0, ent˜ao o segmento de ´orbita Oy =
X[νj−kδ0,νj+kδ0](y) cont´em Xh(τj)(y), que por sua vez, est´a na vizinha¸ca de yj ∈ W
ss ǫ (x),
assim a interse¸c˜ao da variedade forte-est´avel local de x com o segmento de ´orbita Oy ´e
difente do vazio.
Agora, seja ǫ0 > 0 dado, considere o segmento de ´orbita Ox = X[τj−ǫ0,τj+ǫ0](x) e
o segmento de ´orbita de x cuja variedade forte-est´avel intersecta Oy,
Oxy ={Xs(x) :∃t ∈ [νj− kδ0− t, νj+ kδ0+ t] tal que Xt(y)∈ Wssǫ (Xs(x))}.
Portanto, como yj ∈ Ws(xj) temos que Oxy ´e vizinha¸ca de xj, que pode ser
tomada t˜ao pequena quanto queira desde que δ0 seja fixado desde o in´ıcio suficientemente
pequeno. Em particular podemos garantir que Oxy ⊂ Ox, conclu´ımos ent˜ao que
Xh(τj)(y)∈ W
ss
ǫ (Xτj−ǫ0,τj+ǫ0(x)).
Conclu´ımos aqui a demonstra¸c˜ao do Teorema de Expansividade para o Futuro.