Universidade Federal da Paraíba
Centro de Ciências Exatas e da Natureza
Programa de Pós-Graduação em Matemática
Curso de Mestrado em Matemática
Sobre um Sistema do tipo
Schrödinger-Poisson
por
Alex de Moura Batista
sob orientação do
Prof. Dr. Everaldo Souto de Medeiros
Dissertação apresentada ao Corpo Do-cente do Programa de Pós-Graduação em Matemática - CCEN - UFPB, como re-quisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática.
Abril/2012 João Pessoa - PB
Sobre um Sistema do tipo
Schrödinger-Poisson
por
Alex de Moura Batista
Dissertação apresentada ao Corpo Docente do Programa de Pós-Graduação
em Matemática - CCEN - UFPB, como requisito parcial para obtenção do
título de Mestre em Matemática.
Área de Concentração: Análise.
Aprovada por:
Prof. Dr. Everaldo Souto de Medeiros - UFPB (Orientador)
Prof. Dr. Giovany de Jesus Malcher Figueiredo - UFPA
Prof. Dr. Uberlandio Batista Severo - UFPB
Prof. Dr. João Marcos Bezerra do Ó - UFPB (Suplente)
Universidade Federal da Paraíba
Centro de Ciências Exatas e da Natureza
Programa de Pós-Graduação em Matemática
Curso de Mestrado em Matemática
Agradecimentos
• Agradeço a Deus por todas as oportunidades que tive durante minha vida. Agradeço pela saúde, pela força de vontade e por mais esta etapa concluída. Muito obrigado Deus!
• A minha mãe e ao meu pai por todo amor, carinho e confiança que sempre me deram. Vocês são o meu porto seguro e a razão do meu viver. Agradeço, ainda, ao meu irmão pelos momentos de descontração que tivemos.
• Ao meu orientador, Everaldo Souto de Medeiros, pela excelente orientação, pela paciência no início do nosso trabalho, por todo ensinamento a mim proporcionado, pela autonomia e confiança a mim concedida. Muito obrigado Everaldo!
• As minhas colegas de mestrado Elizabeth e Rainelly pela amizade, pelos momentos de estudo e de descontração. Um agradecimento especial a Elisânia, por todo o conhecimento compartilhado, pelas conversas, pelos conselhos e por ter me incenti-vado nos momentos em que mais precisei.
• Aos professores Giovany de Jesus Malcher Figueiredo e Uberlandio Batista Severo, por aceitarem avaliar meu trabalho, pelos comentários e sugestões tão necessárias para a melhoria deste trabalho.
• Aos professores Cleto Brasileiro Miranda Neto e Uberlandio Batista Severo pelo aprendizado que adquiri em suas aulas e por se apresentarem sempre atenciosos e disponíveis.
• Aos demais professores da Pós-Graduação em Matemática da UFPB que contribuíram para a minha formação.
• Um agradecimento especial a professora de graduação, Lourena Karin de Medeiros Rocha, por me ensinar a gostar de matemática, por todo ensinamento e incentivo. Agradeço, ainda ao professor Adriano Thiago Lopes Bernardino, pelo incentivo e conselhos.
• A todos os meus amigos e colegas da graduação. Vocês foram fundamentais pela graduação tão proveitosa que tive. Obrigado a todos!
• A dona Cida pela hospedagem durante esses anos de mestrado.
Dedicatória
Resumo
Nesta dissertação, estudaremos a existência de dois tipos de soluções fracas não negativas para uma classe de problemas do tipo Schrödinger-Poisson, os quais mode-lam fenômenos físicos, por exemplo, em Mecânica Quântica. Inicialmente, encontraremos através de argumentos de minimização, do Lema Splitting e do Princípio Variacional de Ekeland, uma solução fraca que minimiza o nível de energia mínima associado a variedade de NehariN. Tal solução é denominada do tipo ground state. Em seguida, encontraremos através do Teorema de Linking, uma solução fraca estritamente positiva que não é do tipo ground state. Tal solução é denominada do tipo bound state.
Palavras-chave:
Abstract
In this dissertation, we study the existence of two types of non-negative weak solutions for a class of problems of Schrodinger-Poisson type. This kind of problem models, for example, several physical phenomena in quantum mechanics. Initially, by minimization arguments, Splitting Lemma and the Variational Principle of Ekeland we find a weak solution that minimizes the minimum energy level associated to the variety of Nehari
N. This is the so-called ground state solution. Afterwards we will find, by using the Linking Theorem, a strictly positive weak solution which is not a ground state solution: the so-called bound state solution.
Keywords:
Sumário
1 Formulação Variacional do Problema 1
1.1 Equação de Acoplamento . . . 1
1.2 Variedade de Nehari . . . 7
2 Existência de Solução do tipo Ground State 14 2.1 Problemas Auxiliares . . . 15
2.1.1 O Problema (P∞) . . . 15
2.1.2 O Problema (Pa) . . . 24
2.2 Projeções Sobre a Variedade de Nehari . . . 25
2.3 Um Resultado de Compacidade (Lema Splitting) . . . 26
2.3.1 Prova da Proposição 2.3 . . . 41
2.4 Condição(P S) . . . 42
2.5 Estimativa de Nível . . . 44
2.5.1 Prova do Teorema 2.1 . . . 46
3 Existência de Solução do tipo Bound State 47 3.1 Não Existência de Solução do tipo Ground State . . . 48
3.2 Funções Auxiliares . . . 51
3.3 Ferramentas do Tipo Minimax . . . 55
3.3.1 Outros níveis para a condição (P S)d . . . 57
3.3.2 Prova do Teorema 3.1 . . . 61
A Resultados Utilizados 62
Notações
Neste trabalho, faremos uso das seguintes notações:
Notações gerais
• Bδ(x) denota a bola aberta de raio δ e centro x;
• ⇀,→ denota convergência fraca e forte, respectivamente;
• ֒→ denota imersão;
• µ(Ω) denota a medida de Lebesgue do subconjuntoΩ⊂R3;
• q.t.p. é uma abreviação de quase toda ponto;
• ∂u
∂xi denota a derivada parcial da função u: Ω⊂R
3 →R em relação ax
i;
• ∇u=∂u
∂x1,
∂u ∂x2,
∂u ∂x3
denota o gradiente da função u: Ω⊂R3 →R;
• ∆u=P3i=1∂x∂u
i denota o laplaciano da função u: Ω⊂R
3 →R;
• h·,·i denota produto interno;
• f =o(g)quando x→x0 se limx→x0|f(x)|/|g(x)|= 0; • u+ = max{u,0} eu− = max{−u,0}.
