3.3 Ferramentas do Tipo Minimax
3.3.2 Prova do Teorema 3.1
Pelo Corolário 3.3 o problema (P1) possui uma solução fraca estritamente positiva.
Pelo Lema 3.2 esta solução não é do tipo ground state e, portanto, é do tipo bound state, e isto prova o resultado desejado.
Apêndice A
Resultados Utilizados
Neste apêndice, enunciaremos alguns resultados que utilizamos no decorrer deste tra- balho. Alguns serão demonstrados e, para os demais, iremos citar onde a prova pode ser encontrada.
Resultados Técnicos
Proposição A.1 (Lema de Lions) Sejam r > 0 e 2≤ q < 6. Se (un)⊂ H1(R3) é uma
sequência limitada tal que
lim n→∞( supy∈R3 Z Br(y) |un|q) = 0, então un→ u em Lp(R3) para cada 2 < p < 6.
Demonstração: Veja Lema 1.21 em [21].
Proposição A.2 (Lema de Brezis-Lieb) Seja (un)⊂ Lp(R3), 1≤ p < ∞, tal que
i) (un) é limitada em Lp(R3) e ii) un → u q.t.p. em R3. Então, lim n→∞(|un| p p− |un− u|pp) =|u|pp.
Demonstração: Veja Lema 1.32 em [21].
Corolário A.1 Seja (un)⊂ H1(R3) tal que un⇀ u em H1(R3). Se p∈ [2, 6) então
lim n→∞(|un| p p− |un− u|pp) =|u| p p.
Demonstração: Desde que, H1(B
ρ(0)) ֒→ Lp(Bρ(0)), compactamente, para todo ρ > 0
temos un → u em Lp(Bρ(0)). Assim, a menos de subsequência un(x) → u(x) q.t.p em
Bρ(0). Note que, {x ∈ R3; un(x)9 u(x)} = ∪ρ>0{x ∈ Bρ(0); un(x)9 u(x)}, então
un→ u q.t.p. em R3.
Além disso, (un) é limitada em H1(R3) ֒→ Lp(R3). Dessa forma, pelo Lema de Brezis-Lieb
temos lim n→∞(|un| p p− |un− u|pp) =|u|pp, como queríamos.
Resultados de Medida e Integração
O próximo resultado é conhecido como Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue. Proposição A.3 Seja (fn) uma sequência de funções em L1(Ω) tal que
i) fn → f q.t.p. em Ω;
ii) existe g ∈ L1(Ω) tal que, para cada n∈ N,
|fn| ≤ g, q.t.p. em Ω.
Então, f ∈ L1(Ω) e
lim
n→∞|fn− f|L1(Ω) = 0.
Demonstração: Veja Teorema 4.2 em [10].
Proposição A.4 Seja (un) uma sequência de funções em Lp(Ω), 1 ≤ p ≤ ∞, tal que
un → u em Lp(Ω). Então, a menos de subsequência,
i) un→ u q.t.p. em Ω e
ii) |un| ≤ h q.t.p. em Ω, para alguma função h em Lp(Ω).
Demonstração: Veja Teorema 4.9 em [10].
Proposição A.5 Seja f : Ω → R uma função mensurável à Lebesgue não negativa.
Então f = 0 q.t.p. em Ω se, e somente se, Z
Ω
f dµ = 0. Demonstração: Veja Corolário 4.10 em [3].
Proposição A.6 Seja f :R3 → R uma função mensurável à Lebesgue, não negativa tal
que RΩf dµ <∞. Então, RΩf dµ é absolutamente contínua com relação a µ, isto é, para todo ǫ > 0, existe δ > 0 tal que µ(Ω) < δ implica RΩf dµ < ǫ.
Proposição A.7 (Desigualdade Generalizada de Hölder) Suponha que as funções f1, f2, ..., fk: Ω⊂ R3 → R são tais que
fi ∈ Lpi(Ω) i = 1, 2, ..., k com 1 p = 1 p1 + 1 p2 + ... + 1 pk ≤ 1. Então, o produto f = f1f2...fk∈ Lp(Ω) e |f|p ≤ |f1|p1|f2|p2...|fk|pk.
Demonstração: Veja Teorema 4.6 em [10].
Resultados de Análise Funcional
O resultado a seguir é conhecido como Teorema da Representação de Riesz.
Proposição A.8 Seja E um espaço de Hilbert. Dado f ∈ E′, então existe um único
z = z(f )∈ E tal que
f (x) =hx, zi, todo x∈ E. Além disso, kzkE =kfkE′.
Demonstração: Veja Teorema 5.5 em [10].
Proposição A.9 Seja E um espaça de Banach reflexivo e (xn) uma sequência limitada
em E. Então, (xn) possui uma subsequência que converge na topologia fraca de E.
Demonstração: Veja Teorema 3.18 em [10].
Uma Versão do Princípio Variacional de Ekeland
Nesta seção, através do Lema de Deformação, provaremos uma versão do Princípio Variacional de Ekeland. Este resultado foi fundamental para a obtenção de pontos críticos do funcional I associado ao problema (P1). Inicialmente, precisamos introduzir algumas
definições e notações básicas.
Definição A.1 Sejam X um espaço de Banach, ψ ∈ C2(X,R) e V =nv ∈ X; ψ(v) = 1o
tal que, para todo v ∈ V , tem-se ψ′(v)6= 0. Então, temos:
i) O espaço tangente a V no ponto v é definido por TvV =
n
y∈ X; hψ′(v), yi = 0o.
ii) Sejam ϕ ∈ C1(X,R) e v ∈ V . A norma da derivada da restrição de ϕ a V em v é
dada por kϕ′(v)k ∗ = sup y∈Tv V kyk=1 hϕ′(v), yi.
iii) O ponto v é um ponto crítico de ϕ restrito a V se kϕ′(v)k∗ = 0.
iv) ϕc ={v ∈ V ; ϕ(v) ≤ c}, com c ∈ R.