Espaço de Funções
• C(X, Y) denota o espaço das funções contínuas de X em Y;
• C0(Ω) denota o espaço das funções contínuas com suporte compacto em Ω;
• Ck(Ω) denota o espaço das funções k vezes continuamente diferenciáveis sobre Ω,
k ∈N;
• C∞(Ω) =∩k≥1Ck(Ω); C0∞(Ω) =C0(Ω)∩C∞(Ω);
• C0,α(Ω) = nu ∈ C(Ω); sup
x,y∈Ω
x6=y
|f(x)−f(y)| |x−y|γ < ∞
o
denota o espaço das funções de Hölder;
• Para 1≤p <+∞denotemos
Lp(Ω) =nu: Ω
→R;
Z
Ω|
u|pdx <
∞o;
• Lploc(Ω) =nu∈Lp(Ω′) para todo compacto Ω′ ⊂Ω
• L∞(Ω) =nu: Ω→R;|u(x)| ≤C q.t.p sobre Ω para algum C >0o; • W1,p(Ω) é o espaço das funções u ∈ Lp(Ω) tais que existem g
i := ∂x∂ui ∈ Lp(Ω)
i= 1,2,3 satisfazendo
Z
Ω
u∂ϕ ∂xi
dx=−
Z
Ω
ϕgidx ∀ϕ ∈C0∞(Ω), i= 1,2,3
• Com gi i= 1,2,3 satisfazendo a propriedade acima temos
D1,2(Ω) =nu∈L2∗(Ω) :∃gi ∈L2(Ω) i= 1,2,3 o
;
• Para p= 2 temos W1,2(Ω) =H1(Ω);
• H1
rad(R3)é o subespaço das funções radiais de H1(R3);
• H−1 denota o dual do espaço H1(R3);
• D−1,2∗
(R3)denota o dual do espaço D1,2(R3);
Normas
• kuk∞ = inf{C >0; |u(x)| ≤C q.t.p em Ω} denota a norma do espaçoL∞(Ω); • |u|p =
R
R3|u|pdx
1
p
denota a norma do espaço de Lebesgue Lp(R3);
• |u|p,Ω =
R
Ω|u|
pdx
1
p
denota a norma do espaço de Lebesgue Lp(Ω) com Ω$ R3;
• kukH1 =
|u|2 2+
P3
i=1
∂x∂ui
2 2
1 2
denota a norma sobre o espaço H1(R3);
• kukD1,2 = P3i=1
∂x∂ui
2 2
1 2
Constantes
• C, C1, C2, ...denota constantes positivas;
• S é a melhor constante da imersãoD1,2(R3)֒→L6(R3)contínua, mais precisamente
S = inf
u∈D1,2(R3)\{0}
kukD1,2 |u|6
;
• S é a melhor constante da imersão H1(R3)֒→L6(R3)contínua, mais precisamente
S = inf
u∈H1(R3)\{0} kukH1
|u|6
Introdução
Neste trabalho, estudaremos questões referentes a existência de soluções fracas não-negativas para a seguinte classe de sistemas:
(
−∆u+u+K(x)φ(x)u=a(x)|u|p−1u em R3,
−∆φ =K(x)u2 em R3, (S)
onde as funções a, K : R3 → R são não-negativas e satisfazem algumas propriedades
integrais.
A motivação do estudo do sistema (S) vem da análise da equação de Schrödinger não linear
i∂ψ
∂t −∆ψ+K(x)φ(x)ψ =a(x)|ψ|
p−1ψ em
R3×(0,∞),
com a interação de um campo Magnético, onde a função ψ :R3×R→C é do tipo
ψ(x, t) =eitu(x),
com t ∈ R, u : R3 → R. Maiores detalhes sobre a dedução do sistema (S) podem ser
encontradas em [1] ou [7]. Problemas semelhantes têm sido amplamente investigados e possuem forte relação com a física, uma vez que aparecem em modelos da mecânica quântica (veja, por exemplo, [7]) e na teoria de semicondutores (veja, por exemplo, [5]). Em particular, sistemas como (S) foram introduzidos em [5] e [6] como um modelo que descreve ondas solitárias não-lineares para equações estacionárias do tipo Schrödinger que interagem com um campo eletrostático, e são geralmente conhecidos como sistemas do tipo Schrödinger-Poisson. Com efeito, no sistema (S), a primeira equação é do tipo Schrödinger não-linear estacionária (onde, como de costume, o termo não-linear simula a interação entre muitas partículas), que é acoplada com uma equação do tipo Poisson. Isto significa que o potencial é determinado pela carga da função de onda.
Desde que usaremos técnicas variacionais, afim de que a imersão de Sobolev H1(R3)֒→Lp+1(R3)
seja compacta, vamos assumir no decorrer deste trabalho que p∈(3,5). Como veremos, para cada u∈H1(R3), o problema
−∆φ=K(x)u2 em R3, (P)
possui uma única solução fraca denotada por φu ∈ D1,2(R3). Assim, resolver o sistema
(S) é equivalente a encontramos soluções fracas para o problema
A existência de soluções para o problema (P1) será obtida através de técnicas
varia-cionais, isto é, a ele associaremos o funcional energia I :H1(R3)→R definido por
I(u) = 1 2kuk
2+ 1
4
Z
R3
K(x)φu(x)u2dx−
1
p+ 1
Z
R3
a(x)|u|p+1dx, (1)
cujos pontos críticos são soluções fracas do problema (P1). Desde que, não temos condições
de simetria sobre as funções K(x)e a(x), o estudo do problema (P1) será uma cuidadosa
investigação do comportamento das sequências de Palais-Smale do funcional I.
Este trabalho foi baseado no artigo de Cerami-Vaira [12] e é constituído de três capí-tulos e um apêndice, conforme descreveremos a seguir.
No Capítulo 1, introduziremos as ferramentas variacionais necessárias para o desen-volvimento deste trabalho. Isto será feito sob as condições:
(a1) lim|x|→∞a(x) = 1, a∈L∞(R3) e a≥0em R3;
(K) K ∈L2(R3)∩C(R3)e K >0em R3.
Inicialmente, para cada u∈H1(R3), mostraremos através do Teorema da Representação
de Riesz que o problema (P) possui uma única solução fraca, denotada porφu ∈ D1,2(R3).
Em seguida, estudaremos as principais propriedades desta solução. Visto que o funcional I não é limitado inferiormente, com o objetivo de obter uma solução via metódos de minimização, introduziremos a variedade de Nehari
N :=nu∈H1(R3)
\{0}; I′(u)u= 0o,
associada ao funcional I definido em (1), na qual o funcionalI|N é limitado inferiormente. Assim, o nível de energia mínima associado ao funcional I
m= infnI(u); u∈ No
está bem definido. Este nível será fundamental para o desenvolvimento dos próximos capítulos.
NoCapítulo 2, assumindo que as funções a eK satisfazem:
(a1) lim|x|→∞a(x) = 1, a∈L∞(R3);
(a2) a(x)≥1em R3 com a6≡1;
(K) K ∈L2(R3)∩C(R3)e K >0em R3,
encontraremos uma solução fraca u∈H1(R3) para o problema (P
1) que minimiza o nível
de energia mínima m, ou seja, I(u) =m. Esta solução é denominada de solução do tipo ground state do problema (P1).
Teorema 0.1 Sob as condições (a1), (a2) e (K), assumindo que
|K|22 < m
ϑ
∞−mϑa
σm1+ϑ a
,
com ϑ= pp−+13 eσ = 2pp+1−1S−2S−4, ondeS e S são, respectivamente, as melhores constantes
das imersões H1(R3)֒→L6(R3) e D1,2(R3)֒→L6(R3), então o problema (P
1) possui uma
solução do tipo ground state.
Os númerosm∞emasão os níveis de energia mínima associados aos respectivos problemas
−∆w+w=|w|p−1w em R3 (P
∞)
e
−∆w+w=a(x)|w|p−1w em
R3. (Pa)
Um importante resultado deste capítulo será o Lema Splitting (Proposição 2.3), do qual, como consequência imediata, temos que o funcional I|N satisfaz a condição (P S)c
para todo c∈(0, m∞)e que, além disso,c=I(u),para alguma u∈H1(R3)solução fraca
do problema (P1).
Afim de usarmos este resultado, mostraremos que m∈ (0, m∞) e, através o Princípio Variacional de Ekeland, mostraremos que existe uma sequência (un)⊂ N tal que
I(un)→m e kI(un)k∗ →0.
Assim, iremos garantir a existência de uma função u ∈ H1(R3) que é solução do tipo
ground state para o problema (P1). Uma vez que, nada sabemos quanto a mudança de
sinal da função u obtida acima, para finalizarmos a prova do Teorema 0.1 provaremos, através do Teorema do Multiplicadores de Lagrange que, |u| ∈H1(R3) é uma solução do
tipo ground state do problema (P1).