Lema A.1 (Lema de Deformação) Sejam ϕ ∈ C1(X,R), S ⊂ V, c ∈ R, ǫ, δ > 0 tais
que
∀u ∈ ϕ−1([c− 2ǫ, c + 2ǫ]) ∩ S2δ tem-se kϕ′(u)k∗ ≥
8ǫ δ , onde S2δ = n u∈ X; dist(u, S) ≤ 2δo. Então, existe η ∈ C([0, 1] × V, V ) tal que
i) η(t, u) = u se t = 0 ou u 6∈ ϕ−1([c− 2ǫ, c + 2ǫ]) ∩ S 2δ;
ii) η(1, ϕc+ǫ∩ S) ⊂ ϕc−ǫ;
iii) ϕ(η(., u)) é não crescente ∀u ∈ V. Demonstração: Veja Lema 5.15 em [21].
Como consequência imediata do Lema de Deformação, temos o seguinte resultado que é uma versão do Princípio Variacional de Ekeland.
Proposição A.10 (Princípio Variacional de Ekeland) Sejam X um espaço de Ba- nach e G ∈ C2(X,R) tal que para todo v ∈ V = {v ∈ X; G(v) = 1}, tem-se G′(v) 6= 0.
Sejam F ∈ C1(X,R) limitado inferiormente em V , v ∈ V e ǫ, δ > 0 tais que
F (v)≤ inf
V F + ǫ.
Então, existe uǫ ∈ V tal que
i) F (uǫ)≤ infV F + 2ǫ;
ii) kuǫ− vk ≤ 2δ;
iii) minλ∈RkF′(uǫ)− λG′(uǫ)k ≤ 8ǫ/δ.
Demonstração: Suponhamos, por contradição, que para todo u∈ V tal que F (u)≤ inf V F + 2ǫ, ku − vk ≤ 2δ, tenhamos kF′(u)k∗ = min λ∈RkF ′(u)− λG′(u)k > 8ǫ δ , isto é, ∀u ∈ F−1([c− 2ǫ, c + 2ǫ]) ∩ S 2δ, temos kF′(u)k∗ > 8ǫ δ ,
onde c = infV F e S ={v}. Pelo Lema A.1 existe η : [0, 1] × V → V contínua tal que
η(1, Fc+ǫ∩ S) ⊂ Fc−ǫ.
Note que, F (v) ≤ c + ǫ, isto é, v ∈ Fc+ǫ. Assim,
Fc+ǫ∩ S = {v},
o que implica η(1, v) ∈ Fc−ǫ, de onde obtemos F (η(1, v))≤ c − ǫ < c. Sendo assim, desde
que, η(1, v) ∈ V e c = infV F, obtemos
c = inf
V F ≤ F (η(1, v)) ≤ c − ǫ,
o que é uma contradição, e isto prova o resultado desejado.
Proposição A.11 Seja E um espaço de Hilbert. Dados f, g ∈ E′, então
sup
y∈ker g kyk=1
hf, yi = minλ
∈Rkf − λgk.
Demonstração: Com efeito, para todo λ∈ R temos sup y∈ker g kyk=1 hf, yi = sup y∈ker g kyk=1 hf − λg, yi ≤ sup kuk=1hf − λg, yi = kf − λgk,
isto é, supy∈ker g
kyk=1hf, yi é uma cota inferior do conjunto
n
kf − λgk; λ ∈ Ro.
Note que, pelo Teorema de Hahn Banach, existe bf : E → R tal que f = bf em ker g e k bfk = sup
y∈ker g kyk=1
hf, yi.
Desde que f = bf em ker g, temos ker g ⊂ ker(f − bf ). Assim, existe λ0 em R tal que
b
f = f − λ0g, o que implica que
sup
y∈ker g kyk=1
hf, yi = k bfk = kf − λ0gk,
de onde concluímos que kf − λ0gk é o mínimo do conjunto
n kf − λgk; λ ∈ Ro. Portanto, sup y∈ker g kyk=1 hf, yi = min λ∈Rkf − λgk, como queríamos.
Proposição A.12 Sejam ψ, ϕ∈ C1(X,R) e u ∈ V =nv ∈ X; ψ(v) = 1o. Então,
kϕ′(u)k
∗ = minλ ∈Rkϕ
′(u)− λψ′(u)k.
Demonstração: Com efeito,
kϕ′(u)k∗ = sup y∈TuV kyk=1 hϕ′(u), yi = sup y∈ker ψ′(u) kyk=1 hϕ′(u), yi = min λ∈Rkϕ ′(u)− λψ′(u)k.
Pelas condições da proposição acima, temos
Corolário A.2 u é ponto crítico de ϕ|V se, e somente se, existe λ0 ∈ R tal que
ϕ′(u) = λ0ψ′(u).
Demonstração: Se u é ponto crítico de ϕ|V, por iii) da Definição A.1, kϕ′(u)k∗ = 0.
Assim, pela Proposição A.12 min
λ∈Rkϕ
′(u)− λψ′(u)k = 0,
consequentemente
ϕ′(u) = λ0ψ′(u),
para algum λ0 ∈ R. Reciprocamente, se ϕ′(u) = λ0ψ′(u), para algum λ0 ∈ R, então
minλ∈Rkϕ′(u)− λψ′(u)k = 0, de onde obtemos pela Proposição A.12
kϕ′(u)k∗ = 0,
isto é, u é ponto crítico de ϕ|V, o que prova o resultado desejado.
Sob as hipóteses da Proposição A.10, como consequência da Proposição A.12, temos: Corolário A.3 Seja (vn)⊂ V uma sequência tal que
F (vn)→ inf V F.
Então, existe uma sequência (un)⊂ V tal que
a) F (un)→ infV F ;
b) kun− vnk → 0;
c) kF′(u
n)k∗ → 0.
Demonstração: Para todo n∈ N, existe vn ∈ V tal que
inf
V F ≤ F (vn)≤ infV F + 1/n 2.
Assim, pela Proposição A.10 existe un ∈ V tal que
a) infV F ≤ F (un) < infV F + 2/n2;
b) kun− vnk ≤ 2/n;
c) minλ∈RkF′(un)− λG′(un)k = kF′(un)k∗ ≤ 8n/n2,
Teorema de Linking
Enunciaremos, agora, um resultado que utilizamos para encontrar pontos críticos do funcional I associado ao problema (P1).
Começaremos introduzindo as seguinte definições:
Definição A.2 (Sequência de Palais-Smale) Sejam X um espaço de Banach, I ∈
C1(X,R) e c ∈ R. Dizemos que o funcional I satisfaz a condição (P S)
c, se toda sequência
(un)⊂ X tal que
I(un)→ c e I′(un)→ 0,
possui uma subsequência convergente.
Observação A.1 Relembramos que Ic ={u ∈ X; I(u) ≤ c}.
Lema A.2 Sejam X um espaço de Banach e I ∈ C1(X,R). Suponha que S ⊂ X, c ∈ R
e ǫ, δ > 0 são tais que
kI′(u)k ≥ 4ǫ δ para todo u∈ I−1([c− 2ǫ, c + 2ǫ]) ∩ S
2δ, onde Sδ ={u ∈ X; dist(u, S) ≤ δ}. Então, existe
η ∈ ([0, 1] × X, X) satisfazendo i) η(0, u) = u, para todo u∈ X; ii) η(t, u) = u, se u6∈ I−1([c− 2ǫ, c + 2ǫ]) ∩ S 2δ para todo t∈ [0, 1]; iii) η(1, Ic+ǫ∩ S) ⊂ Ic−ǫ∩ S δ;
iv) η(t, .) é um homeomorfismo para todo t∈ [0, 1]. Demonstração: Veja Lema 2.3 em [21].
Lema A.3 Suponha que I ∈ C1(X,R) satisfas a condição (P S)
c para algum c∈ R. Se c
não é valor crítico do funcional I, então para algum ǫ > 0 suficientemente pequeno, existe η ∈ ([0, 1] × X, X) tal que para todo u ∈ X e t ∈ [0, 1], tem-se:
i) η(0, u) = u;
ii) η(t, u) = u, se u6∈ I−1([c− 2ǫ, c + 2ǫ]);
iii) η(1, Ic+ǫ∩ S) ⊂ Ic−ǫ;
iv) η(t, .) é um homeomorfismo.
Demonstração: Inicialmente, mostraremos que existem α, β tais que kI′(u)k ≥ β
para todo u ∈ I−1([c−2α, c+2α]). Suponhamos, por contradição que exista uma sequência
(un)⊂ X satisfazendo kI′(un)k < 1 n , c − 2 n ≤ I(un)≤ c + 2 n.
Assim,
I(un)→ c e I′(un)→ 0.
Desde que o funcional I satisfaz a condição (P S)c a menos de subsequência temos un → u
em X. Disto seque que
I′(un)→ I′(u) e I(un)→ I(u),
o que pela unicidade do limite temos que c é um valor crítico do funcional I, o que é uma contradição. Portanto, tomando S = X, ǫ ∈ (0, α] e δ = 4ǫ
β no Lema A.2 temos o
resultado desejado.
Definição A.3 Sejam X um espaço de Banach, S ⊂ X um subconjunto fechado e Q ⊂ X. Dizemos que existe um link entre S e ∂Q se
i) S∩ ∂Q = ∅;
ii) para toda função h∈ γ = {h ∈ C(X, X); h|∂Q = id} existe u ∈ S tal que h(u) ∈ Q.
Proposição A.13 (Teorema de Linking) Sejam I ∈ C1(X,R) um funcional que
satisfaz a condição (P S)c para o nível minimax c ∈ R definido em (A.1), S ⊂ X um
subconjunto fechado e Q ⊂ X. Supondo que 1) existe um link entre S e ∂Q;
2) b := infu∈SI(u) > a := supu∈∂QI(u),
considerando
γ :={h ∈ C(X, X); h|∂Q = id},
temos que o nível minimax
c := inf
h∈γmaxu∈Q I(h(u)) (A.1)
é um valor crítico do funcional I, isto é, para algum u ∈ X, I(u) = c e I′(u) = 0.
Demonstração: Desde que existe um link entre ∂Q e S, dada h ∈ γ, existe u0 ∈ Q tal
que h(u0)∈ S. Assim,
max
u∈Q I(h(u))≥ I(h(u0))≥ infu∈SI(u) = b,
para todo h ∈ γ, o que implica que
c≥ b > a. (A.2)
Agora, suponhamos por contradição que o nível minimax c dado em (A.1) não é valor crítico do funcional I. Pelo Lema A.3 existem
0 < ǫ < (b− a)/2 (A.3)
e η ∈ C([0, 1] × X, X) tais que
para todo t ∈ [0, 1] e
η(1, Ic+ǫ)⊂ Ic−ǫ
. (A.5)
Note que, por definição de ínfimo, para ǫ > 0 obtido acima, existe h ∈ γ tal que max
u∈Q I(h(u)) < c + ǫ. (A.6)
Agora, defina eh : Q → X por
eh(u) := η(1, h(u)).
Se u ∈ ∂Q sendo a = maxu∈∂QI(u), por (A.2) e (A.3) temos
I(u)≤ a < c − 2ǫ, o que implica em
u6∈ I−1([c− 2ǫ, c + 2ǫ]). Assim, como u ∈ ∂Q e h ∈ γ por (A.4) segue
eh(u) = η(1, h(u)) = η(1, u) = u,
de onde temos eh ∈ γ. Além disso, por (A.6) temos h(u) ∈ Ic+ǫ para todo u ∈ Q, de onde
por (A.5) obtemos
eh(u) = η(1, h(u)) ∈ Ic−ǫ,
isto é, I(eh(u)) ≤ c − ǫ. Assim, desde que eh ∈ γ temos
c≤ max
u∈Q I(eh(u))≤ c − ǫ,
o que é uma contradição. Portanto, c é um valor crítico do funcional I como queríamos.