NoCapítulo 3, assumindo que as funções a eK satisfazem:
(a1) lim|x|→∞a(x) = 1, a∈L∞(R3);
(a3) a≤1 em R3 e a0 = infx∈R3a(x)>0;
(K) K ∈L2(R3)∩C(R3)e K >0em R3,
mostraremos que o problema (P1) não possui solução do tipo ground state. Por outro
lado, mostraremos que o problema (P1) possui uma solução fraca estritamente positiva.
Tal solução é denominada do tipo bound state. O principal resultado deste capítulo é:
Teorema 0.2 Sob as condições (a1), (a3) e (K), assumindo que
1 +η|K|2 2
a0
<2pp−+13,
com η= 2pp+1−1S−4S−2m
A prova deste resultado será estabelecida através de ferramentas do tipo minimax. Ini-cialmente, determinaremos Q⊂H1(R3)de onde através deste subconjunto definiremos o
caminho
γ :=nh∈C(Q,N);h|∂Q =id
o
,
e o nível minimax
c:= inf
h∈γmaxu∈Q ϕ(h(u)).
No Capítulo 2 provaremos que o funcional I|N satisfaz a condição (P S)d para todo
d ∈ (0, m∞). No entanto, o nível minimax c não pertence ao intervalo (0, m∞). Para contornarmos esta dificuldade, afim de obtermos um importante resultado de compaci-dade, provaremos que o funcional I|N satisfaz a condição (P S)d para todo d
perten-cente a um novo intervalo onde o nível minimax c pertence a este novo intervalo. Com isso, utilizando o Teorema de Linking, provaremos a existência de uma solução fraca não negativa para o problema (P1). Através de argumentos de regularidade e do Princípio do
Capítulo 1
Formulação Variacional do Problema
Neste capítulo, iremos introduzir as ferramentas variacionais necessárias para o de-senvolvimento deste trabalho. Inicialmente, assumiremos que as funções a, K : R3 → R
satisfazem
(a1) lim|x|→∞a(x) = 1, a∈L∞(R3) e a≥0em R3;
(K) K ∈L2(R3)∩C(R3)e K >0em R3.
As funções a:R3 →R em eK :R3 →Rdefinidas por a≡1 em R3 e
K(x) =
1/|x|, se|x|>1 1, se|x| ≤1, são exemplos de funções que satisfasem as condições (a1) e(K).
1.1
Equação de Acoplamento
Conforme provaremos abaixo, para cada função u∈H1(R3), o problema
−∆φ=K(x)u2 em R3, (1.1)
possui uma única solução fraca denotada por φu ∈ D1,2(R3). O objetivo desta seção é
estudar as principais propriedades desta função. Iniciamos com o seguinte resultado:
Lema 1.1 Para cada u ∈ H1(R3), o problema (1.1) possui uma única solução φ
u ∈
D1,2(R3).
Demonstração: Para cadau∈H1(R3)considere a aplicaçãoL
u :D1,2(R3)→Rdefinida
por
Lu(ϕ) = Z
R3
K(x)u2ϕdx.
Desde que,u∈H1(R3)֒→L6(R3), entãou2∈L3(R3). Sendo assim, comoϕ ∈ D1,2(R3)֒→
L6(R3) e K ∈L2(R3), pela desigualdade de generalizada Hölder
|Lu(ϕ)|=
Z
R3
K(x)u2ϕdx
≤
Z
R3|
K(x)u2ϕdx| ≤ |K|
1.1 Equação de Acoplamento
Ainda pela imersão D1,2(R3)֒→L6(R3), segue
|Lu(ϕ)| ≤S−
1
|K|2|u|26kϕkD1,2, (1.2)
de onde concluímos que a aplicação Lu está bem definida e é limitada, pois claramente
esta aplicação é linear. ComoD1,2(R3)é um espaço de Hilbert munido do produto interno
hu, ϕi=
Z
R3∇
u∇ϕdx,
pelo Teorema da Representação de Riesz, para cada u ∈ H1(R3) existe um único φ
u ∈
D1,2(R3) tal que
Z
R3∇
φu∇ϕ dx = Z
R3
K(x)u2ϕdx, (1.3) para todaϕ ∈ D1,2(R3). Dessa forma,φ
u é a única solução fraca do problema (1.1), e isto
completa a prova deste lema.
Ainda pelo Teorema da Representação de Riesz, temos
kφukD1,2 =kLuk.
Com isso, por (1.2) e pela imersão H1(R3)֒→L6(R3), segue
kφukD1,2 ≤S−
1
S−2|K|2kuk2, (1.4)
de onde por (1.3) temos
Z
R3
K(x)φu(x)u2dx 1
2
≤S−1S−2|K|2kuk2,
ou seja, Z
R3
K(x)φu(x)u2dx≤S−
2
S−4|K|2
2kuk4. (1.5)
Agora, considere a aplicação
Φ :H1(R3)→ D1,2(
R3)
que para cada u∈H1(R3) associa Φ(u) :=φ
u ∈ D1,2(R3) que é a única solução fraca do
problema (1.1).
O lema abaixo é o principal resultado desta seção e contém as principais propriedades da aplicação Φ.
Lema 1.2 A aplicação Φ satisfaz as seguintes propriedades:
1) Φ aplica conjuntos limitados em conjuntos limitados;
2) Se un ⇀ uem H1(R3), então a menos de subsequência Φ(un)⇀Φ(u) em D1,2(R3);
3) Φ(tu) =t2Φ(u) para todo t ∈ R e u∈H1(R3);
1.1 Equação de Acoplamento
Demonstração: Inicialmente provaremos o item1). SejaA ⊂H1(R3) um subconjunto
limitado. Por (1.4), segue que
kφukD1,2 ≤S−1S−2|K|2C2,
para todo u∈A e para alguma constanteC >0, o que prova este item.
Agora, provaremos o item 2). Seja (un) ⊂ H1(R3) tal que un ⇀ u em H1(R3).
Mostraremos que a menos de subsequência
φun ⇀ φu em D
1,2(R3). (1.6)
Note que, para provarmos a convergência acima, é suficiente mostrar que
hφun, ϕi=
Z
R3
K(x)ϕun2dx→ Z
R3
K(x)ϕu2dx=hφu, ϕi, (1.7)
para toda ϕ ∈ D1,2(R3), pois dado f ∈ D−1,2∗(R3), pelo Teorema da Representação de
Riesz existe única u = u(f) ∈ D1,2(R3) tal que f(ϕ) = hu, ϕi para todo ϕ ∈ D1,2(R3).
Assim, supondo (1.7) temos
f(φun)→f(φu),
e isto prova (1.6). Agora, provaremos (1.7) e, com isso, concluímos a prova deste item. As igualdades de (1.7) seguem de (1.3). Desde que, un ∈ H1(R3) ֒→ L6(R3), temos
u2
n ∈L3(R3), além disso, K ∈L2(R3)eϕ ∈H1(R3)֒→L6(R3), de onde pela desigualdade
generalizada de Hölder temos que
Z
R3
K(x)ϕ(u2n−u2)dx
≤ |ϕ|6
Z
R3
(K(x))65|u2
n−u2|
6 5dx
5 6
. (1.8)
Assim, para provarmos (1.7), é suficiente verificarmos que
lim
n→∞ Z
R3
(K(x))65|u2
n−u2|
6
5dx= 0. (1.9)
Desde que, K ∈L2(R3), u2
n−u2 ∈L3(R3) e (un) é limitada em H1(R3)֒→L6(R3), dado
ρ >0, pela desigualdade de Hölder, segue
Z Bρ(0)c
(K(x))65|u2
n−u
2
|65dx≤ |K| 6 5
2,Bρ(0)c
Z Bρ(0)c
|u2n−u2|3dx
4 10
(1.10) e
Z
R3|
u2n−u2|3dx 4
10
≤ |un−u|
6 5
6|un+u|
6 5
6 ≤C1, (1.11)
para alguma constante C1 >0.