Espaços de Hölder
Definição A.4 Seja Ω ⊂ R3 aberto. Dizemos que uma função f : Ω → R é Hölder
contínua com expoente γ, se para algum 0 < γ ≤ 1 tem-se sup
x,y∈Ω x6=y
|f(x) − f(y)| |x − y|γ <∞.
Denotaremos por C0,α(Ω) o espaço vetorial das funções Hölder contínua. Dizemos que
uma função é localmente Hölder contínua com expoente γ, se ela for Hölder contínua com expoente γ em todo subconjunto compacto de Ω.
Agora, definiremos o conjunto
Cm,α(Ω) =nf ∈ C(Ω); Dβ
Imersões de Sobolev
Proposição A.14 (Gagliardo-Nirenberg-Sobolev) A imersão H1(R3) ֒→ L6(R3)
é continua, mais precisamente, existe uma constante C > 0 tal que |u|L6(R3) ≤ C|∇u|L2(R3),
para todo u∈ C1 c(R3).
Demonstração: Veja Teorema 9.9 em [10]. Proposição A.15 A imersão
H1(R3) ֒→ Lq
(R3),
é continua para todo q em [2, 6].
Demonstração: Veja Corolário 9.10 em [10].
Denotamos por S a melhor constante da imersão H1(R3) ֒→ L6(R3) contínua, mais
precisamente S := inf u∈H1(R3)\{0} kuk |u|6 .
Proposição A.16 (Kellich-Kondrachov) Se Ω ⊂ R3 é um subconjunto aberto e limi-
tado de classe C1, então a imersão
H1(Ω) ֒→ Lq(Ω), é compacta para todo q em [1, 6).
Demonstração: Veja Teorema 9.15 em [10].
Proposição A.17 Seja Ω ⊂ R3 um subconjunto aberto e limitado de classe C1. Suponha
que u∈ Wk,p(Ω). Se k > 3 p, então u∈ C k−[3 p]−1,γ(Ω), onde γ = ( h 3 p i + 1−3p, se 3p não é um inteiro qualquer γ < 1, se 3p é um inteiro. Demonstração: Veja Teorema 6 em [14].
O Espaço H
1 rad(R
3
)
Nesta seção, iremos introduzir o espaço H1
rad(R3). Para maiores detalhes veja [21].
Denotaremos o conjunto dos operadores lineares A : R3 → R3 que preserva o produto
interno por
O(3) =nA∈ L(R3,R3); hAx, Ayi = hx, yio. Prova-se que A ∈ O(3) então det A = ±1. Com isso, o conjunto
SO(3) =nA∈ L(R3,R3);
hAx, Ayi = hx, yi e det A = 1o é um subgrupo de O(3).
Definição A.5 H1
rad(R3) =
n
O Espaço D
1,2Nesta seção, vamos considerar Ω ⊂ R3 um aberto. Definimos o espaço D1,2(Ω) como
sendo o conjunto
D1,2(Ω) ={u ∈ L2∗(Ω); ∂u
∂xi ∈ L
2(Ω), i = 1, 2, 3},
munido da norma
kukD1,2(Ω) :=|u|L2∗(Ω)+|∇u|L2(Ω).
Definimos D1,2
0 (Ω) como sendo o completamento de Cc∞(Ω) com respeito a normakukD1,2(Ω).
O próximo resultado relaciona os espaços D1,2(Ω) e W1,2(Ω), no caso em que Ω =R3.
Proposição A.18 W1,2(R3) = W1,2
0 (R3)( D1,2(R3) = D1,20 (R3).
Demonstração: Veja Lema 1.2 em [4]. Com este resultado, podemos afirmar que
kukD1,2(R3) :=|∇u|L2(R3)
é uma norma sobre D1,2(R3). Com efeito, dado u ∈ D1,2(R3), existe uma sequência
(ϕn)⊂ Cc∞(R3) tal que
ϕn → u em D1,2(R3).
Note que, pela Proposição A.14
|ϕn|L2∗(R3) ≤ C|∇ϕn|L2(R3).
Consequentemente,
|u|L2∗(R3) ≤ C|∇u|L2(R3).
Assim,
kukD1,2(R3) ≤ (1 + C)|∇u|L2(R3).
Por outro lado,
kukD1,2(R3) ≥ |∇u|L2(R3).
Portanto, segue a afirmação. Além disso, segue que D1,2(R3) está imerso continuamente
em L2∗
(R3).
Observação A.2 Se Ω⊂ R3 é um subconjunto aberto de medida finita com fronteira de
classe C1, então
H1(Ω) =D1,2(Ω) ֒→ Lq(Ω),
compactamente para todo q ∈ [1, 2∗). Além disso,D1,2(Ω) eD1,2
0 (Ω) são espaços de Hilbert
separáveis.
Denotamos por S é a melhor constante da imersão D1,2(Ω) ֒→ L6(R3) contínua, mais
precisamente S := inf u∈D1,2(Ω)\{0} kukD1,2 |u|6 .
Resultados de Regularidade
A equação homogênea
∆u = 0 em R3
é chamada equação de Laplace. Definição A.6 A função
Γ(x− y) = 1
3ω3|x − y|
,
definida para x∈ R3, x 6= y, é a solução fundamental da equação de Laplace, onde ω 3 é
o volume da esfera unitária em R3.
Definição A.7 Definimos o potencial Newtoniano Nf : R3 → R de uma função mensu-
rável f :R3 → R por
Nf(x) =
Z
R3
Γ(x− y)f(y)dy.
Para maiores detalhes veja [16]. Os dois próximos resultados nos fornecem propriedades importantes do pontecial Newtoniano de uma função f : Ω → R.
Proposição A.19 Sejam Ω um domínio limitado e uma função f : Ω → R localmente Hölder contínua com expoente α ≤ 1. Então, Nf ∈ C2(Ω) e
−∆Nf = f em Ω.
Demonstração: Veja Lema 4.2 em [16].
Proposição A.20 (Teorema de Calderon-Zygmund) Sejam Ω um domínio limitado e uma função f ∈ Lp(Ω), 1 < p < +∞. Então, N
f ∈ W2,p(Ω) e
−∆Nf = f q.t.p. em Ω.
Demonstração: Veja Teorema 9.9 em [16].
Proposição A.21 (Princípio do Máximo Forte) Considere o operador elíptico L dado por
Lu =−∆u + cu em Ω,
onde c ∈ L∞(Ω), Ω ⊂ R3 é limitado e conexo, u ∈ C2(Ω) ∩ C(Ω) e c ≥ 0 em Ω. Se
Lu≥ 0 em Ω e u atinge um mínimo em Ω, então u é constante em Ω. Demonstração: Veja Teorema 3.5 em [16].
Proposição A.22 (Teorema de Brezis-Kato) Sejam Ω um domínio em R3 e g : Ω×
R → R uma função Caractheódory tal que
|g(x, u)| ≤ a(x)(1 + |u|) q.t.p em Ω, para alguma função a ∈ L32
loc(R3). Se u∈ Hloc1 (Ω) é solução fraca do problema
−∆u = g(x, u) em Ω,
então u ∈ Lqloc(Ω) para todo q < +∞. Além disso, se u ∈ H01(Ω) e a ∈ L
3
2(R3) então
u∈ Lq(Ω) para todo q < +∞.
Teorema dos Multiplicadores de Lagrange
Definição A.8 Seja X um espaço de Banach, F ∈ C1(X,R) e um conjunto de vínculos
S :={u ∈ X; F (u) = 0}.
Suponhamos que para todo u ∈ S, tenhamos F′(u) 6= 0. Seja J ∈ C1(X,R). Dizemos
que c ∈ R é valor crítico de J sobre S se existem u ∈ S e λ ∈ R tais que J(u) = c e J′(u) = λF′(u). Neste caso dizemos que u é um ponto crítico de J sobre S e o número λ é denominado de multiplicador de Lagrange para o valor crítico c.
Proposição A.23 (Teorema dos Multiplicadores de Lagrange) Sejam X um es- paço de Banach, F, G∈ C1(X,R) e u
0 ∈ X um extremo local de F restrito ao conjunto
S = {u ∈ X; G(u) = 1}, isto é,
F (u0) = inf u∈SF (u).
Se G′(u
0)6= 0, então existe λ ∈ R tal que
F′(u0) = λG′(u0).
Demonstração: Veja Proposição 14.3 em [17].
Grau de Brouwer
Nesta seção, definiremos uma função que nos dará informações quanto a existência e unicidade de soluções da equação ϕ(x) = b, onde ϕ ∈ C(Ω, R3), Ω ⊂ R3 é um aberto e
limitado e b é um ponto fixado em R3. Tal função é denotada por d, que a cada terna
(ϕ, Ω, b) associa a um número natural d(ϕ, Ω, b) que é denominado de grau de ϕ sobre Ω com respeito a b. Os próximos resultados podem ser encontrados em [8] ou [13].
Definição A.9 Sejam Ω ⊂ R3 aberto e limitado, ϕ∈ C(Ω, R3)∩C2(Ω,R3) tal que b ∈ R3
é valor regular da restrição ϕ|Ω, ou seja, se x ∈ ϕ−1(b), então ϕ′(x) é invertível. Pelo
Teorema da Aplicação Inversa ϕ−1(b) é finito. O grau de ϕ sobre Ω com respeito a b é definido por
d(ϕ, Ω, b) = Σx∈f−1(b)sgn det ϕ′(x).
Abaixo, listamos algumas propriedades da teoria do grau:
g1) Continuidade com relação a função. Sejam ϕ ∈ C(Ω, R3) e b 6∈ ϕ(∂Ω). Então,
existe uma vizinhança V de ϕ em C(Ω, R3) tal que para todo ψ∈ V,
b 6∈ ψ(∂Ω) e d(ϕ, Ω, b) = d(ψ, Ω, b).
g2) Invariância por Homotopia. Sejam H ∈ C(Ω × [0, 1], R3) e b 6∈ H(∂Ω × [0, 1]).
Então,
d(H(., t), Ω, b) é constante para todo t ∈ [0, 1].
g3) Aditividade. Seja Ω = Ω1∪ Ω2, onde Ω1 e Ω2 são abertos de R3 tais que Ω1∩ Ω2 =∅.
Se b 6∈ ϕ(∂Ω1)∪ ϕ(∂Ω2) então
d(ϕ, Ω, b) = d(ϕ, Ω1, b) + d(ϕ, Ω2, b).
Teorema da Não Retração
Com propriedades da teoria do grau dadas acima, iremos estabelecer uma importante relação entre os conjuntos
B1(0) ={x ∈ R3;kxk ≤ 1} e S2 ={x ∈ R3;kxk = 1}.
Inicialmente, daremos a seguinte definição:
Definição A.10 Uma retração do espaço topológico X no subespaço Y é uma aplicação contínua ϕ : X → Y tal que
ϕ(y) = y, para todo y ∈ Y .
Agora, mostraremos que
Proposição A.24 Não existe retração de B1(0) em S2.
Demonstração: Suponhamos, por contradição, que existe uma retração ϕ : B1(0) → S2.
Denote por U o interior de B1(0). Agora, note que, definindo a homotopoia H : U ×
[0, 1]→ R3 por
H(x, t) := (1− t)x + tϕ(x),
temos que 0 6∈ H(S2× [0, 1]). Com efeito, como ϕ é uma retração de B
1(0) em S2, temos
para todo x ∈ S2, ϕ(x) = x. Assim, para todo t ∈ [0, 1]
H(x, t) = (1− t)x + tx = 1, como queríamos. Assim, pela Propriedade g2), temos
d(id, U, 0) = d(ϕ, U, 0) = 1. Dessa forma, desde que 0 6∈ ϕ(S2), pela Propriedade g
4) temos
0∈ ϕ(U) ⊂ S2,
o que é uma contradição, e isto prova o resultado desejado.