Além disso, χBρ(0)c|K|
2 ≤ |K|2, para todo ρ > 0. Desde que, K ∈ L2(R3), pelo
Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue e pela Proposição A.6 (veja Apêndice), segue
lim
ρ→∞
Z Bρ(0)c
(K(x))2dx= 0. o que implica que dado ǫ >0, temos
1.1 Equação de Acoplamento
para ρ >0 suficientemente grande. Com isso, por (1.10) e (1.11), obtemos
Z Bρ(0)c
(K(x))65|u2
n−u2|
6
5dx≤C
1ǫ, (1.12)
para ρ >0 suficientemente grande. Agora, dado M >0, defina o conjunto
ΩM = n
x∈Bρ(0); K(x)≥M o
,
com ρ >0 obtido acima. Assim
M2µ(ΩM)≤ Z
ΩM
(K(x))2dx≤
Z
R3
(K(x))2dx,
para todo M > 0, onde µ(ΩM) é a medida de Lebesgue do conjunto ΩM. Desde que,
K ∈ L2(R3), então limµ(Ω
M) = 0, quando M → ∞. Dessa forma, pela Proposição A.6
(veja Apêndice), dado ǫ >0, temos
Z
ΩM
(K(x))2dx
6 10
≤ǫ,
para M suficientemente grande. Assim, pela desigualdade de Hölder e por (1.11), segue
Z Bρ(0)
(K(x))65|u2
n−u
2
|65dx=
Z
ΩM
(K(x))65|u2
n−u
2
|65dx+
Z
Bρ(0)\ΩM
(K(x))65|u2
n−u
2
|65dx
≤C2ǫ+M
6 5
Z
Bρ(0)\ΩM
|u2n−u2|
6 5dx.
(1.13) Por outro lado, un−u, un+u∈H1(R3)֒→L
12
5 (R3). Assim,(un−u)65,(un+u)65 ∈L2(R3).
Pela desigualdade de Hölder
Z
Bρ(0)\ΩM
|u2n−u2|
6
5dx≤ |un+u| 6 5 12
5,Bρ(0)|un−u|
6 5 12
5,Bρ(0). Sendo assim, como (un+u) é limitada em H1(R3)֒→L
12
5 (R3) e un→u em L 12
5 (Bρ(0)),
pois H1(B
ρ(0)) ֒→L
12
5 (Bρ(0)), compactamente e un ⇀ uem H1(R3), temos
lim
n→∞
Z
Bρ(0)\ΩM
|u2
n−u2|
6
5dx= 0.
Dessa forma, por (1.12) e (1.13), obtemos
lim
n→∞
Z
R3
(K(x))65|u2
n−u2|
6
5dx= 0,
de onde por (1.8) seque (1.7) e isto completa a prova deste item.
Agora, provaremos o item3). Pelo Lema 1.1, para cada u∈H1(R3), o problema
1.1 Equação de Acoplamento
possui uma única solução fraca denotada por φu. Mais precisamente, Z
R3∇
φu∇ϕdx= Z
R3
K(x)u2ϕdx, para toda ϕ∈ D1,2(R3). Assim, para todo t∈R, segue
Z
R3∇
φtu∇ϕdx= Z
R3
K(x)(tu)2ϕdx
=t2
Z
R3
K(x)u2ϕdx
=t2
Z
R3∇
φu∇ϕdx,
para toda ϕ∈ D1,2(R3), o que implica em
Z
R3∇
(φtu−t2φu)∇ϕdx= 0,
para toda ϕ∈ D1,2(R3). Em particular, tomando ϕ =φ
tu−t2φu, temos
kϕk2D1,2 =
Z
R3∇
ϕ∇ϕ= 0.
Desde que, k.kD1,2 é uma norma, segue ϕ = 0, o que implica em
φtu =t2φu,
para todo t∈R eu∈H1(R3), como queríamos.
Agora, provaremos o item4). Inicialmente, afirmamos que φu ≥0. Com efeito, desde
que Z
R3∇
φu∇ϕdx= Z
R3
K(x)u2ϕdx, para toda ϕ∈ D1,2(R3), tomando ϕ =φ−
u, temos Z
R3∇
(φ+u −φ−u)∇φ−udx= Z
R3
K(x)u2φ−udx,
o que implica em
−kφ−ukD1,2 =
Z
R3
K(x)u2φ−
udx≥0,
isto é, kφ−
ukD1,2 = 0 o que prova a afirmação, pois φu =φ+u ≥0. Agora, visando utilizar
um resultado de regularidade mostraremos que
φu ∈C2(R3). (1.14)
Note que, φu ∈ D1,2(R3) satisfaz o problema (
−∆u+u+K(x)φ(x)u=a(x)|u|p−1u em R3,
1.1 Equação de Acoplamento
no sentido fraco. Assim, para provarmos (1.14) iremos utilizar o problema
−∆u+u+K(x)φu(x)u=a(x)|u|p−1u em R3. (P1)
Note que podemos escrever
−∆u=ψ, onde ψ(x) :=a(x)|u|p−1u−u−K(x)φ
u(x)u. Assim,
|ψ(x)| ≤f(x)(1 +|u|),
comf(x) := |a(x)|u|p−1−1−K(x)φ
u(x)|. Agora, afirmamos quef ∈L
3 2
loc(R3). Desde que,
K ∈ L2(R3) então K3
2 ∈ L43(R3). Como φu ∈ D1,2(R3) ֒→ L6(R3) temos φ 3 2
u ∈ L4(R3),
o que pela desigualdade de Hölder segue Kφu ∈ L
3 2
loc(R3). Assim, como a ∈ L∞(R3) e
sendo 3 < s := 32(p−1) < 6 (p ∈ (3,5)) e u ∈ H1(R3) ֒→ Ls(R3) segue a afirmação.
Pelo Teorema de Brezis-Kato (veja Proposição A.22 do Apêndice), u∈Lq(R3)para todo
q <+∞. Agora, note que,φ3
u ∈L2(R3)eu3 ∈L2(R3). Pela desigualdade de Hölder segue
queφuu∈L3(R3). Sendo assim, comou∈Lq(R3)para todoq <+∞e pela condição(K)
K ∈C(R3)segue queψ ∈L3
loc(R3). Disto, temos pela Proposição A.20 queu∈W
2,3
loc(R3),
o que pela Proposição A.17 implica que u ∈ Cloc0,γ(R3) para algum γ < 1. Dessa forma,
Kφu ∈Cloc0,γ(R3), o que pela Proposição A.19 implica (1.14), como queríamos.
Agora, mostraremos que φu > 0 em R3 e, com isso, finalizar a prova deste item.
Suponhamos por contradição que φu(x0) = 0 para algum x0 ∈R3. Desde que por (1.14)
φu ∈C2(R3)e
−∆φu =K(x)u2 ≥0 em Bρ(x0),
pelo Princípio do Máximo Forte (veja Proposição A.21 do Apêndice), temos φu = 0 para
toda bola Bρ(x0), o que implica em Ku2 = 0 em Bρ(x0). Como Bρ(x0) é arbitrária
segue Ku2 = 0 em R3. Desde que, pela condição (K) K > 0 em R3, temos u ≡ 0 em
R3, o que é uma contradição. Portantoφ
u >0emR3 e isto completa a prova deste lema.
Observação 1.1 Agora, para aplicações futuras, daremos uma representação integral para φu ∈ D1,2(R3) solução fraca do problema
−∆φ=K(x)u2 em R3, (1.15)
onde u ∈ H1(R3). Definindo f := Ku2, pelo Teorema de Calderon-Zygmund (veja
Proposição A.20 do Apêndice) o potencial newtoniano
Nf(x) =
1 3ω3
Z
R3
K(y)
|x−y|u
2(y)dy
onde ω3 é o volume da bola unitária de R3, é solução fraca do problema (1.15). Assim,
φu(x) =
1 3ω3
Z
R3
K(y)
|x−y|u
2(y)dy q.t.p. em R3,
1.2 Variedade de Nehari
1.2
Variedade de Nehari
Nesta seção, iremos introduzir a variedade de Nehari N e provar suas principais pro-priedades.