Observação A.3 Em [21] vemos que o resultado anterior é equivalente ao Teorema do Ponto Fixo de Brouwer.
Uma Desigualdade Elementar
Lema A.4 Se p ∈ [1, ∞) então para quaisquer funções u, v : R3 → R
||u|p−1u− |v|p−1v| ≤ β|u − v|(|u| + |v|)p−1,
Demonstração: Defina a função f : [0, 1]→ R por
f (t) =|v + t(u − v)|p−1(v + t(u− v)).
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
||u|p−1u− |v|p−1v| = |f(1) − f(0)| = |Z 1 0 f′(t)dt| ≤ Z 1 0 |f ′(t)|dt.
Agora, note que
|f′(t)| ≤ (p − 1)|v + t(u − v)|p−1|u − v| + |v + t(u − v)|p−1|u − v|
= p|v + t(u − v)|p−1
|u − v| e para todo t ∈ [0, 1] temos
|v + t(u − v)| ≤ |v| + t|u − v| ≤ |v| + |u − v| ≤ |v| + |u| + |v| ≤ 2(|v| + |u|), de onde concluímos que
|f′(t)| ≤ p2p−1(|u| + |v|)p−1|u − v|.
Portanto,
||u|p−1u− |v|p−1v| ≤ p2p−1(|u| + |v|)p−1|u − v|,
o que prova o lema com β = p2p−1.
Funcionais Diferenciáveis
Definição A.11 Seja X um espaço de Banach e U ⊂ X aberto, considere um funcional I : U → R. Este funcional possui derivada de Gateaux f ∈ X′ no ponto u ∈ U se para
toda ϕ∈ X tem-se
lim
t→0
I(u + tϕ)− I(u) − f(ϕ)
t = 0.
Definição A.12 O funcional I : U → R possui derivada de Fréchet em u ∈ U, se existir f ∈ X′ verificando
lim
kϕk→0
|I(u + ϕ) − I(u) − f(ϕ)|
kϕk = 0
para toda ϕ ∈ X. Dizemos que I ∈ C1(U,R) se a derivada de Fréchet é contínua.
O próximo resultado relaciona as derivadas de Fréchet e de Gateaux do funcional I : U → R.
Lema A.5 Seja I : X → R um funcional definido em um espaço de Banach X. Se
a derivada de Gateaux é continua em X′, então as derivadas de Gateaux e de Fréchet
Demonstração: Denotemos por I′(u) a derivada de Gateaux no ponto u ∈ X. Agora,
consideremos
r(ϕ) := I(u + ϕ)− I(u) − I′(u)ϕ. (A.7)
Nosso objetivo é mostrar que |r(ϕ)|
kϕk → 0 quando kϕk → 0. (A.8)
Inicialmente, defina a função ψ : [0, 1] → R por ψ(t) = I(u + tϕ). Esta função é diferenciável. Com efeito,
lim t→0 ψ(ξ + t)− ψ(ξ) t = limt→0 I(u + ξϕ + tϕ)− I(u + ξϕ) t = I′(u + ξϕ)ϕ.
Desde que, o funcional I é Gateaux diferenciável, segue a diferenciabilidade da função ψ e que ψ′(ξ) = I′(u + ξϕ)ϕ. Sendo assim, pelo Teorema do Valor Médio, existe ς ∈ (0, 1)
tal que
ψ(1)− ψ(0) = ψ′(ς). Assim,
I(u + ϕ)− I(u) = I′(u + ςϕ)ϕ, o que por (A.7) implica em
r(ϕ) = I′(u + ςϕ)ϕ− I′(u)ϕ = (I′(u + ςϕ)− I′(u))ϕ. Consequentemente,
|r(ϕ)| ≤ kI′(u + ςϕ)− I′(u)kkϕk.
Pela continuidade da derivada de Gateaux em X′, segue (A.8), e isto completa a prova
deste lema.
Agora considere os funcionais I1, I2, I3 : H1(R3)→ R definidos por
I1(u) = 1 2kuk 2, I 2(u) = 1 4 Z R3 K(x)φu(x)u2dx e I3(u) = 1 p + 1 Z R3 a(x)|u|p+1dx.
Nosso objetivo é mostrar que estes funcionais são de classe C1(H1(R3),R). Inicialmente,
mostraremos que os funcionais I1, I2 e I3 estão bem definidos. Com efeito,
i) Sendo u∈ H1(R3), então I
1(u) = 12kuk2 <∞.
ii) Como u ∈ H1(R3) ֒→ L6(R3), então u2 ∈ L3(R3). Além disso, K ∈ L2(R3) e φ u ∈
D1,2(R3) ֒→ L6(R3). Pela desigualdade generelizada de Hölder segue
Z
R3|K(x)φ
u(x)u2|dx ≤ |K|2|u2|3|φu|6,
de onde temos que I2 está bem definido.
iii) Desde que, a∈ L∞(R3) e u ∈ H1(R3) ֒→ Lp+1(R3), temos
Z
R3
a(x)|u|p+1dx≤ kak∞ Z
R3|u|
p+1dx
≤ Ckukp+1, para alguma constante C > 0. Assim I3, está bem definido.
Lema A.6 Se I1 : H1(R3)→ R é definido por I1(u) = 1 2kuk 2, então I1 ∈ C1(H1(R3),R) e
I1′(u)ϕ =hu, ϕi, para toda u, ϕ ∈ H1(R3).