Observação 1.2 Pelo Lema 1.1 para cada função u∈H1(R3) o problema
−∆φ=K(x)u2 em R3,
possui uma única solução fraca φu ∈ D1,2(R3). Logo, resolver o problema (
−∆u+u+K(x)φ(x)u=a(x)|u|p−1u em R3,
−∆φ=K(x)u2 em R3, (S)
é equivalente a encontrarmos soluções fracas para o problema
−∆u+u+K(x)φu(x)u=a(x)|u|p−1u em R3. (P1)
Agora, iremos obter a formulação variacional para o problema (P1). Entende-se como
solução clássica de (P1) uma função u de classe C2(R3) que satisfaz (P1) pontualmente.
Sejaϕ ∈C∞
0 (R3)e suponhamos queué uma solução clássica de (P1). Multiplicando (P1)
por ϕ e usando integração por partes, temos
Z
R3∇
u∇ϕdx+
Z
R3
uϕdx+
Z
R3
K(x)φu(x)uϕdx= Z
R3
a(x)|u|p−1uϕdx. (1.16)
Por argumento de densidade, temos que (1.16) é válida para toda ϕ∈H1(R3). Motivado
por (1.16), temos a seguinte definição:
Definição 1.1 Dizemos que u ∈ H1(R3) é solução fraca do problema (P
1) se satisfaz a
equação integral (1.16) para toda ϕ∈H1(R3).
Seja I :H1(R3)→R o funcional definido por
I(u) = 1 2kuk
2+ 1
4
Z
R3
K(x)φu(x)u2dx−
1
p+ 1
Z
R3
a(x)|u|p+1dx. (1.17)
Pelo Corolário A.4 (veja Apêndice), este funcional está bem definido e
I′(u)ϕ =
Z
R3∇
u∇ϕdx+
Z
R3
uϕdx+
Z
R3
K(x)φu(x)uϕdx− Z
R3
a(x)|u|p−1uϕdx,
para toda ϕ ∈ H1(R3). Portanto, prontos críticos do funcional I são soluções fracas do
problema (P1).
Agora, afirmamos que o funcionalI não é limitado inferiormente. Com efeito, por 3) do Lema 1.2, temos φtu =t2φu para todo t∈R eu∈H1(R3). Assim,
I(tu) = t
2
2kuk
2+ t4
4
Z
R3
K(x)φu(x)u2dx−
tp+1
p+ 1
Z
R3
a(x)|u|p+1dx, (1.18)
1.2 Variedade de Nehari
Definição 1.2 (Variedade de Nehari) A variedade de Nehari associada ao funcional I definido em (1.17) é definida por
N :=nu∈H1(R3)\{0}; I′(u)u= 0o.
Observação 1.3 A variedade de NehariN é não vazia. Com efeito, por 1) do Lema 1.3 que provaremos a seguir para cada u∈H1(R3)\{0} existe único t
u >0 tal que tuu∈ N.
Essa definição é conveniente pois por 2) do Lema 1.3, que será provado a seguir, tem-se que I|N é limitado inferiormente por uma constante positiva. Esta limitação será fundamental para os resultados que pretendemos obter.
Em seguida, mostraremos que o funcionalI|N assume formas simples. Se u∈ N temos
1 4
Z
R3
K(x)φu(x)u2dx=
1 4
Z
R3
a(x)|u|p+1dx− 1
4kuk
2
e
−p+ 11
Z
R3
a(x)|u|p+1dx=
−p+ 11 kuk2− 1 p+ 1
Z
R3
K(x)φu(x)u2dx.
Substituindo estas duas igualdades em (1.17), obtemos
I|N(u) =1 2 −
1
p+ 1
kuk2 +1 4−
1
p+ 1
Z
R3
K(x)φu(x)u2dx
= 1 4kuk
2+1
4− 1
p+ 1
Z
R3
a(x)|u|p+1dx.
(1.19)
Como consequência, I é limitado inferiormente, pois p ∈ (3,5) e a, K são funções não-negativas.
Definição 1.3 O número
m= infnI(u); u∈ No
é denominado de nível de energia mínima associado ao funcional I definido em (1.17). Por (1.19) o número m está bem definido. O próximo lema contém as principais pro-priedades da variedade de NehariN. Antes de enunciá-lo, daremos as seguintes definições:
Definição 1.4 Sejam X um espaço de Banach, ψ ∈C2(X,R) e V ={v ∈X;ψ(v) = 1}
tal que, para todo v ∈V, tem-se ψ′(v)6= 0. Então, temos
i) O espaço tangente a V no ponto v é definido por
TvV = n
y∈X; hψ′(v), yi= 0o.
ii) Sejam ϕ ∈ C1(X,R) e v ∈ V. A norma da derivada da restrição de ϕ a V em v é
dada por
kϕ′(v)k∗ = sup
y∈Tv V
kyk=1
1.2 Variedade de Nehari
iii) O ponto v é um ponto crítico de ϕ restrito a V se
kϕ′(v)k∗ = 0.
Assim, sabemos definir um ponto crítico do funcional I|N.
Lema 1.3 Sobre a variedade de Nehari N podemos afirmar que
1) Para toda u∈H1(R3)\{0} existe um único t
u >0 tal que tuu∈ N;
2) N é homeomorfa a esfera unitária de H1(R3);
3) O nível m dado na Definição 1.3 é estritamente positivo;
4) u é um ponto crítico do funcional I se, e somente se, u é um ponto crítico do funcional I|N.
5) Seja u∈ N tal que I(u) = m, então u é solução fraca do problema (P1).
Demonstração: Inicialmente provaremos o item1). Para isto, considerando (1.18), para cada u∈H1(R3)\{0}definiremos a função g : (0,+∞)→Rpor
g(t) =I(tu) = t
2
2kuk
2+t4
4
Z
R3
K(x)φu(x)u2dx−
tp+1
p+ 1
Z
R3
a(x)|u|p+1dx.
Note que, esta função admite um ponto de máximo, pois
lim
t→0g(t) = 0 e t→lim+∞g(t) =−∞,
já que p >3, mais precisamente, existe tu ∈(0,+∞)tal que
max
t>0 I(tu) = I(tuu). (1.20)
Agora, afirmamos que tuu ∈ N. Com efeito, desde que tu é um ponto de máximo da
função g, temos g′(t
u) = 0, de onde concluímos que
g′(tu)tu =ktuuk2+ Z
R3
K(x)φtuu(x)(tuu)
2dx
−
Z
R3
a(x)|tuu|p+1dx = 0,
disto segue por 3) do Lema 1.2 que
t2ukuk2+t4u Z
R3
K(x)φu(x)u2dx−tpu+1 Z
R3
a(x)|u|p+1dx= 0
o que implica em tuu ∈ N. Agora, provaremos que tu é único. Com efeito, suponhamos
por contradição que existam t2 > t1 >0tais que t1u, t2u∈ N. Agora, considere a função
f :R→Rdefinida por
f(t) = a+bt2−ctp−1,
onde
a=kuk2 , b =
Z
R3
K(x)φu(x)u2dx e c= Z
R3
1.2 Variedade de Nehari
Note que, pela condição (a1) sendo u6= 0, temos c >0. Assim, f(t1) = f(t2) = 0, o que
pelo Teorema de Rolle, existe t3 ∈(t1, t2) tal que f′(t3) = 0. Dessa forma,
tp3−3 = 2b
c(p−1) <
b c,
pois p >3. Por outro lado, bt2
1 < a+bt21 =ct
p−1
1 , o que implica em
b c < t
p−3 1 .
Assim, t3 < t1 o que é uma contradição. Portanto, tu é único e isto completa a prova
deste item.
Agora provaremos o item2), para isto considere as funçõesϕ:S1 → N eψ :N → S1
definidas por
ϕ(u) =tuu e ψ(u) =
u
kuk,
onde tu > 0 é o único número tal que tuu ∈ N e S1 é a esfera unitária de H1(R3).
Inicialmente, note que
(ψ◦ϕ)(u) = ψ(tuu) =
tuu
ktuuk
= tuu
tukuk
= tuu
tu
=u
e denotando v = u
kuk, temos
(ϕ◦ψ)(u) = ϕ(v) = tvv =
tv
kuku.
Sendo assim, desde que u∈ N, temostv =kuk, o que implica em
(ϕ◦ψ)(u) = u.
Dessa forma, a função ϕ é bijetora. Com isso, para provarmos que a variedade de Nehari
N é homeomorfa a S1, falta-nos provar apenas que as funções ϕ e ψ são contínuas.
Provaremos inicialmente a continuidade da função ϕ. Para isto, seja(un)⊂S1 e u∈ S1
tais que
un→u em H1(R3). (1.21)
Note que, por 1) para cadan ∈Nexiste único tn >0 tal quetnun∈ N e único tu >0tal
que tuu∈ N. Nosso objetivo é mostrar que
tnun→tuu em H1(R3). (1.22)
Com efeito, desde que tnun∈ N, temos
t2nkunk2+t4n Z
R3
K(x)φunu
2
n−t p+1
n Z
R3
a(x)|un|p+1 = 0.
Sendo assim, por (1.21), por i) do Lema 2.10 e pela imersão H1(R3)֒→Lp+1(R3) segue
lim
n→∞t
2
nkuk2+ limn
→∞t
4
n Z
R3
K(x)φuu2− lim n→∞t
p+1
n Z
R3
1.2 Variedade de Nehari
Note que, pela unicidade do número tu >0 tal que tuu ∈ N, temos limn→∞tn =tu pois
tn>0para todo n∈N. Dessa forma,
ktnun−tuuk ≤ ktnun−tuunk+ktun−tuk ≤ |tn−tu|kunk+|tu|kun−uk,
o que prova (1.22), de onde concluímos a continuidade da função ϕ. Além disso, a con-tinuidade da função ψ é imediata. Portanto, a variedade de Nehari N é homeomorfa a esfera unitária S1 deH1(R3), e isto completa a prova do item 2).
Agora provaremos o item 3). Inicialmente, mostraremos que existe uma constante C >0tal que
kuk ≥C, (1.23)
para todo u∈ N. Com efeito, como a∈L∞(R3), segue
Z
R3
a(x)|u|p+1dx
≤ kak∞
Z
R3|
u|p+1dx.
Desde que, u∈H1(R3)֒→Lp+1(R3), temos
Z
R3
a(x)|u|p+1dx
≤C1kukp+1,
para alguma constante C1 >0. Assim, se u∈ N, então
0 =kuk2+
Z
R3
K(x)φu(x)u2dx− Z
R3
a(x)|u|p+1dx
≥ kuk2−C1kukp+1,
o que implica que
kuk ≥ 1
C
1
p−1
1
=C >0,
para todo u∈ N, o que prova (1.23). Agora, note que, por (1.19) I(u) = 1
4kuk
2+1
4− 1
p+ 1
Z
R3
a(x)|u|p+1dx.
para todo u∈ N. Comop > 3e a função a é não negativa, por (1.23) temos I(u)≥ 1
4kuk
2 ≥C
2 >0, (1.24)
para todo u∈ N e para alguma constante C2 >0. Assim,
m≥C2 >0
e isto completa a prova deste item.
Agora, provaremos o item 4). Inicialmente, definindo o funcional G : H1(R3) → R
por
G(u) = I′(u)u=kuk2+
Z
R3
K(x)φu(x)u2dx− Z
R3
a(x)|u|p+1dx,
provaremos que para alguma constante c >0
1.2 Variedade de Nehari
para todo u∈ N. De fato, pelo Corolário A.5 (veja Apêndice)
G′(u)ϕ = 2hu, ϕi+ 4
Z
R3
K(x)φu(x)uϕdx−(p+ 1) Z
R3
a(x)|u|p−1uϕdx,
para toda ϕ∈H1(R3). Em particular,
G′(u)u= 2kuk2+ 4
Z
R3
K(x)φu(x)u2dx−(p+ 1) Z
R3
a(x)|u|p+1dx.
Desde que u∈ N, temos
kuk2+
Z
R3
K(x)φu(x)u2dx= Z
R3
a(x)|u|p+1dx,
o que implica em
G′(u)u= (1−p)kuk2+ (3−p)
Z
R3
K(x)φu(x)u2dx.
Como as funções K e φu são não negativas e p∈(3,5) temos
G′(u)u≤(1−p)kuk2,
de onde por (1.23) concluímos (1.25), como queríamos. Agora, se u é ponto crítico do funcional I, então
I′(u)ϕ= 0, para toda ϕ∈H1(R3). Em particular
kI′(u)k∗ = sup
ϕ∈kerG′(u)
kϕk=1
I′(u)ϕ = 0,
o que por iii) da Definição 1.4 implica que ué ponto crítico de I|N. Reciprocamente, se u é ponto crítico de I|N, pelo Corolário A.2 (veja Apêndice) existe λ∈Rtal que
I′(u) =λG′(u).
Em particular,
I′(u)u=λG′(u)u.
Desde que,u∈ N temosI′(u)u= 0.Além disso, por (1.25),G′(u)u <0. Isto implica que
λ = 0, de onde concluímos que I′(u) = 0, isto é,
I′(u)ϕ= 0,
para toda ϕ∈H1(R3). Portanto, u é um ponto crítico do funcional I.
1.2 Variedade de Nehari
onde N = nv ∈ H1(R3)\{0}; I′(v)v = G(v) = 0o. Sendo assim, desde que, por
(1.25), G′(u) 6= 0, pelo Teorema dos Multiplicadores de Lagrange (veja Proposição A.23
do Apêndice)
I′(u) =λG′(u), para algum λ∈R. Logo
I′(u)u=λG′(u)u.
Como u ∈ N temos I′(u)u = 0. Além disso, por (1.25) G′(u)u <0. Assim, λ= 0, o que
implica em I′(u) = 0 e isto finaliza a prova deste lema.
Observação 1.4 O item 5) do lema anterior será fundamental para obtermos, no Capí-tulo 2, uma solução fraca particular do problema (P1), que é a solução fraca do tipo ground
state.
Definição 1.5 Conforme provado no item 1) do lema anterior, para cadau∈H1(R3)\{0}
existe único tu > 0 tal que tuu ∈ N. A função tuu é denominada projeção de u sobre a
Capítulo 2
Existência de Solução do tipo Ground
State
Neste capítulo, encontraremos uma solução do tipoground state para o problema
−∆u+u+K(x)φu(x)u=a(x)|u|p−1u em R3, (P1)
onde p∈(3,5) e as funções a eK satisfazem:
(a1) lim|x|→∞a(x) = 1, a∈L∞(R3);
(a2) a(x)≥1em R3, a6≡1;
(K) K ∈L2(R3)∩C(R3)e K >0em R3.
As funções a:R3 →R eK :R3 →R definidas por
a(x) =
1, se |x|>0 2, se |x|= 0
e
K(x) =
1/|x|, se|x|>1 1, se|x| ≤1,
são exemplos de funções que satisfazem as condições (a1),(a2) e (K).
Definição 2.1 (Solução do tipo Ground State) Entendemos como solução do tipo ground state para o problema (P1) uma função u ∈ H1(R3)\{0} que é solução fraca
do problema (P1) e I(u) = m, onde m é o nível de energia mínima dado na Definição
1.3.