Demonstração: Mostraremos inicialmente que I1 é Gateaux diferenciável. Dados u, ϕ ∈
H1(R3), então I1′(u)ϕ = 1 2limt→0 (ku + tϕk2− kuk2) t = 1 2limt→0(2hu, vi + tkϕk 2) = hu, ϕi,
de onde segue que I1 é Gateaux diferenciável. Agora mostraremos que essa derivada é
contínua. Para isto, é suficiente verificarmos que se un → u em H1(R3), então I1′(un) →
I′
1(u) em H−1. Dado ϕ ∈ H1(R3) tal que kϕk ≤ 1, temos
|I1′(un)ϕ− I1′(u)ϕ| = |hun, ϕi − hu, ϕi|
=|hun− u, ϕi| ≤ kun− ukkϕk ≤ kun− uk.
(A.9) Desde que kI1′(un)− I1′(u)kH−1 = sup kϕk≤1|(I ′ 1(un)− I1′(u))ϕ|,
tomando o supremo na ultima desigualdade e fazendo un → u em H1(R3), obtemos que
I1′(un)→ I1′(u) em H−1. Assim, a derivada de Gateaux é contínua. Portanto, pelo Lema
A.5, segue o resultado desejado.
Lema A.7 Se I2 : H1(R3)→ R é definido por
I2(u) = 1 4 Z R3 K(x)φu(x)u2dx, então I2 ∈ C1(H1(R3),R) e I2′(u)ϕ = Z R3 K(x)φu(x)uϕdx, para toda u, ϕ em H1(R3).
Demonstração: Mostraremos inicialmente que I2 é Gateaux diferenciável. Dadas u, ϕ ∈
H1(R3), pela Observação 1.1, temos
φu(x) = 1 3ω3 Z R3 K(y) |x − y|u 2(y)dy q.t.p. em R3,
onde ω3 é o volume da bola unitária em R3. Assim, g(t) := φ(u+tϕ)(x)− φu(x) t = 1 3ω3t Z R3 K(y) |x − y|(u + tϕ) 2dy− Z R3 K(y) |x − y|u 2dy = 1 3ω3 2 Z R3 K(y) |x − y|(uϕ)dy + Z R3 K(y) |x − y|(tϕ 2)dy,
q.t.p em R3 para todo t ∈ R. Assim,
lim t→0g(t) = 2 3ω3 Z R3 K(y) |x − y|(uϕ)dy. (A.10)
Agora, definindo f : R → R por f (t) = 1 4K(x)φ(u+tϕ)(x)(u + tϕ) 2, temos h(t) := f (t)− f(0) t = 1 4K(x)u 2φ(u+tϕ)(x)− φ(u)(x) t +1 4K(x)φ(u+tϕ)(x)(2uϕ + tϕ 2). Desde que, lim t→0φ(u+tϕ)(x) = φu(x),
por (A.10) temos lim t→0h(t) = 1 2K(x)u 2 1 3ω3 Z R3 K(y) |x − y|(uϕ)dy + 1 2K(x)φu(x)uϕ, o que pelo Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue implica lim t→0 I2(u + tϕ)− I2(u) t = 1 2 Z R3 K(x)u2 1 3ω3 ( Z R3 K(y) |x − y|(uϕ)dy)dx+ 1 2 Z R3 K(x)φu(x)uϕdx.
Note, pelo Teorema de Fubini Z R3 K(x)u2 1 3ω3 Z R3 K(y) |x − y|(uϕ)dy dx = Z R3 K(x)uϕ 1 3ω3 Z R3 K(y) |x − y|u 2dydx = Z R3 K(x)φu(x)uϕdx,
de onde segue que
I2′(u)ϕ = Z
R3
K(x)φu(x)uϕdx
é a derivada de Gateaux do funcional I2. Agora mostraremos que essa derivada é contínua.
Para isto, é suficiente verificarmos que se un → u em H1(R3), então I2′(un) → I2′(u) em
H−1. Dado ϕ ∈ H1(R3) tal que, kϕk ≤ 1, desde que, u
n→ u em H1(R3), por ii) do Lema
2.10, dado ǫ > 0
|I2′(un)ϕ− I2′(u)ϕ| = |
Z
R3
K(x)ϕ(φun(x)un− φu(x)u)dx| < ǫ, (A.11)
para n > 0 suficientemente grande. Sendo assim, como kI2′(un)− I2′(u)kH−1 = sup
kϕk≤1|(I ′
2(un)− I2′(u))ϕ|,
Lema A.8 Se I3 : H1(R3)→ R é definido por I3(u) = 1 p + 1 Z R3 a(x)|u|p+1dx, então I3 ∈ C1(H1(R3),R) e I3′(u)ϕ = Z R3
a(x)|u|p−1uϕdx,
para toda u, ϕ em H1(R3).
Demonstração: Mostraremos inicialmente que I3 é Gateaux diferenciável. Para isto
considere t ∈ R tal que 0 < |t| < 1, u, ϕ ∈ H1(R3) e a função f : [0, 1]→ R definida por
f (s) = a
p + 1|u + stϕ|
p+1.
Note que
f′(s) = at|u + stϕ|p−1(u + stϕ)ϕ.
Sendo f diferenciável em (0, 1), pelo Teorema do Valor Médio, existe θ ∈ (0, 1) tal que f (1)− f(0) = f′(θ), o que implica que
g(t) := a t(p + 1)(|u + tϕ| p+1 − |u|p+1) = a|u + θtϕ|p−1(u + θtϕ)ϕ. Assim, lim t→0g(t) = a|u| p−1uϕ.
Como (a + b)q ≤ 2q−1(aq+ bq) para todo q ∈ [1, +∞) e a, b ∈ [0, +∞), sendo 0 < |t| < 1
e θ ∈ (0, 1), temos
|g(t)| = at|u + θtϕ|p−1(u + θtϕ)ϕ ≤ kak∞|u + θtϕ|p
|ϕ| ≤ 2p−1kak
∞(|u|p +|ϕ|p)|ϕ|.
Afim de usarmos um resultado de convergência, afirmamos que (|u|p+|ϕ|p)ϕ ∈ L1(R3).