O principal resultado deste capítulo é:
Teorema 2.1 Sob as condições (a1), (a2) e (K), assumindo que
|K|2 2 <
mϑ
∞−mϑa
σm1+ϑ a
, (2.1)
com ϑ= pp−+13 eσ = 2pp+1−1S−2S−4, ondeS e S são, respectivamente, as melhores constantes
das imersões H1(R3)֒→L6(R3) e D1,2(R3)֒→L6(R3), então o problema (P
1) possui uma
solução do tipo ground state não negativa.
2.1 Problemas Auxiliares
2.1
Problemas Auxiliares
Nesta seção, estudaremos os problemas
−∆w+w=|w|p−1w em
R3 (P∞)
e
−∆w+w=a(x)|w|p−1w em R3, (P
a)
onde a função a satisfaz a condição (a2). Tal estudo será fundamental para a obtenção
de resultados de compacidade.
2.1.1 O Problema
(
P
∞)
Nesta subseção estudaremos o problema (P∞). A este problema, associaremos o fun-cional energia I∞ :H1(R3)→R dado por
I∞(w) = 1 2kwk
2
−p+ 11
Z
R3|
w|p+1dx (2.2)
e a variedade de Nehari definida por
N∞ :=nw∈H1(R3)\{0}; I′
∞(w)w= 0
o
.
Definição 2.2 O número
m∞ = infnI∞(w); w∈ N∞o
é o nível de energia mínima associado ao funcional I∞ dado acima.
Observação 2.2 Se w∈ N∞, então pela imersão H1(R3)֒→Lp+1(R3) temos
kwkp+1C
1 ≥ kwk2 =|w|pp+1+1,
para alguma constante C1. Assim, kwk2 ≥ C2 para alguma constante C2 > 0, o que
implica em
I∞(w)≥1 2−
1
p+ 1
kwk2 ≥1
2 − 1
p+ 1
C2 >0,
pois p > 3. Disto segue que m∞>0.
De forma análoga feita para o problema (P1) definimos uma solução do tipo ground
state para o problema (P∞). A próxima proposição é o principal resultado desta subseção.
Proposição 2.1 O problema (P∞) possui uma solução do tipo ground state estritamente positiva w∈H1(R3). Além disso;
1 w é radialmente simétrica e única a menos de translação;
2 Existem constantes C1, C2 >0 tais que
|w(x)| ≤C1e−C2|x|,
2.1 Problemas Auxiliares
Antes de provarmos esta proposição, faremos algumas observações. Entendemos por uma solução fraca do problema (P∞), uma função w∈H1(R3)tal que
Z
R3∇
w∇ϕdx+
Z
R3
wϕdx=
Z
R3|
w|p−1wϕdx,
para toda ϕ ∈ H1(R3). Sejam F : H1(R3) → R e T : H1(R3) → R funcionais definidos
por
F(w) = 1 2kwk
2 e T(w) = 1
p+ 1
Z
R3|
w|p+1dx.
Pelos Lemas A.6 e A.8 (veja Apêndice) temos que os funcionais F e T são de classe C1(H1,R) e para toda w, ϕ∈H1(R3)
F′(w)ϕ =
Z
R3
(∇w∇ϕ+wϕ)dx e T′(w)ϕ=
Z
R3|
w|p−1wϕdx.
Agora, defina
M ={w∈H1(R3); T(w) = 1}.
Note que, M 6=∅, pois podemos tomar ϕ∈C∞
0 ⊂H1(R3)tal que |ϕ|
p+1
p+1 =p+ 1. A prova
da proposição acima será feita em várias etapas com o auxílio dos lemas a seguir.
Lema 2.1 S = infw∈M F(w)>0.
Demonstração: Desde que H1(R3)֒→Lp+1(R3), existe uma constante C >0 tal que
|w|2
p+1 ≤Ckwk2,
para todo w∈H1(R3). Dado w∈M, então |w|p+1
p+1 =p+ 1. Assim,
0< c= 1
2C(p+ 1)
2
p+1 ≤ 1
2kwk
2,
o que implica que
S ≥c >0, como queríamos.
Lema 2.2 O ínfimo S = infw∈MF(w) é atingido por uma função v ∈H1(R3) não
nega-tiva em R3.
Demonstração: Note que existe uma sequência (wn)⊂M tal que
lim
n→∞
1 2kwnk
2 =
S.
Assim, (wn)⊂H1(R3) é limitada, o que implica em
lim
n→∞( supy∈R3
Z Br(y)
2.1 Problemas Auxiliares
para todo 2≤s <6 e todo r >0, pois do contrário se
lim
n→∞( supy
∈R3
Z Br(y)
|wn|sdx)→0,
pelo Lema de Lions (Proposição A.1, veja Apêndice) teríamos wn →0 em Lp+1(R3),
o que seria contradição, já que |wn|pp+1+1 =p+ 1, pois T(wn) = 1.
Sendo assim, consideremoss =p+ 1e r >0. Logo, existe ρ >0 tal que, a menos de subsequência,
sup
y∈R3
Z Br(y)
|wn|p+1dx≥ρ.
Fixe n∈N. Usando a definição de supremo, existeyn∈R3 tal que Z
Br(yn)
|wn|p+1dx≥
ρ
2. (2.3)
Agora, definindo vn(x) :=wn(x+yn), por mudança de variável, temos Z
R3|
vn|p+1dx= Z
R3|
wn|p+1dx=p+ 1 (2.4)
e
lim
n→∞
1 2kvnk
2 = lim
n→∞
1 2kwnk
2 =S. (2.5)
Desde que (vn) é limitada em H1(R3), a menos de subsequência,
vn⇀ v em H1(R3),
o que pelo Corolário A.1 (veja Apêndice) implica em
lim
n→∞(|vn|
p+1
p+1− |vn−v|pp+1+1) = |v|
p+1
p+1.
Sendo assim, como |vn|pp+1+1 =p+ 1, segue
lim
n→∞|vn−v|
p+1
p+1 = (p+ 1)− |v|
p+1
p+1. (2.6)
Dado u6= 0 em H1(R3), seja
ϕ := (p+ 1)p+11 u |u|p+1
.
Então |ϕ|pp+1+1 =p+ 1 o que implica em ϕ ∈M. Assim,
1
2kϕ = (p+ 1)
1
p+1 u |u|p+1k
2 ≥ S,
onde obtemos
kuk2 ≥ 2
(p+ 1)p+12 S|
2.1 Problemas Auxiliares
para cada u6= 0 em H1(R3). Agora, defina
C = 2
(p+ 1)p+12 S
.
Desde que vn⇀ v em H1(R3), temos
lim
n→∞kvnk
2 = lim
n→∞(kvn−vk
2+kvk2).
Com isso, por (2.5), segue que
2S = lim
n→∞kvnk
2 = lim
n→∞(kvn−vk
2+kvk2).
Consequentemente, por (2.7),
2S ≥ lim
n→∞C|vn−v|
2
p+1+C|v|2p+1
=C lim
n→∞(|vn−v|
p+1
p+1−(p+ 1) + (p+ 1))
2
p+1 +C(p+ 1) 2
p+1(|v|
p+1
p+1
p+ 1)
2
p+1,
o que por (2.6) implica
2S ≥ C(p+ 1)p+12 (1− |v|
p+1
p+1
p+ 1)
2
p+1 +C(p+ 1) 2
p+1(|v|
p+1
p+1
p+ 1)
2
p+1. (2.8)
Agora, definindo
b = |v|
p+1
p+1
p+ 1,
afirmamos que
b >0. (2.9) Com efeito, fazendo mudança de variável em (2.3) obtemos
Z Br(0)
|vn|p+1dx≥
ρ
2.