Com efeito, como u, ϕ ∈ H1(R3) ֒→ L6(R3) temos (|u|p+|ϕ|p)∈ L6p. Desde que, p ∈ (3, 5)
então 6
6−p ∈ (2, 6). Assim, como ϕ ∈ H
1(R3) ֒→ L6−p6 (R3), pela desigualdade de Hölder
segue a afirmação. Portanto, pelo Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue segue lim t→0 1 t(I3(u + tϕ)− I3(u)) = Z R3
a(x)|u|p−1uϕdx,
isto é,
I3′(u)ϕ = Z
R3
a(x)|u|p−1uϕdx
é a derivada de Gateaux do funcional I3. Agora, mostraremos que essa derivada é contínua.
Para isto, é suficiente verificarmos que se un → u em H1(R3), então I3′(un) → I3′(u) em
H−1. Desde que, u
n→ u em H1(R3), então (un) é limitada em H1(R3) ֒→ L6(R3), assim
para alguma constante C > 0. Desde que p ∈ (3, 5), temos 12
7−p ∈ (3, 6). Assim, ϕ, u ∈
H1(R3) ֒→ L712−p(R3). Por outro lado, (|un| + |u|)p−1 ∈ Lp−16 . Pelo Lema A.4 e pela
desigualdade de Hölder, temos |I3′(un)ϕ− I3′(u)ϕ| = Z R3
a(x)ϕ(|un|p−1un− |u|p−1u)dx
≤ Z R3|a(x)||ϕ| |un|p−1un− |u|p−1u dx ≤ kak∞β Z R3|ϕ||u n− u|(|un| + |u|)p−1dx ≤ kak∞β|ϕ| 12 7−p|un− u|7−p12 ||un| + |u|| p−1 6 ≤ C1khkkun− uk, (A.12)
para alguma constante C1 > 0. Desde que un → u em H1(R3), dado ǫ > 0
Z
R3
a(x)ϕ(un|p−1un− |u|p−1u)dx
≤ ǫ, para n suficientemente grande. Portanto, como
kI′
3(un)− I3′(u)kH−1 = sup
kϕk≤1|(I ′
3(un)− I3′(u))ϕ|,
pelo Lema A.5 segue o resultado desejado.
Como consequência imediata dos Lemas A.6, A.7 e A.8, temos os seguintes resultados: Corolário A.4 Considere o funcional I : H1(R3)→ R definido por
I(u) = 1 2kuk 2+ 1 4 Z R3 K(x)φu(x)u2dx− 1 p + 1 Z R3 a(x)|u|p+1dx. Então, I′(u)ϕ = Z R3∇u∇ϕdx + Z R3 uϕdx + Z R3 K(x)φu(x)uϕdx− Z R3
a(x)|u|p−1uϕdx,
para toda ϕ ∈ H1(R3).
Corolário A.5 Considere o funcional G : H1(R3)→ R definido por
G(u) = I′(u)u =kuk2+
Z R3 K(x)φu(x)u2dx− Z R3 a(x)|u|p+1dx. Então
G′(u)ϕ = 2hu, ϕi + 4 Z
R3
K(x)φu(x)uϕdx− (p + 1)
Z
R3
a(x)|u|p−1uϕdx,
Lema A.9 Sejam (un) e (vn) sequências em H1(R3) tais que kun − vnk → 0 onde
I′(vn)ϕ → 0 para toda ϕ ∈ H1(R3). Se (vn) ⊂ H1(R3) é limitada então I′(un)ϕ → 0
para toda ϕ ∈ H1(R3).
Demonstração: Inicialmente, mostraremos que
|I′(un)ϕ− I′(vn)ϕ| → 0, (A.13)
para toda ϕ ∈ H1(R3). Note que,
|I′(un)ϕ− I′(vn)ϕ| = |I1′(un)ϕ− I1′(vn)ϕ| + |I2′(un)ϕ− I2′(vn)ϕ| + |I3′(un)ϕ− I3′(vn)ϕ|.
Por (A.9) e (A.12) temos que
|I1′(un)ϕ− I1′(vn)ϕ| → 0 (A.14)
e
|I′
3(un)ϕ− I3′(vn)ϕ| → 0, (A.15)
para toda ϕ ∈ H1(R3) quando ku
n− vnk → 0. Assim, para provarmos (A.13) é suficiente
verificarmos que
|I2′(un)ϕ− I2′(vn)ϕ| → 0, (A.16)
para toda ϕ ∈ H1(R3) quandoku
n− vnk → 0. Como (vn)⊂ H1(R3) ֒→ L6(R3) é limitada
então (un)⊂ H1(R3) ֒→ L6(R3) é limitada pois kun− vnk → 0. Desde que, K ∈ L2(R3),
f (y) :=|x − y|−1 ∈ L6(R3), pela limitação de (u2
n) em L3(R3) e pela Observação 1.1 segue
pela desigualdade generalizada de Hölder que |φun(x)| = 3ω1 3 Z R3 K(y) |x − y|u 2 ndy ≤ 3ω1 3|K|2|f|6|u n|26 ≤ C1 q.t.p. em R3,
para alguma constante C1, onde ω3 é o volume da bola unitária em R3. De forma análoga
pela limitação de (vn) em L6(R3) prova-se que
|φvn(x)| ≤ C2 q.t.p. em R
3,
para alguma constante C2. Seja C3 = max{C1, C2}. Assim, por (A.11) e pela desigualdade
generalizada de Hölder segue
|I2′(un)ϕ− I2′(vn)ϕ| = | Z R3 K(x)ϕ(φun(x)un− φvn(x)vn)dx| ≤ C3| Z R3 K(x)ϕ(un− vn)dx| ≤ C3|K|2|ϕ|3|un− vn|6.
Como, un− vn → 0 em H1(R3) ֒→ L6(R3) segue (A.16), o que por (A.14) e (A.15) implica
(A.13). Assim, desde que I′(v
n)ϕ → 0 para toda ϕ ∈ H1(R3), temos I′(un)ϕ → 0 para
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