Desde que H1(B
r(0))֒→Lp+1(Br(0)) compactamente e vn ⇀ v em H1(R3), temos Z
Br(0)
|v|p+1dx
≥ ρ
2 >0,
e isto prova a afirmação. Como (vn) é limitada em H1(R3) ֒→ Lp+1(R3), a menos de
subsequência, vn⇀ v em Lp+1(R3). Assim
|v|p+1 ≤lim inf
n→∞ |vn|p+1 = limn→∞|vn|p+1,
de onde por (2.4), segue que
|v|pp+1+1 ≤ lim
n→∞|vn|
p+1
2.1 Problemas Auxiliares
o que implica em b ≤ 1. Agora mostraremos que b = 1. Com efeito, se b < 1, defina c= 1−b. Como por (2.9) 0< b, então
c, b∈(0,1).
Desde que, (c+d)t < ct+dt para todo c, d, t
∈(0,1), por (2.8) temos
2S ≥ C(p+ 1)p+12 (b 2
p+1 + (1−b) 2
p+1)>C(p+ 1) 2
p+1 = 2S,
o que é uma contradição. Assim, b = 1, isto é,
|v|pp+1+1 =p+ 1. (2.10)
Como vn⇀ v em H1(R3), então kvk ≤lim infn→∞kvnk. Logo,
1 2kvk
2
≤lim inf
n→∞
1 2kvnk
2 = lim
n→∞
1 2kvnk
2 =
S,
isto é,
1 2kvk
2 ≤ S.
Por outro lado, desde que, |v|pp+1+1 = p+ 1, então v ∈ M. Sendo infu∈MF(u) = S, por
definição de ínfimo
1 2kvk
2 ≥ S,
o que implica em
1 2kvk
2 =
S.
Note que, se w∈ M então |w| ∈ M. Assim, podemos supor que v é não negativa, e isto completa a prova deste lema.
Lema 2.3 Seja w∈H1(R3) uma solução fraca do problema (P
∞). Então, w∈C2(R3).
Demonstração: Veja que
−∆w=ψ(x), onde ψ(x) :=|w|p−1w−w. Assim,
|ψ(x)| ≤a(x)(1 +|w|),
com a(x) := ||w|p−1 −1|. Note que a ∈ L32
loc(R3), pois 3 < s := (p− 1)
3
2 < 6 (p ∈
(3,5)) e w ∈H1(R3)֒→ Ls(R3). Pelo Teorema de Brezis-Kato (veja Proposição A.22 do
Apêndice) temos w ∈ Lq(R3) para todo q < +∞, o que implica em ψ ∈ Lq(R3) para
todo q < +∞. Assim, pelo Teorema de Calderon-Zygmund (veja Proposição A.20 do Apêndice) w∈ Wloc2,q(R3). Agora, tomando q = 3, pela Proposição A.17 (veja Apêndice)
temos w ∈ Cloc0,γ(R3) com γ < 1, o que implica em ψ ∈ C0,γ
loc(R3). Disto seque pela
Proposição A.19 (veja Apêndice) que w∈C2(R3), como queríamos.
2.1 Problemas Auxiliares
Demonstração: Note que, pelo Lema 2.2, existe uma função v ∈H1(R3) não negativa
tal que
F(v) = inf
u∈MF(u)
e por (2.10)
T′(v)v =
Z
R3|
v|p+1dx=p+ 1 6= 0.
Pelo Teorema dos Multiplicadores de Lagrange (Proposição A.23 veja Apêndice), existe λ ∈R tal que
F′(v)ϕ =λT′(v)ϕ, para toda ϕ∈H1(R3), ou seja,
Z
R3
(∇v∇ϕ+vϕ)dx=λ
Z
R3
vpϕdx (2.11)
para toda ϕ∈H1(R3). Note que λ >0. Com efeito, fazendo ϕ=v, obtemos
kvk2 =λ|v|pp+1+1.
Desde que, pelo Lema 2.1, S > 0, temos kvk2 = 2S > 0, o que implica que λ > 0, pois
|v|pp+1+1 =p+ 1. Defina
w=λσv,
onde o número σ será escolhido abaixo. Pelo Lema 2.2, v é não negativa. Assim, desde que λ >0,w é não negativa. Agora, substituindo a função w em (2.11), obtemos
1
λσ Z
R3
(∇w∇ϕ+wϕ)dx= λ
λσp Z
R3
wpϕdx,
para toda ϕ∈H1(R3), isto é,
Z
R3
(∇w∇ϕ+wϕ)dx=λ1+σ−σp Z
R3
wpϕdx,
para toda ϕ ∈ H1(R3). Sendo assim, como 1 +σ−σp = 0, se e somente se, σ = 1
p−1.
Tomando σ= 1
p−1 na equação acima, segue que
Z
R3
(∇w∇ϕ+wϕ)dx=
Z
R3
wpϕdx,
para toda ϕ∈H1(R3). Portanto,wé solução fraca não negativa do problema (P
∞). Pelo
Lema 2.3, w ∈ C2(R3). Agora, mostraremos que w é positiva e, com isso, concluímos a
prova deste lema. Suponhamos, por contradição, que existe x0 ∈ R3 tal que w(x0) = 0.
Seja Br(x0) uma bola arbitrária. Então,w∈C2(Br(x0))∩C(Br(x0)). Desde que
−∆w+w=wq≥0 em Br(x0),
pois w ≥ 0, pelo Princípio do Máximo Forte (Proposição A.21 veja Apêndice), temos w = 0 em Br(x0). Sendo Br(x0) arbitrária, segue que w ≡ 0 em R3. Uma vez que,
w=λσv, com λ >0, então v = 0. Sendo
S = 1
2kvk
2,
2.1 Problemas Auxiliares
Lema 2.5 Se u∈H1
rad(R3), então
kuk2 =ω 3
Z ∞
0
(|u(r)|2+|u′(r)|2)r2dr,
onde ω3 é o volume da esfera unitária em R3.
Demonstração: Desde que u ∈ H1
rad(R3), então u(x) = u(r) para todo x ∈ R3 com
|x|=r. Agora, note que,
∂u ∂xi = ∂u ∂r ∂r ∂xi = ∂u ∂r xi
|x|,
i= 1,2,3, o que implica em
∂u
∂xi 2
=∂u
∂r
2xi
|x|
2
.
Dessa forma,
|∇u(x)|2 = 3 X i=1 ∂u ∂xi 2
=∂u
∂r
2X3
i=1
xi
|x|
2
=∂u
∂r
2
=|u′(r)|2.
Sendo assim, como
kuk2 =
Z
R3
(|∇u|2+|u|2)dx,
por mudança de variáveis segue o resultado desejado.
Lema 2.6 (Lema Radial) Se u∈H1
rad(R3) então
|u(x)| ≤ω−12
3 |x|−1kuk.
Em particular, u(x)→0 quando |x| → ∞.
Demonstração: Desde que o espaço das funções C∞
0 (R3), é denso em Hrad1 (R3) é
su-ficiente verificarmos este lema para as funções contínuas de suporte compacto. Dado ϕ ∈C0∞([0,+∞[) temos
ϕ(r)2 =−2
Z ∞
r
ϕ′(s)ϕ(s)ds
=−2
Z ∞
r
ϕ′(s)ϕ(s)s−2s2ds
≤ −r−2
Z ∞
r
2ϕ′(s)ϕ(s)s2ds
=r−2
Z ∞
r
(|ϕ′(s)|2+|ϕ(s)|2)s2ds.
Se u ∈H1
rad(R3)∩C0∞(R3) temos u(r) = u(x) onde |x| =r. Sendo assim, pela
desigual-dade acima e pelo Lema 2.5 temos o resultado desejado. Pelo resultado anterior, temos que toda funçãou ∈H1
rad(R3) possui decaimento
